上海市静安区高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题

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2024年上海静安区高三二模数学试卷和答案

上海静安区2023-2024学年第二学期教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．2024.4一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1．中国国旗上所有颜色组成的集合为________．2．已知i 是虚数单位，复数i2i++=m z 是纯虚数，则实数m 的值为________．3．函数xxy +-=21ln的定义域为________．4．若单位向量a 、b 满足⊥a b，则=-||a ________．5．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布),100(2σN （试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间]120,80[的学生人数约为_______．6．已知物体的位移d (单位：m)与时间t (单位：s)满足函数关系t d sin 2=，则在时间段)6,2(∈t 内，物体的瞬时速度为s /m 1的时刻=t _______(单位：s)．7．已知等比数列的前n 项和为a S nn +⎪⎭⎫⎝⎛=21，则a 的值为________．8．在下列关于实数b a 、的四个不等式中，恒成立的是_______．(请填入全部正确的序号)①ab b a 2≥+；②ab b a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+22；③||||||b a b a -≤-；④1222-≥+b b a ．9．正四棱锥ABCD P -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．10．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i (=i 0,1,2)个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数i012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为________．(精确到0.01)11．已知实数)6,0(∈a ，记))(a x x x f -=．若函数)(x f y =在区间[]2,0上的最小值为2-，则a 的值为________．12．我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点),(y x P 都满足方程022||2||222=+-+-y x y y x x ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,22M 到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．xy O二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13．函数)(cos sin 2R ∈-=x x x y 的最小正周期为…………………………………………()A ．2π；B ．π；C ．23π；D ．2π．14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是………()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β．15．设1>a ，则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是…………………………()A ．)2,2(；B ．)5,2(；C ．)5,2(；D ．)5,2(．16．如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群．(1)封闭性，即对于任意的G b a ∈,，有G b a ∈*；(2)结合律，即对于任意的G c b a ∈,,，有))(c b a c b a **=**（；(3)对于任意的G b a ∈,，方程b a x =*与b y a =*在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的∈b a ,Z ，方程b a x =+与b y a =+都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法(⨯)不构成群，因为方程10=⨯y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有………………………………………………………………()1自然数集N 关于自然数的加法(+)构成群；2有理数集Q 关于有理数的乘法(⨯)构成群；3平面向量集关于向量的数量积(⋅)构成群；4复数集C 关于复数的加法(+)构成群．A ．0个；B ．1个；C ．2个；D ．3个．三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(满分12分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，5=b ，7=c ．(1)求角C 的大小；(2)求)sin(C A +的值．18．(满分15分)共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．某高中随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[)165,160,[)170,165,[)175,170,[)180,175,[]185,180分组，得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).(1)求身高不低于170cm 的学生人数；(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．19．(满分15分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，32=AB ，2=BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面⊥ABD 平面BCD ．(1)求四面体ABCD 的体积V ；(2)试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l //？ABCD ABCD图1图220．(满分18分)共3个小题，每个小题均是满分6分．江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①AC BD =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为22:1(坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算)．21．(满分18分)共3个小题，第一小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知R ∈k ，记x x a k a x f -⋅+=)((0>a 且1≠a )．(1)当e =a (e 是自然对数的底)时，试讨论函数)(x f y =的单调性和最值；(2)试讨论函数)(x f y =的奇偶性；(3)拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数)(x f y =的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数)(x f y =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)C DAB20米参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21-；3．)1,2(-；4．2；5．1360；6．5π3；7．1-；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d -．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222-=-+=ab c b a C ，所以3π2=C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有CcB b sin sin =，即.1435sin sin ==c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin(=-=+.1435=………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin =，即.1433sin sin ==c C a A 所以.1413sin 1cos 2=-=A A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222=-+=bc a c b A ，所以.1433sin =A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x =-⨯+++，所以1[150.14]0.065x =-⨯=．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60⨯⨯+⨯+⨯=(人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360⨯=(人),620260⨯=(人),610160⨯=(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P ==．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．因为平面⊥ABD 平面BCD ，ABDEF有AE ⊥平面BCD，则AE =……………………4分所以11122332BCD V S AE ==⨯⨯⨯ △．………2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥．……………………1分证明：过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．因为AE ⊥平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ⊥，则存在l AD ⊥．……………………4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //……………………1分证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D =矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分……………………2分则，圆O 的方程为10022=+y x ；由221tan =C ，10=OE 得220=CE ，30=CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221+=x y ．所以直线OE 的斜率为22-，其方程为x y 22-=，将其代入10022=+y x ，得点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD =+，即222)10(30r r =-+，解得50=r ．所以，圆M 的方程为22250)40(=++y x ，故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤---<≤-+=.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分(2)解1：由点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3220,310，得22arctan 2π-=∠EOF ，CDAB20米E OFxy所以圆弧EF 的长为⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π10≈3.398，……………………2分由点D 的坐标为()0,30，点M 的坐标为()40,0-，得43arctan =∠DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan50≈32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为+220⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π1043arctan 50+9.63≈m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分……………………2分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD =+，即222)10(30+=+r r ，解得40=r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30(=-+-y x ，将直线OG 的方程代入10022=+y x 得，点G 的坐标为()6,8故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---<≤---<≤-+=.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3220,310OE ，)8,6(=OG ，则15283,cos +-==〉〈OG OE OG OE ，即，15283arccos ,+-=〉〈OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos 10+-≈9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π-=∠OND ，所以圆弧GD 的长为⎪⎭⎫ ⎝⎛-34arctan 2π40≈25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为+22015283arccos10+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+34arctan 2π40≈63.9m ．………2分CDAB20米EGOxy(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分方案2：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f -⋅-=e e )('，当0≤k 时，0)('>x f ，故函数)(x f y =在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y =在R 上无最值．……………………1分当0>k 时，令0)('=x f ，得k x ln 21=，所以，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈k x ln 21,时，0)('<x f ，函数)(x f y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-k ln 21,上为严格减函数；…1分当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,ln 21k x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y =在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y =为偶函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅+--；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=---x x a a k ⇔1=k ．故，1=k 是)(x f y =为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y =为奇函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f -=-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅----；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=++-x x a a k ⇔1-=k ．故，1-=k 是)(x f y =为奇函数的充要条件．……………………3分当1±≠k 时，)(x f y =是非奇非偶函数.(3)①当0<k 时，函数)(x f y =有对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛-0),log(21k ．即，当0<k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=--))((log x k f a )(x f -．………2分证明：当0<k 时，令0)(=x f ，解得)(log 21k x a -=为函数)(x f y =的零点由xx a k a x f -⋅+=)(得，=--))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a -----⋅+x x a a k -⋅-=-)(x f -=．……………………2分②答案1：当0>k 时，函数)(x f y =有对称轴k x a log 21=．即，当0>k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=-)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0>k 时，由xx a k a x f -⋅+=)(得，=-)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a ---⋅+x x a a k +⋅=-)(x f =．答案2：当1=k 时，)(x f y =的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-．………………………………………………1分答案3：当0<k 时，函数)(x f y =的零点为)(log 21k x a -=，即.0)(log 21=⎪⎭⎫⎝⎛-k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y =的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。

