11.3 不等式的性质
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中一种重要的表示不等关系的数学语句，它与等式相对应。
研究不等式的性质和解法对于理解数学知识、解决实际问题具有重要意义。
本文将探讨不等式的性质以及一些常见的解法，并为读者提供一些实用的技巧。
一、不等式的基本性质不等式的基本性质包括传递性、对称性和加法、减法、乘法性质。
1. 传递性：如果 a > b 且 b > c，则有 a > c。
这种性质使得不等式在运算过程中具有连续性，方便我们研究和解决问题。
2. 对称性：如果 a > b，则有 b < a。
不等式在进行对称变换时可以改变不等式符号的方向，但不等式仍然成立。
3. 加法、减法性质：如果 a > b，则有 a + c > b + c，a - c > b - c。
不等式在加法和减法运算中，可以将数加减到两边，不等关系仍然成立。
4. 乘法性质：如果 a > b 且 c > 0，则有 ac > bc，如果 c < 0，则有 ac < bc。
不等式在乘法运算中可以将等式两边乘以正数，或者乘以负数并改变不等关系的方向。
二、解一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，解这类不等式的方法和解方程类似。
以下是解一元一次不等式的步骤：1. 将不等式中的所有项移到一边，使不等式变为“不等于0”的形式。
2. 如果不等式两边乘以负数，则需要改变不等式的方向。
3. 对于一元一次不等式，在不等式两边同时加上同一个数或者乘以同一个正数时，不等式的不等关系不变。
4. 求解出不等式的解集。
例如，解不等式2x - 5 > 7，按照上述步骤进行解答：1. 将不等式变为“不等于0”的形式：2x - 5 - 7 > 0。
2. 对不等式两边同时加上同一个数：2x - 12 > 0。
3. 不等式两边同时除以正数2：x - 6 > 0。
4. 求解出不等式的解集：x > 6。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中一种重要的关系表达方式。
它描述了数值大小之间的关系，常用于解决优化问题、证明数学定理等。
在学习不等式的过程中，我们需要了解不等式的性质，这有助于我们更好地理解和应用不等式。
1. 不等式的传递性不等式的传递性是指，如果一个不等式A > B成立并且B > C成立，那么A > C 也一定成立。
同样地，如果A < B成立并且B < C成立，那么A < C也一定成立。
传递性在解决不等式问题时起到了重要的作用。
通过利用不等式的传递性，我们可以将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的不等式问题，从而更容易求解。
2. 不等式的加法性和减法性不等式的加法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A + C > B + C也一定成立。
类似地，不等式的减法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A - C > B - C也一定成立。
加法性和减法性使得我们可以在不等式两边加上或减去相同的数，从而得到等效的不等式，方便我们进行问题的变形和求解。
3. 不等式的乘法性和除法性不等式的乘法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A * C >B * C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A * C < B * C也一定成立。
乘法性使得我们可以在不等式两边乘以正数或负数，从而改变不等式的方向。
需要注意的是，当乘以负数时，不等式的方向会颠倒。
除法性是乘法性的逆运算。
不等式的除法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A / C > B / C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A / C < B / C也一定成立。
乘法性和除法性在求解不等式时起到了重要的作用。
它允许我们在不改变不等式的基本性质的情况下，对不等式进行一些操作，从而得到更简单的形式。
苏科版数学七年级下册11.3《不等式的性质》说课稿
苏科版数学七年级下册11.3《不等式的性质》说课稿一. 教材分析苏科版数学七年级下册11.3《不等式的性质》这一节主要介绍了不等式的性质。
在教材中，通过具体的例子引导学生探究不等式的性质，让学生通过观察、思考、归纳等过程，掌握不等式的性质，并能够运用性质解决问题。
教材内容由浅入深，由具体到抽象，既注重了学生的参与，又培养了学生的思维能力。
二. 学情分析在教学之前，我们需要了解学生的学习情况。
七年级的学生已经掌握了基本的代数知识，对不等式有一定的了解，但对其性质的认识还不够深入。
此外，学生的思维能力和探究能力正处于发展阶段，需要通过引导和激励来提高他们的学习兴趣和参与度。
三. 说教学目标根据教材和学情分析，本节课的教学目标如下：1.让学生理解不等式的性质，并能够运用性质解决问题。
2.培养学生的观察能力、思考能力和归纳能力。
3.提高学生的学习兴趣，促进学生的积极参与和合作交流。
四. 说教学重难点教学重点：不等式的性质及其运用。
教学难点：不等式性质的推理和运用。
五. 说教学方法与手段为了提高教学效果，本节课将采用以下教学方法和手段：1.情境导入：通过具体的例子，引发学生的兴趣和思考。
