新课标立方体几何空间直线和平面

高中立体几何（全一册）第一章直线和平面第三单元空间直线和平面一、教法建议【抛砖引玉】本单元主要研究空间直线与平面的位置关系，是立体几何基础中的支柱．通过研究空间直线与平面位置关系的判定和性质，用以解决立体几何中的计算和证明问题．空间直线和平面的位置关系共分为两类：一是直线在平面内，如果一条直线上有不同的两点落在同一个平面内，那么整条直线就落这个平面内．此时直线这个点集是平面点集的真子集；二是直线在平面外，直线在平面外又分为两种情况：直线与平面平行，这里有平行的定义、平行的判定和平行的性质；还有直线与平面相交，当直线与平面有且仅有一个交点时，直线就与平面相交，相交时又有两种不同的位置关系，第一是直线与平面垂直，垂直的定义、垂直的判定和垂直的性质，同时提出了立体几何中最重要的定理一垂线定理及其逆定理，为后续知识的学习奠定坚实的基础；第二是直线与平面斜交，有直线在平面内的射影和直线与平面所成角的概念．本单元的重点之一是研究直线与平面的平行．平行的定义是直线与平面没有公共点；如何判定直线与平面的平行呢？如果平面外的一条直线和这个平面内的某一条直线平行，那么这条直线就平行于这个平面．这就是判定定理，简称为“线线平行，线面平行”．直线和平面平行以后又有些什么性质呢？当直线a平行于平面a以后是否有平面内任何一条直线都平行于直线a呢? 结论是否定的，我们有如下的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面与已知平面相交，那么这条直线就和交线平行．这是直线与平面平行的性质定理，简称为“线面平行，线线平行．”这两种简称都要在理解原定理的意思中说出各个线和面的意义．本单元重点之二是研究直线与平面的垂直．垂直的定义要求很高，一条直线如果垂直于一个平面内的任何一条直线，那么称这条直线垂直于这个平面．有了这个要求很高的定义以后，判定就变行相对宽松一些，如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么称这条直线垂直于已知平面．注意它的证明纯粹应用平面几何中等腰三角形的性质和判定．此外，还有两条平行直线与平面垂直的判定和性质的两个定理．平面的斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的锐角，特别地当直线垂直于平面时，直线与平面成直角；当直线平行于平面时，直线与平面成零角•因此，设Q是直线I与平面a所成的角时，角B的取值范zr围是茨［0 ,.本单元的重点之三是三垂线定理及其逆定理，它们都是研究直线与直线关系的.在研究空间图形时，常常利用它们把某些空间图形的计算问题转化为平面图形的计算问题，证明问题也的这样，所以三垂线定理及其逆定理是立体几何的重要支柱. 这两个定理的证明仅仅用到直线与平面垂直的判定和定义，是不难掌握的，同学们在学习过程中应特别注意的是搞清三垂线定理及其逆定理的区别，应用定理时，说清究竟是用三垂线定理，还是三垂线定理的逆定理.【指点迷津】本单元的知识，既重要，又难学•教师对学生的指导必须在给学生认真讲清概念关键的同时，用模型给学生摆清各种直线和平面的位置关系，解决好使学生建立空间概念的问题. 在教学过程中使学生的空间想象能力逐步得到培养；同时还要学会把空间想象出来的线面关系在二维平面上表示出来•在纸面上画出来•也就是要做到：第一，直线与平面的位置要想得出，能理解，会比划；第二是把想象出的位置关系画到平面上•这是有一定难度的.因为平面几何研究的是二维的平面图形的性质，学生从初中升入高一，本来就对想象三维空间的线面关系感到困难，又要把想象出来的三维线面关系重新表示到二维纸面上来，画好图，画得直观、生动，关键是符合科学性，而且看到图又要能想象出位置关系，而这个过程是必须要过的，而且一定要过好，这就叫做空间想象能力的培养.二、学海导航【思维基础】学习本单元的知识，主要抓住空间直线与平面的平行、斜交和垂直三种主要位置关系•每一种位置关系都要搞清一系列问题•例如，怎样定义直线与平面平行？如何判定直线与平面平行，有几种方法？直线与平面平行以后，有些什么性质？又例如，怎样定义直线与平面的垂直？如何判定直线与平面垂直，有几种方法？直线与平面垂直以后，又有些什么性质？都必须通过整理，弄懂弄通，运用自如，才真掌握了这些知识；还比如，平面的斜线中有一个斜线长和射影长的定理，这是必须注意定理的条件、前提，必须是以平面外一点出发的诸多斜线和一条垂线，如果遗忘这个条件，结论虽然是不对的.所以要求同学们认真地阅读理解定理中的原文原句，正确地掌握其内在含意.