3.2均值不等式练习题(一)
人教B版高中数学必修五课件3.2均值不等式练习题(一)
（A）10
（B）6 3
（C）4 6 （D）18 3
10．已知x>1，y>1，且lgx+lgy=4，那么
lgx·lgy的最大值是（ D ）
（A）2 （C）1
4
（B） 1 2
（D）4
11．已知函数y=2+3x2+27 ，当x=时 ,函3 数
x2
有最值是。小
20
12．若x>3，函数y x 1 ，当x=时4 ,函数
（A）x，y均为正数，则 x y ≥ 2
yx
（B）a为正数，则 (a 2)(a 1)≥ 4
2a a
（C）lgx+logx10≥2，其中x>1 （D） x2 2 ≥ 2
x2 1
3．若a>b>0，则下列不等式正确的是（ C ）
（A） 2ab a b ab
ab 2
（B） a b 2ab ab
x3
有最值是. 小
5
13．若x>0，y>0，且x+y=1，当x=, y12=时，
xy的最12 大值是。
1 4
14．求证： 4 a ≥ 7 .(a>3)
a3
4 a 4 +(a 3) 3≥ 4 3 7 a3 a3
15．已知函数的解析式 y 4 9x （1）若x>0，当x=时23，函数有x 最值为小；
5．设a，b，c是区间(0，1)内三个互不相等
的实数，且满足 p
logc
a
2
logc
b，q
logc
a
2
b,
，r 则12 lopg，c aq2，b r的大小关系是（ ）
均值不等式专题附带解析
12．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
13．若 ， ， ，则 的最小值为______．
14．若 ，则 的最小值为________.
15．已知a，b都是正数，满足 ，则 的最小值为______．
16．已知 ， 且 ，则 的最小值为______．
17．已知点 在圆 上运动，则 的最小值为___________．
18．若函数 的单调递增区间为 ，则 的最小值为____．
19．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为______.
20．已知 ， ，则 的最小值为____．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据对数相等得到 ，利用基本不等式求解 的最小值得到所求结果.
【详解】
则 ，即
由题意知 ，则 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．4.
【解析】
【分析】
直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
均值不等式专题
一、填空题
1．若 则 的最小值是__________．
2．若 ,且 则 的最大值为______________.
3．已知 ，且 ，则 的最小值为______．
4．已知正数 满足 ，则 的最小值是_______.
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式同步练习 新人教B版必修5
3.2 均值不等式1．若a>b>0，则下列不等式成立的是( ) A ．a>b>a ＋b 2>ab B ．a>a ＋b2>ab>bC ．a>a ＋b 2>b>abD ．a>ab>a ＋b2>b2．函数y ＝x(1－3x)(0<x<13)的最大值是( )A.4243 B.112 C.164 D.1723．已知x 、y∈R＋，且x ＋4y ＝1，则x·y 的最大值为__________． 4．求证：24m ＋6m ≥24(m>0)．答案：1．B2．B ∵0<x<13，∴0<1－3x<1.∴y ＝x(1－3x)＝13×3x(1－3x)≤13·(3x ＋1－3x 2)2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时取等号．3.116 因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12时取等号．所以x ·y 的最大值为116.4．证明：∵m>0，由基本不等式， 得24m ＋6m≥224m ·6m＝2144＝24，当且仅当24m ＝6m ，即m ＝12时取等号．课堂巩固1．已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3 D ．2432．某工厂产品第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x≤a ＋b 2C ．x>a ＋b 2D ．x≥a ＋b 23．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________． (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．4．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________． 5．已知x>2，求y ＝x ＋1x －2的最小值．6．已知a>0，b>0， 求证：(a ＋1a )(b ＋1b)≥4.答案：1．B ∵a ＋b ＝2，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 2．B 设平均增长率为x ，则第三年产量为A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，即(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．又(1＋a)(1＋b)≤(1＋a ＋1＋b2)2，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2，即x ≤a ＋b2.3.(1)215 (2)2254 (1)x ＋y ≥2xy ＝215；(2)xy ≤(x ＋y 2)2＝2254.4．[9，＋∞) ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9.5．解：∵x>2，∴x －2>0. y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4.6．证明：因为a>0，b>0，由基本不等式，可知 a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号；b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取等号． 因为上述两个不等式的两边均为正数，由不等式的性质，得(a ＋1a )(b ＋1b )≥4.1．已知x 、y>0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 1．