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初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)

初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)

初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)初二数学竞赛试题7套整理版（含答案）第一套试题1. 某数与它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.2. 有一个矩形，长是宽的3倍，如果长再加上宽再加上1的和等于50，求矩形的长和宽各是多少？解：设矩形的宽为x，则长为3x，根据题意可得方程 3x + x + 1 = 50，化简得 4x + 1 = 50，解得 x = 12，所以长为3 * 12 = 36，宽为12.3. 某个数的三次方减去它自身等于608，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x^3 - x = 608，化简得 x^3 - x - 608 = 0，因此需求解该方程的解x.4. 甲数和乙数之和是300，甲数比乙数大30，求甲数和乙数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 x + y = 300，x - y = 30，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.5. 家长购买某品牌的饮料，每瓶售价为5元，如果购买10瓶，优惠50%，那么需要支付的价格是多少？解：购买10瓶优惠50%，相当于购买5瓶的价格，所以需要支付 5 * 10 * (1 - 50%) = 25元.第二套试题1. 学校图书馆购买300本新书，若图书馆中已有书籍500本，现将这些书按每排放10本的方式摆放，共需要多少排？解：新书300本加上原有书籍500本，共计800本书，每排放10本，所以需要 800 / 10 = 80排.2. 小明每天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，求他一天中运动的总时长是多少分钟？解：小明一天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，总时长为 30 + 25 + 40 = 95分钟.3. 甲、乙两人开始一起钓鱼，甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，如果他们一起钓了45分钟，那么他们一共钓到了多少条鱼？解：甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，他们一起钓了45分钟，所以甲和乙一共钓到了 2 * 45 + 1 * 45 = 135 条鱼.4. 某商品原价100元，现在打8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这个商品的售价是多少？解：原价100元，打8折后为 100 * (1 - 80%) = 80元，再降到原价的85%为 80 * 85% = 68元.5. 某人的年收入为12000元，每月生活费占月收入的1/5，那么这个人每月的生活费用是多少元？解：年收入12000元，月收入为 12000 / 12 = 1000元，生活费占收入的1/5，所以生活费用为 1000 * 1/5 = 200元.第三套试题1. 甲、乙两个人合作修一个房子，甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，问他们一起修需要多少天？解：甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8天.2. 甲购买一本书花费了原价的3/4，折后价格为60元，问这本书的原价是多少？解：折后价格为60元，花费原价的3/4，所以原价为 60 / (3/4) = 80元.3. 甲、乙两人比赛，甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，问谁的平均速度更快？解：甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒，平均速度为 (60 + 50 + 40) / 3 = 50 秒/轮；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，平均速度为 (55 + 45 + 35) / 3 = 45 秒/轮；所以甲的平均速度更快.4. 一只小狗每小时能跑5公里，一只小猫每小时能跑8公里，如果它们从同一地点同时出发并分别向东和西跑，4小时后它们相距了多少公里？解：小狗每小时能跑5公里，4小时后跑了5 * 4 = 20公里，小猫每小时能跑8公里，4小时后跑了8 * 4 = 32公里，所以它们相距了 32 -20 = 12 公里.5. 三个连续的偶数相加的和是60，求这三个数分别是多少？解：设第一个偶数为x，那么第二个偶数为x + 2，第三个偶数为x+ 4，根据题意可得方程 x + (x + 2) + (x + 4) = 60，求解该方程可得x及其对应的三个连续偶数.第四套试题1. 一个数的2倍加上5等于13，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 2x + 5 = 13，解得 x = 4.2. 甲乙两数相差22，乙数的2倍与甲数的3倍之和等于70，求甲、乙两数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 y - x = 22，2y + 3x= 70，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.3. 一辆汽车以每小时80千米的速度行驶，行驶了1小时20分钟后停下来休息，求这段时间内汽车行驶的路程？解：汽车以每小时80千米的速度行驶，1小时20分钟共1.33 小时，所以汽车行驶的路程为 80 * 1.33 = 106.4 千米.4. 甲、乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/4 + 1/6) = 2.4小时.5. 一个数加上它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.第五套试题1. 一条宽10米的路，两边分别种植了向阳向每排7棵树或9棵树，每棵树之间距离相等，而且与路两边相邻树之间距离也相等，问道路中间最宽的地方有多宽？解：分别种植7棵树和9棵树，每棵树之间距离相等，所以道路中间最宽的地方为两排树之间的距离.2. 一个数与4的乘积减去2等于18，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 4x - 2 = 18，解得 x = 5.3. 甲、乙、丙三人合作种田，甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，问他们三个人一起种地需要多少天？解：甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，他们一起种地需要的时间为 1/(1/10 + 1/12 + 1/15) =4.8天.4. 某人共有100元，买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱还能买另一本原价为80元的书吗？解：100元买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱为 100 * (1 - 3/5) = 40元，剩下的钱不足以购买另一本80元的书.5. 一团面粉重800克，其中水分为15%，求这团面粉中水分的重量是多少克？解：面粉重800克，其中水分为15%，所以水分的重量为800 * 15% = 120克.第六套试题1. 一个数与它的五分之一之和的和是40，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/5)x + x = 40，化简得7/5x = 40，解得 x = 28.57.2. 甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，如果他们一起完成这项工作需要3小时，求乙单独完成这项工作需要多少时间？解：甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，设甲单独完成需要的时间为x，乙单独完成需要的时间为y，根据题意可得方程 2x + 5x = 3，解得 y = 7.5.3. 有两个相交的圆，圆心之间的距离为8，两圆的半径分别为5和3，求两圆相交的弦的长度是多少？解：两个圆的半径分别为5和3，圆心之间的距离为8，利用勾股定理可以求得两圆相交的弦的长度.4. 甲乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/10 + 1/15) = 6小时.5. 甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，这三个人一共交易了多少元？解：甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，所以一共交易了20 + 30 + 10 = 60元.第七套试题1. 某数比它的2/3小12，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x - (2/3)x = 12，化简得 1/3x = 12，解得 x = 36.2. 甲、乙两个人一起修一条路，甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，也有可能甲的速度是乙的倍数，问他们一起修需要多少小时？解：甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8小时.3. 某品牌的衣服原价为200元，现在打折8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这件衣服的售价是多少？解：原价200元，打8折后为 200 * (1 - 80%) = 160元，再降到原价的85%为 160 * 85% = 136元.4. 甲、乙两个人一起做工，甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，问他们一起做一份工作需要多少时间？解：甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，他们一起做一份工作需要的时间为 1/(1/3 + 1/4) = 12/7小时.5. 某人的年收入为12000元，每月花销占收入的1/4，那么这个人每月的花销是多少元？解：年收入12000元，。

八年级数学竞赛试题及参考答案

八年级数学竞赛试题及参考答案

八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。

长春市第二实验中学2023-2024学年八年级上学期10月竞赛数学试卷(含解析)

长春市第二实验中学2023-2024学年八年级上学期10月竞赛数学试卷(含解析)

数学试卷一、选择题（共18分）1. 立方根是（ ）A. ±B.C.D. 答案：D解析：详解：因为，所以的立方根是，故选：D．2. 实数，，，中，无理数是（　）A. B. C. D. 答案：C解析：详解：解：在实数，，，中，，，，是有理数，是无理数，故选C3. 下列计算正确的是（　）A. B. C. D. 答案：D解析：详解：解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；B、，该选项不符合题意；C、，该选项不符合题意；D、，该选项符合题意；故选：D．4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　）A. B.C. D.答案：B解析：详解：解：A、，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C、，把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、，故本选项不符合题意．故选：B．5. 根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（）A. AB＝3，∠A＝60°，∠B＝40°B. AB＝3，BC＝4，∠A＝40°C. AB＝3，BC＝4，AC＝8D. AB＝3，∠C＝90°答案：A解析：详解：A、两角夹边三角形唯一确定．本选项符合题意，B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，C、不满足三边关系，本选项不符合题意，D、一边一角无法确定三角形．本选项不符合题意，故选：A．6. 若，，则的值为（）A. 2B. 1C.D.答案：B解析：详解：解：∵，∴①，∵，∴②，①②得，解得．故选B．7. 用如图所示几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　）A. B.C. D.答案：C解析：详解：解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为，这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为，所以有，故选：C．8. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（　）A. B. C. D.解析：详解：解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，∴PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，故可判断B选项正确．故选B．二、填空题（共18分）9. 的算术平方根是________．答案：2解析：详解：解：∵，4的算术平方根是2，∴的算术平方根是2．故答案为：2．10. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）．答案：假解析：详解：解：假设，则满足，但，因此，这个命题是假命题．故答案：假．11. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．答案：3详解：解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案为：3．12. 已知，，则__________．答案：解析：详解：当，，时，．故答案为：．13. 如图，△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为____.答案：40°详解：解：∵∠AEC=110°，∴∠AED=180°-∠AEC=180°-110°=70°，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE，∴∠DAE=180°-2×70°=180°-140°=40°．故答案为40°．14. 已知是一个完全平方式，则m的值等于_______．答案：9或-7##-7或9解析：详解：解：根据题意得，，或，故答案为：9或-7三、解答题（共78分）15. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）（2）（3）（4）0小问1详解：；小问2详解：；小问3详解：；小问4详解：；16. 把下列多项式分解因式：（1）；（2）．答案：（1）（2）解析：小问1详解：解：；小问2详解：17. 简便运算：（1）；（2）.答案：（1）（2）10000解析：小问1详解：；小问2详解：.18. 如图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．（1）与全等，以点为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．（2）与全等，且不与重合．答案：（1）见解析（2）见解析解析：小问1详解：解：如图中，即为所求，小问2详解：解：如图②所示，即为所求；19. 先化简，再求值：，其中．答案：，29解析：详解：解：，当时，原式．20. 如图，在中，点在上，点为的中点，连结并延长至点，使，连结．（1）求证：．（2）若平分，求证：．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：小问1详解：证明：∵点E为的中点，∴，∵∴；小问2详解：证明：由（1）得：，∴，∵平分，∴∴∴；21. 某学校教学楼前有一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为米．（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；（2）当，时，需要铺地砖的面积是多少？答案：（1）铺设地砖面积是22a2+16ab+2b2平方米；（2）202平方米．解析：详解：解：（1）根据题意得：铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）-2（a+b）2=24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2=22a2+16ab+2b2（平方米）；（2）当a=2，b=3时，原式=88+96+18=202（平方米）．22. 已知，．（1）求的值．（2）求的值．（3）求的值．答案：（1）18 （2）20（3）1解析：小问1详解：解：原式，当，时，原式小问2详解：解：原式当，时，原式小问3详解：解：∵，∴，∴．∵，∴．∴．23. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图13.5．1，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图13.5．1，，垂足为点，，点是直线上的任意一点．求证：．分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，已知的周长为20，则的长为__________．（2）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，，，则的最小值是__________．答案：教材呈现：见解析；定理应用：（1）20；（2）解析：详解：教材呈现：证明：∵，∴，∵∴，∴；定理应用：解：（1）∵的垂直平分线分别交于点，∴，∵△ADE的周长为20，∴，∴，即，故答案为：20；（2）过点C作，垂足为点E，交于点P，∵，∴，∴是的垂直平分线，∴，∴，此时的值最小，∵，∴的面积，∴，∴，故答案为：．24. 直角三角形中，，直线过点．（1）当时，如图，分别过点，作于点，于点．求证：．（2）当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．①______，当在路径上时，______．（用含的代数式表示）②直接写出当与全等时的值．答案：（1）见解析（2）①，②或5或．解析：小问1详解：证明：∵直线，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；小问2详解：解：①由题意，得：，∴，∵点与点关于直线对称，∴，∴，故答案为：，；②当与全等时，和是对应边，∴，当点在时，，即：，解得，不符合题意；当点在时，此时：，则：，解得：；当点在时，此时：，则：，解得：；当点在时，此时：，则：，解得：；综上：当与全等时，或5或．。

全国初中数学竞赛模拟试题(一)

全国初中数学竞赛模拟试题(一)

