高三数学期中试题(理科)
高三上学期期中数学理科试卷及答案
山东省聊城市 —高三第一学期期中考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷的答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．函数的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1） 3．如右图所示，D 是的边AB 的中点，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数中，其图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．B ．{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<⋃=且a 1a ≤1a <2a ≥2a >2()ln(1)f x x x=+-ABC ∆CD =12BC BA -+12BC BA --12BC BA -12BC BA +sin()6y x π=+sin(2)6y x π=-C．D．5．给出下列四个命题：①命题“，都有”的否定是“，使”②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；③将函数的图像向右平移个单位，得到的图像；④命题“设向量，若”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2。
其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．06．已知垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．17．已知的值为（）A．B．C．D．8．已知，则在同一坐标系内的大致图象是（）9．设函数的图象位于轴右侧所有的对称中心从左至右依次为，则A的横坐标是（）A．B．C．4021 D．402310．若函数内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．（0，1）B．（—，1）C．（0，+）D．（0，）cos(4)3y xπ=-cos(2)6y xπ=-x R∀∈2314x x-+≥x R∃∈2314x x-+<cos2y x=4πcos(2)4y xπ=-()4sin,3,(2,3cos)a bαα==//,4a bπα=则,||2,||3,32a b a b a b a bλ⊥==+-且与λ32-3232±21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+则16221332213182(),()log||(0,1),(2011)(2011)0xaf x ag x x a a f g-==>≠⋅-<且且(),()y f x y g x==cos2y xπ=y12,,,,nA A A3()63(0,1)f x x bx b=-+在∞∞1211．已知定义在R 上的偶函数，且当时，，则的值为（ ）A ．—2B ．—1C ．2D ．112．已知函数的定义域为（—，+），的导函数，函数的图象如右图所示，且，则不等式的解集为 （ ） A ． B ．C ．（2，3）D ．第Ⅱ卷（非选择题，90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设命题p ：x R ∀∈，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∈，200320x x -+≤ B ．x R ∀∈，320x x -+> C ．0x R ∃∈，200320x x -+>D ．x R ∀∈，320x x -+≥2．若{}0,1,2A =，{}2,a B x x a A ==∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,43．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．5z =D ．13122z i i =++ 4．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．28D ．245．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()2E X =，()43D X =，则p =（ ） A ．34B ．23C ．13D ．146．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（ ）A ．15B ．16C ．17D ．187．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ） A ．3-B ．12-C ．12D ．3 8．已知函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()1g f -的值为（ ）A ．10-B ．9-C ．7-D ．19．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移23π个单位 10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）A ．11A PB D ⊥B ．三棱锥1D APC -的体积不变，为83C ．1//A P 平面1ACDD ．1A P 与1D C 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()ln 1f x x =+，若存在互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则411i if x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知点A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标为______． 14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为______．15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈满足()()2411n n S a +=+，则361111kk kk k kaa a a =++-=-______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC △的面积18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．19．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参考成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名学生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求()3P ξ≤（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按与按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．21．已知函数()ln x xf x xe x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意的()0,x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围 请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()23,0P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为141x k k y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围 23．选修4-5：不等式选讲 已知x ，y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案1．C 2．C 3．D4．A 5．C 6．B 7．A8．B 9．A 10．D11．B12．A13．(-14．315．52π1617．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c =+及正弦定理可知，∴sin 2sin cos sin sin cos cos cos B B B A B C A B =+∴()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅⋅=+， 所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=， 所以4c =，从而11sin 3422ABC S ab A ==⨯⨯=△18．（1）证明见解析；（2）60°解析：（1）连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ⊥ 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥ （2）法一：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 则DE PD ⊥，又ED AB ⊥，PD ⋂平面AB D =，DE ⊥平面PAB过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥，DFE ∠为所求二面角的平面角，32DE =，2DF =，则tan DEDFE DF∠==A PB E --大小为60°法二：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，∴()1,0,0B ，()0,0,3P ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()1,0,3PB =-，30,,32PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBE 的法向量()1,,z n x y =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n = ∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n = 设二面角A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅， 所以60θ=︒，即二面角的A PB E --大小为60°19．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分（2）依题意z 服从正态分布()2N μσ，，其中=70.5x μ=，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()2270.5,14.31N N μσ=，，而()()56.1984.810.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=20．（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①-②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-（2）根据（1）求解知，()22log 12121n n b n =+-=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列又因为11a =，23a =，37a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+-281072911202=-+=21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）k ，，1 解析：（Ⅰ）()()21ln 1x xf x x e x +'=++，易知()f x '在()0,e 上为正，因此()f x 在区间()0,1上为增函数，又1210xe ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()0f I e =>因此()10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 在区间()0,1上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1,+∞上恒成立，即在()1,+∞上无零点， 则()f x 在()1,+∞上存在唯一零点（Ⅱ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=，原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥， 令()ln 1xxe x g x x--=，则()ln x xxe x g x x+'=，由（Ⅰ）可知()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，00x x e t =故只求()0g x ，设00x x e t =，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-， 可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左右负不相等，只能1t =因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即k ，，1求所求 22．（1）S 的普通方程为：2240x y x +-=()04,0x y ≤≤≥或()0,0x y >≥或()0,0x y ≠≥方程写标准式也可S 的极坐标方程为：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭（不写范围扣2分） （2）0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23．（1）见证明；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】解：（1）由柯西不等式得)2222211x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅+⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦ ∴()()222433x y x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式1121a a x y+≥-++恒成立，即可转化为214a a -++≤， 当2a ≥时，214a -≤，可得522a ≤≤， 当12a -<<，34≤，可得12a -<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
