高二数学综合测试(2) - 副本
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当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12=0，
由△＞0，可得4k2＞3，且x1＋x2＝－，x1x2＝，所以
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－1＋，
所以－1＜·＜，
综上·的取值范围为[－1，)．
4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲．50
5．执行右图所示的程序，若输入值x为4，则输出值y为▲．－
14．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)=，圆C的参数方程为(θ为参数)．
（1）求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
解：（1）由ρsin(－θ)=，得ρ(cosθ－sinθ)＝，即x－y＝，
所以X的分布列为
X
200
300
400
P
E(X)＝200×＋300×＋400×＝350．
16．(本小题满分12分)
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边 长为2，AB1BC1．
(1)求BB1的长；
(2)求二面角A1－AB1－C1的余弦值．
解：(1)分别取AB，A1B1中点O，O1，连结CO，OO1，
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为▲．(x－1)2＋y2＝2
12．已知||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，||在t＝t0时取得最小值．若0＜t0＜，则向量与的夹角的取值范围是▲．(，)
13．若不等式|tx3－lnx|≥1对任意x∈(0，1]恒成立，则实数t的取值范围为▲．[，＋∞)
二、解答题：本大题共5小题，共65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）求实数a的值；
（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．
16．(本小题满分12分)
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为2，AB1BC1．
(1)求BB1的长；
(2)求二面角A1－AB1－C1的余弦值．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P(0，2)的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．
①求·的取值范围；
②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
解：(1)由题意解得
所以椭圆M的方程为＋y2＝1．
(2)①当直线l的斜率不存在时，C(0，1)，D(0，－1)，所以·＝－1．
(2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，设cn＝，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
18.(本小题满分15分)
已知数列{an},{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式；
(2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，设cn＝，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
②由题意得，AD：y＝x＋1，BC：y＝x－1，
联立方程组，消去x得y＝，
又4kx1x2＝－3(x1＋x2)，解得y＝－，
故点Q的纵坐标为定值．
18.(本小题满分15分)
已知数列{an},{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式；
6．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，
则函数f(x)的解析式是▲．
(第4题图)
7．已知平面⊥平面，∩＝l，点A∈，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥，给出下列四个判断：
①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥；④AC⊥．
其中一定成立的是▲．（写出所有一定成立的序号）
（1）求实数a的值；
（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．
解：(1)记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A，
P(A)＝＝得a＝3或－(舍)．
（2）X的可能取值为200，300，400．
P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝=．
17．(本小题满分14分)
椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点N(1，)在椭圆M上．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P(0，2)的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．
①求·的取值范围；
②当AD与BC相交于点Q时，试问：
点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出
该定值；若不是，说明理由．
设BB1＝h，∵AB＝2，
∴A(－1，0，0)，B1(1，0，h)，B(1，0，0)，C1(0，，h)．
∴＝(2，0，h)，＝(－1，，h)．
∵AB1BC1，
∴＝0．即2(－1)＋0＋hh＝0．
∴h＝．
即BB1＝．
(2)∵CO平面AA1B1B，即CO平面AA1B．
∴平面A1AB的一个法向量是＝(0，，0)．
化简得x－y－＝0，所以直线l的直角坐标方程是x－y－＝0．
由消去θ得(x－2)2＋y2＝4，
所以圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4．
（2）圆C的圆心为C(2，0)，半径r＝2．
点C到直线l的距离d＝＝．
所以AB的长度＝2＝2＝．
15．(本小题满分12分)
已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为．
金陵中学高二数学理科综合测试(2)
一、填空题：本大题共13小题，每小题5分，共65分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合U＝{x|x2－2x＜3}，P＝{x|－1＜x≤2}，则 UP＝▲．(2，3)
2．若a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a的值是▲．
3．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是▲．
∵正三棱柱ABC－A1B1C1，
∴四边形ABB1A1为矩形，AA1平面ABC．
∵O，O1分别为AB，A1B1中点，∴OO1∥AA1．
∴OO1AB．
∵△ABC为正三角形，O为AB中点，
∴COAB，又AA1平面ABC，CO平面ABC，
∴COAA1．
