江苏省如皋中学2021-2022学年度高三第一学期阶段检测试卷数学
2021届江苏省如皋中学高三第一学期阶段检测试卷 数学
2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ） A.2i - B ．2i + C.2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ．(1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ） A ．（2，12） B ．（一l ，3） C ．（一l ，12） D ．（2，3）4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤+⎦C.2⎤-⎦ D ．1⎤-+⎦8.平面向量a = ( 2 , 1 ) ,|b |= 2 ,a ·b =4,则向量a , b 夹角的余弦值为 A.255 B.45 C.55 D.15二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9.下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( ) A. y =x cos x , B. y =e x +x 2C. lg √x 2−2D.y =x sin x 10. 给出四个选项能推出1a<1b 的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >011.如图所示,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,若AB =BC ,E ,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____.四、计算题：17.已知二次函数f(x)满足f(x)= f(-4-x),f(0)=3，若x1 x2是f(x) 的两个零点,且|x1− x2|=2.(I)求f(x)的解析式; .的最大值。
2021届江苏省如皋中学高三第一学期阶段检测试卷 数学
2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3） 4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤-⎦C.2⎤-⎦ D ．1⎤-+⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.15二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( )A. y =x cos x ,B. y =e x +x 2C. lg √x 2−2D. y =x sin x 10. 给出四个选项能推出1a<1b 的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >011.如图所示,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,若AB =BC ,E ,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f(x)满足f(x)= f(-4-x),f(0)=3，若x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f(x)的解析式; .(I)若x>0,求g(x)=xf(x)的最大值。
江苏省如皋市2021届高三上学期第一次教学质量调研数学参考答案
( xM + xN )2 − 4xM xN =
1+ k2
−2k 1 − k 2
2
−
4
−2 1− k2
=2
1+ k2 2− k2 1− k2
．
联立方程组
y y
= =
x， 得 kx −1，
xP
=
1 ，同理 k −1
xQ
=
1 k +1
，
所以 PQ =
1 + k 2 xP − xQ =
1+ k2 1 − 1 = 2 1+ k2 ． k −1 k +1 1− k2
所以 AA1∥BB1．
同理，AA1∥DD1．
所以 BB1∥DD1．
…………………12 分
19．（本小题满分 12 分） 【解】（1）因为双曲线 E：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)为等轴双曲线，
所以 a＝b，设双曲线的焦距为 2c，c＞0，
故 c2 = a2 + b2 = 2a2 ，即 c = 2a ．
又 AC 平面 AB1C，
高三数学
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所以平面 AB1C⊥平面 A1DB．
…………………6 分
（2）因为 AA1∥CC1，CC1 平面 BB1C1C，AA1 平面 BB1C1C，
所以 AA1∥平面 BB1C1C．
又 AA1 平面 ABB1A1，平面 ABB1A1 I 平面 BB1C1C＝BB1，
所以 Qn = (2n − 3) 2n + 3 ．
…………………10 分
18．（本小题满分 12 分）
【证】（1）因为底面 ABCD 是菱形，
所以 AC⊥BD．
江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期期中数学试题
2021—2022学年度高三年级第一学期期中教学质量调研数 学 试 卷一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －2)}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则(C R A )∩B ＝A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．(2，4)D ．[2，＋∞) 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (2＋i)＝3＋4i ，记―z 为z 的共轭复数，则|―z |＝A ． 5B ．553C ．293D ．2953．已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可能是A ．y ＝x cos(x ＋π)B ．y ＝1－cos xe xC ．y ＝sin x －x e xD ．y ＝sin x －x cos x4．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面向量→a ，→b 满足→a ＝(1，3)，|→a ＋→b |＝4，则|→b |的取值范围是A ．[23，6]B ．[2，23]C ．[2，6]D ．[1，23]5．已知关于x 的不等式x 2＋2bx ＋4＜0的解集为(m ，4m )，其中m ＜0，则b 4a ＋4b的最小值为A ．－2B ．1C ．2D ．86．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种 7．设x ，y ，z ∈R ，已知ln x x ＝y e y ＝ln zez ，若0＜x ＜1，则A ．x ＞y ＞zB ．z ＞x ＞yC ．x ＞z ＞yD ．y ＞z ＞x8．由倍角公式cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式，对于cos3x ，我们有cos3x ＝cos(2x ＋x )＝cos2x cos x －sin2x sin x ＝(2cos 2x －1)cos x －2sin x cos x sin x ＝4cos 3x －3cos x ，可见cos3x 也可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式P n (t )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P.L.Tschebyschelf)多项式．(提示：18°×3＝90°－18°×2)如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝54°，AB ＝AC ，且△ABC 的外接圆半径OC ＝1，结合上述知识，可得BC ＝A ．5＋12 B ．5－12 C ．5＋14 D ．5－14二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是A ．φ＝－π3B ．f (x －π6)＝f (－x )C ．函数g (x )为奇函数D ．函数g (x )在区间(π3，3π4)上单调递减10．已知(1－2x )2021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021x 2021，则A ．展开式中所有项的系数和为－1B ．展开式中二项系数最大项为第1010项C ．a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202122021＝－1 D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2021a 2021＝202111．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，则使得x －y ＜1成立的一个充分不必要条件是A ．x ＋y ＜1B ．log 2x －log 2y ＜1C ．sin x －sin y ＜1D ．4x －2 4y ＜012．观察如下数阵：第n 行 1 x 1 x 2 … … … … … … … x k 2该数阵特点：在第n 行每相邻两数之间都插入它们的和得到第n ＋1行的数，n ∈N*．设第n 行数的个数为a n ，第n 行的所有数之和为S n ，则A ．a n ＋1＝2a n －1B ．S n ＋1＝3s n －3C ．S n ＝3[(n －1)2＋1] D ．k ＝2n －1－1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，sin(π2＋2θ)的值为 ．14．写出满足条件“函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (xy )＝f (x )＋f (y )”的一个函数f (x )＝ ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相切的直线与双曲线C 的一条渐近线相交于点M (点M 在第一象限)，若MF 1⊥MF 2，则双曲线C 的离心率e ＝ ．16．某同学高考后参加国内3所名牌大学A ，B ，C 的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A ，B ，C 招生考试的概率分别为x ，y ，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为518，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ；该同学恰好通过A ，B 两所大学招生考试的概率最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月－5月获得“运动达人”称号的统计数据：(1)关于x 的回归直线方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数； (2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：请补充上表中的数据(与性别有关?参考公式：bˆ＝∑∑==-⋅-ni ini i i x n xy x n yx 1221，aˆ＝―y －b ˆ―x ， K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．已知各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)记c n ＝1a n ＋1a n ＋1，记{c n }的前n 项和为S n ，若a k ＞54，求正整数k 的最小值．19．(本题满分12分)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，sin2C ＝sin B ，且D 为BC 的中点，点E 满足→AE ＝13→AB ＋23→AC ．(1)求a 的值； (2)求cos ∠DAE 的值．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自高一年级3人，高二年级4人，高三年级5人．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以3：0或3：1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以3：2获胜的队员积2分，落败的队员积1分． (1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率是多少?(2)已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜的概率均为23．记这轮比赛甲所得积分为X ，求X 的概率分布及数学期望E (X )．21．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左，右顶点和右焦点分别为A ，B 和F ，直线l ：x ＝my＋t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记直线AM ，BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，k 3． (1)求证：k 1k 2为定值；(2)若k 1＝3k 3，求△FMN 的周长．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R ． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值； (2)若关于x 的不等式f (x )＋ex －1x＋a －2≥0对任意的实数x ≥1恒成立，其中e 为自然对数的底数，求a 的取值范围．。
江苏省南通市如皋中学2021届高三上学期第一次阶段测试数学试卷 Word版含答案