江西省赣州市七校2023届高三上学期期中联考数学(理)试题含解析
2022——2023学年第一学期高三期中联考数学理科试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}20,1,2,30,,,,A B x x x x C x x ab a A b B ==-<∈==∈∈Z ，则集合B C =∪（）A.{2,2}-B.{0,1,2,4}C.{1,2,4}D.{1,2}【答案】B 【解析】【分析】解不等式后由并集的概念求解，【详解】由230x x -<得03x <<，则{1,2}B =，{0,1,2,4}C =，所以{0,1,2,4}B C = ，故选：B2.命题()2“R,ln 11”x x x ∀∈++≥的否定是（）A.()2R,ln 11x x x ∀∈++< B.()2R,ln 11x x x ∀∉++<C.()2R,ln 11x x x ∃∈++< D.()2R,ln 11x x x ∃∈++≥【答案】C 【解析】【分析】全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为()2R,ln 11x x x ∃∈++<.故选：C3.设130.6a =，1412b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.c b a <<B.c a b <<C.a c b<< D.a b c<<【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的图象性质得到a ，b ，c 的范围，然后比较大小即可.【详解】因为1300.61a <=<，14112b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，3log 0.60c =<，所以c<a<b ．故选：B ．4.如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】若函数()f x 在0x x =处可导，则()f x 在0x x =处一定连续；若函数()f x 在0x x =处连续，但()f x 在0x x =处不一定可导.【详解】由“连续不一定可导”知，“()f x 在0x x =处连续”不能推出“()f x 在0x x =处可导”,比如函数()f x x =在0x =处连续，但是()f x x =在0x =处不可导；由“可导一定连续”知，“()f x 在0x x =处可导”可以推出“()f x 在0x x =处连续”.因此()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的必要不充分条件答案选：B5.已知函数()=y f x 的部分图象如图所示，则函数122y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭在[]π,π-上的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由函数的图象变换求解【详解】将函数()=y f x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数122y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，故选：C6.若0pq ≠，直线1y px =+与曲线3e qx y -=相切于点()00,x y ，则0x =（）A.13p q- B.11p q - C.13q p - D.11q p-【答案】D【解析】【分析】对直线与曲线进行求导，根据斜率相等及切点处y 值相等得到方程组，解出切点横坐标即可.【详解】因为曲线3e qx y q -'=，直线y p '=，0pq ≠，所以03e qx q p -=，03eqx p q-=又0301e qx px -+=，所以01p px q +=，则111p q x p q p-==-．故选：D .7.下列几个不等式中，不能取到等号的是（）A.()20x ≥>B.)20x x x+≥≠C.()41016xx x --≥<D.()2x ≥∈R 【答案】D 【解析】【分析】由均值不等式取等号的条件判断即可【详解】对A=1x =等号成立；对B ，当且仅当2x x=即x =对C ，当且仅当416xx -=-即8x =-时等号成立；对D=得24x =-时等号成立，无解，等号不成立．故选：D ．8.在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20C o ，但当气温上升到31C 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时14~时的气温T （单位：C）与时间t （单位：小时）近似满足函数关系式π3π2510sin 84T t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则在6时14~时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据：πsin0.65≈）A.6.7时11.6~时B.6.7时12.2~时C.8.7时11.6~时D.8.7时12.2~时【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求解【详解】当[]6,14t ∈时，π3π3π5π,8422t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π3π2510sin 84T t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]6,14上单调递增.设花开､花谢的时间分别为12,t t .由120T =，得11π3π1π3π11πsin ,842846t t ⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭，解得1268.73t =≈时；由231T =，得22π3πππ3π11πsin 0.6sin ,845845t t ⎛⎫+=≈+≈⎪⎝⎭，解得11.6t ≈时.故在6时14~时中，观花的最佳时段约为8.7时11.6~时.故选：C9.向量1,3a = （），()31,1b x x =-+ ，()5,7c = ，若()()a b a c ++ ，且c ma nb =+ ，则m n +的值为（）A.2B.52C.3D.72【答案】C 【解析】【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出1x =，再利用向量的坐标表示得到关于m 、n 的方程组进行求解.【详解】由题意，得()3,4a b x x +=+，()6,10a c += ，因为()()a b a c ++ ，所以30624x x =+，解得1x =，则()()()(),32,22,325,7c ma nb m m n n m n m n =+=+=++=，即25327m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，故3m n +=.故选：C.10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当12x ≤<时，()2f x x =-．若1163y x =-与()f x 的图象交于点()11,x y 、()22,x y 、L 、()(),N n n x y n *∈，则()1niii x y =+=∑（）A.6B.8C.10D.14【答案】D 【解析】【分析】分析可知函数()f x 是以4为周期的周期函数，且直线1x =是函数()f x 图象的一条对称轴，点()2,0是函数()f x 图象的一个对称中心，直线1163y x =-关于点()2,0对称，作出图形，结合对称性可求得结果.【详解】由题意可得()()()2f x f x f x +=-=-，所以，()()()42f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，且直线1x =是函数()f x 图象的一条对称轴，且()()()42f x f x f x +=-+=--，故点()2,0是函数()f x 图象的一个对称中心，作出函数()f x的图象如下图所示：且当8x ≥时，11163y x =-≥；当4x ≤-时，11163y x =-≤-.且直线1163y x =-关于点()2,0对称，由图可知，直线1163y x =-与曲线()y f x =有7个不同的公共点，故12377214x x x x ++++=⨯= ，12370y y y y ++++= ，因此，()7114iii x y =+=∑.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题的关键在于分析函数的对称性与周期性，利用图象并结合对称性来处理.11.已知函数()22log e a f x x x =-（0a >且1a ≠）有唯一极值点，则a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()1,e C.()1,+∞ D.()3,+∞【答案】C 【解析】【分析】求导后，令()0f x '=得：21e ln x a =；在平面直角坐标系中作出()2e 0y x x =>与1ln y a=的图象，通过图象可确定当1a >时()f x 有唯一极值点，由此可得结论.【详解】由题意知：()f x 定义域为()0,∞+，()22e ln f x x x a'=-，令()0f x '=得：21e ln x a=；在平面直角坐标系中，作出()2e 0y x x =>与1ln y a=的图象如下图所示，由图象可知：当1a >时，()2e 0y xx =>与1ln y a=有唯一交点0x x =，则当()00,x x ∈时，()0f x ¢>；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '<；()f x \在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，0x x ∴=是()f x 唯一的极值点，满足题意；当01a <<时，21e ln y x a=>恒成立，即()0f x '<恒成立，()f x \在()0,∞+上单调递减，无极值点，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为()1,+∞.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为导函数零点个数的求解问题，进一步将问题转化为两函数图象交点的问题，从而采用数形结合的方式来进行求解.12.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，记ABC 的面积为S ，若28c S =，则ab的最小值为（）A.3-B.3C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】由面积公式得到4sin c b A =，再由余弦定理得到2222216sin 8sin cos a b b A b A A =+-，同除2b 表示出22a b ，再由二倍角公式、辅助角公式及正弦函数的性质求出22a b的最小值，即可得解.【详解】由2188sin 2c S bc A ==⨯，得4sin c b A =，由余弦定理得2222222cos 16sin 24sin cos a b c bc A b b A b b A A =+-=+-⋅⋅，即2222216sin 8sin cos a b b A b A A =+-，所以22216sin 8s os 1in c a A A A b=+-，即()222116sin 4sin 298cos 24sin 292a A A A A A bϕ=+-=--=-+（其中tan 2ϕ=，π02ϕ<<），因为()0,πA ∈，所以当π22A ϕ+=时，22min9a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭min 2a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量m ，n 满足||3= m ，||2n = ，m 与n 的夹角为π3，则23||m n -= ___________.【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的性质及运算律求解作答.【详解】因||3= m ，||2n = ，m 与n 的夹角为π3，则||||cos 33m n m n π⋅== ，所以23|6|m n -== .故答案为：614.已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC ，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC A BC =+-⨯⨯=⇒=，该ABC 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得：27π2πsin 3332BCr r S r A===⇒=⇒==.故答案为：7π3.15.若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65##1.2##115【解析】【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.16.已知函数()21,0ln ,0x a x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()y f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<．若()123442x x x x -<+<-，则实数a 的取值范围是______．【答案】31a -<<-【解析】【分析】根据函数图象的特征，可得121x x a +=-，根据对数的运算性质得341x x =，进而根据不等式即可求解.【详解】由于21y x a =-+的图象关于12a x -=对称，由1234x x x x <<<，所以可得121x x a +=-，又34ln ln x xb -==，所以341x x =，因此()12341x x x x a +=-，故412a -<-<-且102a -<，解得：31a -<<-,故答案为：31a -<<-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数333()log log (9)f x x x=⋅.（1）求函数()f x 的值域；（2）求不等式()4f x <-的解集.【答案】（1）9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）()10,9,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由对数运算法则化简函数式后，把3log x 作为一个整体，结合二次函数性质可得值域；（2）把3log x 作为一个整体，解一元二次不等式，然后再解对数不等式可得．