高三数学任意角的三角函数知识精讲

高三数学任意角的三角函数

【本讲主要内容】

任意角的三角函数

角的概念的推广、弧度制、六种三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式。

【知识掌握】

【知识点精析】

1、角的概念的推广：“旋转”形成角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α，旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。

2、“正角”与“负角”“0角”：

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，

角，如图，以OA

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫

∠可以简记成α。

做零角。记法：角α或α

3、终边相同的角：

β|＝与α角终边相同的角的集合，连同α角在内（而且只有这样的角），可以记为{βk·360°＋α，k∈Z}。即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

4、“象限角”：

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）注意以下几点：

k∈

（1）Z

（2）α是任意角；

（3）k·360°与α之间是“+”号，

如k·360°－30°，应看成k·360°+（－30°）；

注意：终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

5、区间角、区间角的集合：角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角。由若干个区间构成的集合称为区间角的集合。

6、弧度制：

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。

如下图，依次是1rad ，2rad ，3rad ，αrad

注意：

⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）。

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0。 ⑶角α的弧度数的绝对值 r

l

=

α（l 为弧长，r 为半径）。 ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）。 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 7、弧度换成角度公式：

1弧度＝

π

180

°≈57.30°=57°18ˊ

8、角度换成弧度公式： 1°＝

π

180

≈0.01745

在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略。 9、弧长公式：r l

⋅=||α 扇形面积公式：

2||2

1

r s ⋅=

α扇形 初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180r n l π=；360

2

R n S π=扇

10、三角函数：（六种三角函数的定义）

设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离0222

2>+=+=

y x y x r

比值r y

叫做α的正弦 记作：r y =αsin 比值r x

叫做α的余弦 记作：r x =

αcos 比值x

y

叫做α的正切 记作：x

y =

αtan 比值

y x

叫做α的余切 记作：y x =αcot 比值

x r

叫做α的正割 记作：x

r =αsec 比值

y r

叫做α的余割 记作：y

r =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数。 ①角是“任意角”，当β=2k π+α（k ∈Z ）时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数。

④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。 ⑤定义域：

r y =

αsin R y

r

=αcsc {}Z k k ∈≠,|παα r x =

αcos R x r =αsec ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα x y =

αtan ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα

y

x

=

αcot {}Z k k ∈≠,|παα 11、三角函数在各象限的符号：

12、同角三角函数的基本关系式：（三组八式）

αααtan cos sin = αα

α

cot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α

1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα

13、诱导公式：

概括为：“奇变偶不变，符号看象限”

【解题方法指导】

例1. 已知α是第二象限角，问

2

α是第几象限角？2α是第几象限角？分别加以说明。