2005年上海市十校(高三)数学测试-文科
上海市近四年(2005-)高考数学试题分类汇编——立体几何
上海市近四年（2005-2008）高考数学试题分类汇编——立体几何一．填空题：只要求直接填写结果1（2005年11）有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。
用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________。
解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242a +28三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242a +32边长为a 3的边重合在一起，表面积为242a +36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a +48最小的是一个四棱柱，这说明 201248122824222<⇒+<+a a a 3150<<⇒a 2（2006春8） 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .316 3（2006年10）如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ；解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；4（2007年10）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件： ．21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）5（2008春8）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V =16+二．选择题：每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，6（2005春13） 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是 （ ） （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥.（C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .[答] ( D ) 7（2006年14）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件；解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： 1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”； 必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”； 故选（A ）三．解答题：解答下列各题必须写出必要的步骤.8（2005春19） (14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60.（1）证明：BC PA ⊥；（2）求底面中心O 到侧面的距离.[证明]（1）（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . …… 4分 ∴ BC PA ⊥. …… 6分 [解]（2）如图， 由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就是点O 到侧面的距离.…… 9分设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上，∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.h BC h OD 4,32=∴=, …… 11分∴ 2234)4(43h h S ABC ==∆， ∵ 3233823431372h h h =⋅⋅=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3.…… 14分9（2005年17）（本题满分12分）已知直四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） [解法一]由题意AB//CD ，BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=AC ， 又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ， 得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，在.17173arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中∴异而直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图，以D 为坐标原点，分别以AD 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系.则C 1（0，1，2），B （2，4，0） ),2,3,2(1--=∴BCBC 与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，则,17173arccos .17173||||cos 11===θθCD BC ∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos10（2006春17） (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解法一] 连接D A 1，D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分 连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ， ……6分则DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠259552322525=⋅⋅-+=. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos .……12分 [解法二] 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. ……2分则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、， 得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=B A . ……6分设A 1与B 1的夹角为θ，则259cos =θ， ……10分 ∴ B A 1与C B 1的夹角大小为259arccos， 即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos. ……12分 11（2006年19）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线 AC 与BD 相交PADO E于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用 反三角函数值表示）．[解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO, 于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=31×23×3=2. （2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3).E 是PB 的中点,则E(21,0,23) 于是=(23,0, 23),=(0, 3,3).设AP DE 的夹角为θ,有cosθ=4233434923=+⋅+,θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42； 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF.由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成 角(或它的补角)，在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt △POA 中，PA=6，则EF=26. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42CB1C 1B1AA∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos42. 12（2007春 16） (12分)如图，在棱长为2的正方体D C B A ABCD ''''-中，F E 、分别是B A ''和AB 的中点，求异面直线F A '与CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）.[解法一] 如图建立空间直角坐标系. …… 2分 由题意可知)0,1,2(),2,1,2(),0,2,0(),2,0,2(F E C A '. )2,1,2(),2,1,0(-=-='∴CE F A . …… 6分 设直线FA '与CE 所成角为θ，则35355cos =⋅=θ. ……10分 35a r c c o s =∴θ，即异面直线F A '与CE 所成角的大小为35arccos. …… 12分 [解法二] 连接EB ， …… 2分BF E A //' ，且BF E A ='，FBE A '∴是平行四边形，则EB F A //'， ∴ 异面直线F A '与CE 所成的角就是CE 与EB 所成的角. …… 6分 由⊥CB 平面A B AB ''，得BE CB ⊥. 在Rt △CEB 中，5,2==BE CB ，则552t a n=∠C E B ， …… 10分 ∴ 552arctan=∠CEB . ∴ 异面直线F A '与CE 所成角的大小为552arctan. …… 12分 13（2007年16）（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB ．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ，51t a n 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． 即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan ．解法二： 由题意，可得 体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，．设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与的夹角为ϕ， 则116cos 6A B n A Bnϕ==-66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin． 14（2008春20）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）； （2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O 分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）.[解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH./由题意可得，3BH =. 设细钢管上下两段之比为λ. 已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=.303,13BH OH λλ=∴=+，解得，0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC =设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH == …… 10分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =.设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则 560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '==≈， ∴ 对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . 14分。
上海市近四年(2005-)高考数学试题分类汇编——解析几何
上海市近四年（2005-2008）高考数学试题分类汇编——解析几何一．填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1 ( 2005春季7 ) 双曲线116922=-y x 的焦距是 .65 2 (2005年3) 直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________。
解答：设点P 的坐标是(x,y)，则由4=∙知04242=-+⇒=+y x y x3 (2005年5) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。
解答：由双曲线的渐近线方程为x y 3±=，知3=ab，它的一个焦点是()0,10，知1022=+b a ，因此3,1==b a 双曲线的方程是1922=-y x 4 (2005年6) 将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
解答：4)1(22=+-y x5 (2006春季5) 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 . )10,0(6 (2006春季11) 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 4.7 (2006年2) 已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ；解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：d ； 8 (2006年7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；解：已知222222242,161164(b a b c y x a a b c F =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求； 9 (2006年8)在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ；解：如图△OAB 中，554,5,2(())366OA OB AOB ππππ==∠=---=1545sin 526AOB S π∆⇒== (平方单位)；10 (2006年11) 若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ． 解：作出函数21,0||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；11 (2007春季6) 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x . 5.12 (2007春季7) 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则实数=m . 2. 13 (2007年2) 若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 32-14 (2007年8) 以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ．)3(122+=x y15 (2007年11) 已知P 为圆1)1(22=-+y x 上 任意一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =．在右侧的坐标系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大致图形为16 (2008春季7) 已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = 5.17 (2008春季12) 已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=.设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是32二．选择题:每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.18 (2005年15) 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解答：x y 42=的焦点是(1，0)，设直线方程为0)1(≠-=k x k y (1)将(1)代入抛物线方程可得0)42(2222=++-k x k x k ，x 显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是33243542222±=⇒=⇒=+k k k k ，选B 19 (2006春季13) 抛物线x y 42=的焦点坐标为 ( B )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.20 (2006春季15) 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( A ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.21 (2008春季14) 已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ D ）（A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8. 三．解答题:解答下列各题必须写出必要的步骤.22 ( 2005春季22) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 第3小题满分5分.（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.[解]（1）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴124422=++bb ，解得 42=b 或22-=b （舍）， 由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x . …… 5分 [证明]（2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y ，解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2k a b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+，∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分[解]（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心. …… 18分23 (2005年19)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解]（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则 由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x 设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d 由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤- 24 (2006春季20) (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D .