2021高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线课件理新人教A版
2024届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件
4.与双曲线有关的
3.了解双曲线的简单应用.
最值和范围问题
核心素养
直观想象
逻辑推理
数学运算
强基础 增分策略
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 距离的差的绝对值 等于非零常数(小于|F1F2|)
的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ,两焦点间的距离
2x2-y2=k(k≠0).又点 P(2 2,- 2)在双曲线上,所以 k=16-2=14,所以双曲线的方
程为
2
2x2-y2=14,所以双曲线的标准方程为
7
2
− =1.故选
14
B.
(3)3x±4y=0
可化为4 ± 3=0.
设以4 ± 3=0
2
2
为渐近线的双曲线方程为16 − 9 =λ(λ≠0).
2
2
C:36 − 64=1
可得 a2=36,b2=64,
所以 c2=a2+b2=36+64=100,即 a=6,b=8,c=10,
所以|F1F2|=2c=20,所以|PF2|=|F1F2|=20.
由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=20+12=32,
所以在△PF1F2 中,PF1 边上的高为 202 -
1 2
)
2
2.(多选)(2022 湖北武汉高三期末)已知双曲线 C:12
判断正确的是(
)
A.实轴长是虚轴长的 2 倍
B.焦距为 8
C.离心率为 3
D.渐近线方程为 x± 3y=0
−
2
=1,下列对双曲线 C 的
高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件理
2.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y2 ＝ 16x的准
线交于A，B两点，|AB|＝4 3，则C的实轴长为
A. 2 B.2 2 C.4 D.8
x2 y2 设 C：a2－a2＝1.
答案
解析
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，
x2 y2 联立a2－a2＝1 和 x＝－4， 得 A(－4， 16－a2)， B(－4， － 16－a2)，
∴|AB|＝2 16－a2＝4 3，
∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.
3.(2015· 安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是
答案
2 y A.x2－ 4 ＝1
解析
x2 2 B. 4 －y ＝1
y2 2 C. 4 －x ＝1
2 x D.y2－ 4 ＝1
由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意； C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±1 x，只有C符合， 2 故选C.
c>0.
(1)当 时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在. 2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程
x2 y2 2－ 2＝1 (a>0，b>0) a b
x2 y2 (a>0，b>0) 2－ 2＝1 a b
图形 x≥a或x≤－a，y∈R 坐标轴 对称轴：
性
质
范围 对称性
x∈R，y≤－a或y≥a
原点 对称中心：
性
质
顶点 渐近线 离心率
A1(－a,0)，A2(a,0) b y＝± ax (1，＋ e＝， e∈ ∞)
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1节直线的方程教学案含解析新人教A版
第1节 直线的方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan__α. (2)计算公式：①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. ②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝y x. 3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0 不存在k <02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝03.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 答案 A ≠0且B ≠04.(2020·西安调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题意得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B5.(2020·昆明诊断)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案 B6.(2020·合肥调研)过点(－3，4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍).故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.答案 4x －y ＋16＝0考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移1】 若将例1中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 【迁移2】 若将例1中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1知直线l 的方程kx －y －k ＝0，∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)(一题多解)经过点P (2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2). 解 (1)由题可知sin α＝45，则tan α＝±43，∵直线l 经过点P (1，2)，∴直线l 的方程为y －2＝±43(x －1)，即y ＝±43(x －1)＋2，整理得4x －3y ＋2＝0或4x ＋3y －10＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. 因为直线l 过点P (2，3)，所以2a ＋3a＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的方向向量v ＝(－3，2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程； (2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用 多维探究角度1 直线过定点问题【例3－1】 已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________. 解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3，0). 答案 (1)(0，3) (2)(－3，0) (3)(3，0)规律方法 1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2 与直线方程有关的多边形面积的最值问题【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 1.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.2.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.答案 A2.(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.答案 A3.(2020·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B4.(2020·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1D.y ＝2解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x ＝2. 答案 A5.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.答案 A6.(2020·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案 D7.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.又sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B8.(2020·东北三省四校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[－1，0]C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案 A 二、填空题9.直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________.解析 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. 答案 3x －3y ＋1＝010.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝011.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].答案 [－2，2]12.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 020＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tanα21－tan 2α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32.