试完成以下各题：1直线和平面平行的充要条件是这条直线和平面内的( )(A)一条直线不相交(B)两条直线不相交(C)任意一条直线都不相交(D)无数条直线不相交2 .^设a、b是两条异面直线，下列命题中，正确的是( )(A)有且仅有一条直线与a、b都垂直(B)有一个平面与a、b都垂直(C)过直线a有且仅有一个平面与b平行(D)过空间任何一点必可作一条直线与a、b都相交3.正方体ABCD —A i B i C i D i中，E、F分别是AA、和AB的中点，则EF 与对角面AA i C i C所成的角是()(A)30°( B)45°( C)60°( D)150°4.设P是厶ABC所在平面外一点，则点P在此三角形所在平面内的射影是△ ABC的垂心的主要条件是()(A)PA=PB=PC(B)PA 丄BC 且PB 丄AC(C)点P到厶ABC三边的距离相等(D)PA、PB、PC与厶ABC所在平面所成的角相等5.已知△ ABC在平面a的同侧，顶点A、B、C到平面a的距离分别是11、7、3, G是厶ABC的重心，贝U G到平面a的距离等于____________________ .6 . 已知长方体ABCD —A' B C'中D'AA ' =5AB=12，那么直线B ' C 与平面A BCD的距离等于_____________________ .7.在长方体ABCD —A i B i C i D i 中，AB=6, AD=8 , AA i=3.6, AE 与低面对角线B i D i 垂直于点E.(i)求证A i EB i D i； (2) 求AE 的长.【学法指要】例i•四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多的是 ()(A)i 个(B)2个(C)3个(D)4个解：如图，当四棱锥P—ABCD的侧棱FA垂直于底面灯ABCD时，PA丄AB, PA丄AD , △ PAB和厶PAD都是直角三角形；当底面ABCD是矩形时，•/ BC丄AB,由三垂线定理知BC丄PB, •••△ PBC也是直角三角形，同理△ PCD也是直角三角形，因此侧面中直角三角形的个数最多是4个，选(D).例如2.等腰直角三角形△ ABC中，AB=AC=i ,PA丄平面ABC,且PB=2 .求PA与平面PBC所成角的正弦值. ()解：如图，在ABC中作AC丄BC于D，贝U D是返BC 中点，且AD^ ，又因为PA=2 ,PD=•/ AD丄BC,由三垂线定理知••• BC丄平面PAD，平面PAD过A作A0丄PD于0,贝U AO丄平面PBC . / APO=0就是PA与平面PBCPA AD 2所成的角，在Rt△ FAD中，A0= 厂门AO _1• sin e=-例3. A是直线分.证明：交平面a7/ a,则相交直线a与b确定的平面与平面行.过点A作A A丄直线a',交直线a于点A '，贝U AA丄面a,设AA交平面a于点M,则由于异面直线a b到平面a 的距离相等，所以AM=M A '，即M 是AA的中点，又设AB交平面a于点P,连MP、A' B 由于相交直线a与b所确定的平面与平面a平行，这两个平行平面被平面AA B所截，截得的交线MP与A' B平行，由M是AA 的中点，知PM是PD丄BC,丄平面PBC,1=- .即PA与平面PBC所成角的正弦值等于“.异面直线a、b分别与平面a平行，且a、b到平面a的距离相等，a上任意一点,B是直线b 一的任意一点，求证线段AB被平面a平Aa平屋心* ”设CD是异面直线a、b的公垂线段，CDa于点0,贝U CO=DO，如图，过D作直线△ AA ' B的中位线，故P是AB的中点，即线段AB被平面a平分.例4.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF 的中点，现沿SE、SF 及EF把正方形折成一个四面体，使G" G2、G3三点重合，重合后记为G,那么在四面体S-EFG中必有()(A)SG±^ EFG所在平面(B)SD±^ EFG所在平面(C)GF±^ SEF所在平面(D)GD !△ SEF所在平面解：由于在平面图形 SG 1G 2G 3中，SG i 丄G 1G 2, SG 3丄G 2G 3，所以折成四 面休SGEF 中，/ SGE= / SGF=Rt Z, GE 、GF 、相交于点 G ,因此 SG ±^ EFG 所在平面.故应选(A )例5 .已知Z BAC 在平面 a 内，PA 是平面 a 的斜线，若Z PAB= Z PAC= Z BAC=60°, PA=a .求点 P 到坪面 a 的距离.