∴CO平面AA1B1B．
∴COOO1．
分别以OB,，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系．
14．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)=，圆C的参数方程为(θ为参数)．
（1）求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
15．(本小题满分12分)
已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为．
设平面AB1C1的法向量为n＝(a，b，c)．
∵＝(2，0，)，＝(1，，)，
又∵∴解得
不妨取a＝3，则平面AB1C1的一个法向量n＝(3，，－3)．
∴cos＜，n＞＝＝＝．
∴二面角A1－AB1－C1的余弦值是．
1Biblioteka Baidu．(本小题满分14分)
椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点N(1，)在椭圆M上．
8．若cos(－θ)＝，则cos(＋θ)－sin2(θ－)＝▲．－
9．若函数f(x)＝ln(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是▲．(－4，4]
10．已知x、y为正实数，则＋的最小值为▲．
11.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切
4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲．
5．执行右图所示的程序，若输入值x为4，则输出值y为▲．
金陵中学高二数学理科综合测试(2)
一、填空题：本大题共13小题，每小题5分，共65分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合U＝{x|x2－2x＜3}，P＝{x|－1＜x≤2}，则 UP＝▲．
2．若a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a的值是▲．
3．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是▲．
8．若cos(－θ)＝，则cos(＋θ)－sin2(θ－)＝▲．
9．若函数f(x)＝ln(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是▲．
10．已知x、y为正实数，则＋的最小值为▲．
11．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切
6．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，
则函数f(x)的解析式是▲．y＝sin(x＋)
(第4题图)
7．已知平面⊥平面，∩＝l，点A∈，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥，给出下列四个判断：
①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥；④AC⊥．
其中一定成立的是▲．（写出所有一定成立的序号）①②③
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为▲．
12．已知||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，||在t＝t0时取得最小值．若0＜t0＜，则向量与的夹角的取值范围是▲．
13．若不等式|tx3－lnx|≥1对任意x∈(0，1]恒成立，则实数t的取值范围为▲．
二、解答题：本大题共5小题，共65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
由消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12=0，
由△＞0，可得4k2＞3，且x1＋x2＝－，x1x2＝，所以
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－1＋，
所以－1＜·＜，
综上·的取值范围为[－1，)．
4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲．50
5．执行右图所示的程序，若输入值x为4，则输出值y为▲．－
14．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)=，圆C的参数方程为(θ为参数)．
（1）求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
解：（1）由ρsin(－θ)=，得ρ(cosθ－sinθ)＝，即x－y＝，
所以X的分布列为
X
200
300
400
P
E(X)＝200×＋300×＋400×＝350．
16．(本小题满分12分)
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边 长为2，AB1BC1．
(1)求BB1的长；
(2)求二面角A1－AB1－C1的余弦值．
解：(1)分别取AB，A1B1中点O，O1，连结CO，OO1，
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为▲．(x－1)2＋y2＝2
12．已知||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，||在t＝t0时取得最小值．若0＜t0＜，则向量与的夹角的取值范围是▲．(，)
13．若不等式|tx3－lnx|≥1对任意x∈(0，1]恒成立，则实数t的取值范围为▲．[，＋∞)
二、解答题：本大题共5小题，共65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）求实数a的值；
（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．
16．(本小题满分12分)
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为2，AB1BC1．
(1)求BB1的长；
(2)求二面角A1－AB1－C1的余弦值．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P(0，2)的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．
①求·的取值范围；
②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
解：(1)由题意解得
所以椭圆M的方程为＋y2＝1．
(2)①当直线l的斜率不存在时，C(0，1)，D(0，－1)，所以·＝－1．
(2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，设cn＝，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
18.(本小题满分15分)
已知数列{an},{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式；
(2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，设cn＝，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
②由题意得，AD：y＝x＋1，BC：y＝x－1，
联立方程组，消去x得y＝，