如皋中学2020/2021学年度第一学期阶段检测数学一、选择题1．i 为虚数单位，512iz i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i --D ．2i -+2．函数()2ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．()2,eB ．()1,2C ．(),3eD ．()3,+∞3．已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则A B ⋃等于（ ）A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,34．指数函数()2f x a =（0a >，且1a ≠）在R 上是减函数，则函数()22a g x x-=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．在()0,+∞上递增，在(),0-∞上递减D ．在()0,+∞上递减，在(),0-∞上递增5．已知函数()()22,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩若()f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[]2,1-D ．[]2,0-6．设函数()ln f x x =，则函数的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤⎦C ．2⎤⎦D ．1⎤⎦8．平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a ，b 夹角的余弦值为（ ）A B ．45C D ．15二、多项选择题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（ ）A ．cos y x x =B ．2xy e x =+C ．D ．sin y x x =10．给出四个选项能推出11a b<的有（ ） A ．0b a >>B ．0a b >>C ．0a b >>D ．0a b >>11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45° D ．//EF 平面1111A B C D12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x ∀∈R ，都有()()122f x f x -< 三、填空题13．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为______．14．函数xy e mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是______．15．已知函数()31f x x ax =-+，()32g x x =-若函数()()()()()()(),,,,f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是______． 16．在ABC △中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为______． 四、计算题17．已知二次函数()f x 满足()()4f x f x =--，()03f =，若1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=．（1）求()f x 的解析式；（2）若0x >，求()()xg x f x =的最大值． 18．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且当0x >时，()37,0251,2x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，()()g x f x a =-．（1）若函数()g x 恰有三个不相同的零点，求实数a 的值；（2）记()h a 为函数()g x 的所有零点之和．当11a -<<时，求()h a 的取值范围．19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率； （2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： （ⅰ）求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；（ⅱ）小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．20．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值． 21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围； （3）设N n +∈，求证：()1ln1ln 2ln 2314n n n n -++⋅⋅⋅+≤+． 2020/2021学年度第一学期阶段检测数学答案 1．A 2．B 3．C4．C 5．D 6．B 7．A 8．A 9．CD 10．ABD 11．ABD 12．CD13．14．3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦15．3518a >16 17．解（1）：()()4f x f x =--，1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=．()f x 的对称轴为：2x =-，可得13x =-，21x =-，设()()()()310f x a x x a =++≠，由()033f a ==得1a =，∴()243f x x x =++．（2）∵()()2113434x x g x f x x x x x===≤=-++++当且仅当3x x=，即x = ∴()g x的最大值是1-． 18．（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点．（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解． ∴()()()333710log 7log 710log 7ah a a a a+=---+++=-， 当11a -<<时，714341,7743a a a +⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭， ∵()()3312log 2,2log 21h a ∈--，∴当11a -<<时，()h a 的取值范围为()3312log 2,2log 21--．19．（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则()320350C 29C 140P A ==． （2）（ⅰ）设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=．所以X 的分布列为：()228234240247254238.65105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元， 因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘．（意对即可） 20．（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF ．（2）连接DF，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF △为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO⊥，∴FO ⊥平面ABCD ． ∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示， 设2AB=，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，AC = ∵DBF △为等边三角形，∴OF=∴)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(F ，∵DBEF =，//DB EF ， ∴(0,E -．∴()1,0AD =--，(AF =-，()0,2,0EF =．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则3020AF n EF n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,1n =．设直线AD 与平面AEF 所成角为θ，则6sin cos ,AD n AD n AD nθ⋅===⋅． 21．解：（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，()1ln f x x '=-， 由()0f x '>，解得0e x <<；由()0f x '<，解得e x >， 因此函数()f x 单调增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞． （2）()ln f x kx x x =-，故()1ln f x k x '=--． 当1k ≥时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥， 因此()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增， 所以()()1f x f k ≤=恒成立． 当1k <时，令()0f x =，解得()1e0,1x x -=∈．当()10,e x x -∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1e ,1x x -∈，()0f x '<，()f x 单调递减； 于是()()1e 1x f f k ->=，与()f x k ≤恒成立相矛盾． 综上，k 的取值范围为[)1,+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x -≤．令()21N x n n +=∈，则2212ln 1n n n +≤即22ln 1n n ≤-， 因此ln 112n n n -≤+， 所以()1ln1ln 2ln 0112212224n n n n n --++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=+．。
江苏省如皋中学2021～2022学年高三上学期数学周练
江苏省如皋中学2021～2022学年度高三数学周练一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设21iz i+=-，则z 的虚部为 A ．12 B ．12- C ．32 D ．32-2．已知集合{}26160A x x x =--<，{}20B y y =-≤，则A B =A ．∅B ．[)2,8C ．(],2-∞D ．(]2,2-3. 设直线l 与曲线321y x x=-+相切，则l 斜率的最小值为 A ．6 B ．4 C ．26 D ．324．611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．-5B ．5C ．15D ．305. 已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得线段的长度为22，则圆M 与圆22:61240N x y x y +---=的位置关系是A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了221nn F =+ (n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*，不是质数．现设()()4log 11,2,n n a F n =-=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若3263n n S a =，则n =A ．5B ．6C ．7D ．87. 已知5a <且55a ae e =，4b <且44b be e =，3c <且33c ce e =，则 A.c b a << B. b c a << C. a c b << D. a b c <<8．双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点2F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过下焦点1F ．某双曲线方程为22221y xa b-=，12,F F 为其下、上焦点，若从下焦点1F 发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后（点A 、1F 、B 三点共线），满足590,tan 12ABC BAD ∠=︒∠=-，则该双曲线的离心率为ABCD二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知随机变量X 服从正态分布2(100,10)N (参考数值：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4)，则下列选项中正确的是 A. ()100E x = B. ()100D x =C.(90)0.8413P x ≥=D. (120)0.9987P x ≤=10．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中正确的是A ．()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数 B ．()y f x =的图像向右平移6π个单位所得函数表达式可改写为()4cos2g x x =C ．()y f x =的图象关于直线6x π=对称D ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称11.已知函数()ln f x x =，则 A ．当210x x >>时，()()12210f x f x x x ->- B ．当211x x >>时，()()1122x f x x f x <C ．当12x x e >>时，()()2112>x f x x f xD ．方程()1f x x=-有两个不同的解 12．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是 A ．11111n n n aa a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．211011111111a a a a +++>+++ D ．若1212120111n n a a a a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 三、填空题13． 甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为______.14． 若α是锐角，且sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin α=________.15．设0a >，1b >，若34a b +=，则911a b +-的最小值为_________.16．拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现 并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三 条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个 三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”. 如图，在ABC 中，60BAC ∠=，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D ，E ，F ，若23DF =，则ABAD=__________，+AB AC 的最大值为__________. 五、解答题17．已知()22sin ,cos a x x =，(3cos ,2)b x =，()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132,,S S S 成等差数列 （1）求公比q ； （2）若133a a -=，设12n n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：43n T <.19．由商务部和北京市人民政府共同举办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果，采访的学生中男女比例为3:2，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题（1）完成22⨯列联表，并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.了解情况性别了解不了解合计男生 女生 合计100（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++20．