探讨种群的增长速率曲线和增长率曲线
种群数量增长的S型曲线中增长率和增长速率的区分
种群数量增长的S型曲线中增长率和增长速率的区分
在学习种群的数量增长曲线时，很多学生对增长率和增长速率不理解，而在习题中也往往将二者混为一谈，实际上二者是有区别的，现将二者区别总结如下。
1.增长率：增长率是指单位时间种群增长数量，[增长率＝出生率—死亡率＝出生数－死亡数）/（单位时间×单位数量）]。
在“J”型曲线增长的种群中，增长率保持不变；而在“S”型增长曲线中增长率越来越小。
2.增长速率：增长速率是指单位时间内种群数量变化率，[增长速率＝（出生数－死亡数）/单位时间]。
种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J”型曲线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。
在“J”型曲线增长的种群中，增长速率是逐渐增大。
在“S”型曲线增长的种群中，“增长速率”是该曲线上“某点”的切线的斜率，斜率越大，增长速率就越大，且斜率最大时在“ 1/2K”。
之后增长变慢，增长速率是逐渐减小。
在“S”曲线到达K值时，增长速率就为0。
在“J”型增长曲线中，每年的增长率不变；由于“J”型增长曲线的斜率是在不断变化的，逐渐增大，直至无穷，所以其增长速率也就不断增大。
在“S”型增长曲线中，每年的增长率由最初的最大值，在环境阻力（空间压力、食物不足等）的作用下，导致出生率下降、死亡率上升，种群数量到达最大值（K值），其增长率不断下降至0，故在“K”时，其增长率为0；而增长速率会有先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线，即在“S”型曲线中，开始时斜率为0，斜率逐渐增大，增长速率也就越大，且斜率在1/2K时最大，即在“ 1/2K”时增长速率最大，过后，斜率下降，在K值时降至为0，故在“K”时，其增长速率为0。
种群增长率和增长速率的比较
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
种群的增长率和增长速率的相关计算
J型曲线和S型曲线增长率和增长速度的辨析___________教学疑难问题简析增长率和增长速率这两个概念在习题中经常把增长率看作增长速率，这种模糊处理没有科学性。
包括很多教辅资料都没有很好区分，这对学生甚至教师来说非常困惑。
增长率是个百分率，没有“单位”，而增长速率有“单位”，“个（株）/年”。
例如：“一个种群有1000个个体，一年后增加到1100”，则该种群的增长率为[（1100-1000）/1000]*100%=10%。
而增长速率为 （1100-1000）/1年=100个/年。
增长率和增长速率没有大小上的相关性。
因此，区分增长率和增长速率这两个概念，正确理解概念的内涵，进行有效的教学具有中的意义。
一、概念增长率：增长率是指单位时间内种群数量变化率，即种群在单位时间内净增加的个体数占个体总数的比率。
增长率＝（现有个体数－原有个体数）／原有个体数＝出生率—死亡率＝（出生数－死亡数）/（单位时间×单位数量）。
在“J”型曲线增长的种群中，增长率保持不变；而在“S”型增长曲线中增长率越来越小。
增长速率：增长速率是指单位时间种群增长数量。
增长速率＝（现有个体数－原有个体数）／增长时间=（出生数－死亡数）/单位时间]。
种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J”型曲线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。
在“J”型曲线增长的种群中，增长速率是逐渐增大。
在“S”型曲线增长的种群中，“增长速率”是该曲线上“某点”的切线的斜率，斜率越大，增长速率就越大，且斜率最大时在“ 1/2K”。
之后增长变慢，增长速率是逐渐减小。
在“S”曲线到达K值时，增长速率就为0.二、分析过程（一）对Ｊ型曲线的分析１．模型假设的条件在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年是第一年的λ倍。
其数学模型为：N t=N﹠t２．对模型假设的分析从模型假设不难得出λ=现有个体数／原有个体数。
“J”和“S”型曲线种群增长率和种群增长速率
“J”和“S”型曲线种群增长率和种群增长速率（1）种群增长率和种群增长速率都是反映一段时间内种群数量改变多少的参数，但实质不同。
种群增长速率指种群数量在单位时间内的改变数值（即曲线的斜率），即dN／dt，有单位（如个/年等）。
种群增长率指在单位时间内种群数量增加的量占初始数量的比例，是一个百分比，无单位。
例如，某一种群的数量在某一单位时间t（如一年）内，由初数量No（个）增长到末数量Nt（个），则这一单位时间内种群的增长率和增长速率的计算分别为：增长率＝（末数－初数）/初数×100％＝（Nt－No）／No×100％（无单位）增长速率＝（末数－初数）/单位时间＝（Nt－No）/t（有单位，如个/年）（2）比较项目“J”型曲线“S”型曲线前提条件环境资源无限环境资源有限种群增长率不变随种群密度上升而下降种群增长速率随种群密度上升而上升刚开始随种群密度上升而上升，1/2K值后下降K值（环境负荷量）无K值种群数量在K值上下波动曲线形成原因无种内斗争，缺少天敌种内斗争加剧，天敌增加（3）“S”型增长曲线的开始部分是“J”型增长曲线吗？答案是否定的。
（1）“S”型增长曲线的种群增长率是随种群密度而下降，而“J”型增长曲线的种群增长率是始终保持不变的。
（2）“J”型增长曲线是一种理想条件下的种群数量增长曲线，种群迁入的是一个食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害的理想环境，迁入后种群数量马上就会呈指数形式增长，不存在适应过程；而“S”型增长曲线的前段是种群对新环境的一个适应阶段。
（4）具体应用：防治病虫害（“S”型曲线中0--1/4K，相当于种群生长的调整期，且越接近0越好）鱼类捕捞最佳时期的选择：“S”型曲线中1/2K附近，相当于种群生长的对数期）种群数量变化学习中的几个误区分析湖北省恩施清江外国语语学校 彭邦凤 种群数量的变化规律在生物群落的演替、种群变化的预测以及农业生产中存在着广泛的应用，是生物高考的一个重要考点。
种群增长率与增长速率辨析
J型曲线和S型曲线增长率和增长速率辨析[摘要]：种群增长率和增长速率这两个概念在习题中经常被混为一谈。
在“J”型曲线增长的种群中，增长率保持不变；而在“S”型增长曲线中增长率越来越小。
在“J”型曲线增长的种群中，增长速率是逐渐增大。
在“S”型曲线增长的种群中，“增长速率”是该曲线上“某点”的切线的斜率，斜率越大，增长速率就越大，且斜率最大时在“ 1/2K”。
之后增长变慢，增长速率是逐渐减小。
在“S”曲线到达K值时，增长速率就为0.[关键词] ：“J”型增长曲线；“S”型增长曲线；增长速率；增长率种群增长率和增长速率这两个概念在习题中经常被混为一谈，包括很多资料都没有很好区分，这种模糊处理经常使学生对种群的增长情况的分析出现错误。
所以，本文重点从概念区分、图形分析等角度来区分种群的增长率和增长速率。
一．概念区分增长率是指单位时间内种群数量变化率，即种群在单位时间内净增加的个体数占个体总数的比率。
增长率＝（现有个体数－原有个体数）／原有个体数＝出生率—死亡率＝（出生数－死亡数）/（单位时间×单位数量）。