答案：C 原式＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y ＝3＋y x ＋xy≥3＋2＝5.2．(天津高考，理6)设a>0，b>0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.142．答案：B 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a>0，b>0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.3．点P(x ，y)是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )A ．最大值8B ．最小值8C ．最小值6D ．最大值6 3．答案：C ∵点P(x ，y)在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥23x ·33y ＝23x ＋3y ＝232＝6. ∴代数式3x ＋27y 有最小值6.4．若直线ax ＋by ＋1＝0(a ，b>0)过圆x2＋y2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b 的最小值为( )A ．8B ．12C ．16D ．20 4．答案：C ∵圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1. ∴1a ＋4b ＝4a ＋b a ＋4(4a ＋b)b ＝8＋b a ＋16a b ≥8＋2b a ×16ab＝16. (当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝16a b，4a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝12时“＝”成立)5．设点(m ，n)在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m ＋log2n 的最大值是________．5．答案：－2 由题意可知m>0，n>0，m ＋n ＝1， ∴log2m ＋log2n ＝log2mn ≤log2(m ＋n2)2＝log214＝－2，当且仅当m ＝n ＝12时取“＝”．6．设x>0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是________．6．答案：3－2 3 ∵x>0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23(当且仅当x ＝33时，等号成立)．∴－(3x ＋1x )≤－2 3.∴3－3x －1x ≤3－23，即函数y ＝3－3x －1x的最大值是3－2 3.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处． 7．答案：5 由已知得y1＝20x，y2＝0.8x(x 为仓库与车站的距离)，费用之和y ＝y1＋y2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8，当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时“＝”成立．8.求f(x)＝2＋log2x ＋5log2x 的最值(0<x<1)．8．答案：解：∵0<x<1，∴log2x<0. ∴(－log2x)＋(－5log2x)≥2·(－log2x)·(－5log2x)＝2 5.∴f(x)＝2－[(－log2x)＋(－5log2x )]≤2－25，当且仅当－log2x ＝－5log2x ，即log2x ＝－5时，等号成立．∴f(x)max ＝2－25，不存在最小值．9．求函数f(x)＝－2x2＋x －3x (x>0)的最大值，及此时x 的值．9．答案：解：f(x)＝1－(2x ＋3x )．因为x>0，所以2x ＋3x ≥26，即－(2x ＋3x )≤－2 6.因此f(x)≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x2＝32时，式中等号成立．由于x>0，因此x ＝62时，式中等号成立．因此f(x)max ＝1－26，此时x ＝62.10．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元(50≤x≤80)时，每天销售的件数为p ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？10．答案：解法一：利润＝销售件数×(销售价格－进货价格)．如何把目标函数整理成能使用基本不等式的形式是正确解题的关键． 由题意，知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2＝(x －50)·105(x －50)2＋20(x －50)＋100＝105(x －50)＋100(x －50)＋20.∵x －50≥0，∴(x －50)＋100(x －50)≥20.∴S ≤10520＋20＝2 500，当且仅当(x －50)＝100(x －50)，即x ＝60或x ＝40(不合题意，舍去)时取等号．解法二：在基本不等式a ＋b 2≥ab 中，若a 、b 的形式比较复杂，也可采用换元法求最值．由题意知利润S ＝(x －50)·105(x －40)2.令x －50＝t ，x ＝t ＋50(t ≥0)， 则S ＝105t (t ＋10)2＝105tt2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500，当且仅当t ＝100t ，即t ＝10时取等号，此时x ＝60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多．。
均值不等式专题20道-带答案
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为均值不等式专题20道-带答案的全部内容。
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。
15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。
20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。
高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案
学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。
理解均值不等式的内容及证明。
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。
3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。