【小问1详解】()()()23333()1log 2log log log 2f x x x x x =-+=--+23199log 244x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭，31log 2x =-，即3x =时，取得最大值．所以()f x 的值域为9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【小问2详解】根据题意得()233log log 24x x --+<-，整理得()233log log 60x x +->，即()()33log 3log 20x x +->，解得3log 3x <-或3log 2x >，所以1027x <<或9x >，故不等式的解集为()10,9,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.18.已知函数()222cos f x x x =+．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域．【答案】（1）()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；（2）1,3⎡⎤⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换可得()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据图象变换规律可得()π2sin 216g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即得.【小问1详解】因为()π2cos 212sin 216f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，令()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈，解得()ππππZ 36k x k k -≤≤+∈，则()f x 的单调递增区间是()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】由（1）可得()πππ2sin 212sin 21666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,633x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以πsin 262x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π2sin 211,36x ⎛⎫⎡⎤-+∈+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()g x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域为1,3⎡⎤+⎣⎦．19.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，1cos 2sin 2sin sin B A B A -=．（1）若6C π=，求B 的大小；（2）若△ABC 不是钝角三角形，且=1c ，求△ABC 的面积取值范围．【答案】（1）23π；（2）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）利用三角公式得到2A B π+=或2B A π-=.由6C π=求出23B π=；（2）先判断出△ABC 是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC 的面积取值范围.【小问1详解】因为1cos 2sin 2sin sin B A B A -=，所以22sin 2sin cos sin sin B A A B A=，即sin cos B A =.因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以2A B π+=或2B A π-=.因为6C π=，所以56A B C ππ+=-=（2A B π+=不合题意，舍去）.所以56A B π+=，而2B A π-=，所以236B A ππ==.【小问2详解】由（1）可知：2B A π-=或2A B π+=.当2B A π-=时，有2B A π=+，这与△ABC 不是钝角三角形相矛盾，不合题意，舍去；当2A B π+=时，2C π=，所以△ABC 是直角三角形，所以222a b c +=，即221a b +=.而12ABC S ab = .因为2212a b ab =+≥，所以12ab ≤（当且仅当2a b ==时等号成立）.又0,0a b >>，所以0ab >，所以11024ab <≤，即△ABC 的面积取值范围为10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.20.已知函数()2sin .f x x a x =-（1）若(π)+(π)=2πf f '，求a 的值；（2）若()0,πx ∈时，()sin 2f x x ≥-，求a 的取值范围【答案】（1）2a =-；（2）{}πa a ≤【解析】【分析】（1）对函数进行求导，结合题意即可得到答案；（2）由题得22cos sin x a x x≤+，再构造函数()22cos sin x x h x x =+，()0,πx ∈，求函数()h x 的最小值即得解.【小问1详解】由()2sin f x x a x =-可得()2cos f x a x '=-，所以()+(π)=2πsinπ+2cosπ=2πf f a a π--'，解得2a =-.【小问2详解】()sin 2f x x ≥-即2sin sin 20x a x x -+≥，由()0,πx ∈得2sin 222cos sin sin x x x a x x x+≤=+，令()22cos sin x x h x x =+，()0,πx ∈，()()322222cos sin cos 2sin 2cos 2sin 2sin cos 2cos sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x xh x '----===，令()sin cos x m x x x =-，()0,πx ∈，()22cos sin 1cos 210x x m x x '=--=-<，得()m x 在()0,π上单调递减，所以()()0=0m x m <，从而π0,2x ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0h x '<，()h x 单调递减，π,π2x ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0h x '>，()h x 单调递增，∴()min π==π2h x h ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故πa ≤，所以a 的取值范围{}πa a ≤.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.已知()e 1,()(1)1(0,e x f x a ax g x a x a =-+=-+≠为自然对数的底数).（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()()h x g x f x =-有两个不同零点12,x x ，求证：122x x +>.【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得函数的导数，然后分a<0，0a >讨论即得；（2）由题可得1212e e x x x x a -=-，可得只需证()121212e e e 2e x x x x x x +->-，然后通过换元可得()2e 20t t t -++>，再构造函数()(2)e 2t m t t t =-++，利用导数研究函数的性质即得.【小问1详解】由题可得()(e 1e )x x f x a a a '=-=-，当0x <时，e 1x <，当0x >时，e 1x >；所以当a<0时，()e 1xf x a ax =-+在(),0∞-上是增函数，在()0,∞+上是减函数；当0a >时，()e 1xf x a ax =-+在(),0∞-上是减函数，在()0,∞+上是增函数；【小问2详解】因为()e x h x x a =-有两个不同零点1x ，2x ，则11e x x a =，22e xx a =，因此()1212e e x x x x a -=-，即1212e e x x x x a -=-，要证122x x +>，只要证明()12e e 2x x a +>，即证()121212e e e 2ex x x x x x +->-，不妨设12x x >，记12t x x =-，则0t >，e 1t >，因此只要证明e 12e 1t t t +⋅>-，即()2e 20t t t -++>，记()(2)e 2t m t t t =-++，则()()1e 1tm t t '=-+，令()()()1e 10t t t t ϕ=-+>，则()e 0tt t ϕ'=>，所以函数()()1e 1tt t ϕ=-+在()0,∞+上递增，则()()00t ϕϕ>=，即()()00m t m ''>=，∴()m t 在()0,∞+上单调递增，∴()()00m t m >=，即()2e 20tt t -++>成立，∴122x x +>.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 20ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,2P ，求11PA PB+的值．【答案】（1）2214x y +=，220x y -+=；（2）15.【解析】【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.【小问1详解】由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=，故曲线C 的普通方程为2214x y +=．由2cos sin 20ρθρθ-+=，得220x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为220x y -+=．【小问2详解】由题意可知直线l的参数方程为5525x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得217600t ++=，设A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，则1217t t +=-，126017t t =，故121212121115t t t t PA PB t t t t +++===．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =时，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）[]3,4-（2）(][),51,-∞-⋃-+∞【解析】【分析】（1）分2x ≤-、23x -<<、3x ≥三种情况解不等式()7f x ≤，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得出关于a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】因为()21,2325,2321,3x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，所以()7f x ≤等价于2217x x ≤-⎧⎨-+≤⎩，或2357x -<<⎧⎨≤⎩，或3217x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得32x --≤≤或23x -<<或34x ≤≤，所以34x -≤≤，即不等式()7f x ≤的解集为[]3,4-．【小问2详解】因为()33f x x x a a =-++≥+，当且仅当()()30x x a -+£时等号成立；所以函数()3f x x x a =-++的最小值为3a +，由已知可得32a +≥，所以32a +≥或32a +≤-，解得1a ≥-或5a ≤-，即a 的取值范围(][),51,-∞-⋃-+∞．。
高三数学(理)期中试题及答案
高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分：满分150分：考试时间120分钟．（1）答题前：考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚：（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂： 非选择题必须使用毫米黑色的签字笔书写： 字迹清楚： （3）请在各题目的答题区域内作答：超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸上答题无效： （4）保持卡面清洁：不得折叠、不要弄破、弄皱：不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分．在每小题给出的四个选项中：只有一个是符合题目要求的1．若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅：则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．已知全集为R ：集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ：{}1)2(ln |1<=-x x N ：则集合=)(N C M R （ ） .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点：则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,：则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．已知向量)2,1(=a ：)1,3(21=-b a ：)3,(x c =：若()c b a //2+：则=x （ ）.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++：9642=++a a a ：则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51- .B 51 .C 5- .D 57．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a x x y 0022内的任意一点：当该区域的面积为4时：y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ：ββαcos sin 1tan +=：则（ ） .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ：对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11：则=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710．