观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ [解]（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a . 71-=∴a .……4分 ∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x得 036742=--y y ， 4=y 或49-=y （不合题意，舍去）.4=∴y . ……9分 得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分 4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分25 (2006年20)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴OB OA ⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3, 直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2， 如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).26 (2007春季17. (14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为316，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为316，求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明：(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. (ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分. [解] 点)1,2(到直线043=+y x 的距离为243|1423|22=+⋅+⋅. …… 4分“逆向”问题可以是：(1) 求到直线043=+y x 的距离为2的点的轨迹方程. …… 10分 [解] 设所求轨迹上任意一点为),(y x P ，则25|43|=+y x ， 所求轨迹为01043=-+y x 或01043=++y x . …… 14分 (2) 若点)1,2(P 到直线0:=+by ax l 的距离为2，求直线l 的方程. …… 10分 [解]2|2|22=++b a b a ，化简得0342=-b ab ，0=b 或b a 34=，xyxy 所以，直线l 的方程为0=x 或043=+y x . …… 14分 意义不大的“逆向”问题可能是：(3) 点)1,2(P 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为243|1423|22=+⋅+⋅，所以点)1,2(P 是到直线043=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 (4) 点)1,1(Q 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为25743|1413|22≠=+⋅+⋅， 所以点)1,1(Q 不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 (5) 点)1,2(P 是不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为21322125|11225|22≠=+⋅+⋅， 所以点)1,2(P 不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 27 (2007春季18)(14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点 分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()1,2M.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.[解] (1) [解法一] x l ⊥ 轴，2F ∴的坐标为()0,2.…… 2分由题意可知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,2,1122222b a ba 得 ⎩⎨⎧==.2,422b a ∴ 所求椭圆方程为12422=+y x . …… 6分 [解法二]由椭圆定义可知a MF MF 221=+. 由题意12=MF ，121-=∴a MF . …… 2分又由Rt △21F MF 可知 ()122)12(22+=-a ，0>a ，2=∴a ，又222=-b a ，得22=b . ∴ 椭圆C 的方程为12422=+y x . …… 6分 (2)直线2BF 的方程为2-=x y . …… 8分由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,124,222y x x y 得点N 的纵坐标为32. …… 10分又2221=F F ，3822322211=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∴∆BN F S . …… 14分 28 (2007年21)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y轴的交点． （1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．解：（1）(()012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为 2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c +=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩， 得122222=+⎪⎭⎫⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上．当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．29 (2008春季18. (本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.[解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分∴ 点F 到直线AB 的距离为=. …… 12分30 (2008春季22)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.[证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x b x b +-=，得z b =-， …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立， ∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分()240b c ∆=-<，222()b m c b r ++-=， (,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C上.…… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一. [解]（3）表一。
2005年高考上海文科数学试题及答案
Unit 5 The power of nature单元同步测试I. 单项选择1. In the city of London, you can see fantastic modern architectures and antique buildings______each other, ______ a sharp contrast between modern and ancient architectural styles.A. alongside; makingB. along; to makeC. aside; makingD. together with; having made2. The diagram on the wall shows clearly the distribution of volcanoes in the region and______the _____ones ________.A. how long; eruptB. how much; break outC. how often; eruptD. how frequent; shoot3. In order to evaluate the effect that the computer has ______ people’s life, they have handedout questionnaires to more than one thousand young citizens, all of ______picked out at random.A. on; whomB. for; themC. in; whomD. on; them4. The lava from the volcano eruption was more than enough to bury the small town that ______at the foot of it. The town would have _______ heavy losses if preparations had not been made.A lay; suffered B. lies; suffered from C. lied; suffered D. laid; suffered from5. Hearing the news that he had been ______as general manager of the big company, he ______with excitement and joy, forgetting that he was showing some visitors around.A. named; broke outB. appointed; eruptedC. made; was filledD. chosen; was full6. Equipped with protective equipment like special suits, helmets, boots, gloves and masks, theyvolcanologists made their _____the volcano _______ the continual fountaining up and flowing down of lava, hoping to get near to the edge of crater and study the eruption more closely.A. ways to; in spite ofB. way to; despiteC. way up; in spite ofD. ways up; despite7. Just as the candidate _______ to deliver his a campaign speech _____ he was informed thathis qualification had been canceledA. was about; whenB. was going to; whenC. would; whenD. was on the point; as8. Hard as a teacher may try, he can’t ______to make all his students make a difference in study,letting alone in life.A. ensureB. be sureC. guaranteeD. insure9. Nothing in the world is ______ and everything is ________. So be _______ when saying― You are absolutely right or absolutely wrong‖.A. absolute; creative; carefulB. complete; incomplete; cautiousD. steady; changeable; careful D. absolute; relative; cautious10. The hurricane _______the city _______surprise, after which little remained undamaged______itA. caught; by; ofB. took; by; ofC. seized; in; inD. put; in; of11. His appreciation of potential dangers of writing about the bad sides of society didn’t stop thenovelist from writing his novels, exposing abuses of powers, corruption of high offic ials and so on, which _______ great appreciation from a large number of readers.A. aroseB. raisedC. arousedD. rose out12. A wave of fear and anxiety swept over the mother when she heard over the radio that atyphoon up to 14 scales was _______ to the sea area where her husband and her three sons were fishing and she became extremely _______ their safetyA. on its way; anxious aboutB. made its ways worried aboutC. in its way; panic aboutD. by its way; serious about13. Half way up the mountain and ready to shoot at the wolf the hunter had been running after,he heard something sounding like a thunder coming out of the mountain from the top and then he saw something red ________into the sky. Only then did he realize that it was volcano eruption; he got into ______ and began to run downhill like mad for life.A. burst up; anxietyB. shooting up; a panicC. coming up; panicD. erupting up; trouble14. People’s character _______ greatly from one to another, which accounts for the ______ofdifferent behaviors in the same situation, without which behaviors would become uniformand the world would be less colorful.A. changes; variety;B. alters; diversityC. varies; differencesD. varies; diversity15. Specialists came to _____ the loss that was caused by the big fire, in which too manybuildings were burned to the ground and too many people were burned to death. Theyworked out a number but the actual number might be _______A. value; many moreB. evaluate; much moreC. assess; much largerD. inspect; many bigger16. _________the college girl was enjoying the rainbow after the thunderstorm when she felldown from the balcony of a six-storey building and got killed.A. It is reported thatB. As it is reported,C. As is reported thatD. It is reported by17. I w as so _______ in my reading of the documents about our company’s expansion plan inmy uncle’s office that I was ________ of the danger that was coming near.A. concentrated; unawareB. devoted; unconsciousC. buried; unconsciousD. employed; unnotable18. With his head covered with ashes, sweat streaming down his face and his whole bodytrembling, I ______he must be feeling extremely uncomfortable and he ________ in somesort of accident.A. dare say; must have been caughtB. bet; must have been caughtC. must say; must be caughtD. am sure; me caught19. _______property together with many other things, life is more precious, so we should never______and try whatever we can to protect it.A. Compared to; risk itB. Compared with; run risk of itC. Comparing it with; put it on riskD. Comparing; run the risk at it20. A ____ his office window ____ a whole view of the Washington Monument and the LincolnMemorial.A. look through; offersB. glance through; providesC. glimpse through; suppliesD. glance through; offers21. ---What do you think of the little girl’s singing on the Walk of Fame, a pro gram on CCTVthat appeals to millions and millions of talented people who have unique gifts for certain performances.