答案 －32B 级 能力提升13.(2019·湖南长郡中学月考)已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，56πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π解析 因为点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，所以(－a －2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫33a －0＋1>0，即(a ＋1)(a ＋3)<0，所以－3<a <－1，又知直线l 的斜率k ＝a ，即－3<k <－1，又因为直线倾斜角的范围是[0，π)，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π，故选D. 答案 D14.(2020·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A.ab >0，bc <0 B.ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0解析 易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ab <0，－cb >0，所以ab >0，bc <0.答案 A15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.答案 4516.(2020·豫北名校调研)直线l 过点P (6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，直线l 的方程为________.解析 设直线l 的方程为y －4＝k (x －6)(k ≠0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫6－4k，0，B (0，4－6k )，由题意知k <0，则S △ABO ＝12×|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k ·(4－6k )＝24－18k －8k ，∵k <0，∴－18k >0，－8k >0，∴－18k －8k≥2（－18k ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k ＝24，当且仅当－18k ＝－8k ，即k 2＝49，也即k ＝－23时取得等号，所以△ABO 的面积的最小值为48，此时直线l 的方程为y －4＝－23(x －6)，即2x ＋3y －24＝0.答案 2x ＋3y －24＝0C 级 创新猜想17.(多填题)设点A (－2，3)，B (3，2)，已知直线l 的方程为ax ＋y ＋2＝0，则直线l 过定点________，若直线l 与线段AB 没有交点，则实数a 的取值范围是________.解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－（－2）－2－0＝－52，k MB ＝2－（－2）3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案 (0，－2) ⎝⎛⎭⎪⎫－43，52。
适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第6节双曲线课件新人教A版
9
.
解析 如图,已知F(-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A(1,4)在双曲线
两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以
|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9.当且仅当A,P,F'三点共线时,取等
号.
考点二 双曲线的标准方程
2
− 8 =1
解析 设双曲线的半焦距为 c,由|F1F2|=2c=4 6,可得 c=2 6.
将 x=-c 代入双曲线可得
2
y=± ,
22
由双曲线的定义可知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,|AB|= ,可得
|AF2|=|AF1|+2a,|BF2|=|BF1|+2a,所以△ABF2 的周长为
方程为
2
2
2
− =1
2
.
解析 令双曲线 C 的实半轴、虚半轴长分别为 a,b,显然双曲线 C 的中心为原
点,焦点在 x 轴上,其半焦距 c=2,由双曲线 C 的离心率为
a= 2,则 b= 2 -2 = 2,所以双曲线 C
2
的方程为 2
2,得
2
− 2 =1.
= 2,解得
2 2
9.(2021·全国乙,理 13)已知双曲线 C: m -y =1(m>0)的一条渐近线为
=-2a(0<2a<|F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F1的双曲线的一支.
2.要注意定义中2a的范围限制.若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是以F1,F2为端点
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线教案 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全
第6讲 双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当□04a <c 时，M 点的轨迹是双曲线； (2)当□05a ＝c 时，M 点的轨迹是两条□06射线； (3)当□07a >c 时，M 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质续表a ，b ，c 的关系,□19c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b .(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a.(5)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a2.1．(2018·某某高考)双曲线x23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)答案 B解析 因为双曲线方程为x 23－y 2＝1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，c ＝2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B.2．(2019·某某模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.3．(2019·某某模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53 答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵点P (2,1)在曲线C 的渐近线y ＝b a x 上，∴1＝2b a ，∴a ＝2b .又∵a 2＋b 2＝102＝5，即4b 2＋b 2＝25，∴b 2＝5，a 2＝20，故选A.5．(2018·高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.答案 4解析 在双曲线中，c ＝a 2＋b 2＝a 2＋4，且e ＝c a ＝52，∴a 2＋4a ＝52，a 2＋4a 2＝54，a 2＝16，∵a >0，∴a ＝4.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由题可知双曲线焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b ax ，又一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，∴b a＝2，即b ＝2a .又∵该双曲线的一个焦点为(5，0)，∴c ＝ 5.由a 2＋b 2＝c 2可得a 2＋(2a )2＝5，解得a ＝1，b ＝2.核心考向突破考向一 双曲线的定义例1 (1)(2019·某某模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题意得2a ＝23，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C.(2)(2019·某某某某模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．16答案 C解析 设双曲线的右焦点为F 2，∵|F 1P 1|＝2a ＋|F 2P 1|，|F 1P 2|＝2a ＋|F 2P 2|，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|＝2a ＋|F 2P 1|＋2a ＋|F 2P 2|－|P 1P 2|＝8＋(|F 2P 1|＋|F 2P 2|－|P 1P 2|)≥8(当且仅当P 1，P 2，F 2三点共线时，取等号)，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是8.故选C.触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.即时训练 1.虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24 答案 B解析 由于2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22，① |BF 2|－|BF 1|＝22，② ①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．答案 9解析 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|PA |最小时满足|PF |＋|PA |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|PA |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9.