增长速率是指单位时间种群增长数量。
增长速率＝（现有个体数－原有个体数）／增长时间=（出生数－死亡数）/单位时间]。
种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J”型曲线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。
二．图形分析1.对Ｊ型曲线的分析1.1模型假设在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年是第一年的λ倍。
1.2．对模型假设的分析从模型假设不难得出λ=现有个体数／原有个体数。
结合增长率的概念和定义式不难看出，此时增长率等于（λ-1），λ不变，增长率（λ-1）也就不变。
再看增长速率，由于一段时间内种群内个体基数不断增大，故这段时间内净增加的个体数（Ｎｔλ－Ｎｔ）不断增多，除以时间以后即为增长速率，可以看出增长速率是不断增大的。
横轴表示时间，纵轴表示种群数量，在坐标系中画出曲线，那么曲线的斜率就应该是种群增长速率而不是增长率。
议一议种群增长率和增长速率
议一议种群增长率和增长速率【摘要】研究种群数量增长时，涉及到两个非常重要的概念，即增长率和增长速率，本文针对这两个概念再进行讨论一下，以供同行参考。
【关键词】增长率；增长速率【中图分类号】g623.58【文章标识码】c 【文章编号】1326-3587（2011）11-0020-02关于增长率和增长速率的争论，从来就没有停止过，很多资料说法不一，就连高考题中，也把它们混为一谈，给广大教师及考生带来不便，下面针对这两个概念笔者谈谈自己的看法。
一、两个概念的定义种群增长速率是指种群在单位时间内的增长量，而增长率是指在单位时间内单位数量上的增长量，也就是出生率减去死亡率。
不妨设种群在t1时数量为n1，在t2时数量为n2，则t1→t2这段时间内种群的增长速率为（n2﹣n1）/（t2﹣t1），种群的增长率为（n2﹣n1）/〔n1（t2﹣t1）〕，很明显两者的关系是：增长速率除以增长前的种群数量就是增长率。
二、几种种群增长理论模型下的增长率与增长速率1、种群的指数增长。
在无限环境（环境中的空间、食物等资源是无限的）或近似无限环境条件下，一些种群的数量按指数增长，其增长曲线像”j”型，也叫“j”型增长。
指数增长又分为世代分离种群的指数增长和世代重叠种群的指数增长。
1.1 世代分离种群的指数增长。
如果所研究的种群为世代不重叠的生物，即一个世代只生殖一次，那么有公式nt =n0λt式中：n0为该种群的起始数量，是个定值；t为世代，是个变量；λ为世代的净繁殖率，是个定值；nt为t世代种群大小，是个随t 变化而变化的变量。
种群的增长速率等于（nt+1－nt）/〔t+1）－t〕= n0λt+1－n0λt = n0λt（λ－1），而种群增长率等于增长速率除以增长前的种群数量，即n0λt（λ－1）/ n0λt =λ－1。
很明显种群的增长速率随t的增大而增大，但增长率是不变的。
1.2 世代重叠种群的指数增长。
大多数种群的繁殖都要延续一段时间并且有世代重叠，就是说在任何时候，种群中都存在不同年龄的个体。
种群的增长率和增长速率有什么区别？
种群的增长率和增长速率有什么区别？在教学过程中，涉及到种群数量变化的“J”型曲线和“S”型曲线中有关增长率和增长速率的问题，有些老师讲不清楚，学生也感到困惑。
那么增长率和增长速率到底是怎么一回事？我谈下自己的一些看法。
一、两个概念之间的比较1、种群增长率是指单位数量的个体在单位时间内新增加的个体数，计算公式：种群增长率=（Nt2-Nt1）/Nt1。
如某种群现有数量为a，一年后，该种群数量为b，那么该种群在当年的增长率为（b-a）/a，设一年后出生的个体数为c，死亡的个体数为d，则b=a+c-d，增长率=（b-a）/a=（a+c-d-a）/a=c/a-d/a，根据出生率和死亡率的概念，c/a，d/a分别为出生率和死亡率，即增长率=出生率-死亡率。
2种群增长速率是指单位时间内新增加的个体数，计算公式：种群增长速率==（Nt2-Nt1）/t2-t1。
同样，如果某种群现有数量为a，一年后，该种群数量为b，其种群增长速率为：（b-a）/年。
由此可知，增长速率≠增长率。
二、对两种曲线的理解1、种群增长的“J”型曲线—指数级增长（1）环境条件：没有任何限制因素。
在这种条件下，影响种群数目变动的因素只有自然出生率和死亡率，由于环境能提供足够的充裕的生活条件（这种条件的环境在自然界几乎不存在），种群内不同个体的生理寿命长，因而出生率远大于死亡率，其种群数目连续增长而没有下降。
（2）“J”型数量增长的两种情况A、实验室条件下；B、当一种种群刚迁入一个新的适宜环境时。
（3）种群数量的变化表达式数学表达式：Nt=N0λt2、种群增长的“S”型曲线（1）产生的原因：在自然界中，食物有限，空间有限，又存在该种生物的天敌，还有疾病，自然灾害等，也就是是所谓的“环境阻力”，这些因素的存在都会使一个自然的种群不可能按“J”型曲线增长，（2）环境容纳量——K值一定空间中所能维持的种群的最大数量称为K值。
当种群数量达到环境条件所允许的最大值时，种群数量将停止增长，并维持在K值范围附近。
种群增长率
种群的增长速率曲线和增长率曲线再探讨浙江省绍兴县柯桥中学叶建伟摘要到目前为止，种群增长率曲线和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料中还没有一个较为统一的说法，本文就种群增长率曲线和增长速率曲线进行了探讨。
关键词种群增长速率曲线增长率曲线探讨种群的增长方式包括指数增长（“J”型增长）和逻辑斯谛增长（“S”型增长），前者是在理想状态下，即资源无限、空间无限和不受其他生物制约的条件下产生的，后者是在现实状态下，即资源有限、空间有限和受其他生物制约的条件下产生的。
若以时间为横坐标，种群中个体数量为纵坐标，那么两种增长曲线如图1所示。
对于上述两种增长方式，需要区别种群增长率和增长速率的变化，但是到目前为止，对于种群增长率和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料中还没有一个较为统一的说法，对此，笔者查阅相关资料，同时结合自己多年的教学实践，谈谈自己的看法。
1 种群增长速率和增长率的定义种群增长速率是指种群在单位时间内增加的个体数量，其计算公式为：增长速率 =（现有个体数－原有个体数）／增长时间，单位可以用“个/年”表示。
种群增长率指种群在单位时间内净增加的个体数占原个体总数的比率，其计算公式为：增长率 =（现有个体数－原有个体数）／（原有个体数·增长时间），单位可以用“个/个·年”表示。
种群的出生率减去死亡率就是种群的自然增长率[1]。
2 指数增长的增长速率和增长率种群在理想条件下呈指数增长，其增长曲线符合指数函数N t=N0λt或N t+1=N tλ（N为种群个体数，N 0为起始种群个体数，t为时间，λ为种群周限增长率，下同），其中λ具有开始和结束时间，它表示种群大小在开始和结束时的比率。
若以年为时间单位，指数增长种群的增长速率为：（N0λt+1－N0λt）个/年=N0λt（λ－1）个/年，所以指数增长种群的增长速率随时间变化呈等比数列，公比为λ，其通项公式为：= N0（λ－1）λt（表示种群增长速率）。
生物种群增长率与增长速率的差别
图：“J”型增长，还是“S”型增长?为什么?