全国初中数学竞赛模拟试题（一）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．设a 、b 、c 为实数，abc ≠0，且a ＋b ＝c ，则bca cb 2222－＋＋cab ac 2222－＋＋abcb a 2222－＋的值为 （ ）（A ）－1（B ）1（C ）2（D ）32．设x ，y ，z 为实数，且有x ＞y ＞z ，那么下列式子中正确的是 （ ）（A ）x ＋y ＞y ＋z （B ）x －y ＞y －z （C ）xy ＞yz （D ）z x ＞zy3．在△ABC 中，BC ＝3，内切圆半径r ＝23，则cot 2B ＋cot 2C 的值为 （ ）（A ）23（B ）32（C ）233（D ）324．已知a ＝213213－＋－－，则aa －＋11的值为（ ）（A ）3－2 （B ）3＋2 （C ）2－3 （D ）－2－35．已知M 、N 为平面上相异的两点，有m 条直线过M 而不过N （称为M 类直线），有n 条直线过N 而不过M （称为N 类直线）．若每条M 类直线与每条N 类直线均相交，又每条直线被其上的交点连同M 点或N 点分成若干段，则这m ＋n 条直线被分成的总段数是 （ ）（A ）2mn（B ）(m ＋1)(n ＋1) （C ）2(mn ＋m ＋n )（D ）2(m ＋1)(n ＋1)6．若ab ≠1，且有5a 2＋2001a ＋9＝0及9b 2＋2001b ＋5＝0，则ba的值是（ ）（A ）59（B ）95（C ）－52001（D ）－92001二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．化简11111122－＋－－＋－－＋＋a a a aa a （0＜｜a ｜＜1）的结果是____________．2．梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＜BC ），AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为____________． 3．如图，梯形ABCD 的对角线交于O ，过O 作两底的平行线分别交两腰于M 、N ．若AB ＝18，CD ＝6，则MN 的长为____________．4．设m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋1999＝__________．5．已知整数x 、y 满足15xy ＝21x ＋20y －13，则xy ＝__________． 6．已知x ＝2323+-，y ＝2323-+，那么22yx x y ＋＝__________．ABCDM NO三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为安全并减少损失，需将油抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．需在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽？2．求二次函数y＝x2＋mx＋n在－3≤x≤－1的最大值和最小值．3．从1到n的n个连续自然数之积称为n的阶乘，记为n！（如5！＝5×4×3×2×1）．问：1999！的尾部有多少个连续的零？说明你的理由．全国初中数学竞赛模拟试题（二）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．方程19x＝12的实数解个数为（）＋x＋395＋（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）32．设a ＝531，b ＝341，c ＝451，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜b ＜a （D ）b ＜c ＜a3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图．则a 的取值范围是 （ ） （A ）－1≤a ＜0 （B ）a ＞－1（C ）－1＜a ＜0 （D ）a ≤－14．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120º，D 点在BC 边上，且BD ＝1，DC ＝2，则AD 的值为 （ ） （A ）0.5 （B ）1 （C ）1.5 （D ）2 5．已知α、β是方程x 2－7x ＋8＝0的两根，且α＞β，则2＋3β2的值为（ ）（A ）81(403－8517)（B ）41(403－8517)（C ）95 （D ）176．如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2ba ＋，2c b ＋，2a c ＋（ ）（A ）都不是整数 （B ）至少有两个整数（C ）至少有一个整数 （D ）都是整数 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．若a 、b 为整数，且x 2－x －1是ax 17＋bx 16＋1的因式，则a ＝__________． 2．我国古算经《九章算术》上有一题：有一座方形的城（见右图），城的各边的正中央有城门，出南门正好20步的地方有一棵树．如果出北门走14步，然后折向东走1775步，刚好能望见这棵树，则城的每边的长为____________． 3．设△ABC 的内切圆⊙O 切BC 于点D ，过D 作直径DE ，连AE ，并延长交BC 于点F ．若BF ＋CD ＝1998，则BF ＋2CD ＝__________．4．如右图，设△ABC 为正三角形，边长为1，P ，Q ，R 分别在AB ，BC ，AC 边上，且AR ＝BP ＝CQ ＝31．连AQ ，BR ，CP两两相交得到△MNS ，则△MNS 的面积是____________． 5．如图，正方形ABCD 的边AB ＝1，和 都是以1为半径的圆弧．则无阴影的两部分面积之差为____________．6．若x 2＋xy ＋y ＝14，y 2＋xy ＋x ＝28，则x ＋y 的值为__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，矩形ABCD 中，DE ＝BG ，且∠BEC ＝90º，EFGHABCD S S ＝n （S ABCD 表示四边形ABCDABPQRMNSDBC＝λ，已知n为自然数，λ为有理数．求证：λ也为自的面积，下同），AB然数．2．A、B、C三人各有苹果若干，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的苹果数等于B、C原来各有的苹果数；依同法再由B给A，C现有个数，后由C给A、B现有个数．互送后每人恰好各有64个，问原来A、B、C三人各有多少个苹果？3．设S是由1，2，3，…，50中的若干个数组成的一个数集（数的集合），S中任两数之和不能被7整除．试问S中最多能由1，2，3，…，50中的几个数组成（S中含数的个数的最大值）？证明你的结论．全国初中数学竞赛模拟试题（三）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若1))(())(())((＝＋＋＋＋＋＋＋＋y x z y zxx z y x yz z y x z xy ，则x 、y 、z 的取值情况是 （ ）（A ）全为零（B ）只有两个为零（C ）只有一个为零（D ）全不为零2．若x ，y ，x －y 都是有理数，则x ，y的值是 （ ）（A ）二者均为有理数（B ）二者均为无理数（C ）仅有一个为有理数（D ）以上均有可能3．设n 为自然数，则n 2＋n ＋2的整除情况是 （ ）（A ）既不能被2整除，也不能被5整除 （B ）能被2整除，但不能被5整除（C ）不能被2整除，但能被5整除 （D ）既能被2整除，又能被5整除 4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用一个半小时；若往返都坐车，全部行程则只需半个小时．如果往返都步行，那么需用的时间是 （ ）（A ）1小时（B ）2小时（C ）2.5小时（D ）3小时5．如图，正方形ABCD 及正方形AEFG ，连接BE 、CF 、DG ．则BE ∶CF ∶DG 等于 （ ）（A ）1∶1∶1 （B ）1∶2∶1（C ）1∶3∶1（D ）1∶2∶16．如果a ，b 是质数，且a 2－13a ＋m ＝0，b 2－13b ＋m ＝0，那么ab ＋ba 的值为（ ）（A ）22123（B ）22125或2（C ）22125（D ）22123或2二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知实数x 满足xx x x －＝－132⋅，则x 的取值范围是____________．2．如果对于一切实数x ，有f (x ＋1)＝x 2＋3x ＋5，则f (x －1)的解析式是________________．3．已知实数x 、y 满足条件2x 2－6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____________． 4．方程332-＝3x －3y 的有理数解x ＝__________，y ＝__________．5．如图，从直角△ABC 的直角顶点C 作斜边AB 的三等分点的连线CE 、CF ．已知CE ＝sin α，CF ＝cos α（α为锐角），则AB ＝__________．ABCDEFGCABEF6．用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于______________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，D 为等边△ABC 的BC 边上一点，已知BD ＝1，CD ＝2，CH ⊥AD 于点H ，连结BH ．试证：∠BHD ＝60º．2．已知函数y ＝－21x 2＋213的自变量在a ≤x ≤b 时，2a ≤y ≤2b ，试求a 、b 之值．3．一个自然数若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“聪明数”．例如，16＝52－32就是一个“聪明数”．试问： （1）1998是不是“聪明数”？说明理由．（2）从小到大排列，第1998个“聪明数”是哪一个自然数？A H全国初中数学竞赛模拟试题（四）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．99个连续自然数之和等于abcd ．若a 、b 、c 、d 皆为质数，则a ＋b ＋c ＋d 的最小值等于 （ ）（A ）63 （B ）70（C ）86（D ）972．设P 、Q 分别是单位正方形BC 、CD 边上的点，且△APQ 是正三角形，那么正三角形的边长为 （ ）（A ）26－ （B ）326＋ （C ）25－ （D ）325＋3．实数a 、b 、c 两两不等，且三点的坐标分别为：A （a ＋b ，c ），B （b ＋c ，a ），C （c ＋a ，b ），则这三点的位置关系是 （ ）（A ）组成钝角三角形 （B ）组成直角三角形 （C ）组成等边三角形（D ）三点共线4．对任意给定的△ABC ，设它的周长为l ，外接圆半径为R ，内切圆的半径为r ，则（ ）（A ）l ＞R ＋r（B ）l ≤R ＋r（C ）6l ＜R ＋r ＜6l （D ）以上均不对5．平面上有P 、Q 两点，以P 为外心、Q 为内心的三角形的数量为 （ ）（A ）只能画出一个 （B ）可以画出2个 （C ）最多画出3个（D ）能画无数个6．如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为 （ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ∶AB ＝1∶2，MN ∥BD 且平分AC ．若梯形ABCD 的面积等于ab ，S △AMN ＝ba ，则ab ＋ba ＝__________． 2．不等式｜x ＋7｜－｜x －2｜＜3的解是____________． 3．若自然数n 能使［n］整除n ，则n 的所有表达式为_____________．4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．5．圆内接凸四边形ABCD 的边AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝1∶9∶9∶8，AC 交BD 于P ，则S △PAB ∶S △PBC ∶S △PCD ∶S △PDA ＝____________．6．销售某种商品，如果单价上涨m %，则售出的数量就将减少150m ．为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．2 134 … … BAMCDN三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，∠CAB ＝∠ABD ＝90º，AB ＝AC ＋BD ，AD 交BC 于P ，作⊙P 使其与AB 相切．试问：以AB 为直径作出的⊙O 与⊙P 是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．2．设α、β是整系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对（a ，b ）的所有可能值．3．a 、b 、c 为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式也成立．(b 2＋bc ＋c 2)x 2－bc (b ＋c )x ＋b 2c 2＝0； (c 2＋ca ＋a 2)x 2－ca (c ＋a )x ＋c 2a 2＝0； (a 2＋ab ＋b 2)x 2－ab (a ＋b )x ＋a 2b 2＝0．D全国初中数学竞赛模拟试题（五）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．边长都是质数的凸四边形ABCD ，且AB ∥CD ，AB ＋BC ＝AD ＋CD ＝20，AB ＞BC ，则BC ＋AD ＝ （ ） （A ）6或14 （B ）6 （C ）14 （D ）102．直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线的长为123，那么它的下底的长为 （ ） （A ）163 （B ）183 （C ）203 （D ）2233．在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上有点P 满足S ＝AP 2＋BP 2，则 （ ）（A ）对P 有无限多个位置，使得S ＜2CP 2（B ）对P 有有限个位置，使得S ＜2CP 2（C ）当且仅当P 为AB 的中点，若P 与顶点A ，B 之一重合时，才有S ＝2CP 2 （D ）对直线AB 上的所有点P ，总有S ＝2CP 2 4．若14＋＋x x ＜3＜xx 3＋，则正整数x 的值是 （ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）65．若方程3x ＋by ＋c ＝0与cx －2y ＋12＝0的图形重合，设n 为满足上述条件的（b ，c ）的组数，则n 等于 （ ）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）有限多个但多于26．如图，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC 等于 （ ）（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）16 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．若自然数a ，x ，y 满足62－a ＝x －y ，则a 的最大值是____________．2．如右图，已知ABCDEF 是正六边形，M ，N 分别是边CD 和DE 的中点，线段AM 与BN 相交于P ，则PNBP ＝____________．3．关于自变量x 的二次函数y ＝x 2－4ax ＋5a 2－3a 的最小值m 是a 的函数，且a 满足不等式0≤a 2－4a －2≤10，则m 的最大值等于________．4．方程xy ＋3x ＋2y ＝10的正整数解为__________．5．甲、乙二人在圆形跑道上从同一点A 同时出发，并按相反方向跑步，甲的速度为每秒5m ，乙的速度为每秒7m ，到他们第一次在A 点处再度相遇时跑步就结束，则从他们开始相遇到结束共相遇了n 次，这里n ＝__________． 6．在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）ABCD PA BE FPN的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．在锐角三角形ABC 中，∠BAC ，∠ABC ，＜ACB 的平分线分别与△ABC 的外接圆交于D ，E ，F ．连EF ，FD ，DE 分别交AD ，BE ，CF 于A 1，B 1，C 1．求证：△ABC 的内心I 也是△A 1B 1C 1的内心．2．设有三个相似三角形，且较小的两个三角形可以互不重合地放在大三角形的内部．试证明，两个小三角形的周长之和不超过大三角形的周长的2倍．3．若不等式组⎩⎨⎧05)25(20222＜＋＋＋，＞－－k x k x x x 的整数解只有x ＝－2，求实数k 的取值范围．AB CE F I A 1B1C 1全国初中数学竞赛模拟试题（六）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．某校初三（1）班的同学打算在星期天去登山，他们计划上午8∶30出发，尽可能去登图中最远处的山，到达山顶后开展1个半小时的文娱活动，于下午3点以前必须回到驻地．如果去时的平均速度是3.2千米／时，返回时的平均速度是4.5千米／时，则能登上的最远的那个山顶是 （ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 2．方程2x 2＋7x ＋21＝515722＋＋x x 的有所实根之和为 （ ） （A ）－11（B ）－7（C ）－211（D ）－273．设a ＞0，则方程2x a －＝2－｜x ｜有不等实根，那么a 的取值范围是 （ ） （A ）a ＞0 （B ）0＜a ＜1 （C ）a ＝1 （D ）a ≥14．三角形ABC 的三条边长为连续的自然数，且它的最大角是最小角的两倍，那么它的最大边与最小边的比值是 （ ） （A ）2（B ）35（C ）23（D ）575．某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次．如果每小时付给工人计时工资4元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资6元，工人按此钟做完规定的8小时工作，应付工资 （ ） （A ）34.4元 （B ）34.6元 （C ）34.8元 （D ）35元6．若a ，b 是正数，且满足12345＝(111＋a )(111－b )，则a 与b 之间的大小关系是 （ ） （A ）a ＞b （B ）a ＝b （C ）a ＜b （D ）不能确定 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，且x ＝｜｜a a＋｜｜b b ＋｜｜c c ，y ＝a (b1＋c1)＋b (c1＋a1)＋c (a1＋b1)，则代数式x 19－96xy ＋y 3＝__________．2．如图，在长为9，宽为8的矩形纸片上紧贴三条边剪下一个圆，在剩下的纸片上如果再剪两个小圆O 1，O 2，那么这两个小圆的最大直径d ＝__________．3．已知α，β是方程x 2＋x －1＝0的两个实根，则α4－3β＝________．4．如图，四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于F ，若DF ＝BF ，AF ＝2EF ，则S △ACD ∶S △ABC ∶S △ABD ＝__________． 5．已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋4－k 交x 轴于整点A ，B ，与y 轴交于点C ，则S △ABC＝__________．驻地M 9千ACDEF6．已知实数a，b满足a2＋ab＋b2＝1，且t＝ab－a2－b2，那么t的取值范围是____________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．四边形ABCD中，O是AB的中点，以O为圆心的半圆（其直径小于AB）与边AD，DC，CB分别相切于E，F，G．求证：AB2＝4AD·BC．A2．设直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，且a，b，c均为自然数，a 为质数．证明：2(a＋b＋1)必是一个完全平方数．3．19支足球队举行单循环赛，已知每支球队至少和其余13支球队进行过比赛，求证：必可找到四个球队，它们之间任何两队都已赛过．全国初中数学竞赛模拟试题（七）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知a －a1＝b1－b ＝3，且a ＋b ≠0，则3b a －3a b 的值是 （ ）（A ）521 （B ）1321 （C ）533 （D ）13332．在△ABC 中，F 分AC 为1∶2，G 是BF 的中点，E 是AG 与BC 的交点，那么E 分BC 所成的比为 （ ） （A ）83 （B ）52 （C ）41 （D ）313．如图，△ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，则S △AEF ∶S △ABC 的值为 （ ）（A ）sin A （B ）cos A （C ）sin 2A （D ）cos4．⊙O 1和⊙O 2的半径分别是R 和r ，O 1O 2＝d ，若关于x 的方程x 2－2Rx ＋r 2－2rd ＋d 2＝0有两个相等的实根，那么此两圆 （ ） （A ）相交 （B ）内切 （C ）外切 （D ）内切或外切 5．P 为△ABC 内一点，连结PA ，PB ，PC ，把三角形的面积三等分，则P 点是△ABC 的 （ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）垂心 （D ）重心 6．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元与423元．如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是 （ ） （A ）522.8元 （B ）510.4元 （C ）560.4元 （D ）472.8元 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000．则此四数的和是__________．2．某学校新造5个教室后，每个班级的平均人数减少6人，再造5个教室后，每个班级的平均人数又减少4人．在这个变化过程中，学校人数保持不变，这个学校有__________名学生．3．如果xy ＝a ，xz ＝b ，yz ＝c ，而且它们都不等于0，那么x 2＋y 2＋z 2＝__________． 4．已知二次函数y ＝2x 2－4mx ＋m 2的图像与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ．若△ABC 的面积为42，那么m ＝__________．5．如图，圆与正三角形ABC 的三边交于六个点，如果AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，则DE ＝__________．6．一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数．这个正整数为__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，已知AB ，CD 是半径为5的⊙O 中互相垂直的弦，垂足为P ，E 为AB 的AB C EF ABCDE F GH I中点，PD＝AB，且OE＝3，试求CP＋CE的值．2．试问周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？请说出你的理由．3．证明：在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除，但任意10个整数未必有此性质．全国初中数学竞赛模拟试题（八）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若x ＝546923＋，则25x 4－1996x 2＋144＝ （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）469 （D ）19962．作两条直线将正方形分成四个全等的图形的作法有 （ ） （A ）1种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）无穷多种 3．已知cb a abcc b a ＋＋－＋＋3333＝3，则(a －b )2＋(b －c )2＋(a －b )(b －c )的值为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．凸五边形ABCDE 中，有∠A ＝∠B ＝120º，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，则五边形的面积为 （ ） （A ）10（B ）73（C ）15（D ）93 5．梯形ABCD 的对角线相交于O ，OA ＞OC ，OB ＞OD ．在AO 上取点E ，使AE ＝OC ，又在BO 上取点F ，使BF ＝OD ，则△AFC 的面积S 1与△BED 的面积S 2的关系为 （ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2（D ）不能确定6．①在实数范围内，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为x ＝aac b b 242－－±；②在△ABC 中，若AC 2＋BC 2＞AB 2，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和△A 1B 1C 1中，a 、b 、c 分别为△ABC 的三边，a 1、b 1、c 1分别为△A 1B 1C 1的三边．若a ＞a 1、b ＞b 1、c ＞c 1，则△ABC 的面积S 大于△A 1B 1C 1的面积S 1．以上三个命题中，假命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．n （n ≥3）边形的内角中，锐角最多有__________个．2．在凸四边形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝1，∠ABC ＝30º，∠BCD ＝60º．如果四边形ABCD 的面积是2313，那么AB ＝________．3．正数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧22210cb ac b a ＝＋＝＋＋，则ab 的最大值为__________．4．正三角形ABC 内接于圆O ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长MN 交圆O 于点D ，连结BD 交AC 于点P ，则PAPC ＝__________．5．有两条公路OM ，ON 相交成30º角，沿公路OM 方向80米A 处有一所小学，当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响．已知拖拉机的速度为18千米／小时，那么拖拉机沿ON 方向行驶将给小学带来噪音影响时间为__________秒． 6．已知x ，y 是正整数，并且xy ＋x ＋y ＝23，x 2y ＋xy 2＝120，则x 2＋y 2＝__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝125，CD ＝DA ＝80．问对角线BD 能否把梯形分成ABC DOEFA两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC，BD的长．2．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实根，证明：当k≠0时，方程x2＋px＋q＋k(2x＋p)＝0也有两个不等实根，且有一根在x2＋px＋q＝0的两根之间．3．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，而顶点均为整点的多边形称为整点多边形．求证：整点凸五边形上必可找到一个四边形至少覆盖5个整点．全国初中数学竞赛模拟试题（九）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．19961996的十位上的数字是 （ ） （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 2．如果凸n 边形F （n ≥4）的所有对角线都相等，那么 （ ） （A ）F 是四边形 （B ）F 是五边形 （C ）F 是四边形或五边形 （D ）F 是边相等或内角相等的多边形3．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，那么关于x 的方程x 2＋(a ＋b ＋c )x ＋(a 2＋b 2＋c 2)＝0 （ ） （A ）有两个负根 （B ）有两个正根 （C ）有两个同号实根 （D ）无实根 4．使得正n 边形的每个内角都是整数度数的n 的个数是 （ ） （A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）225．在｛1，2，…，100｝这100个整数中，任取k 个数，使得在这k 个数中，总有两个数字之和等于另两个不同的数字之和．那么，满足条件的最小的k 的取值是 （ ） （A ）21 （B ）24 （C ）27 （D ）306．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点．下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是 （ ）（A ）AD ·BC ＝AB ·BD （B ）AB 2＝AD ·AC （C ）∠ABD ＝∠ACB （D ）AB ·BC ＝AC ·BD二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．若360x＝3，360y＝5，则)1(32172y yx －－－＝__________． 2．如图所示，□ABCD ，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥BC ，C 1D 1∥C 2D 2∥AB ，把□ABCD 共划分成15个小平行四边形，若四边形C 2A 4D 1B 1面积为S 1，S □MNPQ ＝S 0，则S □ABCD ＝__________． 3．若x ＝21－x41，1－2x ＋22x 2－23x 3＋24x 4－…－21995x 1995的值为____________．4．在Rt △ABC 中，∠B ＝90º，AB ＝4，BC ＝2，D 为Rt △ABC 内任意一点，过D 分别作三角形三边的平行线EF 、MN 、PT ，设S 为△DEP 、△DMF 和△DNT 的面积之和，则S 的最小值是__________．5．如图，B 是半径为3的⊙O 的直径AC 上的一点，BC ＝2，以AB ，BC 为直径作⊙O 1，⊙O 2，⊙P 分别与⊙O 1，⊙O 2，⊙O 相切，则⊙P 的半径r 的长为__________． 6．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ．则点P到两圆外公切线的距离为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 1．如图，O 是△ABC 内任意一点，直线AO ，BO ，CO 分别与三边相交于P ，Q ，R ．若a ＞b ＞c ，求证：OP ＋OQ ＋OR ＜a ．A BCD E FA A 1 A 2 A 3 A 4A1 22．设方程x2＋ax＋1＝b的两个根均是自然数，证明：a2＋b2是合数．3．在一个8×8棋盘中，定义一种“跳棋”的规则如下：即棋子A B，跳入3B．所有棋子只有这一种走法，但可以向上，向左，向右跳动棋子．按以下要求设计一种初始状态：（1）走棋之前，前4行无棋子；（2）经过一系列走步后，只有第一行剩一枚棋子；（3）初始状态所用的棋子数最少．请画出初始状态所用的棋子分布图，并做简要的走步说明．全国初中数学竞赛模拟试题（十）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．在△ABC 中，∠C ＝90º，∠A 的平分线交BC 于D ，则CDAC AB －等于（ ）（A ）sin A （B ）cos A （C ）tan A （D ）cot A2．若x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根，则△＝b 2－4ac 与Q ＝(2ax 0＋b )2的关系是 （ ）（A ）△＜Q （B ）△＝Q （C ）△＞Q （D ）不确定3．若x －y ＝2，x 2＋y 2＝4，则x 2000＋y 2000的值是（ ）（A ）4（B ）20002（C ）22000（D ）420004．若⊙O 内切于△ABC 的三边，切点为X ，Y ，Z ，则△XYZ 满足 （ ）（A ）每个角都等于60º （B ）有一个角是钝角（C ）与△ABC 相似（D ）每个角等于△ABC中另两个角和的一半5．将从19到96的两位数依次写下组成一个自然数N ，N ＝19202122…949596．如果N 的质因数分解式中3的最高次幂是3k ，那么k ＝ （ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）36．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝15º，BC ＝1，则AC 的长为 （ ） （A ）2＋3（B ）－3 （C ）0.3 （D ）3－2二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．162001199919971995＋∙∙∙＝__________．2．正△ABC 的边长为1，P 是AB 边上的一点，PQ ⊥BC ，QR ⊥AC ，RS ⊥AB （Q 、R 、S 为垂足），若SP ＝41，则AP ＝__________．3．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝∠ADC ＝120º，则BD ＝__________． 4．设t 是与332121＋－最接近的整数，则t23－等于__________．5．在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝20º，在AB 边上取一点M ，使得BM ＝AC ，则∠AMC 的度数等于__________．6．已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO ＝150º，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）AD智浪教育—普惠英才文库1．已知正整数p ，q 都是质数，并且7p ＋q 与pq ＋11也都是质数，计算(p 2＋q p )(q 2＋p q )之值．2．如图，设H 是等腰△ABC 之垂心，在底边BC 保持不变的情况下让点A 到底边BC 的距离变小，这里乘积S △ABC ·S △BHC 的值怎样变化（变大？变小？不变？），试说明理由．3．将平面上每一点都以红蓝两色之一着色．证明：存在着斜边长为2000、一个锐角为30º的直角三角形，三个顶点同色．A B CH。