解：过点P 作PO 平面a,•/Z PAC= Z PAB ,.・. AO 平分Z BAC, 在平面a 内，作OC 丄AC 于点C,连PC , 由三垂线定理知 PC 丄AC .a又•/ ZPAC=60°, PA=a ,「. AC=•AO=:工；-例6 .如图，ABCD 是边长为2a 的正方形，M 、N 分别是AB 、AD 的中 点，PC 丄平面ABCD , PC=a .(1) 求证：BD //平面PMN ; (2) 求点B 到平面PMN 的距离. 解：(1) •/ M 、N 分别是正方形 ABCD 的边AB 、 AD 的中点，••• MN // BD , MN €平面 PMN , ••• BD // 平面 PMN .(2) •/ ABCD 是正方形，• BD 丄 AC , MN // BD• MN 丄 AC又/ PC 丄平面 ABCD , MN 平面ABCD , • MN 丄PC . 又PCAAC=点C . • MN 丄平面EPC .在平面EPC 内，作 OH 丄PE 于点H ,贝U MN 丄OH , • OH 丄平面PMN , 由于BD //平面PMN ，所以OH 的长就是点B 到平面PMN 的距离.在 Rt △ PCE 中，PC= a , EC=()• PE= ，又 EO=-•/△ EHOs^ ECP ,「. OH : PC=EO : PE ,在 Rt △ PAO 中,■I? 3故点P 到平面 a 的距离为T*6故点B到平面PMN的距离为 --例7.如图，AD是厶ABC中BC边上的高，在AD上取一点E,使AE= •:ED，过E作直线MN平行于BC,交AB于M ,交AC于N,现将△ AMN沿MN折过去，此时点A到了A'的位置, ABC.证明：连结A B AC、A'D,\•/ AE= ■ ED , A'E=AE,\••• A'E= ED , Z A'ED=60°,在A'ED中，由余弦定理求得A' D = ED .• EA'D=90°,即即E'A A'D .又AD 丄BC, MN // BC ,• MN 丄AD .即MN丄A'E, MN丄ED .因此MN丄平面EA'D , 即BC丄平面EA'D. E A'平面EA'D • EA'丄BC, EA'丄A'D, A'DQ BC=点C• EA'丄平面A' C评注：通常是知道位置关系，如平行，垂直等来进行计算，这里的关键2在于利用AE= ED和Z AED=600这两个数量关系来推断EA'丄A'D，这个位置关系，同学们应该学会.例8 .已知平面a B相交于直线PQ，线段0A、OB分别垂直于平面a 3,其中A、B为垂足./ °求证：(1) PQ丄平面AOB (2) PQ丄AB. /（IV.' OA 丄平面20 20T>C= ORPQ 丿 hPQ 丄平PQ 丄平面a ） 0万丄平面恥 戸（3导面B OA n o 民点□ 评注：同学们在推理论证的学习达到一定的熟练程度的时候，可以学习 运用推出符号“：”来进行论证，这样的证明因果关系清晰，简洁明了 •但是 应注意两点，第一是条件必须具备齐全，然后直接运用定理便可推出；第二 是必须按序一步一步地推得，不能把条件全部罗列，一个推出符号 “：”就 得到最后结论，这是不对的，请同学们学习时注意. 例9 .如图，地平面上有一竖直的旗杆 OP ,为了测得它的高度 h ,在地 面上选一条基线 AB , AB=20米，在A 点处测得点P 的仰角为/ OAP=30°, 在B 点处测得点P 的仰角为/ OBP=45°，又测得/ AOB=60°.求旗杆的高（结 果可以保留根号）. H= » 丁 （米）.答：旗杆的高度为h=「、米.nPQ LAB解：设旗杆的高 OP =h ，在Rt △ PAO 中, •••/ PAO=30°, ••• AO= ‘ ： h ，在 Rt △ PBO 中, •••/ PBO=45°,二 BO=h , 在厶AOB 中，/ AOB=60°,由余弦定理知 AB 2=AO 2+BO 2-2AO BO COS 60°,].• 400=3h 2+h 2-2 ； ； h2'（4-' i ）h 2=400.例10.在四面体 ABCD 中，已知棱 AB 丄CD , 棱AC丄BD .求证棱AD 丄BC . 证明：设顶点A 在平面BCD 内的射影为O , 即AO 丄平面 BCD 于点O ,则因为 AB 丄CD , 由三垂线逆定理知 BO 丄CD ，同理CO 丄BD . 因此O 时厶BCD 的垂心，连DO ，则DO 丄BC , 由三垂线定理知 AD 丄BC . PQ 丄平面AOB ZEu 平面AOB 」评注：应用三垂线定理时，正定理和逆定理不能搞错.