----_______ and everybody present was _______.A. Impressing; impressedB. Impressed; impressiveC. Impressive; impressedD. Impressive; impressing22. One feature that is ______ the program is that the file manager has a word processor thatunderstands Englishlanguage database queries(查询) and that it combines four powerful productivity products in a single package.A. essential toB. vital toC. unique toD. valuable to23. You can’t imagine what a fantastic _______ it is to see a vast golden field of crops ______ inthe golden sun, with wind blowing gently, birds singing sweetly in the trees and people harvesting crops happily.A. scenery; taking a bathB. sight; bathingC. view; having a bathD. scene; bathed24. _______to get his audience who seemed to be bored interested in what he was talking about,the professor made a ______ of himself by saying that they would get a present each if they _____. He lost a lot of money as a result.A. In his effort; fool; wereB. With his effort; mistake; didC. In his effort; mistake; wereD. In his effort; fool; did25. The _______expression on the girl’s face suggested that she was _______ the ______toys Ibrought her.A. exciting; anxious for; excitingB. excited; eager for; excitingC. excited; longing for; excitedD. exciting; hoping for; excitedII 完形填空I close my eyes and can still hear her—the little girl with a ___26___ so strong and powerful we could hear her halfway down the block. She was a(n) ___27___ peasant who asked formoney and ___28___ gave the only thing she had——her voice. I paused outside a small shop and listened. She brought to my mind the ___29___ of Little Orphan Annie. I could not understand the words she ___30___, but her voice begged for ___31___. It stood out from the noises of Arbat Street, pure and impressive, like the chime of a bell. She sang ___32___ an old-style lamp post in the shadow of a building, her arms extended and ___33___ thrown back. She was small and of unremarkable looks. Her brown hair___34___ the bun(发髻) it had been pulled into, and she occasionally reached up to ___35___ a stray piece from her face. Her clothing I can’t recall. Her voice, on the other hand, is ___36___ imprinted in my mind.I asked one of the translators about the girl. Elaina told me that she and hundreds of others like her throughout the ___37___ Soviet Union add to their families’ income by working on the streets. The children are unable to ___38___ school, and their parents work fulltime. These children know that the consequence of an ___39___ day is no food for the table. Similar situations occurred during the Depression(萧条) in the United States, but those American children were___40___ shoeshine boys of the ___41___. This girl was real to me.When we walked past her I gave her money. It was not out of pity ___42___ rather admiration. Her smile of ___43___ did not interrupt her singing. The girl watched us as we walked down the street. I know this because when I looked back she smiled again. We ___44___ that smile, and I knew I could never forget her courage and ___45___ strength.26. A. will B. strength C. voice D. determination27. A. American B. Chinese C. Japanese D. Russian28. A. in return B. in turn C. by hand D. in silence29. A. voice B. image C. story D. looks30. A. said B. murmured C. used D. sang31. A. attention B. love C. help D. mercy32. A. across B. from C. under D. from underneath33. A. hands B. feet C. head D. face34. A. fell out B. escaped C. did up D. tied to35. A. remove B. tear C. cut off D. dress36. A. never B. permanently C. occasionally D. sometimes37. A. latter B. rich C. former D. great38. A. attend B. finish C. leave D. enjoy39. A. unhappy B. unsatisfied C. unusual D. unsuccessful40. A. faced B. real C. faceless D. visible41. A. twenties B. thirties C. forties D. teens42. A. and B. while C. but D. or43. A. contempt B. pity C. bitterness D. thanks44. A. stopped B. shared C. won D. exchanged45. A. full B. inner C. brave D. fightingIII 阅读理解第一节：阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。
数学2005年高考文科试题及解析
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 解：T=22π=π,选(B)2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 解：U C Q ={1,2,},故()UPC Q ={1,2},选(A)3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)32解：点()1,1-到直线10x y -+=的距离2=,选(D) 4．设()1f x x x =--，则12f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( ) (A) 12- (B)0 (C)12(D) 1解：1()2f =11|1|||22--=0, 12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=f(0)=1,选(D)5．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10解：()51x -中x 3的系数为10,()61x --中x 3的系数为-20,∴()()5611x x ---的展开式中x 3的系数为-10,选(C)6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37 解：取到号码为奇数的频率是1356181153100100++++==0.53,选(A)7．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6解：由a b ⊥得a b ⋅=0,即(x-5)·2+3×x=0解得x=2,选(C) 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)1解：由题意,得210ax x -+=有两个等实根,得a=14,选(B) 10．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x yx y y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2005年高考上海文科数学试题及答案
初二数学期末考试参考答案二．．角形是等腰三角形 15、a ＜-1且a ≠-2 16、14 17、13- 18、10.5 三．19．（本题3+1分）⑴x=2,经检验x=2是原方程的增根，原方程无解 （本题4分） ⑵11a + 20．（本题4+4分） 原式=x 2+1 x 不能取1或-1，其他皆可21．（本题4+4分）有两种情况画图略（1）B ′（2，0）、C ′（2，1）、D ′（1，1） （2）B ′（0，0）、C ′（0，-1）、D ′（1，-1）22. （本题8分）∵BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2又∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180° ∴AB ∥CD23．（本题8分）解：（1）12………………………………………………………………2分 （2）树形图：第一张牌上的数 2 4 5 5第二张牌上的数 4 5 5 2 5 5 2 4 5 2 4 5两张牌的数字和 6 7 7 6 9 9 7 9 10 7 9 10····································· 6分 ····································· 6分 所以P （和为偶数）41123==，所以不公平………………………………………………8分 24．（本题2+4+4分）△ABE ∽△CBE,△ABC ∽△DBE 。
2005年高考文科数学试题及答案(上海)
2005年全国高等学校招生统一考试数学（上海·文）试题考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分 150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数f(x)=log 4(x+1)的反函数f 1-(x)= ． 2．方程4x +2x -2=0的解是 ． 3．若x,y 满足条件 x+y ≤3y ≤2x ,则z=3x+4y 的最大值是 ．4．直角坐标平面xoy 中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OA OP ⋅=4。
则点P 的轨 迹方程是 ．5．函数 y=cos2x+sinxcosx 的最小正周期T= ．6．若cos α=71,α∈(0.2π),则cos(α+3π)= ．7．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是 ．8．某班有50名学生，其中 15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 ．(结果用分数表示)9．直线y=21x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ．10．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB=5，BC ＝7，则 AC ＝ ．11．函数f(x)=sinx+2x sin ,x ∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是 ．12．有两个相同的直三棱柱,高为a2,底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a 的取值范围是 ．二．选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分．13．若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是[答]( )(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值14．已知集合M={x │1-x ≤, x ∈R},P={x │15+x ≥1, x ∈Z},则M ∩P 等于 [答]( )(A){x │0<x ≤3, x ∈Z} (B) {x │0≤x ≤3, x ∈Z} (C) {x │-1≤x ≤0, x ∈Z} (D) {x │-1≤x<0, x ∈Z} 15．条件甲:“a>1”是条件乙:“a a >”的[答]( )(A)既不充分也不必要条件 (B) 充要条件(C) 充分不必要条件 (D)必要不充分条件16．用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄a in ,记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in , 1 3 2i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2⨯12-3⨯12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b 1+b 2+┄+b 120等于 3 1 23 2 1[答]( ) (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17．（本题满分12分）已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,AB=4,AD=2.B 1D 与平面ABCD 所成角的大小为60°,求异面直线B 1D 与MN 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]18．（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位)[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,22+=(i 、分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2-x-6.(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数)(1)(x f x g +的最小值. [解]20．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解]21．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.[解]22．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.对定义域分别是Df 、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),f(x)·g(x) 当x∈Df 且x∈Dg规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且x∉D gg(x) 当x∉D f且x∈D g(1)若函数f(x)=-2x+3,x≥1; g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的最大值;(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.[解]上海数学(文史类)参考答案 一.1. 4x-1 2. x=0 3. 11 4. x+2y-4=0 5. π 6. -14117.1208022=+y x 8.739. x+2y-2=0 10. 3 11. 1<k<3 12. 0<a<315二.13. A 14. B 15. B 16.C 三.17. [解]联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN, ∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD,∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°. 在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215, 又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C, 在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DC CB DC, ∴∠DB 1C=arctan21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan 21.18. [解]原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.19. [解](1)由已知得A(kb-,0),B(0,b),则AB ={k b ,b},于是k b =2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4, )(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 20. [解](1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n,令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21. [解](1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p=5, ∴p=2.∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43,则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54,∴N 的坐标(58,54).(4)由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离; 当m=1时, AK 与圆M 相切; 当m<1时, AK 与圆M 相交.22. [解](1)h(x)= (-2x+3)(x-2) x ∈[1,+∞) x-2 x ∈(-∞,1)(2) 当x ≥1时, h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x 2+7x-6=-2(x-47)2+81 ∴h(x)≤81;当x<1时, h(x)<-1,∴当x=47时, h(x)取得最大值是81(3)令 f(x)=sinx+cosx,α=2π则g(x)=f(x+α)= sin(x+2π)+cos(x+2π)=cosx-sinx,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x. 另解令f(x)=1+2sinx, α=π,g(x)=f(x+α)= 1+2sin(x+π)=1-2sinx,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sinx)( 1-2sinx)=cos2x.。