考向二 双曲线的标准方程例2 (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 答案 B解析 由题意可得ca＝2，即c ＝2a . 又左焦点F (－c,0)，P (0,4)，则直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c0＋c，化简即得y ＝4cx ＋4.结合已知条件和图象易知直线PF 与y ＝b ax 平行，则4c ＝ba，即4a ＝bc .故⎩⎨⎧c ＝2a ，4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝8，故双曲线方程为x 28－y 28＝1.故选B.触类旁通即时训练 3.(2019·某某模拟)已知双曲线x2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 答案 A解析 依题意，双曲线的渐近线为y ＝2x ，故b a＝2①；在直线y ＝2x ＋10中，令y ＝0，故x ＝－5，所以a 2＋b 2＝25②.联立①②，解得a 2＝5，b 2＝20.4．(2018·某某高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 答案 C解析 设双曲线的右焦点坐标为F (c,0)(c >0)，则x A ＝x B ＝c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1可得，y ＝±b 2a，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，据此可得，d 1＝|bc －b 2|a 2＋b2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b2＝bc ＋b 2c ，则d 1＋d 2＝2bc c ＝2b ＝6，则b ＝3，b 2＝9，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a2＝1＋9a 2＝2，据此可得，a 2＝3，则双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 考向三 双曲线的几何性质角度1 双曲线离心率问题例3 (1)(2018·某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是___． 答案 2解析 因为双曲线的焦点F (c,0)到渐近线y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0的距离为|bc ±0|a 2＋b 2＝bcc＝b ，所以b ＝32c ，因此a 2＝c 2－b 2＝c 2－34c 2＝14c 2，a ＝12c ，e ＝2. (2)(2016·某某高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得|AB |＝|CD |＝2b2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b2a＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值X 围.x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.33答案 B解析 如图所示，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°，F 1F 2＝2c ，∴MF 1＝2c cos30°＝433c ，MF 2＝2c ·tan30°＝233c ，∴2a ＝MF 1－MF 2＝433c －233c ＝233c ⇒e ＝ca＝ 3.6．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值X 围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e<2，e 2－2e－1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，故选D.角度2 双曲线的渐近线问题例4 (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 答案 A解析 ∵e ＝c a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3－1＝2，∴ba＝ 2.因为该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.(2)(2019·某某调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A.5B.52C. 3D ．2答案 A解析 依题意设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(其中a >0，b >0)，则其渐近线方程是y ＝±ab x ，由题知a b ＝12，即b ＝2a ，因此其离心率e ＝a 2＋b 2a ＝5aa＝ 5.触类旁通即时训练 7.(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2答案 D解析 因为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝1，所以双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以点(4,0)到渐近线的距离d ＝41＋1＝2 2.故选D. 8．(2019·某某武邑中学模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与x 轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( ) A.52B.53 C.132 D.133答案 D解析 设A (x 0，y 0)，由题意，得x 0＝c ，代入渐近线方程y ＝b a x 中，得y 0＝bc a ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，同理可得B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，则12×2bc a ×c ＝13bc 3.整理，得ca ＝133，即双曲线的离心率为133.故选D. 考向四 直线与双曲线的位置关系例5 已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1b2＝1. 不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，∴b ＝1，a 2＝2，∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0.∴x 1＋x 2＝－4km 2k 2－1，① x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.② ∵PA →·PB →＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0，∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0.而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3.将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中，判别式Δ＝8(34k 2＋36k ＋10)>0恒成立，∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2k k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.触类旁通求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是： 1设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.2利用点差法.C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值X 围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取PA →＝512PB →，求a 的值． 解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， 所以e >62且e ≠2，即e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此得x 1＝512x 2. 由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a2， 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，解得a ＝1713.。
高考数学一轮复习 第九章解析几何9.6双曲线教学案 理 新人教A版