2.小组讨论：引导学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力。
3.归纳总结：引导学生观察、思考和归纳，培养学生的思维能力。
4.练习巩固：通过适量的练习题，巩固所学知识。
5.教学辅助手段：利用多媒体课件，生动展示不等式的性质，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个具体的例子，引入不等式的性质的概念。
2.探究不等式的性质：引导学生观察、思考和归纳不等式的性质，让学生通过小组讨论，共同得出结论。
3.性质的运用：通过一些具体的例子，让学生运用不等式的性质解决问题，巩固所学知识。
4.练习巩固：布置一些练习题，让学生独立完成，检查对不等式的性质的理解和掌握程度。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调不等式的性质及其运用。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中常见的表达式，描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。
解不等式是数学中常见的问题之一，研究不等式的性质和解法有助于我们更好地理解数学问题。
本文将介绍不等式的基本性质和常用的解法。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b且b<c，则有a<c。
这意味着当不等式链中存在多个不等关系时，可以通过传递性判断其中任意两个数之间的大小关系。
2. 不等式的加法性质：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b，则有a+c<b+c。
这意味着可以在不等关系的两侧同时加上相同的数，不等关系的方向不会改变。
3. 不等式的乘法性质：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b且c>0，则有ac<bc；如果a<b且c<0，则有ac>bc。
这意味着可以在不等关系的两侧同时乘上相同的正数或负数，不等关系的方向可能会改变。
二、不等式的解法1. 加减法解法：使用加减法解不等式时，需要保持不等式链的方向不变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们首先可以将5加到两侧得到2x>12，然后再将不等式链两侧同时除以2，得到x>6。
2. 乘除法解法：使用乘除法解不等式时，需要根据乘除数的正负来确定不等式链是否需要翻转。
例如，对于不等式-3x<9，我们首先可以将不等式两侧同时除以-3，但由于除以负数需要改变不等关系的方向，所以不等式应变为x>-3。
3. 绝对值不等式的解法：对于绝对值不等式，有时候可以根据绝对值的定义进行分类讨论。
例如，对于不等式|2x-1|<3，我们可以将其分解为两个不等式2x-1<3和2x-1>-3，然后分别求解得到x<2和x>-1，最终得到-1<x<2的解集。
4. 平方不等式的解法：对于一元二次不等式，可以根据不等式系数的正负和零点位置进行讨论。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
苏科版七年级下11.3 不等式的性质
11.3 不等式的性质一、知识点归纳不等式的性质概括起来就是两句话：加减法与等式的计算规则一样；乘除法需要注意符号，同乘（除）“－”时不等式改变方向。
（一）性质1：不等式的两边同加上（减去）同一个数或者同一个整式，不等号的方向不变。
也就是说加减法不等式和等式的计算方法一样。
例1：化简下列不等式（1）14x +＜ （2）a a b x +＜3-解：（1）14x +＜11x +-＜4-1 同减一个数1，此步骤可省x ＜3（2）a a b x +＜3-a-a a b-a x +＜3- 同减一个整式a ，此步骤可省a b x ＜2-（二）性质2：不等式的两边同乘（除）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边同乘（除）同一个负数，不等号的方向改变。
例2：化简下列不等式（1）28x ＜ （2）39x -＜ （3）a 3a x ＜解：（1）28x ＜2822x ＜ 同除以2，符号不变，此步骤可省 4x ＜ （2）39x -＜3933x ---＞ 同除以﹣3，符号改变，此步骤可省 3-x ＞ （3）a 3a x ＜ 不知道a 的正负，需要分类讨论a ＞0时，a 3a x a a＜ 同除以a ，a ＞0，符号不变，此步骤可省 3x ＜ 0a ＜时，a 3a x a a＞ 同除以a ，a ＜0，符号改变，此步骤可省 x 3＞ 不等式两边同乘以0，两边结果都是0，就成等式了。
（三）不等式两边同号，两边同取倒数，不等号改变。
如：（1）23->- 两边都是负的1123-<- 两边取倒数，不等号改变（2）23< 两边都是正的1123> 两边取倒数，不等号改变 （3）若a 、b 、c 、d 都是正实数，a c b d> b d a c > 两边取倒数，不等号改变 此题涉及到分式，了解就行。
二、练习与提高此题涉及到分式，了解就行。
1. （2012江苏常州2分）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a c b d <，给出下列四个不等式：①a c a+b c+d <；②c a c+d a+b <；③d b c+d a+b <；④b d a+b c+d<。
11.3不等式的性质
(4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2；
(5)因为3＞2，所以3a＞2a．