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （1）求最后取出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和数学期望21．已知椭圆C ：222133x y +=，过点()1,1P 的直线1l ，2l 与椭圆C 分别交于点P ，M 和P ，N ．记直线1l 斜率为()0k k ≠．直线2l 的斜率为k '．（1）若直线1l ，2l 关于直线y x =对称，证明：kk '为定值； （2）已知点()2,0A ，当01k <<时，求APM △面积的最大值．22．已知函数()2ln f x x x ax =+-．（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）若()1212,x x x x <是函数()f x 的两个极值点，证明：()()2412264ln 816a a f x f x a -->+．)0k参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设21iz i+=-，则z 的虚部为 C A ．12 B ．12- C ．32 D ．32-2．已知集合{}26160A x x x =--<，{}20B y y =-≤，则A B = DA ．∅B ．[)2,8C ．(],2-∞D ．(]2,2-3. 设直线l 与曲线321y x x=-+相切，则l 斜率的最小值为 CA ．B ．4C ．D ．4．611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为 AA ．-5B ．5C ．15D ．305. 已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得线段的长度为M 与圆22:61240N x y x y +---=的位置关系是（ ）AA ．内切B ．外切C ．相交D ．相离6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了221nn F =+ (n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*，不是质数．现设()()4log 11,2,n n a F n =-=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若3263n n S a =，则n = BA ．5B ．6C ．7D ．8【详解】因为221nn F =+ (n ＝0,1,2，…)，所以()2144log 1log 22nn n n a F -=-==，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝1(12)12n --＝2n －1所以32(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6，7. 已知5a <且55a ae e =，4b <且44b be e =，3c <且33c ce e =，则 D A.c b a << B. b c a << C. a c b << D. a b c <<8．双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点2F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过下焦点1F ．某双曲线方程为22221y xa b-=，12,F F 为其下、上焦点，若从下焦点1F 发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后（点A 、1F 、B 三点共线），满足590,tan 12ABC BAD ∠=︒∠=-，则该双曲线的离心率为 DA B C D 【答案】【详解】设2BF n =，由5tan 12BAD ∠=- 知5sin 13BAD ∠=，即25sin 13BAF ∠= 在2RtABF 中，可得21312,||55AF n AB n == 由双曲线的定义知11325AF n a =- 11213122555BF n n a a n ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭又211225BF BF a n a n ⎛⎫-==-- ⎪⎝⎭，得103n a =在12Rt BF F 中，2112104,,233BF a BF a F F c ===则222104433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22299c a =，可得e ，故选：D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知随机变量X 服从正态分布N(100，102)(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4)，则下列选项中正确的是( )ABCA. E(X)＝100B. V(X)＝100C. P(X ≥90)＝0.841 3D. P(X ≤120)＝0.9987 10．关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈有下列命题，其中正确的是 ADA ．()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数 B ．()y f x =的图像向右平移6π个单位所得函数表达式可改写为()4cos2g x x =C ．()y f x =的图象关于直线6x π=对称D ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称11.已知函数()ln f x x =，则 BC A ．当210x x >>时，()()12210f x f x x x ->- B ．当211x x >>时，()()1122x f x x f x <C ．当12x x e >>时，()()2112>x f x x f xD ．方程()1f x x=-有两个不同的解 【详解】()ln f x x =在定义域内单调递增，则()()21210f x f x x x ->-，故A 错误；()ln xf x x x =，令ln y x x =，ln 1y x '=+，当1x >时，10y '>>，则ln y x x =在(1,)+∞单调递增，所以B 正确； 由()()2112>x f x x f x ，可得()()1212f x f x x x >，令ln x y x =，21ln xy x -'=在(e,)+∞上小于0，所以ln xy x =在(e,)+∞单调递减，则当21e x x >>时，()()1212f x f x x x >，即()()2112>x f x x f x ，所以C正确； ln x y x =，当1x >时，0y >，而函数ln x y x =在(0,e)上单调递增，函数ln x y x=的图象与直线1y =-仅有一个公共点，如图所示：则方程()1f x x=-仅有一个解，故D 错误.故选：BC 12．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是 ABD A ．11111n n n aa a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．211011111111a a a a +++>+++ D ．若1212120111n n a a a a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数)【详解】在数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.对于A 选项，()()()111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，210n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项正确；对于C 选项，由A 选项可知，11111n n n a a a +=-+， 所以，1212231011111110111111111111111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，12122311111111111111111n n n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()12121212111111111111n nn n a a a a a aa a a a a a +-+++=+++++++++-+-+121111111112111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--=-+⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则101na <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦+，得122n =，D 选项正确.故选：ABD.三、填空题13． 甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为______.276414． 若α是锐角，且3sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α=________.366+ 15．设0a >，1b >，若34a b +=，则911a b +-的最小值为_________.1263+16．拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现 并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三 条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个 三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”. 如图，在ABC 中，60BAC ∠=，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D ，E ，F ，若23DF =，则ABAD=__________，+AB AC 的最大值为__________.3 43 【详解】设BC a =，AC b =，AB c =.如图，连接AF ，BD . 由拿破仑定理知，DEF 为等边三角形.因为D 为等边三角形的中心，所以在DAB 中，30ABD BAD ∠=∠=，120ADB ∠=，设AD BD x ==，由余弦定理，得22222cos120c x x x =+-，即223c x =，解得：3c x=，即3ABAD =，3c AD =，同理3b AF =；又60BAC ∠=，30CAF ∠=，所以120DAF BAD BAC CAF ∠=∠+∠+∠=， 在ADF 中，由余弦定理可得2DF =222cos120AD AF AD AF +-⋅⋅，即2211223332c b bc ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得2()36b c bc +=+，由基本不等式得22()362b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，解得43b c +≤（当且仅当23b c ==时取等号），所以max ()43AB AC +=.故答案为：3；43. 五、解答题17．已知()22sin ,cos a x x =，(3cos ,2)b x =，()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 10分解：（1）2(2sin ,cos )a x x =，(3cos ,2)b x =，由2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，()f x ∴的最小正周期22T ππ==；单调增区间为[,]()36k k k z ππππ-+∈--------5分 （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为72sin 106π+=， 当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值为2sin132π+=，故得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0. --------10分18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132,,S S S 成等差数列 （1）求公比q ； （2）若133a a -=，设12n n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：43n T <.【详解】（1）12q =------------------------5分（2）证明：由133a a -=，可得11134a a -=，解得14a =，112141212232n nn n n n b a n -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则2111112332482n n T n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 11211111232348162n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 上面两式相减可得112111111232481622n n n T n +⎛⎫=+++++-⋅ ⎪⎝⎭1111212213212n n n +⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=-⋅⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，化简可得142132n n n T ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由12112n n ++-<，可得43n T <.-----------------------12分19．由商务部和北京市人民政府共同举办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果，采访的学生中男女比例为3:2，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题（1）完成22⨯列联表，并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++)0k【详解】（1）22⨯列联表如下： 了解情况性别了解不了解合计男生 50 10 60 女生 25 15 40 合计75251002100(50152510) 5.556 6.63560407525k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关;--------------6分（2）根据题意，抽取的5人中男生有3人，女生有2人.从这5人中随机抽取3人，则男生人数ξ的所有可能取值为1，2，3，则123235C C3(1)C 10P ξ===，213235C C 6(2)C 10P ξ===，3335C 1(3)C 10P ξ===.ξ∴的分布列为3619()1231010105E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.-----------------------------------12分 20．