一个四棱锥的三视图如图所示：则这个四棱锥的表面积是（ ）.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中：若AC BC ⊥：3π=∠A ：4=AC ：41=AA ：M 为1AA 的中点：P 为BM的中点：Q 在线段1CA 上：QC Q A 31=.则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为（ ）.A 3913 .B 21313 .C 23913.D 131312．对于任意实数b a ,：定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+：且当20≤≤x 时：{}x x f x --=2,12m in )(：若方程0)(=-mx x f 恰有两个根：则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题：每小题5分：共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中：角C B A ,,的对边分别为c b a ,,：若22241c b a +=：则=c Ba cos _______________ 15．已知R y x ∈,：满足64222=++y xy x ：则224y x z +=的取值范围________16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面：各顶点都在同一球面上：若该棱柱的体积为3：2AB =：60,1=∠=BAC AC ：则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点：极轴为x 轴的正半轴：两种坐标系中的长度单位相同：已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程：A（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点：与y 轴交于E ：求EB EA +． 18.（本小题满分12分）在△ABC 中：,,A B C 所对的边分别为,,a b c ：sin sin tan cos cos A BC A B+=+：sin()cos B A C -=．（1）求,A C ：（2）若3ABC S ∆=：求,a c ． 19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ：数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a（1）求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式： （2）记nnn a b c =：数列}{n c 的前n 项和为n T ：证明：当6≥n 时： 12<-n T n 20.（本小题满分12分）如图：PCBM 是直角梯形：90PCB ∠=︒：//PM BC ：1,2PM BC ==： 又1,AC =120ACB ∠=︒：AB PC ⊥：直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ： （2）求三棱锥P MAC -的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =：且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和：若存在*n N ∈：使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时：求函数()f x 的极值： (Ⅱ)当0<a 时：讨论)(x f 的单调性：(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立：求实数m 的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5 CDBAD ：6-10 CABBA ： 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17（1）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+：得直角坐标方程为2222x y x y +=+：即()()22112x y -+-=：（2）将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程：化简得210t t --=：点E 对应的参数0t =：设点A ：B 对应的参数分别为12,t t ：则121t t +=：121t t =- ：所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+：即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+： 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+： 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-：得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-：或()C A B C π-=--（不成立）． 即 2C A B =+： 得3C π=：所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==：则6B A π-=：或56B A π-=：（舍去） 得5,412A B ππ==． （2）1sin 32ABC S ac B ∆===+sin sin a cA C =： 即22=：得a c ==19.（1）当1n =时：1112(1)S a a ==-：所以12a =： 当1n >时：112()n n n n n a S S a a --=-=-：,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =：公比2q =的等比数列：通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=：得11b =.当2n ≥时：n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22nn ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅：验证首项满足：于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．（2） 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++：所以12n T =23112222n n++++： 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-：所以2n T =-22n n +：即2n T -=22n n +： 下证：当6n ≥时：(2)12n n n +<：令()f n =(2)2n n n +：(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +-当2n ≥时：(1)()0f n f n +-<：即当2n ≥时：()f n 单调减：又(6)1f <： 所以当6n ≥时：()1f n <：即(2)12nn n +<：即当6n ≥时：21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥：PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.（1）设{}n a 的公差为d ：由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩：110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩：故*1()n a n n N =+∈ （2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈：使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈：使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立：即22(2)nn λ≤+有解max 2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++：2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+：令21() 4 =0f x x '=-+：得112x =：212x =-（舍去）． 2分当x 变化时：(),()f x f x '的取值情况如下：所以：函数()f x 的极小值为 4分(Ⅱ) 22211)()2 a ax f x a x x x -+'=-+=：令()0f x '=：得112x =：21x a=-： 5分当2a =-时：()0f x '≥：函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增： 6分 当20a -<<时：在区间1(0,)2：1(,)a-+∞：上()0f x '<：)(x f 单调递减： 在区间11(,)2a-：上()0f x '>：)(x f 单调递增： 7分当2a <-时：在区间1(0,)a -：1(,)2+∞：上()0f x '<：)(x f 单调递减： 在区间11(,)2a -：上()0f x '>：)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时：函数)(x f 在区间[]1.3单调递减： 所以：当[]1.3x ∈时：max ()(1)12f x f a ==+：min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--：恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立： 1即14114,4a am a m a a ->-<=-：432,432-<->am a am ：所以313-≤m 12分。
2022-2023学年江西省高三上学期理科数学期中考试试卷及答案
丰城中学2022-2023学年上学期高三期中考试试卷数学（理科）本试卷总分值为150分考试时长为120分钟考试范围：集合、逻辑、函数、三角、向量一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B = ð（）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-2.设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（）A.2π B.πC.32πD.2π4．函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像大致为（）A. B. C. D.5.为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移π5个单位长度 B.向右平移π5个单位长度C .向右平移π15个单位长度 D.向左平移π15个单位长度6.ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知43cos ,47===B c b ,则ABC ∆的面积等于()73.A 273.B 9.C 29.D7．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A.112-B．112-C．92-D．92-8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A.3- B.2- C.0D.19．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦10．已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c>>D ．a c b>>11.已知O 是三角形ABC 的外心，若()2||||2||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=数m 的最大值为（）A ．34B ．35C ．23D ．1212.已知函数22()2(2)e (1)x x f x a a xe x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3123122)(2(2x x x x x x e e e ---的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．36二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高三期中理科试题参考答案及评分标准