上海静安区高中教学质量检测高三数学

静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．“0<x ”是“a x <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是． 2．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为． 3．若复数z 为纯虚数，且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为．4．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米． 6．已知α为锐角，且3cos()45πα+=，则sin α=________ ． 7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0r x p p e =⋅（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车．(精确到小时) 8．已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足0)()(87=+x f x f ，则2017x 的值为．9．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为________．10．已知b a x f x-=)(0(>a 且1≠a ，R ∈b )，1)(+=x x g ，若对任意实数x 均有0)()(≤⋅x g x f ，则ba 41+的最小值为________．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c 【】A ．一定平行；B ．一定相交；C ．一定是异面直线；D ．平行、相交、是异面直线都有可能．12．在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，； C ．()10，； D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121，． 13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有【】 A ．336种； B ．320种； C ．192种； D ．144种. 14．已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为【】A ．12-；B1；C ．1；D ．2．15．已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是【】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，a AA a AB 2,1==,,E F 分别是棱,AD CD 的中点． (1) 求异面直线1BC EF 与所成角的大小； (2) 求四面体EF CA 1的体积．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设双曲线C ：22123x y -=， 12,F F 为其左右两个焦点． (1) 设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求M F OM 1⋅的取值范围； (2) 若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛=⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+． (1) 若22)(x x f x-=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）由)2(≥n n 个不同的数构成的数列12,,n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，i j a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为3012=++；同理，等比数列81,41,21,1--的逆序数为4． (1) 计算数列*219(1100,N )n a n n n =-+≤≤∈的逆序数；(2) 计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（*1,N n k n ≤≤∈）的逆序数；(3) 已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,n n a a a -的逆序数．静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷答案与评分标准一、1．()∞+，0; 2．π; 3．21; 4．10; 5．243π;6．102; 7．8; 8．4019; 9．12; 10．4 二、11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C. 16．解：（1）连接11C A ，……………………………….1分则B C A 11∠为异面直线1BC EF 与所成角 …………….1分在B C A 11∆中，可求得a B A B C 511==，a C A 211=11cos 1010AC B ∠==∴异面直线所成角的大小…………………….4分（2）113112322212C A EF A EFCa a a V V a --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………….5分 17．（1）设(),M x y，x ≥1(F ，1(,)()OM FM x y x y ⋅=⋅2222332x x y x =+=+-……………………………4分2532x =-（x ≥x =≤)12OM F M ⎡⋅∈+∞⎣ ……………………………3分（2）由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆22221x y a b+=，12F F =122PF PF a +=2221212121212204220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠==⋅⋅21242012a PF PF -=-⋅……………………………4分由基本不等式得122a PF PF =+≥ 当且仅当12PF PF =时等号成立212PF PF a ⋅≤221224201cos 1929a F PF a a -⇒∠≥-=-⇒=，24b = 所求动点P 的轨迹方程为22194x y +=……………………………3分 18．解：（1）如图建立直角坐标系，……………………………1分则城市()0,0A ，当前台风中心(P-，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，4.184PA ≈km ，台风的半径为=r 160km,PA <r , ……………………………5分故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . ………1分（2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则210800864000300t t -+≤⇒，即2362880t t -+≤，……………………………5分解得1224t ≤≤ ……………………………1分答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分19．解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分即：)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33mink k k k x h ……………………………1分 20．（1）因为{}n a 为单调递减数列，所以逆序数为(991)999998149502+⨯+++==； ……………………………4分（2）当n 为奇数时，13210n a a a ->>>>．……………………………1分当n 为偶数时，222(4)112120(1)(1)n n n n a a n n n n n n ---=-+≥+--=--=<+-所以2420n a a a >>>>． ……………………………2分当k 为奇数时，逆序数为235341(1)(3)21228k k k k k k ---+-+-++++++=……………2分当k 为偶数时，逆序数为22432(1)(3)11228k k k kk k ----+-++++++=…………………2分（3）在数列12,,n a a a 中，若1a 与后面1n -个数构成1p 个逆序对，则有1(1)n p --不构成逆序对，所以在数列11,,n n a a a -中，逆序数为12(1)(1)(2)()2n n n n p n p n n p a ---+--++--=-．…7分。