2005年全国高考文科数学试题及答案(卷Ⅲ)
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分. 1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．284．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为 （ ）A ．16V B ．14V C ．13V D ．12V 5．设713=x，则（ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为（ ）A ．43 B ．53C D 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A B C ．2 D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数A ．6EB ．72C ．5FD ．B0第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分，共（16分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人. 14．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= .15．曲线32x x y -=在点（1，1）处的切线方程为 .16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值是 三.解答题：共74分. 17．(本小题满分12分)已知函数].2,0[,2sin sin 2)(2π∈+=x x x x f 求使()f x 为正值的x 的集合.18．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
高考上海文科数学试题及答案
2005年高考文科数学上海卷试卷及答案一、填空题 <本大题满分 48分）本大题共有12题，只需求直接填写结果，每个空格填对得4分，不然一律得零分1.函数的反函数=__________2.方程的解是__________3.若知足条件，则的最大值是__________4.直角坐标平面中，若定点与动点知足，则点P的轨迹方程是 __________5.函数的最小正周期T=__________6.若，，则=__________7.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是__________8.某班有 50名学生，此中15人选修 A 课程，此外 35人选修 B课程从班级中任选两名学生，他们是选修不一样课程的学生的概率是__________ <结果用分数表示）9.直线对于直线对称的直线方程是__________10.在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________11.函数的图象与直线有且仅有两个不一样的交点，则的取值范围是__________12.有两个同样的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在全部可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________22a4a3a a4a3a 5a5a二、选择题 <本大题满分 16分）本大题共有4题，每题都给出代号为 A.B.C.D 的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，不选 .选错或许选出的代号超出一个<无论能否都写在圆括号内），一律得零分13.若函数，则该函数在上是 < ）A ．单一递减无最小值B ．单一递减有最小值C ．单一递加无最大值D ．单一递加有最大值14.已知会合， ，则 等于< ）A ．B ．C ．D ．15.条件甲： “”是条件乙： “”的 < ）A ．既不充足也不用要条件B ．充要条件C ．充足不用要条件D ．必需不充足条件16.用 个不一样的实数可获得 个不一样的摆列，每个摆列为一行写成一个行的数阵对第 行 ，记，比如：用 1， 2，3可得数阵如图，因为此数阵中每一列各数之和都是12，因此，，那么，在用1， 2， 3，4， 5形成的数阵中，等于< ）A ．— 3600B ．1800C ．—1080D ．—720 三、解答题 <本大题满分 86分）本大题共有 6题，解答以下各题一定写出必需的步骤17.<此题满分 12分）已知长方体中， M.N 分别是 和BC 的中点，AB=4 ， AD=2 ， 与平面 ABCD 所成角的大小为，D 1C 1求异面直线 与 MN 所成角的大小<结果用反三角函数值A 1B 1表示）MDCANB18.<此题满分 12分）在复数范围内解方程 < 为虚数单位）19.<此题满分 14分）此题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分已知函数的图象与轴分别订交于点 A.B ，<分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数<1）求的值；<2）当知足时，求函数的最小值20.<此题满分 14分）此题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分假定某市 2004 年新建住宅面积400万平方 M ，此中有 250万平方 M 是中廉价房估计在今后的若干年内，该市每年新建住宅面积均匀比上一年增添8% 此外，每年新建住宅中，中低价房的面积均比上一年增添50万平方 M 那么，到哪一年末，<1）该市历年所建中廉价层的累计面积<以 2004年为累计的第一年）将初次许多于475 0万平方 M ？<2）当年建筑的中廉价房的面积占该年建筑住宅面积的比率初次大于85%？21.<此题满分 16分）此题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分已知抛物线的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4.且位于轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5 过 A 作 AB 垂直于轴，垂足为 B ， OB的中点为 M<1）求抛物线方程；<2）过 M作，垂足为 N，求点 N的坐标；<3）以 M为圆心， MB 为半径作圆 M ，当是yB A轴上一动点时，议论直线AK 与圆 M 的地点关系MNo F x22.<此题满分 18分）此题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 8分，第 3小题满分 6分对定义域是.的函数.，规定：函数<1）若函数，，写出函数的解读式；<2）求问题 <1 ）中函数的值域；<3）若，此中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明2005年高考文科数学上海卷 试卷及答案参照答案1. 4 -12. x=03. 114. x+2y-4=05. π6. -7.8. 9. x+2y-2=0 10. 3 11. 1<k<312. 0<a<解读：① 拼成一个三棱柱时，只有一种一种状况，就是将上下底面对接，其全面积为② 拼成一个四棱柱，有三种状况，就是分别让边长为所在的侧面重合，其上下底面积之和都是22，但侧面积分别为：a4a3a a4a 3a5a5a，明显，三个是四棱柱中全面积最小的值为：由题意，得解得13. A 14. B 15. B17. [ 解] 联络 B C, 由分别是 BB 和 BC 的中点 , 得 BC ∥MN,1 1 1∴∠ DBC 就是异面直线 B D 与 MN 所成的角 .11联络 BD,在 Rt △ABD 中 , 可得 BD=2 , 又 BB 1⊥平面 ABCD, ∠ B 1DB 是 B 1D 与平面 ABCD 所成的角 ,∴∠ B 1DB=60° .D 1C 1在 Rt △ B 1BD 中, B 1B=BDtan60° =2,B 1A 1又 DC ⊥平面 BB 1C 1C, ∴ DC ⊥ B 1C,在 Rt △DB 1C中, tan∠DB 1C=,M∴∠ DB1C=arctan.即异面直线B1D 与 MN所成角的大小为arctan.18. [ 解 ] 原方程化简为,设 z=x+yi(x.y ∈R>, 代入上述方程得22x+y +2xi=1-i,∴x2+y2=1 且 2x=-1, 解得 x=-且 y=±,∴原方程的解是 z=-±i.19. [解 ](1> 由已知得 A(,0>,B(0,b>, 则={,b}, 于是 =2,b=2. ∴ k=1,b=2.(2>由 f(x>> g(x>,得 x+2>x2-x-6,即 (x+2>(x-4><0,得 -2<x<4,==x+2+-5因为 x+2>0, 则≥ -3,此中等号当且仅当x+2=1, 即 x=-1 时建立∴的最小值是 -3.20. [解](1>设中廉价房面积形成数列{a n}, 由题意可知 {a n} 是等差数列 ,此中 a1=250,d=50,则 S n=250n+=25n2+225n,令 25n2+225n≥ 4750,即 n2+9n-190 ≥ 0, 而 n 是正整数 , ∴ n≥ 10.∴到 2018 年末 , 该市历年所建中廉价房的累计面积将初次许多于4750 万平方 M.(2> 设新建住宅面积形成数列 {b n}, 由题意可知 {b n} 是等比数列 , 此中 b1=400,q=1.08,则 b n=400· (1.08> n-1 .n n, 有 250+(n-1> · 50>400· (1.08>n-1· 0.85.由题意可知 a >0.85 b由计算器解得知足上述不等式的最小正整数n=6.到 2009 年末 , 当年建筑的中廉价房的面积占该年建筑住宅面积的比率初次大于85%.21. [ 解 ](1> 抛物线 y2=2px 的准线为 x=-,于是 4+=5, ∴p=2.∴抛物线方程为y2=4x.(2> ∵点 A 是坐标是 (4,4>,由题意得B(0,4>,M(0,2>,又∵ F(1,0>,∴ k FA=。
2005年高考上海卷数学文试题与解答word版
第 1 页 共 6 页2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f-=__________。
2、方程0224=-+xx的解是__________。
3、若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+xy y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________。
4、直角坐标平面x o y 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________。
5、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________。
6、若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________。
7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________。
8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程。
从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________。
（结果用分数表示）9、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________。
10、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________。
11、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。
12、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。
用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
2005年高考上海综合能力测试试题及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）综合能力测试（文科使用）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
全卷共12页，满分为150分。
考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（共54分）考生注意1．答第Ⅰ卷前，考生务必在试卷和答题卡上都用钢笔或圆珠笔清楚填写姓名、准考证号、校验码，并用铅笔在答题卡上正确涂写准考证号和校验码。
2．第Ⅰ卷（1—18小题）为单选题，由机器阅卷，答案必须全部涂在答题卡上。
考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。
注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将选项用橡皮擦去，重新选择。
答案不能写在试卷上，写在试卷上一律不给分。
一、2005年4月，温家宝总理访问印度。
期间公布了中印全面经济合作的五年规划，确立了双方在经贸领域的奋斗目标。
1．中印经济合作又被称为“世界工厂”与“世界办公窒”的结合。
联系右图分析，相对于印度，中国的优势产业是（）A．畜牧业B．制造业C．服务业D．种植业2．右为“中印双边贸易额及其发展趋势”图。
促进中印贸易不断发展的因素是（）①两国优势产品在国际市场份额相近②两国产品有着非常强的互补性③两国之间市场开放程度逐渐提高④两国的政体及经济体制相同A．①②B．②③C．③④D．①④3．中、印两国同属发展中国家，进出口商品结构相近，在国际贸易领域存在一定竞争，但加强经济合作将会给两国带来更大的利益。
为了实现“双赢”的目标，中国政府主张，双方应和平共处，互利合作（）A．结为联盟B．科技创新C．共同发展D．开放市场二、2005年3月，本市一名仅19个月的女婴，在食用果冻时不幸被果冻噎住，导致脑缺氧而死。
此事引发社会各界对小杯果冻食用安全的高度重视。
4．阅读有关报道，可得出的结论是（）1997年11月，昆明一名幼儿因吸食果冻，窒息死亡。
2000年1月，江苏省灌云县伊山乡一名周岁男孩因果冻卡住气管致死。
2000年3月，大连市一名8个月大的幼儿在被喂食果冻时，窒息死亡。
2005年高考数学试题全集32套
2005年全国高考数学试题全集（3）(10套)目录2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） (2)2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (15)2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷） (25)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷） (34)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（重庆卷） (46)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（浙江卷） (57)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（浙江卷） (68)2005年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷） (77)2005年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷） (86)2005年上海市普通高等学校春季招生考试 (94)2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅ B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④ 5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2x x e e y --= D ．2xx e e y ---=6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范 围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－810．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2112．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．nxx )2(2121--的展开式中常数项是 .14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长. 18．（本小题满分12分）如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示） 21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(计数原理、二项式定理)
解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；
四面体的四条高的四个中垂面，选(D)
【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,
在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的
5
放入④两种放法。综上所述:共有 A44 2 48 种放法.故选 B.