江苏初二数学竞赛模拟试卷

江苏初二数学竞赛模拟试卷

初二数学竞赛模拟试题（四）一．填空题 1、方程222x x x-=的正根的个数是 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、在直角坐标系中，已知两点A (8,3)-、B (4,5)-以及动点C (0,)n 、D (,0)m ，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值m n为 （ ）（A ）23-（B ）2- （C ）32- （D ）3-3．仪表板上有四个开关，如果相邻的两个开关不能同时是关的，那么所有不同的状态有( )．(A)4种 (B)6种 (C)8种 (D)12种4、设一个三角形的三边长为正整数,,a n b ，其中b n a ≤≤。

则对于给定的边长n ，所有这样的三角形的个数是（ ）（A ）n （B ）1n +（C ）2n n + （D ）1(1)2n n +5、如图E ，F ，G ，H ，J ，K ，N 分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应该是 （ ） A 、525 B 、53 C 、25D 、546、若b x ax x x +++-732234能被22-+x x 整除，则a ：b 的值是 （ ） A 、-2 B 、-12 C 、6 D 、4 7．若使函数2221cbx xy +-=的自变量x 的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（ ） A ．b ＞c ＞0 B ．b ＞0＞c C ． c ＞0＞b D ．c ＞b ＞08．把16x ；再取出每一列中最小的数，也得到4个数，设其中最大的数为y ，那么x ，y 的大小关系是( )． (A)x ＝y (B)x<y (C)x ≥y (D)x ≤y 二．填空题9、某班有50名同学，第人都要从下列3类运动中各选1个项目参加测试：球类包括篮球、排球、足球、乒乓球4个项目；跑步包括100m 、200m 、400m3个项目；跳跃包括跳高、跳远2个项目。

那么该班全体同学中至少有 人所选的3个项目完全相同。

慈溪初二数学竞赛试卷

慈溪初二数学竞赛试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列函数中，与y = x^2 - 2x + 1的图像相同的是（）A. y = (x - 1)^2B. y = x^2 + 2x + 1C. y = x^2 - 2x - 1D. y = x^2 - 2x + 23. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠B = 40°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 若x + y = 5，x^2 + y^2 = 19，则xy的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 0C. a < 0D. a ≤ 06. 在△ABC中，AB = AC，∠A = 50°，则∠B的度数是（）A. 50°B.60°C. 70°D. 80°7. 若x、y满足方程组\[\begin{cases}x + y = 3 \\x^2 + y^2 = 10\end{cases}\]则x - y的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a3 = 6，a2 + a4 = 12，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 3n - 2B. an = 2n + 1C. an = n^2 - 1D. an = 2n - 19. 在△ABC中，AB = AC，∠B = 45°，∠C = 90°，则BC的长度是（）A. √2B. 2C. √3D. 310. 若x、y满足方程组\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 1 \\x - y = 0\end{cases}\]则x + y的值为（）A. 1B. 0C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共20分）11. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x^2 + 4x + 3的值为______。

江苏省扬州市邗江区京华梅岭中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

江苏省扬州市邗江区京华梅岭中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

江苏省扬州市邗江区京华梅岭中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13B．17C．13或17D．13或10 3．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（）A．两点之间线段最短B．三角形的稳定性C．两点确定一条直线D．长方形的四个角都是直角4．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL5．下列说法中，正确的是（）A．三角形三条角平分线的交点到三边距离相等B．两条边分别相等的两个直角三角形全等C．两边及一角分别相等的两个三角形全等D．等腰三角形的高线、中线及角平分线互相重合6．如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（）A．50 B．608．在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸A．50︒B．55︒︒D．40︒二、填空题9．已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠，则∠C′＝．13．如图，∠MON 内有一点P 点是H ，GH 分别交OM 、ON 14．如图所示的网格是正方形网格，15．如图，在ACD 中，∠BE 交AD 于点F ，若AB =16．如图，已知224m ABC S =△，18．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别是将△ECF沿EF翻折得到ΔEC′F，连接AC′．若△AECBE＝．三、解答题的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画19．如图，ABC图．(1)画111A B C △，使它与ABC 关于直线l 成轴对称；(2)在直线l 上找一点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和最短；(3)在直线l 上找一点Q ，使点Q 到边AC BC ，的距离相等．四、作图题(1)用直尺和圆规作点D (2)连接BD ，若=48A ∠︒五、解答题21．如图，已知在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，BCE ACD BAC D BC CE ∠=∠∠=∠=，，．(1)求证：AC CD =．(2)若86AC AE ACD =∠=︒，，求DEC ∠的度数．六、证明题22．如图，在ABC 中，AC AB BC <<.⑴已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B Ð=Ð；⑵以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若3AQC B Ð=Ð，求B ∠的度数.23．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，DE 、DF 分别是ABD △和ACD 的高，且DE DF =(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)若10AB AC +=，15ABC S =△，求DE 长．七、解答题24．如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC （1）试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；（2）若BC =10，求△ODE 的周长．八、证明题25．根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如26．如图，已知锐角ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、(1)求证：MN DE ⊥；(2)若70ABC ∠=︒，∠ACB 九、问答题27．（1）【问题发现】如图1，ABC 与CDE 中，90B E ACD ∠=∠=∠=︒，AC CD =，B 、C 、E 三点在同一直线上，3AB =，4ED =，则BE =_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，904ABC BC ∠=︒=，，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC BC a ==，．将边AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BD ，连接CD ．直接写出BCD △的面积．（用含a 的代数式表示）(1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；(2)延长EC 交AB 的延长线于点F ，若45F ∠=︒．①利用（1）中的结论求出DCE ∠的度数；②当ABD △是等腰三角形时，直接写出ADB ∠的度数．(3)当D 在线段BC 上时，若线段3BC ABC = ，面积为9，则四边形是．。

