2020年鼎城一中高二假期高考数学模拟试卷(五)数学试题答案

绝密★启用前2020鼎城一中高二质量检测（五)数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．（5分）集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个．2．（5分）已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（） A ．1 B ．2 C ．12D ．4【答案】B 【解析】 【分析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】请在此输入详解！ 3．（5分）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825C ．1D ．1625试卷第2页，总18页【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．4．（5分）已知,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面,则//m n 的充分条件是（ ）A ．,m n 与平面α所成角相等B ．//,//m n ααC ．//,,m m n αβαβ⊂⋂=D ．//,m n ααβ=I【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可. 【详解】对于A ，若,m n 与平面α所成角相等，则,m n 可能相交或者异面，故A 错； 对于B ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交或者异面，故B 错；对于C ，若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，由线面平行的性质定理可得//m n ，故C 正确； 对于D ，若//,m n ααβ=I ，则,m n 可能异面，故D 错； 故选：C 【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题5．（5分）已知AB 是圆心为C 的圆的条弦,且9·2AB AC =u u u v u u u v ,则AB =u u u v （ ） A B ．3 C ．D ．9【答案】B……○………_______……○………【解析】 【分析】过点C 作CD AB ⊥于D ，可得12AD AB =，在Rt ACD ∆中利用三角函数的定义算出1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==u u u r u u u r u u u r ，再由向量数量积的公式加以计算，结合92AB AC =u u u r u u u r g 即可求解. 【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，Rt ACD ∆中，12AD AB =，1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==u u u r u u u r u u u r ，291cos 22AB AC AB AC CAB AB ==∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ,解得3AB =u u u r.故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题.6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．25【答案】B 【解析】 【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解 【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数 这10个数中随机抽取一个数，试卷第4页，总18页…订…………○………※内※※答※※题※※…订…………○………则它小于8的概率是63105P ==． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题 7．（5分）函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c < 【答案】C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像8．（5分）已知函数()2cos f x x =-，若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x …的解集是（ ） A ．()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．()3,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()37,84k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()52,262k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则求得()g x 的解析式，再根据余弦函数的性质解不等式即可. 【详解】解：将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 26y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由()1g x „，得2cos 216x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭„，得1cos 262x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，则22222363k x k πππππ-++剟，()k Z ∈，得()5124k x k k ππππ-+∈Z 剟. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查推理论证能力与运算求解能力.9．（5分）已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ） A ．22+ B ．2C D ．4+【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得21||||2MP PF MP PF a +=++，又11||MP PF MF +≥ 即可得到关于e 的方程，解得. 【详解】解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a a c+==…， 22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，试卷第6页，总18页解得42e +=或42e -=，所以42e +=. 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想. 10．（5分）已知函数()12121xf x x =+++，且()()223f a f a +>，则a 的取值范围是（ ）A ．()(),31,-∞-⋃+∞B ．()(),20,-∞-+∞UC ．()2,0-D ．()1,3-【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数()()32g x f x =-，研究函数奇偶性，再利用导数研究其单调性，最后根据奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】∵()()1121212121x x f x f x x x -+-=+++-+++12232112xx x=++=++， 所以函数()f x 关于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()()22ln 2ln 2ln 222201421222x x x x f x '=-=-≥->+++， ∴函数()f x 单调递增. 设()()32g x f x =-，则()g x 为奇函数且单调递增， 由()()223f a f a +>，得()()220g a g a +>，∴()()()222g ag a g a >-=-，∴22a a >-，220a a +>， 解得2a <-或0a >. 故选：B………外…………○学………内…………○【点睛】本题考查函数奇偶性以及利用导数研究函数单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.11．（5分）已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是( ) A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出1y kx =+与()f x 的两段图像相切的斜率即可求出k 的取值范围. 【详解】直线10kx y +-=关于直线1y =的对称直线为10kx y -+-=， 则直线10kx y -+-=与()y f x =的函数图像有4个交点， 当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10kx y -+-=的函数图像，如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，试卷第8页，总18页则111111ln 2ln 1x kx x x kx -=⎧⎨-=+⎩ ，解得11,1x k ==， 设直线1y kx =+与()2302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ， 则22222322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得211,2x k =-=，Q 1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有2个交点，112k ∴<< 故选：A 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.第II 卷（非选择题)二、填空题12．（5分）曲线y ＝x(3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线的斜率为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求导函数，利用导数的几何意义，求出在点（1，1）处的切线的斜率． 【详解】y ＝x （3lnx +1）的导函数为：y ′＝3lnx +4， 当x ＝1时，y ′＝4，曲线y ＝x （3lnx +1）在点（1，1）处的切线的斜率为：4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题． 13．（5分）若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______.【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】 【分析】求出函数()f x 的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[]0,π上，第四个零点在区间[]0,π外即可． 【详解】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =，∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<．故答案为：4[,2)3． 【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间[]0,π上．由此可得ω的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题． 14．