P
1
4
A 5
23 8
D 7
B6 C
9．(2005 江西文)将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数
为
（）
A．70
B．140
C．280
D．840
【思路点拨】本题涉及组合的平均分组问题.
【正确解答】要使甲、乙分在同一组，即将剩下的 7 人分成三组，其中两组有三个人，一组只有一
B．96
C．72
D．144
解：本题主要关键是抓连续编号的 2 张电影票的情况,可分四种情况：
情况一：连续的编号的电影票为 1,2;3,4;5,6,这时分法种数为 C42P32P22
情况二：连续的编号的电影票为 1,2；4,5,这时分法种数为 C42P22P22
情况三：连续的编号的电影票为 2,3;4,5;这时分法种数为 C42P22P22
D．1 项
【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.
【正确解答】 (
x 3 x )12 的展开式为 C1t2 (
x )t ( 3
x )12t
Байду номын сангаас
C1t2
x
t 2
12t 3
C1t2
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全（集合）一、选择题：1．(2005北京文、理)设全集U =R ，集合M ={x |x >1}，P ={x |x 2>1}，则下列关系中正确的是A ．M=PB ．P MC ．M P （D ）M P R=【答案】C【详解】{|1P x x =>或1}x <-{|1}M x x =>易得M P【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察.2．(2005福建文)已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于（）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2}解：∵P=[0,2],{|},Q x x N P Q =∈∴ ={0,1,2},选(D)3.(2005广东)若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N =（B ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}解:∵由2||≤x ，得22≤≤-x ，由032=-x x ，得30==x x 或，∴M ∩N }0{=，故选B ．4．(2005湖北文、理)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6解：集合P 中和集合Q 中各选一个元素可组成的组合数为11339C C ⋅=其对应的和有一个重复：0+6=1+5,故P+Q 中的元素有8个,选(B)5．(2005湖南文)设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（C U A）∩B=（）A．{0}B．{－2，－1}C．{1，2}D．{0，1，2}[评述]:本题考查集合有关概念，补集，交集等知识点。
【思路点拨】本题涉及集合的简单运算.【正确解答】由题意得：{}{}2,1)(,2,1=⋂=B CuA CuA 则,故选C.【解后反思】这是一道考查集合的简单题目,可用画出它的韦恩图,用数形结合的方法解答.6.(2005江苏)设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3}（B ）{1,2,4}（C ）{2,3,4}（D ）{1,2,3,4}答案：D[评述]：本题考查交集、并集等相关知识。
年上海市高考数学测试卷
2005年上海市高考数学最新测试卷(七校联考：华师大一附中、曹杨二中、市西中学、市三女子、控江、格致、市北)一、填空题（4′×12）1．函数))((R x x f y ∈=图象恒过定点)1,0(，若)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，则1)(1+=-x fy 的图象必过定点 ()1,1 。
2．已知集合{}R x y y A x∈-==,12，集合{}R x x x y y B ∈++-==,322，则集合{}B x A x x ∉∈且=()+∞,2 。
3．若角α终边落在射线)0(043≤=-x y x 上，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)22arccos(tan α 71- 。
4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+ni m 1 i 2121- 。
5．数列{}n a 的首项为21=a ，且))((21211N n a a a a n n ∈+++=+Λ，记n S 为数列{}n a 前n 项和，则n S =1232-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n 。
6．新教材同学做：若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，则目标函数y x s 23-=取最大值时=x 4 。
老教材同学做：若)(13N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第 5 项。
7．已知函数)20,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f ，若对任意R x ∈有)125()(πf x f ≥成立，则方程0)(=x f 在[]π,0上的解为 326ππor。
8．新教材同学做：某校高二（8）班四位同学的数学期中、期末和平时成绩可分别用矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6078929083768588,75809095321，XX X 表示，总评成绩分别按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的总和计算，则四位同学总评成绩的矩阵X 可用321，X ，X X 表示为3213.04.03.0X X X X ++= 。
2005年高考试题——数学文(必修+选修Ⅰ)
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334RVπ=次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题： 1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（ ） A ． I S I ∩（S 2∪S 3）= B ．S 1⊆（ I S 2∩ I S 3）C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=D ．S 1⊆（ I S 2∪ I S 3）2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π3．已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42(D ．)81,81(-4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32 B ．33C ．34D ．235．已知双曲线)0(1222>=-a yax 的一条准线与抛物线x y62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23B ．23C ．26D ．3326．当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin82cos 1)(2++=的最小值为 （ ）A ．2B ．32C ．4D ．347．设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．251--D ．251+-8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xxa a a x f ，则使x x f 的0)(<取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log,(a -∞D ．),3(log+∞a9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．210．在ABC ∆中，已知C B A sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A ③1cossin 22=+B A ④C B A 222sincoscos=+其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 12．复数=--ii 2123（ ）A ．iB ．i -C ．i -22D ．i +-22第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3．本卷共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m mm 则14．9)12(xx -的展开式中，常数项为 .（用数字作答）15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m= .16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.②四边形BFD ′E 有可能是正方形.③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数)(),0)(2sin()(x f y x f =<<-+=ϕπϕπ图象的一条对称轴是直线.8π=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切.18．（本小题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面 ABCD ，且PA=AD=DE=21AB=1，M 是PB 的中点.（1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. 19．（本小题满分12分）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…）（1）求q 的取值范围； （2）设,2312++-=n n n a a b 记}{n b 的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小.20．（本小题满分12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）21．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.22．（本小题满分12分） （1）设函数)10)(1(log )1(log)(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（2）设正数np p p p 2321,,,, 满足12321=++++np p p p ， 求证.loglogloglog 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++2005年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．155 14．70 15．100 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π 的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PBBE PBE.510arccos所成的角为与PB AC ∴（Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(，5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BNAN ABBNANANB故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21.（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510,cos ,2,5||,2||=>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.).32arccos(.32),cos(.54,530||,530||--==∴-=⋅==故所求的二面角为BN AN BN AN BN AN19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f.3)42(2)3)(1()(2a x a axx x x a x f ++-=---=①由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ， 即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式.535651)(2---=x x x f（Ⅱ）由aa a aa x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-=及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=⨯⨯C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(233=⨯⨯C3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++21．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分.解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(22012112012111010a a a a a a q+++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n qa a nn n（Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故.2,211211)211(21nn nnn n n nS S -=-=--=则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2nn n n T +++-+++=).2212221()21(212132++-+++-+++=n nn n n n T前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n nn n n T12211)211(214)1(++---+=n nnn n 即 .22212)1(1-+++=-nn n n n n T22．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分14分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by ax ，化简得02)(22222222=-+-+ba c a cx a xb a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221ba b a c a x x ba c a x x +-=+=+由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得 ,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222c ba c a =+，所以36.32222a ba cb a =-=∴=，故离心率.36==ac e（II ）证明：由（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by ax 可化为.33222b yx =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（1）知.21,23,23222221c bc ac x x ===+.0329233)(34))((33832222212121212121222222221=+-=++-=--+=+=+-=cc c c c x x x x c x c x x x y y x x cba b a c a x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.。