已知平面内的直 线与斜线在这个平面内的射影垂直，得到平面内的直线与斜线垂直是三垂线定理•反之，已知平面内的直线与平面的斜线垂直，推得这条直线和斜线在 已知平面内的射影也垂直，是三垂线定理的逆定理.例11.已知Rt △ ABC 的斜边AB 在平面a 内, a 分别成 9i 和 $角，若平面 ABC 与平面2 2 2sin $+sin $=sin 0证明：设直角顶点 C 在平面 结 AO 、BO , 则 / CAO=0 i ,/ CBO=0 2hhsin i $,sin 2=在平面ABC 中，作CD 丄AB 于D ,连结OD ,由三垂线逆定理知，OD 丄AB 2L 且/ CDO=＞就是平面ABC 与平面a 所成二面角的平面角，而且 sin $ = •在 Rt △ ABC 中，T CD-AB=AC BC ,22汽严】42/• sin $ +sin $= 」 -「= -亠 =sin 0.故有结论成立.例12.平面M 的一条斜线与平面 M 所成的角为a,该平面内过斜足的一 条直线与斜线在平面内的射影所成的角为 3,与斜线所成的角为 丫求证： cos 丫 =cos a- . cos 3证明：如图，PO 是平面M 的垂线，PA 是平 面M 的斜线，OA 就是斜线FA 在平面M 内的射 影，/ FAO=a 就是斜线 FA 与平面M 所成的角.AB 是平面M 内过斜足A 的直线，它与射影OA 所成的角为，即/ OAB= 3, AB 与斜线FA 所成的角为Y ，所以/ PAB=Y在平面M 内，作OB 丄AB 于点B .连结FB ，则由三垂线定理知 FB 丄AB ，OAABRt △ FAO ，Rt △ A OB 和 Rt △ FBO 中，有 cosa= ‘一，cos 3=，因此有 cos 丫 =cos a- . cos 3两直角边AC 、BC 与平面 a 成二面角为.求证：22 AC*■/ sin $ +sin $ =+BC 7订+ BC 2BC 2AB 1江 F ?' =因此，在ABcos Y =COSff CO5^ C0S r <^9【思维扩散】例13.已知三棱锥 P —ABC 的三条侧棱 PA 、PB 、PC 两两互相垂直.(1) 求证点P 在平面ABC 内的射影G 是厶ABC 的垂心；(2) 求证△ APB 、△ BPC 、△ CPA 的面积平方和等于△ ABC 面积的平方;⑶设二面角 P —AB — C 、P — BC — A 、P — CA — B 分别为 a 、B 、Y 求证明：(1)P 卫丄PB \ 丄PC |二PX 丄平面 PM h. P^J^C 7^4G±^C FBCPA 总P i PC 匚平面PSC I JAG 是R4的射影/同理 BG 丄AC , CG ± AB 所以G 是厶ABC 的垂心.(2)延长 AG 交BC 于H ，连结PH PA 丄平面PBC , PH €平面PBC , ••• PA 丄PH 即/APH=90°.在 Rt △ PAH 中，PH2=AH GH .]_ ]_•••( S ABPC ) 2= ' BC 2PH 2=' BC 2AH GH1 \=c BC -AH ) c BC - GH) =S A ABC S A GBC .同理(S A APB ) =S A ABC S A GBC ,(S A CPA ) =S A ABC S A GCA ,将三式相加，便得(S ABPC ) 2+ ( S A CPA ) 2+ ( S AAPB ) 2= (S △ ABC ) 2瓦血%CA(3) ■/ cos=-"儿-,cos= ■' ' a ' , cos= ■门工. 2 2 2 .…COS +COS +COS =1证 COS a ・ COS BCOSP8a 、B 丫为锐角.空间的直线与平面是立体几何第一章的重点•每种位置关系展开都有一 系列判定定理和性质定理，学习过程中对定理的条件，定理应用的适用范围 必须作周密的考虑和判定，不能一概而论，肓目应用.看下面的两个命题：命题1.已知平面 a 平面直线I ，直线b //平面 a 直线b //平面3, 则直线// b. 垂直于PA ，但显然不能都与射影 0A 垂直.思想问题首先应该严格按照命题的条件，题目的已知，其次是在允许范 围内多方位、多角度地思考问题，可以为我们创造性思维的培养奠定坚实的 基础.三、智能显示【心中有数】本单元直线与平面的位置关系是立体几何第一章线面关系的重点，主要 是空间直线与平面平行、空间直线与平面垂直及空间直线与平面斜交三种位 置关系，每种位置关系都有定义、判定、性质等一整套理论，必须熟练地掌 握，正确地使用.【动脑动手】2. 已知直线 m 、n 和平面，则a 丄3的一个充分条件是命题2 .