2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解

2022学年静安区高三第一学期期末数学学科练习卷考生注意：1.试卷共4页，另有答题纸2页．2.所有作答必须在答题纸上与试卷题号对应的区域完成，不得错位，在试卷或者草稿纸上作答一律无效．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果．1. 函数πtan34y x的定义域是____________．2. 已知复数12iiaza（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是____________．3. 若直线230x y与直线2100x my平行，则这两条直线间的距离是____________．4. 16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）．小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有________ 万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）5. 已知函数22xf x xe cos e，则函数f x的导数f x____________．6. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________．7. 有一种空心钢球，质量为140.2g，测得球的外直径等于 5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为__________cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果保留一位小数）．8. A、B分别是事件A、B的对立事件，如果A、B两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号）①P A B P A P B②P A B P A P B③11P A B P A P B④P A B P A P B9. 2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）10. 已知全集为实数集R ，集合21|225616x M x ，N = 25|log (4)1x x x ，则 M N =____________．11. 在空间直角坐标系O xyz 中，点 7,4,6P 关于坐标平面xOy 的对称点P 在第_______卦限；若点Q 的坐标为 8,1,5 ，则向量PQ 与向量PP 夹角的余弦值是____________．12. 已知函数3232f x ax x -+，若函数f x 只有一个零点0x ，则实数a 的取值范围为________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．13. 已知数列 n a 是等差数列，11548a a ，，则38133a a a （）A. 120B. 96C. 72D. 4814. 若实数x y 满足2243x y xy ，则（）成立． A. 1xy B. 2244x yC. 2x yD. 2x y.15. 在233nx x的二项展开式中，533r n r n r nx C 称为二项展开式的第1r 项，其中r =0，1，2，3，……，n ．下列关于233nx x的命题中，不正确的一项是（）A. 若8n ，则二项展开式中系数最大的项是1426383x C ．B. 已知0x ，若9n ，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是35403x．C. 若10n ，则二项展开式中常数项是44103C ．D. 若27n ，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项．16. “阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）平方尺.,的A. 142B. 140C. 138D. 128三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. 已知数列 n a 满足：112a，21a ，2145n n n a a a ，对一切正整数n 成立．（1）证明：数列{1n n a a }是等比数列；（2）求数列 n a 的前n 项之和．18.平面向量2(3sin ,cos ),(cos ,m x x n x，函数()2y f x m n. （1）求函数y =()f x 的最小正周期；（2）若[0,]2x ，求y =()f x 的值域；（3）在△ABC 中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知()f B，2,a b ABC 的面积.19. 如图所示，在矩形ABCD 中，4AB ，2AD ，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE V 向上折起，使D 点折到P 点，且PC PB ．（1）求证：PO 面ABCE ；（2）求AC 与面P AB 所成角的正弦值．20. 已知椭圆Γ：22221x y a b （0a b）的离心率为3，它的上顶点为A ，左、右焦点分别为 1,0F c ，2,0F c （常数0c ），直线1AF ，2AF 分别交椭圆Γ于点B ，C ．O 为坐标原点．（1）求证：直线BO 平分线段AC ；（2）如图，设椭圆Γ外一点P 在直线BO 上，点P 横坐标为常数m （m a ），过P 的动直线l 与椭圆Γ交于两个不同点M 、N ，在线段MN 上取点Q ，满足MP MQPN QN，试证明点Q在直线2260mx c 上．的21已知函数f(x)＝－2a ln x－2x，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－2x，其中a∈R.（1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；（2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间；（3）若存在x [1e，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围．.2022学年静安区高三第一学期期末数学学科练习卷考生注意：1.试卷共4页，另有答题纸2页．2.所有作答必须在答题纸上与试卷题号对应的区域完成，不得错位，在试卷或者草稿纸上作答一律无效．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果．1. 函数πtan 34y x的定义域是____________．【答案】ππZ 43k x x k，分析】由342πππ，Z x k k可得答案. 【详解】342πππ，Z x k k，则43ππk x，Z k . 故答案为：ππZ 43k x x k， 2. 已知复数12iia z a（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是____________．【答案】,2【分析】先由复数的除法运算计算出z ，再由复数的几何意义得出相应点的坐标，列方程组求解即可.【详解】22221i 2i 12i i 12i i i i 1a a a a a a z a a a a 222321i 11a a a a ， ∴复数z 在复平面内对应的点为222321,11a a a a，由已知，222321,11a a a a在第二象限， ∴2223012101a a a a，解得2a . 综上所述，实数a的取值范围是,2.【故答案为：,2. 3. 若直线230x y 与直线2100x my 平行，则这两条直线间的距离是____________．【答案】5【分析】由两直线平行，可求得m 的值，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】由直线230x y 与直线2100x my 平行，可知220m ，即4m ，故直线为24100x y ，直线230x y 变形得2460x y ，故5d，. 4. 16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg ）．小王同学今年17岁，她的体重50kg ，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有________ 万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）【答案】2.1【分析】根据题意，由图表可知，该城市女性同龄人高于小王的50百分位数，由百分位数的定义计算可得答案. 【详解】根据题意，小王同学今年17岁，她的体重，50kg 由图表可知，小王体重的百分位数是50，所以体重一定高于她的体重的人数有504.2 2.1100(万) 故答案为：2.15. 已知函数 22x f x x e cos e ，则函数 f x 的导数 f x ____________．【答案】e cos 22e sin 2x x x x【分析】根据求导公式和四则运算法则计算即可. 【详解】 cos 22sin 2xxf x x x e e .故答案：cos 22in 2e e s x x x x .6. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm ），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________．为【答案】0.3##310【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可.【详解】从5根木棍中任取3个共有3255C C 10 种，符合条件有 3,5,7,3,7,9,5,7,9 3种，能搭成一个三角形的概率310P；故答案为：310. 7. 有一种空心钢球，质量为140.2g ，测得球的外直径等于 5.0cm ，若球壁厚度均匀，则它的内直径为__________cm ．（钢的密度是7.9g/cm 3，结果保留一位小数）．【答案】4.5【分析】设空心钢球的内直径为2r ，表示空心钢球的体积，由条件列方程求r 即可.【详解】设空心钢球的内直径为2cm r ，则空心钢球的体积为333454ππcm 323r，因为空心钢球的质量为140.2g ，钢的密度是7.9g/cm 3，所以33454ππ7.9140.2323r，所以335140.2327.94πr，解得 2.25r ，所以2 4.5r ，故答案为：4.5.8. A 、B 分别是事件A 、B 的对立事件，如果A 、B 两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________．（填写所有成立的等式序号） ① P A B P A P B ②P A B P A P B③11P A B P A P B ④P A B P A P B 【答案】②③【分析】根据事件的独立性定义判断即可.【详解】① P A B P A P B P AB ，故①不一定成立；②③由事件的独立性定义可得A 与B ，A 与B 相互独立，所以P A B P A P B ，11P A B P A P B P A P B ，故②③正确；④ P A B P A P B P AB ，故④不一定成立.故答案为：②③.9. 2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）【答案】240【分析】先将5名志愿者分成四组，然后再分配到四个地方即可.【详解】将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有25C 种情况，所以不同的分配方法有2454C A 240 .故答案为：240.10. 已知全集为实数集R ，集合21|225616x M x，N = 25|log (4)1x x x ，则 M N =____________．【答案】 ,25,【分析】根据指数函数和对数函数的单调性解不等式得到M ，M ，N ，然后求交集即可. 【详解】不等式21225616x 可整理为428222x ，所以428x ，解得24x ，所以 24M x x ， 2M x x 或 4x ，不等式25log 41x x 可整理为255log 4log 5x x ，所以245x x ，即 510x x ，解得1x 或5x ，所以1N x x 或 5x ， ,25,M N . 故答案为： ,25, .11. 在空间直角坐标系O xyz 中，点 7,4,6P 关于坐标平面xOy 的对称点P 在第_______卦限；若点Q 的坐标为 8,1,5 ，则向量PQ 与向量PP夹角的余弦值是____________．【答案】 ①. 五 ②.9【分析】根据坐标平面对称先求出P 的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果；利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案.【详解】点 7,4,6P 关于坐标平面xOy 的对称点P 为(7,4,6) ，根据卦限在空间中的位置，所以点P 在第五卦限.由已知可得(1,5,1)PQ ，(0,0,12)PP，所以cos ,9PQ PP故答案为：五；912. 已知函数 3232f x ax x -+，若函数 f x 只有一个零点0x ，则实数a 的取值范围为________.【答案】,【分析】对a 分类讨论：0a ，0a 和a<0，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解. 【详解】函数 3232f x ax x -+导函数为 263f x ax x -.当0a 时，令 0f x，解得：3x，所以函数 f x 有两个零点，不符合题意. 的当0a 时，要使函数 f x 只有一个零点0x ，只需 f x 的极大值小于0或 f x 的极小值大于0. 令 2036f x ax x -，解得：0x 或20x a. 列表：所以极大值 32030200f a -+不符合题意.所以极小值32243220222f a a a a a-+，解得：a ；当a<0时，要使函数 f x 只有一个零点0x ，只需 f x 极大值小于0或 f x 的极小值大于0. .