高三数学二轮复习 第一篇 专题3 第4课时测试 文
高三数学一轮复习 第三章第4课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118 C.79D ．－1 解析：选B.sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.2．(2012·绵阳调研)已知α是锐角，且sin(π2＋α)＝34，则sin(α2＋π)的值等于( )A.24 B ．－24C.144D ．－144解析：选B.由sin(π2＋α)＝34，得cos α＝34，又α为锐角，∴sin(α2＋π)＝－sin α2＝－1－cos α2＝－1－342＝－18＝－24. 3．化简sin 235°－12cos10°cos80°＝( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1解析：选C.sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.故选C.4．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝45，sin(α＋β)＋sin(α－β)＝35.求：(1)tan α；(2)2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.解：(1)由已知得2cos αcos β＝45.①2sin αcos β＝35.②②÷①得，tan α＝34.(2)原式＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α，由(1)得tan α＝34，代入上式得2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－3×341＋34＝－57.一、选择题1．在△ABC 中，若cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是( ) A.12 B.22 C.32D ．1 解析：选C.由cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，所以cos B ＝12，或cos B ＝1(舍去)，∴sin B ＝32. 2．已知tan α＝－13，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255解析：选A.因tan α＝－13，又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.3．(2012·宜昌调研)已知角A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )A.72 B ．－72 C ．－12D.12解析：选A.∵A 为△ABC 的内角且sin2A ＝2sin A cos A ＝－34＜0，∴sin A ＞0，cos A ＜0， ∴sin A －cos A ＞0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74，∴sin A －cos A ＝72. 4．(2010·高考课标全国卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12 B.12C ．2D ． －2解析：选A.∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.5．tan70°·cos10°(3tan20°－1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析：选C.tan70°·cos10°(3tan20°－1) ＝sin70°cos70°·cos10°(3·sin20°cos20°－1) ＝cos20°cos10°s in20°·3sin20°－cos20°cos20°＝cos10°·2sin 20°－30°sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.二、填空题6．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35.②由①②解得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.答案：127．已知sin 2(2x －π4)＝14，则sin4x ＝________.解析：sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π22＝12－12sin4x ＝14， ∴sin4x ＝12.答案：128．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．解析：由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan45°＝1可得tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 答案：2 三、解答题9．(2012·荆州质检)已知向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，且a ∥b ，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－ω)＝35，0＜ω＜π2，求cos ω的值．解：(1)∵a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，且a ∥b ， ∴sin θ2＝cos θ1，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵0＜ω＜π2，0＜θ＜π2，∴－π2<θ－ω<π2.∵sin(θ－ω)＝35，∴cos(θ－ω)＝1－sin 2θ－ω＝45.∴cos ω＝cos[θ－(θ－ω)]＝cos θcos(θ－ω)＋sin θsin(θ－ω)＝255.10．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值； (2)求β.解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝ 1－13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.11．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α ＝sin2α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α ＝2cos αsin α＋2cos α2cos α5cos α－sin α ＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α ＝－13＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝516＋131－516×13＝3143.。
2021-2022年高三数学二轮复习统测卷(四)
2021年高三数学二轮复习统测卷（四）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的．．．．．．位置上．．．．1．设集合A ＝{x ||x －2|≤2}，B ＝{y |y =－x 2，－1≤x ≤2}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．高三⑴班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56．现采用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ▲ ．3．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－i ，其中i 是虚数单位，则 复数z 1z 2的实部与虚部之和为 ▲ ．4．某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的的值是 ▲ ．5．如图，在中，，，是边的中点，则 ▲ ．6．已知a ＝log 30.5，b ＝30.2，c ＝sin2，则a ，b ，c 按从小到大的排列顺序是 ▲ ．7．若△的内角A 满足，则 ▲ ．8．下列四个命题：①命题“若”的逆否命题为“若，则”； ②若命题p ：“x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0．”则：“∈R ，x 2＋x ＋1≥0”； ③对于平面向量a ，b ，c ，若a ≠b ，则a ·c ≠b ·c ；④已知u ，v 为实数，向量a ，b 不共线，则u a ＋v b ＝0的充要条件是u ＝v ＝0． 其中真命题有 ▲ （填上所有真命题的序号）．9．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD//BC ， ，侧棱底面ABCD ，若AB=BC=，则CD 与平面PAC 所成的角为 ▲ ．10．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为 ▲ ．11．已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，且是抛物线的焦点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．12．己知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x +2，x ＞0，则不等式的解集为 ▲ ．13．实系数方程的两根为、，且，则的取值范围是 ▲ ．14．已知函数f (x )=（a ∈R ），若对于任意的x ∈N*，f (x )≥3恒成立， 则a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分） 如图，平面平面，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，，．求证：（1）平面； （2）∥平面．16．（本题满分14分）设向量a ＝(1，cos2θ)，b ＝(2，1)，c ＝(4sin θ，1)，d ＝(12sin θ，1)． （1）若θ∈(0，π4)，求a ·b －c ·d 的取值范围；（2）若θ∈[0，π)，函数f (x )＝|x －1|，比较f (a ·b )与f (c ·d )的大小． 17．（本题满分14分）PABCOEFG如图，线段AB=8，点C 在线段AB 上，且AC=2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕着C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ，设的面积为．（1）求x 的取值范围； （2）求f (x )的的最大值．18．（本小题满分15分）已知A (－2，0)，B(2，0)为椭圆C 的左、右顶点，E (1，32)是C 上的一点．F 为C 的右焦点。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档第一部分 考点三 复数
复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。
高中数学 3.2第4课时课时同步练习 新人教A版选修2-1
第3章 3.2 第4课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( ) A.66a B.306a C.34a D.63a 解析： 以D 为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a ， 则A 1(a,0，a )，A (a,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，12a ，B (a ，a,0)，D (0,0,0)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面BMD 的法向量， 则n ·BM →＝0，且n ·DM →＝0，而BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ，12a ，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，12a .所以⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＋12z ＝0，x ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z ，x ＝－12z ，令z ＝2，则n ＝(－1,1,2)，DA 1→＝(a,0，a )， 则A 1到平面BDM 的距离是d ＝|DA 1→·n ||n |＝66a .答案： A2.如图所示，在几何体A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析： AE →＝AB →＋BC →＋CE →， ∵|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0.又∵AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2， ∴AE →2＝3，∴AE 的长为 3.故选B. 答案： B3．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B ．1 C. 2 D. 3解析：如图，A 1C 1∥面ABCD ，所以A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，由AB 1与面ABCD 所成的角是60°，AB ＝1.∴BB 1＝ 3. 答案： D4.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12B.24C.22D.32解析： 取B 1C 1的中点E ，连结OE ，则OE ∥C 1D 1. ∴OE ∥面ABC 1D 1，∴O 点到面ABC 1D 1的距离等于E 点到平面ABC 1D 1的距离． 过E 作EF ⊥BC 1，易证EF ⊥面ABC 1D 1EF ＝24，∴点O 到平面ABC 1D 1的距离为24，故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知AB ＝3，AD ＝4，PA ＝1，则点P 到BD 的距离为________．解析： 作AE ⊥BD 于E ，连结PE ， ∵PA ⊥面ABCD . ∴PA ⊥BD ∴BD ⊥面PAEBD ⊥PE ，即PE 的长为点P 到BD 的距离 在Rt △PAE 中，AE ＝125，PE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：1356．如图所示，在直二面角α－l －β中，A ，B ∈l ，AC ⊂α，AC ⊥l ，BD ⊂β，BD ⊥l ，AC ＝6，AB ＝8，BD ＝24，则线段CD 的长为________．解析： ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ⊥BD ， ∴AC →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，AC →·BD →＝0， ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝676， ∴|CD →|＝26. 答案： 26三、解答题(每小题10分，共20分)7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱长为1，利用向量法求点C 1到A 1C 的距离． 解析：如图所示，以A 点为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A 1(0,0,1)，C (1,1,0)，C 1(1,1,1)，所以A 1C 的方向向量为A 1C →＝(1,1，－1)，C 1与直线A 1C 上一点C (1,1,0)的向量CC 1→＝(0,0,1) 所以CC 1→在A 1C →上的投影为：CC 1→·A 1C→|A 1C →|＝－13.