3.已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空：
＜ (1)a+2 ______ 2； (2)a-1 ______ -1； ＜ a ＜ ＞ (3)3a______ 0； (4) ______0; 4
＞ (5)a2_____0; ＜ (7)a-1______0；
x＞4
x＜－1.5
x ＜1.5
5
x ＞－ 6
在下列各题横线上填入不等号，使不等式成 立．并说明是根据哪一条不等式基本性质． (1)若a-3＜9，
＜ 则 a ______12； ＞ 则 a______ -10； ＞ 则 a ______-4 ；
(2)若-a＜10，
(3)若 (4)若
a 4
2 3
＞ -1,
＜ (6)a3______0
＞ (8)|a|______0．
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式
(1) 3 x 2 2 x 3
1 4 （2） x 3 3
-a一定小于 a 吗？为什么？
已知x ＞ y，下列不等式一定成立吗？
（1）x-6＜y-6 （2）3x＜3y （3）-2x＜-2y
不成立 不成立 成立 成立 成立 不成立
（4）x+9＞y+9
（5）2x+1＞2y+1
（6）-3x-1＞-3y-1
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形
式： （1）x - 5＞-1 （2）-2x＞3 （3）2x- 1＜2 5 （4）-x ＜ 6
不等号的方向不改变.
5×（-2） ＜ 3×（-2），
5×（-3） ＜ 3×（-3），
不等式的性质 不等式的基本性质
不等式的性质不等式的基本性质各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢不等式的性质不等式的性质1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.例1:判断下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且abb;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b 的大小.(≥)说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习:1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)3.判断下列命题的真假,并说明理由.(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
初中数学不等式的性质与解法知识点总结
初中数学不等式的性质与解法知识点总结在初中数学中，不等式是一个重要的概念，它涉及到比较大小的关系。
本文将对初中数学不等式的性质和解法进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、不等式的基本性质不等式的基本性质是我们研究不等式的基础，以下为不等式的基本性质总结：1. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
即不等式两边同时加（减）一个数，不等号方向不变。
2. 正数性质：若a>b且c>0，则ac>bc。
即不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。
3. 负数性质：若a>b且c<0，则ac<bc。
即不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变。
4. 乘法性质：若a>b且c>d，则ac>bd。
即不等式两边同时乘以不等的两个数，不等号方向可能改变。
以上是不等式的一些基本性质，掌握这些性质对于后续解不等式问题非常重要。
二、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中只含有一次幂的变量，下面将介绍一次不等式的解法。
1. 消去绝对值：若|x-a|<b，则-a<x<a。
若|x-a|>b，则x<-a或x>a。
2. 倍增倍减法：若ax+b>c，则x>(c-b)/a。
若ax+b<c，则x<(c-b)/a。
3. 区间法：对于一次不等式ax+b≥0或ax+b≤0，首先找到使ax+b=0的x值，分割数轴，解出x属于哪个区间。
对于不等号方向相反的情况，解法类似。
以上是一次不等式的解法，掌握这些方法可以帮助我们快速解决一次不等式的问题。
三、二次不等式的解法二次不等式是指不等式中含有二次项的变量，下面将介绍二次不等式的解法。
1. 因式分解法：将二次不等式转化为因式相乘的形式，然后求出各个因子的符号条件，最后得出解的范围。
2. 图像法：将二次不等式转化为对应的二次函数的图像，通过观察图像得出解的范围。
不等式的性质PPT课件
(3)3a___＜___0；
(4)－4a __＞____0;
(5)a2__＞___0;
(6)a3__＜____0;
(7)a－1__＜___0；
(8)|a|___＞___0．
知识要点
2.若m＜n，比较下列各式的大小：
(1) m 3 ＜ n 3;
(2) 5m ＞ 5n;
(3) m ＞ n ;
3
七年级数学下册苏科版
第11章 一元一次不等式
11.3 不等式的性质
知识要点
1
知识要点
CONTENTS
1
知识要点
想一想：
同学们,你还记得等式的基本性质吗? 等式基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得
的结果仍是等式.