令 2036f x ax x -，解得：0x 或20x a. 列表：所以极大值 32030200f a -+不符合题意.所以极小值32243220222f a a a a a-+，解得：a .综上所述：实数a 的取值范围为, .故答案为：,.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．13. 已知数列 n a 是等差数列，11548a a ，，则38133a a a （） A. 120 B. 96C. 72D. 48【答案】A【分析】根据等差数列的下标性质计算可得结果. 【详解】因为 n a 是等差数列，11548a a ，所以8248a ，即824a ，所以38133a a a 888235524120a a a . 故选：A14. 若实数x ,y 满足2243x y xy ，则（）成立． A. 1xy B. 2244x yC. 2x yD. 2x y.【答案】B【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解.【详解】由2243x y xy 和基本不等式2244x y xy （当224x y 时等号成立）， 22434x y xy xy xy ，当0xy 时，有1xy ，当0xy 时，35xy ，A 错误；由xy xy （当,x y 同号时等号成立）得：2222222243444,,43444x y xy xy x y xy x y xy x y ，2244x y ，B 正确；2224253x y xy x y xy ， 2235358x y xy （当224x y 时等号成立），2x y ，C ，D 错误；故选：B.15. 在233nx x 的二项展开式中，533r n r n r nx C 称为二项展开式的第1r 项，其中r =0，1，2，3，……，n ．下列关于233n x x的命题中，不正确的一项是（）A. 若8n ，则二项展开式中系数最大的项是1426383x C ．B. 已知0x ，若9n ，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是35403x．C. 若10n ，则二项展开式中的常数项是44103C ．D. 若27n ，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项．【答案】D【分析】A 选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B 选项：根据题意列不等式，然后分01x 和1x 两种情况解不等式即可；C 选项：令51003r，解方程即可；D 选项：令52703r，解不等式即可.【详解】A 选项：令8178881988C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r，解得5944r ，所以2r ，所以A 正确； B 选项：22171827339933xx C C ，整理可得5343x，当01x 时，不等式恒成立；当1x 时，解得35413x ，所以35403x，故B 正确；C 选项：令51003r ，解得6r ，所以常数项为610644101033 C C ，故C 正确； D 选项：令52703r ，解得815r ，所以r 可取17,18,27 ，共11项，故D 错. 故选：D.16. “阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）平方尺.A. 142B. 140C. 138D. 128【答案】C【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为22R，外接球的表面积24138S R . 故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. 已知数列 n a 满足：112a，21a ，2145n n n a a a ，对一切正整数n 成立．（1）证明：数列{1n n a a }是等比数列；（2）求数列 n a 的前n 项之和．【答案】（1）证明见解析（2）4118318n n n S【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式求解出数列的通项公式，再利用分组求和即可得到结果. 【小问1详解】证明：∵12112a a ，∴2112a a ，∵2145n n n a a a ，对一切正整数n 成立，∴ *2114n n n n a a a a n N ，，即2114n n n na a a a ． ∴数列{1n n a a }是以12为首项，4为公比的等比数列．小问2详解】由(1)知，12311422n-n n n a a， ∴112211()()()+n n n n n a a a a a a a a 2527291122222n n n1231114(21)633n n, 当n =1时，1111(21)32a 满足上式，综上所述，n a23*1213n nN . 设数列 n a 的前n 项之和为n S ，则1146314n n n S =144131818318n nn n ．18.平面向量2(3sin ,cos ),(cos ,m x x n x，函数()2y f x m n. （1）求函数y =()f x 的最小正周期；（2）若[0,]2x ，求y =()f x 的值域；（3）在△ABC 中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知()f B，2,a b ABC 的面积.【答案】（1）π （2）2【（3）2【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到26xf x，然后求最小正周期即可；（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；（3）利用余弦定理得到c，然后利用三角形面积公式求面积即可. 【小问1详解】233sin cos sin2cos2222262m n x x x x x x，所以26xf x，最小正周期为 .【小问2详解】设26x，0,2x，566，在,62上严格增，在5,26上严格减，1sin62，51sin62，sin12，所以y= ()f x的值域为2．【小问3详解】()f B ，即sin216B，因为B为三角形内角，所以3B．2471cos222cBc，即2230c c，解得3c .所以△ABC的面积为1sin3222ac B .19. 如图所示，在矩形ABCD中，4AB ，2AD ，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADEV向上折起，使D点折到P点，且PC PB．（1）求证：PO 面ABCE；（2）求AC与面P AB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）15．【分析】（1）取BC 的中点F ，连OF ，PF ，证明OF BC ，BC PF ，得到BC 面POF ，从而证明BC PO ，然后可得PO 面ABCE ；（2）作//OG BC 交AB 于G ，则OG OF ，然后以点O 为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可. 【小问1详解】由题意，可得PA PE ，OA OE ，则PO AE ，取BC 的中点F ，连OF ，PF ，可得OF AB ∥，所以OF BC ，因为PB PC ，BC PF ，且PF OF F ，所以BC 平面POF ，又因为PO 平面POF ，所以BC PO ．又由BC 与AE 相交直线，所以PO 平面ABCE ．【小问2详解】作//OG BC 交AB 于G ，则OG OF 如图建立空间直角坐标系，则(1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(2,4,0),((0,4,0)A B C P AC AP AB，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z，则040n AP x y n AB y，所以可取n ，所以AC 与面PAB 所成角的正弦值sin cos ,15n AC. 20. 已知椭圆Γ：22221x y a b （0a b）的离心率为3，它的上顶点为A ，左、右焦点分别为 1,0F c ，2,0F c （常数0c ），直线1AF ，2AF 分别交椭圆Γ于点B ，C ．O 为坐标原点．为（1）求证：直线BO 平分线段AC ；（2）如图，设椭圆Γ外一点P 在直线BO 上，点P 的横坐标为常数m （m a ），过P 的动直线l 与椭圆Γ交于两个不同点M 、N ，在线段MN 上取点Q ，满足MP MQPN QN，试证明点Q在直线2260mx c 上．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由离心率3c e a，将a ，b 均用c 表示，求出直线1AF 的方程，与椭圆方程联立求得点B 坐标，即可得到直线BO 的方程，根据椭圆的对称性，求出点C 的坐标，再证出AC 中点在直线BO 上即可；（2）设 11,M x y ， 22,N x y 和MP MQPN QN，用线段定比分点坐标公式将P ，Q 坐标表示出来，并代入2260mx c ，结合P 的横坐标为m 和M ，N 在椭圆上，进行运算证明即可.【小问1详解】由题意，3c e a，则a，b，∴ A ， ∴椭圆Γ方程为2222132x y c c，即222236x y c ，∴直线1AF的斜率100AF k c，直线1AF的方程为 y x c ，联立 222236,,x y c y x c 消去y ，化简得2230x cx ，解得0A x ，32B x c ，即点B 的横坐标为32B x c ，代入直线1AF的方程，得3,22B c c， ∴直线BO的斜率023302OBc k c，直线BO的方程为3y x ，∵3,22B c c，∴由椭圆的对称性知3,22C c c，又∵ A ，∴线段AC 的中点坐标为3,44c c，∵3344c c ，∴线段AC 的中点3,44c c在直线BO ：3y x 上，即直线BO 平分线段AC . 【小问2详解】设过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同点的坐标为 11,M x y ， 22,N x y ，∵M ，N 在椭圆Γ上，∴22211236x y c ，22222236x y c ∵MP MQ PN QN ，∴设MP MQPN QN，易知0 ，且1 ，则由已知，有MP PN ，MQ QN，∴由线段定比分点坐标公式，有1212,11x x y y P，1212,11x x y y Q，∵点P 的横坐标为常数m （m a ）， ∴121x x m，又∵点P 在直线BO ：3y x 上，∴1213y y m 1231y y，将1212,11x x y y Q代入2mx ，得121212122311121mx y y y x x x x y y2222221212222311x x y y222221122223231x y x y2222661c c222611c26c ，即点1212,11x x y y Q在直线2260mx c 上. 【点睛】本题的两问证明，实质上都是证明点在直线上，第（1）问证明AC 中点在直线BO 上，即可证明直线BO 平分线段AC ，第（2）问设MP MQPN QN，由线段定比分点坐标公式求得Q 的坐标，即可结合M ，N ，P 的坐标，证明点Q 在直线2260mx c 上. 21. 已知函数f (x )＝－2a ln x －2x ，g (x )＝ax －(2a ＋1)ln x －2x，其中a ∈R. （1）若x ＝2是函数f (x )的驻点，求实数a 的值；（2）当a >0时，求函数g (x )的单调区间；（3）若存在x [1e，e 2 ]（e 为自然对数的底），使得不等式f (x ) g (x )成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12（2）答案见解析（3） e,【分析】（1）根据2x 是函数 f x 的驻点得到 20f ，然后列方程求a 即可；（2）求导，分12a、12a 和102a 三种情况讨论单调性即可；（3）将存在21,e e x，使得不等式 f x g x 成立转化为 min a h x ，然后利用单调性求最值即可. 【小问1详解】若2x 是函数 f x 的驻点，则 20f ，可得2122022a ，即得12a ．【小问2详解】函数 g x 的定义域为 0, ，222221212212ax a x ax x a g x a x x x x，当0a 时，令 0g x ，可得10x a或2x ， ①当12a ，即12a 时，对任意的0x ， 0g x ，此时，函数 g x 的单调递增区间为 0, ． ②当102a，即12a 时，令 0g x ，得10x a或2x ，令 0g x，得12x a，此时，函数 g x 的单调递增区间为10,a和2, ，单调递减区间为1,2a. ③当12a ，即102a 时，令 0g x ，得02x 或1x a ；令 0g x ，得12x a，此时，函数 g x 的单调递增区间为 0,2和1,a，单调递减区间为12,a .【小问3详解】由 f x g x ，可得ln 0ax x ，即ln x a x ，其中21,e e x，令 ln x h x x，21,e e x ，若存在21,e e x，使得不等式 f x g x 成立，则 min a h x ，21,e e x， 21ln x h x x ，令 0h x ，得e x ，当1e ex 时， 0h x ，当2e e x 时， 0h x ， ∴函数 h x 在1,e e上严格递增，在 2e,e上严格递减， ∴函数 h x 在端点1ex 或2e x 处取得最小值． ∵1e e h，222ee h∴ 1h he e ， ∴ min 1h x he e ，∴e a ≥，因此，实数a 的取值范围是 ,e【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论：（1）存在 min a f x a f x ；（2）存在maxa f x a f x .。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：不等式

