2015届高三数学二轮复习(新课标) - 微课6 圆锥曲线中的含参问题的解题策略

微课6 圆锥曲线中的含参问题的解题策略
[策略诠释]
1．主要类型：(1)含有参数的二元二次方程表示的曲线类型的讨论．(2)含有参数的方程、不等式的求解，如求离心率、渐近线方程中焦点位置的讨论，或求解过程中分母是否等于0的讨论等．(3)含参数的直线与圆锥曲线位置关系问题的求解，如对直线斜率存在与否的讨论、消元后二次项系数是否为0的讨论，判别式与0的大小关系的讨论．
2．解题思路：常常结合参数的意义及对结果的影响，全面分析参数取值引起结论的变化情况分类讨论求解．
3．注意事项：(1)搞清分类的原因，准确确定分类的对象和分类的标准，要不重不漏，符合最简原则．
(2)最后要将各类情况进行总结、整合．
【典例】 (12分)(2014·湖北高考)在平面直角坐标系xOy ，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .
(1)求轨迹C 的方程；
(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．
[审题]
(1)切入点：根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程．
关注点：注意分x ≥0，x <0两种情况讨论，最后写成分段函数的形式．
(2)切入点：先求出直线l 的方程，然后联立直线l 与抛物线的方程，消去x ，得到关于y 的方程，分k ＝0，k ≠0两种情况讨论．
关注点：当k ≠0时，设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)进而按Δ、x 0与0的大小关系再分情况讨论．
【解】 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，
化简整理得y 2＝2(|x |＋x ).2分
故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 4x ，x ≥0，0，x <0.4分 (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．
依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①5分 ①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14
. 故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1.6分
②当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②
设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k
.③7分 (ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧
Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12. 即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭
⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.8分
(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，x 0≥0
，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．
故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.10分 (ⅲ)若⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，x 0<0，11分 由②③解得－1<k <－12，或0<k <12
. 即当k ∈⎝
⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．
综合(1)(2)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭
⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝
⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭
⎫0，12，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.12分 [变题]
(2014·湖南高考)
如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2
b 22
＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P (233
，1)，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
(1)求C 1，C 2的方程；
(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB
→|？证明你的结论．
【解】 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P (233
，1)在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以(233)2－1b 21＝1. 故b 21＝3.
由椭圆的定义知
2a 2＝
(233)2＋(1－1)2＋(233
)2＋(1＋1)2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为 x 2－y 23＝1，y 23＋x 22
＝1. (2)不存在符合题设条件的直线．
①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.
当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.
此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.
当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.
②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3
. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2
k 2－3
. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1
得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式 Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.
化简，得2k 2＝m 2－3，因此
OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3
＝－k 2－3k 2－3
≠0， 于是
OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →， 即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线．。