高三期中理科试题1. {5,9}2. 四3.4.匚1,2] 5.28. 纟9. cosx 10. f-oc,2] 11. 125 212. n 13. 【0,2] 14. (111 -oC , —13 1 2」-t T15. 解：(1)v m =(b ,cosB )，n = (2a —c ,cosC ),m //n ,6. 8…bcosC =(2a —c posB .7. 216.••• sin BcosC =2sin AcosB -sinCcosB ,即 sin BcosC +sinC cosB =2sin AcosB , sin(B + C )=2sin AcosB ,• - sin A =3sinAcosB ,1 又sin A 工0cosB=-.2又 B 忘(0 ,n \ B =—3sin A +sin C =sin A+sin (互一A )=sin A + — cos A +-sin A=3sin A +色cosA = 73 !国sin A +-cosA〕=73sin (A +n\2 2 V2 2 丿' 6兀J 2 n n J n 5 n.••• B=—,•••0，-^ , A+——,—...... ..............3 3 6 6 6•- sin (A + n户(-,1 ]6 2」- sin A + sinC的取值范围是f弓，73]证明：(1)v三棱柱ABC-AB I G的侧棱垂直于底■面,--AA i 丄面 A i BiG . — AA i 丄A iB i .•••在三棱柱 ABC —AB’G 中，N BAC =90° ,••• N B1AC1 =90^ , AC」A1B1 .•/ AA1CAC1=A , A AU 面 ACC1A1, A1C^ 面 ACC1A1,••• A i B i 丄面 ACCiA .•/ AC S面 ACGA ,10分12分14分二 AB i 丄 AG .5分（2）取AC 的中点D ，连结ND , A i D .•••点 N , D 分别是 BC , AC 的中点，••• ND //AB , 1且 ND =—AB .2在三棱柱ABC—AB i C 中，M 是AB i 的中点,•- AM / /AB , 且 A i M =1AB .2 B i/A iMC i•- ND//AM ,且 ND =AM ,•••四边形A i MND 是平行四边形.•/ A i D U 面 ACC i A i , MN<t 面 ACC i A i , ••• MN //平面 ACGA . i0分 解：（3）以点A为空间直角坐标系原点， 建立如图所示的空 间直角坐标系. 由题，A(0,0, 0 ), M(1,0, 2 ), N(1，2,0 ), AM =(1,0, 2 ), AN =(1, -,0 ). 设；=（x,y ,z 堤平面MAN 的法向量，则 £丽0，即 r"2^0[01 AN =0 [X +2 yI则 €0=(2 , -4 , -1 )是平=0，取 一1,面MAN 的一个法向 量. 12分由题，AA 丄面ABC ，故e 2 =AA =（0,0 2 ）是平面 严％? 02-2…cos 01 , ◎/ 硏妬 X 221由图可知，二面角M - AN - B 的余弦值为姮2i17(i )由 S n = (t myN（第i6题（2）图）_>D z A iC iM B i//仇\\! VI / 认/洋一DyC（第16题（3）图）xNBAN 的一个法向量.a i =S i =2t 中114分a 2 =S —S =(6t +1 )—(2t)=4t +1.因为等差数列｛an ｝的公差d =1，故a 2 -a 1 =1, 即(4t +2 )—(2t +； )=1，解得 t=2 . 所以首项a 1 =2t +2=3 . 所以 a n 諾+(n — 1)X 1= n +1 . （2）由（1）知 t =；，故 Sn =2 n 2+n .故bl =2 —n +2n n 所以T n (n +2)n +2 丄2+片—4)+—5 鬥>6^+( 3-22n +3 (n 则n +2)-—2^^3— >1，即 k 2-k -4 >0 , (k +V (k +2 n+1叫一n+211分<7^或2凹口 . 2 2 "N* , k 33，即k 的最小值为3 . _ a_5 所以，f (X )=a x +374 -X ,5 5解得因为 所以 18.解：（1） 13分15分据题意可知,X 、=- X +3 J 4 -x . 5定义域为0,4 ]. (2 )令 t =4^X ，则 t 壬 10,2 ], X=4—t 2.故f (X )=旦X 5 +_ J 4 -x 5 +3t+4a ，5 5记 y = —a t 25W 0,2 ].由a ：>0可知，二次函数y =—a t 25 5 5①当0 C 3 <2时，即2a亠「3、j a '丿 a 》3时，二次函数 4+_^4a 开口向下，对称轴t=2 .2a+ 4a 在！ O,"3]上递增 5 I 2a 丿a t 2+3t 5 5 在！ — ,2 1上递减，故当时, ~ 2a y max 4 =-a5 +2, 20a 即当x=4-上i 时, 4af (X max =754a+旦； 20a10分 ②当—>2时,2a即0 caW 3时，二次函数 4 y=—-t 2 +mt+4a 在(0,2 )上递增，故 5 5 56，即当 X=0时，f （X h ax £ .5 5综上所述，当0 c a 兰-时，全部投资乙种商品 4万兀时，所得总利润最高，最高值为f13分当 t =2 时，y max万元；当 最高值为 a 》？时，投资甲种商品4-2 万元，乙种商品 2 万元时，所得总利润最高, 4 4a4a 4a +2万元；520a 15分佃.解：（1） 当a =0时，f （x ）=xl nx,定义域为（0 , +处）.1 f'(x )=lnx +1，令 f'(x ) = 0,可得 x=-所以，函数f （x ）的最小值为f （' ）=-1.e e（2 ）◎ 由题意可知，导函数 f'（x 在 （0，+比）上有两个不同的零点 X i , X 2 .即f '（X ）=ln X —2ax +1在（0, +处）上有两个不同的零点 x i , X 2 . 记 y =f'(x ) = lnx-2ax+1 , ^(0，+比)，y'=-—2a, x（i ）当a 兰0时，y' >0, y =「（x ）在（0，+处）上单调递增, 故 f ，（x 在 0,+比）上至多有一个零点，不符题意； (1)（ii ）当a:>0时，令y'=0，可得x=—，列表:1所以，当x=—时，y = f'（x 取最大值.2a要使得f'（x ） = l nx —2ax +1在（0，+乂）上有两个不同的零点 为,x ?, 1则 y (—)>0,2a"45列表:1 1 1 1 1即 In — -2a ——+1〉0, In 一 >0 , 一>1 , O c a..2a 2a 2a 2a 21综上(i) (ii),实数a的取值范围是0c a c1...... ...........210分②由题意，k =f0F f(X 2)= X1(In 一込宀。
河南省南阳市2022-2023学年秋期中考试高三理数答案
2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y fx =的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。
高三数学(理)期中试卷及答案
第一学期期中考试高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分；满分150分．考试时间120分钟．考试结束后；将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后；用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共75分)一、选择题（本大题共15 小题；每小题5 分；共75 分． ）1. 集合(){}lg 10M x x =-<；集合{}11N x x =-≤≤；则M N ⋂= A. ()0,1B. [)0,1C. []1,1-D. [)1,1-2．设(3,1),(,3)a b x ==-；且a b ⊥；则向量a b -与向量b 夹角为A. 30B. 60C. 120D.150 3.下列各式中错误的是A ． 330.80.7>B ． 0..50..5log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4> 4．若5cos sin 3θθ+=-；则cos(2)2πθ-的值为 A49 B 29 C 29- D 49- 5．函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数；当)2,0(∈x 时；,12)(-=xx f 则)31(log 2f 的值为 A ．2- B ．32-C ．7D ．123- 6. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222xx-+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点；则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()q ⌝为假D ． ()p q ∧⌝为真7．函数()xx x f 2log 12-=定义域为A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,0 8.要得到函数的图像；只需将函数的图像A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位9. 函数的一个零点落在下列哪个区;间A. (0；1)B. (1；2)C. (2；3)D. (3；4) 10．函数2cos )(xxx f π=的图象大致是ABCD11．若圆O 的半径为3；直径AB 上一点D 使3AB AD =；E F 、为另一直径的两个端点；则DE DF ⋅=A.3-B.4-C. 8-D. 6-12．下列四个结论中正确的个数是yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 1 2 1-2-33- x O12 3 1- 2- 12 1-2-3y(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；(2)命题：",sin 1"x R x ∀∈≤的否定是00",sin 1"x R x ∀∈>；(3)"若4x π=则tan 1"x =的逆命题为真命题；(4)若()f x 是R 上的奇函数；则32(log 2)(log 3)0f f +=A. 0B. 1C. 213.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数；该函数的部分图象如图所示；EFG ∆是边长为2的等边三角形；则(1)f 的值为A ．32-B ．62- C ．3 D ．3-14. 在ABC 中；,P Q 分别是,AB BC 的三等分点；且1,3AP AB =1,3BQ BC =若,AB a AC b ==；则PQ = A. 1133a b - B. 1133a b -+ C. 1133a b + D.1133a b --15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数；)('x f 为其导函数；若对于任意实数x ；都有)()('x f x f >；其中e 为自然对数的底数；则（ ）A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f <C )2016()2015(e f f =D )2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分） 16．2{4,21,}A a a =--；B={5,1,9},a a --且{9}AB =；则a 的值是17． 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩；则5()6f 的值为18. 若曲线x y ln =的一条切线与直线y x =-垂直；则该切线方程为 19．已知||||||2a b a b ==-=；则|32|a b -= . 20. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________三、解答题（本大题共4小题；共50分；解答应写出文字说明；证明过程或推演步骤） 21..（本题满分12分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--；3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时；求()f x 的单调递增区间；22.（本题满分12分）已知函数()f x xlnx =； （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-；求实数a 的取值范围.23．（本题满分12分）已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭（,x R ω∈为常数且112ω<<）；函数()f x 的图象关于直线x π=对称. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中；角A ；B ；C 的对边分别为,,a b c ；若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭；求ABC ∆面积的最大值.24.（本题满分14分）已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f ． （Ⅰ）当0=a 时；求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时；讨论)(x f 的单调性；高三阶段性测试数学（理科）二、选择题（本大题共15 小题；每小题5 分；共75 分． ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A BCDADDDBBCADCA二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分） 16． -3 17.12 18. 10x y --= 19. 723三、解答题（本大题共4小题；共50分；解答应写出文字说明；证明过程或推演步骤）21. 【解】（1）∵(2sin 32cos sin 2m n x x x x ππ⎛⎫⋅=--+-⎪⎝⎭223cos 2cos 32cos 21x x x x x =-+=++∴()1f x m n =-⋅32cos 2x x =-∴()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由222()262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈；解得()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；∵取k =0和1且[]0,x π∈；得03x π≤≤和56x ππ≤≤； ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 法二：∵[]0,x π∈；∴112666x πππ-≤-≤；∴由2662x πππ-≤-≤和3112266x πππ≤-≤； 解得03x π≤≤和56x ππ≤≤；∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞； ()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>；解得1x e >；令()0f x '<；解得10x e<<. 从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 所以；当1x e =时；()f x 取得最小值11()f e e=-. （2）依题意；得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立；即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立 . 令1()ln g x x x=+； 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.当1x >时；因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭； 故()g x 是()1,+∞上的增函数； 所以()g x 的最小值是(1)1g =； 所以a 的取值范围是(],1-∞.23.24.【解】（Ⅰ）当0=a 时；xx x f 1ln 2)(+=；定义域为),0(+∞； )(x f 的导函数22'1212)(xx x x x f -=-=．分 当210<<x 时；0)('<x f ；)(x f 在)21,0(上是减函数；当21>x 时；0)('>x f ；)(x f 在),21(+∞上是增函数．分∴当21=x 时；)(x f 取得极小值为2ln 22)21(-=f ；无极大值．（Ⅱ）当0<a 时；ax xx a x f 21ln )2()(++-=的定义域为),0(+∞；)(x f 的导函数为2222')1)(12(1)2(2212)(x ax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--=．由0)('=x f 得0211>=x ；012>-=a x ；aa a x x 22)1(2121+=--=-． （1）当02<<-a 时；)(x f 在)21,0(上是减函数；在)1,21(a -上是增函数；在),1(+∞-a上是减函数；（2）当2-=a 时；)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）当2-<a 时；)(x f 在)1,0(a -上是减函数；在)21,1(a -上是增函数； 在),21(+∞上是减函数． 综上所述；当2-<a 时；)(x f 在),21(),1,0(+∞-a 上是减函数；在)21,1(a -上是增函数； 当2-=a 时；)(x f 在),0(+∞上是减函数； 当02<<-a 时；)(x f 在),1(),21,0(+∞-a 上是减函数；在)1,21(a-上是增函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知；当)2,(--∞∈a 时；)(x f 在]3,1[上是减函数． ∴3ln )2(432)3()1(|)()(|21-+-=-≤-a a f f x f x f ． ∵对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ；∴3ln 2)3ln (3ln )2(432-+<-+-a m a a 对任意2-<a 恒成立； ∴am 324+-<对任意2-<a 恒成立．当2-<a 时；4324313-<+-<-a ；∴313-≤m ．∴实数m 的取值范围为]313,(--∞．；。