等式基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)， 所得的结果仍是等式.
不等式的基 本性质2
如果a ＞ b，c ＞ 0， 那么 ac ＞ bc.
应用
如果a ＞ b，c ＜ 0，
那么 ac ＜ bc .
知识要点
不等式的基本性质
• (2)a，b两点都向右移动5个单位呢？
•
a5b5
(3)如果c＞0，那么对于a＋c和b＋c的大小，你有什么猜想?
a＋c＞b＋c
c
c
b b＋c
a a＋c
∴a＋c＞b＋c
知识要点
不等式的基本性质
(3)在不等式a＞b的两边都减去同一个数或一个整式，你认为应 该有什么结论？ a－c＞b－c
c
c
b－c b
a－c a
∴a－c＞b－c
知识要点
不等式的基本性质
归纳：不等式基本性质1 ： 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不 等号的方向不变.即
《11.3不等式的性质》作业设计方案-初中数学苏科版12七年级下册
《不等式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《不等式的性质》的学习，使学生能够掌握不等式的基本性质，理解并运用这些性质解决实际问题。
通过作业的练习，巩固学生对不等式性质的理解，提升其数学思维能力及解题技巧。
二、作业内容作业内容围绕《不等式的性质》的核心理解与应用展开。
1. 基础概念题：这部分包含对不等式性质的描述性题目，要求学生准确理解并复述不等式的基本性质。
2. 判断题：通过给出一些涉及不等式性质的判断题目，让学生判断正误，加深对不等式性质的理解。
3. 计算题：包括简单的利用不等式性质进行计算和比较的题目，如利用不等式的加减乘除性质进行计算。
4. 应用题：设计一些实际生活中的问题，要求学生运用所学的不等式性质进行解答，如利用不等式解决速度与时间的关系问题等。
5. 拓展题：针对学习优秀的学生，设计一些具有挑战性的题目，如结合函数的增减性探讨相关不等式的成立条件等。
三、作业要求学生应按照以下要求完成本次作业：1. 独立审题，准确理解题目的意图和要求。
2. 对于基础概念题和应用题，需有详细的解题步骤和正确的答案。
3. 对于计算题和拓展题，要注重解题的逻辑性和计算的准确性。
4. 不得抄袭他人作业，如有雷同，按违规处理。
5. 按时提交作业，不拖延。
四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 正确性：答案的正确性是评价的首要标准。
2. 逻辑性：解题的逻辑是否清晰，步骤是否完整。
3. 创新性：对于拓展题的解答，是否有新颖的思路和方法。
4. 态度：学生的作业态度是否认真，是否有抄袭等违规行为。
五、作业反馈教师将根据学生的作业情况进行反馈：1. 对普遍存在的问题进行讲解和指导。
2. 对学生的优秀作业进行表扬和展示。
3. 对学生的不足之处进行指导和帮助，鼓励其改进。
4. 将本次作业的完成情况作为学生学习情况的参考，及时与家长沟通。
通过以上作业设计，旨在通过多种形式的题目，全面考察学生对《不等式的性质》的理解和运用能力。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法随着数学的发展，不等式已经成为了数学中重要的概念和工具。
不等式的性质与解法不仅在数学课堂上有广泛的应用，也在现实生活中有着重要的意义。
本文将围绕不等式的性质和解法展开讨论。
一、不等式的性质不等式是数学中描述数之间大小关系的一种表示方法。
它可以表达出一个数大于、小于、大于等于、小于等于另一个数。
不等式的性质主要包括以下几个方面：1. 基本性质：不等式的基本性质和等式类似，包括传递性、反射性、对称性等。
2. 合并与分拆：不等式可通过合并或分拆来简化或拓展。
例如，对于不等式a < x < b，可以合并为a < x且x < b；同样地，对于a < x且x < b，可以分拆为a < x < b。
3. 乘法性质：不等式的乘法性质可以应用于乘法运算。
当不等式两侧同时乘以一个正数时，不等式的方向不变；而当乘以一个负数时，不等式的方向会发生改变。
4. 加法性质：不等式的加法性质可以应用于加法运算。
当不等式两侧同时加上一个正数时，不等式的方向不变；而当加上一个负数时，不等式的方向会发生改变。