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （1）求最后取出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和数学期望 【详解】（1）最后取出的是正品对应的事件是：①3件都是正品；①前3件里有1件次品2件正品，第4件是正品.前3件都是正品的概率是：33135110A P A ==3件里有1件次品2件正品，第4件是正品概率是：()213323235310C C AP A ==所以最后取出的是正品的概率：13210105p =+=-------------------5分 （2）X 的可能取值为200，300，400.()2225120010A P X A ===，()3112323235330010A C C A P X A +===， ()()()13640012003001P X P X P X ==-=-==--=，故X 的分布列为： ()136200300400350101010E X =⨯+⨯+⨯=---------------------12分 21．已知椭圆C ：222133x y +=，过点()1,1P 的直线1l ，2l 与椭圆C 分别交于点P ，M 和P ，N ．记直线1l 斜率为()0k k ≠．直线2l 的斜率为k '．（1）若直线1l ，2l 关于直线y x =对称，证明：kk '为定值； （2）已知点()2,0A ，当01k <<时，求APM △面积的最大值． 【详解】（1）设1l 与y 轴的交点为()0,m ，由0k ≠，则1m ≠． 又1l ，2l 关于直线y x =对称，则2l 与x 轴的交点为(),0m ， 于是11m k -=-，1111111m k kk m m ---''=⇒=⨯=---，①kk '为定值1．------------5分 （2）设直钱1l 的方程为：()101y kx k k =+-<<，联立221230y kx k x y =+-⎧⎨+-=⎩，得：()()22221412410k x k k x k k ++-+--=， ()()()()222221614212414210k k k k k k ∆=--+--=+>．①24(1)21P M k k x x k -+=+，2224121P M k k x x k --=+，①()2221|21P Mk PM x x k +=-==+．点()2,0A 到直线1l 的距离d =()()2222211123133111122121212APMk k k k k SPM d k k k k k++++====+=+≤+++++， 由01k <<，故当且仅当12k k =，即k =①2k =时，APM △面积的最大值为44+．-----------------------12分22．已知函数()2ln f x x x ax =+-．（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）若()1212,x x x x <是函数()f x 的两个极值点，证明：()()2412264ln 816a a f x f x a-->+． 【详解】（1）3a =时，()2ln 3f x x x x =+-，12f ，所以切点坐标为()1,2P -．()123x xf x '=+-， ()10f '=，于是所求切线的斜率0k =．又因为所求切线过点()1,2P -，所以曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为2y =-．--------------------------4分（2）()221x ax f x x -+'=，①1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，①1x ，2x 是函数()f x '两个大于0的零点， ①1x ，2x 是方程2210x ax -+=的两个不同正解，则1212212a x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②，且20280a a a ⎧>⎪⇒>⎨⎪∆=->⎩①，①可得121112x x x x -=-，()()1212121211122x x a x x x x x x x x ⎛⎫+-=+-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax -=+---+()()()21121211121111lnln 222x x x x x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+-=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()422211112121141ln 2ln 244x x x x x x ⎛⎫-=--=+ ⎪⎝⎭．又①12x x <且122a x x +=， ①104a x <<．令221208a x t t ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭则()()2121ln 2t f x f x t t --=+． 构造函数()221ln 028t a h t t t t ⎛⎫-=+<< ⎪⎝⎭，()()2222111022t t h t t t t--+'=-=≤，①()h t 是20,8a ⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数．①()h t >224264ln 8816a a a h a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①()()2412264ln 816a a f x f x a -->+试卷第15页，共1页。
江苏省如皋市2022届高三上学期教学质量调研统考卷数学(理)(三) Word版含答案
2021--2022学年度高三班级第一学期教学质量调研（三）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置） 1.集合{}1,3A =，{}22,3B a =+，若{}1,2,3AB =，则实数a 的值为 .2. 复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为 .3. 从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，则大事“对数值大于2”的概率为 .4. 甲、乙两个城市2021年夏季连续5天中，每天的最高气温（C ︒）数据如下：城市每天的最高气温第1天第2天第3天第4天第5天甲2831273331乙 25 26 29 34 36则这5 天中，每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为 . (填甲或乙).5. 在平行四边形ABCD 中，5(,0)2AB =，3(,2)2AD =-，则四边形ABCD 的面积为 . 6. 抛物线22(0)y px p =>上一点(,23)A m 到焦点的距离为4，则实数p 的值为 .7. 设变量,x y 满足2402020x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为 .8. 将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，得到函数()y f x =的图象，则2()3f π的值为 .9. 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E ，F ，1F ，1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 .10.“3m =”是“两直线1:320l mx y ++=和2:(2)10l x m y m +-+-=平行”的 条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空)11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:9O x y +=，圆222:(6)16O x y +-=，在圆2O 内存在肯定点M ，过M 的直线l 被圆1O ，圆2O 截得的弦分别为AB ，CD ，且34AB CD =，则定点M 的坐标为 . 12. 已知点P 是边长为23ABC 内切圆上的一点，则PA PB ⋅的取值范围为 .13. 已知,,x y z 均为正数，212x y+=，22x y z xyz ++=，则xyz 的最大值为 . 14. 已知函数21()()2f x x mx x R =++∈，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数2()()g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分)在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.16.(本题满分14分)如图，在四棱锥E ABCD -中，已知底面ABCD 为平行四边形，AE BC ⊥，三角形BCE 为锐角三角形，面AEB ⊥面BCE ，设F 为CE 的中点. 求证： (1) //AE 面BDF ；(2) AE ⊥面BCE .17.(本题满分14分)已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数.当0x <时，()ln()f x x x =-+.(1) 求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程；(2) 若关于x 的不等式()1f x a x ≤+恒成立,求实数a 的取值范围.18.(本题满分16分)在某城市街道上一侧路边边缘1l 某处安装路灯，路宽OD 为123灯杆AB 长4米，且与灯柱OA 成120︒角，路灯接受可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC 与灯的边缘光线(如图BM ，BN )都成30︒角，当灯罩轴线BC 与灯杆AB 垂直时，灯罩轴线正好通过OD 的中点. （1）求灯柱OA 的高h 为多少米; （2）设ABC θ∠=，且5122ππθ≤≤，求灯所照射路面宽度MN 的最小值.19.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于点A ，B （A 在x 轴上方），且26AB =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）. （1）求椭圆的方程；C ABOM N Dl 1l 2（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q .①求证：直线OQ 的斜率为定值；②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ，D （D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ，B ，C ，D 一点，直线PA 交CD 于点E ，PC 交AB 于点F ，如图2，求证：AF CE ⋅为定值.20.(本题满分16分) 已知函数()1x xf x ax e=-+. （1）当1a =时，求()y f x =在[]1,1x ∈-上的值域； （2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.2021--2022学年度高三班级第一学期教学质量调研（三） 数学 Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵变换]（本小题满分10分）已知曲线x y 22=，先将曲线C 作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针旋转 90。
江苏省如皋中学2021-2022学年度高三第一次阶段考试 数学
江苏省如皋中学2021-2022学年度第一学期第一次阶段考高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**1. 若集合2{40},{lg 0}A x x B x x =-<=<，则A B = ( ) A. (2,1)- B. (2,2)- C. (0,2) D. (0,1)2.设复数z 在复平面内对应的点为(1,3)-，则1zi=+ ( ) A.2i + B. 2i - C. 12i -+ D. 12i --3. 函数752()ln x f x x =在其定义域上的图象大致为 ( )A B C D4. 已知3,1,219a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为 ( ) A.6π B. 3π C. 23πD. 56π5. 机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，机器人具有感知､决策､执行等基本特征可以辅助甚至替代人类完成危险､繁重､复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围. 为了研究A ，B 两个机器人专卖店的销售状况，统计了2020年2月至7月A ，B 两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法错误的是 ( )A ．根据A 店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在[]34,35内B ．根据B 店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势C ．根据A ，B 两店的营业额折线图，可得A 店的营业额极差比B 店大D ．根据A ，B 两店的营业额折线图，可得B 店7月份的营业额比A 店多6. 图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形. 受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则线段BD 的长为 ( )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.57. 已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b -=(0a >，0b >)的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，1223F AF π∠=，则122AF F ABF S S =A ．14B ．12C ．13D ．23 ( )8. 若,,a b c D ∀∈，()()(),,g a g b g c 可以作为一个三角形的三条边长，则称函数()g x 是区间D 上的“稳定函数”.已知函数()ln x f x m x =+是区间221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“稳定函数”，则实数m 的取值范围为 ( )A ．12,e e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．212,e e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．14,e e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．214,e e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年江苏省南通市如皋中学高一数学理月考试题含解析