高三期中数学(理)试题及答案
高三年级期中考试数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}1xA x x =≤-；2{|2}B x x x =<；则A B = （ ） A.{|01}x x << B.{|01}x x ≤< C.{|01}x x <≤ D.{|01}x x ≤≤ 2.已知复数12312z bi z i =-=-，；若12z z 是实数；则实数b 的值为 （ ） A ．0B ．32-C ．6-D ．6 3.以下判断正确的是 ( )A .函数()y f x =为R 上可导函数；则0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件[来源:学§科§网]B .命题“2000,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C.“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数()sin()f x x ωϕ=+是偶函数”的充要条件 D. 命题“在ABC ∆中；若A B >；则sin sin A B >”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)；则该几何体的体积为 ( )A ．120 cm 3B ．100 cm 3C ．80 cm 3D ．60 cm 35.由曲线21y x =+；直线3y x =-+及坐标轴所围成图形的面积为( )A . 73B .83 C . 103D . 36.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ；若21-=-m S ；0=m S ；31=+m S ；则=m （ ）A.3B.4C.5D. 6学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺；两鼠对穿；初日各一尺；大鼠日自倍；小鼠日自半；问几何日相逢？”现用程序框图描述；如图所示；则输出的结果n( )A. 4 B . 5 C . 2 D . 3 8.设123log 2,ln 2,5a b c -===；则 ( )A. a b c << B . b c a << C . c a b << D . c b a <<9.已知函数()ln f x x x =-；则()f x 的图象大致为 ( )A B C D10.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后；与函数sin(2)3y x π=+的 图象重合；则ϕ的值为 ( ) A . 56π-B . 56πC . 6π D . 6π-11.椭圆C : 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为12,F F ；焦距为2c . 若直线y=()3+x c 与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ；则该椭圆的离心率等于 （ ）A .22B . 21-C .3D . 31-R 上的函数()f x 满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩且(2)()f x f x +=；25()2x g x x +=+；则方程()()f x g x =在区间[5,1]-上的所有实根之和为 （ ）A. 6- B .7- C. 8- D. 9- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分；共20分.13.已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则 .O yxO yx O yx O yx14.已知1sin 23α=；则2cos ()4πα-= . 15.已知0,,a x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y 的最小值为1；则a .ABC ∆中；内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ；已知cos sin a b C c B ；2b ；则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-；求()f x 的最大值和最小值. 18．（本小题满分12分）如图；在直三棱柱111ABC A B C -中；12,1BC AB AC AA ====；D 是棱1CC 上的一点；P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点；且1PB ∥平面1BDA ． （Ⅰ）求证：D C CD 1=；（Ⅱ）求二面角11A B D P --的平面角的正弦值．19．（本小题满分12分）随着苹果7手机的上市；很多消费者觉得价格偏高；尤其是一部分大学生可望而不可及；因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式；某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计；统计结果如下表所示.付款方式 分1期 分2期 分3期分4期 分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为；并且销售一部苹果7手机；顾客分1期付款；其利润为1000元；分2期或3期付款；其利润为1500元；分4期或5期付款；其利润为2000元；以频率作为概率.BA C DP1A 1B 1C(Ⅰ)求a ；b 的值；并求事件A ：“购买苹果7手机的3位顾客中；至多有1位分4期付款”的概率； （Ⅱ）用X 表示销售一部苹果7手机的利润；求X 的分布列及数学期望EX . 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =；直线:2l y kx =+交C 于,A B 两点；M 是线段AB 的中点；过点M 作x 轴的垂线交C 于点.N（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k ；使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在；求k 的值；若不存在；说明理由.21．(本小题满分12分) 已知函数()2ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈． （Ⅰ）当0a =时；求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内有两个不同的极值点. （ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ；证明:212x x e ⋅>．请考生在第22、23题中任选一题做答；如果多做；则按所做的第一题记分．做答时；用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中；以原点O 为极点；x 轴的正半轴为极轴；建立极坐标系；曲线1C 的参数方程为22sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ-=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上一点；Q 为曲线2C 上一点；求PQ 的最小值． 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m R =--∈；且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈；且11123m a b c++=；求证：239a b c ++≥．高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题；每小题5分；共60分。
高三数学理科上学期期中考试试题及答案
浙江省菱湖中学高三上学期期中考试（数学理）一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分）1．若集合则满足条件的实数x 的个数有 （ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ． 4个2．已知角的终边上一点的坐标为则角的最小正值为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．B ．C ．D ．4．将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则（ ）A ．B ．C ．D ． 5．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学一起参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其 他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是 ( ) A ． 152 B ．126 C ． 90 D ． 546．三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA=4，AB=3，D 为AB 的中点∠ABC=90°，则点D 到面SBC 的距离等于 （ ）A ．B ．C ．D ．7. 若实数满足不等式组目标函数的最大值为2，则实数的值是A ．-2B ．0C ．1D ．28．在中，，则以A ，B 为焦点且示点C 的双曲线的 离心率为（ ）A ．B ．CD9．已知函数，则函数的图象可能是（ ）2{1,3,},{1,},{1,3,},A x B x A B x ==⋃=α22(sin ,cos ),33ππα56π23π53π116π0a b <<2a ab <110b a <<||||a b <11()()22a b <21x y =+a 12x y +=(11)=--，a (11)=-，a (11)=，a (11)=-，a 125956535,x y 20,10,20,x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩2t x y =-a ABC ∆||2||,120BC AB ABC =∠=︒23+222-2()22xf x =-()y f x =10．把数列{}（）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…循环分别为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33）， （35，37，39，41），（43） （45，47）… 则第104个括号内各数之和为 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11. 若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ． 12．在数列中，，且，_________13．设函数,方程有且只有两个不相等实根，则实数的取值范围14．过抛物线的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若＝，·＝48，则抛物线的方程为______________ 15. 在的二项展开式中，的系数是___________ 16．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是17．如图，正方体，则下列四个命题：①在直线上运动时，三棱锥的体积不变； ②在直线上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变；21n ++∈N n cm 3cm {}n a 1202a a ==,)()1(12*∈-+=-+N n a a nn n =100S 12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩a x x f +=)(a )0(22>=p px y l AF FB BA BC 2101()2x x+11x 20x y +-=221212540x y x y +--+=1111ABCD A B C D -P 1BC 1A D PC -P 1BC③在直线上运动时，二面角的大小不变；④M 是平面上到点D 和距离相等的点，则M 点的轨迹是过点的直线 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共5小题，满分72分，写出必要的解答和证明过程） 18.（本题满分14分）已知数列的前项和为，，且（为正整数） （1）求出数列的通项公式；（2）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值. 19．（本题满分14分）已知锐角△ABC 中，角 A.B.C 所对边分别是 a.b.c ，，且∥；（1）求角B 的大小； （2）如果b=1，求△ABC 面积的最大值。
高三理科数学期中考试卷