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编不等式一、填空题 1、（虹口区2015届高三上期末）若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 2、（嘉定区2015届高三上期末）设正数a 、b 满足ab b a =+32，则b a +的最小值是__________3、（金山区2015届高三上期末）不等式：11>x 的解是 ▲ 4、（静安区2015届高三上期末）不等式01271<--x 的解集是5、（静安区2015届高三上期末）已知实数x 、y 满足1+≥y x ，则xy 2-的取值范围是6、（浦东区2015届高三上期末）不等式21x>的解为7、（青浦区2015届高三上期末）已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为 8、（徐汇区2015届高三上期末）若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为二、选择题1、（崇明县2015届高三上期末）若0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为……………………………（）A. p q <B. p q ≤C. p q >D. p q ≥2、（浦东区2015届高三上期末）下列四个命题中，为真命题的是（）()A 若a b >，则22ac bc > ()B 若a b >，c d >则a c b d ->-()C 若a b >，则22a b >()D 若a b >，则11a b< 3、（普陀区2015届高三上期末）设a 、∈b R ，且0<ab ，则……………………………………（）)(A ||||b a b a -<+ )(B ||||b a b a ->+ )(C ||||||b a b a -<- )(D ||||||b a b a +<-三、解答题1、（宝山区2015届高三上期末）解不等式组|1|3213-<⎧⎪⎨>⎪-⎩x x2、（宝山区2015届高三上期末）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计）.3、（闸北区2015届高三上期末）请仔细阅读以下材料：已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数．求证：命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．证明因为+∈R ,b a ，由1>ab 得01>>ba ．又因为()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，于是有)1()(b f a f >． ①同理有)1()(af b f >． ②由① + ②得)1()1()()(bf a f b f a f +>+．故，命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．请针对以上阅读材料中的()f x ，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设+∈R ,b a ，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则：1>ab ”是真命题；（2）解关于x 的不等式11()(2)()(2)x x x x f a f f a f ---+>+（其中0a >）．参考答案一、填空题1、162、625+3、0<x <14、)4,21(5、]2,2[-6、0x >7、3 8、16二、选择题1、B2、C3、A三、解答题 1、由题意得：由（1）解得24x -<< ………………………………………………………3分由（2）解得35x << …………………………………………………………6分所以，不等式解集为（3,4）………………………………………8分2、解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x∴窗框的高为3x ，宽为376x-． ……………………………2分即窗框的面积 y = 3x ·376x -=-7x 2+ 6x ( 0 < x <76) ……5分配方：y =79)73(72+--x ( 0 < x < 2 ) ……………………7分∴当x =73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大. …………………………………………………………………………8分3、解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设+∈R b a ,，若1≤ab ，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+ ……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题：因为+∈R b a ,，由1≤ab 得：10a b<≤， …………………………1分又()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数所以1()()f a f b≤…………（1） …………………………1分同理有：1()()f b f a≤…………（2） …………………………1分由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b +≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：121x x a -⋅>，即：(2)x a a > ………………………3分①当21a >时，即12a >时，不等式的解集为：2(log ,)a a +∞ ……………2分 ②当021a <<时，即102a <<时，不等式的解集为：2(,log )a a -∞ ………2分③当21a =时，即12a =时，不等式的解集为：R ……………2分x 2x。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（宝山区2015届高三上期末）直线20x y +=被曲线2262x y x y+--150-=所截得的弦长等于2、（崇明县2015届高三上期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AFK ∆的面积为3、（奉贤区2015届高三上期末）若双曲线122=-ky x 的一个焦点是(3,0)，则实数k = .4、（奉贤区2015届高三上期末）已知圆222:C x y r +=与直线34100x y -+=相切，则圆C 的半径r =5、（虹口区2015届高三上期末）椭圆2214x y +=的焦距为6、（虹口区2015届高三上期末）若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为7、（黄浦区2015届高三上期末）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是8、（嘉定区2015届高三上期末）若椭圆122=+y mx 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则=m _________ 9、（金山区2015届高三上期末）已知点A (–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 ▲ 10、（静安区2015届高三上期末）直线经过点)1,2(-P 且点)1,2(--A 到直线的距离等于1，则直线的方程是 11、（浦东区2015届高三上期末）关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是12、（浦东区2015届高三上期末）双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 13、（普陀区2015届高三上期末）若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 14、（普陀区2015届高三上期末）若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 内，则实数m 的取值范围是15、（青浦区2015届高三上期末）抛物线28y x =的动弦AB 的长为6，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离是16、（松江区2015届高三上期末）已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ▲17、（徐汇区2015届高三上期末）若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为18、（杨浦区2015届高三上期末）已知直线经过点()()1,2,3,2A B --，则直线的方程是_________________二、选择题1、（宝山区2015届高三上期末）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（）（A ）（B ）2 （C （D ）12、（宝山区2015届高三上期末）圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) （A ）023=-+y x （B ）043=-+y x （C ）043=+-y x （D ）023=+-y x3、（奉贤区2015届高三上期末）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的方程为（）A ．13422=+y xB ．1322=+y xC ．1222=+y x D ．1422=+y x 4、（嘉定区2015届高三上期末）设a 、b 是关于的方程0sin cos 2=-θθt t 的两个不相等实根，则过),(2a a A 、),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点个数是…………………（） A ．3 B ．2 C ． D ．05、（浦东区2015届高三上期末）设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为（）()A 1422=+y x ()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y6、（杨浦区2015届高三上期末）圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y xC ．01222=+-++y x y xD ． 041222=+--+y x y x三、解答题1、（宝山区27）已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点PC 于,A B 两点，若点P 的纵坐标为(0)mm ≠，点D 为准线与x 轴的交点． (1)求直线PF 的方程；(2)求DAB ∆面积S 的取值范围．2、（宝山区31）在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点(0,、(的距离之和等于4．设点P 的轨迹为C ．(1)写出轨迹C 的方程；(2)设直线1y kx =+与C 交于A 、B 两点，问k 为何值时?⊥此时|AB |的值是多少？3、（崇明县22）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线():l y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.4、（奉贤区29）曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2(0)k k >的点的轨迹，设曲线C 的轨迹方程(,)0f x y =．（1）求曲线C 的方程(,)0f x y =；（2）定义：若存在圆M 使得曲线(,)0f x y =上的每一点都落在圆M 外或圆M 上，则称圆M 为曲线(,)0f x y =的收敛圆．判断曲线(,)0f x y =是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．5、（虹口区23）已知12F F 、为为双曲线22221x y C a b -=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形.（1）求双曲线C 的方程；（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点2F 的直线，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆的面积为.6、（黄浦区23）在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=.直线是过点D 的任意一条直线．(1)求动点M 所在曲线C 的轨迹方程；(2)设直线与曲线C 交于G H 、两点，且||GH =(3)(理科)若直线与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P (点P 不同于点O A B 、、)，直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．7、（嘉定区21）已知点)2,0(-A ，椭圆E ：12222=+by a x （0>>b a ）的长轴长为4，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的一个方向向量为)2,3(=d，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的动直线与椭圆E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积S 最大时，求的方程．8、（金山区22）动点P 与点(0,1)F 的距离和它到直线:l 1y =-的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C ． (1) 求曲线C 的方程；(2) 设点()0,(A a a >2,动点T 在曲线C 上运动时，AT 的最短距离为1-a ，求a 的值以及取到最小值时点T 的坐标；(3) 设21,P P 为曲线C 的任意两点，满足21OP OP ⊥(O 为原点)，试问直线21P P 是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．9、（浦东27）已知直线12y x =与抛物线22(0)y px p =>交于O 、A 两点（F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点），若17AF =，求OA 的垂直平分线的方程.10、（浦东32）已知三角形ABC △的三个顶点分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，(0,1)C .（1）动点P 在三角形ABC △的内部或边界上，且点P 到三边,,AC AB BC 的距离依次成等差数列，求点P 的轨迹方程；（2）若0a b <≤，直线:y ax b =+将ABC △分割为面积相等的两部分，求实数b 的取值范围.11、（普陀区19）已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.12、（青浦区21）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．O13、（松江区23）（理）对于曲线:(,)0C f x y =，若存在最小的非负实数m 和n ，使得曲线C 上任意一点(,)P x y ，||,||x m y n ≤≤恒成立，则称曲线C 为有界曲线，且称点集{(,),}x y x m y n ≤≤为曲线C 的界域．（1）写出曲线22(1)4x y -+=的界域；（2）已知曲线M 上任意一点P 到坐标原点O 与直线1x =的距离之和等于3，曲线M 是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C 上任意一点(,)P x y 到定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积为常数(0)a a >，求曲线的界域．14、（徐汇区22）已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值；（2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．15、（杨浦区22）如图，曲线Γ由曲线()22122:10,0x y C a b y a b +=>>≤和曲线()22222:10x y C y a b -=>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点，（1）若()()232,0,6,0F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点A 、B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l过点4F 交曲线1C 于点C 、D ，求1CDF ∆面积的最大值。