5. 绝对值性质：与等式相似，不等式中的绝对值也有其独特的性质。
当不等式中有绝对值时，需分情况讨论。
二、不等式的解法对于不等式的解法，可以分为以下几个常见的方法：1. 使用图像法：对于一元一次不等式，可以将其转化为图像，通过观察图像的位置关系来确定解集。
2. 使用逻辑推理法：对于一些简单的不等式，可以通过逻辑推理来确定解集。
3. 使用代入法：有时可以通过代入一些具体的数值来判断不等式的解集。
4. 使用化简法：对于一些复杂的不等式，可以通过合理的化简方法将其简化为更简单的形式，从而确定解集。
5. 使用数学归纳法：对于一些特殊的不等式，可以使用数学归纳法来证明不等式的解集。
三、不等式的应用不等式的应用广泛存在于各个领域，例如：1. 经济学：经济学中考虑资源分配和供需关系时，常常涉及到利润最大化、成本最小化等不等式问题。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的描述数量关系的工具，它可以表达两个数、两个量或两个函数之间的大小关系。
在解决实际问题时，不等式的理解和运用至关重要。
本文将介绍不等式的基本性质以及解法，并通过一些例子来进一步说明。
一、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向不变。
例如：若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c > b - c。
2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；而若乘除一个负数，则不等号的方向反转。
例如：若a < b，c > 0，则ac < bc；若a > b，c < 0，则ac > bc。
3. 倒置性质：若不等式两边同时倒置（取倒数），不等号的方向也要倒置。
例如：若a < b，则1/a > 1/b；若a > b，则1/a < 1/b。
二、不等式的解法1. 图解法：对于简单的一元一次不等式，我们可以通过图解法来求解。
例如，对于不等式2x + 1 > 5，我们可以先绘制出直线y = 2x + 1和y = 5的图像，然后找到两条直线的交点，交点右侧的区域即为不等式的解集。
2. 转化法：有些不等式可以通过转化为等价的形式来求解。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，然后根据函数图像的正负性来确定解集。
3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，我们可以通过分类讨论的方法来求解。
例如，对于不等式|x - 2| < 3，我们可以将其拆解为两个不等式x - 2 < 3和-(x - 2) < 3，并分别求解得到解集，然后取它们的交集。
4. 根据性质求解：我们可以根据不等式的性质来求解。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分解它为(x - 2)(x - 3) < 0，然后根据乘法性质可知，当x在2和3之间时，不等式成立。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中一种常见的表示方式，用于描述数字之间的大小关系。
通过研究不等式的性质与解法，我们可以更好地理解数字的排列顺序和大小关系。
本文将讨论不等式的基本性质以及常见的解法方法。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a < b 且 b < c，则有 a < c。
这意味着不等式的大小关系是具有传递性的，可以通过复合不等式来推导出新的不等式关系。
2. 对称性：如果 a < b，则有 b > a。
不等式的对称性表示如果 a 小于 b，则 b 大于 a。
可以通过将不等式两边交换来改变不等式的方向。
3. 加法性：如果 a < b，则 a + c < b + c。
不等式的加法性表示当不等式的两边都加上相同的数时，不等式的关系不会改变。
注意，这个性质只对正数和负数有效。
4. 乘法性：如果 a < b 且 c > 0，则 ac < bc。
不等式的乘法性表示当不等式的两边都乘上相同的正数时，不等式的关系不会改变。