2005年上海高考试卷
2010年上海高考试卷本试卷分第I 卷（1-4页）和第II 卷（5-10页）两部分，全卷共10页，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（共56分）考生注意：1．答第I 卷前，考生务必在试卷和答题卡上用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔填写姓名、准考证号、校验码.并用2B 铅笔在答题卡上正确涂写准考证号、校验码.2．第I 卷（1-20题）由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卡上，考生应将代表正确答案的小方格用2B 铅笔涂黑。
注意试题号和答题卡编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择，答案不能涂写在试卷上，涂写在试卷上一律不给分。
一．单项选择题.（共16分，每小題2分，每小题只有一个正确选项，答案涂写在答题卡上。
）1．卢瑟福提出原子的核式结构模型。
这一模型建立的基础是（ ）（A ）α粒子的散射实验（B ）对阴极射线的研究 （C ）天然放射性现象的发现（D ）质子的发现2．利用发波水槽得到的水面波形如图a 、b 所示，则（ ）（A ）图a 、b 均显示了波的干涉现象 （B ）图a 、b 均显示了波的衍射现象 （C ）图a 显示了波的干涉现象，图b 显示了波的衍射现象（D ）图a 显示了波的衍射现象，图b 显示了波的干涉现象3．声波能绕过某一建筑物传播而光波却不能绕过该建筑物，这是因为（ ） （A ）声波是纵波，光波是横波（B ）声波振幅大，光波振幅小（C ）声波波长较长，光波波长较短 （D ）声波波速较小，光波波速很大 4．现已建成的核电站发电的能量来自于（）（A ）天然放射性元素放出的能量 （B ）人工放射性同位素放出的能量 （C ）重核裂变放出的能量（D ）化学反应放出的能量5．在右图的闭合电路中，当滑片P 向右移动时，两电表读数的变化是（）（A ）A 变大，V 变大 （B ）A 变小，V 变大 （C ）A 变大，V 变小 （D ）A 变小，V 变小6．根据爱因斯坦光子说，光子能量E 等于（h 为普朗克常量，c 、λ为真空中的光速和波长）（）（A ）hc λ（B ）h λc（C ）h λ（D ）h λ7．电磁波包含了γ射线、红外线、紫外线、无线电波等，按波长由长到短的排列顺序是（）（A ）无线电波、红外线、紫外线、γ射线（B ）红外线、无线电波、γ射线、紫外线 （C ）γ射线、红外线、紫外线、无线电波 （D ）紫外线、无线电波、γ射线、红外线8．某放射性元素经过114天有7/8的原子核发生了衰变，该元素的半衰期为（ ）（A ）11.4天 （B ）7.6天 （C ）5.7天 （D ）3.8天二．单项选择题.（共24分，每小题3分，每小题只有一个正确选项，答案涂写在答题卡上。
2005年全国统一高考数学试卷(文)及答案
2005年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．4．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）反函数是（）A．B．C．D．9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A．B．C．D．311．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③12．（5分）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=．（lg2≈0.3010）14．（4分）（x﹣）4的展开式中的常数项为．15．（4分）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有种．16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．19．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．20．（12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）21．（12分）设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．22．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．2005年安徽省高考数学试卷Ⅰ（文）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2005•安徽）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．【分析】首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可．【解答】解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1∴构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选C．2．（5分）（2005•安徽）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）【分析】根据公式C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B），容易判断．【解答】解：∵S1∪S2∪S3=I，∴C I S1∩C I S2∩C I S3）=C I（S1∪S2∪S3）=C I I=∅．故答案选C．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2005•安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．5．（5分）（2005•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．【解答】解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，其体积为：；割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A．6．（5分）（2005•安徽）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的一条准线为，可以得到，由此可以求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知，，解得a2=3，或（舍去）．∴，∴，故选D．7．（5分）（2005•安徽）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx 的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．【解答】解：=．∵0＜x＜，∴tanx＞0．∴．当时，f（x）min=4．故选C．8．（5分）（2005•安徽）反函数是（）A．B．C．D．【分析】从条件中函数式中反解出x，再将x，y互换即得到反函数．【解答】解：在定义域为{x|1≤x≤2}，原函数的值域为{y|0≤y≤1}，∵，∴y2=2x﹣x2，解得x=1±，∵1≤x≤2，∴x=1+，∴y=1+（0≤x≤1），故选B．9．（5分）（2005•安徽）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．（5分）（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A．B．C．D．3【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，=×（2×1+2×）=，其面积S△ABC故选C．11．（5分）（2005•安徽）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos（A+B）=0∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故选B．12．（5分）（2005•安徽）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点【分析】由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点【解答】解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点故选D二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2005•安徽）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=155．（lg2≈0.3010）【分析】利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．【解答】解：∵10m﹣1＜2512＜10m，取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，即m﹣1＜512×lg2＜m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1＜154.112＜m，因为m是正整数，所以m=155故答案为155．14．（4分）（2005•山西）（x﹣）4的展开式中的常数项为6．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：的通项为=（﹣1）r C4r x4﹣2r令4﹣2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为615．（4分）（2005•安徽）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有100种．【分析】根据题意，选用间接法，首先计算从6名男生和4名女生共10人中，任取3名代表的选法数目，再计算没有女生入选的情况数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，从6名男生和4名女生共10人中，任取3人作代表，有C103=120种，其中没有女生入选，即全部选男生的情况有C63=20种，故至少包含1名女生的同的选法共有120﹣20=100种；故答案为100．16．（4分）（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【分析】由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2005•山西）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间（III）利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，k∈Z．∵．由y=sin2x向右平移得到．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．由题意得，k∈Z．所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）（Ⅲ）由知故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是（4分）18．（12分）（2005•安徽）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．【分析】法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ），计算．即可求得结果．（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出，计算即可取得结果．【解答】法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴．∴AB=2，∴故所求的二面角为．法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为，故，所以AP⊥DC．又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因，故=，所以由此得AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知当时，N点坐标为，能使．，有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．∵，∴．故所求的二面角为arccos．19．（12分）（2005•安徽）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f （x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x ﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=﹣．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．20．（12分）（2005•山西）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）【分析】（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，甲坑不需要补种的对立事件是甲坑内的3粒种子都不发芽，根据对立事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，∴甲坑不需要补种的概率为（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，∵3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为，恰有2个坑需要补种的概率为，3个坑都需要补种的概率为∴有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330．21．（12分）（2005•安徽）设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，由此可推出，．（Ⅱ）由题设知．数列{nS n}的前n项和，．由此可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20，可得210•q10（a11+a12+…+a20）=a11+a12+…+a20．因为a n＞0，所以210q10=1，解得，因而，．（Ⅱ）由题意知．则数列{nS n}的前n项和，．前两式相减，得=即．22．（14分）（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴．即，所以a2=3b2．∴，故离心率．（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴∵M（x，y）在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①由（1）知．∴，∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．。
上海市十校(高三)数学测试(文科)
