2014竞赛第一讲---常见的三种力及共点力的平衡答案

2014竞赛第一讲---常见的三种力及共点力的平衡答案第一讲： 常见的三种力、物体的平衡一、力学中常见的三种力 (一)相关概念 1.重力、重心①重心的定义：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

②重心与质心不一定重合。

如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。

2.弹力、弹簧的弹力（F =kx ） （1）两弹簧串联，k 1=11k+21k （2）并联时k=k 1 +k 23.摩擦力（1）摩擦力的方向：（2）摩擦角:f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角ϕ=tan -1f /N =tan -1μ。

摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，ϕ是一定的。

由于静摩擦力f 0属于范围0＜f ≤f m ，故接触面作用于物体的全反力F '同接触面法线的夹角⎪⎭⎫⎝⎛=-Nf tg 01α≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。

换句话说，只要全反力F '的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。

（二）巩固练习NF Ff f α φ水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?（答案：tan -1μ；21μμ+mg ）解:先把f 和N 合成一个力T ,因f 和N 成正比,所以当F 发生变化时T 的大小也要发生变化,但方向不变,且β=tan -1N f=tan -1μ. 这样,就把四个力平衡问题变成了三个力平衡问题,如左图所示.根据平行四边形定则,当F 和T 垂直时F 最小,如右图所示.得F 与水平地面间的夹角α=β=tan -1μ, sin α=21μμ+，F 的最小值F min =mg sin α=21μμ+mg.另解：设F 与水平面成α角时F 最小, 有F cos α-μ(mg -F sin α)=0,得αμαμsin cos +=mg F , 令μ=cot ϕ,,代入上式得)sin(sin αϕϕμ+=mg F =21μμ+mg。

二、共点力作用下物体的平衡 （一）相关概念1.三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。

例1.如图所示,质量为M 的杆AB 静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为α.则容器面对杆A 点的作用力F 为多大?解：F 的作用线通过圆心B 点对杆的作用力N 与相垂直角度关系如图所示根据正弦定理ααsin )90sin(0FMg =-得αtan Mg F =（二） 巩固练习1.如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 16μmg , n 2μmg2.在一个与平面成a 角的粗糙斜面上放着一个物体，它系于一个不伸长的细绳上，绳的另端通过斜面上的一个小孔竖直穿过平面，如图所示，然后慢慢地拉动绳子，开始时，绳子处于水平位置，在这个物体到达小孔的时候，物体在斜面上通过的轨迹正好是一个半圆，求动摩擦因数μ。

tan a3.三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r 0的环1上，彼此间距相等，绳穿过半径为r 0的第2个圆环，另一端同样地系在半径为2r 0的环3上，如图所示，环1固定在水平面上，整个系统处于平衡状态.试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离.(三个环都是用相同的金属丝制作的，摩擦不计)解:过中心作一截面图，如图所示，由于对称，每根绳上张力相同，设为F .设环 2的质量为m ，则环3的质量为2m .对环2和3整体有:3F = mg + 2mg对环3有:3F sin θ= 2mg 由以上两式得:32sin =θ即32220=+d r d ， 所以5520r d =4. 有三个光滑的圆柱体，重量相等，且半径均为r ，同置于一块光滑圆形曲面上1 2 3如图所示。

试求下面两个圆柱体不致被压而分开时，曲面半径R需满足的条件。

r)7≤R+1(2为100公分的轻质弹簧放置在一5. 如图所示，原长LO光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可以从水平位置开始绕O点缓缓地转到铅直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述(a)、(b)两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到铅直位置。

时小球离开原水平面的高度ho(a)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现40cm的极大值。

(b)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。

答案(a)37.5cm (b)100cm＞ho＞50cm6..一个小物体与竖直墙面之间的动摩擦因数μ=0.25，当作用力F与竖直方向成α=530度时，F至少为10N才能维持物体的静止（1）在α不变的情况下，需要多大的力F才能使物体沿墙面向上做匀速运动。

20N(2)在动摩擦因数μ确定的情况下，要使物体向上做匀速运动,α角有有什么限制。

7.一条轻绳跨过同一高度的两轻滑轮,两端分别拴上质量为4Kg 和2Kg 的物体,两滑轮间的一段绳子上挂第三个物体,如图所示.试问：为使这三个物体能保持平衡，第三个物体的质量取值范围多大。