2021-2022学年江苏省南通市如皋中学高一数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则（ ）． A ．B ．C ．D ．参考答案：B∵， ∴，故选：．2. 若实数，满足，则关于的函数的图象形状大致是（ ）参考答案：B 略 3. 集合，，则▲ ．参考答案：略4. 函数，的值域为（ ）A ．RB ．[0,1]C ．[2,5]D ．[5,+∞)参考答案：C由题意得函数在区间上单调递增， ∴，即，∴在的值域为．故选C ．5. 函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）A ．2，﹣B ．2，﹣C ．4，﹣D ．4，﹣参考答案：B【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象的两个点A 、B 的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出ω的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，代入数值得到结果． 【解答】解：由图象可得： =﹣（﹣）=，∴T==π，∴ω=2，又由函数f （x ）的图象经过（，2），∴2=2sin （2×+φ）， ∴+φ=2kπ+，（k ∈Z ），即φ=2k π﹣，k ∈Z ，又由﹣＜φ＜，则φ=﹣．故选：B．【点评】本题考查有部分图象确定函数的解析式，本题解题的关键是确定初相的值，这里利用代入点的坐标求出初相，属于基础题．6. 平面向量满足，则与夹角的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用和，化简得到，然后得出，再利用，然后利用均值不等式求解即可【详解】解：∵；∴；∴；∴；∴；∵；∴；∴与夹角的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查向量的数量积，向量的夹角的运算，属于基础题7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6参考答案：B【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得S＝4，n＝1，不满足条件S≥6，S＝8，n＝2不满足条件n＞3，执行循环体，满足条件S≥6，S＝2，n＝3不满足条件n＞3，执行循环体，不满足条件S≥6，S＝4，n＝4此时，满足条件n＞3，退出循环，输出S的值为4．故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8. 过圆上的一点的圆的切线方程是A． B.C．D．参考答案：A 9. 设，则使函数的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A. 1，3 B . －1，1C. －1，3D. －1，1，3参考答案：A 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件.当时，，为奇函数，值域为R ，满足条件. 当时，为偶函数，值域为，不满足条件.当时，为奇函数，值域为R ，满足条件.故选：A.【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 10. 如图，在梯形中，，，为上一动点，则△周长的最小值为A. 8B. 10C.12D. 24参考答案：A 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等比数列中，，则.参考答案：12. 如图，当点P 、Q 三等份线段AB 时，有；如果点A 1，A 2，……，A n – 1是AB 的n （n ≥3）等份点，则= （）。
江苏省如皋中学2021-2022学年高三上学期期初测试化学试题(解析版)
D. 反应2CO(g)+4H2(g)=CH3OCH3(g)+H2O(g)的ΔH=(2b+2c+d)kJ·mol-1
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．反应③中的反应物为CO2、H2，由反应可以知道，反应①、②为反应③提供原料气，A项正确；
下列说法不正确的是
A. 氨水、乙醇都不属于电解质
B. 步骤2沉淀溶解是因为生成了铜氨配合物
C. 步骤3中加入乙醇的作用是减小溶剂极性，降低Cu(NH3)4SO4的溶解度
D.1molCu(NH3)4SO4中含有 σ键数为16mol
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．氨水为混合物，不是电解质，乙醇溶于水或熔融状态都不导电，故不属于电解质，正确；
故选B。
5.海洋生物参与氮循环过程如图所示：
下列说法不正确的是
A. 反应①～⑤中包含2个非氧化还原反应
B. 反应②中有极性键断裂和非极性键生成
C. 反应③中N2H4作还原剂，可能有氧气参与反应
D. 反应③和⑤生成等量N2，反应⑤转移的电子数目较多
【答案】A
【解析】
【详解】A．反应①～⑤中只有反应①中氮元素的化合价没变，属于非氧化还原反应，其他4个反应氮元素的化合价均发生改变，属于氧化还原反应，故A错误；
D．由盖斯定律可以知道,②×2+③×2+④得到 ，则 ，D项正确；
答案选C。
9.我国某科研机构设计下图装置，利用K2Cr2O7实现含苯酚废水的有效处理(达到可排放标准)，一段时间后，中间室中NaCl溶液的浓度减小。下列说法正确的是
高三试卷数学-江苏省如皋中学2022届高三上学期期初测试数学试卷及参考答案
数学期初练习一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线3450x y ++=的斜率和它在y 轴上的截距分别为（）CA ．43，53B ．43-，53-C ．34-，54-D ．34-，542.双曲线2212524x y -=的两个焦点为1F ，2F ，双曲线上一点P 到1F 的距离为11，则点P 到2F 的距离为（）BA ．1B ．21C ．1或21D ．2或213.椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k +=<<--关系为（）DA ．有相等的长轴长B ．有相等的离心率C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（）cm A ．30B ．20C ．10D ．【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，可得焦距长为，故离心率为e =所以小椭圆离心率为2e =，小椭圆的短轴长为10cm ，即210b =cm ，由e =，可得：10a =cm ，所以长轴为20cm.故选：B.5.已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为y =，点(P在C 上，则C 的方程为()BA ．22124x y -=B ．221714x y -=C ．22142x y -=D ．221147y x -=6.已知()2,0A -，()10B ,，()3,0M -三点，且满足2PA PB =，则直线PM 的斜率取值范围是（）AA ．,2121⎡-⎢⎥⎣⎦B ．2121⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【详解】设动点(),P x y ，因为2PA PB ==整理得动点P 得轨迹为C ：()()22240x y y -+=≠；设直线PM 的方程为()3y k x =+，即30kx y k -+=，所以圆心()2,0C 到直线PM 的距离为2d ==，所以21k =±；7.根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点()0,2A x 反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为（）A ．B ．C D 解：由已知可得0(A x ，2)在第一象限，将点A 的坐标代入双曲线方程可得：20412x -=，解得0=x，所以A 2)，又由双曲线的方程可得1a =，b，所以c =2F ，所以2||2AF =，且点A ，2F都在直线x =12||||OF OF =所以12122||tan ||F F F AF AF ∠==，所以1260F AF ∠=︒，设2F AM ∠的角平分线为AN ，则21(18060)602F AN ∠=︒-︒⨯=︒，所以直线AN 的倾斜角为150︒，所以直线的斜率为tan150︒=B ．8.已知圆()()22:4616M x y -+-=，过x 轴上的点()0,0P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PA AB =，则0x 的取值范围（）A．⎡-⎣B．⎡-⎣C．44⎡-+⎣D．44⎡-+⎣【详解】由题意得圆M 的圆心坐标为()4,6M ，半径4r =，如图所示：连接PM ，交圆M 分别点,C D ，易证△PCB ∽△PAD则()()22216PA PB PC PD PM r PM r PM r PM ⋅=⋅=+-=-=-，因为PA AB =，故2PB AB =，()()22220046436PM x x =-+=-+，所以()()222002=43616420PA PB AB x x ⋅=-+-=-+，又28AB r ≤=，所以()20420128x -+≤，解得044x -+≤≤+.故选：D.【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于难题，解答时将问题灵活转化是关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
如皋市2022～2022学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷
如皋市2022～2022学年度第一学期高三期初调研测试数 学 试 卷本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部,第I 卷1～2页,第II 卷3～8页.全卷总分值150分,测试时间120分钟．第I 卷〔选择题,共60分〕考前须知：1．答第I 卷前,考生务必在做题卡的相应栏目内写上自己的姓名、准考证号、测试科目,并用铅笔涂写在做题卡上.2．选择题局部每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.3.测试结束,将做题卡和第II 卷一并交回.一．选择题：本大题共有12小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,有且只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．以下集合中,恰有2个元素的集合是A ．{}20x x -=B ．{}2|0x x x -=C ．{}2|x y x x =-D ．{}2|y y x x =-2．函数1()3f x =-2cos (0)x ωω>的周期与函数()tan 2x g x =的周期相等,那么ω等于A ．2B. 1C.12D.143．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且. 假设A ={2, 4, 6, 8, 10},B ={1, 4, 8},那么A B -=A ．{4,8}B ．{1,2,6,10}C ．{1}D ．{2,6,10} 4．假设要得到函数y =sin(2x －4π)的图象,可以把函数y =sin2x 的图象 A. 向右平移8π个单位 B. 向左平移8π个单位C. 向右平移4π个单位 D. 向左平移4π个单位5. 原命题“设,,a b c ∈R ,假设22ac bc >,那么a b >.〞的逆命题、否命题、逆否命题中,真命 题共有A.0个B.1个C.2个D.3个6．在△ABC 中,tan A 是以－4为第3项,4为第7项的等差数列的公差；tan B 是以13为第3项,9为第6项的等比数列的公比,那么该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 对于函数f (x )=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕,假设作代换x=g (t ),那么不改变函数f (x )的值域的代换是A ．g (t )=2tB ．g (t )=|t |C ．g (t )=sin tD ．g (t )=2log t8．函数log (2)a ax y =-在[0,1]上是减函数,那么a 的取值范围是A ．〔0,1〕B ．〔0,2〕C ．〔1,2〕D ．(2,)+∞9. 四个实数－9,a 1,a 2,－1成等差数列,五个实数－9,b 1,b 2,b 3,－1成等比数列,那么 b 2〔a 2－a 1〕等于 A. 8B. －8C. ±8D.9810.有容积相等的桶A 和桶B ,开始时桶A 中有a 升水,桶B 中无水. 现把桶A 的水注入桶B ,t 分钟后,桶A 的水剩余1ty am =〔升〕,其中m 为正常数. 假设5分钟时,桶A 和桶B的水相等,要使桶A 的水只有8a 升,必须再经过A.7分钟B.8分钟C.9分钟D.10分钟11.设{}n a 是等比数列,有以下四个命题：①{}2n a 一定是等比数列；②{}1n n a a ++一定是等 比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；④{}lg n a 一定是等比数列. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 三个不等式：000c dab bc ad a b>->-≥，，〔其中a ,b ,c ,d 均为实数〕,用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题 的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 3第II 卷〔非选择题,共90分〕考前须知：1. 第II 卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.2.答卷前将密封线内的工程填写清楚.二．填空题：本大题共6小题,每题4分,共24分．将答案填在题中的横线上． 13. 全集{}*27S x x =∈-<<N ,{}3,4,5M =,{}1,3,5P =,那么()()SSMP＝ .〔用列举法表示〕 14. 设{}n a 是公差为2 的等差数列,如果1473130a a a a ++++=,那么36933a a a a ++++＝．15. 设)(x f 是定义域为R 且最小正周期为23π的函数,在一个周期内假设 =)(x f cos 2,0,15()24sin ,0.x x f x x πππ⎧-≤<⎪-⎨⎪≤<⎩则= . 16. 正数x 、y 满足x ＋2y ＝1,那么11x y+的最小值是 .17．规定记号“⊗〞表示两个正数间的一种运算：(00),a b a b a b >>⊗=+，．假设13k ⊗=,那么函数()f x k x =⊗的值域是．18. 点1122(,),(,)A x y B x y 是函数sin (0)y x x π=-<<图象上的两个不同点,且12x x <,给出以下不等式：①12sin sin x x <；②12sinsin22x x <；③12121(sin sin )sin22x x x x ++>；④1212sin sin x x x x >. 其中正确不等式的序号是 . 三．解做题：本大题共5小题,共66分．解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤． 19．〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 中,前〔2k ＋1〕项〔*k ∈N 〕之和为77,其中偶数项之和为33,且a 1－a 2k ＋1＝18,求数列{}n a 的通项公式.20．