所以点C 1到直线A 1C 的距离d ＝|CC 1→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CC 1→·A 1C →|A 1C →|2 ＝1－13＝63. 8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，E 、F 、G 分别是CC 1、A 1D 1、AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解析： 如图建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－a ，a 2，EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－a 2，－a 2，GA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0，设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·E F →＝0n ·E G →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝02x －y －z ＝0，∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)， ∴d ＝|GA →·n ||n |＝a23＝36a .即点A 到平面EFG 的距离为36a .尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，CA ＝2，D 是CC 1的中点，试问在A 1B 上是否存在一点E 使得点A 1到平面AED 的距离为263？ 解析： 以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，B (0,2,0)， 设BE →＝λBA 1→，λ∈(0,1)，则E (2λ，2(1－λ)，2λ)． 又AD →＝(－2,0,1)，AE →＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面AED 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A D →＝0n ·A E →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝02λ－1x ＋21－λy ＋2λz ＝0，取x ＝1，则y ＝1－3λ1－λ，z ＝2，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－3λ1－λ，2. 由于d ＝|AA 1→·n ||n |＝263，∴263＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3λ1－λ2又λ∈(0,1)，解得λ＝12.所以，存在点E 且当点E 为A 1B 的中点时，A 1到平面AED 的距离为263.。
高三数学总复习专题3函数(答案及解析)
高三数学总复习--函数专题练习方法点拨函数是高考的必考内容，考查的题型主要有函数性质、函数图象、零点问题、指数幂的大小比较，与生活实际相关或函数文化结合的题．（1）函数性质的考查主要为奇偶性、单调性、对称性、周期性的综合考查，要求学生熟悉一些相关结论的由来与应用，例如由()()=f a x f a xf x关于x a+=-得到()对称．（2）对于函数图象的题型，我们一般优先考虑函数的奇偶性，或结合函数的平移、伸缩变换考虑函数的对称性，然后再考虑自变量取某些特殊值时，对应的函数值的一些特点，比如函数值的正负，最后考虑函数的单调性．（3）函数的零点问题一般可以转化成函数方程的根、函数图象与x轴的交点个数、函数图象与某条水平线的交点个数问题、函数图象与某条斜直线的交点问题，或两条曲线的交点个数问题等．（4）与生活实际相关或函数文化结合的题一般相对简单，要求学生耐心理解题目意思，知道题中每个量，每个公式所具有的意义．典型试题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（,d r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（,,h w v为变量），则下列说法：①w是v的函数②v是w的函数③h是w的函数④w是h的函数其中正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（河南省联考2021-2022学年高三一模）已知函数()34log ,042,03xx x f x x +>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则14log 9f f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（贵州省遵义市2021届高三一模）已知函数22,02()2(2),2x x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，则(9)f =（ ） A ．16B ．8C ．8-D ．16-4．（福建省龙岩市2021届高三一模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()1,0211,112xe a b xf x bx x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩（e 为自然对数的底数），则a b -的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．05．（四川省资阳市2020-2021学年高三一模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()2f x +=()2021f =（ ）A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．46．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）已知函数())1ln f x x x=+， 则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）函数()()ln x x f x e e x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）函数sin 4xx xy e+=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．（安徽省池州市2021届高三一模）设函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有()()4f x f x -=，且在()2,+∞上单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（江苏省连云港市灌云县第一中学2021-2022学年高三一模）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|1|f x x =- B ．1()1f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 11．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有0N 只，则大约经过（ ）天能达到最初的1800倍．（参考数据：ln1.060.0583≈，ln1.60.4700≈，ln18007.4955≈，ln80008.9872≈．） A ．129B ．150C ．197D ．19912．（广西柳州市2022届高三11月第一次模拟）5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ﹒信道内所传信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小．其中SN叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比卡SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg 20.3≈，396109120≈．) A ．9121 B ．9119 C ．9919 D ．1099913．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度．星体的视星等m ，绝对星等M ，距地球的距离d 有关系式05lg d M m d=+（0d 为常数）．若甲星体视星等为1.25，绝对星等为 6.93-，距地球距离1d ；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离2d ，则12d d =（ ） A ． 1.7510B ． 1.7210C ． 1.6510D ． 1.621014．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）若函数()f x 满足：对定义域内任意的()1212,x x x x ≠，有()()121222x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()ln f x x =C ．()()20f x x x =≥D ．()tan 02f x x x π⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭15．（四川省资阳市高中2021-2022学年高三一模）设3log πa =，2b =，1ln 24c =， 则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>16．（2020山东一模）已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>17．（湖北省武汉市部分学校2020届高三一模）已知π4ln3a =，π3ln 4b =，34ln πc =， 则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<18．（天津市河北区2020-2021学年高三一模）设0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 3b =，0.32c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>19．（江西省赣州市2021届高三一模）设函数3()sin x x f x a a b x c -=-++（0a >且1a ≠）．若()1f t -=，()3f t =，则c =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．（江苏省2021年对口高考单招一模）若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩，（a ，b ∈R ）为奇函数，则()f a b +的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．421．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知函数()x f x xe =，则满足不等式()22f a a e -<的实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2-22．（多选）（广东省普宁市勤建学校2021届高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()2()f x f x +=-且()f x 在[]1,0-上是增函数，给出下列真命题的有（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．()f x 在[]1,2上是减函数D ．()()20f f =23．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上一模）指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在R上是减函数，则函数22()a g x x -=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增24．（山东省烟台市2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则（ ） A ．()20210f =B ．2是()f x 的一个周期C ．当()1,3x ∈时，()()31f x x =-D ．()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z25．（山东省青岛胶州市2019-2020一模）已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>26．（吉林省长春市2022届高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，且(21)f x -是偶函数，(1)f x +是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ）①(8)()f x f x -=；②(1)(1)f x f x +=--；③(3)0f -=；④(2)(2)f x f x +=-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个27．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()032f f -=-，则()2022f =（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．428．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）函数()()1ln 3x xf x x -=-的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个29．（多选）（2021届高三下学期一模）若直线2y a =与函数1x y a =-（0a >，且1a ≠）的图象有两个公共点，则a 的取值可以是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．230．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）若函数()323f x x x a =-+有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),04,-∞+∞ B ．()(),80,-∞-+∞ C ．[]0,4D ．()8,0-31．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）设函数()21log ,020x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩．若 14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（ ）A．(B．⎡⎣C ．()0,2D ．[)1,232．（四川省成都市新都区2021-2022学年高三一模）已知函数2()log f x x =，函数()g x满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有(π)2()g x g x +=；③当[0,π]x ∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4π]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．833．（2020届浙江省金华十校高三一模）已知函数()21,0ln ,0ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ） A ．当0a =，m ∈R 时，有且只有1个 B ．当0a >，1m ≤-时，都有3个C ．当0a <，1m <-时，都有4个D ．当0a <，10m -<<时，都有4个34．