解答：一开始应该是J型增长。这时条件适宜，营养物质、氧气充足，繁殖速度快。
【答案】B
【例】某研究所调查发现：某种鱼迁入一生态系统后，其种群数量增长速率随时间变化的曲线如下图所示，请分析回答：
（1）t0至t2时间内，种群数量增长曲线呈______________________；在t2时种群的数量为N，则在t1时种群的数量为________，t1时该种群的年龄组成可能为________型。
解答：捕捞量应该是300吨。理由：题目中提到的“每年最多可新增300吨”，所说的300吨并没有说是沙滩环境最大的容纳量，因此不能按照K/2的算法，另外，为了不影响可持续发展，每年的捕捞量不可能高于300吨，如果高于300吨的话，那就说明沙滩上黄泥螺的总量会初年减少，最终会减少至0。
4．当种群数量达到K值时，可能出现的现象是
7．人类作为生态系统中的一员，为什么其种群的增长不呈S型曲线增长，而是呈J型曲线增长？
解答：因为人适应环境的能力要远远大于其它动物。比如食物：当动物缺少食物时就会发生种内斗争使数量下降；而人却可以通过科学知识来提高粮食的产量获取食物，人具有改造自然的能力，具有主观能动性。所以现在有一句话说的很好“如果地球得了癌症，那么癌细胞就是人类” 。
A．生态因素对该种群的影响没有作用
B．种群的增长率保持稳定
C．出生率再也不会超过死亡率
D．食物将不再是限制种群发展的因素
解答：答案是B。种群达到K值后，由于环境阻力的增大（空间压力、食物不足、天敌增多等）会导致死亡率上升，出生率下降，种群数量将在K值上下波动。此时的出生率等于死亡率，此时种群数量达到最大值，增长率为零。
种群增长率与增长速率之辨析
模 型。
数量 的比例。所 以它 是没 有具 体单 位 的 ， 它 一般 用百 分 比来 表示。在不考 虑迁 入和迁 出的情 况 下 ， 种 群增
２ ． １ Ｊ 型 曲线显 示的种群 增长率和种群增长速率 分 析Ｊ 型 曲线 ， 设原有种 群数量为 Ｎ 。 ， 单 位时间后种群数 量为 Ｎ， 那么 Ｎ＝ｈ Ｎ ０ ， 是恒值 。那 么 Ｊ 行 曲线 种群增
・
７ ２・
生物 学教 学 ２ ０ １ ３ 年（ 第３ ８ 卷） 第４ 期
种 群 增 长 率 与 增 长 速 率 之 辨 析
马 士 杰 （ 山 东 省 滕 州 市 第 一 中 学２ ７ ７ ５ ０ ０ ）
种 群增 长率 与增 长 速率 是 两 个很 容 易混 淆 的概 念， 虽然 只有一字 之差但 有着 本质 的 区别 。本文 对这 两概念进行 简要辨析。
２ ｏ ０ ９ ． 性 学观止（ 插 图第 ６版） ．北京 ： 世界图书出版公 司北 京公
限， 存在环境 阻力的情 况下 种群的增长 模型 ， 又称为密 ２ 卵巢 与睾丸的下降
型 曲线 的一种修 正 ， 增 加 了环境 因子 （ １ 一Ｎ ／ Ｋ） ， 也 可 以说成剩余 空间。ｓ型 曲线 的种 群增长 率 ｒ ＝（ １ 一Ｎ ／ Ｋ） ｒ ０ ， 随着 Ｎ的增加 增长率 ｒ 是 一直减 小的 。ｄ Ｎ ／ ｄ ｔ 指
１ 何谓种群增 长率和种群增长速率 １ ． １ 种 群增长 率和种群 增长速 率 的概念 种 群增长 率指 的是单 位时 间 内， 一 个种 群 的增 长量 和原有 种群
度 制约型 增长模 型 ， 也就是 ｓ型增长 是与种 群密 度存
关于种群“增长率”和“增长速率”的精彩解析
（2）数量变化特点：
①食物和空间条件充裕； 每年以一定的倍数
②气候适宜；
增长；第二年是第
③没有敌害；
一年的 λ 倍。
④没有迁入迁出等。
（3）指标解读: ①λ= 现有个体数／原有个体数 ②增长率= （现有个体数-原有个体数） ／原有个体数 =λ - 1 J型曲线中λ是定值，故增长率也是恒定的
种群数量
增长率
时间
（3）指标解读: ③增长速率= （现有个体数-原有个体数）/时间
由于一段时间内种群内个体基数不断增大， 故这段时间内净增加的个体数（Nt λ －Nt）不 断增多，净增加除以相同的时间，则增长速率 是不断增大的。
种群数量
增长速率
N0
时间
数学模型：Nt = N0λt
四、S型曲线下的相关指标解读
增长率和增长速率
一、概念不同 1、增长率：单位数量的个体在单位时间内新 增加的个体数。 2、增长速率：单位时间内增长的数量。
二、公式不同 1、增长率=（现有个体-原有个体）增长前的值）/时间
三、J型曲线下的相关指标解读
种群数量
时间
（1）条件分析：
资源有限，出生率越来越低，死亡率越来越高， 增长率持续降低，K值时增长率降成0.