（5分）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______. 【答案】5513π【解析】 【分析】求出()f x 的对称轴，结合所给的区间，根据图象的最高点和最低点的个数，以及函数的对称性可以求出()12n n S x x -+的值.试卷第10页，总18页【详解】由2,()62x k k Z πππ-=+∈得对称轴为3+2,()6k x k Z π=∈，周期为π，根据正弦函数图像性质，得20,n =12226x x π+=⨯，23526x x π+=⨯，34826x x π+=⨯，231126x x π+=⨯，…，19185326x x π+=⨯，19205626x x π+=⨯，()23344112181959201)))2((()()()(n n S x x x x x x x x x x x x x x -+=++++++++++++L 255611122191918666322ππ⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5513π=.故答案为：5513π【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了数学运算能力.15．（5分）设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆等边三角形，45ACB ∠=︒，则当三棱锥P ABC -的体积最大时，球O 的表面积为______. 【答案】283π 【解析】 【分析】由题意可求2AB =，故当CA CB =且平面PAB ⊥底面ABC 时，三棱锥P ABC -的体积最大.分别求出PAB ∆和ABC ∆外接圆的半径，即可求得外接球的半径与表面积. 【详解】解：如图，由题意得24AB =，解得2AB =. 当CA CB =且平面PAB ⊥底面ABC 时，三棱锥P ABC -的体积最大.分别过PAB ∆和ABC ∆的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心O ，设PAB ∆和ABC ∆的外接圆半径分别为1r ，2r ，球O 的半径为R ，则1r =，2122sin 45r =⨯=︒. 故222211172233R r r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，球O 的表面积为22843R ππ=.…………○………………○……故答案为：283π 【点睛】本题考查三棱锥的体积与球体的表面积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于难题.三、解答题16．（15分）某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠?（参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-）（参考数据：511319i ii x y==∑，521598ii x==∑）【答案】（1）5ˆ32yx =-（2）得到的线性回归方程是不可靠的 【解析】 【分析】试卷第12页，总18页（1）利用回归直线方程的计算公式，计算出回归直线方程.（2）用（1）求得的回归直线方程，预测当10,8x =时，估计数据与实验数据的误差，由此判断出得到的线性回归方程不可靠. 【详解】 （1）由数据得111312123x ++==，253026273y ++==.∴3972x y ⋅=，23432x =. ∵511319i ii x y==∑，∴3113191023814977i i i x y ==-⨯-⨯=∑，由521598i i x ==∑，同理得321434ii x==∑.∴31322139779725ˆ43443223i ii ii x y x ybxx ==-⋅-===--∑∑，5ˆˆ271232ay bx =-=-⨯=-. 所以y关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-. （2）当10x =时，ˆ22y=，|2223|2-<， 当8x =时，ˆ17y=，|1714|2->. 所以得到的线性回归方程是不可靠的. 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行检测，考查运算求解能力，属于中档题.17．（15分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=. （1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 【答案】（1）5（2）【解析】 【分析】…○…………外…○…………内（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值． 【详解】 解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π- ∵()sin 220cos 0bc A B C ++= ∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭ ∴当4A π=时，c bb c+取最大值【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，这样可把22c b b c b c bc++=表示为角A 的函数，从而求得最值．18．（15分）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB =，90APB ACB ∠=∠=︒，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是BCE ∆的重心.试卷第14页，总18页…………○………要※※在※※装※※订※※线…………○………（1）证明：GF P 平面PAC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角B AP C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5【解析】 【分析】（1）根据三角形重心性质可得DE AC P ，根据三角形中位线性质得EF AP P ，再根据线面平行判定定理得DE P 平面PAC ，EF P 平面PAC ，最后根据面面平行判定定理以及性质得结果；（2）先根据面面垂直性质定理得PE ⊥平面ABC ，确定GF 与平面ABC 所成的角，再根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量数量积得各面法向量，最后根据向量夹角公式得法向量夹角，即得二面角所成角. 【详解】（1）连接EF ，连接EG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点， 从而点D ，E ，F 分别是棱CB ，AB ，PB 的中点， ∴DE AC P ，EF AP P .又DE ，EF ⊄平面PAC ，AC ，AP ⊂平面PAC ， ∴DE P 平面PAC ，EF P 平面PAC . 又DE ，EF ⊂平面PAC ，DE EF E =I ， ∴平面EFG ∥平面PAC ， 又GF ⊂平面PAC ， ∴GF P 平面PAC .（2）连接PE ，∵PA PB =，E 是AB 的中点，∴PE AB ⊥， ∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE⊂平面PAB ，PE ⊥平面ABC .连接CG 并延长交BE 于点O ，则O 为BE 的中点， 连接OF ，则OP PE P ，∴OF⊥平面ABC .∴FGO∠为GF 与平面ABC 所成的角，即60FGO ∠=︒. 在Rt FGO ∆中，设2GF =，则1OG =，OF =，∴3OC =，PE =∴AB =CE =OE = ∴222OE OC CE +=，即OC AB ⊥， 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,A -，()3,0,0C ，(0,P.∴()AC =u u u r ，(AP =u u u r，设平面PAC 的一个法向量为()1,,n x y z =u r，则11300n AP x n AC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，可取)11,1n =-u r ， 又平面PAB 的一个法向量为()21,0,0n =u u r，则121212cos ,5n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ， 所以二面角B AP C --的余弦值为5. 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面平行判定定理、面面垂直性质定理、线面角以及二面角，考查综合分析求证与求解能力，属中档题. 19．（15分）设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围； （2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析 【解析】 【分析】试卷第16页，总18页（1）求出导函数()f x '，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解； （2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭可证结论． 【详解】（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10f x x '=-≤，即a ≥在()1,+∞上恒成立 因为y =在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以1nm> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减 所以()1n f f m ⎛⎫<⎪⎝⎭即ln210nm ⎫-<⎪⎪⎭所以2ln ln n m +<. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．20．（15分）已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程.【答案】（1）()221243x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】 【分析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得()2234690my my ++-=，设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y ，由12MN y =-求出MN ，将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算||||TF MN ，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),P x y ，则34PA PB k k ⋅=-，即()3224y y x x ⋅=---- 整理得()221243x y x +=≠±（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++= 即()2234690m y my ++-=设()12,M xy ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m - ∴TF ==∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝设t =.显然1t ≥ 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭试卷第18页，总18页()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”即||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．。