如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。
其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。
知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。
反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。
均值不等式的应用（习题+标准答案）
均值不等式的应⽤（习题+标准答案）均值不等式的应⽤(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：均值不等式应⽤⼀．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最⼩值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最⼩值，正所谓“积定和最⼩，和定积最⼤”．（2）求最值的条件“⼀正，⼆定，三取等”(3)均值定理在求最值、⽐较⼤⼩、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题⽅⾯有⼴泛的应⽤．应⽤⼀：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧⼀：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最⼤值。
均值定理
3.2均值不等式(一)一、教材导学：（本小节的重点是均值不等式的推导及应用）1、均值定理：(1)均值定理成立的条件；(2)注意“=”成立的条件； (3)掌握定理的证明；(4)定理的文字表述。
（A P 711）2、思考与讨论：注意辨析与均值定理的关系。
（A P 2372-1）（均值不等式的几何解释，下节课研究。
）3、例1---体会用均值定理在不等式证明中的作用及解题的规范过程。
练习：3.1已知，R n m ∈,10022=+n m ，则mn 的最大值是 . 3.2已知正数a 、b 满足ab=10，则a+b 的最小值是 .3.3设0,0>>b a ，且2=+b a ，则2,,122b a ab +的大小关系是______.A. 2122b a ab +<<B. 2122b a ab +≤≤C. 1222<+≤b a abD. 2122b a ab +≤≤ 3.4若R b a ∈,，且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是_____. A. ab b a 222>+ B. ab b a 2≥+ C.ab b a 211>+ D. 2≥+baa b 4、例2--利用均值定理求某些函数的最值：“一正，二定，三相等”（A P 71 2、3、4）. 练习：4.1下列结论正确的是_____.（分析每个选择项的错因） A. 当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x x B. 当0>x 时，21≥+xx C. 当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D. 当20≤<x 时，xx 1-无最大值5、例3--均值不等式的配凑与变形. （B P 723） 练习：5.1若，2>a 则23-+a a 的最小值___. A. 6 B. 232-a aC. 322+D. 323+ 5.2求函数142-+-=x x x y （1>x ）的最小值及相应的x 的值.(可灵活运用换元法)6、小结：(1)均值定理成立的条件及“=”成立的条件；(2)运用均值定理求最值的注意事项； (3)学习均值不等式的配凑与变形方法。
2019-2020年高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用-证明问题同步练习 新人教B版
2019-2020年高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 基本不等式的应用-证明问题同步练习 新人教B 版必修5一、选择题1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >c D ．a >c >b[答案] C[解析] ∵a 、c 均为正数，且a ≠c ， ∴a 2＋c 2>2ac ， 又∵a 2＋c 2＝2bc ， ∴2bc >2ac ，∵c >0，∴b >a ，排除A 、B 、D ， 故选C ．2．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 11<b 11 D ．a 11≥b 11[答案] D[解析] ∵a n >0，b n >0，a 1＝b 1，a 21＝b 21， ∴a 11＝a 1＋a 212＝b 1＋b 212≥b 1b 21＝b 11，等号成立时，b 1＝b 21，即此时{a n }、{b n }均为常数列，故选D ．3．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6 [答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用． 由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y5x时，得到最小值5.4．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[答案] A [解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝R 1＋R 22－4R 1R 2R 1＋R 2＝R 1－R 22R 1＋R 2>0，所以R A >R B ．5．已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18[答案] B[解析] ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0，又lg a ＋lg b ＝6，∴lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝(62)2＝9，故选B ．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 [答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立． 二、填空题7．已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6 [解析] 2x ＋3y ≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6.8．