高三理科数学期中考试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x + 12. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. 4B. 5C. 6D. 73. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则第5项a_5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 125. 圆x^2 + y^2 = 9的圆心坐标为（）A. (0, 0)B. (3, 0)C. (0, 3)D. (-3, 0)6. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π7. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B = （）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 3, 4}D. {1, 2}8. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x) - g(x) = （）A. 4xB. 2xC. 2D. 49. 已知直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)10. 函数y = ln(x)的定义域为（）A. (-∞, 0)B. [0, +∞)C. (0, +∞)D. (-∞, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = 3x - 2，若f(a) = 7，则a = _______。
12. 已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，则第4项b_4 =_______。
13. 已知函数y = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1，求导数y' = _______。
福建省重点中学22019届高三上期中考试数学(理)试卷含答案
2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学(理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ={x |2x ＜4}，则A ∪B ＝()A.RB.∅C.{x |x ≤1}D.{x |x ＞2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知命题p ：“0a ∀>，都有1ae ≥成立”，则命题p ⌝为（）A ．0a ∃≤，有1ae <成立B ．0a ∃≤，有1ae ≥成立C ．0a ∃>，有1a e ≥成立D ．0a ∃>，有1ae <成立4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是()A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋15.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.2log 4,3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a>> C.a c b>>D ．b a c>>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．48.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为()A. B. C.D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）11.已知函数()sin3cos (0),f x x x =->ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A.137(,]62B.725(,]26 C.2511(,62 D.1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe e a x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．1-或3D ．1或3-第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b的夹角为60︒，2a = ，1b = ，则2a b += ____.14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为____.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =,DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆的面积为33,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a =-+-（0a >）.（Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）函数()()cos 3cos 022x xf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e x f x x ax =--．（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况；（Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学(理科)一、选择题：ABDBB;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.3,14．715．7816．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）(Ⅰ)由已知得13sin 23BCD S BC BD B ∆==，又2BC =，3sin 2B =得23BD =……………3分在BCD ∆中，由余弦定理得2222221272cos 2223323CD BC BD BC BD B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以CD 的长为73CD =……………6分(Ⅱ)因为6sin 2sin DE CD AD A A===……………8分在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，又2BDC A ∠=∠,……………10分得26sin 22sin sin 60A A =，……………11分解得2cos 2A =,所以4A π=即为所求.……………12分18.(本小题满分12分）解:（Ⅰ）1n n a S = ，24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n b n =-⋅，231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n n n T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分）解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|3x ＋4，x ＜1，，1≤x≤2，－4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f (83)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤83}.....................................6分（2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2..................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意....................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾..............11分综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞).…...................12分21.（本小题满分12分）由已知得:()cos 3cos 3cos 223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭………2分∵A 为图象的最高点，∴A的纵坐标为又∵ABC ∆为正三角形，所以4BC =…………3分∴42T =可得8T =,即28πω=得4πω=…………4分,∴()23sin()43f x x ππ=+…………5分,（Ⅱ）由题意可得()3g x x =,,232P π⎛ ⎝…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由OP OQ ⊥ 得0OP OQ = ，即3302πθθ+=，即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由OP OQ ⊥ 得0OP OQ = ，即3302πθθ+=，即()24sin 02πθθπθπ+=<<，问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。
四川省成都市成都市石室中学2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图可还原几何体为一个正方体挖去一个圆锥，根据柱体和锥体的体积公式可求得结果.
【详解】由三视图可知几何体是一个棱长为 的正方体挖去一个底面半径为 ，高为 的圆锥，如图所示，
几何体体积 .
故选：A.
6.已知命题p：在 中，若 ，则 ；命题q：向量 与向量 相等的充要条件是 且 .在下列四个命题中，是真命题的是（）
A.10B.11C.12D.13
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，化简 ，得 ，可得 ，利用参考数据，可得答案.
【详解】因为 ，所以 .由题意，知 ，得 ，故被测标本的DNA大约扩增12次后，数量会变为原来的125倍.
故选：C
10.设 ， ， （其中e是自然对数的底数），则（）
A. B. C. D.
成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试
理科数学
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足 ，则在复平面内复数z对应的点在（）
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
2.已知数列 的前n项和是 ，则 （）
（1）求证： 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由．
20.已知曲线C上的任意一点到点 的距离和它到直线l： 的距离的比是常数 ，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点M.
（1）求角C
（2）若 ，D为 的中点， ，求 的面积．
18.全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试卷
西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理） 命题人：张丽娇 审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60项是符合题目要求的．）1.已知集合{}3,2,1,2A =---，{B x =2|56x x --≤}0，则A ⋂C R B =（ ）A ．{}3-B ．{}3,2,1---C ．{}3,2--D ．{}1,2- 2.集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（ ）A ．12-B ．()0,4a ∈C ．()[),04,a ∈-∞⋃+∞D ．()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭ 3.已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ；命题 1:,1xq x e ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝⎛⎭⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升到8000，则C 大约增加了(lg 2≈0.301)( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．50%6.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ）①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；A ．②③B ．③④C ．②④D ．③7.已知非常数函数f(x)满足f (−x )f (x )=1(x ∈R)，则下列函数中，不是奇函数的是（ ）A ．f (x )−1f (x )+1B ．f (x )+1f (x )−1C ．f (x )−1f (x )D ． f (x )+1f (x )8．已知3log 2a =，4log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<9．函数f (x )＝3|x |·cos 2x x的部分图象大致是( )10.若()f x 的定义域为R ，对,x y R ∀∈，()()()()(),11f x y f x y f x f y f ++-== 则()221k f k ==∑( )A ．－3B ．－2C ．0D ．111.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π， 且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.[18,814]B.[274,643]C.[274,814]D.[18,27]12.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)<f(x)，则不等式e x f(x +1)<e 4f(2x －3)的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()3,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则()()2f f -=__________． 14.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__________． 15.∫(3−3sinx +√9−x 2)dx =__________．16．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上单调递增，则 ①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；④函数f (x )在[0,100]上有25个零点．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（14分）在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．“①函数y =√x 2+2x −k 的定义域为R ，②∃x ∈R ，使得|x −1|+|x −2|+k ⩽0， ③方程x 2+k =0有一根在区间[1,+∞)内”问题：已知条件p ：______，条件q ：函数f(x)=2x 2−kx 在区间(−3,a)上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最大值．18.（14分）已知函数f (x )=ln (m x x+1−1)(其中m ∈R 且m ≠0)是奇函数．（1）求m 的值；（2）若对任意的x ∈[ln2,ln4]，都有不等式f (e x )−x +lnk ≥0恒成立， 求实数k 的取值范围．19.（14分）已知函数f (x )＝x 2－2x +aln x(a ∈R)．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －4y －2＝0垂直，求实数a 的值；(2)当a >0时，讨论函数f(x)的单调性．20.（14分）已知函数f (x )=2a+1a −1a 2x ，a >0 (1)证明:函数f (x )在（0，+∞）上单调递增；(2)设0<m <n ，若f (x )的定义域和值域都是[m,n ]，求n −m 的最大值.21.(14分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，， （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.。