无锡市天一中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

无锡市天一中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

初二数学阶段性练习满分：130分时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．）1.下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，将ABC 折叠，使点C 与点B 重合，折痕l 与边BC 交于点D ，连接AD ，则AD 是ABC 的（）A.角平分线B.高线C.中线D.无法确定3.若等腰三角形有一个内角为110︒，则这个等腰三角形的底角是（）A .70︒ B.45︒ C.35︒ D.50︒4.如图，点F ，B ，E ，C 在同一条直线上，ABC DEF ≌△△，若34A ∠=︒，36F ∠=︒，则DEC ∠的度数为（）A .50︒ B.60︒ C.70︒ D.80︒5.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB AD =，BC DC =，将仪器上的点A 与PRQ ∠的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A 、C 画一条射线AE ，AE 就是PRQ ∠的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS6.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD 的面积是()A.36B.24C.12D.107.到三角形三个顶点的距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点8.下列说法：①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的说法有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.已知：如图ABC 中，=60B ∠︒，80C ∠=︒，在直线BA 上找一点D ，使ACD 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（）A.7个B.6个C.5个D.4个10.如图，直线MN PQ ⊥，垂足为O ，点A 是射线OP 上一点，2OA =，以OA 为边在OP 右侧作23AOF ∠=︒，且满足4OF =，若点B 是射线ON 上的一个动点（不与点O 重合），连接AB ，作AOB 的两个外角平分线交于点C ，在点B 在运动过程中，当线段CF 取最小值时，OFC ∠的度数为（）A.90︒B.67︒C.23︒D.68︒二、填空题（本大题共8小题，8个空，每小空3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．）11.在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，若10CD =，则AB =___________.12.已知图中的两个三角形全等，则α∠的度数是______．13.如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AC EF =，BC DE =，要使ABC FDE △≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．14.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，过顶点A 的直线DE BC ∥，ABC ∠，ACB ∠的平分线分别交DE 于点E 、D ．若9AC =，12AB =，则DE 的长为____________．15.如图，已知线段20m AB =，射线MA AB ⊥于点A ，射线BD AB ⊥于B ，P 点从B 点向A 运动，每秒走1m ，Q 点从B 点向D 运动，每秒走4m ，P ，Q 同时从B 出发，则出发___________秒后，在线段MA 上有一点C ，使CAP 与PBQ 全等．16.如图，在ABC 中，直线l 是边AC 的垂直平分线，l 与边AB 交于点D E ，是边BC 上一点，把ABC 沿DE 折叠，点B 落在点F 处，DF 过点C ，且DC DE =．若42F ∠=︒，则A ∠的度数为___________度．17.如图，在四边形ABCD 中，E 是边BC 的中点，AE 平分BAD ∠，且90AED ∠=︒，若2CD AB =，四边形ABCD 的周长为18，5BC =，则AB 的值为___________．18.如图，在ABC 中，13AB AC ==，10BC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，12AD =，点M N 、分别是边AD 和AB 上的动点，连接BM MN 、，则BM MN +的最小值为___________．三、解答题（本大题共8小题，共76分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，BE DF =，AF CE =，AF CE ∥.求证：ABF CDE ≌△△.20.已知在ABC 中，20AB =，8BC =，22AC m =-．（1）求m 的取值范围；（2）若ABC 是等腰三角形，求ABC 的周长．21.利用网格线作图．（1）如图1，ABC 为格点三角形，在BC 上找一点P ，使点P 到AB 和AC 的距离相等，然后在射线AP 上找一点Q ，使QB QC =．（2）如图2，四边形ABCD 为格点四边形，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠．22.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，D E 、分别在AC AB ，上，且AD AE =，BD 和CE 相交于点O ．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．23.如图，已知 ABC ．（1）用直尺和圆规按下列要求作图：①作 ABC 的角平分线AD ；②作∠CBE ＝∠ADC ，BE 交CA 的延长线于点E ；③作AF ⊥BE ，垂足为F ．（2）直接判断图中EF 与BF 的数量关系．24.如图，在ABC 中，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，BD 垂直平分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ．连接DE ．（1）若ABC 的周长为19，DEC 的周长为7，求AB 的长．（2）若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，求∠CDE 的度数．25.在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题．【感悟】（1）如图1，AD 是ABC 的高线，2C B ∠=∠，若2CD =，5AC =，求BC 的长．小明同学的解法是：将ABC 沿AD 折叠，则点C 刚好落在BC 边上的点E 处．……请你画出图形并直接写出答案：BC =___________．【探究】（2）如图2，2ACB B ∠=∠，AD 为ABC 的外角CAF ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，则线段AB AC CD 、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【拓展】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，8AD =，10DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②若2D B ∠=∠，则AB 的长为___________．26.已知等腰直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D E 、分别在边BC 、边AC 上，连接DE ，以D 为直角顶点在DE 右侧作等腰直角DEF 中，连接FC ．（1）如图1，点D 与点B 重合时，猜想AE 和FC 的关系，并说明理由；（2）如图2，BD CD =时，点M N 、分别为EF 和AC 的中点，①探究AE FC 、和AC 三条线段之间的数量关系并证明；②若10BC =，直接写出MN 的最小值．初二数学阶段性练习满分：130分时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．）1.下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析即可．【详解】解：A ，B ，C 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；D 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解本题的关键在寻找图形的对称轴，看图形两部分折叠后是否能够互相重合．2.如图，将ABC 折叠，使点C 与点B 重合，折痕l 与边BC 交于点D ，连接AD ，则AD 是ABC 的（）A.角平分线B.高线C.中线D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质可得：D 为BC 中点，于是可得AD 是ABC 的中线.【详解】解：∵将ABC 折叠，使点C 与点B 重合，∴D 为BC 中点，∴AD 是ABC 的中线；故选：C .【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形中线的定义，正确理解题意是关键.3.若等腰三角形有一个内角为110︒，则这个等腰三角形的底角是（）A .70︒ B.45︒ C.35︒ D.50︒【答案】C【解析】【分析】先判断出110︒的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．【详解】解： 等腰三角形有一个内角为110︒，∴这个等腰三角形的底角是180110352︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．4.如图，点F ，B ，E ，C 在同一条直线上，ABC DEF ≌△△，若34A ∠=︒，36F ∠=︒，则DEC ∠的度数为（）A.50︒ B.60︒ C.70︒ D.80︒【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得34D A ∠=∠=︒，再三角形的外角性质，即可求解．【详解】解：∵ABC DEF ≌△△，34A ∠=︒，∴34D A ∠=∠=︒，∴70DEC D F ∠=∠+∠=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．5.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB AD =，BC DC =，将仪器上的点A 与PRQ ∠的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A 、C 画一条射线AE ，AE 就是PRQ ∠的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS【答案】A【解析】【分析】由“SSS ”证明ABC ADC △≌△，可得BAC DAC ∠=∠，可证AE 是PRQ ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：在ABC 和ADC △中，AB AD BC CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABC ADC SSS ≌，∴BAC DAC ∠=∠，∴AE 是PRQ ∠角平分线，故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，若3CD =，8AB =，则ABD 的面积是()A.36B.24C.12D.10【解析】【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据角平分线的性质求出DE ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥于E ，AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，90C ∠=︒，3DE CD ∴==，11831222ABD S AB DE ∴=⋅=⨯⨯= ．故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．7.到三角形三个顶点的距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点【答案】D【解析】【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．【详解】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．故选：D ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．），难度一般．8.下列说法：①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】画出图形，根据线段垂直平分线性质得出AB AC =，即可判断①；根据全等三角形对应边上的中线相等可判断②；根据成轴对称图形的性质，即可判断③；根据全等三角形的判定方法即可判断④．【详解】解：①如图所示，∵AD 是高，∴AD BC ⊥，∵BD CD =，∴AB AC =，即ABC 是等腰三角形，故①正确；②全等三角形对应边上的中线相等，故②错误；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，故③正确；④它们的夹角是直角相等，可以根据边角边定理判定全等，故正确．综上所述，正确的结论有3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，轴对称图形以及全等三角形的判断，解题的关键是掌握轴对称定义、等腰三角形的性质及全等三角形的判断方法．9.已知：如图ABC 中，=60B ∠︒，80C ∠=︒，在直线BA 上找一点D ，使ACD 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（）A.7个B.6个C.5个D.4个【答案】B【解析】【分析】分ACD 或BCD △为等腰三角形两种情况画出图形即可判断．【详解】解：如图：当BC BD =时，BCD △是等腰三角形；∵=60CBA ∠︒，∴BCD △是等边三角形，∴BC BD CD ==；当1BC BD =时，BCD △是等腰三角形；当23AC AD AD ==，4CA CD =，当55CD D A =时，ACD 都是等腰三角形；综上，符合条件的点D 的个数有6个．故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形．10.如图，直线MN PQ ⊥，垂足为O ，点A 是射线OP 上一点，2OA =，以OA 为边在OP 右侧作23AOF ∠=︒，且满足4OF =，若点B 是射线ON 上的一个动点（不与点O 重合），连接AB ，作AOB 的两个外角平分线交于点C ，在点B 在运动过程中，当线段CF 取最小值时，OFC ∠的度数为（）A.90︒B.67︒C.23︒D.68︒【答案】D【解析】【分析】作CE PQ ⊥于E ，CG MN ⊥于G ，CH AB ⊥于H ，连接OC ，由角平分线的性质可得CE CH =，CG CH =，从而得到CE CG =，即可推出OC 平分AOB ∠，即点C 在AOB ∠的角平分线上，得到45AOC ∠=︒，22FOC ∠=︒，当FC OC ''⊥时，C F '最小，此时点C 在C '处，再由90OFC FOC ''=︒-∠进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作CE PQ ⊥于E ，CG MN ⊥于G ，CH AB ⊥于H ，连接OC ，，AC 平分∠PAB ，CE PQ ⊥，CH AB ⊥，CE CH =∴，同理可得：CG CH =，CE CG ∴=，CE PQ ⊥ ，CG MN ⊥，OC ∴平分AOB ∠，即点C 在AOB ∠的角平分线上，45AOC =∴∠︒，23AOF ∠=︒ ，452322FOC AOC AOF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，如图，当FC OC ''⊥时，C F '最小，此时点C 在C '处，90FC O '∴∠=︒，90902268OFC FOC ''∴=︒-∠=︒-︒=︒，∴当线段CF 取最小值时，OFC ∠的度数为68︒，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．二、填空题（本大题共8小题，8个空，每小空3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．）11.在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，若10CD =，则AB =___________.【答案】20【解析】【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．【详解】解：由题意得：220AB CD ==，故答案为：20．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．12.已知图中的两个三角形全等，则α∠的度数是______．【答案】50︒##50度【解析】【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【详解】解：如图：58,72B C �靶= ，180587250A \Ð=°-°-°=°，∵两个三角形全等，50D A a \Ð=Ð==°．故答案为：50︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题关键．13.如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AC EF =，BC DE =，要使ABC FDE △≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．【答案】ACB FED ∠=∠（答案不唯一）【解析】【分析】要判定ABC FDE △≌△，已知AC EF =，BC DE =，具备了两组边对应相等，故添加A F ∠=∠，利用SAS 可证全等．（也可添加其它条件）．【详解】解：若添加条件：ACB FED ∠=∠，因为AC EF =，AB DF =，所以AC EF ACB FED BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以()SAS ABC FDE ≌△△；若添加条件：AB FD =，因为AC EF =，AB DF =，所以AC EF AB FD BC DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()SSS ABC FDE ≌；故答案为：ACB FED ∠=∠（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．14.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，过顶点A 的直线DE BC ∥，ABC ∠，ACB ∠的平分线分别交DE 于点E 、D ．若9AC =，12AB =，则DE 的长为____________．【答案】21【解析】【分析】由平行线的性质、角平分线的性质推知E ABE ∠=∠，则AB AE =．同理可得AD AC =，所以线段DE 的长度转化为线段AB 、AC 的和．【详解】解：D E B C ∥，E EBC ∴∠=∠．BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，E ABE ∴∠=∠，AB AE =∴．同理可得：AD AC =，21DE AD AE AB AC ∴=+=+=．故答案为：21．【点睛】本题综合考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，将平行线的性质和等角对等边相结合是常见的考查方法．15.如图，已知线段20m AB =，射线MA AB ⊥于点A ，射线BD AB ⊥于B ，P 点从B 点向A 运动，每秒走1m ，Q 点从B 点向D 运动，每秒走4m ，P ，Q 同时从B 出发，则出发___________秒后，在线段MA 上有一点C ，使CAP 与PBQ 全等．【答案】4或10##10或4【解析】【分析】分两种情况考虑：当≌APC BQP △△时与当≌APC BPQ △△时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．【详解】解：设出发x 秒后，在线段MA 上有一点C ，使CAP 与PBQ 全等．当≌APC BQP △△时，AP BQ =，即204x x -=，解得：4x =；当≌APC BPQ △△时，1102AP BP AB ===米，此时所用时间10x =，综上，出发4秒或10秒后，在线段MA 上有一点C ，使CAP 与PBQ 全等．故答案为：4或10．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解本题的关键．16.如图，在ABC 中，直线l 是边AC 的垂直平分线，l 与边AB 交于点D E ，是边BC 上一点，把ABC 沿DE 折叠，点B 落在点F 处，DF 过点C ，且DC DE =．若42F ∠=︒，则A ∠的度数为___________度．【答案】32【解析】【分析】由折叠的性质可得42B F ∠=∠=︒，BDE CDE ∠=∠，设BDE CDE x ∠=∠=，则42DEC BDE B x ∠=∠+∠=+︒，由等腰三角形的性质可得42DCE DEC x ∠=∠=+︒，由三角形内角和定理求出32x =︒，从而得出74DCB ∠=︒，再由线段垂直平分线的性质可得AD CD =推出A ACD ∠=∠，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．【详解】解：由折叠的性质可得：42B F ∠=∠=︒，BDE CDE ∠=∠，设BDE CDE x ∠=∠=，则42DEC BDE B x ∠=∠+∠=+︒，DC DE = ，42DCE DEC x ∴∠=∠=+︒，180CDE DCE DEC ∠+∠+∠=︒ ，4242180x x x ∴++︒++︒=︒，解得：32x =︒，32BDE CDE ∴∠=∠=︒，42324274DCB x ∴∠=+︒=︒+︒=︒，直线l 是边AC 的垂直平分线，AD CD ∴=，A ACD ∴∠=∠，180A ACD DCB B ∠+∠+∠+∠=︒ ，27442180A ∴∠+︒+︒=︒，32A ∴∠=︒，故答案为：32．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．17.如图，在四边形ABCD 中，E 是边BC 的中点，AE 平分BAD ∠，且90AED ∠=︒，若2CD AB =，四边形ABCD 的周长为18，5BC =，则AB 的值为___________．【答案】136##126【解析】【分析】由E 是边BC 的中点可得BE CE =，由角平分线的定义可得BAE DAE ∠=∠，在AD 上截取AF AB =，连接EF ，证明()SAS ABE AFE △≌△得到BE EF =，BEA FEA ∠=∠，再证明()SAS DEF DEC △≌△得到2DF AB =，最后根据四边形ABCD 的周长为18即可求出AB 的值．【详解】解： E 是边BC 的中点，BE CE ∴=，AE 平分BAD ∠，BAE DAE ∴∠=∠，如图，在AD 上截取AF AB =，连接EF ，，在ABE 和AFE △中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴≌△△，BE EF ∴=，BEA FEA ∠=∠，BE EF CE ∴==，90AED ∠=︒ ，90AEF DEF ∴∠+∠=︒，180AED DE AEB C ∠+∠=︒∠+ ，90AEB DEC ∴∠+∠=︒，DEC DEF ∴∠=∠，在DEF 和DEC 中，EF EC DEF DEC DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS DEF DEC ∴ ≌，CD DF ∴=，2CD AB = ，2DF AB ∴=，四边形ABCD 的周长为18，18AB BC CD AD ∴+++=，52218AB AB AB AB ∴++++=，136AB ∴=，故答案为：136．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．18.如图，在ABC 中，13AB AC ==，10BC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，12AD =，点M N 、分别是边AD 和AB 上的动点，连接BM MN 、，则BM MN +的最小值为___________．【答案】12013##3913【解析】【分析】作BE AC ⊥交AC 于点E ，交AD 与M '，作M N AB ''⊥交AB 于点N '，由角平分线的性质可得M N EM '''=，CAD BAD ∠=∠，则BM MN +的最小值为BE ，证明()SAS ACD ABD △≌△得到BD CD =，从而得到AD BC ⊥，再根据1122ABC S BC AD AC BE =⋅=⋅△求出BE 的长即可得到答案．【详解】解：如图，作BE AC ⊥交AC 于点E ，交AD 与M '，作M N AB ''⊥交AB 于点N '， AD 平分CAB ∠，BE AC ⊥，M N AB ''⊥，M N EM '''∴=，CAD BAD ∠=∠，BM M N BM M E BE '''''∴+=+=，即BM MN +的最小值为BE ，在ACD 和ABD △中，AC AB CADF BAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD ABD ∴ ≌，CD BD ∴=，AD BC ∴⊥，1122ABC S BC AD AC BE =⋅=⋅ ，101213BE ∴⨯=⨯，12013BE ∴=，∴BM MN +的最小值为12013，故答案为：12013．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共76分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，BE DF =，AF CE =，AF CE ∥.求证：ABF CDE ≌△△.【答案】见解析【解析】【分析】两边夹角对边对应相等的两个三角形全等，据此利用SAS 进行判定即可．【详解】证明：BE DF = ，BE EF DF EF ∴+=+，即BF DE =，∵AF CE ∥，∴AFB CED ∠=∠，在ABF △和CDE 中，AF CE AFB CED BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABF CDE ∴≌△△．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．20.已知在ABC 中，20AB =，8BC =，22AC m =-．（1）求m 的取值范围；（2）若ABC 是等腰三角形，求ABC 的周长．【答案】（1）715m <<（2）48【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可；（2）分AB AC =，BC AC =两种情况讨论即可．【小问1详解】解：根据题意，得AB BC AC AB BC -<<+，即20822208m -<-<+，解得715m <<；【小问2详解】解：当20AB AC ==时，ABC 的周长为2020848++=；当8BC AC ==时，16BC AC AB +=<，∴ABC 不存在，故舍去，的周长为48．∴ABC【点睛】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，解不等式组等知识，掌握三角形三边关系是解题的关键．21.利用网格线作图．为格点三角形，在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等，然后在射线AP （1）如图1，ABC=．上找一点Q，使QB QC∠=∠．（2）如图2，四边形ABCD为格点四边形，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB APD 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】∠的角平分线交CB于点P，作线段BC的垂直平分线交AP于点Q，点P、【分析】（1）利用网格线作CAB点Q即为所求；（2）作点B关于AC的对称点B'，连接DB'并延长交AC于点P，点P即为所求．【小问1详解】解：如图，点P、点Q即为所求，，由角平分线的性质可得点P到AB和AC的距离相等，=；由线段垂直平分线的性质可得QB QC【小问2详解】解：如图，点P即为所求，，由轴对称的性质可得APB APD ∠=∠．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．22.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，D E 、分别在AC AB ，上，且AD AE =，BD 和CE 相交于点O ．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．【答案】见解析【解析】【分析】先证明()SAS ABD ACE △≌△得到ABD ACE ∠=∠，再由等边对等角可得A ABC CB =∠∠，从而推出CBO BCO ∠=∠，进而得出BO CO =，即可得证．【详解】证明：在ABD △和ACE △中，AE AD BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABD ACE ∴△≌△，ABD ACE ∴∠=∠，AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，ABC ABD ACB ACE ∴∠-∠=∠-∠，CBD BCE ∴∠=∠，即CBO BCO ∠=∠，BO CO ∴=，∴点O 在线段BC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．23.如图，已知 ABC ．（1）用直尺和圆规按下列要求作图：①作 ABC 的角平分线AD ；②作∠CBE ＝∠ADC ，BE 交CA 的延长线于点E ；③作AF ⊥BE ，垂足为F ．（2）直接判断图中EF 与BF 的数量关系．【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；③作图见解析（2）EF BF=【解析】【分析】（1）①如图1，运用直尺与圆规按要求画角平分线即可得直线AD ；②如图1，根据EBC ADC ∠=∠得到AD BE ，过B 作BE AD ∥，交CA 延长线于E 即可；③如图1，根据ABE AEB ∠=∠，可知AE AB =，由AF BE ⊥可知AF 为线段BE 的垂直平分线，作图即可；（2）如图1，由（1）可知，BEA EBA ∠=∠，进而可判定ABE 是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证BF EF =．【小问1详解】①解：如图1，射线AD 就是∠BAC 的角平分线；②解：作∠EBC =∠ADC ，点E 就是所求作的点，如图1所示；③解：作线段BE 的垂直平分线AF ，如图1所示；【小问2详解】解：BF EF =．由（1）可知BAD CAD∠=∠∵∠CBE ＝∠ADC∴AD BE∴CAD BEA ∠=∠，EBA BAD∠=∠∴BEA EBA∠=∠∴AB AE=∴ABE 是等腰三角形∵AF BE⊥∴BF EF =．【点睛】本题考查了作角平分线、作一个角等于已知角、作线段的垂直平分线、等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．24.如图，在ABC 中，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，BD 垂直平分AE ，垂足为F ，交AC 于点D ．连接DE ．（1）若ABC 的周长为19，DEC 的周长为7，求AB 的长．（2）若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，求∠CDE 的度数．【答案】（1）6AB =；（2）45CDE ∠=︒．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB BE AD DE ==，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理求出BAC ∠，证明BAD BED △≌△，根据全等三角形的性质得到95BED BAC ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质计算即可．【小问1详解】解：∵BD 是线段AE 的垂直平分线，∴AB BE AD DE ==，，∵ABC 的周长为19，DEC 的周长为7，∴19AB BE EC CD AD ++++=，7CD EC DE CD CE AD ++=++=，∴19712AB BE +=-=，∴6AB =；【小问2详解】解：∵35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，∴180355095BAC ∠=︒-︒-︒=︒，在BAD 和BED 中，BA BE BD BD DA DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS BAD BED ≌，∴95BED BAC ∠=∠=︒，∴955045CDE BED C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．25.在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题．【感悟】（1）如图1，AD 是ABC 的高线，2C B ∠=∠，若2CD =，5AC =，求BC 的长．小明同学的解法是：将ABC 沿AD 折叠，则点C 刚好落在BC 边上的点E 处．……请你画出图形并直接写出答案：BC =___________．【探究】（2）如图2，2ACB B ∠=∠，AD 为ABC 的外角CAF ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，则线段AB AC CD 、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【拓展】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，8AD =，10DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②若2D B ∠=∠，则AB 的长为___________．【答案】（1）9；（2）AB AC CD +=，证明见解析；（3）①证明见解析；②18【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：5AC AE ==，2DE CD ==，C AED ∠=∠，由2C B ∠=∠可得2AED B ∠=∠，再由三角形外角的定义及性质可得AED B BAE ∠=∠+∠，推出B BAE ∠=∠，进而得到5BE AE ==，最后进行计算即可得到答案；（2）在AF 上截取AG AC =，连接DG ，证明()SAS CAD GAD ≌得到CD GD =，ACD AGD ∠=∠，证明ACB DGF ∠=∠，再由2ACB B ∠=∠得到2DGF B ∠=∠，再根据三角形外角的定义及性质得出B BDG ∠=∠，进而得到BG DG =，即可得证；（3）①在AB 上截取AH AD =，连接CH ，证明()SAS CAH CAD ≌，得到D CHA ∠=∠，CD CH =，从而得到CB CH =，进而B CHB ∠=∠，再由180CHB CHA ∠+∠=︒即可得证；②由①得180B D ∠+∠=︒，结合2D B ∠=∠可得=60B ∠︒，从而推出BCH V 是等边三角形，得出10BH =，最后由AB BH AH =+即可得到答案．【详解】解：（1）如图，将ABC 沿AD 折叠，则点C 刚好落在BC 边上的点E 处，，由折叠的性质可得：5AC AE ==，2DE CD ==，C AED ∠=∠，2C B ∠=∠ ，2AED B ∴∠=∠，AED B BAE ∠=∠+∠ ，B BAE ∴∠=∠，5BE AE ∴==，5229BC BE DE CD ∴=++=++=，故答案为：9；（2）AB AC CD +=，证明：如图，在AF 上截取AG AC =，连接DG ，，AD 平分CAF ∠，CAD GAD ∴∠=∠，在CAD 和GAD 中，AG AC CAD GAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAD GAD ∴ ≌，CD GD ∴=，ACD AGD ∠=∠，180ACD ACB ∠+∠=︒ ，180AGD DGF ∠+∠=︒，ACB DGF ∴∠=∠，2ACB B ∠=∠ ，2DGF B ∴∠=∠，DGF B BDG ∠=∠+∠ ，B BDG ∴∠=∠，BG DG ∴=，BA AG BG DG CD ∴+===，AB AC CD ∴+=；（3）①如图，在AB 上截取AH AD =，连接CH ，，AC 平分BAD ∠，HAC DAC ∴∠=∠，在CAH 和CAD 中，AH AD HAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAH CAD ∴ ≌，D CHA ∴∠=∠，CD CH =，CB CD = ，CB CH ∴=，B CHB ∴∠=∠，180CHB CHA ∠+∠=︒ ，180B D ∴∠+∠=︒；②由①得180B D ∠+∠=︒，10BC CH ==，2D B ∠=∠ ，2180B B ∴∠+∠=︒，60B ∴∠=︒，10BC CH == ，BCH ∴ 为等边三角形，10BH ∴=，10818AB BH AH ∴=+=+=，故答案为：18．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．26.已知等腰直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D E 、分别在边BC 、边AC 上，连接DE ，以D 为直角顶点在DE 右侧作等腰直角DEF 中，连接FC ．（1）如图1，点D 与点B 重合时，猜想AE 和FC 的关系，并说明理由；（2）如图2，BD CD =时，点M N 、分别为EF 和AC 的中点，①探究AE FC 、和AC 三条线段之间的数量关系并证明；②若10BC =，直接写出MN 的最小值．【答案】（1）AE CF =，AE CF ⊥，理由见解析（2）①12AE CF AC +=，证明见解析；②MN 的最小值为52【解析】【分析】（1）由ABC 、DEF 为等腰直角三角形，点D 与点B 重合，可得90ABC EBF ∠=∠=︒，BE BF =，45BAC BCA ∠=∠=︒，证明ABE CBF △≌△得到AE CF =，45BAE BCF ∠=∠=︒，从而得出90ACF ∠=︒，即可得证；（2）①连接DN ，由三角形中位线定理可得DN AB ∥，1122DN AB CB ==，从而得到90CDN ABC ∠=∠=︒，DN DC =，证明()SAS DEN DCF ≌得到CF EN =，再由12AE EN AN AC +==即可得出结论；②连接DM 、CM ，作MG CD ⊥交CD 于点G ，交AC 于点H ，先证得90ECF ∠=︒，从而得到DM CM =，推出M 在CD 的垂直平分线上，当MN MG ⊥时，MN 最小，再利用等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理进行计算即可得到答案．【小问1详解】解：AE CF =，AE CF ⊥，理由如下：ABC 、DEF 为等腰直角三角形，点D 与点B 重合，90ABC EBF ∴∠=∠=︒，BE BF =，45BAC BCA ∠=∠=︒，ABC EBC EBF EBC ∴∠-∠=∠-∠，即ABE CBF ∠=∠，在ABE 和CBF V 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE CBF ∴ ≌，AE CF ∴=，45BAE BCF ∠=∠=︒，454590ACF ACB BCF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，CF AE ∴⊥；【小问2详解】解：①12AE CF AC +=，证明：如图，连接DN ，。