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233[解析] ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1. 又∵xy ≤(x ＋y2)2， ∴(x ＋y )2≤(x ＋y2)2＋1，即34(x ＋y )2≤1. ∴(x ＋y )2≤43.∴－233≤x ＋y ≤233.∴x ＋y 的最大值为233.三、解答题9．已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． [解析] ∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)． 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)． 10．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证： (a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92.[解析] ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≤a 2＋b 2，∴(a ＋1)＋(b ＋1)≤a ＋2＋b ＋2，又∵a ＋b ＝1， ∴3≤a ＋2＋b ＋2，∴(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．∴(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92.一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P .2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1[答案] D[解析] ∵x ≥52，∴x －2＞0，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －＋1x －≥1， 等号在x －2＝1x －2即x ＝3时成立． 3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38. ∴x <2xy <x ＋y2<y .故选D ．4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式： ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab>2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，∴2aba ＋b≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab≥22>2恒成立，故选D ．二、填空题5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案] 1 760[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4xm ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320×2x ×4x＝1 760. 当且仅当x ＝4x即x ＝2时，y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________．[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则AB 方程为x 3＋y4＝1，∵x，y∈R＋，∴1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.三、解答题7．若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：(1＋1x)·(1＋1y)≥9.[解析] 证法一：左边＝(1＋1x)(1＋1y)＝1＋1x＋1y＋1xy＝1＋x＋yxy＋1xy＝1＋2xy≥1＋2x＋y22＝9＝右边．当且仅当x＝y＝12时，等号成立．证法二：∵x＋y＝1，∴左边＝(1＋1x)(1＋1y)＝(1＋x＋yx)(1＋x＋yy)＝(2＋yx)(2＋xy)＝5＋2(yx＋xy)≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x＝y＝12时，等号成立．8．已知a、b、c∈R＋，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.[解析] ∵a、b、c∈R＋，a2b，b2c，c2a均大于0，又a2b＋b≥2a2b·b＝2a，b2c＋c≥2b2c·c＝2b，c2a＋a≥2c2a·a＝2c，三式相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，a2 b ＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.∴。
均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题
均值不等式练习题1. 练习题一已知非零实数a、b满足ab<0，证明(a+b)/2 > √ab.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数x和y，有(x + y)/2 ≥ √xy.因此，我们可以推导出(a + b)/2 > √ab.首先，根据已知条件ab < 0，我们可以得出a和b有不同的符号。
假设a>0，b<0，那么我们可以得到√ab = √(a*(-b)) = √(a * -1 * (-b)) = √(a * 1 * b) = √(ab) < 0.另一方面，由于a>0，b<0，所以(a + b)/2 = (a + b)/2 > a/2 + b/2 > √ab + √ab = 2√ab > √ab.综上所述，我们证明了(a + b)/2 > √ab.2. 练习题二已知非零实数a、b、c满足abc = 1，证明a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意三个正数x、y、z，有(x/y + y/z + z/x)/3 ≥ (x + y + z)/(x + y + z)，即(x/y + y/z + z/x) ≥ (x + y + z).因此，我们可以推导出(a/b + b/c + c/a)/3 ≥ (a + b + c)/(a + b + c)，即(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).首先，根据已知条件abc = 1，我们可以得到a、b、c有不同的符号。
