2014考研数一真题解析

(A) 0.1
【答案】(B)
(B) 0.2
(C) 0.3
(D) 0.4
【解析】 已知 a ， A与 f x1, x2, x3 x12 x2 2ax1x3 4x2x3 独立， a ，
P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)
()
P(A) 0.5P(A) 0.5P(A) 0.3，
fY1 ( y)
1[ 2
f1( y)
f2 ( y)] ，随机变量Y2
1 2 (X1
X2)
，则
()
(A) EY1 EY2 ， DY1 DY2
(B) EY1 EY2 ， DY1 DY2
(C) EY1 EY2 ， DY1 DY2
(D) EY1 EY2 ， DY1 DY2
【答案】(D)
【解析】 用特殊值法. 不妨设 X1, X2 N(0,1) ，相互独立.
1
(D)
2 d
0
cos sin 0
f (r cos , r sin )rdr
d
f (r cos , r sin )rdr
0
2
【答案】(D) 【解析】
1
1 y
0
1 x2
1
1 x
dy
f (x, y)dx dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
1 y2
1 0
(D) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
【答案】(D)
【解析】令 F(x) g(x) f (x) f (0)(1 x) f (1)x f (x) ，则
F(0) F(1) 0 ,
F(x) f (0) f (1) f (x) , F(x) f (x) .
若 f (x) 0 ，则 F(x) 0 ， F(x) 在[0,1] 上为凸的.
梦想不会辜负每一个努力的人
0ab 0
(5) 行列式 a
0
0
b
0cd 0
c00d
(A) (ad bc)2
(B) (ad bc)2
(C) a2d 2 b2c2
【答案】(B) 【解析】由行列式的展开定理展开第一列
0ab 0 ab0 ab0
a00b a c d 0 c 0 0 b
0cd 0 00d cd0
1 fY1 ( y) 2 (
1
y2
e 2
2
1
y2
e 2 )
2
1 2
y2
e2
， Y1
N(0,1) .
Y2
1 2
( X1
X2)
，
E(Y2 )
1 2
(E( X1)
E( X2 ))
0,
D(Y2 )
1 4
(D( X1)
D( X2))
1 2
.
E(Y1)
E(Y2
)
0,
D(Y1)
1
D(Y2
)
1 2
.
故选(D).
【解析】由于 z x2 (1 sin y) y2(1 sin x) ，所以 zx 2x(1 sin y) cos x y2 ， zx (1, 0) 2 ； zy x2 cos y 2y(1 sin x) ， zy (1, 0) 1.
所以，曲面在点 (1, 0,1) 处的法向量为 n {2, 1, 1}.
又 f (x) 为奇函数， f (0) 0 ，代入表达式得 C 1，故
f (x) (x 1)2 1， x [0, 2].
f (x) 是以 4 为周期的奇函数，故
f (7) f (1 8) f (1) f (1) [(11)2 1] 1.
(11) 微分方程 xy y(ln x ln y) 0满足条件 y(1) e3 的解为 y __________.
0
0
1 0
1
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()
梦想不会辜负每一个努力的人
1
1 x
0
0
(B) dx f (x, y)dy dx
f (x, y)dy
0
0
1
1x2
1
1
(C)
2 d
0
cos sin 0
f (r cos , r sin )dr
d
f (r cos , r sin )dr
0
2
1
ln | ln u 1| ln x C ，即 ln u 1 Cx .
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梦想不会辜负每一个努力的人
故 ln y 1 Cx . 代入初值条件 y(1) e3 ，可得 C 2 ，即 ln y 2x 1.
x
x
由上，方程的解为 y xe2x1, (x 0) .
(12) 设 L 是柱面 x2 y2 1与平面 y z 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，
梦想不会辜负每一个努力的人
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
百度文库
求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1) 下列曲线有渐近线的是
()
(A) y x sin x
(B) y x2 sin x
.
x
x2
ln
1
1 x
【解析】 lim
x 1
t
2
1
(et
1)
t
dt
lim
x 1
t
2
1
(et
1)
t
dt
x x2 ln(1 1 )
x
x2 1
x
x
1
lim [x2 (ex 1) x] x
1 t x
et 1 t
et 1
t1
lim
t 0
t2
lim lim . t0 2t t0 2t 2
即 y(x1) 0 或 y(x1) 2x1 . 将其代入原方程知： y(x1) 0 （舍去），即 y(x1) 2x1 . 代 入，有 8x13 4x13 2x13 6 ，0 x1 1. 即 y(1) 2 ， y(1) 0 .
(C) y x sin 1 x
【答案】(C)
(D) y x2 sin 1 x
x sin 1
sin 1
【解析】关于 C 选项： lim
x lim1 lim x 1 0 1 ，又
x
x
x x x
lim[x sin 1 x] lim sin 1 0 ，所以 y x sin 1 存在斜渐近线 y x .
则曲线积分 zdx ydz __________. L
【答案】
【解析】由斯托克斯公式，得
dydz dzdx dxdy
L zdx ydz
x
y
z
dydz dzdx
z0y
dydz dzdx ， Dxy
其中 Dxy {(x, y) | x2 y2 1}.
(13) 设二次 型 f x1, x2, x3 x12 x22 2ax1x3 4x2x3 的负惯 性指 数是 1， 则 a 的取 值范围
又 F(0) F(1) 0 ，所以当 x [0,1]时， F(x) 0 ，从而 g(x) f (x) .