上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编专题数列数学归纳法与极限解析含解析

一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++．考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =．考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ．【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为（用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。

2019-2020年高三上学期期末数学试卷含解析(I)

2019-2020年高三上学期期末数学试卷含解析(I)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B=．2．已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．3．某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．4．根据如图所示的伪代码，则输出S的值为．5．从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．6．若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为．7．已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．8．若函数的最小正周期为，则的值为．9．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q的值为．10．已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为．11．若实数x，y满足，则的最小值为．12．已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．13．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为．14．已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、4万元∕km ．（1）求A ，B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且右焦点F 到左准线的距离为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N ．（i ）当直线PA 的斜率为时，求△MFN 的外接圆的方程；（ii ）设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△PAQ 的面积的最大值．19．（16分）已知函数ax ex x f -=2)(2,ax x x g -=ln )(,R a ∈（1）解关于x （x ∈R ）的不等式f （x ）≤0；（2）证明：f （x ）≥g （x ）；（3）是否存在常数a ，b ，使得f （x ）≥ax +b ≥g （x ）对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a ，（a n +1）（a n +1+1）=6（S n +n ），n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对于∀n ∈N *，都有S n ≤n （3n +1）成立，求实数a 取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n }中的部分项按原来的顺序构成数列{b n }，且b 1=a 2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n }．附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a，b，c为正实数， +++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：++…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B={﹣2，0，3} ．【考点】并集及其运算．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，∴A∪B={﹣2，0，3}．故答案为：{﹣2，0，3}．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，则z的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为14．【考点】茎叶图．【分析】求出剩下的4个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可．【解答】解：剩下的4个分数是：42，44，46，52，平均数是：46，故方差是：（16+4+0+36）=14，故答案为：14．【点评】本题考查了读茎叶图问题，考查求平均数以及方差问题，是一道基础题．4．根据如图所示的伪代码，则输出S的值为20．【考点】程序框图．【分析】根据条件进行模拟计算即可．【解答】解：第一次I=1，满足条件I≤5，I=1+1=2，S=0+2=2，第二次I=2，满足条件I≤5，I=2+1=3，S=2+3=5，第三次I=3，满足条件I≤5，I=3+1=4，S=5+4=9，第四次I=4，满足条件I≤5，I=4+1=5，S=9+5=14，第五次I=5，满足条件I≤5，I=5+1=6，S=14+6=20，第六次I=6不满足条件I≤5，查询终止，输出S=20，故答案为：20【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，再用列举法求出所取2个数的和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取2个数的和能被3整除的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n=，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共有5个，∴所取2个数的和能被3整除的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6．若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a 的值为1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线的右焦点为（，0），由题意可得为=2，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，同时考查抛物线的焦点，考查运算能力，属于基础题．7．已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面直径与高都是2，∴母线长为：=，∴圆锥的侧面积为：πrl=．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．8．若函数的最小正周期为，则的值为﹣．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，再利用诱导公式求得的值．【解答】解：∵函数的最小正周期为=，∴ω=10，则=sin（10π•﹣）=sin=sin=﹣sin=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．9．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵S2=2a2+3，S3=2a3+3，∴a1=a1q+3，a1（1+q）=+3，∴q2﹣2q=0，q≠0．则公比q=2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为（﹣∞，﹣3] ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x﹣3=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）≤﹣5等价为2x﹣3≤﹣5即2x≤﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）≤﹣5等价为﹣2﹣x+3≤﹣5即2﹣x≥8，得﹣x≥3，即x≤﹣3；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）≤﹣5不成立，综上，不等式的解为x≤﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．11．若实数x，y满足，则的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】实数x，y满足，可得x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足，∴x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6≥+6=8，当且仅当y=4（x=）时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得与夹角的余弦值．【解答】解：非零向量满足，不妨设=1，设与夹角为θ，如图所示：设=，=，=+，则OA=0B=0C=1，设=2=2，则=2﹣，∠ODA即为θ，△OAC和△OBC都是边长等于3的等边三角形．利用余弦定理可得BD==，cosθ==，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题．13．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为[7，13] ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出AB的中点的轨迹方程，即可求出的取值范围．【解答】解：取AB的中点C，则=2||，C的轨迹方程是x2+y2=，|C1C2|=5由题意，||最大值为5+1+=，最小值为5﹣1﹣=．∴的取值范围为[7，13]，故答案为[：7，13]．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．14．已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为[﹣20，﹣16] ．【考点】分段函数的应用．【分析】因为y=sinx （x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a （x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a （x≥1）与x轴有3个交点即可，【解答】解：因为y=sinx （x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a （x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1），g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=2（x﹣2）（x﹣4），当x∈（1，2），（4，+∞）时g（x）单调递增，当x∈（2，4）时g（x）单调递减，依题意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有3个交点即可，及g（1）=16+a≤0，g（2）=20+a≥0，∴﹣20≤a≤﹣16．故答案为[﹣20，﹣16]【点评】题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）（2016秋•淮安期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA，结合sinA≠0，可求，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用倍角公式可求sin2B，cos2B，由sin（B﹣C）=sin（2B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…（2分）即2cosAsinA=sinA，因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2cosA=1，即，…（4分）又A∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，B∈（0，π），所以，…（8分）所以，，…（10分）所以=…（12分）==．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．【解答】证明：（1）取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF=AB，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC=AB，所以MF平行且等于NC，所以四边形MNCF是平行四边形，…（4分）所以MN∥CF，又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC．…（7分）（2）在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB，…（10分）又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC．…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由tan∠BAN=，∠BCN=，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，则总铺设费用为．设，则，，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．【解答】解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，，所以，在Rt△BCD中，，所以CD=BD．则，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，所以．则总铺设费用为．…（8分）设，则，令f'（θ）=0，得，列表如下：所以f（θ）的最小值为．所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时．…（12分）而，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向km处，总铺设费用最低．…（14分）【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题18．（16分）（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：离心率e==，则a=c，右焦点F到左准线的距离c+=6，即可求得c和a的值，则b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；（2）（i）设直线方程为：y=（x+4），求得M点，即可求得NF的方程和N的坐标，则丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9；（ii）设直线方程为：y=k（x+4），代入椭圆方程，求得P点坐标，求得直线PF方程，则求得N点坐标，则直线AN：y=﹣﹣，代入椭圆方程，求得M点坐标，求得丨AM丨，△PAQ的面积S===≤=10．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由离心率e==，则a=c，由右焦点F到左准线的距离c+=6，解得：c=2，则a=4，由b2=a2﹣c2=8，∴椭圆的标准方程为：；（2）（i）由（1）可知：椭圆的左顶点（﹣4，0），F（2，0），设直线方程为：y=（x+4），即y=x+2，则M（2，0），k MF==﹣，则k NF=，直线NF：y=（x﹣2）=﹣4，则N（0，﹣4），丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9，（ii）设直线方程为：y=k（x+4），∴，整理得：（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣16=0，解得：x1=4，x2=，则y2=，则P（，），∴k MF==﹣k，由M（0，4k），F（2，0），∴k NF=，则NF：y=（x﹣2），则N（0，﹣），则直线AN：y=﹣﹣，代入椭圆方程：整理得：（1+）x2+x+﹣16=0，解得：x1=4，x2=，则y2=，则Q（，），∴k PQ=，直线PQ：y﹣=（x﹣），则x M =﹣=，∴丨AM 丨=+4=，△PAQ 的面积S==••=，=≤=10，当且仅当2k=，即k=时，取最大值，△PAQ 的面积的最大值10．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考三角形的面积公式的应用，考查基本不等式的综合应用，属于难题．19．（16分）已知函数ax ex x f -=2)(2,ax x x g -=ln )(,R a ∈（1）解关于x （x ∈R ）的不等式f （x ）≤0；（2）证明：f （x ）≥g （x ）；（3）是否存在常数a ，b ，使得f （x ）≥ax +b ≥g （x ）对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出不等式的解集即可；（2）设h （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可；（3）假设存在，得到对任意的x ＞0恒成立，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）当a=0时，，所以f （x ）≤0的解集为{0}；当a ≠0时，，若a＞0，则f（x）≤0的解集为[0，2ea]；若a＜0，则f（x）≤0的解集为[2ea，0]．综上所述，当a=0时，f（x）≤0的解集为{0}；当a＞0时，f（x）≤0的解集为[0，2ea]；当a＜0时，f（x）≤0的解集为[2ea，0]．…（4分）（2）设，则．令h'（x）=0，得，列表如下：所以函数h（x）的最小值为，所以，即f（x）≥g（x）．…（8分）（3）假设存在常数a，b使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立，即对任意的x＞0恒成立．而当时，，所以，所以，则，所以恒成立，①当a≤0时，，所以（*）式在（0，+∞）上不恒成立；②当a＞0时，则，即，所以，则．…（12分）令，则，令φ'（x）=0，得，当时，φ'（x）＞0，φ（x）在上单调增；当时，φ'（x）＜0，φ（x）在上单调减．所以φ（x）的最大值．所以恒成立．所以存在，符合题意．…（16分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2016秋•淮安期末）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对于∀n∈N*，都有S n≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），可得（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），因此a n+1﹣a n﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由S n≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+...+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+ (4)﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得k n是正整数，因此以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），所以（a n+1）（a n+1+1）﹣（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n+n）﹣6（S n﹣1+n﹣1），即（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），又a n＞0，所以a n+1﹣a n﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由S n≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，而当n≥2时，，即，…（14分）又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=3m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）【点评】本题考查了构造方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．（2016秋•淮安期末）如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】证明△ABD∽△BDE，即可证明结论．【解答】证明：因为D为弧BC的中点，所以∠DBC=∠DAB，DC=DB，因为AB为半圆O的直径，所以∠ADB=90°，又E为BC的中点，所以EC=EB，所以DE⊥BC，所以△ABD∽△BDE，所以，所以AB•BC=2AD•BD．…（10分）【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．（2016秋•淮安期末）已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，求实数a，b的值．【考点】特征向量的定义．【分析】由条件知，Aα=2α，从而，由此能求出a，b的值．【解答】解：∵矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，∴由条件知，Aα=2α，即，即，…（6分）∴，解得∴a，b的值分别为2，4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】根据极坐标方程，参数方程与普通方程的关系求出曲线的普通方程，利用点到hi直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由ρsin（θ﹣）=m得ρsinθcos﹣ρcosθsin=m，即x﹣y+m=0，即直线l的直角坐标方程为x﹣y+m=0，圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，圆心C到直线l的距离，解得m=﹣1或m=﹣5．【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，结合点到直线的距离公式解决本题的关键．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2016秋•淮安期末）已知a，b，c为正实数， +++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据基本不等式的性质求出m的值，从而解不等式即可．【解答】解：因为a，b，c＞0，所以=，当且仅当时，取“=”，所以m=18．…（6分）所以不等式|x+1|﹣2x＜m即|x+1|＜2x+18，所以﹣2x﹣18＜x+1＜2x+18，解得，所以原不等式的解集为．…（10分）【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解不等式问题，是一道基础题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（2016秋•淮安期末）甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用古典概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．（2）利用互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E．甲选做D题的概率为，乙，丙不选做D题的概率都是．则．答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以X的概率分布为X的数学期望．【点评】本题考查了古典概率计算公式、互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（2016秋•淮安期末）已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：++…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．【分析】（1）（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．即可证明．（2）当k∈N*时，=．即可证明．【解答】（1）解：（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．所以．（2）证明：当k∈N*时，=．所以=．由（1）知，即，所以．【点评】本题考查了二项式定理的性质、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案