种群数量
五、小结
增长速率
种群数量
增长率
时间
增长速率
时间
J型曲线： 增长率保持不变； 增长速率一直增大。 曲线的斜率表示增 长速率。
S型曲线： 增长率与种群数量成反比， 不断减小； 增长速率先增大后减小。 曲线的斜率表示增长速率。
种群数量
（1）条件分析：
①食物和空间条件 有限；②有天敌；
时间
（2）数量变化特点： 早期增长慢，中期增长 快，后期增长慢，最终 保持现对稳定。
种群增长率与种群增长速率研究报告
AB，并过A、B两点的分别向X轴和Y轴作垂线，由
图可知，BC为种群数量增加值，AC为群数量增加所
用时间，因此，过A点切线的斜率（BC/AC）应该
是种群在该时间段内的增长速度，而不是种群增长
率；该时间段内种群的增长率应该是BC/OD。
在研究种群增长或是微生物的生长规律时，一般都有增 长曲线，这只是生物数量的变化趋势，并没有直接反应生物 数量的增长率或增长速率，而且很多参考资料往往把增长率 和增长速率混为一谈，实际上它们是两个有着联系，但也有 很大不同的概念。
•
公式变形可得，“λ=1+种群增长率”，由于“J”型增长
曲线中种群增长率不变，故λ不变。
•
所以，λ为某时段结束时种群数量为初始数量的倍数，而
并非增长率。
误区三：将曲线的斜率视作增长率
•
误区分析：由于讲“J”型曲线时，又特别强调
了种群数量的增长率，由于缺乏 对曲线的细致分析，
导致误区形成。
•
正确理解：如图-1所示，过A点作A点的切线
由初数量No（个）增长到末数量Nt（个），则这一单位时 间内种群的增长率和增长速率的计算分别为：
末数－初数 增长率＝
No
＝
Nt－No No
×100％
Hale Waihona Puke ＝出生率－死亡率末数－初数 增长速率＝ 单位时间
＝ Nt－No(个) T(年)
• 误区二：
• 把种群“J”型增长公式中的“λ”当成种群增长率
•
误区分析：由种群“J”型增长曲线中种群数量变化公式：
J型曲线种群增长率保持不变,S型曲线种群增长率逐渐降 低。之所以出现前面的问题,是有些人混淆了增长率和增长速 率的概念。增长率指的是一段时间内种群增加的数量与种群 原有数量的比值。增长速率则指的是单位时间内种群增加的 数量。
种群数量增长的S型曲线中增长率和增长速率的区分
在“S”型增长曲线中，每年的增长率由最初的最大值，在环境阻力（空间压力、食物不足等）的作用下，导致出生率下降、死亡率上升，种群数量到达最大值（K值），其增长率不断下降至0，故在“K”时，其增长率为0；而增长速率会有先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线，即在“S”型曲线中，开始时斜率为0，斜率逐渐增大，增长速率也就越大，且斜率在 1/2K时最大，即在“ 1/2K”时增长速率最大，过后，斜率下降，在K值时降至为0，故在“K”时，其增长速率为0。
2.增长速率：增长速率是指单位时间内种群数量变化率，[增长速率＝（出生数－死亡数）/单位时间]。种群增长速率就是曲线上通过每一点的切线斜率，不论是“J”型曲线还是“S”型曲线上的斜率总是变化着的。在“J”型曲线增长的种群中，增长速率是逐渐增大。在“S”型曲线增长的种群中，“增长速率”是该曲线上“某点”的切线的斜率，斜率越大，增长速率就越大，且斜率最大时在“ 1/2K”。之后增长变慢，增长速率是逐渐减小。在“S”曲线到达K值时，增长速率就为0。
(此文发表在2008年08期生物学通报)
由题图可知，小球藻种群数量增长呈“S”型增长。该题所提供的答案为D，即种群数量增长率先上升后下降。该高考题所提供的这个答案与现行高中生物教材（必修第二册2004年9月第二版）中有关种群数量增长率的理解相悖。现行高中必修第二册教材P75写到：在食物、养料和空间充裕，气候适宜，没有敌害等理想条件下，种群的数量往往会出现“J”型增长，每年的增长率不变；而在自然界中，环境条件是有限的，个体间由于有限的空间、食物和其它生活条件而引起的种内斗争必将加剧，以该种群为食的捕食者的数量也会增加，这就会使这个种群的出生率降低，死亡率增高，从而使种群数量的增长率下降。当种群数量达到环境条件所允许的最大值（以K表示）时，种群数量将停止生长，有时在K值左右保持相对稳定。假定种群的增长率随着种群密度的增加而按一定比例下降，种群数量达到K值以后保持相对稳定，那么种群的这种增长方式用坐标图表示出来，就会呈“S”型曲线。
种群的增长率和增长速率
种群“增长率”和“增长速率”的区别种群增长率与种群增长速率虽一字之差，但内涵完全不同。
增长率是指：单位数量的个体在单位时间内新增加的个体数，其计算公式为：（这一次总数-上一次总数）/上一次总数*100％=增长率。
如某种群现有数量为a，一年后，该种群数为b，那么该种群在当年的增长率为（b-a）/ a。
增长速率是指单位时间内增长的数量。
其计算公式为：（这一次总数-上一次总数）/ 时间=增长速率。
同样某种群现有数量为a，一年后，该种群数为b，其种群增长速率为：（b-a）/1年，即增长率=出生率－死亡率。
故增长率不能等同于增长速率。
因此，“J”型曲线的增长率是不变的，而增长速率是要改变的。
“S”型曲线的增长率是逐渐下降的，增长速率是先上升，后下降。
按照s型曲线增长的种群，它的增长率曲线是什么？按照书上的定义，增长率=单位时间内增长量/原先个体的数量，即(Nt－Nt－1)/Nt－1。
按这个定义，按照J型曲线增长的种群，它的增长率应该是固定不变的：每一年的增长率都是N0入t －N0入(t－1) / N0入(t-1) ) =入－1 ,也就是一个常数，它的曲线是一条水平直线。
那么，按照s型曲线增长的种群，它的增长率曲线应该是什么？很多参考书上都说是二次曲线，但真的是这样吗？可以确定的是，增长率曲线一定不是s型曲线的导数！种群增长速率不反应种群开始时的数量，反应的是单位时间的种群增加数量。
“J”型增长曲线的增长率不变，但其增长速率（等于曲线的斜率）却逐渐增大。
“S”型增长曲线的种群增长率一直下降，其增长速率（相当于曲线斜率）是先增后减。
增长速率是曲线的斜率，这样，J型曲线的增长速率是不断增加的，S型曲线的增长速率是先增加后减小。
增长率是（b-a）/ a。
由于J型增长曲线是在理想条件下，种群的数量变化，每年或每代的增长倍数相等，因此增长率不变。