（山东省实验中学2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩，则关于的函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．21a -B ．21a --C ．12a -D ．12a --35．（安徽省滁州市定远中学2019-2020学年一模）已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（ ） A ．[)3,3e + B ．()3,3e + C ．()3,+∞ D ．(]3,3e +二、填空题．36．（江苏省2021年对口高考单招一模数学）在平面直角坐标系中，函数()12x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则sin 2θ=________．参考答案一、选择题．1-21：BDDADBCABBABABDDBDBBB 22．【答案】ACD(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，4是它的一个周期，A 正确； (2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，函数图象关于点(2,0)对称，B 错； (1)(1)(1)f x f x f x +=--+=-，函数图象关于直线1x =对称，又()f x 在[1,0]-上递增，因此()f x 在[0,1]上递增，所以()f x 在[]1,2上是减函数，C 正确；(2)(0)0f f =-=，D 正确，故选ACD ． 23．【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<， 函数()g x 的导函数：()()322'a g x x--=， 当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项． 24．【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()2f x f x f x -==--， 所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是4，故B 错误；()()202111f f ==，故A 错误；因为当[]0,1x ∈时，()3f x x =，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，()()()322f x f x x =-=-，故C 错误； 因为当()0,2x ∈时，()0f x >，()f x 的最小正周期是4， 所以()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z ，故D 正确， 故选D ． 25．【答案】B【解析】(1)f x +是偶函数，得()(1)1f x f x +=-+，即()()2f x f x =-+，(1)f x -是奇函数，得()(1)1f x f x -=---，即()()2f x f x =---，()(2)2f x f x ---=-+，得8T =，由(1)f x -是奇函数，得()(01)10f f -=-=， 因为()f x 在[1,1]-上单调递增，所以(0)0f >，()()()2019310f f f ==-=，()()()2020400f f f ==-<，所以(0)(2019)(2020)f f f >>，故选B ． 26．【答案】B【解析】由题意，函数(1)f x +是奇函数，可得()f x 的图象关于点(1,0)对称， 所以(1)(1)0f x f x ++-=，所以②正确； 令0x =，则(1)0f =，又由(21)f x -是偶函数，所以()2f x 的图象关于12x =-对称， 所以()f x 的图象关于1x =-对称，则有(1)(1)f x f x --=-+， 令2x =，则(3)(1)0f f -==，所以③正确；在(1)(1)f x f x --=-+中，将x 用7x -替换，则(8)(6)f x f x -=-， 在(1)(1)f x f x +=--中，将x 用5x -替换，则(6)(4)f x f x -=--， 所以(8)(4)f x f x -=--，再将x 用4x +替换，则(4)()f x f x -=-， 所以(8)()f x f x -=，所以①正确；对于④中，由(2)(),(2)()f x f x f x f x -=-+=--，无法推出其一定相等， 故选B ． 27．【答案】C【解析】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)f x f x --=--①； 又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②； 令1x =，由②得：())0(22f f k m ==+，又()33f k m =+，所以()()032(3)2f f k m k m k -=+-+=-=-，得2k =， 令0x =，由①得()()1(1)10f f f -=--⇒-=；令2x =，由②得()1(3)0f f -==，所以()6330f k m m =+=⇒=-， 得[]1,3x ∈时，()26f x x =-，结合①②得，()2(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=-+=， 所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()()202225286622262f f f f =⨯+==-=-⨯-=，故选C ． 28．【答案】B【解析】由题意知函数()()1ln 3x x f x x -=-的定义域为()()0,33,+∞，由()()1ln 03x x f x x -==-，得()1ln 0x x -=，所以1x =，所以函数()()1ln 3x x f x x -=-的零点有1个，故选B ．29．【答案】AB【解析】（1）当1a >时，由题得021a <<，102a ∴<<， 因为1a >，所以此种情况不存在；（2）当01a <<时，由题得021a <<，102a ∴<<， 因为01a <<，所以102a <<，故选AB ． 30．【答案】A【解析】由题意知：2()36f x x x '=-，∴()0f x '>时，2360x x ->，得0x <或2x >；()0f x '<时，2360x x -<，得02x <<， ∴()f x 在(,0)-∞上递增，(0,2)上递减，(2,)+∞上递增，当0x =时，有极大值(0)f a =；当2x =时，有极小值(2)4f a =-， ∴只有当(0)0f a =<或(2)40f a =->时，函数()f x 有且仅有一个零点， ∴0a <或4a >，故选A ． 31．【答案】B【解析】因为函数()21log ,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≤⎩，所以23log (),12(1)1x x f x x ⎧+>-⎪+=⎨⎪≤-⎩， 若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，作出()1f x +的图象，结合图象可知方程()1f x k +=有唯一解，则1k ≤< 故选B ． 32．【答案】A【解析】因为函数2()log f x x =的定义域为()0,∞+， 所以()()y f x g x =-在(],0-∞无零点；∵()()π2g x g x +=，故将()[],0,πy g x x =∈的图象向右平移π个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，∴在平面直角坐标系，()f x 的图象以及()g x 在[]0,4π上如图所示：又2223π5π7πlog 2,log 4,log 8222><<， 故()f x 、()g x 在(]0,4π上的图象共有5个不同交点，故选A ． 33．【答案】B【解析】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时，若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m ∈R 时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确； 当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误， 故选B ．34．【答案】C【解析】∵0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，即[)0,1x ∈时，()()(]12log 11,0x f x +=∈-；[]1,3x ∈时，()[]21,1x x f -∈-=； ()3,x ∈+∞时，()()4,1f x x =-∈-∞，画出0x ≥时，()y f x =的图象，再利用奇函数的对称性，画出0x <时，()y f x =的图象，如图所示：直线y a =与()y f x =共有5个交点，则方程()0f x a -=共有五个实根， 最左边两根之和为6-，最右边两根之和为6， ∵[)0,1x ∈时，()0,1x -∈，∴()()12log 1f x x -=-+，又()()f x f x -=-，∴()()()()111222log 1log 1log 1x x x f x ---+===--，∴中间的一个根满足()2log 1x a -=，即12a x -=，得12a x =-， ∴所有根的和为12a -，故选C ． 35．【答案】D【解析】当0x ≤时，2(1)()2(1)x f x x e +'=+，()010f x x '>⇒-<≤；()01f x x '<⇒<-，则函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(]1,0-上单调递增，且0(1)1,(0)f e f e -===，当0x >时，22244()1x f x x x-'=-=，()02f x x '>⇒>；()002f x x '<⇒<<，则函数()f x 在(0,2)上单调递减，在()2,+∞上单调递增，4(2)2312f =+-=，函数()y f x a =-有四个不同的零点，即两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点， 如下图所示：由图可知，1a e <≤，12,x x 是方程2(1)x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根，所以(]12ln 11,0x x a -=-∈-，34,x x 是方程43x a x+-=的两根，即2(3)40x a x -++=的两根， 所以343(4,3]x x a e +=+∈+，(]12343,3x x x x e ∴-++∈+， 故选D ． 二、填空题． 36．【答案】35-【解析】由题意，函数()12x f x a +=+，令10x +=，可得1x =-，此时()13f -=，即函数()f x 恒过定点()1,3P -，则r OP ==，根据三角函数的定义，可得sinθ=，cos θ=， 所以3sin 22sin cos 5θθθ==-， 故答案为35-．。
【最新整理】2019高三数学(理人教版)二轮复习高考小题标准练：(四) Word版含解析
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高考小题标准练(四)满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知R是实数集，M=，N={y|y=+1}，则N∩(M)=( )A.(1，2)B.[0，2]C.∅D.[1，2]【解析】选D.因为<1，所以>0，所以x<0或x>2，所以M={x|x<0或x>2}，因为y=+1≥1，所以N={y|y≥1}，所以N∩(M)=[1，2].2.在复平面内，复数(2-i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.(2-i)2=4-4i+i2=3-4i，对应的点为(3，-4)，位于第四象限.3.设命题p：∃α0，β0∈R，cos(α0+β0)=cosα0+cosβ0；命题q：∀x，y∈R，且x≠+kπ，y≠+kπ，k∈Z，若x>y，则tanx>tany.则下列命题中真命题是( ) A.p∧q B.p∧(非q)C.(非p)∧qD.(非p)∧(非q)【解析】选B.当α0=，β0=-时，命题p成立，所以命题p为真命题；当x，y不在同一个单调区间内时命题q不成立，命题q为假命题.故p∧(非q)为真命题.4.等比数列的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=( )A.7B.8C.15D.16【解析】选C.因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以=2a2，所以=2a1q，所以=2q，所以q=2，所以S4===15.5.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为( )A.4B.8C.16D.32。
高三数学二轮复习同步练习3知识归纳
专题31．(2011·湖南六校联考)已知在△ABC 中，cos A ＝63，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．(1)求tan2A 的值；(2)若sin(π2B )＝223，c ＝22，求△ABC 的面积．[解析] (1)因为cos A ＝63，A ∈(0，π)， 所以sin A ＝33，则tan A ＝22. 所以tan2A ＝2tan A1－tan 2A＝2 2.(2)由sin(π2B )＝223，得cos B ＝223，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝13.则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63. 由正弦定理知a ＝c sin Asin C＝2，所以△ABC 的面积为 S ＝12ac sin B ＝223.2．(2011·福建福州质检)已知向量m ＝(1，cos A )，n ＝(sin A cos B ，sin B )，m ·n ＝sin2C ，且A ，B ，C 分别是△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角．(1)求角C 的大小；(2)设sin A ，sin C ，sin B 成等比数列，且CA →·(AB →－AC →)＝8，求边c 的值． [解析] (1)由题知，m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 又m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴sin C (2cos C －1)＝0，∵0<C <π，∴sin C ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)∵sin A ，sin C ，sin B 成等比数列， ∴sin 2C ＝sin A ·sin B .根据正弦定理得，c 2＝ab .∵CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝8，∴ba cos C ＝8. ∴ab ＝16，∴c 2＝16，∴c ＝4.3．(2011·合肥二模)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．[解析] (1)∵f (x )＝32sin π3x －32cos π3x －1 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3－1， ∴T ＝2ππ3＝6，由－π2＋2k π≤π3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－12＋6k ≤x ≤52＋6k ，k ∈Z ， 所以函数f (x )的最小正周期是6，单调递增区间为[－12＋6k ，52＋6k ]，k ∈Z .(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∴当x ＝[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时y ＝f (x )的最大值， 此时π3x －π3[2π3，π]，sin(π3x －π3)∈[0，32]，f (x )∈[－1，12]，即此时函数y ＝g (x )的最大值为12.4．