又4kx1x2＝－3(x1＋x2)，解得y＝－，
故点Q的纵坐标为定值．
18.(本小题满分15分)
已知数列{an},{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式；
6．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，
则函数f(x)的解析式是▲．
(第4题图)
7．已知平面⊥平面，∩＝l，点A∈，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥，给出下列四个判断：
①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥；④AC⊥．
其中一定成立的是▲．（写出所有一定成立的序号）
（1）求实数a的值；
（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．
解：(1)记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A，
P(A)＝＝得a＝3或－(舍)．
（2）X的可能取值为200，300，400．
P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝=．
17．(本小题满分14分)
椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点N(1，)在椭圆M上．
(1)求椭圆M的方程；
(2)设椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P(0，2)的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．
①求·的取值范围；
②当AD与BC相交于点Q时，试问：
点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出
该定值；若不是，说明理由．
设BB1＝h，∵AB＝2，
∴A(－1，0，0)，B1(1，0，h)，B(1，0，0)，C1(0，，h)．
∴＝(2，0，h)，＝(－1，，h)．
∵AB1BC1，
∴＝0．即2(－1)＋0＋hh＝0．
∴h＝．
即BB1＝．
(2)∵CO平面AA1B1B，即CO平面AA1B．
∴平面A1AB的一个法向量是＝(0，，0)．
化简得x－y－＝0，所以直线l的直角坐标方程是x－y－＝0．
由消去θ得(x－2)2＋y2＝4，
所以圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4．
（2）圆C的圆心为C(2，0)，半径r＝2．
点C到直线l的距离d＝＝．
所以AB的长度＝2＝2＝．
15．(本小题满分12分)
已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为．
金陵中学高二数学理科综合测试(2)
一、填空题：本大题共13小题，每小题5分，共65分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合U＝{x|x2－2x＜3}，P＝{x|－1＜x≤2}，则 UP＝▲．(2，3)
2．若a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a的值是▲．
3．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是▲．
∵正三棱柱ABC－A1B1C1，
∴四边形ABB1A1为矩形，AA1平面ABC．
∵O，O1分别为AB，A1B1中点，∴OO1∥AA1．
∴OO1AB．
∵△ABC为正三角形，O为AB中点，
∴COAB，又AA1平面ABC，CO平面ABC，
∴COAA1．
∴CO平面AA1B1B．
∴COOO1．
分别以OB,，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系．
14．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)=，圆C的参数方程为(θ为参数)．
（1）求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
15．(本小题满分12分)
已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为．
设平面AB1C1的法向量为n＝(a，b，c)．
∵＝(2，0，)，＝(1，，)，
又∵∴解得
不妨取a＝3，则平面AB1C1的一个法向量n＝(3，，－3)．
∴cos＜，n＞＝＝＝．
∴二面角A1－AB1－C1的余弦值是．
1Biblioteka Baidu．(本小题满分14分)
椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点N(1，)在椭圆M上．
8．若cos(－θ)＝，则cos(＋θ)－sin2(θ－)＝▲．－
9．若函数f(x)＝ln(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是▲．(－4，4]
10．已知x、y为正实数，则＋的最小值为▲．
11.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切
4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲．
5．执行右图所示的程序，若输入值x为4，则输出值y为▲．
金陵中学高二数学理科综合测试(2)
一、填空题：本大题共13小题，每小题5分，共65分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合U＝{x|x2－2x＜3}，P＝{x|－1＜x≤2}，则 UP＝▲．
2．若a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a的值是▲．
3．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是▲．
8．若cos(－θ)＝，则cos(＋θ)－sin2(θ－)＝▲．
9．若函数f(x)＝ln(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是▲．
10．已知x、y为正实数，则＋的最小值为▲．
11．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切
6．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，
则函数f(x)的解析式是▲．y＝sin(x＋)
(第4题图)
7．已知平面⊥平面，∩＝l，点A∈，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥，给出下列四个判断：
①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥；④AC⊥．
其中一定成立的是▲．（写出所有一定成立的序号）①②③
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为▲．
12．已知||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，||在t＝t0时取得最小值．若0＜t0＜，则向量与的夹角的取值范围是▲．
13．若不等式|tx3－lnx|≥1对任意x∈(0，1]恒成立，则实数t的取值范围为▲．
二、解答题：本大题共5小题，共65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．