而S 型增长曲线是在实际生存环境中，随着种群数量的增加，种内斗争加剧，中间竞争加强，出生率降低，死亡率增加，每年或每代的增长量减小，因此增长率是不断减小的。
种群增长率和增长速率的区别
种群增长率
种群增长率是指：单位数量的个体在单位时间内新增加的个体数。
其计算公式为：（这一次总数-上一次总数）/上一次总数*100％=增长率。
如某种群现有数量为a，一年后，该种群数为b，那么该种群在当年的增长率为（b-a）/ a。
种群增长率是指单位数量的个体在单位时间内新增加的个体数（在一定时间内，结束时的种群数量相对于开始时的种群数量的增加的数量占开始时种群数量的比例），其计算公式为：（这一次总数－上一次总数）/上一次总数×100％＝增长率。
即：增长率＝出生率－死亡率。
如果某种群现有数量为a，一年后，该种群数为b，那么该种群在当年的增长率为（b－a）/a。
种群增长速率:
种群增长速率是指单位时间内增长的数量（即曲线斜率）。
其计算公式为：（这一次总数－上一次总数）/单位时间＝增长速率。
假设某种群现有数量为a，一年后，该种群数为b，其种群增长速率为：（b －a）/1年。
故增长率不能等同于增长速率。
种群增长率与种群增长速率虽然只有一字之差，但在教学中，我们一定要辨析清楚两者的含义：“J”型曲线的增长率不变，而增长速率逐渐增大；“S”型曲线的增长率先增加后下降，增长速率也是先上升，后下降。
增长率的变化范围：
增长型种群：增长率>0
稳定型种群：增长率＝0
衰退型种群：增长率<0（负增长）
s型的解析式写出来是个微分方程：dN/dt=rN(K-N)/K
式中N为种群个体总数,t为时间,r为种群增长潜力指数,K为环境最大容纳量. 在做题过程中，对于J型曲线我们只讨论增长率，而对于S型曲线之谈论增长速率，而有时候题目中对S型曲线也用增长率来表示，此时默认增长速率。
种群的增长速率曲线和增长率曲线再探讨
种群的增长速率曲线和增长率曲线再探讨摘要到目前为止,种群增长率曲线和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料中还没有一个较为统一的说法,本文就种群增长率曲线和增长速率曲线进行了探讨.关键词种群增长速率曲线增长率曲线探讨种群的增长方式包括指数增长〔"J〞型增长〕和逻辑斯谛增长〔"S〞型增长〕,前者是在理想状态下,即资源无限、空间无限和不受其他生物制约的条件下产生的,后者是在现实状态下,即资源有限、空间有限和受其他生物制约的条件下产生的.若以时间为横坐标,种群中个体数量为纵坐标,那么两种增长曲线如图1所示.对于上述两种增长方式,需要区别种群增长率和增长速率的变化,但是到目前为止,对于种群增长率和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料中还没有一个较为统一的说法,对此,笔者查阅相关资料,同时结合自己多年的教学实践,谈谈自己的看法.1 种群增长速率和增长率的定义种群增长速率是指种群在单位时间内增加的个体数量,其计算公式为：增长速率 =〔现有个体数－原有个体数〕／增长时间,单位可以用"个/年〞表示.种群增长率指种群在单位时间内净增加的个体数占原个体总数的比率,其计算公式为：增长率 =〔现有个体数－原有个体数〕／〔原有个体数·增长时间〕,单位可以用"个/个·年〞表示.种群的出生率减去死亡率就是种群的自然增长率[1].2 指数增长的增长速率和增长率种群在理想条件下呈指数增长,其增长曲线符合指数函数N t=N0λt或N t+1=N tλ〔N为种群个体数,N0为起始种群个体数,t为时间,λ为种群周限增长率,下同〕,其中λ具有开始和结束时间,它表示种群大小在开始和结束时的比率.若以年为时间单位,指数增长种群的增长速率为：〔N0λt+1－N0λt〕个/年=N0λt〔λ－1〕个/年,所以指数增长种群的增长速率随时间变化呈等比数列,公比为λ,其通项公式为：=N0〔λ－1〕λt〔表示种群增长速率〕.此通项公式是〔相当于因变量〕关于t〔相当于自变量〕的指数函数,其变化过程如图2所示.同样以年为时间单位,指数增长种群的增长率为：〔N t+1－N t〕个/N t个·年=〔N 0λt+1－N 0λt〕个/N 0λt个·年= N 0λt〔λ－1〕个/N 0λt个·年=〔λ－1〕个/个·年,即该种群在一年时间内平均每个个体增加的个体数为λ－1个.因为λ－1为常数,所以指数增长种群的增长率曲线与x轴平行,且在y轴上的截距为λ－1,如图3所示.3 逻辑斯谛增长的增长速率和增长率种群在自然条件下呈逻辑斯谛增长,逻辑斯谛增长曲线〔"S〞型曲线〕是根据逻辑斯谛方程构建的曲线模型.逻辑斯谛方程的数学表达式为：[2]〔r是瞬时增长率,K是环境容纳量,特定种群的r和K都为定值〕.此方程是〔相当于因变量〕关于N 〔相当于自变量〕的二次函数,坐标曲线为抛物线,其特征：①开口方向：二次项系数为,曲线开口向下；②存在最大值：当时,为种群的最大增长速率；③与横坐标的交点：当N=0或N=K时,=0,故曲线与横坐标的交点为N=0和N=K；④对称性：以为对称轴两侧对称〔见图4〕.此图常被各种教辅资料引用,但在引用时,常将横坐标名称个体数量改为时间,使曲线的科学性出现偏差.那么种群增长速率随时间的变化情况到底是如何的呢？探讨逻辑斯谛增长种群的增长速率和增长率随时间变化的情况,需对逻辑斯谛方程进行积分,得N t关于t 的函数式：〔特定种群的N0为定值〕.对于逻辑斯谛方程的变化规律,常选择特殊值代入法进行演算〔见表1〕.t N t 增长速率N t+1-N t增长率<N t+1-N t>/N tt N t增长速率N t+1-N t增长率<N t+1-N t>/Nt0311769．197734．66050．0472 16．64613．64611．215412785．859816．66210．0217 214．64207．99601．203113793．58407．72410．0098 331．871617．22951．176714797．10433．52030．0044 467．629535．75791．121915798．69631．59200．0020 5136．382568．75301．016616799．41370．71740．0009 6251．0694114．68690．