已知PA 是平面 a 的斜线，PO 是平面 于斜线PA ，那么直线I 一定垂直于其射影 PO .命题1中的结论显然是正确的，可以这样来证明： 过直线b 作平面Y 设丫门直线a ，则因为直线 直线a ，又因为直线b //平面a, a 的垂线， b //平面 如果直线I 垂直平面3是经过a 且与平面a 相交于直线 线平行公理知直线 b //直线I .命题2中的结论显然是错误的.平面 线，斜线摆好以后，三垂线定理说的是直线a 在平面a 外，所以， I 的平面，所以直线 ?3所以直线b // 直线a //平面a,a //直线I ,由三内”的直线I ，这个条件省略以后， 命题就可能是 不正确的.因为垂直于斜线 PA 的直线许多种不 同的位置，只要在垂直于PA 的平面内的直线都以检查学习效果:1.已知直线a 、b 和平面解答下列一组题目丄 a曲丄a - ③白丄a ' n b" cia 丄/其中正确命题是 (A )①、② (C )②、③、④a 以下四个命题中, ②m 丄口 “b 丄口jr④力a ］aLb jnb 丄口(B ［①、②、③(D ［①、②、④平面a 的垂(A)m±n, m II a n〃B(B)m±n, aA3 =mn_ a(C)ml n, mu a, n丄B(D)m I n, m丄a n丄B3.如果直线I是平面a的斜线，那么在平面内(A)不存在与I平行的直线(B)不存在与I垂直的直线(C)与I垂直的直线只有一条(D)与I平行的直线无数多条4 .在下列命题中，偶命题是()(A )若a、b是异面直线，则一定存在平面a,过a且与b垂直(B)若a、b是异面直线，则一定存在平面a,过a且与b垂直(C)若a、b是异面直线，则一定存在平面a,与a、b所成的角相等(D)若a、b是异面直线，则一定存在平面a,与a、b的距离相等5 .如图，点P是三棱锥S— ABC的面SBC内一点.(1)过P作PQ //平面ABC;(2)过(1 )中得到的PQ作平面a//平面ABC;;(3)在面ABC内求一点R,使PR//平面SAB, 且R到AC和BC的距离相等.6 .已知M、N是棱长为a的正方体ABCD —A1B1C1D1中棱"B!和AQ I 的中点.(1)求证BD //平面AMN ;(2)求点B到平面AMN的距离.【创新园地】正四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，AB = a , AA i =b才k (b >a), AM 丄 A I B ，交 B I B 于点 M .(1) 求证：BD 1±平面MAC ; (2) 求点B 到平面MAC 的距离. 证明：(1) D I A I 是平面AA 1B 1 B 的垂线，是平面AA !B !B 的斜线，A I B 是斜线BD I 在 平面AA ! B I B 内的射影，AM 是平面 AA i B i B 内的一 条直线，因为AM 丄A I B ,由三垂线定理知 BD i 丄 AM ; 又 D I B 丄 AC , ACAAM=点 A ，所以 BD i 丄平面 MAC .(2)解法(一)，作对角面 BB I D I D ，交AC 于0,连0M ，则0M 就是对角面 BB I D I D 与平面 MAC 的交线，•/AC 丄平面 BB i D i D ,二平面 AMC 丄平面BB I D I D ,在平BB i D i D 内，作BH 丄0M 于点H 则BH 就是点B 到平面MAC 的距离.•/ AB=a , AA i =b ,Rt △ ABM S Rt △ A iAB , • M0= = — 5 …一解法(二)：••• AB=a, AA i =b ,同理求得BM=:1因为 ABC 的面积为、a2 ,所以三棱锥 M — ABC 的体积是••• BM=又•/ BO = BO 因此BH= 二-：另一方面，因为所以AMC 的面积丄二加七甘SAMC= AC -M0=：：'设B到平面AMC的距离为x，则三棱锥M —ABC的体积又可以这样计算：所以因此点B到平面AMC的距离为^厂一-门'评析：求点到平面的距离，方法很多，可能直接作出这个距离来求，一般要用到平面与平面的垂直. 因为两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面.点到平面的距离就可以求出来了.另一种方法是不作出距离，而是利用体积法换法，直接求出点到平面的距离.（本单兀完）【思维基础答案】：601. C;2. C;3. A;4. B;5. 7;6. ;7. AE=6.【动脑动手答案】：2—a1. A;2. C;3. A;4. B;5.略；6.。