(2011·西安二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)记B ＝x ，作出函数y ＝2sin 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π32x的图像． [解析] (1)由m ∥n 得，(2b －c )·cos A －a cos C ＝0， 由正弦定理得：2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，∴2sin B cos A －sin B ＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)y ＝2sin 2x ＋cos(π32x )＝2sin 2x ＋12cos2x ＋32sin2x ＝1－12cos2x ＋32sin2x ＝sin(2x －π6)＋1，∵B ＝x ，∴由(1)知x ∈(0，2π3)．列表：函数y ＝2sin 2x ＋cos(π3－2x )的图像如图所示．5．(2011·南昌模拟)已知m ＝(3cos ωx 2，sin ωx 2＋cos ωx 2)，n ＝(2sin ωx 2，sin ωx 2－cos ωx2)，其中ω>0，其中ω>0，若函数f (x )＝m ·n 的周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由题意知，f (x )＝m ·n ＝23sin ωx 2cos ωx 2－cos 2ωx 2＋sin 2ωx2＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin(ωx －π6)．∵函数f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2πT ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x －π6)．∵x ∈[－π12，π2]，∴易知f (x )＝2sin(2x －π6在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，∴当x ＝π3时，f (x )取最大值2；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－ 3.6．(2011·上海十三校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 所对边的长，已知tan B ＝3，cos C ＝13，b ＝3 6.求边AB 的长与△ABC 的面积．[解析] 在△ABC 中，因为tan B ＝3，cos C ＝13，则sin B ＝32，sin C ＝1－cos 2C ＝223.由正弦定理c sin C ＝b sin B 得c 223＝3632，解得c ＝8.即AB ＝8. 又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin(C ＋B )＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 因为cos B ＝12，则sin A ＝22＋36，S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.综上，AB ＝8，S △ABC ＝62＋8 3.7．(2011·太原二模)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．[解析] (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π， 则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.则y ＝f (x )＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t < 2.∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于π4<x <π，故x ＝11π12.所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0. ∴sin(x ＋α)＋2sin2α＝0，sin ⎝⎛2α＋π3＋2sin2α＝0.∴52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－35. 8．(2011·浙江宁波)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．[解析] (1)由题意可得：A ＝2，T2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12＋φ，f (0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<π2，∴φ＝π6.f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6＝2，所以12x 0＋π6＝2k π＋π2，x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z )，又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3. (2)f (4θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝3sin2θ＋cos2θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2()，cos θ＝13，∴sin θ＝223， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin2θ＝2sin θcos θ＝429，∴f (4θ)＝3·429－79＝469－79.。
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
3-2三角变换及解三角形
专题3 第2讲 三角变换及解三角形一、选择题1．(2011·辽宁理，4)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．23B ．2 2 C. 3 D. 2[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， sinB ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴ba＝ 2.2．(2011·福建理，3)若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] D[解析] 由sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.3．(2011·浙江理，6)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2＝( )A.33 B. －33 C.539D. －69 [答案] C[解析] ∵(π4＋α)－(π4－β2)＝α＋β2，∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2. 又cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，∴sin(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝63.∴cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539，选C.4．(2011·四川理，6)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)[答案] C[解析] ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ≥12，∴0<A ≤π3，故选C.5．(2011·新课标理，5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B. 6．(2010·湖南理，6)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定[答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ， ∴在△ABC 中，由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab 将c ＝2a 代入上式得2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ， ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a >b .7．(2011·天津理，6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( ) A.33 B.36 C.63D.66[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2在△ABC 中，由正弦定理： 3sin C ＝4sin A在△ABD 中，由余弦定理：cos A ＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A ＝223∴sin C ＝3sin A 4＝3sin A4＝3×2234＝2612＝66，故选D. 8．(2011·浙江五校二次联考)若△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．5B ．25 C.41 D ．5 2[答案] A[解析] 解法一：由S △ABC ＝12ac sin45°＝2⇒c ＝42，再由余弦定理可得b ＝5.解法二：作三角形ABC 中AB 边上的高CD ， 在Rt △BDC 中求得高CD ＝22，结合面积求得 AB ＝42，AD ＝722，从而b ＝AD 2＋CD 2＝5.二、填空题9．(2011·江苏启东中学模拟)在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.[答案] －2 3[解析] S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.10．(2010·山东理，15)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[答案] π6[解析] sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，∵0<B <π，∴π4<B ＋π454π，∴B ＝π4，又∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A <B ，故A ＝π6. 11．(文)(2011·江西文，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. [答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－255，解得y ＝±8， 又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点， 可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.(理)(2011·上海理，8)函数y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x )的最大值为________．[答案]2＋34[解析] ∵y ＝sin(π2＋x )cos(π6－x )＝cos x (32cos x ＋12sin x )＝32cos 2x ＋12sin x cos x＝32·1＋cos2x 2＋14x ＝14(3cos2x ＋sin2x ＋3)＝12sin(2x ＋π3)＋34， 故最大值为2＋34.12．(2011·安徽理，14)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．[答案] 15 3[解析] 设三角形的三边依次为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ.由余弦定理得 (a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)cos120°， 则a ＝10，所以三边长为6,10,14， S △ABC ＝12×6×10×sin120°＝15 3.三、解答题13．(文)(2011·江苏，15)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值；(2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．[解析] (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.(理)(2011·湖北理，16)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．[解析] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×144，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(14)2＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(158)2＝78， ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.14．(文)(2011·江西文，17)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ， 即cos A ＝13(2)由cos A ＝13得sin A ＝223则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得 sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2) 则C ＋φ＝π2sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. (理)(2011·江西理，17)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2(1)求sin C 的值(2)若 a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值 [解析] (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2， 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27， 所以c ＝7＋1.15．(2011年5月南通、扬州、泰州)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角．(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． [解析] (1)因为m ∥n ， 所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0， 即32sin2A －12cos2A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6.故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2)设角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc . 而b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ＋4≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c . 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．。
