《1.3.1圆幂定理》课件3-优质公开课-人教B版选修4-1精品

跟踪训练
1．(2013·高考湖南卷)如图，在半径为 7的⊙O 中，弦 AB， CD 相交于点 P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心 O 到弦 CD 的 距离为________．
解析：由相交弦定理得 PA·PB＝PC·PD. 又 PA＝PB＝2，PD＝1，则 PC＝4， ∴CD＝PC＋PD＝5. 过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E，则 E 为 CD 中点，
∴OE＝
r2－C2D2＝
7－245＝ 23.
答案：
3 2
考点二 切割线定理 例2 (2013·高考重庆卷)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ A＝60°，AB＝20，过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD，BD ⊥CD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为________．
【解析】 在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°. ∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10 3. ∵CD 为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5 3. 由切割线定理得
∴DA＝BA－BD＝5－156＝95.
∴BDDA＝196.
答案
16 9
反思感悟 本小题主要考查圆的切割
1.3.1圆幂定理》课件1
新知初探思维启动
1．相交弦定理
(1)文字叙述 圆内的两条相__交__弦__，被交点分成的两条线段长的积___相__等__． (2)图形表示 如图，弦 AB 与 CD 相交于 P 点， 则 PA·PB＝_P_C_·_P_D__.
2.切割线定理 ①文字叙述 从圆外一点引圆的切线和割线，_切__线__长__是这点到割线与圆交 点的_两__条__线__段__长___的比例中项．
DC2＝DE·DB，即(5 3)2＝15DE，∴DE＝5. 【答案】 5
【名师点评】 (1)切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定 理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起 解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线 中的一条变成切线时，即为切割线定理．
②图形表示 如图，⊙O 的切线 PA，切点为 A，割线 PBC，则P_A__2_＝_P__B_·_P_C__.
典题例证技法归纳
考点一 相交弦定理 例1 如图，在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，过点 P 作半径 OA 的垂线分别交⊙O 于 C、D 两点，垂足是点 E. 求证：PC·PD＝AE·AO.
练习：(2010·陕西高考)如图，已知Rt△ABC的 两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以 AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
解析 ∵∠C＝90°，
AC 为圆的直径，∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线．
∴BC2＝BD·BA，即 16＝BD·5，
解得 BD＝156.
跟踪训练 2．(2012·高考天津卷)如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦， 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF＝3，FB ＝1，EF＝32，则线段 CD 的长为________．
解析：因为 AF·BF＝EF·CF，解得 CF＝2，所以34＝B2D，即 BD＝83.设 CD＝x，AD＝4x，所以 4x2＝694，所以 x＝43. 答案：43
【证明】
连接 OP，∵P 为 AB 的中点， ∴OP⊥AB，AP＝PB. ∵PE⊥OA， ∴AP2＝AE·AO. ∵PD·PC＝PA·PB＝AP2， ∴PD·PC＝AE·AO.
【名师点评】 (1)相交弦定理的运用往往与相似形联系密切， 也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明． (2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且 弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．