840917799．73640．32280．0004 7403．5514152．48200．607318799．88160．14510．0002 8555．0081151．45670．375319799．94680．06520．0001 9667．5885112．58040．202820799．97610．02930．0000 10734．537166．94860．100321799．98930．01320．0000〔注：由于N t到N t+1的增长时间刚好为1个单位时间,因此省略了公式中分母的单位时间.〕分别对表1种群增长速率数据和种群增长率数据作图,得到图5和图6.分析图5,推知逻辑斯谛增长种群的增长速率曲线为钟形曲线〔或称正态曲线〕.存在以下特征：①存在一个最大值〔此假设条件下,约在t=7时出现,此时对应的N=403≈K/2〕；②在最大值之前,种群增长速率逐渐增大,增大的过程遵循"慢→快→慢〞的"S〞型变化规律；③在最大值之后,种群增长速率逐渐减小,减小的过程遵循"慢→快→慢〞的反"S〞型变化规律.分析图6,推知逻辑斯谛增长种群的增长率曲线为"反S〞型曲线.其特征为：种群增长率一直减小,减小的过程遵循"慢→快→慢〞的变化规律.4 结束语随着新课程标准的实施,曲线模型在中学生物教学中的应用越来越广泛.在曲线模型构建中,不能主观随意作图,而需要运用数学形式来描述生物学系统的变化趋势,并进行模型的检验,最终形成一个相对较为准确而又能预测生物学系统变化趋势的曲线模型.。
种群增长曲线中增长率和增长速率的辨析
③当反应达到平衡时ꎬＸ气体被消耗０.０５Ｖꎻ④当反应达到平衡时ꎬＹ气体被消耗０.０５Ｖ.Ａ.②③㊀Ｂ.②④㊀Ｃ.①③㊀Ｄ.①④解析㊀首先ꎬ教师们可以引导学生们根据题意ꎬ列出相应反应关系式:Ｘ(ｇ)＋３Ｙ(ｇ) ２Ｚ(ｇ)㊀ΔＶ起始量/Ｌ１３０２变化量/Ｌ０.０５Ｖ０.１５Ｖ０.１Ｖ０.１Ｖ根据差量法对题目以及化学反应式进行分析可以知道气体Ｘ在反应的过程中被消耗了０.０５Ｖꎬ即③正确.同时ꎬ也可以知晓当反应达到平衡状态时ꎬ气体的体积减少了０.１Ｖ.从而可以知道反应前的混合气体体积为Ｖ＋０.１Ｖ＝１.１Ｖ.故②正确.故该题目答案选Ａ.㊀㊀三㊁守恒法守恒法是化学解题过程中较为常用的方法ꎬ主要根据个数守恒㊁电子个数守恒㊁质量守恒㊁浓度守恒㊁物质的量等对物质进行化学反应的某一特定的量保持不变或成比例进行列式计算并求解.守恒法的运用能够有效省去复杂的计算过程ꎬ提高学生化学解题的能力.例３㊀有ａｍｏｌＮ２和ｂｍｏｌＨ２进行反应并达到平衡时ꎬ生成了ｃｍｏｌ的ＮＨ３ꎬ请问当反应达到平衡后ꎬ混合气体中氨(ＮＨ３)的质量分数为多少?解析㊀在该例题的求解中ꎬ运用质量守恒的定理进行求解可以知道平衡时混合气体的质量等于起始Ｎ２和Ｈ２的质量之和为(２８ａ＋２ｂ)ｇ.进而根据题意的关系式为:Ｎ２(ｇ)＋３Ｈ２(ｇ) ２ＮＨ３(ｇ)ꎬ从而可以得到ｗ(ＮＨ３)＝１７ｃ２８ａ＋２ｂˑ１００％.除了质量守恒外ꎬ教师们还可以在课堂中指导学生们运用物料守恒㊁电子守恒㊁电荷守恒对相应的题目进行求解.总之ꎬ平衡计算题的解题技巧有很多ꎬ除了三步法㊁差量法㊁守恒法以外ꎬ教师们也可以教授学生们估算法㊁赋值法㊁极端假设法等多种解题方法ꎬ帮助学生掌握解题的技巧ꎬ促使学生们能够提升相应的解题能力ꎬ从而使得学生们能够在类似题型中能够灵活运用这些方法.㊀㊀参考文献:[１]罗孟军.高中化学等效平衡探究[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１７(１０):５１－５２.[２]王宏斌.高中化学中对化学平衡的巧用探究[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１９(４４):２７.[责任编辑:季春阳]种群增长曲线中增长率和增长速率的辨析刘㊀松(广东省珠海市实验中学金湾学校㊀５１９０００)摘㊀要:对中学生物的种群增长曲线中增长率和增长速率的概念进行了分析.关键词:增长率ꎻ增长速率ꎻ曲线ꎻ高中生物中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－０１０４－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:刘松(１９８５.１０－)ꎬ男ꎬ安徽省凤台人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中生物教学研究.㊀㊀在高中生物教学中在种群增长曲线的教学是一个重难点ꎬ现存教辅资料中多将增长率和增长速率混为一谈ꎬ尤其是２０１７年新课标全国Ⅰ卷第５题的出现使得该争议更加频繁出现.现尝试对上述概念进行辨析ꎬ为教学提供建议.㊀㊀一㊁明晰概念增长率:种群在单位时间内单位个体净增加的个体数ꎬ即:(Ｎｔ＋１－Ｎｔ)/(ＮｔˑΔｔ)ꎻ增长速率:种群在单位时间内增加的个体数ꎬ即:(Ｎｔ＋１－Ｎｔ)/Δｔꎻ部分资料书认为增长率就是个百分值ꎬ在此教师可以通过银行存款年利率和月利率的对比来加以解释ꎬ学生便很好理解增长率的分母中需要考量时间因素.通过比较易知:增长速率＝增长率ˑＮｔ.４０１㊀㊀二㊁种群在资源无限条件下的增长在食物㊁空间无限的条件下大多数生物可以连续生殖ꎬ存在世代重叠且没有特定的生殖期ꎬ此情况下ꎬ种群数量动态变化可用下列微分方程表示:ｄＮｄｔ＝(ｂ－ｄ)Ｎ＝ｒＮ其积分式为Ｎｔ＝Ｎ０ｅｒｔ其中ｂ和ｄ分别代表种群中个体的瞬时出生率㊁死亡率ꎬＮ代表种群数量.在理想条件下种群瞬时增长率等于出生率减去死亡率ꎬ即ｒ.ｒ与λ的关系为:λ＝ｅｒ当λ>１ꎬ则ｒ>０ꎬ种群数量上升ꎻ当λ＝１ꎬ则ｒ＝０ꎬ种群数量稳定ꎻ当λ<１ꎬ则ｒ<０ꎬ种群数量下降.此时种群的增长速率为ｄＮｄｔ＝ｒＮ增长率为１ＮｄＮｄｔ＝ｒ即:在Ｊ型曲线中增长率为定值ꎻ增长速率逐渐增大.㊀㊀㊀三㊁种群在资源有限条件下的增长因自然界食物和空间等总是有限的ꎬ随着种群密度增大ꎬ生存斗争加剧ꎬｂ减小㊁ｄ增大ꎬ即ｒ值会随着种群密度的增大而减小ꎬ直至稳定下来ꎬ种群增长曲线大致呈Ｓ型ꎬ也就是经典的逻辑斯蒂曲线(经典Ｓ型曲线).该曲线假设环境条件对种群增长的阻滞作用随着种群密度的增加而按比例增加且存在环境容纳量Ｋ值.种群增长曲线微分方程修正为:ｄＮｄｔ＝ｒＮ(Ｋ－ＮＫ).