高中数学必修二-第三章_直线与方程(全)

递增
2
k不存在
2 k<0 递增
探究二 斜率公式
已知直线上两点：P1（x1，y1）， P2（x2，y2），
如何求斜率k tan, (其中x1 x2 ) ？
y
P1P2 (x2 x1, y2 y1)
OP P2(x2, y2) P1P2 (x2 x1, y2 y1)
P
P1(x1, y1)
的倾斜程度？
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
复习1：
直线的倾斜角
定义 三要素
斜率
斜率公式
k tan ( 90)
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
范围 0,180 k , k ,
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率来判定这两种位置关系.
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
一、知识内容上
L1// L2 k1=k2 （前提:两条直线不重合,斜率都
存在）
L1⊥
L2
k1k2=
-1 （前提：两条直线都有斜率，
并且都不等于零.）
二、思想方法上
（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系
（2）数形结合的思想
作业: P89练习：1，2. P90习题3.1 A组：8.
y P1(x1, y1)
P2(x2, y2 )
o
x
(3)
P2 (x2, y2 )
o (4)
x
k tan y1 y2 y2 y1 x1 x2 x2 x1
想一想?
1、当直线平行于x轴，上述公式还适用吗？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
k y2 y1 x2 x1
称斜截式。
54
提提问问12：：在那平么面过直一角点坐可标以系画内多，少如条何直确线定？一条 直线呢？
y
l
Q P
o
x
提提问问43：：过这一些点直再线加有什何么异条同件点就？可以确定直线？
直线倾斜角的定义：
当当直直线线l l与与xx轴轴相相交交时时，，我我们们取取xx轴轴作作为为
基基准准，，xx轴轴正正向向的与单直位线向l量向与上直方线向l之向间上所方成向的
表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C升
高
量
A 前进量
B
升高量
坡度= 前进量
设直线的倾斜程度为 k
kAC
BC AB
tan
kAD
BD AB
tan
直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角 a 的正切值叫做
这条直线的斜率. 常用小写字母 k 表示,即
k tan
思考：（1）是否所有的直线都有倾斜角？
l1 设直线上另一点A1(1,y)
A3 A1
O A2
lA44 l2
则：k y 0 1 y 1
1 0
x 所以过原点和A1 (1,1) 画直线即可
说明：也可设其它特殊点
反思小结，画龙点睛
同学们这节课有何收获？
联 倾斜角与斜率 姻 关 系 形与数的联姻
结束语：
华罗庚论数形结合:
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数数缺缺形形时时少少直直觉觉, , 形形少少数数时时难难入入微微;; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系, 切莫分离.
答：成立，因为分子为0，分母不为0，所 以K=0 .
想一想?
2、当直线垂直于x轴，上述公式还适用吗？
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：不成立，因为分母为0.
直线的斜率公式
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1),
P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
B组：3，4.
3.2直线的方程
❖3.2.1《直线的点斜 式方程》
兴山一中高一数学组
2020/6/10
46
教学目的
❖ 使学生掌握点斜式方程及其应用，掌握斜截 式方程及其应用，知道什么是直线在y轴上的 截距。
❖ 教学重点：点斜式方程、斜截式方程及其应 用。
❖ 教学难点：斜截式方程的几何意义。
47
2020/6/10
探究（一）：两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等，这两条直线的位置关系如何？ 反之成立吗？
y
l1
l2
α1 α2
O
x
思考2:若两条不同直线的斜率相等，这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？
结论1: 前提:两条直线不重合
L1// L2 直线倾斜角相等
L1// L2 k1=k2 或k1，k2都不存在
已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0，
b），求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l的直线方程： (0,b)
y - b =k （ x - 0）
即 y = k x (+2) b 。
O
x
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴
上的截距。
方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b
确定，所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标， 试判断直线AB与CD的位置关系. （1）A（2，3）， B（－4，0），
C（－3，l）, D（－l，2）； （2）A（－3，2），B（－3，10），
C（5，－ 2 ）, D（5，5）.
（3）A（－6，0），B（3，6）， C（0，3）， D（6，－6）
的角单位叫向做量直之线间的所倾成斜的角角. 叫做直线的倾斜角.
y
倾斜l 角的向量法定义
oP
x
标出下列直线的倾斜角
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
l
y
p
l
o
x
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
看图说话:直线倾斜角的范围
[0, )
辨一辨:你认为下列说法对吗？ 1、在平面直角坐标系内，每一条直线都有
51
y
y1
l
O
x
y l
O x1 x
2020/6/10
点斜式方程的应用：
例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角 α=450，求这条直线的方程，并画出图形。
解：这条直线经过点P1（-2，3）, 斜率是 k=tan450=1
代入点斜式得
y
y－3 = x + 2
P1°°5
-°5 O
x
52
2020/6/10
我们可以选择有困难绕过去，有障碍 绕过去，也许这样做事情更加顺利!
思考题：若直线的斜率k满足：3 k
3 3
,
则直线的倾斜角的范围是
．
[0, ) [2 , )
63
y
3
3
0
/2
x
3
变式：若 ( , 5 ) ，则K的取值范围___
36
(, 3 ) U( 3, ) 3
思考题： 为什么利用正切函数来刻画直线
斜率为0 倾斜角为0 .
变式2：点B的坐标改为（3，1），此时直线AB的 斜率和倾斜角分别是多少？
斜率不存在 倾斜角为 .
2
学以致用
已知 a、b、m 都是正实数，并且 a b，
a 求证：b
m m
a b
.
y
证明 : 如图，在平面直角坐标系内，
设点 A m,m, 点 Bb, a ，
由m>0和0<a<b知点A在
（4）A（ 3 ，4）， B（3，100）， C（－10，40）, D（10，40）.
例2.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系， 并证明你的结论。
Y
Q P
B
A X
例3 已知四边形ABCD的四个顶点 分别为A（0，0），B（2，－1）， C（4，2），D（2，3），试判断四 边形ABCD的形状，并给出证明.
第三章 直线与方程
❖复习课
3.1直线的倾斜角与斜率
3.1.1直线的倾斜角和斜率
开场白
论数形结合:
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数缺形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系, 切莫分离.
华罗庚
玩玩看
小游戏：黄金矿工
想想看
游戏成功过关的秘诀是什么？
直线的点斜式方程。 50
2020/6/10
1、直线的点斜式方程：
(1)、当直线l的倾斜角是00时， tan00=0,即k=0，这时直线l与 x轴平行或重合 l的方程：y-y1=0 或 y=y1
(2)、当直线l的倾斜角是900时， 直线l没有斜率，这时直线l与y 轴平行或重合 l的方程：x-x1=0 或 x=x1
练习
1、写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过A(3,1), 斜率是 2
(2)经过B( 2,2), 倾斜角是 300
(3)经过C(0,5), 倾斜角是 00
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角：
(1)y-2 = x-1
(2) y 2 3x 3 53
2020/6/10
2、直线的斜截式方程：
49
2020/6/10
1、直线的点斜式方程：
已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率 是k，求直线l的方程。