但如果乘数为负数，则需要改变不等式的方向。
二、一元不等式的解法1. 图像法：将不等式转化为图像，通过观察图像来解决问题。
例如，对于不等式 x > 2，可以在数轴上标记出 2，然后确定不等式的方向，解为 x > 2。
2. 逻辑法：根据不等式的性质进行逻辑推理。
例如，对于不等式 3x - 5 < 7，可以先将不等式转化为 3x < 12，然后再解得 x < 4。
3. 分类讨论法：根据不等式中各项的正负情况分别讨论。
例如，对于不等式 x^2 - 4x + 3 > 0，可以将其转化为 (x - 1)(x - 3) > 0，然后根据乘积大于零的性质，分别讨论 x - 1 > 0 和 x - 3 > 0 的情况，解得 x > 3 或 x < 1。
4. 区间法：通过区间的表示来解决不等式。
11.3不等式的基本性质
例题讲解
例2、把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x（3）1x＋1＞－3； （4）－2x－4＜4x＋4；
2
（5）-
1 3
x
≤
1
3（x－2）.
苏科数学
练习：
把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1） x－3＞2； （3）1 x ＞－3;
2
（3）4a____4b；
（4）－a____－b；
（5）4a－3____4b－3；（6）3－2a____3－2b.
苏科数学
思考： 我们在学习解一元一次方程时利用等式的性质将结果都 是写成x=a的形式，那么你能根据不等式的性质，也对 不等式进行适当的变形，把不等式转化为x＞a或x＜a的 形式吗？
苏科数学
不等式的两边都乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变；
不等式的两边都乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变.
符号表示： 一般地，如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc； 如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc.
苏科数学
想一想：
1.不等式的两边都乘0，结果又怎样？ 如：5_____3，而5×0______3×0.
2.不等式的性质与等式的性质有什么相同点、不同点？
等式的性质
不等式的性质
1、如果a=b，那么 a+c=b+c, a-c=b-c
1.如果a＞b，那么a+c＞b+c, a-c＞b-c
2、如果a=b，且c≠0 那么ac=bc, a b
cc
2.如果a＞b，且c＞0, 那么ac＞bc, a b
cc
如果a＞b，且c＜0, 那么ac＜bc, a b
苏科数学
《11.3不等式的性质》作业设计方案-初中数学苏科版12七年级下册
《不等式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应掌握不等式的基本性质，理解并运用这些性质解决简单的数学问题。
目标是培养学生的逻辑思维能力和运用数学知识解决实际问题的能力，同时加深对不等式性质的理解和记忆。
二、作业内容1. 复习与预习：- 复习之前学过的等式的基本性质，为学习不等式性质做铺垫。
- 预习《不等式的性质》第一课时内容，了解本课时的重点和难点。
2. 掌握不等式的基本性质：- 理解并熟记不等式的基本性质，包括不等式两边同时加、减、乘、除同一个正数或负数时，不等号的方向如何变化。
- 通过具体实例，理解和掌握不等式性质的运用。
3. 练习与运用：- 完成课本上的相关练习题，包括选择题、填空题和解答题，以巩固所学知识。
- 尝试运用所学的不等式性质解决生活中的实际问题，如“如何合理安排家庭开支以实现最大效用”等。
4. 拓展与提高：- 阅读相关数学资料或参考书籍，了解更多关于不等式的性质和运用。
- 尝试解决一些较复杂的不等式问题，如含有多个未知数的不等式组等。
三、作业要求1. 复习与预习：- 复习和预习的内容需有详细的笔记或心得记录，以便于课堂上的交流和讨论。
- 对预习内容中的疑难点进行标注，为课堂上的重点学习做准备。
2. 掌握不等式的基本性质：- 对每个不等式的基本性质都要有深刻的理解和记忆，能准确描述每个性质的内涵和适用范围。