八年级数学竞赛题及答案解析

八年级数学竞赛题及答案解析

八年级数学竞赛题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）班级： 姓名： 得分：一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）A ．－5BC ．1D ．42.下列各式中计算正确的是（ ）A .9)9(2-=-B .525±=C .1=-D .2)2(2-=-3.若1k k <<+ （k 是整数），则k =（ ）A . 6B . 7C .8D . 94.下列计算正确的是（ ）A.ab ·ab =2ab C.3-=3（a ≥0） D.·=（a ≥0,b ≥0）5.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶56.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（ ）A ．12B ．7＋7C ．12或7＋7D ．以上都不对7.将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）A ．h ≤17B ．h ≥8C ．15≤h ≤16D ．7≤h ≤168.在直角坐标系中,将点（－2,3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A .（4, －3）B .（－4, 3）C .（0, －3）D .（0, 3）9.在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （4，5），B （1，2），C （4，2）， 将△ABC 向左平移5个单位长度后，A 的对应点A 1的坐标是（ ）A ．（0，5）B ．（－1，5）C ．（9，5）D ．（－1，0）10.平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线l 经过第一、二、三象限，若点（0，a ），（-1，b ），（c ，-1）都在直线l 上，则下列判断正确的是（ ） A . b a < B . 3<a C . 3<b D . 2-<c 二、填空题（每小题3分，共24分）11.函数y ＝的自变量x 的取值范围是________.12.点 P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是 .13.已知点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a +b ，1－b ），则a b 的值为__________.14.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y 米与时间x 小时（0≤x ≤5）的函数关系式为__________.15.在△ABC 中，a ，b ，c 为其三边长，，，，则△ABC 是_________.16.在等腰△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =12 cm ，则BC 边上的高是_________cm ．17.若),(b a A 在第二、四象限的角平分线上,a 与b 的关系是_________.18已知：m 、n 为两个连续的整数，且m ＜＜n ，则m +n =_________.三、解答题（共66分） 19.（8分）如图，已知等腰△的周长是，底边上的高的长是，求这个三角形各边的长.20.（8分）计算： （1）44.1-21.1； （2）0)31(33122-++；（3）2)75)(75(++-； （4）2224145-.21.（8分）在平面直角坐标系中,顺次连接A （-2,1）,B （-2,-1）,C （2,-2）,D （2,3）各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积.22．（8分）已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数，求()2-ab －27 的值. 23.（8分）设一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象经过A （1，3），B （0，－2）两点，试求k ，b 的值．24.（8分）一架云梯长25 m ，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C 离墙7 m.（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m 吗？第24题图 第25题图25.（8分）甲、乙两人匀速从同一地点到1 500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲、乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数图象的一部分如图所示.（1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画s 关于t 的函数图象的其余部分；（3）问甲、乙两人何时相距360米？26.（10分）某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3 000元，每天工作8小时，一个月工作25天，月工资底薪800元，另加计件工资.加工1件A 型服装计酬16元，加工1件B 型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时，加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时.（工人月工资＝底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A 型服装和1件B 型服装各需要多少小时？（2）一段时间后,公司规定：“每名工人每月必须加工A ,B 两种型号的服装，且加工A 型 服装数量不少于B 型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A 型服装a 件，工资总额为 W 元，请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？年级数学竞赛答题卡一、选择题（每题3分，共30分）D C第19题图二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 12. 13. 14.15. 16. 17. 18.三、解答题（共66分）19. （8分）如图，已知等腰△的周长是，底边上的高的长是，求这个三角形各边的长.20.（8分）计算：（1）44.1-21.1； （2）0)31(33122-++；（3）2)75)(75(++-； （4）2224145-.21.（8分）在平面直角坐标系中,顺次连接A （-2,1）,B （-2,-1）,C （2,-2）,D （2,3）各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积.22．（8分）已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数，求()2-ab －27 的值. 23.（8分）设一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象经过A （1，3），B （0，－2）两点，试求k ，b 的值．24.（8分）一架云梯长25 m ，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C 离墙7 m.（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m 吗？25.（8分）甲、乙两人匀速从同一地点到1 500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲、乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数图象的一部分如图所示.（1）求甲行走的速度；（2）在坐标系中，补画s 关于t 的函数图象的其余部分；（3）问甲、乙两人何时相距360米？26.（10分）某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3 000元，每天工作8小时，一个月工作25天，月工资底薪800元，另加计件工资.加工1件A 型服装计酬16元，加工1件B 型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时，加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时.（工人月工资＝底薪+计件工资）D C 第19题图（1）一名熟练工加工1件A 型服装和1件B 型服装各需要多少小时？（2）一段时间后,公司规定：“每名工人每月必须加工A ,B 两种型号的服装，且加工A 型 服装数量不少于B 型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A 型服装a 件，工资总额为 W 元，请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？期中检测题参考答案一、选择题1.C 解析：|－5|=5；|－2|=2，|1|=1，|4|=4，所以绝对值最小的数是1，故选C ．2.C 解析：选项A 9=，选项B 5=，选项D 中22(=,所以只有选项C 中1=-正确.3.D 解析：∵ 81＜90＜100，∴ ，即910，∴ k =9. 4.D 解析：因为22ab ab a b ⋅=，所以A 项错误；因为33(2)8a a =，所以B 项错误；因为0)a =≥，所以C 0,0)a b =≥≥，所以D项正确.5.D 解析：判断一个三角形是不是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.由A 得有一个角是直角.B 、C 满足勾股定理的逆定理，故选D.6.C 解析：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋47C .7.D 解析：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17（cm ），最短长度为8 cm ，则筷子露在杯子外面的长度h 的取值范围是24－17≤h ≤24－8，即7≤h ≤16，故选D . 8.C 解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵坐标均互为相反数，所以点（－2，3）关于原点的对称点为（2，－3）.根据平移的性质，结合直角坐标系，（2，－3）点向左平移2个单位长度，即横坐标减2，纵坐标不变.故选C .9.B 解析:∵ △ABC 向左平移5个单位长度，A （4，5），4－5=－1，∴ 点A 1的坐标为（－1，5）,故选B ．10.D 解析：设直线l 的表达式为()0y kx b k =+≠， 直线l 经过第一、二、三象限，∴ 0k >，函数值y 随x 的增大而增大. 01>-，∴ a b >，故A 项错误；02>-，∴ 3a >，故B 项错误； 12->-，∴ 3b >，故C 项错误； 13-<，∴ 2c <-，故D 项正确.二、填空题11.x ≥2 解析：因为使二次根式有意义的条件是被开方数≥0，所以x －2≥0，所以x ≥2. 12.0＜a ＜3 解析：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法. ∵ 点P （a ，a －3）在第四象限，∴ a >0，a －3<0，解得0＜a ＜3．13.25 解析：本题考查了关于y 轴对称的点的坐标特点，关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，解得b ＝2，a ＝－5，∴ a b ＝25.14.y =0.3x +6 解析：因为水库的初始水位高度是6米，每小时上升0.3米，所以y 与x 的函数关系式为y =0.3x +6（0≤x ≤5）.15.直角三角形 解析：因为所以△是直角三 角形.16.8 解析：如图，AD 是BC 边上的高线．∵ AB =AC =10 cm ，BC =12 cm ，∴ BD =CD =6 cm ，∴ 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD=8（cm ）．17.互为相反数 解析:第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标的绝对值相等,•符号 相反.18.7 解析：∵ 9＜11＜16，∴ 3＜＜4. 又∵ m 、n 为两个连续的整数，∴ m ＝3，n ＝4，∴ m ＋n ＝3＋4＝7.三、解答题19. 解：设，由等腰三角形的性质，知. 由勾股定理，得，即，解得， 所以，．20.解：（1）.（2）. （3333+=+=+=D B C第16题答图（4）.61513334)31(331220=+=++=-++ （5）（6）. 21.解:梯形.因为AB ∥CD ，AB 的长为2,CD 的长为5,AB 与CD 之间的距离为4,所以S 梯形ABCD ＝(25)42+⨯＝14. 22.解: 因为a 31-≥0，︱8b －3︱≥0，且a 31-和︱8b －3︱互为相反数， 所以a 31-，0=︱8b －3︱，0= 所以,83,31==b a 所以()2-ab －27＝64－27＝37. 23.分析：直接把A 点和B 点的坐标分别代入y =kx +b ，得到关于k 和b 的方程组，然后解方程组即可.解：把（1，3）、（0，－2）分别代入y =kx +b ，得+32k b b =⎧⎨=-⎩，， 解得52k b =⎧⎨=-⎩，，即k ，b 的值分别为5，－2． 24.分析：（1）可设这个梯子的顶端A 距地面有x m 高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度是直角三角形的三边长，所以x 2+72=252，解出x 即可.（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了4 m ，应计算才能确定.解：（ 1）设这个梯子的顶端A 距地面有x m 高，根据题意，得AB 2+BC 2=AC 2，即x 2+72=252，解得x =24，即这个梯子的顶端A 距地面有24 m 高.（2）不是.理由如下：如果梯子的顶端下滑了4 m ，即AD =4 m,BD =20 m.设梯子底端E 离墙距离为y m ，根据题意，得BD 2+BE 2=DE 2，即202+y 2=252，解得y =15.此时CE =15－7=8（m ）.所以梯子的底部在水平方向滑动了8 m.25.解：（1）甲行走的速度：150530÷=（米/分）.（2）补画的图象如图所示（横轴上对应的时间为50）.（3）由函数图象可知，当t =12.5时，s =0；当12.5≤t ≤35时，s =20t -250；当35<t ≤50时，s =-30t +1 500.当甲、乙两人相距360米时，即s =360，360=20t -250，解得30.5=t ,360 =-30t +1 500. 解得 38=t ∴当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米.26.解：（1）设一名熟练工加工１件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时，由题意,得解得答：一名熟练工加工1件A 型服装需要2小时，加工1件B 型服装需要1小时.（2）当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，则还可以加工B 型服装（25×8-2a ）件. ∴ W ＝16a +12（25×8-2a ）+800,∴ W ＝-8a +3 200.又a ≥ （200-2a ）,解得a ≥50.∵ -8<0,∴ W 随着a 的增大而减小.∴ 当a =50时，W 有最大值2 800.∵ 2 800<3 000,∴ 该服装公司执行规定后违背了广告承诺.。