5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程．（2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ．（1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ；（2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立，求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用

2024年上海市静安区高三上学期期末高考一模英语试卷含答案

静安区2023学年度第一学期期末教学质量调研高三英语试卷(满分140分,完卷时间120分钟)2023年12月考生注意：1.完卷时间120分钟,试卷满分140分。

2.本调研设试卷和答题纸两部分，全卷共12页。

所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

3.答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名。

第Ⅰ卷(共100分)I.Listening ComprehensionSection ADirections:In Section A,you will hear ten short conversations between two speakers.At the end of each conversation,a question will be asked about what was said.The conversations and the questions will be spoken only once.After you hear a conversation and the question about it,read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1.A.In a gallery. B.At the barber's. C.In a restaurant. D.At the tailor's.2.A.Fellow workers. B.Family members.C.Doctor and patient.D.Driver and passenger.3.A.Choosing psychology. B.Choosing economics.C.Neither is a good choice.D.Choosing a major of interest.4. A.She did not feel sorry for being late for the appointment.B.She did not inform the man of her del ay in advance.C.She wasn't really caught in the traffic jam.D.She wasn't always late for the appointment.5. A.It was lost and won't be found. B.It was transferred to a different city.C.It was delivered to her hotel already.D.It was stolen during her trip.6．. A.He has realized he still leaves much to be desired.B.He is angry with not getting the lead role in the play.C.He is confident about getting the lead role next time.D.He feels reluctant to take the new responsibilities.7. A.They told a lot of stories during the meeting.B.There is no need for them to argue so fiercely in public.C.Both perspectives should be considered before judging.D.They should have resolved their issues in private.8. A.She has already been to the café.B.She is not interested in going to the café.C.She knows about the cafébut hasn't visited it.D.She wants to go to the caféright away.9. A.She expects the man to help Brian move to a new house.B.She expects the man to take mum to Brain's new house.C.She expects the man to celebrate mum's birthday together.D.She expects the man to make a phone call to Mum.10.A.The fantastic and high-quality camera. B.The need for better internet connectivity.C.Their favorite photography techniques.D.The pros and cons of a new smartphone.Sect ion BDirections:In Section B,you will hear two short passages and one longer conversation.After each passage or conversation,you will be asked several questions.The passages and the conversation will be read twice,but the questions will be spoken only once.When you hear a question,read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions11through13are based on the following passage.11.A.Its regular driving practices and poor vehicles.B.Its lack of green spaces and air cleaners.C.Its excessive water pollution and rubbish.D.Its high air pollution and crowded roads.12.A.Establishing a high interest loan scheme.B.Removing outdated black and white taxis.C.Encouraging customers to create new ideas.D.Making advertisements on old vehicles.13.A.Because customers are more friendly and richer.B.Because all new cabs provide air-conditioning.C.Because all new cabs are equipped with meters.D.Because car manufacturers can earn extra money.Questions14through16are based on the following passage.14.A.Canceling all the gifts. B.Applying a‘one-gift’rule.C.Giving children less time to play.D.Encouraging buying second-hand gifts.15.A.Buying a rare and expensive souvenir.B.Buying a hand-made craft product.C.Giving something that won't cost money.D.Giving an experience of something new.16.A.The waste caused by Christmas gifts.B.The importance of buying gifts for children.C.The creative ideas of giving gifts to avoid waste.D.The negative effects of receiving too many gifts.Questions17through20are based on the following conversation.17.A.By trading physical items. B.By exchanging artistic creativity.C.By hosting art exhibitions.D.By making artistic advertisements.18.A.Painting and writing. B.Graphic design and photography.C.Music and album cover design.D.Video editing and project management.19.A.Members can benefit without efforts.B.Members can make money by providing artistic services.C.Members can get copyrights of other artistic offerings.D.Members can have access to the creative exchange list.petitive individualism. B.Artistic cooperation and inspiration.C.Individual fame in the art field.D.Material collaboration and exchange.II.Grammar and VocabularySection ADirections:After reading the passage below,fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct.For the blanks with a given word,fill in each blank with the proper form of the given word;for the other blanks,use one word that best fits each blank.Japan's robot revolution in senior careJapan's artificial intelligence expertise is transforming the elder care industry,with21(specialize)robotic care accomplishing more than just taking pressure off the critical shortage of caregivers.Senior care facilities across Japan are testing out such new robots22deliver a collection of social and physical health care and the government-backed initiative has been met with positive reviews by elderly residents.The rapidly graying population23(eye)by the government as a potential market for medical technology now.Disappointing government predictions show that by2025,Japan's first baby boomers will have turned75 and about7million people are likely to suffer from some form of dementia(痴呆).The nation won't be able to avoid a dementia crisis24an additional380.000senior care workers.The long-standing shortage of professional care workers has encouraged the Japanese government25 (simplify)procedures for foreign caregivers to be trained and certified.The current Technical Intern Training Program between Vietnam,the Philippines,and Indonesia,under26Economic Partnership Agreement,was extended to include nursing care as well as agriculture,fishery,and construction sectors.27the government made efforts to increase the numbers of senior care workers,the target number of foreign graduates has still fallen flat,with the national caregiver examination proving a major obstacle to pass. The success rate for foreign students was a merely106students last year,28has slightly improved to216 students this year.Another depressing reality is that19to38percent of foreign nurses who pass the exam opt to leave the industry and return home,29(cite)tough work conditions and long hours.Given the challenges,this is 30the government believes care robots will be able to step in.Section BDirections:Complete the following passage by using the words in the box.Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.A.smoothingB.remainC.switchedD.likelihoodE.impactF.tipG.broadly H.headed I.booming J.positioning K.reliablySea-level rise predictionsA team of University of Idaho scientists is studying a fast-moving glacier in Alaska in hopes of developing better predictions on how quickly global sea levels will rise.Tim Bartholomaus,a professor in the Department of Geography and Geological Sciences,spent several weeks on Turner Glacier in Alaska's southeastern31near Disenchantment Bay.The glacier is unique because, unlike other glaciers,it rises greatly every five to eight years.A surging glacier is defined,32,as one that starts flowing at least10times faster than normal.But the how and why of that glacial movement is poorly understood,although recent research suggests that global climate change increases the33of glacial surging.During Turner's surges,the mass of ice and rock will increase its speed from roughly3feet a day to65feet per day.All of that is important because glaciers falling into the ocean are a major contributor to sea level rise,and current climate change models don't34account for these movements.For example,Greenland's glaciers are one of the leading contributors to global sea-level rise.Since the early2000s,Greenland35from not having any effect on world sea levels,to increasing sea level by about1millimeter per year.Half of that yearly increase is due to warmer average temperatures,which leads to more ice melting.The other half,however,is because glaciers in Greenland are,as a whole,moving faster and running into the ocean more frequently.Glacial movement has something to do with water running underneath the glacier.Glaciers are full of holes, and water runs through those holes.When the water pressure is high underneath a glacier,it starts to move,partly because it's lifting the mass of ice and rock off the ground and partly because it's36the underside of the glacier.But how exactly does that water move through the glacier,and how does the movement37the glacier’s speed?Those are the questions the scientists hope to answer.Bartholomaus,some graduate students and researchers from Boise State University,38onto the ice in August.They set up a base camp at the toe of the glacier and spent their days flying in on helicopters.They placed roughly30instruments,burying them deeply into the glacier and39them on rock outcroppings(露岩) alongside the glacier.This summer the team will return to get the instruments and replace batteries.Those instruments will40on and around the glacier until the glacier surge stops,providing researchers with before and after data.III.Reading ComprehensionSection ADirections:For each blank in the following passages there are four words or phrases marked A,B,C and D.Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Investors probably expect that following the suggestions of stock analysts would make them better off than doing the exact opposite.41,recent research by Nicola Gennaioli and his colleagues shows that the best way to gain excess return s would be to invest in the shares least favored by analysts.They compute that,during the last 35years,investing in the10percent of U.S.stocks analysts were most42about would have yielded on average 3percent a year.43,investing in the10percent of stocks analysts were most pessimistic about would have yielded a surprising15percent a year.Gennaioli and colleagues shed light on this44with the help of cognitive sciences and,in particular,using Kahneman and Tversky's concept of representativeness.Decision makers,according to this view,45therepresentative features of a group or a phenomenon.These are defined as the features that occur more frequently in that group than in a baseline reference group.After observing strong earnings growth—the explanation goes—analysts think that the firm may be the next Google.