9.6 双曲线考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想．3．了解双曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)图形性 质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点顶点坐标： A 1____，A 2____ 顶点坐标： A 1____，A 2____渐近线 y ＝____y ＝____离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的______，它的长|A 1A 2|＝______；线段B 1B 2叫做双曲线的______，它的长|B 1B 2|＝____；____叫做双曲线的实半轴长，____叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)1．双曲线x216－y29＝1的焦距为( )．A ．10B ．7C ．27D ．52．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )．A ．4 2B ．8 3C ．24D ．483．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．14．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )．A ． 5B ．5C ． 2D ．25．已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________．一、双曲线的定义及应用【例1－1】已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【例1－2】△PF 1F 2的顶点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝θ.求△PF 1F 2的面积S .方法提炼1．求点的轨迹方程时，首先要根据给定条件，探求轨迹的曲线类型．若能确定是哪种曲线，则用待定系数法求得相应方程，这种做法可以减少运算量，提高解题速度与质量．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系．请做演练巩固提升4二、求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． 请做演练巩固提升2三、双曲线的几何性质【例3】(2012重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝__________.方法提炼根据双曲线的特点，考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．请做演练巩固提升1莫忽略对轨迹中x 范围的界定【典例】(12分)(2012四川高考)如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (1,0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m ＞0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围． 规范解答：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1.此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，(3分)化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48＞0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1.(6分)结合题设(m ＞0)可知，m ＞0，且m ≠1. 设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |＜|PR |，所以|x Q |＜|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m2＋121＋3m2－1＝1＋221＋3m2－1.(9分)此时1＋3m2＞1，且1＋3m2≠2，所以1＜1＋221＋3m 2－1＜3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1＜|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＜3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.(11分)综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.(12分) 答题指导：(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±abx .(4)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．(5)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．1．(2012浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )．A ．3B ．2C ． 3D ． 22．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A ．x 25－y 24＝1B ．x 24－y 25＝1 C ．x 23－y 26＝1 D ．x 26－y 23＝1 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )．A ．2B ．4C ．6D ．84．(2012天津高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝__________，b ＝__________.5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．双曲线 焦点 焦距2．(－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) ±b a x ±a bx 实轴 2a 虚轴 2b a b 基础自测1．A 解析：∵c 2＝16＋9＝25， ∴c ＝5,2c ＝10.2．C 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2是直角三角形．∴S ＝12×6×8＝24.3．C 解析：由渐近线方程可知b a ＝32，所以a ＝23b ＝23×3＝2.4．A 解析：焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bca 2＋b 2＝2a ，则b ＝2a . 又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴离心率e ＝c a＝ 5.5．y ＝±2x 解析：∵焦点坐标为(－3，0)， ∴a ＞0且a ＋2＝3，∴a ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，渐近线方程为y ＝±2x .考点探究突破【例1－1】解：设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)． 所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |. 所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2， 即|FA |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上． 所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 【例1－2】解：设双曲线的左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1 ＝－2b 2|PF 1||PF 2|＋1， ∴|PF 1||PF 2|＝2b21－cos θ.在△F 1PF 2中，由正弦定理，得12F PF S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝sin θ1－cos θ·b 2. 【例2】解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y 24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1， 将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【例3】324 解析：因为F 1为左焦点，PF 1垂直于x 轴，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－bc 3a .又因为P 点为直线与双曲线的交点，所以c 2a 2－b 2c 29a 2b 2＝1，即89e 2＝1，所以e ＝324.演练巩固提升1．B 解析：由题意可知椭圆的长轴长2a 1是双曲线实轴长2a 2的2倍，即a 1＝2a 2，而椭圆与双曲线有相同的焦点．故离心率之比为c a 2c a 1＝a 1a 2＝2.2．A 解析：由题意得，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay＝0.又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径长为2，圆心坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝32＝9，且|3b |a 2＋b2＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线的方程为x 25－y 24＝1.3．B 解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线的定义得： |PF 1|－|PF 2|＝2.两边平方得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4.① 在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝8，② 由①②可解得|PF 1||PF 2|＝4.4．1 2 解析：∵C 1与C 2的渐近线相同，∴b a＝2.又C 1的右焦点为F (5，0)，∴c ＝5，即a 2＋b 2＝5. ∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2.5．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2. 同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线课件 理
∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2| ＝|PF2|＝2a＝2 2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2， 则 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2
4 ＝
22×24＋22×222－2 42＝34.