假设a>0，b<0，c>0，那么我们可以得到b/c < 0，c/a > 0，那么a/b +b/c + c/a = a/b + (b/c) + (c/a) > a/√(bc) + (-1) + √(bc)/a = (a^2 - bc)/a√(bc) = (a^2 - 1)/a√(bc) = (a - 1/a)/√(bc).另一方面，由于abc = 1，我们知道√(bc) = 1/√a，所以(a - 1/a)/√(bc)= (a - 1/a)√a = (a^2 - 1)/a ≥ a + b + c.综上所述，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).3. 练习题三已知非零实数a、b满足a+b = 2，证明a^2b^2(a^2+b^2) ≤ 2.解：我们将通过变量替换的方法来证明这个不等式。
均值不等式练习题备课讲稿
均值不等式练习题均值不等式二、习题讲解：例1 ：（1）求y = x + !（x:>CI）的最小值(2)求y = x + |(x > 2)的最小值1（3）已知x 2，求y x —的最小值x 2变式训练：41•已知x 0，求y 2 x -的最大值x12. 当x 1时，求fx x——的最小值x 1-.已知a、b、c R，求证：a2 b2 c2 ab bey 2 3x -(x 0)的最大值是2 -、35. x6. y 2x 丄,x 3x 3知识点:7. y 2sinx 丄,x (0,)sin x3.已知x 5 1;，求函数y -x 2厂的最大值ae例2：("已知0 x 1，求y ^x12 2x的最大值(2)已知:a、b都是正数,且a b 1， a 1，ab E，求的最小值变式训练：1.已知0 x 1，求函数y3x 1 3x 的最大值2. 当I '亠时，求y x(8 2x)的最大值。
33. 设0 x 一，求函数y 4x(3 2x)的最大值。
24.已知0 x 1,求函数y . x(1 x)的最大值.；0 x 2，求函数y x(2 3x)5. 36. __________________________________ 若x 2y 1，则2x4y的最小值是7. 已知x,y R，且满足-3 -1，则xy的最大值为4111例 4:已知 a, b, c R ，且 a b c 1，求证：一 一 一 9 a b c变式训练： 1 41.已知a 0,b 0,a b 2，则y --的最小值是a b例3:求函数y2x 23x 3x 1的最小值变式训练： x 2 3x y1.】,(x 0)2.设x，则函数2皿1的最小值为sin 2x3.已知x2，则 fxx 2 4x 5 x 4^的最小值 2x 4y 4.-x 3二的最小值是 x 22 求5.2x区卫(x1)的值域。
x 16.求函数y7.设x, y,z 为正实数，且满足x2y 3z 2则—的最小值xz2. 正数x,y 满足x 2y 1，求1/x 1/y 的最小值— 113. 设a 0,b 0.若是3a与3b的等比中项，贝V --的最小值为（）a b1 A . 8 B . 4 C . 1 D .- 41 94. 已知x 0,y0 ,且— —1，求x y 的最小值。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，2?3?1 ??3?1?5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
3。2均值不等式(一,二)含答案
【高二数学学案】3.2 均值不等式（一）一、学习目标：1.理解均值定理，掌握均值定理的证明过程。
了解均值定理的几何意义。
2. 培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.3.明确均值定理应用的三个条件。
二、自主学习：自学课本69~71页，完成下列问题：1、正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2、均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3、在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4、试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 ( ) （2）（3）a b ＋b a （ ） （4）x ＋x 1(x>0) （5）x ＋x1(x<0) （6）ab ≤ （ ）5、在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．三、典型例题：例1：（A ）已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1+b 1+c1≥9．跟踪练习：1. （A ） 已知R c b a ∈,,，求证：bc ac ab c b a ++≥++222例2：（B ）（1）一个矩形的面积为400m 2。
问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为24m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？总结规律：跟踪练习：（B ）2. 已知x>0，y>0 （1）若积xy 为定值P ，求和y x +的最小值：（2）若和y x +为定值S ，求积xy 的最大值。
四、课后作业(题目分为A 、B 、C 三级，A 、B 为必须掌握的，C 供学有余力的学生选作。
) （A ）1．下列命题正确的是（ ）A ．a 2+1>2aB ．│x+x 1│≥2 C ．abb a +≤2 D ．sinx+x sin 4最小值为4． （B ）2．以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （A ）3 设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ）A ．a b ＋b a ≥2B ．a 2+b 2≥2ab C ．ab 2＋b a 2≥a ＋b D ．b a 11+≥2+b a +2（B ）4 设a 、b ∈R ＋，若a+b=2，则ba 11+的最小值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 （B ）5 已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ） A ．a 2+b 2≥2ab B ．222b a a +≥C ．b a ab ab +≤2D ．112--+≥b a ab（A ）6 若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________． （B ）7 已知x>1.5，则函数y ＝2x+423x -的最小值是_________． （B ）8已知x>0，y>0，且+x 1y9＝1，则x ＋y 的最小值是 。
均值不等式练习题.