高三数学二轮复习讲义专题一函数性质与图象
专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。
本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。
复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。
【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。
解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。
令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。
故集合A 中的元素最多为6个。
（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。
高三数学二轮复习 第一篇 专题2 第3课时练习 理
高三数学二轮复习 第一篇 专题2 第3课时练习 理（本栏目内容，在学生书中以活页形式分册装订）一、选择题1．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则O P →＋O Q →＝( )A ． OH →B ． OG →C ． FO →D ． EO →解析： 设a ＝OP →＋OQ →，利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即发现，a ＝FO →，因此选C.答案： C2．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( ) A ．9 B ．4 C ．0D ．－4解析： 因为向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)， 所以a －b ＝(1－x,4)，又因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0， 即1×(1－x )＋2×4＝0， 解得x ＝9，故选A. 答案： A3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.7解析： ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝1＋4＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5－2＝3.∴|a ＋2b |＝ 3. 答案： B4．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析： 将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得：a ·b ＝0； 将|a －b |＝233|a |两边同时平方得：b 2＝13a 2.所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a ＋b ·a －b |a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 243a2＝12，故选B.答案： B5．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则A P →·(A B →＋A C →)( )A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关解析： 如图，∵AB →＋AC →＝AD →＝2AO →，△ABC 为正三角形，∴四边形ABDC 为菱形，BC ⊥AO ，∴AP →在向量AD →上的投影为AO →， 又| AO →|＝3，∴AP →·(AB →＋AC →)＝| AO →|·| AD →|＝6，故选B.答案： B6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·bx ＋1在x ∈R上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π解析： ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·bx ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有不相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a ·b ＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4|a |2－8a ·b >0，即a ·b <12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，|a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉<12|a |2|a ||b |＝32，∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴π6<〈a ，b 〉≤π，故选D.答案： D 二、填空题7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则a ·b ＝________，若ka ＋b 与b 平行，则k ＝________.解析： 由已知得a ·b ＝1×(－3)＋2×2＝1；ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，当ka ＋b 与b 平行时，有－3(2k ＋2)＝2(k －3)，由此解得k ＝0.答案： 1 08．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a∥b ，则k ＝－3.③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 解析： 命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k ＝0，k ＝－3，故命题②正确．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题③错误． 答案： ②9．(2011·湖南卷)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.解析： 由题意画出图形如图所示，取一组基底{ AB →， A C →}，结合图形可得AD →＝12( AB →＋AC →)， BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12( AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23 AC →－AB →＝13 AC →2－12 AB →2－16 AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案： －14三、解答题10．已知向量AB →＝(3,1)， AC →＝(－1，a )，a ∈R. (1)若D 为BC 中点， AD →＝(m,2)，求a 、m 的值；(2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值．解析： (1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2.又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，1＋a ＝2×2，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°.当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为B C →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥B C →，得3×(－4)＋1(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由B C →⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解． 综上所述，a ＝3或13.11．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且AB →·A C →＝B A →·B C →.(1)判断△ABC 的形状；(2)若AB →·AC →＝2，求边c 的值． 解析： (1)∵AB →·AC →＝BA →·B C →，∴|AB →|·|AC →|·cos A ＝|B A →|·|B C →|·cos B ，∴c ·b cos A ＝c ·a cos B ， 即b cos A ＝a cos B .∴sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin A cos B －sin B cos A ＝0， 即sin(A －B )＝0.∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知∠A ＝∠B ，∴AB 的长为AC →在AB →上射影的2倍． 又AB →·AC →＝2，即|AB →|·|AC →|·cos A ＝2， ∴|AC →|·cos A ＝2| AB →|＝12·|AB →|，∴|AB →|＝2，即c 的值为2.12．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．解析： (1) OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，A M →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴A 、B 、M 三点共线．(3)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)． 又AB →＝(4,4)， OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2)．又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1| ＝12，解得a ＝±2， 故所求a 的值为±2.。
2018年高考理科数学通用版三维二轮复习训练4解析及答案
寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx2B.－sin x x2C.cos x －x sin xx2D ．－cos x ＋x sin xx2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin xx2. 2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π rad/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10πrad/s.4．(2018届高三·广州五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 2解析：选D ∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.5．若⎠⎜⎛12(x －a )d x ＝⎠⎜⎜⎛0π4cos 2x d x ，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B⎠⎜⎛12(x －a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ax | 21＝32－a ，⎠⎜⎜⎛0π4cos 2x d x ＝12sin 2x ＝12.由32－a ＝12，得a ＝1. 6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．(2018届高三·湖南名校联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则21-⎰f (x )dx的值为( )A.π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43 D.π4＋3 解析：选A 21-⎰f (x )d x ＝11-⎰1－x 2d x ＋21⎰(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝π2＋43. 8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24D.e4 解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t2tx，则切线斜率为k ＝t 4，所以切线方程为y －2＝t4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝e x ＋1，则由e x 0＋1＝t4，得切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t 4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t4－1＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －ln t4＋1，即y ＝t 4x －t 4ln t 4＋t 2＋1，所以由题意，得－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<f (2)－f (1)B ．f ′(2)<f (2)－f (1)<f ′(1)C ．f ′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f 2－f 12－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f 2－f 12－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2. 12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上． 二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________． 解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．若m >1，则f (m )＝⎠⎜⎛1m⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________．解析：f (m )＝⎠⎜⎛1m⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x | m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立，故f (m )的最小值为－1.答案：－115．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________． 解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32， 解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋3216．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，∴k ＝－4e x ＋1ex ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x ＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π。
江苏省苏州市2020届高三数学二轮复习专题训练 3 不等式