引申探究
1.本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2 的面积是多少？ 解答
c>0.
(1)当
时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在.
2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1 (a>0， b>0)
ax22－by22＝1 (a>0， b>0)
图形
性 范围 质 对称
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为 12，离心率为54； 解答 设双曲线的标准方程为 ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a>0，b>0).
由题意知，2b＝12，e＝ac＝54.
∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
x≥a或x≤－a，y∈R 坐标轴
x∈R，y≤－a或y≥a 原点
性 顶点
质 渐近线 离心率
A1(－a,0y＝)，±baAx 2(a,0)
(1，＋∞)
A1(A0y2＝，(0±－，abx aa))，
a2＋b2
e＝，e∈
2a
，其中c＝ 2b
最新-2021年高考数学理人教A版一轮复习课件：第九章 解析几何 97 精品
-4知识梳理
双基自测
1
2
3
3.常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图
所示,则
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
2
(1)x1x2= ,y1y2=-p2.
4
2
(2)弦长|AB|=x1+x2+p= 2 (α 为弦 AB 所在直线的倾斜角).
sin
C.最小值是1 D.最大值是4
(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,
P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,
若=4,则|QF|=(
7
A.2
答案: (1)A
5
B.2
(2)C
)
C.3
D.2
-14考点1
考点2
考点3
解析: (1)设直线l:x=ty+1,代入抛物线方程,得y2-4ty-4=0.
连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,
则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,
1
1
则|KF|=|A1F1|=2|AA1|=2|AF|,即
3
p=2,故抛物线方程为 y2=3x.
-22考点1
考点2
考点3
考点 3
直线与抛物线的关系
例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E
于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标
准方程.
2.涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,在求最值时
可以相互转换,并结合图形很容易找到最值.
-19考点1
最新-2021年高考数学理人教A版一轮复习课件：第九章 解析几何 98 精品
(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
(4)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只
有一个交点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.
(5)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点,分
别是一条切线和两条与渐近线平行的直线.
(6)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,分
+ + = 0,
由
消元,
(,) = 0
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
如消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;
当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).
②若a≠0,设Δ=b2-4ac.
当Δ > 0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点;
+(y1+y2)(y1-y2)=0,
2
1 -2
1 +2
1
即
==- ,
1 -2 2(1 +2 ) 2
1
即直线 AB 的斜率为-2.
1 1
1
∴
直线
AB
的方程为
y=2x+4y-3=0
2 2
2
关闭
,即 2x+4y-3=0.
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
考点4
直线与圆锥曲线的位置关系
1
2 |y1-y2|
|P1P2|=
.
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间的距
【新人教A版】2024版高考数学一轮总复习第9章解析几何第6节双曲线课件
时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当
2a=|F1F2|
时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当
2a>|F1F2|
时,点P不存在.
微点拨若2a=0,则点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
,两焦
微思考若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,
则点的集合是双曲线的哪一支?
第九章
第六节 双曲线
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.了解双曲线的实际背景,感受双曲
线在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和
标准方程,以及它们的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习,进一步体会数
形结合的思想.
衍生考点
核心素养
1.直观想象
1.双曲线的定义及应用
0
=1.