2010上海市十校(高三)数学测试(文科)一、填空题(本大题满分为 56分)本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分.2 21. 已知椭圆方程为 x +2y =1，则该椭圆的长轴长为 _________________ .2. 设集合A J]X, y y =X 2,X • R ] B J]X, y y =1,x ・R, y • R?，则A B 用列举法可表示为4. 已知5 = (—2, —1), b =(L1)，若a 与b 夹角为钝角，则实数 几取值范围是 ______________________ .5. 复数 z 满足 z +3—祠=J3.设 z = m, z .= n ，则 m r =max， I min5八」 ............. ................................... -n6. 在二项式(J X +3 i 的展开式中，各项系数之和为 A ,各项二项式系数之和为B ,且A+B = 72,则展开I x .丿式中常数项的值为 ___________ .2x —5 _ 7. 函数y = --------- (x € A)的值域是14, +立)，则集合A =.x _38. 在也ABC 中，已知b = 2J2, a = 2，如果三角形有解，则 Z A 的取值范围是 _______________________ .10.已知函数f(x) = Acos 2C) 1 (A 0^ 0)的最大值为3, f(x)的图像与y 轴的交点坐标为(0, 2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1) + f(2)十…+f(2010)= ________________ .1 » * _11.设函数f(x)=——，点A 表示原点，点人(n, f( n)) ( n 乏N” )，9 n 是向量a 与向量i = (10)的夹角, x +1-- - - - - _= A )A + A A 2 + A 2 A 3 + + A n 4代，设 Si = tan 日1 + tan 日2 + tan 日3+…+ta n 艮，则 lim Sn =.nn —ac--------------------------1xx a + b12.已知f(x) abx-|o g 3(31)为偶函数， g(x)=2 ' x 为奇函数，其中a,b 为复数，则222010送(a k +b k )的值是 _____________ . k 生x a=2 1 2 1 23 4 3.解关于X 的方程:，其解集为9.若以连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点2 2P 的坐标，则点 P 落在圆x y= 6内的概率为(B )乜” 2 ( C ) 2X W3 3三、解答题(本大题满分74分)19. (本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6 分)2 213.已知实数X 、y 满足方程 x-a ，1 - y-，当0乞y^b ( b R )时，由此方程可以确定 1 2个偶函数y = f (x),则抛物线yx 2的焦点F 到点(a,b )的轨迹上点的距离最大值为14.有下列四个命题:(1)1函数f (X)在(0,1) 1,七 上是减函数;lgx(2)、2不等式： arcsinx^arccosx 的解集为|——,1 ;2(3) 已知数列、a n f 的前n 项和为S n =1-(-1) , n 二N ，则数列！a n ?—定是等比数列;(4) 过点M (2,4)作抛物线寸=8X 的切线，则切线方程可以表示为：y = x • 2 .则正确命题的序号为二、选择题：(本大题满分20分)本大题共有 4题，每题都给出四个结论 正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,其中有且只有一个结论是 ,选对得5分，否则一律得零分.15.方程2 _y 亠 兀1(0•-)所表示的曲线是(cos4(A ) 双曲线B ) 焦点在X 轴上的椭圆 (C ) 焦点在 y 轴上的椭圆D ) 以上答案都不正确16.长度分别为 2、X 、 X 、X 、X 、 x 的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是(17.函数 f (X ) 口X与其反函数的图象的交点个数为()•(A ) 1 个B ) 3 个 (C ) 5个D )无法确定18.给定正数a,b,c, p, q ，其中p,a, q 成等比数列,p,b,c,q 成等差数列，则关于X 的一元次方程 bx 2 -2ax • c = 0 ()•(A )有两个相等实根 (C )有一个实根和一个虚根B )有两个相异实根 D )有两个共轭虚根本大题共有 5题，解题时要写出必要的解题过程（2）当m —,2 1时，厶APQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.23.（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）若数列满足：Q 二582二m 2,a n ・2二pa n 「qa n （p,q 是常数），则称数列为二阶线性递 推数列，且定义方程x^ px q 为数列：a,的特征方程，方程的根称为特征根； 数列：a n f 的通项公式a n 均可用特征根求得： ①若方程x^ px q 有两相异实根〉，：，则数列通项可以写成a . n ' c^ n ，（其中c 「C 2是待定常20. 21. 22. 如图，AB 是圆柱体00,的一条母线，BC 过底面圆的圆心 O ， 不与点B 、C 重合的任意一点，已知棱AB = 5， BC = 5， CD =3 . （1） 求直线AC 与平面ABD 所成的角的大小； （2） 将四面体ABCD 绕母线AB 转动一周，求：ACD 的三边在旋转 过程中所围成的几何体的体积.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8 分）关于x 不等式x+2 +a —2>0 （ a w R ）的解集为（1）分别求出当a =1和a =3时的集合A ;（2）设集合 B = /x 73sin （n x —二）+cos 仇x —二）=0> 数a 的取值范围., 「，若（C u A ）a B 中有且只有三个元素，求实6（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）如图，已知点G 是边长为1的正三角形 ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并 别交边 AB 、AC 于点D 、E ；设AD 二mAB ,0 ：： n _ 1。
2005年高考.上海卷.文科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海文史类）试题精析详解一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】4log (1)y x =+，41y x =+，得41yx =-（1x >-）.所求反函数为：1()41x f x -=-（x R ∈）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程4220x x+-=的解是__________.【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令2(0)x t t =>，原方程化为：220t t +-=，得1t =或2t =-（舍）.由此可得0x =.解法2：0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x xx x x x【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错. 3、若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+x y y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________. 【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值.【正确解答】求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.4、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•，则点P 的轨迹方程是__________.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设(,)P x y ，由数量积公式及4=•OA OP 知04242=-+⇒=+y x y x 为所求轨迹方程.【解后反思】一般地11(,)A x y ，22(,)B x y 则2121(,)AB x x y y =--，11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y •==+.5、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________.【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角）在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.【正确解答】1cos 2sin cos cos 2sin 2)2y x x x x x x ϕ=+=+=+，得最小正周期为π【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.6、若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________. 【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.【正确解答】⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，∴sin α== 11cos cos cos sin sin 33314πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.【正确解答】由题意可知，2ab =，c =又222a b c =+，解得2280,20a b ==， 所求椭圆的标准方程为2218020x y +=. 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得. 【正确解答】11153525037C C P C == 解法2：734915503549355015=⨯+⨯ 【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________. 【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可. 【正确解答】直线x y 21=上的点（0，0）关于1=x 对称的点是（2，0），且所求方程的斜率为－12，因此，直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是： 1(2)2y x =--，整理后得220x y +-=. 解法2设所求直线上任意点(,)P x y '''关于直线x=1对称点为(,)P x y 则22x x x x y y y y''+==-⎧⎧⇒⎨⎨''==⎩⎩∵12y x ''=∴1(2)2y x =-即x+2y-2=0 【解后反思】解法2是通法，要会求某一点关于一已知点成中心对称的坐标，和已知直线成轴对称的坐标.如点(,)P x y 关于点(,)M a b 对称的坐标为(2,2)P a x b y '--；，由点的可推广到曲线关于某一点的对称.如曲线(,)0f x y =关于点(,)M a b 对称的曲线为(2,2)0f a x b y --=，类似地，点(,)P x y 关于直线x m =对称的点的坐标为(2,)P a x y '-，曲线(,)0f x y =关于直线x m =对称的曲线为(2,)0f m x y -=.更一般地，利用定义可解决有关对称问题.10、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出AC.【正确解答】由余弦定理︒⨯⨯-+=120cos 2222AC BC AC BC AB解得8AC =-（舍）或AC=3，因此ABC ∆的面积4315120sin 21S =︒⨯⨯⨯=AC AB 【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于AC 的方程，求出AC 的目的，在于求ABC ∆的面积，若利用正弦定理求AC 就较繁了.最优解总是我们追求的目标.11、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过[]0,2π正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出k 的取值范围.【正确解答】3sin [0,]()sin 2|sin |sin (,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩，从图象可以看出于直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31<<k【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数()y f x =的图象作出(),()y f x y f x ==的图象.12、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为26a ，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为32或36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28解法2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242a +28三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242a +32边长为a 3的边重合在一起，表面积为242a +36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a +48最小的是一个四棱柱，这说明 201248122824222<⇒+<+a a a 3150<<⇒a 【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】21x y =+为增函数，1y x =在(1,)+∞上是减函数，因此121)(+=x x f 是减函数，没有最大值和最小值，选A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发展能力.14、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|， {}Z x x x P ∈≤≤=,40| P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意10x +>的隐含条件.在计算P 时，注意10x +>的提示作用.，如果去分母时忽视了10x +>，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、条件甲：“1a >”是条件乙：“a >”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲⇒乙和乙⇒甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.