〔本小题总分值12分〕 函数()f x 满足5(3)log (35).6xf x x x -=≤≤-(1)求函数()f x 解析式及定义域;(2)求函数()f x 的反函数1()f x -;(3)假设5()log (2)f x x ≥,求x 的取值范围.21. 〔本小题总分值14分〕假设定义在R 上的函数f (x )为奇函数,且在[0,)+∞上是增函数. (1)求证：f (x )在(,0]-∞上也是增函数；(2)对任意θ∈R ,不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立,求实数m 的取值范围.22. 〔本小题总分值14分〕A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,设22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+.〔1〕当f (A , B )取得最小值时,求C 的大小；〔2〕当2C π=时,记h 〔A 〕＝f (A , B ),试求h 〔A 〕的表达式及定义域；〔3〕在〔2〕的条件下,是否存在向量p ,使得函数h 〔A 〕的图象按向量p 平移后得到函数()2cos 2g A A =的图象？假设存在,求出向量p 的坐标；假设不存在,请说明 理由.23. 〔本小题总分值14分〕设S n 是数列{}n a 的前n 项和,且*2()2n n S a n =∈-N ．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+*()n ∈N ,求{}n b 的通项公式；〔3〕设*21()(1)n n c n b =∈+N ,且数列{}n c 的前n 项和为T n ,试比拟T n 与14的大小．高三数学参考答案及评分标准说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细那么．2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要由于考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继局部的给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误,就不再给分．3. 解答右端所注分数,表示考生正确做出这一步应得的分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：每题5分,共60分．二、填空题：每题4分,共24分13．{}1,2,4,6 14．74 15．216．3+ 17．()1,+∞ 18．②③ 三、解做题：19．〔12分〕前〔2k ＋1〕项中偶数项共有k 项. …………1分设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意得12(21)(21)77,(1)2332k a k k d k k ka d +++=-+⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 即[]12(21)()77,(1)33.k a kd k a k d ++=+-=⎧⎨⎩①②…………3分∵12(1)a kd a k d +=+-, ∴2177,33k k+=解得k ＝3. …………2分∵a 1－a 2k ＋1＝2kd -,∴2kd -＝18,∴d ＝－3. …………2分 将k ＝3,d ＝－3代入①得a 1＝20. …………2分故1(1)323.n a a n d n =+-=-+ …………2分 20．〔12分〕〔1〕设t ＝x －3,那么x ＝t ＋3.∵ 5(3)log ,6x f x x-=- ∴53()log ,3t f t t+=- …………1分∵ 35x ≤≤,∴0 2.t ≤≤ 由30,302tt t +>-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩得0 2.t ≤≤ …………2分于是53()log ,3x f x x+=- 且定义域为[0,2]. …………1分 〔2〕设y ＝53()log ,3x f x x+=- 那么353yx x+=-,即3(51)51y yx -=+,∴1()f x -3(51)51x x -=+. …………2分∵02,x ≤≤ ∴133x ≤-≤,∴ 361[1,5].33x xx+=-+∈--从而53log [0,1]3x x+∈-.故函数()f x 的反函数为1()f x -3(51)51x x -=+〔01x ≤≤〕. …………2分〔3〕5()log (2)320,302f x x xx x x ≥+⎧≥>⎪⇔-⎨⎪≤≤⎩⇔301,202x x x <≤≥⇔≤≤⎧⎪⎨⎪⎩或301 2.2x x <≤≤≤或 …………4分21．〔14分〕 〔1〕设x 1<x 2≤0, 那么－x 1>－x 2≥0.∵f (x )在[0,)+∞上是增函数,∴f (－x 1) > f (－x 2). …………2分 ∵f (x )为奇函数,∴f (－x 1)＝－f (x 1),f (－x 2)＝－f (x 2). …………2分 于是－f (x 1) > －f (x 2),即f (x 1) <f (x 2).所以f (x )在(,0]-∞上也是增函数. …………2分 〔2〕由〔1〕知,函数f (x )在(),-∞+∞上是增函数. …………1分 ∵f (x )为奇函数,∴(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->(cos 23)(2sin )(cos 23)(2sin )f f m f f m θθθθ⇔->--⇔->-+ …………2分由〔1〕知f (x )在(,)-∞+∞上是增函数,∴cos 2sin 3(cos 23)(2sin )cos 232sin 2f f m m m θθθθθθ-++->-+⇔->-+⇔>221115sin sin 1sin 2416m θθθ>++=++⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭. …………3分∵θ∈R ,∴当sin θ＝1时,2115sin 416θ++⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最大值52.∵不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立,∴故实数m 的取值范围是5,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭. ; …………2分22. 〔14分〕〔1〕配方得f (A ,B ) = (sin2A2)2+ (cos2B -12)2 +1, …………2分∴ [f (A ,B ) ]min = 1,当且仅当sin 221cos 22A B ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得最小值. …………2分在△ABC 中,,,sin 26321.cos 2662A A AB B B ππππ===⇔===⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩或 故C = 23π或2π.…………3分 〔2〕2C π=⇔A +B = 2π,于是h 〔A〕＝22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+22sin 2cos 22cos 2222A A A A ππ=+---+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝cos2A2A ＋3=2cos(2A +3π) + 3. …………4分∵A +B = 2π,∴02A π<<. …………1分〔3〕∵函数h 〔A 〕在区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数,在区间,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数；而函数 ()2cos 2g A A =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数. ∴函数h 〔A 〕的图象与函数()2cos 2g A A =的图象不相同,从而不存在满足条件的 向量p . …………2分23．〔14分〕〔1〕∵*2()2n n S a n =∈-N ,∴1122n n S a ++=-,于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝〔2 a n ＋1－2〕－〔2 a n －2〕,即a n ＋1＝2a n . …………2分 又a 1＝S 1＝2 a 1－2, 得a 1＝2. …………1分 ∴{}n a 是首项和公比都是2的等比数列,故a n ＝2n . …………1分 (2) 由a 1b 1＝〔2×1－1〕×21＋1＋2＝6及a 1＝2得b 1＝3. …………1分 当2n ≥时,11122(21)22n n n n a b a b a b +-+=+++[](1)1(23)22(1)1222n n n n n n n n a b a b -+-=--++=++,∴1(21)2(23)2(21)2n n nn n a b n n n +=---=+. …………2分∵a n ＝2n ,∴b n ＝2n ＋1〔2n ≥〕. …………1分 ∴*3,(1),21().21,(2)n n b n n n n ===+∈+≥⎧⎨⎩N …………1分〔3〕2221(1)111111(22)4(1)4(1)41n n b c n n n n nn +===<=-++++⎛⎫⎪⎝⎭. …………3分 121111111111142231414n n T c c c n n n =+++<-+-++-=-<++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …………2分。
2021届江苏省南通市如皋中学高三上学期阶段检测数学试题(解析版)
2021届江苏省南通市如皋中学高三上学期阶段检测数学试题一、单选题1．i 为虚数单位，512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A ．2-i B ．2+iC ．-2-iD ．-2+i【答案】A【解析】试题分析：55(12)5i(12)2+12(12)(12)5i i i i z i i i i --====++-，则复数2+i 的共轭复数为2-i ；选A【考点】1.复数运算；2.共轭复数； 2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞【答案】A【解析】由函数零点存在性定理结合(1)0f <、(2)0f >，即可得解. 【详解】因为函数2()ln 1f x x x=-+在()0,∞+上单调递增， 且2(1)ln11101f =-+=-<，2(2)ln 21ln 202f =-+=>， 所以函数()f x 的零点所在的大致区间为(1,2). 故选：A. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则AB 等于（ ）．A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,3【答案】C【解析】解不等式化简集合,A B ，再进行并集运算，即可得答案； 【详解】(){}lg 21{|212}A x x x x =-<=<<，{}{}223013B x x x x x =--<=-<<，∴()1,12A B =-，故选：C. 【点睛】本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）在R 上是减函数，则函数22()a g x x-=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<，函数()g x 的导函数：()()322'a g x x --=，当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项.5．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x kx ≥，则k 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．1]-∞（，C ．[]21-， D ．[]20-，【答案】D【解析】先求出当0x <时,2k ≥-；当0x =时，k ∈R ；当0x >时，利用数形结合求出0k ≤即得解. 【详解】当0x <时,因为220x x -+<，所以22x x kx -≥，即22k x k ≥-∴≥-; 当0x =时00≥，即k ∈R ;当0x >时，ln(1)x kx +≥，由图可知0k ≤;综上k 的取值范围是[]20-，，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 6．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 7．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．()172,172-+ B ．()171,171-+ C ．()32,32-+D ．()31,31-+【答案】A【解析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部. 01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案. 【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.8．平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ） A ．25B ．45C 5D ．15【答案】A【解析】求得a 的值，利用平面向量数量积的定义可求得向量a 、b 夹角的余弦值.【详解】设平面向量a 、b 的夹角为θ，()2,1a =，则5a =，由平面向量数量的定义可得cos 552a b a bθ⋅===⨯⋅.故选：A. 【点睛】本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（ ）A ．cos y x x =B ．2x y e x =+C ．y =D ．sin y x x =【答案】CD【解析】利用偶函数的定义逐一判断，即可得正确选项. 【详解】对于A ：cos y x x =，定义域为R ，()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，故A 不正确；对于B ：2xy e x =+，定义域为R ，()22()()x x f x f x e x e x ---==-+-+≠，且()e ()x f x x f x -2-=+≠所以2x y e x =+是非奇非偶函数，故B 不正确；对于C ：y =(),2,⎡-∞+∞⎣，关于原点对称，()()f x f x -===，所以y =C 正确；对于D ：sin y x x =，定义域为R ，()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，所以sin y x x =是偶函数，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 10．(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b成立的有（ ） A ．b ＞0＞a B ．0＞a ＞b C ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞0【答案】ABD【解析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断. 【详解】 因为1a ＜1b 等价于110b a a b ab--=<， 当a ＞b ，ab ＞0时，1a ＜1b成立，故B 、D 正确. 