故选(D).
1
1 y
(3) 设 f (x, y) 是连续函数，则 dy
f (x, y)dx
0
1 y2
1
x1
0
1 x2
(A) dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
x2dx 2 (b2 sin2x a2 cos2 x 2bx sin x)dx
0
4(a2 b2 ) 1 4b 2 2 3 22 2 3
(a2 b2 4b) 2 3 3
a2
(b
2)2
4
2 3
3
当 a 0,b 2 时，积分最小.
故选(A).
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二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
(9) 曲面 z x2 (1 sin y) y2(1 sin x) 在点 (1, 0,1) 处的切平面方程为__________.
【答案】 2x y z 1
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梦想不会辜负每一个努力的人
(16)(本题满分 10 分)
设函数 y f x 由方程 y3 xy2 x2 y 6 0 确定，求 f x 的极值.
【解析】对方程两边直接求导：
3y2 y y2 2xyy x2 y 2xy 0
①
令 x1 为极值点，则由极值必要性知： y(x1) 0 ，代入①式得： y2 (x1) 2x1y(x1) 0 .
(B)充分非必要条件 (D)既非充分也非必要条件
1 0
【解析】 1 k3
2 l3 1
2
3
0
1
.
k l
()
) 记 A 1 k3 2 l3 ， B 1 2 3 ， A . 若 1,2,3 线性无关，则
r(A) r(BC) r(C) 2，故 P(A B) 0.3线性无关.
_________.
【答案】2, 2
【解析】配方法： f x1, x2, x3 x1 ax3 2 a2x32 x2 2x3 2 4x32
由于二次型负惯性指数为 1，所以 4 a2 0 ，故 2 a 2 .
(14)
设总体 X
的概率密度为
f
2x
x;
3
2
,
x 2 , 其中
故切平面方程为 2(x 1) (1)( y 0) (z 1) 0 ，即
2x y z 1.
(10) 设 f (x) 是周期为 4 的可导奇函数，且 f (x) 2(x 1), x [0, 2]，则 f (7) __________. 【答案】1 【解析】由于 f (x) 2(x 1) ， x [0, 2]，所以 f (x) (x 1)2 C ， x [0, 2].
P(B A) 举反例. 令3 0 ，则1,2 线性无关，但此时1,2,3 却线性相关. 综上所述，对任意常数 Q 40 2 p ，向量 p 线性无关是向量 D 线性无关的必要非充分条件.
故选(A).
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梦想不会辜负每一个努力的人
(7) 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B) 0.5 ， P(A B) 0.3，则 P(B A)
()
(A) 2sin x
【答案】(A) 【解析】
(B) 2cos x
(C) 2 sin x
(D) 2 cos x
(x a cos x bsin x)2 dx
(x
b
sin
x)2
2a
cos
x(x
b
sin
x)
a2
x
cos2
xdx
(x2 2bx sin x b2 sin2 x a2 cos2 x)dx
x4
2
5 2 2
，
E[c
n i1
X
2 i
]
ncE( X
2)
5n 2
2
c
2
，
c 2 . 5n
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
x
t
2
1
et
1
t
dt
求极限 lim 1
【答案】 y xe2x1(x 0)
【解析】 xy
y(ln
x ln
y)
0
y
y
ln(
y ).
xx
令 u y ，则 y x u ， y xu u ，代入原方程得 x
xu u u ln u u u(ln u 1) x
分离变量得， du dx ，两边积分可得 u(ln u 1) x
0
0
1
1
2 d
0
cos sin 0
f (r cos , r sin )rdr
d
f (r cos , r sin )rdr .
0
2
故选(D).
(4)
若
π -π
(
x
a1
cos
x
b1
sin
x)2
dx
min
a,bR
π (x a cos x bsin x)2 dx ，则
-π
a1 cos x b1 sin x
则 P(A ) 0 .，6
则 P(B A) P(B) P(AB) P(B) P(A)P(B) 0.5 0.50.6 0.5 0.3 0.2 .
故选(B).
(8) 设连续性随机变量 X1 与 X 2 相互独立，且方差均存在， X1 与 X 2 的概率密度分别为 f1(x) 与
f2 (x) ，随机变量Y1 的概率密度为
c00d
ad(ad bc) bc(ad bc)
()
(D) b2c2 a2d 2
(ad bc)2 .
故选(B).
(6) 设 a1, a2, a3 均为三维向量，则对任意常数 k, l ,向量组 a1 ka3 , a2 la3 线性无关是向量组
B 1 2 3 线性无关的
(A)必要非充分条件 (C)充分必要条件 【答案】(A)
x
x
x x
x
故选(C).
(2) 设函数 f (x) 具有二阶导数， g(x) f (0)(1 x) f (1)x ，则在区间[0,1] 上 ( )
(A) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
(B) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
(C) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
是未知参数， X1, X2,
0, 其他,
, Xn 为
n
来自总体 X 的简单样本，若 E(c
X
2 i
)
2
，则
c
_________.
i 1
【答案】 2 5n
【解析】
E(X 2)
x2 f (x; )dx
2
x2
2x 3 2
dx
6 第 6 页，共 15 页
梦想不会辜负每一个努力的人
2 3 2
1 4