无锡市二泉中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

无锡市二泉中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

无锡市二泉中学八年级10月检测卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.实数9的算术平方根是（）A.3 B.3± C.3 D.3-3.如图，OD 平分∠AOB ，DE ⊥AO 于点E ，DE=4，点F 是射线OB 上的任意一点，则DF 的长度不可能．．．是（）A.3B.4C.5D.64.如图，将两根同样的钢条AC 和BD 的中点固定在一起，使其可以绕着O 点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据OAB OCD V V ≌，CD 的长就等于工件内槽的宽AB ，这里判定OAB OCD V V ≌的依据是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边5.在联合会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边中垂线的交点D.三边上高的交点6.若[a ]表示数a 的整数部分，例如[π]＝324]＝（）A .4 B.5 C.6D.77.如图，AD 是BAC 的平分线，DE AB ⊥于点E ，32,4,9ABC S DE AB ===△，则AC 的长是（）A.6B.7C.8D.98.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若150∠=︒，则AEF ∠等于（）A .65︒ B.130︒ C.120︒ D.115︒9.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm10.如图，BD 为ABC 的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足，下列结论：①ABD EBC ≌；②180BCE BCD ∠+∠=︒；③∠=∠BCD BAE ；④AD EF EC ==；⑤2BA BD BF +=，其中正确的结论有（）A.①②③④B.①②③④⑤C.①②③D.①②③⑤二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是_____．12.如图，∠C ＝∠D ＝90°，添加一个条件，可使用“HL ”判定Rt △ABC ≌Rt △ABD ．添加的条件是：____．（写一个即可）13.已知Rt ABC △，90C ∠=︒，点D 是AB 中点，5CD =，则AB =____________．14.如图，已知△ABC 是等边三角形，AD 是中线，E 在AC 上，AE =AD ，则∠EDC =______．15.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，则该等腰三角形的顶角度数为________．16.如图，AC AB BD ==，90ABD ∠=︒，=6BC ，则BCD △的面积为__________.17.如图，其中的△ABE 和△ADC 是由△ABC 分别沿着直线AB ，AC 折叠得到的，BE 与CD 相交于点I ，若∠BAC ＝140°，则∠EIC ＝_____°．18.如图，Rt ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =2，D 为BC 上一动点，EF 垂直平分AD 分别交AC 于E 、交AB 于F ，则BF 的最大值为_________三．解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：23(3)832-+-+-（2）求下列各式中的x ：()2125x -=（3）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的平方根是4±，求36a b +的立方根．20.如图，在规格为88⨯的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），ABC 的三个顶点都在格点上，且直线m 、n 互相垂直．（1）画出ABC 关于直线n 对称的A B C ''' ；（2）在直线m 上作出点P ，使得APB △的周长最小；（保留作图痕迹）（3）图中ABC 的面积为________．（请直接写出结果）21.如图，∠1=∠2，∠A =∠B ，AE =BE ，点D 在边AC 上，AE 与BD 相交于点O ．（1）求证：△AEC ≌△BED ；（2）若∠2=40°，求∠C 的度数．22.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，∠B ＝30°，∠DAB ＝45°．(1)求∠DAC 的度数；(2)求证：DC ＝AB ．23.在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，M 、N 分别是AC BD 、的中点．（1）猜一猜，MN 和BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）如果45BCD ∠=︒，2BD =，求MN 的长．24.如图，∠AOB ＝30°，点M ，N 在边OA 上，点N 在点M 的上方，MN ＝2，点M 从O 开始沿着射线OA 移动，移动距离为x ，点P 是边OB 上的点．（1）利用直尺和圆规在图1确定点P ，使得PM ＝PN ；（2）在整个移动过程中，使P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 最少有个，最多有个；当x ＝2时，这样的点P 有个．（3）若使P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有3个，写出x 满足的条件．25.以ABC 的AB 、AC 为边作ABD △和ACE △，且AE AB =，AC AD =，CE 与BD 相交于M ，EAB CAD α∠=∠=．（1）如图1，求证：AEC ABD ≌；（2）在图1中，连接AM ，则EMB ∠=________，AMC ∠=________；（都用含α的代数式表示）（3）如图2，若50α=︒，G 、H 分别是EC 、BD 的中点，求AHG ∠的度数．无锡市二泉中学八年级10月检测卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由定义可知，如果将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形；接下来，根据上述定义对各选项中的图形进行分析，即可做出判断.【详解】根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、D所给的图形均不是轴对称图形，只有选项C的图形是轴对称图形.故选C.【点睛】此题考查轴对称图形的判断，解题关键在于握判断一个图形是否为轴对称图形的方法.2.实数9的算术平方根是（）A.3B.3±C.3D.3-【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．算术平方根的定义∶一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【详解】解：实数9的算术平方根为：93=，故选：A．3.如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能．．．是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可知，D 到OB 边的距离等于DE 的长，再由点到直线的距离垂线段最短即可求解．【详解】解：∵OD 是∠AOB 的角平分线，由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知，D 到OB 边的距离等于DE 长，即为4，又由点到直线的距离垂线段最短可知，DF≥4，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟记“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解决本题的关键．4.如图，将两根同样的钢条AC 和BD 的中点固定在一起，使其可以绕着O 点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据OAB OCD V V ≌，CD 的长就等于工件内槽的宽AB ，这里判定OAB OCD V V ≌的依据是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边【答案】A【解析】【分析】根据边角边判定三角形全等．【详解】证明：∵将两根同样的钢条AC 和BD 的中点固定在一起，∴AC BD =，,AO OC OB OD ==，又∵AOB COD ∠=∠，∴OAB OCD V V ≌（SAS ），故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．5.在联合会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边中垂线的交点D.三边上高的交点【答案】C【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置即可得到答案．【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置，则凳子所在的位置是ABC 的外接圆圆心，∵三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，∴凳子的位置应该放在ABC 三边中垂线的交点．故选：C ．6.若[a ]表示数a 的整数部分，例如[π]＝3，则[24]＝（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】根据题意得出4245<<，进而利用[24]表示出一个实数的整数部分，即可得出答案．【详解】解：∵162425<<，∴4245<<，∴[24]=4，故选A ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出无理数最接近的有理数是解题的关键．7.如图，AD 是BAC 的平分线，DE AB ⊥于点E ，32,4,9ABC S DE AB ===△，则AC 的长是（）A.6B.7C.8D.9【解析】【分析】过点D 作DF AC ⊥于点F ，根据角平分线的性质可求4DE DF ==，然后根据ABC ABD ACD S S S =+ 求解即可．【详解】解：过点D 作DF AC ⊥于点F ，∵AD 是BAC 的平分线，DE AB ⊥于点E ，∴DE DF =，又32,4,9ABC S DE AB ===△，∴119443222AC ⨯⨯+⨯⋅=，∴7AC =．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线上一点到角两边的距离相等是解题的关键．8.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若150∠=︒，则AEF ∠等于（）A.65︒B.130︒C.120︒D.115︒【答案】D【解析】【分析】利用折叠的性质求出BFE ∠，再根据平行线的性质求出结果．【详解】解：由折叠可得：()11801652BFE GFE ∠=∠=︒-∠=︒，∵长方形ABCD 中，AD BC ∥，∴180115AEF BFE ∠=︒-=︒∠，故选D ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm【答案】C【解析】【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC =6，∴MN =2．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．10.如图，BD 为ABC 的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足，下列结论：①ABD EBC ≌；②180BCE BCD ∠+∠=︒；③∠=∠BCD BAE ；④AD EF EC ==；⑤2BA BD BF +=，其中正确的结论有（）A.①②③④B.①②③④⑤C.①②③D.①②③⑤【答案】D【解析】【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．根据角平分线定义推出ABD CBD ∠=∠．利用SAS 证明ABD EBC ≌，据此判断①；根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理判断③；根据全等三角形的性质、邻补角定义判断②；根据等腰三角形性质、三角形外角性质、全等三角形的性质及直角三角形的性质判断④；过E 作EG BC ⊥交BC 于G 点，根据角平分线性质得出EF EG =，利用HL 证明Rt Rt BEG BEF ≌△△，Rt Rt CEG AEF ≌△△，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．【详解】解：BD Q 为ABC 的角平分线，,ABD CBD ∴∠=∠在ABD △和EBC 中，,BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABD EBC ∴△≌△，故①正确，符合题意；BD 为ABC 的角平分线，BD BC =，,BE BA =BCD BDC BAE BEA ∴∠=∠=∠=∠，故③正确，符合题意；,ABD EBC ≌△△,BCE BDA ∴∠=∠BCE BCD BDA BDC ∴∠+∠=∠+∠180=︒故②正确，符合题意；,BCE BDA ∠=∠ ,BCE BCD DCE ∠=∠+∠,BDA DAE BEA ∠=∠+∠,BCD BEA ∠=∠,DCE DAE ∴∠=∠ACE ∴ 是等腰三角形，,AE EC ∴=,ABD EBC ≌△△,AD EC ∴=,AD AE EC ∴==,EF AB ⊥ ,AE EF ∴>故④错误，不符合题意；如图，过E 作EG BC ⊥交BC 于G 点，E 是ABC ∠的角平分线BD 上的点，且EF AB ⊥，EF EG ∴=（角平分线上的点到角的两边的距离相等），在Rt BEG △和Rt BEF △中，BE BE EG EF =⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)BEG BEF ∴△≌△，BG BF ∴=，在Rt CEG △和Rt AEF 中，CE AE EG EF=⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)CEG AEF ∴△≌△，AF CG ∴=，∴BA BC BF FA BG CG +=++-2BF BG BF=+=BD BC = ，∴2BA BD BF +=，故⑤正确，符合题意；故选：D ．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是_____．【答案】10：51【解析】【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．【详解】∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是10：51．故答案为：10：5112.如图，∠C ＝∠D ＝90°，添加一个条件，可使用“HL ”判定Rt △ABC ≌Rt △ABD ．添加的条件是：____．（写一个即可）【答案】AC =AD【解析】【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理HL 即可，条件可以是AC =AD 或BC =BD ．【详解】解：添加的条件是AC =AD ，理由是：∵∠C =∠D =90°，∴在Rt △ABC 和Rt △ABD 中AB AB AC AD=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ），故答案为：AC =AD （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等含有HL ．13.已知Rt ABC △，90C ∠=︒，点D 是AB 中点，5CD =，则AB =____________．【答案】10【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可．【详解】解：∵90C ∠=︒，点D 是AB 中点，∴210AB CD ==．故答案为：10．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质．掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．14.如图，已知△ABC 是等边三角形，AD 是中线，E 在AC 上，AE =AD ，则∠EDC =______．【答案】15°【解析】【分析】由AD 是等边△ABC 的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD ⊥BC ，∠CAD =30°，又由AD =AE ，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵AD 是等边△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD =∠CAD =12∠BAC =12×60°=30°，∴∠ADC =90°，∵AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =12（180°-∠CAD ）=75°，∴∠EDC =∠ADC -∠ADE =90°-75°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．15.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，则该等腰三角形的顶角度数为________．【答案】40︒或140︒【解析】【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，50ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，此时180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，180905040A ∴∠=︒-︒-︒=︒，若三角形为钝角三角形时，如图，AB AC =，50ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，此时9050140BAC D ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，综上，等腰三角形的顶角的度数为40︒或140︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的内容，做等腰三角形的问题时要多去注意是否要分类讨论．16.如图，AC AB BD ==，90ABD ∠=︒，=6BC ，则BCD △的面积为__________.【答案】9【解析】【分析】首先作AE BC ⊥，作DF CB ⊥交CB 的延长线于F ，根据等腰三角形三线合一的性质，得出12CE BE BC ==，证明ABE BDF ≌ ，得出BCD △的高即为EB ，即可求出面积．【详解】解：作AE BC ⊥于E ，作DF CB ⊥交CB 的延长线于F .∵=AB AC ，=6BC ，∴132CE BE BC ===，∵90ABD ︒∠=，DF CB ⊥，∴ABC DBF BDF DBF ∠+∠=∠+∠，∴ABC BDF ∠=∠，∵AE BC ⊥，∴90AEB BFD ︒∠=∠=，在ABE 和BDF V 中，ABC BDF AEB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BDF ≌ （AAS ），∴3DF BE ==，BCD △的高即为DF ，∴1163922BCD S BC DF =⋅=⨯⨯=△.故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形．17.如图，其中的△ABE 和△ADC 是由△ABC 分别沿着直线AB ，AC 折叠得到的，BE 与CD 相交于点I ，若∠BAC ＝140°，则∠EIC ＝_____°．【答案】80【解析】【分析】根据折叠的性质可得,CBA ABI BCA ICA ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和以及∠BAC ＝140°，可得40ABC ACB ∠+∠=︒，进而可得80IBC ICB ∠+∠=︒，根据三角形的外角性质即可求得EIC ∠．【详解】 △ABE 和△ADC 是由△ABC 分别沿着直线AB ，AC 折叠得到的，∴,CBA ABI BCA ICA ∠=∠∠=∠，∠BAC ＝140°，∴40ABC ACB ∠+∠=︒，∴()280IBC ICB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，EIC ∠=IBC ICB ∠+∠，∴EIC ∠80=︒．故答案为：80．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，求得40ABC ACB ∠+∠=︒是解题的关键．18.如图，Rt ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =2，D 为BC 上一动点，EF 垂直平分AD 分别交AC 于E 、交AB 于F ，则BF 的最大值为_________【答案】83【解析】【分析】要使BF 最大，则AF 需要最小，而AF =FD ，根据FD ≥FH ，可求出FD 的最小值，从而解决问题．【详解】解：如图，过点F 作FH ⊥BC ，连接DF ，设AF =x ，则BF =4－x ，∵EF 垂直平分AD 分别交AC 于E 、交AB 于F ，∴DF =AF =x ，∵30B ∠=︒，∴11222FH BF x ==-，∵FD ≥FH ，∴122x x -≥，解得：43x ≥，∴AF 最小值是43，∴BF 的最大值是48433-=．故答案为：83．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及点到直线的距离，将BF 的最大值转化为AF 最小值是解决本题的关键，属于压轴题．三．解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：2+（2）求下列各式中的x ：()2125x -=（3）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的平方根是4±，求36a b +的立方根．【答案】（1）3-；（2）124,6x x =-=；（3）3【解析】【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）原式各项利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；（2）利用平方根定义计算即可求出解．（3）根据已知条件，先求出a 、b 的值，再求36a b +的立方根．【详解】解：（1）2322+-=-+=3-；（2）()2125x -=15x -=-或15x -=124,6x x =-=；（3）由题意得，2193116a a b -=+-=，．∴52a b ==，∴3627a b +=∴36a b +的立方根是3．20.如图，在规格为88⨯的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），ABC 的三个顶点都在格点上，且直线m 、n 互相垂直．（1）画出ABC 关于直线n 对称的A B C ''' ；（2）在直线m 上作出点P ，使得APB △的周长最小；（保留作图痕迹）（3）图中ABC 的面积为________．（请直接写出结果）【答案】（1）见解析（2）见解析（3）52【解析】【分析】本题考查轴对称在最短路径问题中的应用，熟练掌握轴对称的性质和理解“将军饮马”的应用是解题的关键，（1）根据轴对称的性质，可作出ABC 关于直线的对角图形A B C ''' ；（2）利用模型“将军饮马”作点B 的对称点B '，连接AB '，交直线m 于点P ，即可得到答案；（3）利用切割法：ABC 的面积为各个顶点所在的四边形减去周围三个小三角形的面积即可得到答案．【小问1详解】解：如图所示，∴A B C ''' 即为所求；【小问2详解】解：如上图所示，点P 即为所求；【小问3详解】解：由题可得：1115 232112132222 ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=V．21.如图，∠1=∠2，∠A=∠B，AE=BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠2=40°，求∠C的度数．【答案】(1)证明见解析；（2）∠C=70°【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；（2）由（1）可知：EC=ED，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数．【详解】（1）∵∠1=∠2，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，∵A BAE BEAEC BED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC≌△BED（ASA）．（2）∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∴∠C=∠EDC．在△EDC中，∵∠1=∠2=40°，∴∠C=∠EDC=（180°-40°）÷2=70°．【点睛】本题考查了全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．22.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB．【答案】（1）75°（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由AB=AC可得∠C=∠B=30°，可求得∠BAC，再利用角的和差可求得∠DAC；（2）由外角的性质得到∠ADC=75°，即可得到∠ADC=∠DAC，从而有AC=DC，即可得到结论．【详解】（1）∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C =30°，∴∠BAC =180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB =45°，∴∠DAC =∠BAC ﹣∠DAB =120°﹣45°=75°；（2）∵∠ADC =∠B +∠DAB =30°+45°=75°，∴∠ADC =∠DAC ，∴AC =DC ，∵AB =AC ，∴AB =CD ．【点睛】考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形的外角性质．23.在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，M 、N 分别是AC BD 、的中点．（1）猜一猜，MN 和BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）如果45BCD ∠=︒，2BD =，求MN 的长．【答案】（1）MN BD ⊥．证明见解析（2）1【解析】【分析】本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形．（1）在直角ABC 中，中线12BM AC =；在直角ADC △中，12DM AC =；在BMD 中，N 是中点，所以，根据这些条件很容易推出MN BD ⊥；（2）在三角形中，一个内角的补角等于另外两个内角的和，根据三角形的这一性质，求得BMD BAD ∠=∠=︒290，所以12MN BD =．【小问1详解】解：猜想MN BD ⊥．证明：连接BM DM ，，90ABC ∠=︒ ，M 是AC 的中点，∴12BM AC =，90ADC ∠=︒ ，M 是AC 的中点∴12DM AC =，BM DM ∴=，BN ND = ，MN BD∴⊥【小问2详解】90ABC ∠=︒ ，M 是AC 的中点，AM ∴=12BM AC =，MAB ABM ∴∠=∠,BMC MAB ABM BAM ∴∠=∠+∠=∠2，同理2CMD CAD ∠=∠，BMD BCD ∴∠=∠=︒290，BM MD = ，BMD ∴ 是等腰直角三角形，∵点N 是BD 的中点，2BD =，∴112IN BD ==．24.如图，∠AOB ＝30°，点M ，N 在边OA 上，点N 在点M 的上方，MN ＝2，点M 从O 开始沿着射线OA 移动，移动距离为x ，点P 是边OB 上的点．（1）利用直尺和圆规在图1确定点P ，使得PM ＝PN ；（2）在整个移动过程中，使P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 最少有个，最多有个；当x ＝2时，这样的点P 有个．（3）若使P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有3个，写出x 满足的条件．【答案】（1）见解析（2）1，4，1（3）0x =或24x <<【解析】【分析】（1）作线段MN 的垂直平分线，交OB 于点P ，从而可得答案；（2）如图，过M 作MH OA ⊥于,M 当2MH >时，即4,OM >此时PMN 为等腰三角形只有1个，如图，当PM 为腰的等腰三角形有2个时，过N 作NH OB ⊥于,H 过M 作MG OB ⊥于,G 此时122NH ON =>，且2,MG <即24OM <<时，所以此时的点P 只有3个，当2OM x ==时，如图，而2,MN PMN =V 为等腰三角形，证明MNP △为等边三角形，所以此时点P 只有1个，如图，当PN 为腰的等腰三角形有2个时，可得此时12,PN MN ==可得4,2,ON OM <<所以以PM 为腰的等腰三角形只有1个，则此时的点P 有4个，从而可得答案；（3）分0,2,4,02,24,4x x x x x x ===<<<<>六种情况进行讨论即可得到答案.【小问1详解】解：如图，点P 即为所求作的点，【小问2详解】解：由MN 的垂直平分线与OB 的交点为P ，则PMN 始终是等腰三角形，如图，过M 作MH OA ⊥于,M当2MH >时，而30,AOB ∠=︒即4,OM >此时PMN 为等腰三角形只有1个，即当PM PN =时，PMN 是等腰三角形，如图，当PM 为腰的等腰三角形有2个时，过N 作NH OB ⊥于,H 过M 作MG OB ⊥于,G 此时122NH ON =>，且2,MG <即24OM <<时，所以此时的点P 只有3个，当2OM x ==时，如图，而2,MN PMN =V 为等腰三角形，当2PM OM MN ===时，30,,MOP MPO MPN MNP \��靶=60,NMP \Ð=°MNP ∴ 为等边三角形，同理可证：当2PM PN ==或2,PN MN ==PMN 为等边三角形，所以此时点P 只有1个，如图，当PN 为腰的等腰三角形有2个时，可得此时12,PN MN ==而30,AOB ∠=︒则ON 等于N 到OB 的距离的2倍，4,2,ON OM \<<所以以PM 为腰的等腰三角形只有1个，则此时的点P 有4个，综上：在整个移动过程中，使P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 最少有1个，最多有4个；当x ＝2时，这样的点P 有1个．故答案为：1,4,1【小问3详解】解：当0,OM x ==即,M O 重合时，如图，此时满足PMN 为等腰三角形的点P 有3个，当02x <<时，由（2）可得，此时满足PMN 为等腰三角形的点P 有4个，当2x =时，由（2）可得，此时满足PMN 为等腰三角形的点P 有1个，如图，当4OM x ==时，过M 作1MP OB ^于1,P 则112,2MP OM ==此时满足PMN 为等腰三角形的点P 有2个，结合（2）可得：当24x <<时，满足PMN 为等腰三角形的点P 有3个，由（2）可得：当>4x 时，满足PMN 为等腰三角形的点P 有1个，综上：当0x =或24x <<满足PMN 为等腰三角形的点P 有3个，【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，等腰三角形的判定与性质，含30︒的直角三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题最大的难点.25.以ABC 的AB 、AC 为边作ABD △和ACE △，且AE AB =，AC AD =，CE 与BD 相交于M ，EAB CAD α∠=∠=．（1）如图1，求证：AEC ABD ≌；（2）在图1中，连接AM ，则EMB ∠=________，AMC ∠=________；（都用含α的代数式表示）（3）如图2，若50α=︒，G 、H 分别是EC 、BD 的中点，求AHG ∠的度数．【答案】（1）见解析（2）α，1902α︒+．（3）65︒【解析】【分析】（1）根据EAB CAD α∠=∠=可得EAC BAD ∠=∠，再结合AE AB =，AC AD =即可证明；（2）连接AM ，作AJ EC ⊥于点J ，AI BD ⊥于点I ，根据题（1）可得AEC ABD ∠=∠，EC BD =，再利用三角形的外角定理可得EMB ∠α=，根据AEC ABD S S = 可得AJ AI =，从而得证MA 平分EMD ∠，最后根据角平分线的定义即可求解；（3）连接AG ，根据中点可得EG BH =，进而证明AEG ABH ≌，可得AG AH =，EAG BAH ∠=∠，从而求得50GAH ∠=︒，最后根据等腰三角形的性质即可求得AHG ∠的度数．【小问1详解】证明：EAB CAD α∠=∠= ，EAC BAD BAC α∴∠=∠=∠+，在AEC △和ABD △中，AE AB EAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEC ABD ∴ ≌；【小问2详解】解：如图1，连接AM ，设AB 交CE 于点L ，AEC ABD ≌，AEC ABD ∴∠=∠，EC BD =，EMB ELB ABD ELB AEC EAB α∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=；作AJ EC ⊥于点J ，AI BD ⊥于点I ，AEC ABD S S = ，1122EC AJ BD AI ∴⋅=⋅，AJ AI ∴=，∴点A 在EMD ∠的平分线上，MA ∴平分EMD ∠，()()111180180222AME AMD EMD EMB α∴∠=∠=∠=︒-∠=︒-，()111801801809022AMC AME αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，故答案为：α，1902α︒+；【小问3详解】如图2，连接AG ，G 、H 分别是EC 、BD 的中点，EC BD =，12EG EC ∴=，12BH BD =，EG BH ∴=，在AEG △和ABH 中，AE AB AEG ABH EG BI =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEG ABH ∴ ≌，AG AH ∴=，EAG BAH ∠=∠，50GAH GAB BAH GAB EAG EAB α∴∠=∠+∠=∠+∠=∠==︒，()118050652AHG AGH ∴∠=∠=︒-︒=︒，AHG ∴∠的度数是65︒．【点睛】本题考查线段的中点，角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理；相等线段共顶点可证全等；全等三角形可利用等面积法证明线段相等；遇中点可尝试连接证明线段相等是解决本题的关键．。