专题3 不等式一、填空题例1 已知集合A ＝{}0，1，B ＝{}a 2，2a ，其中a ∈R .定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B 中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________．解析 A ×B ＝{a 2,2a ，a 2＋1,2a ＋1}．由题意，得2a ＋1＞a 2＋1，解得0＜a ＜2. 答案 (0,2)例2 ．设123log 2,ln 2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系 解析 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-=222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 答案c a b <<例3 ．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)， 解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：解 由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)． 参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________． 解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0可化为k 1x ＋a ＋1x ＋b 1x＋c＜0，所以有1x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即x ∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案 (－3，－1)∪(1,2)例 4 ．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于解析 由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=。
江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷理科数学(四) PDF版含解析
1
π
面积的最大值为 ；④四叶草面积小于 ，其中，所有正确结论的序号是
8
4
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②④
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分．
13．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
体积
．
y 0， 14．记不等式组 y x 1 所表示的平面区域为 D ，
1 NA
1 NB
4
3 3
,求直线
l1
的方程．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) x 1 x 2 ． （Ⅰ）对于任意 x R ，不等式 f (x) m 恒成立，则 m 的取值范围； （Ⅱ）记满足条件的 m 的最大值为 M ,若 a 1, b 1, c 1，且 abc 8M , 求证： (a 1)(b 1)(c 1) 1．
பைடு நூலகம்
x,(x a)
值范围是
A． 1 a 1 e
B． a 1 e
C． 1 a 1 e
D． a 1
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8．已知函数
f (x) 2sin(2x π ) 4
在区间
(x1, x2 )
有且仅有
2
个极值点，且满足
f (x1)
f (3π 4
x2 ) 2 ，则
2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
高三数学复习第三章第4课时课后达标检测
[基础达标]一、选择题1．(2014·济南质检)函数y ＝2sin(π2－2x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B.y ＝2sin(π2－2x )＝2cos 2x ，故其是最小正周期为π的偶函数．2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C.函数f (x )＝sin x ＋φ3＝sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋φ3，因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋φ3为偶函数，所以φ3＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2，故选C. 3．(2013·高考天津卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0 解析：选 B.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22.4．(2013·高考浙江卷)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2解析：选A.f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)，所以最小正周期为T ＝2π2＝π，振幅A ＝1.5．(2014·江南十校联考)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝53π，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )A.223B.233C.43D.263解析：选B.∵f (x )＝sin x ＋a cos x ＝a 2＋1sin(x ＋φ)，又∵x ＝5π3是函数的一条对称轴．∴sin5π3＋a cos 5π3＝±a 2＋1， 解得a ＝－33.∴g (x )＝－33sin x ＋cos x＝233⎝⎛⎭⎫－12sin x ＋32cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3. 故g (x )的最大值为233.二、填空题6．(2014·海淀模拟)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是________．解析：由正切函数y ＝tan x 的定义域知，π4－x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴x ≠k π＋34π(k ∈Z )，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋34π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋34π，k ∈Z7．(2014·衡阳高三模拟)函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值是________． 解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin 2x ＋1＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2.当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1，即2x ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ⇒x ＝k π－3π8，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.答案：2－ 2 三、解答题8．(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6<x <π6的值域；(2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域．解：(1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值域为(0，2]．(2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9，1]．9．已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }，因为f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(x ≠k π，k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(x ≠k π，k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．[能力提升]一、选择题 1．(2013·高考山东卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图像大致为( )解析：选D.当x ＝π2时，y ＝1>0，排除C.当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除B.当x ＝π时，y ＝－π<0，排除A.故选D.2．(2012·高考课标全国卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2] 解析：选A.由π2<x <π，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin α在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2ωπ＋π4≤32π，解得12≤ω≤54，故选A.二、填空题3．(2014·江西师范大学附属中学月考)函数y ＝sin(x ＋π2)·cos(x ＋π6)的单调递减区间是________．解析：y ＝sin(x ＋π2)cos(x ＋π6)＝cos x cos(x ＋π6)＝32cos 2x －12sin x cos x＝34＋34cos 2x －14sin 2x ＝34＋12cos(2x ＋π6)， 令2x ＋π6∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，可得x ∈[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )，即可得函数y ＝sin(x ＋π2)cos(x ＋π6)的单调递减区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．答案：[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )4．(2014·湖北八市调研)函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图像为C ，如下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图像C 关于直线x ＝11π12对称；②图像C 关于点(2π3，0)对称；③函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C .解析：①f (11π12)＝3sin(11π6－π3)＝3sin 3π2＝－3，结论①正确；②f (2π3)＝3sin(4π3－π3)＝3sin π＝0，结论②正确；③令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z ，结论③正确；④y ＝3sin 2x ―――――――→向右平移π3个单位长度y ＝3sin 2(x －π3)＝3sin(2x －2π3)，结论④不正确． 答案：①②③ 三、解答题5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，求y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，可知g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3≤12，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 6．(选做题)(2014·江西上饶模拟)已知函数f (x )＝23sin(2ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(0，π))的图像中相邻两条对称轴间的距离为π2，且点⎝⎛⎭⎫－π4，0是它的一个对称中心．(1)求f (x )的表达式；(2)若f (ax )(a >0)在⎝⎛⎭⎫0，π3上是单调递减函数，求a 的最大值．解：(1)由题意得f (x )的最小正周期为π，∴T ＝π＝2π2ω，得ω＝1.∴f (x )＝23sin(2x ＋φ)，又点⎝⎛⎭⎫－π4，0是它的一个对称中心，∴sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0，得φ＝π2，∴f (x )＝23sin ⎝⎛⎫2x ＋π2＝23cos 2x .(2)由(1)得f (ax )＝23cos 2ax ，∵2ax ∈⎝⎛⎭⎫0，2a π3，∴欲满足条件，必须2a π3≤π，∴a ≤32，即a 的最大值为32.。
2019-2020年高三数学二轮复习高考大题标准练四理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习高考大题标准练四理新人教版1.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x(x∈R).(1)求函数f(x)的周期和递增区间.(2)若函数g(x)=f(x)-m在[0,]上有两个不同的零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值.【解析】(1)因为f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x=sin2x-cos2x=sin(x∈R).由2kπ-≤2x-≤2kπ+⇒kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以函数f(x)的周期为T=π,递增区间为(k∈Z).(2)因为g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m;在直角坐标系中画出函数f(x)=sin在上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[1,)时,方程f(x)=m在上的区间和有两个不同的解x1,x2,且x1与x2关于直线x=对称,即=,所以x1+x2=;故tan(x1+x2)=-1.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点.已知PD=,CD=4,AD=.(1)若∠ADE=,求证:CE⊥平面PDE.(2)当点A到平面PDE的距离为时,求三棱锥A-PDE的侧面积.【解析】(1)在Rt△DAE中,AD=,∠ADE=,所以AE=AD·tan∠ADE=·=1.又AB=CD=4,所以BE=3.在Rt△EBC中,BC=AD=,所以tan∠CEB==,所以∠CEB=.又∠AED=,所以∠DEC=,即CE⊥DE.因为PD⊥底面ABCD,CE⊂底面ABCD,所以PD⊥CE.又PD∩DE=D,所以CE⊥平面PDE.(2)因为PD⊥底面ABCD,PD⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面ABCD.过A作AF⊥DE于F,所以AF⊥平面PDE,所以AF就是点A到平面PDE的距离,即AF=.在Rt△DAE中,由AD·AE=AF·DE,得AE=·,解得AE=2.所以S△APD=PD·AD=××=,S△ADE=AD·AE=××2=,因为BA⊥AD,BA⊥PD,AD∩PD=D,所以BA⊥平面PAD,因为PA⊂平面PAD,所以BA⊥PA.在Rt△PAE中,AE=2,PA===,所以S△APE=PA·AE=××2=.所以三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++.3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N(A点在椭圆右顶点的右侧)，且∠NF2F1=∠MF2A.求证直线l恒过定点，并求出斜率k的取值范围.