又正数大于负数，A 正确，C 错误， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45° D ．//EF 平面1111D C B A【答案】ABD【解析】连接1A B ，根据中位线定理得到11//EF A C ，结合线面平行和垂直的判定定理和心智定理，分析判定,,A B D 正确，再由异面直线所成的角的概念，可判定C 错误，即可求解. 【详解】连接1A B ，则1A B 交1A B 于点E ，又F 为1BC 的中点，可得11//EF A C ， 由1BB ⊥平面1111D C B A ，可得111BB A C ⊥，可得1BB EF ⊥，故A 正确； 由11//EF A C ，11A C ⊥平面11BDD B ，可得EF ⊥平面11BDD B ，故B 正确； 异面直线EF 与1C D 所成的角为11AC D ∠，因为1A A 的长度不确定，所以11AC D ∠的大小不确定，所以C 错误；由,E F分别是11,AB BC的中点，得到11//EF A C，可得//EF平面1111D C B A，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及异面直线所成角的求解及判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及异面直线所成角的求法是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0x<时，()()1xf x e x=+，则下列命题正确的是（）A．当0x>时，()()1xf x e x-=--B．函数()f x有3个零点C．()0f x<的解集为()(),10,1-∞-⋃D．12,x x R∀∈，都有()()122f x f x-<【答案】BCD【解析】利用函数()f x是定义在R上的奇函数，且0x<时，()()1xf x e x=+，求出()f x在R上的解析式，判断A错；由A分别令()0f x=，解出零点，判断B对；由A令()0f x<，求出解集，判断C对；当0x<时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明12,x x R∀∈，()()122f x f x-<，即证明()f x最大值与最小值的差的绝对值小于2，D对．【详解】对于A ，当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()()()11xx f x f x ex e x --=--=--+=-，A 错；∴()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩， 对于B ，当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点-1,0,1，B 对； 对于C ，当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对； 对于D ，当0x <时，由()()1xf x ex =+得()()2x f x e x '=+，由()()20x f x e x '=+<得2x <-，由()()20xf x e x '=+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()()01011xf x ex e =+<+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e ⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()()221,,11,1ee --⎤⎡-⋃-=-⎦⎣， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数在函数求值域中的应用，考查函数的性质，考查函数的表示方法，属于中档题．三、填空题13．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．【答案】23【解析】设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，角AD 于点O ，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=23，由此能求出挖去的正三棱锥的体积，得到答案. 【详解】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC 构成的几何体， 该正三棱锥P-ABC 的底面三角形ABC 内接于半球底面的大圆，顶点P 在半球面上， 设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，交AD 于点O ， 则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=23，所以1233332ABC S ∆=⨯⨯=， 所以挖去的正三棱锥的体积为113322333ABC V S PO ∆==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3ee,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e0xy mx=-=，得xemx=，设()()22(1)x x x xe e x e e xf x f xx x x⋅--=='=⇒，可得()f x在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x=时，函数()f x取得极小值，同时也是最小值()1f e=，因为当0x→时，()f x→+∞，当3x=时，()333ef=，所以要使得函数e xy mx=-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m的取值范围是3ee3m<<．【考点】利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．15．已知函数f (x)＝x3－ax＋1，g (x)＝3x－2，若函数F(x)＝(),()()(),()()f x f xg xg x f x g x≥⎧⎨<⎩有三个零点，则实数a的取值范围是__________．【答案】3322a>【解析】当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意．当a＞0时，根据图像可知：当f3a≥0时，所以F(x)至多两个零点；当f3a＜0，即33273242a>=时，列式f(23)＜0或者23233fa⎧⎛⎫≥⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪<⎪⎩，可解得结果.【详解】易得f'(x)＝3x2－a．当a ≤0时，()0f x '≥，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±3a ， 由()0f x '>，得3ax <-或3a x >，由()0f x '<，得33a a x -<<， 所以函数f (x )在(－∞，－3a )，(3a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，3a )上单调递减， 在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知： 当f (3a)≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f 3a ＜0，即3)1033a a a -<，又23()03a a -=，10333a a a <2133aa >，所以33273242a >=时， 要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者203233f a ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪<，即322()1033a -+<或3221033233a a ⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭>，即3518a >或435318a <≤，解得a ＞43．又3322a >332423>，所以3322a >.故答案为：3322a >.或【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题. 16．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 21 【解析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值. 【详解】 在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A AB C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A CA B A C+=，通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=，由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=，所以2sin 3cos sin sin AA B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号，则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin 5A ≤，则sin A 的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.四、解答题17．已知二次函数()f x 满足()(4)f x f x =--，(0)3f =，若1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=. （1）求()f x 的解析式； （2）若0x >，求()()xg x f x =的最大值.【答案】（1）2()43f x x x =++；（2）1. 【解析】（1）根据题意可得()f x 的对称轴为2x =-，零点为13x =-，21x =-，设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠，由(0)3f =即可求解.（2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）()(4)f x f x =--，1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=.()f x 的对称轴为：2x =-，可得13x =-，21x =-.设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠ 由(0)33f a ==，得1a =， 所以2()43f x x x =++（2）∵21()13()4324x x g x f x x x x x===≤=-++++，当且仅当3x x '=，x = ∴()g x的最大值是12-. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，37,02()51,2x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，()()g x f x a =-.（1）若函数()g x 恰有三个不相同的零点，求实数a 的值；（2）记()h a 为函数()g x 的所有零点之和.当11a -<<时，求()h a 的取值范围. 【答案】（1）2a =或2a =-；（2）()3312log 2,2log 21--.【解析】（1）作出函数()f x 的图象，函数()g x 恰有三个不相同的零点，即直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，由图象可得实数a 的值；（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出()h a ，进而可得()h a 的取值范围． 【详解】（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点.（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解.∴3337()10log (7)log (7)10log 7ah a a a a+=---+++=- 当11a -<<时，714341,7743a a a +⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭，∵()33()12log 2,2log 21h a ∈-- ∴当时11a -<<，()h a 的取值范围为()3312log 2,2log 21--. 【点睛】本题考查函数与方程思想，考查考查函数的奇偶性和对称性，考查指对函数的性质，属于中档题．19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表： 送餐单数 38 39 40 41 42 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数101510105（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由. 【答案】（1）29140；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【解析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值． （2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a=时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出． 【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单， 记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则()33035029140C P A C ==．（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=． 所以X 的分布列为13111()228234240247254238.65105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元， 因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘． 【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==． ()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析. 15. 【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD .可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()3,1,0AD =--，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示， 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，23AC =. ∵DBF ∆为等边三角形，∴3OF =.∴()3,0,0A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3F ，∴()3,1,0AD =--，()3,0,3AF =-，()3,1,0AB =-.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则·330·30AF n x z AB n x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得()1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ， 则·15sin cos ,5·AD n AD n AD nθ===.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围； （3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 【答案】（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）代入2k =，求出'()f x ，再令'()0f x >求出其单调递增区间，令'()0f x <求出其单调递减区间；（2）求出'()f x ，再分类讨论k 的取值，验证其正确性，进而求出k 的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取1k =，得到不等式ln 1x x x -≤，再令x =21n*()n N ∈，对不等式变形得到ln 1n n +≤12n -，进而证明原不等式. 【详解】解：（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k 时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减； 于是1(1))(k f ef k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤．令x =21n *()n N ∈，则21n +22n ln 1n ≤，即22ln 1n n -≤， 因此ln 1n n +≤12n -． 所以ln1ln 2ln 011(1) (23)12224n n n n n --+++≤+++=+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型.。