2
F1,F2,点 P(x0,y0)为双曲线
上任意一点,且不与点 F1,F2 共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为
2
tan
2
2
3.若点 P(x0,y0)在双曲线 2 −
0
0
02
02
方程为 2 − 2 = 2 − 2 .
2
=1(a>0,b>0)内,则被点
(1)定义:实轴和虚轴的长相等的双曲线叫做等轴双曲线;
(2)性质:①两渐近线垂直且方程为y=±x,②离心率为e=
2.
常用结论
2
1.过双曲线 2
新课标高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线课件文
(2) 已知双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双
曲
线
右
支
上
一
点
．
若
|PF1|
＝
4 3
|PF2|
，
则
△F1PF2
的面积为
() A．48
B．24
C．12
D．6
解：由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形， 因此 S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝24.故选 B.
线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点 F 为圆心、半径 为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为
A.x42－1y22 ＝1
() B.x72－y92＝1
C.x82－y82＝1
D.1x22 －y42＝1
第十一页，共34页。
解：因为渐近线 y＝bax 与直线 x＝a 交于点 A(a，b)，c ＝4 且 （4－a）2＋b2＝4，解得 a＝2，b2＝12，因此双曲线 的标准方程为x42－1y22 ＝1.故选 A.
第五页，共34页。
若方程2＋x2m－my＋2 1＝1 表示双曲线，则 m 的取值 范围是 ( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－2，－1) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
解：由题意知(2＋m)(m＋1)>0，解得 m>－1 或 m<－2，故选 D.
第六页，共34页。
与椭圆x42＋y2＝1 共焦点且过点 P(2，1)的双曲线方程是(
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线教师用书 文 新人教版(2021年最新整理)
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文新人教版1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M｜||MF1|－|MF2|｜＝2a},|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c〉0。
(1)当2a<|F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;（2）当2a＝｜F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a〉｜F1F2｜时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0)错误!－错误!＝1（a>0,b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(－a，0),A2（a，0）A1(0，－a）,A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞），其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b〉0）巧设双曲线方程(1）与双曲线错误!－错误!＝1（a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．(2）过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1（mn<0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（×）（2)方程错误!－错误!＝1(mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线．( ×)(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ（m〉0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0。
2021年高考数学一轮复习 9.6 双曲线 理 新人教A版
2021年高考数学一轮复习 9.6 双曲线 理 新人教A 版一、选择题1．(xx·甘肃二次诊断)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ，故选B. 答案 B2．(xx·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．42 解析 由已知，得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3c2＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 答案 C3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.答案 C4．(xx·山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.答案 A5．(xx·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3解析 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2， 即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9ba －4＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.答案 B二、填空题6．(xx·北京卷)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析 设C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，把点(2，2)代入上式得λ＝－3，所以C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案x 23－y 212＝1 y ＝±2x 7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析 因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)． 答案 58．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 解析 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a .又∵A (5，0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案 44 三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 解析 由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ，因此可设点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12．(xx·石家庄模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C ．(1，1＋2)D ．(2，1＋2)解析 由题意易知点F 的坐标为(－c ，0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a ，0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0，2)，又e >1， ∴e ∈(1，2)，故选B. 答案 B13．(xx·惠州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________．解析 如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a(x －c )，与另一条渐近线y ＝－b ax ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba（x －c ），y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc2a，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM |＞c ，即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞c ，得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞2.∴双曲线率心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)． 答案 (2，＋∞)14.如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3.由椭圆的定义知2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3. 此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1，得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA→2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →， 即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.28057 6D99 涙435371 8A2B 訫25463 6377 捷 32245 7DF5 緵33585 8331 茱30290 7652 癒39836 9B9C 鮜Pa KJY。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件理新人教A版
[解析] 解法一：椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 的焦点坐标是(0，±3)， 设双曲线方程为ya22－bx22＝1(a>0，b>0)， 根 据 定 义 知 2a ＝ | 15－02＋4－32 － 15－02＋4＋32|＝4， 故 a＝2.又 b2＝32－a2＝5， 故所求双曲线的方程为y42－x52＝1.
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为 常数且 a>0，c>0.