- 能举出实例来证明或应用这些性质，加深对知识的理解和运用能力。
3. 练习与运用：- 完成练习题时需有详细的解题步骤和思路，对每道题目都要有深入的思考和理解。
- 在解决实际问题时，要尝试从不同的角度和思路去分析和解决问题，培养多角度思考的能力。
4. 拓展与提高：- 拓展和提高的内容需有详细的阅读笔记或心得体会，记录自己的收获和感想。
- 在解决复杂问题时，如遇到困难或疑惑，可尝试与同学或老师进行讨论和交流，共同解决问题。
四、作业评价教师将根据学生的作业完成情况、解题思路、理解程度以及课堂表现等方面进行评价，并给出相应的反馈和建议。
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与课件
板
书
设
计
11.3不等式的性质
教学
环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要
（启发、精讲、活动等）
再次
优化
导
入
合
作
探
究
新课引入——旧知回顾：
解方程：（1）x＋1＝4；（2）2x＝－6．
1．在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形，方程变形主要有哪些？
（1）x－5＞－1；
（2）3x＜－9；
（3）－2x＞3；
（4）3x＜x－6.
能力检测：
1．已知a＞b，用“＞”或“＜”号填空：
（1）a＋2b＋2；
（2）a－5b－5；
（3）6a6b；
（4）－a－b；
（5）2a－32b－3；
（6）－4a＋3－4b＋3.
教学
环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要
（启发、精讲、活动等）
再次
优化
随堂
练习
课堂
小结
达标
检测
5×43×4，
…
提问：你能从中发现什么？
（2）
5×（－1）3×（－1），
5×（－2）3×（－2），
5×（－3）3×（－3），
5×（－4）3×（－4），
…
提问：你能从中发现什么？
交流：
若a＞b，则
（1）2a2b；
（2）－4a－4b；
（3）－___－.
2．这些变形具体步骤的主要依据是等式的两条基本性质，等式具有哪些基本性质呢？
提问：
不等式有哪些性质呢？
教学
环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要
（启发、精讲、活动等）
再次
优化
合
作
探
究
合作探究1：
弟弟今年4岁，哥哥今年6岁，下面是弟弟和哥哥的一段对话：
①弟弟：“再过3年我比你大”；
②哥哥：“不对，3年前你比我大”．
提问：你同意（弟弟）哥哥的说法吗？若不同意，请从不等式的角度分析错的？（教师在学生得出结论的前提下归纳总结.）
交流：
1．由－3x－4≤－5，左右两边同时＋4，可化为：，根据；
2．由a＜b，要得到a＋3＜b＋3，需要把不等式两边都，根据是；
思考：
（1）不等式的两边都乘0，结果又怎样？
如：74，而7×0______ 4×0．
（2）不等式的性质和等式的性质相比较有什么相同点与不同点？
2．说出下列不等式变形的依据：
（1）由x－1＞2，得x＞3；
（2）由2x＞－4，得x＞－2；
（3）由－0.5x＜－1，得x＞2；
（4）由3x＜x，得2x＜0．
3．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）7x＞6x－4；
（2）－2x＜5x－6.
布置
作业
课堂作业课后作业
下节课预习内容
教后感
尊重主体面向全体先学后教当堂训练科研兴教力求高效
教材第11课（章）第3节（单元）第1课时，总1课时年月日
课题
11.3不等式的性质
教学模式
讨论交流
教学
目标（认知技能
情感）
1．经历不等式性质的探索过程；
2．了解不等式的基本性质，并能进行简单的运用．
教学重难点
运用不等式的两条基本性质对不等式进行变形．不等式的变号问题
3．由2x＋3≥－5，根据不等式性质1，左右两边同时，可化为2x≥－8.
提问：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
合作探究2：
将不等式5＞3两边分别乘同一个数，用不等号填空：
（1）
5×13×1，
5×23×2，
5×33×3，
例题讲解：
根据不等式的性质将下列不等式化为x＜a或x＞a的形式：