利用均值不等式求最值的方法一．均值不等式1.（1）若R ba,，则ab ba222(2)若R ba,，则222b aab（当且仅当b a时取“=”）2. (1)若*,R ba ，则ab ba 2(2)若*,R b a ，则ab ba 2（当且仅当b a时取“=”）(3)若*,R ba ，则22ba ab(当且仅当b a时取“=”）3.若0x ，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）若0x ，则11122-2x xxx xx即或 (当且仅当b a时取“=”）3.若0ab，则2ab ba(当且仅当b a时取“=”）若0ab ，则22-2a b a b a b bababa即或(当且仅当b a 时取“=”）4.若R ba,，则2)2(222b ab a （当且仅当b a时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．一、配凑1. 凑系数例1. 当04x 时，求y x x ()82的最大值。
解析：由04x知，820x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x ()为定值，故只需将y x x ()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x()[()]()821228212282282·当且仅当282x x ，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x ()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x54，求函数f x xx()42145的最大值。
3.2 《均值不等式》 基础练习题
3.2 《均值不等式》 同步练习题1．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )．A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2 2．下列各式中最小值是2的是( )．A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan x ＋cot x D ．2x ＋2－x 3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )．A ．最大值52B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值14．已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为 . 5．如果x >0，则y ＝2－x －16x的最大值为 . 6．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2)，则( )．A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q 7．已知a 、b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1.那么下列不等式：①ab ≤14；②ab ＋1ab ≥174；③a ＋b ≤2；④1a ＋12b ≥2 2.其中正确的序号是_________8. 设x ，y ∈R ＋且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为10. 某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?【3.2 答案】1. 解析 a 2＋b 2>2ab ，且 a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12∴b －(a 2＋b 2)＝b －b 2－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a ) 0<a <b ，∴a (b －a )>0即b >a 2＋b 2 答案 B2. 解析 A 中当x ，y 同号且非零时，最小值为2，x ，y 异号时，x y ＋yx <0，B 中x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，但x 2＋4＝1x 2＋4无解，故取不到最小值2.C 中当tan x <0时不成立． 答案 D3. 解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12[(x －2)＋1x －2]≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．答案 D4. 解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0， ∴(ab ＋1)(ab －3)≥0，∵ab ＋1>0，∴ab ≥3.即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)5. 解析 ∵x >0，∴y ＝2－(x ＋16x )≤2－2x ·16x＝－6，当且仅当x ＝4时成立． 答案 －6 6. 解析lg a ·lg b <12(lg a ＋lg b )即P <Q ，又Q ＝12lg ab ＝lg ab ，R ＝lg a ＋b 2，∵a >b >1，∴ab <a ＋b2，∴Q <R .答案 B7. 解析 1＝a ＋b ≥2ab ；∴ab ≤14，①对．设ab ＝t ，则0<t ≤14.由y ＝t ＋1t 在(0,1)上是减函数知当0<t ≤14时，y ≥14＋114＝174，②对． ∵(a ＋b )2－(2)2＝a ＋b ＋2ab －2＝2ab －1≤2·14－1＝0. ∴a ＋b ≤2，③对．∵a ＋b ＝1，∴1a ＋12b ＝(1a ＋12b )(a ＋b )＝1＋b a ＋a 2b ＋12≥32＋2b a ＋a 2b ＝32＋2≠22， 故④错． 答案 ①②③8. 解 法一 ∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0，∴2x ＋8y ＝xy .∴8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·(8x ＋2y )＝10＋8y x ＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8y x ＝2x y 2x ＋8y ＝xy即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y2x ＋8y ＝xy 得x ＝12，y ＝6时等号成立∴x ＋y 的最小值为18. 