高三理科数学期中考试参考答案
高三理科数学参考答案二、填空题(每小题5分,满分20分) 13.2517 14. 1 15. 29π 16. 10或2 三、解答题：17.【解析】（1）由A c a sin 23=及正弦定理得，A C A sin sin 2sin 3= ……1分23sin ,0sin =∴≠C A , ……3分又ABC ∆ 是锐角三角形，……4分3πC =∴ ……6分 （2）37πC c==， 由面积公式得233sin 21=C ab ,即6=ab ……7分由余弦定理得C ab b a ccos 2222-+=,即722=-+ab b a ……9分()252=+∴b a ,即5=+b a ……12分18.【解析】=)(x f 2cos 1(2x sin x +cos )x -cos2x)+12sin2x12=sin 2x 2x -+cos 122x +sin2x32sin +=x cos2x=2sin (2)3x π+．……………………………………4分 （1）函数f(x)的最小正周期22T π==π．………………………………6分（2）由2k π2223x kππ-≤+≤π(2k π+∈Z ), …………7分解得k π512x k π-≤≤π12k π+,∈Z . …………9分又π≤≤x 0120π≤≤∴x 或ππ≤≤x 127…………11分∴函数)(x f 在],0[π∈x 上的单调递增区间为]12,0[π和],127[ππ．……………………12分19. 解：(1)当0<x 时,0)(=x f ；2)(=x f 无解 ………………………………2分当0≥x 时,x xx f 313)(-=,由条件可知2313=-xx即 013232=-⋅-x x 解得213±=x ,因为03>x , 所以213+=x解得)21(log 3+=x ………………………………………5分(2)当]2,1[∈t 时,0)313()313(322≥-+-t tt t t m ,即0)13()13(24≥-+-t t m即)13()13(42--≥-t t m ,因为0132>-t所以)13(2+-≥t m …………………8分因为]2,1[∈t ,所以]10,82[)13(2--∈+-t ………………………………11分 所以实数m 的取值范围是),10[+∞-………………………………………12分20.【解析】（1）分别取BE ，CE 中点M ，N ，连接AM ，MN ，DN ，由已知可得△ABE ，△DCE 均为腰长为4的等腰直角三角形， 所以AM ⊥BE ，且AM ＝22．又∵平面ABE ⊥平面BCE ，且交线为BE ， ∴AM ⊥平面BEC ，同理可得：DN ⊥平面BEC ，且DN ＝22． ∴AM ∥DN ，且AM ＝DN ，∴四边形AMND 为平行四边形．∴AD ∥MN ，又∵MN ⊂平面BEC ，AD 平面BEC ，∴AD ∥平面BEC ． ………………6分（2）点E 到平面ABC 的距离，也就是三棱锥E －ABC 的高h ．连接AC ，MC ，在Rt △EMC 中有MC ＝EM 2＋EC 2＝210，在Rt △AMC 中有AC ＝AM 2＋MC 2＝43．可得AC 2＋AB 2＝BC 2，所以△ABC 是直角三角形．由V E —ABC ＝V A —BEC 得 1 3· 1 2AB ·AC ·h ＝ 1 3· 12BE ·EC ·AM ，可知h ＝463．∴点E 到平面ABC 的距离为463． ………………12分21.【解析】（1）1=a ，1ln )(2+-=x x x f ，0)1(=f ………………1分x xx f 21)(-='，1)1(-='=f k 切………………2分 所以)(x f 的图像在点1=x 处的切线方程为)1(--=x y ，即01=-+y x ………………3分 （2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax ax x x f 22121)(-=-='当0≤a 时，0)(>'x f ，所以函数)(x f 在),0(+∞上单调递增； ………………4分当0>a 时，0)(='x f ，ax 21=………………5分 AC D B B C E E A D M NBC EADM7分（3）由（2）当]0,2(-∈a 时，函数)(x f 在区间]1,0(上单调递增，)(x f 的最大值为a f 22)1(-= 对任意]0,2(-∈a ，都存在]1,0(0∈x ，不等式0)(0>+x f me a 都成立等价于对任意]0,2(-∈a ，不等式022>-+a me a都成立， ………………8分不等式可化为ae a m 22->， ………………9分 记a e a a g 22)(-=，]0,2(-∈a ，则024)22(2)(2>-=--='aa a a e ae e a e a g ………………10分 所以ae a a g 22)(-=在]0,2(-∈a 单调递增，所以2)0()(max -==g a g ………………11分所以实数m 的取值范围是),2(+∞-………………12分22．【解析】（1）直线l 的普通方程为()13-=x y ，……………1分1C 的普通方程为122=+y x ．………………2分222y x +=ρ，所以1C 的极坐标方程为12=ρ，即1=ρ………………3分联立方程组()⎩⎨⎧=+-=,1,13y 22y x x ，解得l 与1C 的交点为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21,0,1B A ，则1=AB ……………5分（2）曲线2C 参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin 23,cos 21θθy x （θ为参数），……………7分故点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθsin 23,cos 21， 从而点P 到直线l 的距离是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=24sin 24323sin 23cos 23πθθθd ……………9分 由此当14sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-πθ时，d 取得最小值，且最小值为()1246-．……………10分 23．【解析】（1）由62≤+-a a x 得a a x -≤-62， ∴a a x a -≤-≤-626，即33≤≤-x a ，∴23-=-a ，∴1=a ；………………5分 （2）由（1）知112)(+-=x x f ，令)()()(n f n f n -+=ϕ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤--≤-=+++-=21,422121,421,4221212)(n n n n n n n n ϕ，∴)(n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围),4[+∞．………………10分。
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北京市朝阳区2019学年度高三年级第一学期期中统一考试
数学试卷（理科） 2019.11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1
．设集合2{|0}P x x =-
≤，0.53m =，则下列关系中正确的是
（A ）m P Ü （B ）P m ∉ （C ）P m ∈ （D ）m P Ô
2．命题“存在0x R ∈，使得02x ≤0”的否定是. （A ）不存在0x R ∈，使得02x 0> （B ）存在0x R ∈，使得02x ≥0 （C ）对任意的x R ∈，有2x ≤0 （D ）对任意的x R ∈，有2x 0>
3．已知函数2 (0),() (0).
x x f x x x ìïï=íï<ïî≥ 则[(1)]f f -= （A ）1 （B ）1- （C ）3- （D ）5 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =
（A ）54 （B ）68 （C ）72 （D ）90 5．已知非零向量a ，b ，则“a
b ”是“+=0a b ”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
6．若关于x 的方程||220x x a +-=有两个不等的实数解，则a 的取值范围是 （A ）(,
1)-? （B ）1
(,
)2
-? （C ）1[,)2
+? （D ）(1,)+?
7．已知(2cos , 2sin )q q =a ，(, )2
p q p Î，(0,1)=-b ，则向量a 与b 的夹角为
（A ）θπ-23 （B ）θπ+2 （C ）2
π
θ- （D ）θ
8.若函数2(12)()2()a x
f x x a -=+的图象如图所示，则a 的取值范围是
(A) （1，+∞） (B) （0，1）
(C) （0，12） (D) 1
(, )2
-?
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
考生请务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．已知1
sin 2a =
，则cos(π2)a -= .
10．由直线x y =与曲线2
x y =所围图形的面积=S ．
11．函数x x f ln )(=的图象在点(,())e f e 处的切线方程是 .
12.已知O 是ABC ∆内部一点，OA OB OC ++=0uu r uu u r uuu r ，2AB AC
?uu u r uuu r
，且60BAC
?o ，
则||||AB AC =uu u r uu u r
； OBC ∆13．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ．
14．一个计算装置有两个数据输入端口I ，Ⅱ与一个运算结果输出端口Ⅲ，当Ⅰ，Ⅱ分别输入正整数, m n 时，输出结果记为(, )f m n ，且计算装置运算原理如下：
1
-1
O
①若Ⅰ，Ⅱ分别输入1，则(1,1)1f =；
②若Ⅰ输入固定的正整数m ，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出的结果比原来增大3； ③若Ⅱ输入固定的正整数n ，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来的3倍.
则(, 1)f m = ，若由(, 1)f m 得出(, )f m n ，则满足(, )30f m n =的平面上
的点(, )m n 的个数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin 25
A =，且5=bc ． （Ⅰ）求cos
2
A
的值和ABC ∆的面积； （Ⅱ）若2
2
26b c +=，求a 的值． 16．（本小题满分13分）
已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，124a a +=，39a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 满足9log n n b a =， 求数列{}n b 的前n 项和n S . 17．（本小题满分13分）
设函数3
()f x ax bx c =++(0)a ≠是定义在R 上的奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线方程是640x y ++=. （Ⅰ）求a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值.
18．（本小题满分13分）
已知函数.cos sin )3
2cos()(22x x x x f -+-
=π
（I ）求出)(x f 的最小正周期及函数()f x 图象的对称中心；
（II ）设()()g x f x ϕ=+，若函数()g x 为偶函数，求满足条件的最小正数ϕ的值. 19．（本小题满分14分）
已知函数bx ax x f +=2
)(（b a ,为常数，且0≠a ）满足条件(1)(1)f x f x -=+，且函数()()g x f x x =-只有一个零点． （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）求实数, m n （n m <），使得)(x f 的定义域为[, ]m n 时，()f x 的取值范围是
[3, 3]m n .
20．（本小题满分14分）
已知函数()ln f x x =，2
1()2
g x ax bx =
+（0a ¹）. （I ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求实数b 的取值范围；
（II ）在（I ）的结论下，设函数2()e e x
x x b j =+，[0,ln 2]x Î，求函数()x j 的最小
值（用含b 的式子表示最小值）；
（III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M ，N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在
N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.。