其中Ｋ－ＮＫ就是逻辑斯谛系数ꎬ易知:增长速率ｄＮｄｔ同时受到Ｎ㊁Ｋ共同影响ꎬ先增大后减小ꎬ增长率为１ＮｄＮｄｔ＝ｒ(Ｋ－ＮＫ)ꎬ逐渐减小.㊀㊀四㊁种群的最低起始密度经典Ｓ型曲线成立的前提是在种群密度最低时种群增长率最大.事实上ꎬ一定的种群密度对于有效寻找配偶和逃离敌害都是必要的ꎬ有些生物在种群密度很低时ꎬ种群数量不断下降ꎬ且会因增长率的下降走向灭绝(阿利氏效应).为改进经典Ｓ型曲线ꎬ将Ｍ(种群增长所必需的起始密度)引入上述方程之中ꎬ使方程进一步修正为ｄＮｄｔ＝ｒＮ(Ｋ－ＮＫ)(Ｎ－ＭＮ)分析可知:当Ｎ<Ｍ时ꎬ新系数[(Ｎ－Ｍ)/Ｎ]是负值ꎬ种群下降ꎻ只有当Ｎ>Ｍ时ꎬ[(Ｎ－Ｍ)/Ｎ]是正值ꎬ种群才能上升.此时增长率为１ＮｄＮｄｔ＝ｒ(Ｋ－ＮＫ)(Ｎ－ＭＮ)绘制曲线如图:当Ｋ＝５８０和ｒ＝０.１８时ꎬ具有最小起始密度(Ｍ＝８０)的种群的增长率高考原题㊀假设某草原上散养的某种家畜种群呈Ｓ型增长ꎬ该种群的增长率随种群数量的变化趋势如图所示.若要持续尽可能多地收获该种家禽ꎬ则应在种群数量合适时开始捕获ꎬ下列四个种群数量中合适的是.上述高考题为在真实情境下的种群增长曲线ꎬ该种群存在最小起始密度和Ｋ值ꎬ种群增长率先增大后减小.本题为结合 Ｓ 型曲线的转换图来考查种群的数量变化ꎬ主要考查学生的图形转换能力和综合运用能力.根据题图ꎬ种群数量约为Ｋ/２时ꎬ种群增长率最大ꎬ种群有最大持续产量.与甲㊁乙㊁丙点相比ꎬ在丁点时捕获ꎬ捕获后种群处于最大增长率附近ꎬ可以达到预期目的.在后期教学中ꎬ对于类似真实情境的题目ꎬ应该引导学生根据已有知识和题干信息进行综合分析而不是纠结于题目中不熟悉的知识点ꎬ这样才能更好理解高考命题者的命题意图.㊀㊀参考文献:[１]尚玉昌.普通生态系:第三版[Ｍ].北京:北京大学出版社ꎬ２０１０.[责任编辑:季春阳]。
论文也谈种群增长曲线、增长率和增长速率的数学模型
也谈种群增长曲线、增长率和增长速率的数学模型北京怀柔区育才中学（101400）吴昌贵吴昌贵（1978- ），男，大学本科，中学一级教师，E-mail:wcg78_0@关于种群增长率和增长速率的问题很多同行都有过精彩的论述，但是有一些基本的问题仍然令人困惑，例如J 型、S 型增长都有增长率与增长速率吗？如果有，它们之间是什么关系？我们讨论的种群增长率和增长速率与《普通生态学》中的周限增长率、每员增长率之间又是什么关系？逻辑斯蒂增长（即S 型增长）的增长速率与时间是什么关系？围绕以上几个问题，本文就常见的两种J 型曲线和一种S 型曲线的种群数量与时间的数学方程式、增长率和增长速率的数学方程式加以对比，以期抛砖引玉。
1、种群数量、增长率和增长速率的数学含义种群数量N 是关于时间t 的函数，记做N=f(t)，那么增长率f(t+t)-f(t)=f(t)∆ϕ（一般情况下按Δt=1考虑），代表的是种群增长量与起始数量的比值；而增长速率0f(t+t)-f(t)=lim tt dN dt ∆→∆∆，代表的是种群的瞬时增长量。
2、两种增长模型2.1 J 型增长模型2.1.1世代不连续的J 型增长模型模型假设：①食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下（以下简称为理想条件下），种群数量以固定的倍数增长，不受种群密度的制约；②种群内生物世代不重叠，增长不连续；③不具年龄结构；④没有迁入和迁出。
种群数量N 与时间t 的数学方程式：0t N N =λ（N 0为种群起始数量，λ表示结束时种群数量与开始时的比值）。
种群增长率的方程式：=-1ϕλ（按Δt=1,即间隔一个时间单位计算，以下均如此计算）。
2.1.2世代连续的J 型增长模型模型假设：①理想条件下，种群有一个恒定的每员（单位）瞬时增长量，它与密度无关；②种群内生物世代重叠，连续增长；③具年龄结构；④没有迁入和迁出。
种群数量N 与时间t 的数学方程式：0e rt N N =（N 0为种群起始数量，e 为自然对数的底数，r 为种群的每员瞬时最大增长量）。
关于种群数量变化的增长率与增长速率变化曲线的研究
关于种群数量变化的增长率与增长速率变化曲线的研究发布时间：2022-12-01T16:51:08.241Z 来源：《中小学教育》2022年11月2期作者：曹芳[导读]曹芳湖北省石首市第一高级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）11-188-02 2010年山东高考理综有道选择题，关于出生率、死亡率和种群密度的关系图，引起了很多高中生物教师的讨论，一直没有一个很准确的结果，最后大多是说这个图形有问题，让同学们不要太多纠结。
今年我上高二又碰到这个问题，我想通过数学模型构建的方法来做个研究。
1.1 问题的起因2010年山东高考理综右图表示出生率、死亡率和种群密度的关系，据此分析得出的正确表述是A．在K/2时捕捞鱼类最易得到最大日捕获量B．该图可用于实践中估算种群的最大净补充量C．若要控制害虫的数量，选择K/2时控制最有效D．种群密度为K时，种群数量的增长速率也达到最大值在必修三第四单元第二节《种群数量的变化》这节内容上，相信很多教师都讲过两种曲线的增长率和增长速率。
例如，某一种群的数量在某一单位时间t（如一年）内，由初数量No（个）增长到末数量Nt（个），则这一单位时间内种群的增长率和增长速率的计算分别为：“J”型增长曲线的数学模型：在食物和空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年的倍数是第一年的λ倍。
（λ为定值）建立的方程式模型为：Nt=No λt讨论其增长率＝（Nt－No）/No＝Nt/No - No/No＝λ-1（由于λ为定值，故λ-1也为定值），增长率不变。
另外，由于我们上一节学到出生率和死亡率的计算方法，我们发现Nt－No与每年新出生的个体数和死亡个体数的差值相等，再除No就相当于出生率－死亡率，所以很容易推导出增长率＝（Nt－No）/No＝出生率－死亡率。
理想环境中出生率和死亡率只受种群生物自身每胎出生个数，每年生产胎数，寿命等影响，故理想环境中出生率和死亡率基本不变，增长率不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探讨种群的增长速率曲线和增长率曲线
浙江省绍兴县柯桥中学叶建伟