法二 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8，u ＝x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴x ＋y 的最小值为18.9. 解析 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，代入直线方程mx ＋ny ＋1＝0，得(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，又mn >0，所以m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当n m ＝4m n，且2m ＋n ＝1，即n ＝12，m ＝14时，等号成立． 答案 810. 解 设使用x 年的年平均费用为y 万元． 由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x .即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由均值不等式知y ≥1＋210x ·x10＝3， 当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
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3.2均值不等式练习题
1．已知 ，则下列结论不正确的是（
） （A ）a 2<b 2 （B ）ab <b 2
（C ） （D ）|a |+|b |>|a +b |110a b
<<2b a a b
+>D
2．下列结论中，错用算术平均值与几何
平均值不等式作依据的是（
）（A ）x ，y 均为正数，则 （B ）a 为正数，则 （C ）lg x +log x 10≥2，其中x >1 （D ）2x y y x +≥21()()42a a a a
++≥222
2
1x x ++≥B
3．若a>b>0，则下列不等式正确的是（）
（A）（B）（C）（D）2
2
ab a b
ab
a b
+
<<
+
2
2
a b ab
ab
a b
+
<<
+
2
2
ab a b
ab
a b
+
<<
+
2
2
ab a b
ab
a b
+
<<
+
C
4．若a ，b ∈R ，且a ≠b ，在下列式子中，恒成立的个数是（ ）
① a 2+3ab >2b 2；② a 5+b 5>a 3b 2+a 2b 3；
③ a 2+b 2≥2(a －b －1)；④ （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
2
a b b a +>D
5．设a ，b ，c 是区间(0，1)内三个互不相等
的实数，且满足 ， , ，则p ，q ，r 的大小关系是（ ） （A ）q >p >r （B ）q <p <r （C ）r <q <p （D ）q <r <p
log log 2c c a b p +=log 2
c a b q +=1log 22
c a b r +=C
6．已知全集U=R ，集合 ，集合 ，其中a >b >0，则
为（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）(,)2
a b M b +=(,)N ab a =U M N ∩ð(,]b ab (,)2
a b ab +(,)(,)2a b a +−∞+∞∪(,)2
a b b +A
7．在下列函数中，最小值是2的函数为（）
（A）（B）（C）（D）
5
,(,0) 5
x
y x R x
x
=+∈≠
且
1
lg(110)
lg
y x x
x
=+<<
33()
x x
y x R
−
=+∈
1
sin(0)
sin2 y x x
x
π=+<<
C
8．已知0<x <1，则x (1－3x )取最大值时x
的值是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）3
161433
2B
9．设x，y∈R，且x+y=5，则3x+3y的最小值是（）
（A）10 （B）6 （C）4 （D）183 3
6 D
10．已知x >1，y >1，且lg x +lg y =4，那么
lg x ·lg y 的最大值是（
） （A ）2 （B ） （C ） （D ）4214
1D
11．已知函数y =2+3x 2+ ，当x = 时,函数有最
值是 。
227x
12．若x >3，函数 ，当x = 时,函数有最 值是 .
.13
y x x =+−3±小204小5
13．若x >0，y >0，且x +y =1，当x = , , y = 时，xy 的最大值是 。
14．求证： .(a >3)43
a a +−≥7443)343733
a a a a +=−++=−−+(≥12
1214
15．已知函数的解析式49y x x =+（1）若x >0，当x = 时，函数有最 值为 ；（2）若x ∈ ，函数在这个区间上单调 ；当x = 时，函数有最 值为 ；2(0,]523
小12
小递减2
5
685
（3）若x ∈[4，+∞)，函数在这个区间
上单调 ；当x = 时，函数
有最 值为
；递增小374
abc b a c a c b c b a 6)()()(2
22222>+++++例1 已知a,b,c 是不全相等的正数，求证：
()()
0218122≠+=x x x y 例2 求下列函数的最值，并求相应的x 值.
()()
20)38(2<<−=x x x y
例4 某金店有一不准确的天平（臂长不等），顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，然后把两次称得重量的算术平均数作为项链的重量,问这种称法是否合理？
b a
1. 判断下列函数能否用本公式求最值？
()
()081122
≠+=x x x y ()
)sin 7(sin 2x x y −=()
212322+++=x x y 练习一
1122:.222≥++x x 求证
()
()()()04322111>−−=>−=x x x y x x x y 1、已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：
()()abcd
bd ac cd ab 4≥++2、求下列函数的最大（小）值
练习二。