江苏省如皋中学2021-2022学年高三上学期数学周练试卷
江苏省如皋中学2021～2022学年度高三数学周练一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z 满足(1i)10z -+=，则||z =（ ）A ．1BC ．12 D 2．设集合121{216},{4}2x A x N B x x m +=∈<<=-+，若1A B ∈，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}3．若二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．352x -B ．4154x C ．320x - D ．415x4．航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K .E .Tsiolkovsky ）于1903年给出火箭最大速度的计算公式00ln 1M v V m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.其中，0V 是燃料相对于火箭的喷射速度，M 是燃料的质量，0m 是火箭（除去燃料）的质量，v 是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知02km /s V =，则当火箭的最大速度v 可达到10km /s 时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍. A ．5eB ．5e 1-C ．6eD ．6e 1-5．在ABC ∆中，“A B <”是“cos cos A B B A -<-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x 人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是415，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．已知双曲线C 1F ，2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若12PF F △，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．68．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-< 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．数据显示，全国城镇非私营单位就业人员平均工资在2011年为40000元，到了2020年，为97379元，比上年增长7.6%.根据下图提供的信息，下面结论中正确的是（ ）2011-2020年城镇非私营单位就业人员年平均工资及增速A ．2011年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长B ．工资增速越快，工资的绝对值增加也越大C ．与2011年相比，2019年全国城镇非私营单位就业人员平均工资翻了一番多D ．2018年全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破90000元 10．把方程||||14x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．函数()f x 的图象不经过第三象限 （ ） B ．函数()f x 在R 上单调递增C ．函数()f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()2g x f x x =+不存在零点11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（ ） A ．535S = B ．1n n n a a +-= C ．1(1)2n n n n S S -+-=，2n ≥D ．1231001111200101a a a a ++++= 12．已知函数221552sin ,544()5log (1),,4x x f x x x π⎧-⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩若存在实数1x ，2x ，3x ，4x （1234x x x x <<<）满足()()()()1234f x f x f x f x m ====，则（ ） A ．01m B ．1252x x +=C ．34340x x x x --=D ．22348x x +>三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．平面向量()1,2a =，()4,2b =，()c ma b m R =+∈，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = ．14．直线1y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，则||AB =___________.16．在一次去敬老院爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加，若将这五位同学分到三个不同的敬老院，且每个敬老院至少一名同学，则共有 种不同的安排方法；若除这5位同学外还有一名带队老师参加这次活动，在活动中同学比老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到。
江苏省如皋市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题【含答案】
（2）若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2.
2021－2022学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A.|z|＝1B. z＋z2＝－1C. z3＝－1D.(z＋1)3＝i
10.已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11.如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（）
A. △ABC的外心为(－1，1)B. △ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)
C. △ABC的垂心坐标可能为(－2，0)D. △ABC的重心坐标可能为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 展开式中的常数项为_________.
14.已知圆O：x2＋y2＝1，M，N，P是圆O上的三个动点，且满足∠MON＝ ，则 _________.
A.－2B.－1C.1D.2
6.已知函数f(x)＝x3＋ax2－x 图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（）
A. 1B. C. D.－1
7.已知双曲线 ，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满 ，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 2
1.已知集合 ，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有（）
江苏省南通市如皋中学等三校2021-2022学年高三上学期10月学情检测卷数学试题(wd无答案)
江苏省南通市如皋中学等三校2021-2022学年高三上学期10月学情检测卷数学试题一、单选题1. 已知集合，则下列结论正确的是A．B．C．D．2. 已知命题，，命题q：函数是减函数，则命题p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3. 函数的大致图象为（）A．B．C．D．4. 已知，，则（）A．B．C．D．5. 已知非零向量，，若，，则与的夹角是（）A．B．C．D．6. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，，则该药物的消除速率k的值约为( )（）A．B．C．D．7. 已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中错误的是（）A．B．C．当时，D．当时，8. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知，，下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10. 设函数，则下列结论正确的是A．是的一个周期B．的图像可由的图像向右平移得到C．的一个零点为D．的图像关于直线对称11. 是虚数单位，下列说法中正确的有（）A．已知复数满足，则B．“”的充要条件是“”C．若复数，则不可能是纯虚数D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限12. 设函数的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a] D，且对任意的[﹣a，a]，总存在[﹣a，a]，使得，称函数为P( a)函数，则下列结论中正确的有（）A．函数是函数B．函数是函数C．若函数是函数，则t=4D．若函数是P()函数，则b=三、填空题13. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________ .14. 若函数为偶函数，则的一个值为 ________ .（写出一个即可）15. 已知点是所在平面内点，有下列四个等式：甲：；乙：丙：丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为 ___________ ．四、双空题16. 已知数列对任意的，都有，且，①当时， ___________ ．②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则 ___________ ．五、解答题17. 已知函数．（1）若角的顶点在坐标原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆（圆心为坐标原点O）交于点，求的值；（2）当时，求函数的值域．18. 在等比数列中，公比，其前n项和为，且___________．（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列满足，，求数列的通项公式．从①，②，③是与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．19. 已知函数（1）讨论函数在定义域上单调性;（2）若函数在上的最小值为,求的值.20. 如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求的面积；（2）若，，且为锐角，求角A的大小．21. 已知数列满足：，且.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足：，定义使为整数叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.22. 已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）足否存在正数的值使得对任意恒成立？证明你的结论.（3）求证：在上有且仅有两个零点.。
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2021/2022学年度第一学期阶段检测试卷
数 学
一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）
1. i 为虚数单位， 512i z i
=
+， 则的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+
2．函数2()ln 1f x x x
=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(2,)e B ． (1,2) C ．(,3)e D ．(3,)+∞ 3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）
A ．（2，12）
B ．（一l ，3）
C ．（一l ，12）
D ．（2，3）
4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）
A ．单调递增
B ．单调递减
C ．在
上递增，在上递减 D ．在上递减，在上递增
5. 已知函数f (x )＝
若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]
6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )
7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）
A ．2⎤⎦
B ．1⎤-⎦
C.2⎤-⎦ D ．1⎤-+⎦
8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为。