解(1)因所挂的质量m 越小,所以O 点靠近A 点,OB 趋向水平,OA 与水平面有夹角。

对O 点受力平衡：32,)4()2()(222==+m g g mg 得kg 。

即当32<m kg 时,三个物体平衡将破坏.(2)m 越大,OB 和OA 都趋向于竖直,所以当m >6Kg 时三个物体平衡将破坏. [解]:此题只需求两个极值.m 最大值:设线足够长,则m 接近m 1+m 2,此时两细线间的夹角接近0.如图解2-4-1因此126m m m kg <+<.m 的最小值:当m 最小时,因为21m m > ,α 解2-4-1 解此时m 在靠近右侧的滑轮处,连接m 和m 1的两线的夹角近90°此时满足:2221()()m g mg m g >+ 由此解得: 23m kg > 综合以上:236kg m kg <<8. 如图所示，静止的圆锥体铅直放置， 顶角为α，有一质量为m 并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。

忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的张力T 。

2αcot π2mg =T9.如图所示，每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处与地面间的动摩擦因数分别为μA=0.2，μB=0.6，C点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。

解：若B端开始滑动，AC为二力杆，地面对A端的作用力方向与竖直方向夹角为30︒，而A点对应的摩擦角αA=tan-1μA=tan-10.2<30︒。

AC杆不能衡。

若A端开始滑动，AB为二力杆，地面对B端的作用力方向与竖直方向夹角为30︒，而B点对应的摩擦角αB=tan-1μB=tan-10.6>30︒。

AB杆能衡。

所以人必须从A点沿梯上爬，此时B端受到地面的作用力沿着BC方向。

对整体，根据三力共点，人的重力作用线必通过F A和F的交点。

B设人的水平距离为s，有几何关系（两边高相等）：s cotα=(L-s)cot30︒，A得s=0.26L,最大高度H=3s=0.45L。

10.(2013年华约自主招生)明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。

一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ= 3≈0.58。

试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值? 析;设该同学拉动重物的力F的方向与斜面成角度φ，根据力的平衡，在垂直于斜面的方向上有F N+F sin φ-Mg cosθ=0 ①式中F N是斜面对重物的支持力，其大小等于重物对斜面的正压力。

沿斜面的方向上有F cosφ-μF- Mg sinθ=Ma②N根据题意，重物刚能被拉动，加速度a近似为零，由牛顿运动定律F cosφ-μF N- Mg sinθ=0 ③联立①③式得θθμϕμϕsin cos sin cos ++⋅=g F M ④ 令Ω=tan μ⑤联立④⑤式得)sin()cos(Ω+-Ω⋅=θϕg F M ⑥ 要使质量最大，分子须取最大值，即1)cos(=-Ωϕ，ϕ=Ω⑦ 此时能拉动的重物的质量的最大值为)sin(1Ω+⋅=θg F M max⑧ 由题给数据，知33tan =Ω，︒=Ω30⑨于是该同学能拉动的重物质量不超过M max ，有kg 7.702)1530sin(1≈=︒+︒⋅=<m g mg M M max⑩(备用)1.将质量为M 的小车沿倾角为α,动摩擦因数为μ的斜面匀速拉上,求拉力的方向与斜面夹角θ为多大时,拉力最小?最小的拉力为多大?（答案：tan -1μ；21cos sin μαμα++=Mg Mg ）解:小车受四个力作用处于平衡,先把摩擦力f 和支持力N 合成一个力R ,因f 和N 成正比,所以R 和N 的夹角β=tan -1μ,这样问题就转化成小车在三个力作用的平衡问题.小车受到的重力Mg 的大小和方向都保持不变,当拉力F 和R 垂直时,F 最小，θ=β=tan -1μ, 最小值为：F min =Mg sin(α+β)=Mg sin(α+tan -1μ)21cos sin μαμα++=Mg Mg .2.半径为R 的钢性光滑球固定在桌面上,有一个质量为m 的均匀弹性绳圈,自然长度为2πa (a =2R ).现将绳圈从球面的正上方轻放到球面上,并使它保持水平,静止套在球面上,这时绳圈的半径增为b (b =2a ),求绳圈的倔强系数.[答案：.2)12(2Rmg x TK π∆+==] 解:F 为水平方向(如图A ),对一小段绳研究：,tan ,45,2/220mg mg F R a b ∆∆αα===∴==则竖直投影(如图B ),F =2T sin 2θ∆,因∆θ→0,所以mg T F ∆θ∆=⨯=22,θ∆∆mg T =, 又因为πθ∆∆2m m =,所以π2mg T =, 弹簧伸长,22222R R x ππ∆-= 所以绳圈的倔强系数：.2)12(2Rmg x TK π∆+==。