【正确解答】解法1：甲⇒乙：11a a >⇒>⇒>，乙⇒甲：1)0101a a >⇒>⇒><⇒>因此是充要条件，选B解法2：∵201a a a a a >⎧>⇔⇔>⎨>⎩，∴选B【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒，B A ⇒与A B ⌝⌝⇒的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子()1n -的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的12312312312312312312!11121312122232!1!2!3!1121!11222!212!1121!1(23(1))(23(1))(23(1))()2()(1)()(123(1))()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b a a a na a a a na a a a na a a a a a a n a a a n a a a +++=-+-++-+-+-++-++-+-++-=-+++++++++-+++=-+-++-+++=1111(1)(221(1)()()22n n n n n n n A n n n n n A n ----+⎧⨯⨯⎪⎪⎨-+⎪-⨯⨯⎪⎩为偶数）为奇数 5n =时，412120456310802b b b A ⨯+++=-⨯⨯=-. 解法2：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向，它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味.三、解答题（本大题满分86分）17、（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【思路点拨】本题考查直四棱柱的性质和异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和运算能力，可根据定义找出异面直线所成角，转化到平面图形解决，而本题的图形结构，具有空间向量处理的特点，故还可利用空间向量的数量积来解决.【正确解答】联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN,∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD,∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215,又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C,在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DC C B DC ,∴∠DB 1C=arctan 21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan21. 【解后反思】求异面直线所成角的一般步骤是：①利用定义构造问题，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某一特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，②证明所作出的角（或补角）即为所的求角，③利用解三角形求角.异面范围是(0,]2π.若能建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角的大小是十分快捷方便的.18、（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）. 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理. 【正确解答】原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i. 【解后反思】近几年看，高考中常见与复数相关问题难度有下降的趋势，仅以中档题为主，侧重于复数的代数运算，而复数问题实数化的最佳形式是它的代数形式表示.19、（本题满分14分）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g . （1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值. 【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力.【正确解答】 (1)由已知得A(k b -,0),B(0,b),则AB ={k b ,b},于是kb =2,b=2. ∴k=1,b=2. (2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5 由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如1(0)y x x x=+≠型. 20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【正确解答】[解] (1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【解后反思】数学应用问题是近几年高考的热点之一，似乎是每年的必考题，平时要注意数学应用意识的培养，碰到这类问题时不要被繁琐的数据和冗长的文字说明所惧，应“取其精华”读通读懂题目，即解题的归宿应该在回答实际问题上.21、（本题满分16分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点M 到直线AK 的距离d 与圆的半径比较为宜.【正确解答】 (1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p =5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,54). (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离;当m=1时, AK 与圆M 相切;当m<1时, AK 与圆M 相交. 【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.22、（本题满分18分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.第11页 （共11页） （1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式； （2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.【思路点拨】本题通过自定义函数考查学生如何理解函数，如何在给出具体函数下处理相关函数性质的能力，只要遵循其规则，借助给定函数的性质即可解决.【正确解答】（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时 若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h（3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f 则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα 于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ， 则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα 于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α【解后反思】自定义函数是近年高考常见题型，必须深刻理解其定义的含义就不难解决.。
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2005年上海市十校(高三)数学测试(文科)
一、填空题：(本大题满分48分) 本大题共有12题，要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 若集合}3|2|{<-=x x A ，集合⎭⎬⎫
⎩⎨⎧>-=03x x x B ，则A ⋂B =__________。
2. 函数2log )(3
1+=x x f (x ≥3)的反函数的定义域是__________。
3. 已知椭圆112
162
2=+y x 的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|:|PF 2|=__________。
4. 化简：x
x x x x 2sin )
sin )(csc cos (sec --=__________。
5. 已知}1,1{=，}2,1{-=，以、为边作平行四边形OACB ，则与的夹角为__________。
6. 在集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧==10,,3,2,16 n n x x ，π中任取一个元素，所取元素恰好满足方程
2
1
cos =
x 的概率是__________。
7. 立方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面，且与AD 1所成角为60︒的面对角线共有__________条。
8. 曲线24x y --=(x ≤1)的长度是__________。
9. 若复数z 满足(1+ai )z =a +i ，且z 在复平面内所对应的点位于x 轴的上方，则实数a 的取值范围是__________。
10. 一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午
7时和11时该动点的坐标依次为(1,2)和(3,-2)，则下午3时
该点的坐标是__________。
11. 如图，小圆圈表示网络的结点，
结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示某信息经过该段网线所需的时间(单位：毫秒)。
信息由结点A
传输到结点B 所需的最短时间为__________毫秒。
12. 对于各数互不相等的整数数组
(i 1,i 2,…,i n ) (n 是不小于2的正整数)，如果
A 1
B 1
D 1
C 1
A B
C
D (第7题) (第11题)
在p <q 时有i p >i q ，则称i p 与i q 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”。
例如，数组(2,4,3,1)中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，“3,1”，其“逆序数”等于4。
若各数互不相等的正整数数组(a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6)的“逆序数”是2，则(a 6,a 5,a 4,a 3,a 2,a 1)的“逆序数”是__________。
二、选择题：(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
13. 若角α和β的始边都是x 轴的正半轴，则α-β=π是两角终边互为反向延长线的
答( )
(A) 充分不必要条件； (B) 必要不充分条件； (C) 充要条件； (D) 既不充分也不必要条件。
14. 函数2
1)(x
x x f -=
答( )
(A) 在(-1,1)上单调递增；
(B) 在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减； (C) 在(-1,1)上单调递减；
(D) 在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增。
15. 2005年1月6日《文汇报》载当日我国人口达到13亿，如图为该报提供的我国人口统计数据。
2000年第五次全国人口普查后，专家们估算我国人口数的峰值为16亿，如果我国的人口增长率维持在最近几年的水平，那么，我国人口数大致在_____年左右达到峰值。
答( )
(A) 2025； (B) 2040； (C) 2050； (D) 2065。
(第15题)
16. 定义域和值域均为[-a ,a ] (常数a >0)的函数y =f (x )和y =g (x )的图像如图所示，给出下列四个命题中：
(1) 方程f [g (x )]=0有且仅有三个解； (2) 方程g [f (x )]=0有且仅有三个解；
(3) 方程f [f (x )]=0有且仅有九个解； (4)方程g [g (x )]=0有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是
答( )
(A) 1； (B) 2；
(C) 3；
(D) 4。
(第16题)
三、解答题：(本大题满分86分) 本大题共有6题，解答各题必须写出必要的步骤。
17. (本题满分10分) 在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假设不计其它
因素，在t 秒钟内，它们引发的水面波动可分别由函数y 1=sin t ，⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+
=32sin 2πt y 和⎪⎭
⎫
⎝⎛+=34sin 3πt y 描述。
如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达。
在
某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现怎样的状态，请
说明理由。
18. (本题满分12分) 解关于x 的不等式2x (22x -1)<λ(2x -2-x )。
过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为4
π
的直线与
抛物线相交于A 、B 两点。
(1) 用p 表示A 、B 之间的距离并写出以AB 为直径的圆C 方程；
(2) 若圆C 于y 轴交于M 、N 两点，写出M 、N 的坐标，证明∠MFN 的大小是与p 无关的定值，并求出这个值。
20. (本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分 一个多面体的直观图，前视图(正前方观察)，俯视图(正上方观察)，侧视图(左侧正前方观察)如下所示。
(1) 求AD 与平面A 1BCC 1的位置关系并说明理由，求点A 1与点C 的连线与平面ABCD 所成角的大小；
(2) 求此多面体的表面积和体积。
直观图 前视图 俯视图 侧视图
A 1
C 1
C D
第3小题满分6分
已知数列{a n }有a 1=a ，a 2=p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n =a 1+a 2+…+a n ，并有S n 满足2
)
(1a a n S n n -=。
(1) 求a 的值；
(2) 试确定数列{a n }是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； (3) 对于数列{b n }，假如存在一个常数b 使得对任意的正整数n 都有b n <b ，且
b b n n =∞
→lim ，则称b 为数列{b n }的“上渐进值”，求数列
1
1
+-n n a a 的“上渐进值”。
22. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分
(1) 若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；
(2) 若三角形有一个内角为9
7
arccos ，周长为定值p ，求面积S 的最大值；
(3) 为了研究边长a 、b 、c 满足9≥a ≥8≥b ≥4≥c ≥3的三角形其面积是否存在最大值，
现有解法如下：C C C ab S sin 36sin 892
1
sin 21=⨯⨯≤=，要使S 的值最大，则应使sin C
最大，即使∠C 最大，也就是使∠C 所对的边c 边长最大，所以，当a =9，b =8，c =4时该三角形面积最大，此时4843cos =
C ，48
455sin =C ，所以，该三角形面积的最大值是4
455
3。
以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的解答。