【解析】(1)由题意知e==，所以e2===，即a2=2b2.又因为b==1，所以a2=2，b2=1，所以椭圆方程为+y2=1.(2)由题意，设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0，得m2<2k2+1，则有x1+x2=，x1x2=.因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，+=0.又F2(1，0)，则+=0，即+=0，化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.将x1+x2=，x1x2=代入上式得m=-2k，所以直线l的方程为y=kx-2k，即直线过定点(2，0).将m=-2k代入m2<2k2+1，得4k2<2k2+1，即k2<，又因为k≠0，所以直线l的斜率k的取值范围是∪.4.设函数f(x)=lnx+，m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值.(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数.【解析】(1)由题设，m=e时，f(x)=lnx+，则f′(x)=，所以当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，+∞)上单调递增.所以x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+=2，所以f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>0)，令g(x)=0，m=-x3+x(x>0)，设φ(x)=-x3+x(x>0)，则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，+∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，+∞)上单调递减.所以x=1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ(x)的最大值点，所以φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0，结合y=φ(x)的图象(如图所示)，可知①当m>时，函数g(x)无零点；②当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m=或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点.5.椭圆E:+=1(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为,抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A,B,与G交于C,D.(1)求椭圆E及抛物线G的方程.(2)是否存在常数λ,使+为常数,若存在,求λ的值,若不存在,说明理由.【解析】(1)设E,G的公共焦点为F(c,0),由题意是=,=.联立解得c=2,a=,b=1.所以椭圆E:+y2=1,抛物线G:y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).直线l的方程为y=k(x-2),与椭圆E的方程联立得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.Δ=400k4-20(5k2+1)(4k2-1)=20(k2+1)>0.x1+x2=,x1x2=|AB|=|x1-x2|==.直线l的方程为y=k(x-2),与抛物线G的方程联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.x3+x4=.|CD|=x3+x4+4=.+=+=.要使+为常数,则20+λ=4,得λ=-. 故存在λ=-,使+为常数.。
高三数学二轮复习 第一篇 专题1 第4课时测试 文
高三数学二轮复习 第一篇 专题1 第4课时测试 文(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．(2011·福建卷)⎠⎛01(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析： ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2)| 01＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e ，故选C.答案： C2．(2011·江西卷)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析： 由题意知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x>0，∴x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵x >0，∴x >2. 答案： C3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 011(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析： ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.答案： A4．三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <0 B ．m <1 C ．m ≤0D ．m ≤1解析： ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )≤0. ∵f ′(x )＝3mx 2－1，∴3mx 2－1≤0恒成立，∴m ≤13x2恒成立．∵13x2>0，且m ≠0，∴m <0，故选A. 答案： A5．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析： 依题意得，函数f ′(x )、g ′(x )分别是偶函数、奇函数，当x <0时，－x >0，f ′(x )＝f ′(－x )>0，g ′(x )＝－g ′(－x )<0.选B.答案： B6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析： 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．答案： C 二、填空题7．(2011·陕西卷)设f (x )＝错误!)，若f (f (1))＝1，则a ＝________. 解析： 由题意知f (1)＝lg 1＝0，∴f (0)＝0＋a 3－03＝1， ∴a ＝1. 答案： 18．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析： 由f (x )＝x 3－3x 2＋1得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，故当x ＝2时，函数f (x )取得极小值．答案： 29．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析： f ′(x )＝3x 2－3a 2，令f ′(x )＝0，即3x 2－3a 2＝0， 解得x ＝－a 或x ＝a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (－a )为极大值，f (a )为极小值， 有{ －a 3＋3a 3＋a >0，a 3－3a 3＋a <0，a >0，解得a >22. 答案： ⎝⎛⎭⎪⎫22，∞ 三、解答题10．设函数f (x )＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f (x )的单调区间； (2)讨论f (x )的极值．解析： 由已知得f ′(x )＝6x [x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1.(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a >1时，f ′(x )＝6x [x －(a －1)]．f ′(x )、f (x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，a －1)a －1(a －1，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a ＝1时，函数f (x )没有极值．当a >1时，函数f (x )在x ＝0处取得极大值1，在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3. 11．已知函数f (x )＝ax 2－3x ＋4＋2ln x (a >0)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最大值； (2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝12时，f (x )＝12x 2－3x ＋4＋2ln x ，f ′(x )＝x －1x －2x，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1和(2,3]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减， 比较f (1)＝32，f (3)＝2ln 3－12，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最大值为f (3)＝2ln 3－12. (2)f ′(x )＝2ax －3＋2x ＝2ax 2－3x ＋2x，因为f (x )在其定义域上是单调递增函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，得2ax 2－3x ＋2≥0恒成立， 因为a >0，x ＝34a>0，所以Δ＝9－16a ≤0，所以，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫916，＋∞. 12．已知函数f (x )＝e x＋ax ，g (x )＝e xln x ．(e≈2.718 28)(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值； (2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围． 解析： (1)由题知，f ′(x )＝e x＋a .因此曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的斜率为e ＋a ， 又直线x ＋(e －1)y ＝1的斜率为11－e ，∴(e ＋a )11－e ＝－1.∴a ＝－1.(2)∵当x ≥0时，f (x )＝e x＋ax >0恒成立．∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x＋ax >0恒成立． 若x >0，f (x )＝e x＋ax >0恒成立， 即当x >0时，a >－ex x恒成立．设Q (x )＝－exx.Q ′(x )＝－e xx －e x x 2＝1－x exx2. 当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e ，∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值范围为(－e ，＋∞)．。
高三数学一轮复习 第二章第4课时知能演练轻松闯关 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高三数学一轮复习第二章第4课时知能演练轻松闯关1．函数y＝xα(x≥1)的图象如下列图，那么α满足条件()A．α＜－1 B．－1＜α＜0C．0＜α＜1 D．α＞1解析：选C.由图象在第一象限向上凸起，可知0＜α＜1.2．(2021·高考卷)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2.3．(2021·调研)幂函数f(x)＝k·xα(k，α∈R)的图象过点(，)，那么k＋α＝________.解析：由幂函数的定义得k＝1，再将点(，)代入得＝()α，从而α＝，故k＋α＝.答案：4．函数f(x)是二次函数，不等式f(x)＞0的解集是(0,4)，且f(x)在区间[－1,5]上的最大值是12，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)＞0的解集是(0,4)可知f(0)＝f(4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x＝2，再由f(x)在区间[－1,5]上的最大值是12可知f(2)＝12.即解得∴f(x)＝－3x2＋12x.一、选择题1．以下列图给出4个幂函数的图象，那么图象与函数大致对应的是()A．①y＝x 13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x 12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x 12，④y＝x－1D．①y＝x 13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝x 12＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，结合选项知，其图象应与④对应．综上所述，选B.2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()a＞0，那么一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；假设a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a ＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故错误，因此选C.3．(2021·质检)f(x)＝x 12，假设0＜a＜b＜1，那么以下各式中正确的选项是()A．f(a)＜f(b)＜f＜fB．f＜f＜f(b)＜f(a)C．f(a)＜f(b)＜f＜fD．f＜f＜f＜f(b)f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，又0＜a＜b＜＜，应选C.4．设函数f(x)＝假设f(a)＜1，那么实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)a＜0时，a－7＜1，即2－a＜23，∴a＞－3，∴－3＜a＜0.当a≥0时，＜1，∴0≤a＜1.故－3＜a＜1.5．假设函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么()A．f(－2)<f(0)<f(2)B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2)D．f(0)<f(2)<f(－2)f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于x＝对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)<f(2)<f(－2)．二、填空题6．幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，那么满足f(x)＝27的x的值是________．解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点(－2，－)，那么－＝(－2)α，∴α＝－3，∵x－3＝27，∴x＝.答案：7．假设函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，那么m的取值范围是________．解析：m＝0时，函数在给定区间上是增函数；m≠0时，函数是二次函数，由题知m>0，∴对称轴为x＝－≤－2，∴0<m≤.综上0≤m≤.答案：[0，]8．函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，那么a的值是________．解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或者a＝－1.答案：－1或者3三、解答题9．函数f(x)＝x m－，且f(4)＝.(1)求m的值；(2)断定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)因为f(4)＝，所以4m－＝.所以m＝1.(2)因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(3)设x1＞x2＞0，那么f(x1)－f(x2)＝x1－－＝(x1－x2)，因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋＞0.所以f(x1)＞f(x2)．所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．10．二次函数f(x)的图象过A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象，并由图象给出该函数的值域；(3)求不等式f(x)≥0的解集．解：(1)令f(x)＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，图象经过(1，－8)，得a(1＋1)(1－3)＝－8，解得a＝2.∴f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2(x－1)2－8.(2)图象为：值域：{y|y≥－8}．(3)由图象可知解集为：{x|x≤－1或者x≥3}．11．函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)务实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或者－a≥6，即a≤－6或者a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．。