苏州中学2024年秋八年级上学期10月数学能力测评卷+答案

苏州中学2024年秋八年级上学期10月数学能力测评卷+答案

2024秋季初二数学10月能力测评卷一、选择题（共8小题）1．下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．贵州航空B ．江西航空C ．春秋航空D ．香港航空2．如图，三座商场分别坐落在A 、B 、C 所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三条高所在直线的交点C ．三角形三个内角的角平分线的交点D ．三角形三条边的垂直平分线的交点3．对于下列四个条件：①A B C ∠+∠=∠；②::3:4:5a b c =，③90A B ∠=°−∠；④2A B C ∠=∠=∠，能确定ABC △是直角三角形的条件有（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．如图，AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直.若点P 到BC 的距离是4，则AD 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．25．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m ，()n m n >.若小正方形面积为5，()221m n +=，则大正方形面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．156．如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，O 为ABC ∠、ACB ∠平分线的交点，若ABO △的面积为30，则ACO △的面积为（ ）A ．16B ．20C ．24D ．487．如图，Rt ABC △中，9AB =，6BC =，90B ∠=°，将ABC △折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．4B ．5C ．53D ．528．如图，在ABC △中，21AB =cm ，12AC =cm ，60A ∠=°，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，当APQ △为直角三角形时，t 的值为（ ）A ．2.5秒B ．3秒C ．2.5或3秒D ．3或214秒 二、填空题（共8小题）9．某学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如图案，请问他的学号为______________.10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是______________. 11．如图，已知ABC △是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG CD =，DF DE =，则E ∠=______________度.12．如图，OE 、OF 分别是AC 、BD 的垂直平分线，垂足分别为E 、F ，且AB CD =，116ABD ∠=°，28CDB ∠=°，则OBD ∠=______________°.13．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_____________米.14．14.如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为3cm ，4cm ，5cm ，一只蚂蚁想从盒底的点A 沿盒的表面爬到盒顶的点B ，蚂蚁要爬行的最短路程是______________cm.15．如图，在ABC △中，10AB =，6BC =，8AC =，将ABC △沿AB 折叠得ABC ′△，连接CC ′，则CC ′=______________.16．如图，在长方形ABCD 中，6ADBC ==，8AB CD ==，10AC =，动点M 在线段AC 上运动（不与端点重合），点M 关于边AD ，DC 的对称点分别为1M ，2M ，连接12M M ，点D 在12M M 上，则在点M 的运动过程中，线段12M M 长度的最小值是______________.三、解答题（共11小题）17．如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 、M 、N 都在格点上. （1）作ABC △关于直线MN 对称的图形A B C ′′′△. （2）若网格中最小正方形的边长为1，求ABC △的面积.（3）点P 在直线MN 上，当PAC △周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点.18．在Rt ABC △中，90C ∠=°，A ∠、B ∠、C ∠的边分别为a 、b 、c ， （1）若:3:4a b =，15c =，求a ，b 的值. （2）若4c a −=，16b =，求a 的值.19．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量，小明测得3AB =m ，4AD =m ，12CD =m ，13BC =m ，又已知90A ∠=°，求这块土地的面积.20．如图，在ABC △中，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，BD 垂直平分AE ，垂足为F ，交AC 于点D .连接DE .（1）若ABC △的周长为19，DEC △的周长为7，求AB 的长； （2）若30ABC ∠=°，45C ∠=°，求EAC ∠的度数.21．“赵爽弦图”巧妙地利用“出人相补”的方法证明了勾股定理.小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理，于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积.请你完成小华的证明：222a b c +=.22．如图，已知ABC △.（1）在图中用直尺和圆规作出B ∠的平分线和BC 边的垂直平分线，并交于点O （保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若点D ，E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD ，OE ，试说明OD OE =.23．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. （1）求风筝的垂直高度CE ；（2）如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？24．如图，在ABC △中，边AB 的垂直平分线OM 与边AC 的垂直平分线ON 交于点O ，这两条垂直平分线分别交BC 于点D 、E .（1）若30ABC ∠=°，40ACB ∠=°，求DAE ∠的度数； （2）已知ADE △的周长7cm ，分别连接OA 、OB 、OC ，若OBC △的周长为15cm ，求OA 的长.25．如图，在ABC △中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线，取F 为BC 中点，连接点D ，E ，F 得到DEF △，G 是ED 中点. （1）求证：FG DE ⊥；（2）如果60A ∠=°，16BC =，求2FG .26．如图，点D 为等腰直角三角形ABC 斜边AC 上一动点（点D 不与线段AC 两端点重合），将BD 绕点B 顺时针方向旋转90°到BE ，连接AE 、EC 、ED .（1）求证：AD EC =；（2）若1AD =，7CD =，求BD 的长；（3）若240AC =，请直接写出AE BE +的最小值.27．如图①，等腰ABC △中，AB AC =.点D 是AC 上一动点，点E 、P 分别在BD 延长线上.且AB AE =，CP EP =.问题思考在图①中，求证：BPC BAC ∠=∠； 问题再探若60BAC ∠=°，如图②.探究线段AP 、BP 、EP 之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展若90BAC ∠=°且BD 平分ABC ∠，如图③，请直接写出EPBD的值为____________.2024秋季初二数学10月能力测评卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1 2 3 4 5 6 7 8 DDAABCAD3．A 【解析】解：A B C ∠+∠=∠ ，180A B C∠+∠+∠=°，2180C ∴∠=°，90C ∴∠=°， ABC ∴△是直角三角形；故①正确；②::3:4:5a b c = ，设3a k =，4b k =，5c k =，()()2222223425a b k k k c ∴+=+==，ABC ∴△是直角三角形；故②正确；③90A B ∠=°−∠ ，90A B∴∠+∠=°，18090C A B ∴∠=°−∠−∠=°， ABC ∴△是直角三角形；故③正确；④2A B C ∠=∠=∠ ，180A B C ∠+∠+∠=°，5180C ∴∠=°，36C ∴∠=°， 272A B C ∴∠=∠=∠=°，ABC ∴△不是直角三角形；故④错误；综上：能确定ABC △是直角三角形的条件有①②； 故选：A.4．A 【解析】解：过点P 作PE BC ⊥于E ，AB CD ，PA AB ⊥，PD CD ∴⊥，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，PA PE ∴=，PD PE =， PE PA PD ∴==，PA PD AD +=，4PE = ，28AD PE ∴.5．B 【解析】【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m n −，()25m n ∴−=，即2225m n mn +−=①，()221m n += ，22221m n mn ∴++=②，①+②得()22226m n +=，∴大正方形的面积为：2213m n += 6．C 【解答】解：O 为ABC ∠、ACB ∠平分线的交点，∴点O 到AB ，AC 的距离相等，AOB ∴△、AOC △面积的比:10:85:4AB AC ==，ABO △的面积为30，ACO ∴△的面积为24.7．A 【解答】解：设BN x =，由折叠的性质可得9DN AN x ==−，D 是BC 的中点，3BD ∴=， 在Rt NBD △中，()22239x x +=−，解得4x =.即4BN =.故选：A.8．D 【解析】【分析】根据题意，先列出AP ，AQ 的代数式，当APQ △为直角三角形时，则90AQP ∠=°，30APQ ∠=°或90APQ ∠=°，30AQP ∠=°，再根据30度所对的边是斜边的一半，建立关于t 的方程求解即可.【解答】解：根据题意得：213AP AB BP t =−=−，2AQ t =，APQ △为直角三角形，60A ∠=°，∴当90AQP ∠=°，30APQ ∠=°时，则12AQ AP =， ()122132tt ∴=−，解得：3t =， 当90APQ ∠=°，30AQP ∠=°时，则12AQ AP =， 122132t t ∴×=−，解得：214t =， 综上，当t 的值为3秒或214秒时，APQ △为直角三角形. 【点评】此题主要考查含369三角形，根据题意列出关于t 的方程是解题的关键.二、填空题（共8小题）9．20231425 10．65°或25°【分析】形状的不确定性，可分为高瘦型以及矮胖型两类.【解析】【解答】解：在等腰ABC △中，AB AC =，BD 为腰AC 上的高，40ABD ∠=°， （高瘦型）当BD 在ABC △内部时，如图1，BD 为高，90ADB∴∠=°，904050BAD ∴∠=°−°=°， AB AC = ，()118050652ABC ACB ∴∠=∠=°−°=°；（矮胖型）当BD 在ABC △外部时，如图2，BD 为高，90ADB∴∠=°，904050BAD ∴∠=°−°=°， AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，而BAD ABC ACB ∠=∠+∠，1252ACB BAD ∴∠=∠=°，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°.11．15°【解析】【解答】解：ABC △是等边三角形，60ACB ∴∠=°，120ACD ∠=°，CG CD = ，30CDG ∴∠=°，150FDE ∠=°，DF DE = ，15E ∴∠=°.12．44°【解析】【解答】解：如图，连接OA 、OC ，OE 、OF 分别是AC 、BD 的垂直平分线，OA OC ∴=，OB OD =，OBD ODB ∴∠=∠， 在AOB △和COD △中，OA OBAB CD OB OD == =()AOB COD SSS ∴≌△△，ABO CDO ∴∠=∠，设OBD ODB x ∠=∠=°，ABD x CDB x ∴∠−=∠+，116ABD ∠=° ，28CDB ∠=°， 则11628x x −=+，解得：44OBD ∠=°.13．10米【解答】解：如图所示，AB ，CD 为树，且15AB =米，9CD =米，BD 为两树距离8米，过C 作CE AB ⊥于E ，则8CE BD ==米，6AE AB CD =−=米，在直角三角形AEC 中，10AC =（米），答：小鸟至少要飞10米.14cm【解析】【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB 的长度，再进行比较即可.【解答】解：设定字母如图所示：长方体有6个面，前=后，左=右，上=下，即有3组相等的面，从A 到F ，侧面走，需要经过两个面①红色线，前+右；②绿色线，前+上；③蓝色线，左+上.①如图1，展开后连接AB ，则AB 就是在表面上从A 到B 的②如图2，展开后连接AB ， 则AB 就是在表面上从A 到B 的③如图3，展开后连接AB ， 则AB 就是在表面上A 到B 的最在Rt ADB△中，由勾股定理得：2AB AD BD=+在Rt ANB△中，由勾股定理得：<<∴cm.15．485【解析】【解答】解：如图，连接CC′交AB于点O，10AB=，6BC=，8AC=，2221068=+，222AC BC AB∴+=，90ACB∴∠=°，根据翻折的性质得，OC OC′=，CC AB′⊥，1122ABCS AC BC AB OC=⋅=⋅△，8624105AC BCOCAB⋅×∴，4825CC CO′∴==16．485【解析】【解答】解：过D作DM AC′⊥于M′，连接DM，如图：长方形ABCD 中，6ADBC ==，8AB CD ==，10AC =， 1122ADC S AD CD AC DM ′∴=⋅=⋅△， 245AD CD DM AC ⋅′∴==， M 关于边AD ，DC 的对称点分别为1M ，2M ，12DM DM DM ∴==，122M M DM ∴=，线段12M M 长度最小即是DM 长度最小，此时DM AC ⊥，即M 与M ′重合，12M M 最小值为4825DM ′=. 三、解答题（共11小题） 17．【解析】【解答】解：（1）如图，A B C ′′′△即为所求；（2）ABC △的面积为：13232××=； （3）因为点A 关于MN 的对称点为A ′，连接A C ′交直线MN 于点P ，此时PAC △周长最小.所以点P 即为所求. 18．【解析】 【解答】解：（1）Rt ABC △中，90C ∠=°，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，且:3:4a b =，∴设3a x =，则4b x =.222a b c += ，即()()2223415x x +=， 解得9x =，327a x ∴，436b x ==； （2）ABC △中，90C ∠=°，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，222a b c ∴+=，4c a −= ，16b =，()222564a a ∴+=+，解得：30a =.19．【解析】【解答】解：连接BD ， 90A ∠=° ，22225BD AD AB ∴=+=，222213BD CD BC +== ，90CDB ∴∠=°，ADB CBD ABCD S S S ∴=+四边形△△11345123622=××+××=（平方米）， 答：这块土地的面积为36平方米.20．【解析】【解答】解：（1）BD 是线段AE 的垂直平分线，AB BE ∴=，AD DE =， ABC △的周长为19，DEC △的周长为7，19AB BE CE CD AD ∴++++=，7CD EC DE CD CE AD ++=++=，19712AB BE ∴+=−=，6AB BE ∴==；（2）30ABC ∠=° ，45C ∠=°， 1803045105BAC ∴∠=°−°−°=°，AB BE = ，()1180752BAE BEA ABC ∴∠=∠=°−∠=°， 30EAC BAC BAE ∴∠=∠−∠=°.21．【分析】五边形的面积=边长为c 的正方形面积+2个全等的直角边分别为a ，b 的直角三角形的面积，或五边形的面积=边长为a 的正方形面积十边长为b 的正方形面积+2个全等的直角边分别为a ，b 的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解.【解答】证明：五边形的面积为： ①22122S c ab c ab =+×=+， ②2222122S a b ab a b ab =++×=++， 222c ab a b ab ∴+=++，222c a b ∴=+.22．【解析】【解答】（1）解：如图，ABC ∠的平分线BO 以及BC 边的垂直平分线PQ 即为所求.（2）证明：连接OC ，PQ 为BC 的垂直平分线，BO CO ∴=， OBC OCB ∴∠=∠，BO 平分ABC ∠，ABO CBO ∴∠=∠，OCB ABO ∴∠=∠，CD BE = ，()BOE COD SAS ∴≌△△，OD OE ∴=.23．【解析】【解答】解：（1）在Rt CDB △中，由勾股定理得，222222515400CD BC BD =−=−=，所以，20CD =（负值舍去），所以，20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米）， 答：风筝的高度CE 为21.6米；（2）由题意得，12CM =，8DM ∴=，17BM ∴===（米），25178BC BM ∴−=−=（米），∴他应该往回收线8米.24．【解析】【解答】解：（1）30ABC ∠=° ，40ACB ∠=°， 1801803040110BAC ABC ACB ∴∠=°−∠−∠=°−°−°=°， DM 是线段AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，30DAB ABC ∴∠=∠=°，同理，EA EC =，40EAC ACB ∴∠=∠=°，110304040DAE BAC BAD EAC ∴∠=∠−∠−∠=°−°−°=°；（2）连接OA ，OB ，OC ，ADE △的周长7cm7AD DE EA ∴++=（cm ），7BC DB DE EC AD DE EA ∴=++=++=（cm ）； OBC △的周长为15，15OB OC BC ∴++=，7BC = ，8OB OC ∴+=，OM 垂直平分AB ，OA OB ∴=，同理，OA OC =，4OA OB OC ∴===（cm ）.25．【解析】【解答】（1）证明：在ABC △中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线， 90BDC CEB ∴∠=∠=°，F 是BC 的中点，12EF DF BC ∴==， DEF ∴△是等腰三角形，G 是ED 的中点，FG DE ∴⊥；（2）解：BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线. 90BDC CEB ∴∠=∠=°，F 是BC 的中点，16BC =，182EF DF BC BF CF ∴=====， BEF ABC ∴∠=∠，CDF ACB ∠=∠，60A ∠=° ，120ABC ACB ∴∠+∠=°，()3602120BFE CFD ABC ACB ∴∠+∠=°−∠+∠=°， 60EFD ∴∠=°，（斜中模型倒角）DEF ∴△是等边三角形，G 是ED 的中点，11422EG DE EF ∴===， 222228448FG EF EG ∴=−=−=.26．【解析】【解答】（1）证明： 将BD 绕点B 顺时针方向旋转90°到BE ，BD BE ∴=，90DBE ∠=°， ABC △是等腰直角三角形，AB BC ∴=，90ABC ∠=°，ABD EBC ∴∠=∠，()ABD CBE SAS ∴≌△△，AD EC ∴=；（2）解：ABD CBE ≌△△，45BAD BCE ∴∠=∠=°，90DCE DCB BCE ∴∠=∠+∠=°，在Rt DCE △中，由勾股定理得，2227150DE =+=， BDE △是等腰直角三角形，22250DE BD ∴==5BD ∴=；（3）解：由（2）知，45BCE ∠=°， 则点E 在直线CE 上运动，作点B 关于CE 的对称点B ′，连接AB ′，交GC 于E ，此时AE BE +最小， 240AC = ，22220AB BG GB ′∴===，()22280AG AB ∴==，在Rt AGB ′△中，由勾股定理得，2228020100AB AG B G ′′=+=+=， 10AB ′∴=，AE BE ∴+的最小值为10.27．问题思考【解析】【解答】问题思考：证明：AB AC = ，AB AE =，AC AE ∴=，在APC △和APE △中，AC AE CP EP AP AP = = =，()CAP EAP SSS ∴≌△△， E ACP ∴∠=∠，又AB AE = ，E ABE ∴∠=∠，ABE ACP ∴∠=∠，又ADB PDC ∠=∠ ，BPC BAC ∴∠=∠； 问题再探【解析】问题再探：解：线段AP 、BP 、EP 之间的数量关系为AP EP BP +=.理由如下： 如图2中，在BP 上取点G ，使PG PC =，连接CG . 60BAC ∠=° ，60BPC ∴∠=°， PG PC = ，GPC ∴△为等边三角形， 又AB AC = ，60BAC ∠=°，ABC ∴△为等边三角形， 60ACB GCP ∴∠=∠=°，BCG ACP ∴∠=∠，又BC AC = ，GC PC =，()BGC APC SAS ∴≌△△， AP BG ∴=，由（1）得ACP AEP ≌△△.EP CP =， CP GP = ，EP GP ∴=. BP BG GP =+ ，BP AP EP ∴=+；问题拓展12【解析】问题拓展：如图3中，延长BA ，CP 交于点H . 90BPC BAC ∠=∠=° ， 90BPC BPH ∴∠=∠=°，BD 平分ABC ∠， ABP CBP ∴∠=∠，又BP BP = ，()HBP CBP ASA ∴≌△△， 12CP HP CH ∴==，又90BAC HAC ∠=∠=° ，AB AC =，ABD ACH ∠=∠， ()ABD ACH ASA ∴≌△△， 2BD CH CP ∴==， CP EP = ， 2BD EP ∴=， 12EP BD ∴=， 故答案为：12.。