摘要到目前为止，种群增长率曲线和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料中还没有一个较为统一的说法，本文就种群增长率曲线和增长速率曲线进行了探讨。
关键词种群增长速率曲线增长率曲线探讨
种群的增长方式包括指数增长（“J”型增长）和逻辑斯谛增长（“S”型增长），前者是在理想状态下，即资源无限、空间无限和不受其他生物制约的条件下产生的，后者是在现实状态下，即资源有限、空间有限和受其他生物制约的条件下产生的。
若以时间为横坐标，种群中个体数量为纵坐标，那么两种增长曲线如图1所示。
对于上述两种增长方式，需要区别种群增长率和增长速率的变化，但是到目前为止，对于种群增长率和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料中还没有一个较为统一的说法，对此，笔者查阅相关资料，同时结合自己多年的教学实践，谈谈自己的看法。
1 种群增长速率和增长率的定义
种群增长速率是指种群在单位时间内增加的个体数量，其计算公式为：增长速率 =（现有个体数－原有个体数）／增长时间，单位可以用“个/年”表示。
种群增长率指种群在单位时间内净增加的个体数占原个体总数的比率，其计算公式为：增长率 =（现有个体数－原有个体数）／（原有个体数·增长时间），单位可以用“个/个·年”表示。
种群的出生率减去死亡率就是种群的自然增长率[1]。
2 指数增长的增长速率和增长率
种群在理想条件下呈指数增长，其增长曲线符合指数函数N t=N0λt或N t+1=N tλ（N为种群个体数，N 0为起始种群个体数，t为时间，λ为种群周限增长率，下同），其中λ具有开始和结束时间，它表示种群大小在开始和结束时的比率。
若以年为时间单位，指数增长种群的增长速率为：（N0λt+1－N0λt）个/年=N0λt（λ－1）
个/年，所以指数增长种群的增长速率随时间变化呈等比数列，公比为λ，其通项公式为：
= N0（λ－1）λt（表示种群增长速率）。
此通项公式是（相当于因变量）关于t（相当于自变量）的指数函数，其变化过程如图2所示。
同样以年为时间单位，指数增长种群的增长率为：（N t+1－N t）个/ N t个·年=（N 0λt+1－N 0λt）个/ N0λt个·年= N 0λt（λ－1）个/ N 0λt个·年=（λ－1）个/个·年，即该种群在一年时间内平均每个个体增加的个体数为λ－1个。
因为λ－1为常数，所以指数增长种群的增长率曲线与x轴平行，且在y轴上的截距为λ－1，如图3所示。
3 逻辑斯谛增长的增长速率和增长率
种群在自然条件下呈逻辑斯谛增长，逻辑斯谛增长曲线（“S”型曲线）是根据逻辑斯谛方程构建的曲线模型。
逻辑斯谛方程的数学表达式为：
[2]（r是瞬时增长率，K是环境容纳量，特定种群的r和K都为定值）。
此方程是（相当于因变量）关于N（相当于自变量）的二次函数，坐标曲线为抛物线，
其特征：①开口方向：二次项系数为，曲线开口向下；②存在最大值：当时，
为种群的最大增长速率；③与横坐标的交点：当N=0或N=K时，=0，
故曲线与横坐标的交点为N=0和N=K；④对称性：以为对称轴两侧对称（见图4）。
此
图常被各种教辅资料引用，但在引用时，常将横坐标名称个体数量改为时间，使曲线的科学性出现偏差。
那么种群增长速率随时间的变化情况到底是如何的呢？
探讨逻辑斯谛增长种群的增长速率和增长率随时间变化的情况，需对逻辑斯谛方程进行
积分，得N t关于t的函数式：（特定种群的N0为定值）。
对于逻辑斯谛方程的变化规律，常选择特殊值代入法进行演算（见表1）。
表1 逻辑斯谛增长中各项数值随时间的变化（设K=800，r=0．8，N0=3；小数点保留4位）
t N t 增长速率
N t+1-N t
增长率
(N t+1-N t)/N t
t N t
增长速率
N t+1-N t
增长率
(N t+1-N t)/N t
0311769．197734．66050．0472 16．64613．64611．215412785．859816．66210．0217 214．64207．99601．203113793．58407．72410．0098 331．871617．22951．176714797．10433．52030．0044 467．629535．75791．121915798．69631．59200．0020 5136．382568．75301．016616799．41370．71740．0009 6251．0694114．68690．840917799．73640．32280．0004 7403．5514152．48200．607318799．88160．14510．0002 8555．0081151．45670．375319799．94680．06520．0001 9667．5885112．58040．202820799．97610．02930．0000 10734．537166．94860．100321799．98930．01320．0000
（注：由于N t到N t+1的增长时间刚好为1个单位时间，因此省略了公式中分母的单位时
间。
）
分别对表1种群增长速率数据和种群增长率数据作图，得到图5和图6。
分析图5，推知逻辑斯谛增长种群的增长速率曲线为钟形曲线（或称正态曲线）。
存在以下特征：①存在一个最大值（此假设条件下，约在t=7时出现，此时对应的N=403≈K/2）；
②在最大值之前，种群增长速率逐渐增大，增大的过程遵循“慢→快→慢”的“S”型变化规律；③在最大值之后，种群增长速率逐渐减小，减小的过程遵循“慢→快→慢”的反“S”型变化规律。
分析图6，推知逻辑斯谛增长种群的增长率曲线为“反S”型曲线。
其特征为：种群增长率一直减小，减小的过程遵循“慢→快→慢”的变化规律。
4 结束语
随着新课程标准的实施，曲线模型在中学生物教学中的应用越来越广泛。
在曲线模型构建中，不能主观随意作图，而需要运用数学形式来描述生物学系统的变化趋势，并进行模型的检验，最终形成一个相对较为准确而又能预测生物学系统变化趋势的曲线模型。
参考文献
[1] 吴相钰, 刘恩山． 2005．稳态与环境．浙江杭州: 浙江科学技术出版社, 64
[2] 孙儒泳, 李博, 诸葛阳, 等． 1993 ．普通生态学．北京: 高等教育出版社, 68。