高三数学一轮复习 第二章 第4课时练习 理 新人教A版 试题
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析： 因y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，又y ＝x |x |为奇函数，结合图象知，选A.答案： A2．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3B ．y ＝(x －3)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1解析： 把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.答案： C3．在同一坐标系内，函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象可能是( )解析： 对于A ，由y ＝x ＋a 的图象得a ＞1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上应递增，A 不对；对于B ，由y ＝x ＋a 的图象得0＜a ＜1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上应递减，B 不对；对于D ，由y ＝x ＋a 的图象得a ＜0，此时y ＝log a x 无意义．故选C.答案： C4．(2010·某某某某一模)已知图①是函数y ＝f (x )的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)解析： ∵图②中的图象是在图①图象的基础上，去掉函数y ＝f (x )图象y 轴右侧的部分，保留y 轴左侧的部分，然后作关于y 轴对称的图象得来的．∴图②中的图象对应的函数可能是y ＝f (－|x |)． 答案： Cy ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图象可表示为( )解析： 当t ∈[－1,0]时，S 增速越来越平缓，当t ∈[0,1]时，增速越来越快，故选B.答案： B6．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是( )解析： 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，－4≤a ≤0，故b ＝g (a )，即为b ＝4(－4≤a ≤0)，图象为B.答案： B二、填空题7．为了得到函数f (x )＝log 2x 的图象，只需将函数g (x )＝log 2x 8的图象________． 解析： g (x )＝log 2x8＝log 2x －3＝f (x )－3，因此只需将函数g (x )的图象向上平移3个单位即可得到函数f (x )＝log 2x 的图象．答案： 向上平移3个单位8.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．解析： 由图象知f (3)＝1，∴1f 3＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3＝f (1)＝2.答案： 29．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析： 方程变形为3－x 2＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，令y ＝3－x 2，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.由图象可知有2个交点．答案： 2三、解答题10．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|.(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)解不等式f (x )≤6.解析： (1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2，x ≤－1，4，－1＜x ≤3，2x －2，x ＞3，图象如右图所示： (2)方法一：由f (x )≤6，得当x ≤－1时，－2x ＋2≤6，x ≥－2，∴－2≤x ≤－1.当－1＜x ≤3时，4≤6成立；当x ＞3时，2x －2≤6，x ≤4.∴3＜x ≤4.∴不等式f (x )≤6的解集为[－2,4]．方法二(数形结合)：由上图可知，不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤4}．11．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值X 围．解析： 当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图(1)所示，由已知得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12.(1) (2)当a ＞1时，y ＝|a x－1|的图象如图(2)所示．由题意可得：0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12，与a ＞1矛盾． 综上可知：0＜a ＜12.12．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证：y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值.【解析方法代码108001013】解析： (1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)．由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)]＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0，即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上．∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称．(2)对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立．又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.。
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专题3 第4课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误答案： C2．用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”假设内容应是( ) A.3a ＝3bB.3a <3bC.3a ＝3b 且3a >3bD.3a ＝3b 或3a <3b 解析： 假设结论不成立，即3a >3b 的否定为3a ≤3b . 答案： D3．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出( )A ．1－4＋9－16＋…＋(－n )2＝(－1)n －1·n n ＋2B ．1－4＋9－…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n －1·n n ＋2C ．1－4＋9－…＋(－1)n ·n 2＝(－1)n －1·n n －12 D ．1－4＋9－…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n·n n －12解析： 由归纳法即得B 正确，故选B. 答案： B4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析： 只有①、②正确，其余错误，故选B. 答案： B5．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④解析： ①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推理，所以①②④为合情推理． 答案： C6．给出下列四个命题，其中真命题的个数为( ) ①向量a 、b 满足a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角； ②存在四个面都是直角三角形的四面体；③已知动点M 到A (1,2)的距离等于它到直线x ＋y －3＝0的距离，则M 点的轨迹为抛物线； ④已知数列{a n }为递增数列，且a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，则实数λ的取值范围为(－3，＋∞)． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析： 对于①，当a ·b >0时，a 与b 的夹角可能是0，因此①是假的；对于②，在四面体ABCD 中，当AB ⊥平面BCD ，且BC ⊥CD 时，该四面体的四个面都是直角三角形，因此②是真的；对于③，由于点A (1,2)在直线x ＋y －3＝0上，因此动点M 的轨迹是一条过A (1,2)且与直线x ＋y －3＝0垂直的直线，因此③是假的；对于④，a n ＋1－a n ＝λ＋2n ＋1>0，即λ>－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，所以只要λ>[－(2n ＋1)]max ＝－3，因此④是真命题，故真命题的个数为2.答案： B 二、填空题7．如果a a＋b b>a b＋b a，则a、b应满足的条件是____________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔(a－b)2(a＋b)>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b8．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则____________________________．”解析：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2＝S△BCD2.答案：S△ABC2＋S△ACD2＋S△ADB2＝S△BCD29．将正整数1,2,3,4，…，排成数阵(如图)，在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，…，则转第100个弯处的数为________．解析：由题意知转第2个弯在3处，转第4个弯在7处，转第6个弯在13处，…，观察可知，转第2k个弯，在k(k＋1)＋1处，所以，转第100个弯在50(50＋1)＋1，即2 551处．答案： 2 551三、解答题10．观察下列三角形数表1…………………………第一行2 2…………………………第二行3 4 3………………………第三行4 7 7 4………………………第四行5 11 14 11 5…………………………………假设第n行的第二个数为a n(n≥2，n∈N*)，(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．解析： (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6. (2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1) ＝2＋n －n ＋2，所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)．11．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解析： 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋＋2α2＋12[sin(30°＋2α)－sin 30°] ＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos 2α]＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋2α－12 ＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin 30°]＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋2α－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 12．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .解析： (1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. 所以数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：因为点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，所以T n ＝－12b n ＋1.①所以T n －1＝－12b n －1＋1.②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1.所以32b n ＝12b n －1，所以b n ＝13b n －1.令n ＝1得b 1＝－12b 1＋1，所以b 1＝23.所以{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列，所以b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .(3)证明：c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，所以c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)] ＝23n ＋1(n ＋2－3n －3) ＝23n ＋1(－2n －1)<0，所以c n ＋1<c n .。