江苏省苏州市实验初中集团2024-2025学年八年级上学期十月月考数学试卷(含答案)

江苏省苏州市实验初中集团2024-2025学年八年级上学期十月月考数学试卷(含答案)

苏州实验初中教育集团2024-2025学年第一学期阳光测评初二数学 2024.10试卷分值：130分考试用时：120分钟一．选择题（共8小题，每小题3分）1．下列图形是几家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（ ）A．﹣81的平方根是﹣9B．平方根等于它本身的数是1和0C．的平方根是±9D．立方根等于它本身的数是±1和03．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE4．如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）A．三个角的角平分线的交点B．三角形三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三角形三条中线的交点5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝4：4：66．如图，△ABC≌△A'BC'，过点C作CD⊥BC'，垂足为D，若∠ABA'＝55°，则∠BCD的度数为（ ）A．25°B．35°C．45°D．55°7．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）A．1.5B．3C．D．8．已知，如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）A．①、②B．③、④C．①、②、③D．①、②、④二．填空题（共8小题，每小题3分）9．等腰三角形的一边长为5，另一边长为11．则它的周长为 ．10．小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为 ．11．已知|＝0，则x+y的平方根是 ．12．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 尺．（1丈＝10尺）13．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为 度．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，则PB+PD的最小值为 ．16．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F 到BC的距离为 ．三．解答题（共10小题，共82分）17．（8分）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）3＝27．18．（6分）已知某正数x的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，y的立方根是﹣3．z是的整数部分．求x+y﹣2z的平方根．19．（8分）如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC 的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．（1）画出△ABC关于直线n对称的△A'B'C'；（2）在直线m上作出点P，使得△APB的周长最小；（保留作图痕迹）（3）在（2）的条件下，图中△APB的面积为 ．（请直接写出结果）20．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．（1）求证：BG＝CF；（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．22．（8分）如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．23．（8分）今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向52km的B 处，正以8km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD＝20km，（1）台风中心从B点移到D点经过多长时间？（2）如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示）（2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．25．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．●特例感知①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．●深入探究如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；●推广应用如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转90°，E点旋转至点F．（1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；（2）如图2，连接BF交AC于D点，若，求证：CE是BE的2倍；（3）E是射线CB上一点，直线BF交直线AC于D点，若，则＝　。

江苏省扬州市八年级上学期数学10月联考试卷及答案

江苏省扬州市八年级上学期数学10月联考试卷及答案
【分析】根据全等三角形的对应角相等可得∠4=∠8,∠6=∠7,由三角形 ABC 的外角和 =∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 及三角形的内角和∠5+∠7+∠8=180°，即可求出答案. 7.【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中，
答案解析局部
一、单项选择题 1.【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
应选 D． 【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．此题考查的是轴对称图 形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两局部沿着 对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键． 2.【解析】【解答】解：由作法易得 OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
故答案为：D. 【分析】根据线段垂直平分线的判定“到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上〞可知 到三角形三个顶点距离相等的点是三边的垂直平分线的交点. 4.【解析】【解答】∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD〔SAS〕， ∴BD=CD，∠B=∠C，∵∠EDB=∠FDC，∴△BED≌△CFD〔ASA〕， ∴BE=FC，∵AB=AC，∴AE=AF，∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD，即图中的全等三角形有 4 对. 故答案为：C. 【分析】由题意用边角边可证△ABD≌△ACD；根据全等三角形的性质可得 BD=CD，∠B=∠C，于是用角 边角可证△BED≌△CFD；根据全等三角形的性质可得 BE=CF，于是用边角边可证△AED≌△AFD、 △AEC≌△AFB。 5.【解析】【解答】解： DE 是 AC 边的垂直平分线，

初中数学浙江省八年级数学竞赛模拟考试题.docx

初中数学浙江省八年级数学竞赛模拟考试题.docx

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:设a是一个无理数，且a、b满足ab-a-b+1=0，则b是一个（）A. 小于0的有理数B.大于0 的有理数C. 小于0的无理数D. 大于0 的无理数试题2:若关于x、y的方程有无限多组解，则k﹣m的值等于（）A、2B、4C、6D、8试题3:若一个数a，使得关于x的三次四项式x3﹣2ax2+8x﹣（a2+2a）有一个因式是x2﹣x+a，则a等于（）A、6B、﹣3C、3或7D、3试题4:若关于x的不等式|x﹣3|+|x+2|≤a有解，则a的取值范围是（）A、a≥6B、a≥5C、a≤5D、a≥4试题5:若x是一个不等于0的数，且x2﹣3x+1=0，则等于（）A、 B、 C、10 D、12试题6:如图，点1为单位正方形内一点，且AE=BE=AB，延长AE交CD于F，作FG⊥AB于点G，则EG的长度为（）A、 B、 C、 D、试题7:若x是一个数，且x2+x=1，则代数式x4+3x3﹣x2﹣4x+2006的值等于_________ ．试题8:分解因式：（x4＋x2－4）（x4＋x2＋3）＋10= .试题9:正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲，乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过_________ 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．试题10:若三个数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，则a3+b3+c3= ．（用具体数字作答，它不含a、b、c）试题11:如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标。

泰兴数学初二竞赛试卷

泰兴数学初二竞赛试卷

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，是整数的是（）A. 3.1416B. -2.7182C. 2.5D. -52. 已知a=2，b=-3，则a²+b²的值是（）A. 13B. 5C. 4D. 13. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于原点对称的点是（）A. （1，-2）B. （-1，-2）C. （-1，2）D. （1，2）4. 若一个数的平方根是-2，则这个数是（）A. 4B. -4C. 8D. -85. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=2x+1B. y=3/xC. y=x²D. y=x³二、填空题（每题5分，共20分）6. 若a²=9，则a的值是______。

7. 已知等腰三角形底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长是______cm。

8. 若一个数的倒数是1/5，则这个数是______。

9. 在直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是______。

10. 若x²-5x+6=0，则x的值是______。

三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）解下列方程：（1）3x-5=2x+1（2）5(x-2)=2(3x-4)12. （10分）已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为12cm，求该三角形的面积。

13. （10分）若一次函数y=kx+b的图象经过点A（2，3）和B（-3，-1），求该函数的解析式。

14. （10分）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（-1，2），求该函数的解析式。

四、应用题（每题10分，共20分）15. （10分）某商品原价为200元，打八折后，再优惠10元，求现价。

16. （10分）小明骑自行车从家出发去学校，先以每小时10公里的速度行驶了20分钟，然后以每小时15公里的速度行驶了30分钟，求小明家到学校的距离。

答案：一、选择题1. D2. A3. A4. B5. B二、填空题6. ±37. 308. 59. 510. 2或3三、解答题11. （1）x=6（2）x=612. 面积为36cm²13. 解析式为y=-x+514. 解析式为y=(x+1)²+2四、应用题15. 现价为140元16. 小明家到学校的距离为25公里。

江苏省苏州市工业园区八校联考2023-2024学年八年级上学期数学10月试题

江苏省苏州市工业园区八校联考2023-2024学年八年级上学期数学10月试题

江苏省苏州市工业园区八校联考2023-2024学年八年级上学期数学10月试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．下列计算正确的是（）164=．93-=-42-=．已知△ABC 中，a 、、c 分别是∠A 、∠、∠C 的对边，下列条件不能判断△是直角三角形的是（．∠A ＝∠C －∠a ：b ：c ＝2：3：．a ＝3k ，b ＝4k ，c （k 是正整数）．若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是三角形（．三边垂直平分线的交点．三条中线的交点．三条高的交点．三条内角平分线的交点．等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（）50°．80°50°或80°．如图，△ABC 是等边三角形，P 为BC 上一点，在AC 上取一点＝70°，则∠PAB 的度数是()10°．15°20°6AB =，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分BED 的面积是22.5，则BC =（）A ．8B ．10C ．12D ．148．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为BAF ∠时，顶部边缘B 处离桌面的高度BC 为7cm ，此时底部边缘A 处与C 处间的距离AC 为24cm ，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为DAF ∠时（D 是B 的对应点），顶部边缘D 处到桌面的距离DE 为20cm ，则底部边缘A 处与E 之间的距离AE 为（）A ．15cmB ．18cmC ．21cmD ．24cm9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a +b ）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（）A ．13B ．14C ．15D ．1610．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，BE 平分ABC ∠，交AD 于点G ，交AC 于点E ，EF BC ⊥于点F ，AF 交BE 于点Q ．下列结论：①AE AG =；②AGQ AQE S S =△△；③=2DAC EBC ∠∠；④AGE 为等边三角形．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④二、填空题15．如图，在ABC别是BD和BC上的动点，当17．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的谐三角形”，例如，三个内角分别为直角三角形ABC 中，CAB ∠=谐三角形”时，DAB ∠的度数是18．如图，Rt ABC △中，90A ∠=P 是直线AC 上一点，把CDP △处，CP =．三、解答题19．解方程．四、作图题21．如图1，在33⨯的网格中，三角形（阴影部分）三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”，如图1；在图中再画出一个“格点三角形”与原三角形关于某条直线对称，如图2所示．根据以上提示，请在图3-图6中，各再画出一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，要求：图2-图6不重复，并将符合要求的“格点三角形”涂黑．五、解答题22．如图，在ABC 中，AB AC =，20BC =，D 为AB 上一点，16CD =，12BD =，求ABC 的周长．23．如图，在ABC 中，DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，交边AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若10cm AB =，求CMN 的周长；(2)若o 65MFN ∠=，则MCN ∠的度数为______°．24．已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，D 为AB(3)若PQ将ABC周长分为5:7两部分，求t的值．。

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初二十月考数学试题
一、选择题（每题3分）
1．DE 是ABC 中AC 边的垂直平分线，D 是垂足交BC 于E ，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆ABE 的周长为（ ）厘米
A ．16
B ．18
C ．26
D ．28
2．如图，将∆ADF 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90度，得到∆ABE ，连结EF ，则下列结论错误的是（ ）
A ．∆ADF ≌∆ABE
B ．AE ⊥AF
C ．∠AEF=45°
D ．AD=AE
3．已知多项式x 2＋ax ＋b 与x 2－2x －3的乘积中不含x 3与x 2项，则a ，b 的值为（ ）。

A ．a ＝2，b ＝7 B ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝3，b ＝7
D ．a ＝3，b ＝4
4.如果2592
++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A ． 15
B ． ±5
C ． 30
D ． ±30
5.已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca 的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
6．我们规定这样一种运算：如果)0,0(>>=N a N a b
，那么b 就叫做以a 为底的N 的对数，记做=b log a N 。

例如：因为23=8，所以log 28=3，那么log 381的值为（ ） A ．27 B ．9 C ．4 D ． 381 7．若分式方程
3
32-=
-x m x x
有增根，则m 的值（ ） A ．6 B ．－6 C ．6± D ．3 8．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么满足1
212-+=
x x y 的整点()y x ,的个数是（ ）
（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个
F
二、填空题（每题4分）
9.在平面直角坐标系中，m 为实数，点P(m 2＋m ，m －1)不可能在第 象限.
10.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，则△ABC 的面积是 .
11．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．
12．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －11 的值等于 ．
13.在直角坐标系内有两点A(－1，1)、B(2，3)，若M 为x 轴上一点，则MA+MB 的最小值是 _____ ___。

14．已知 41=+x x 则1
2
42++x x x = 15．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，
1121444k k k k x x -⎛--⎫
⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎝⎭
，（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于____________. 16.已知：
3
22621152
-++=-+-x B
x A x x x ，A= B= 17.在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是 ______________. 三、解答题
18.（1）如下表，方程1、方程2、方程3，…，是按照一定规定排列的一列方程。

观察方程1、2，将方程3的解填在表中空白处。

（2）若方程
1=--b
x x （a>b ）的解是61=x ，102=x ，求a 、b 的值，该方程式是不是（1）中所给出的一列方程?如果是，它是第几个方程？
（3）请写出这列方程的第n 个方程和它的解，并验证所写出的解释和第n 个方程。

19．在平面直角坐标系内，已知点A (2，1)，O 为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P ，使
得△AOP 成为等腰三角形．在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来，画上实心点(大致位置画准确)，并在旁边标上P
1，P 2，…，P k (有k 个就标到P k 为止,写出每个点P 的具体坐标)．
20.设,,,321x x x ...2006,x 是整数，且满足下列条件：① -1≤n x ≤2，n =1，2，3， (2006)
②+++321x x x ...2002006=+x ；③+++232221x x x (20062)
2006=+x ． 求 +++333231x x x (32006)
x + 的最小值和最大值．
21.如图，已知等边三角形ABC 中，AE=CD,且BF AF 2
1
=
，请说明BF ⊥CF
C
D。

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