(1)当___a_<_c___时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当__a_＝ __c___时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当__a_>__c___时，P 点不存在．
(1)[教材习题改编]已知双曲线两个焦点分别为 F1(－5,0)， F2(5,0)．双曲线上一点 P 到 F1，F2 距离之差的绝对值等于 6，则 双曲线的标准方程为_____x_92_－__1y_62_＝__1_______．
所以 b2＝c2－a2＝42－22＝12. 故双曲线的方程为x42－1y22 ＝1，故选 A.
(2)[2017·辽宁沈阳四校联考]设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共 同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为( 15，4)，则此双 曲线的标准方程是____y4_2_－__x5_2＝ __1_______．
角度三 已知渐近线求离心率 [典题 4] [2017·苏北四市联考改编]已知双曲线的一条渐近 线方程为 2x－y＝0，则该双曲线的离心率为_____5_或 ___25______．
[解析] 根据双曲线的渐近线方程知ba＝2 或ab＝2.则 e＝
1＋ba2＝
5或
5 2.
角度四
由离心率或渐近线方程求双曲线方程
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基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲
线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.
解析 设双曲线的方程为ax22－ay22＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)， 故所求方程为1x52 －1y52 ＝1.
题组三 易错自纠 5.已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为_1x_62_－__4y_82_＝__1_或__ _1y_62_－__4x_82_＝__1_.
§9.6 双曲线
最新考纲
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.知道双曲线的简单几何性质.
考情考向分析
主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有 关的问题，其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主，难度为中低档.一般 不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求 法，能灵活应用双曲线的几何性质.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 _x_≥__a_或__x_≤__－__a_，__y_∈__R_
_x_∈__R_，__y_≤__－__a_或__y_≥__a_
Hale Waihona Puke 对称性对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点__
性质
顶点 渐近线
A1(－a,0)，A2(a,0) _y_＝__±_ba_x__
A1(0，－a)，A2(0，a) __y＝__±__abx__
离心率
e＝
c a
，e∈_(1_，__＋__∞__)_，其中c＝___a_2＋__b_2__
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝_2_a_，线段B1B2叫
解析 由题意知 a＝4，e＝ac＝2，∴c＝8， ∴b2＝c2－a2＝64－16＝48. 因为双曲线的焦点位置不确定， 故所求双曲线的标准方程为1x62 －4y82 ＝1 或1y62 －4x82 ＝1.
6.P是双曲线 1x62 －8y12 ＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝ 9，则|PF2|＝_1_7__.
(√) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
题组二 教材改编 2.若双曲线 ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双 曲线的离心率为
√A. 5
B.5
C. 2
D.2
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为ax±by
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与 C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1).
解析 由题意知a＝4，b＝9， c＝ a2＋b2＝ 97， 由于|PF1|＝9<a＋c＝4＋ 97，故点 P 只能在左支上， ∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8， ∴|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 师生共研 双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≤__－__1_) _.
实虚轴 做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝_2_b_；a叫做双曲线的实半轴
长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝_a_2_＋__b_2_ (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为 双曲线吗？为什么？ 提示 不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没 有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0<a<b，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响.∵e＝ac＝ 1＋ba2，故当 a>b>0 时，1<e< 2； 当 a＝b>0 时，e＝ 2(亦称等轴双曲线)；当 0<a<b 时，e> 2.
INDEX
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知识梳理
1.双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线.这两个定点叫做_双__曲__线__的__焦__点__，两焦点间的距离叫做_双__曲__线___的__ _焦__距___. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
√A.x± 2y＝0
B. 2x±y＝0
C.x±2y＝0
D.2x±y＝0
解析 椭圆 C1 的离心率为 a2a－b2，双曲线 C2 的离心率为 a2a＋b2，
所以
a2－b2 a·
a2a＋b2＝
23，即
a4＝4b4，
所以 a＝ 2b，所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y＝±12x，即 x± 2y＝0.
4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_1x_52_－__1y_52_＝__1_.
＝0，即 bx±ay＝0，
∴2a＝ ab2＋c b2＝b.又 a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝ac22＝5，∴e＝ 5.
3.已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为ax22＋by22＝1，双曲线 C2 的方程为ax22－by22＝1，C1 与
C2 的离心率之积为 23，则 C2 的渐近线方程为