“Googles”are in fact more frequent among firms experiencing strong growth,which makes them46. The problem is that“Googles”are very47in absolute terms.As a result,expectations become too optimistic, and future performance48.A model of stock prices in which investor beliefs follow this logic can account both qualitatively and quantitatively for the beliefs of analysts and the dynamics(动态变化)of stock returns.In related work,the authors also show that the same model can49booms and busts in the volume of credit and interest rate spreads.These works are part of a research project aimed at taking insights from cognitive sciences and at50them into economic models.Kahneman and Tversky's concept of“representativeness”lies at the heart of this effort.“In a classical example,we51to think of Irishmen as redheads because red hair is much more frequent among Irishmen than among the rest of the world,”Prof.Gennaioli says.“However,only10percent of Irishmen are redheads.In our work,we develop models of belief formation that show this logic and study the52of this important psychological force in different fields.”Representativeness helps describe53and behavior in different fields,not only in financial markets.One such field is the formation of stereotypes about social groups.In a recent experimental paper,Gennaioli and colleagues show that representativeness can explain self-confidence,and in particular the54of women to compete in traditionally male subjects,such as mathematics.A slight prevalence of55male math ability in the data is enough to make math ability un-representative for women,driving their under confidence in this particular subject.41.A.Consequently B.Furthermore C.Nevertheless D.Meanwhile42.A.curious B.controversial C.concerned D.optimistic43.A.In brief B.By contrast C.In addition D.Without doubt44.A.engagement B.concentration C.puzzle D.definition45.A.memorize B.prioritize C.modernize D.fertilize46.A.representative B.argumentative C.executive D.sensitive47.A.harsh B.adaptable C.crucial D.rare48.A.cheers B.disappoints C.stabilizes D.improves49.A.account for B.count on C.suffer from D.hold up50.A.pouring B.admitting C.integrating D.tempting51.A.pretend B.afford C.offer D.tend52.A.effects B.delights C.intervals D.codespanions B.scales C.expectations D.findings54.A.necessity B.involvement C.perseverance D.reluctance55.A.equivalent B.exceptional C.mysterious D.distressingSection BDirections:Read the following three passages.Each passage is followed by several questions or unfinished statements.For each of them there are four choices marked A,B,C and D.Choose the one that fits best accordingto the information given in the passage you have read.(A)Montessori was born in Italy in1870with progressive parents,who frequently communicated with the country's leading thinkers and scholars.This enlightened family environment provided Montessori with many advantages over other young girls of the time.Her mother's support was vital for some important decisions,such as her enrolment in a technical school after her elementary education.Her parents'support also proved to be essential for her decision to study medicine,a field that was dominated by men.Soon after graduating,in1896,Montessori began work as a voluntary assistant in a clinic at the University of Rome,where she cared for children with learning difficulties.The rooms were bare,with just a few pieces of furniture.One day,she found that the children were enthusiastically playing with breadcrumbs(面包屑)that had dropped on the floor.It then occurred to her that the origin of some intellectual disabilities could be related with poverty.With the right learning materials,these and other young minds could be nurtured,Montessori concluded.The observation would lead Montessori to develop a new method of education that focused on providing optimal stimulation during the sensitive periods of childhood.At its centre was the principle that all the learning materials should be child-sized and designed to appeal to all the senses.In addition,each child should also be allowed to move and act freely,and use their creativity and problem-solving skills.Teachers took the role of guides,supporting the children without press or control.Montessori opened her first Children's House in1907.When the Fascists(法西斯主义者)first came into power in Italy in1922,they initially embraced her movement.But they soon came to oppose the emphasis on the children's freedom of expression.Montessori's values had always been about human respect,and the rights of children and women,but the Fascists wanted to use her work and her fame.Things reached a breaking point when the Fascist tried to influence the schools'educational content,and in 1934Montessori and her son decided to leave Italy.She didn't return to her homeland until1947,and she continued to write about and develop her method until her death in1952,at the age of81.56.The primary reason for Montessori to develop a new educational method was.A.her family's supportive influence on her educationB.her experience as a voluntary assistant in a clinicC.her observation of children playing with breadcrumbs happilyD.her decision to study medicine,a field dominated by men57.What was a central principle of Montessori’s educational method as described in the passage?A.Providing standardized,one-size-fits-all learning materials.B.Encouraging strict discipline and control over children's actions.C.Focusing on rote memorization and competition.D.Creating a free and children-centered learning environment.58.Montessori decided to leave Italy in1934because.A.she wanted to explore other countries and culturesB.she wanted to avoid the Fascist's influence on her workC.she was offered a better job in a different countryD.she wanted to retire and enjoy a peaceful life in another country59.Which of the following words can best describe Montessori in this passage?A.Observant and innovative.B.Traditional and emotional.C.Progressive and dependent.D.Open-minded and indifferent.(B)Reducing the workweek to four days could have a climate benefit.In addition to improving the well-being of workers,cutting working hours may reduce carbon emissions.But those benefits would depend on a number of factors,experts emphasize,including how people choose to spend nonworking time.Commuting and travelTransportation is the biggest contributor to greenhouse emissions.A November2021survey of2,000employees and500business leaders in the United Kingdom found that if all organizations introduced a four-day week,the reduced trips to work would decrease travel overall by more than691million miles a week.But the climate benefits of less commuting could be eliminated,experts said,if people choose to spend their extra time off traveling,particularly if they do so by car or plane.Energy usageShorter working hours could lead to reductions in energy usage,experts said.According to a2006paper,if the United States adopted European work standards,the country would consume about20percent less energy.Energy could also be conserved if fewer resources are needed to heat and cool large office buildings, reducing demands on electricity.For example,if an entire workplace shuts down on the fifth day,that would help lower consumption—less so if the office stays open to accommodate employees taking different days off.Lifestyle changesIt's possible that fewer working hours may lead some people to have a larger carbon footprint,but experts say research suggests that most people are likely to shift toward more sustainable lifestyles.One theory is that people who work more and have less free time tend to do things in more carbon-intensive ways,such as choosing faster modes of transportation or buying prepared foods.Convenience is often carbon-intensive and people tend to choose convenience when they're time-stressed.Meanwhile,some research suggests that those who work less are more likely to engage in traditionally low-carbon activities,such as spending time with family or sleeping.“When we talk about the four-day workweek and the environment,we focus on the tangible,but actually,ina way,the biggest potential benefit here is in the intangible,”experts said.60.What is identified as the leading cause of greenhouse emissions according to the passage?A.The well-being of employees.B.The conservation of energy.muting and travel.D.The European work standard.61.What can be inferred from the underlined sentence“the biggest potential benefit here is in the intangible”in the lastparagraph?A.People will have big potential in achieving intangible benefits while working.B.People are more likely to engage in carbon-intensive activities due to time constraints.C.People may shift toward more sustainable lifestyles and lower carbon footprints.D.People may travel more frequently by car or plane during their extra time off.62.The passage is mainly written to.A.highlight the importance of shortening working time in the context of well-beingB.provide an overview of transportation emissions worldwideC.analyze the impact of reduced working hours on mode of businessD.illustrate factors affecting the climate benefits of a shorter workweek(C)The cultivation of plants by ants is more widespread than previously realized,and has evolved on at least15 separate occasions.There are more than200species of an t in the Americas that farm fungi(真菌)for food,but this trait evolved just once sometime between45million and65million years ago.Biologists regard the cultivation of fungi by ants as true agriculture appearing earlier than human agriculture because it meets four criteria:the ants plant the fungus, care for it,harvest it and depend on it for food.By contrast,while thousands of ant species are known to have a wide variety of interdependent relationships with plants,none were regarded as true agriculture.But in2016,Guillaume Chomicki and Susanne Renner at the University of Munich,Germany,discovered that an ant in Fungi cultivates several plants in a way that meets the four criteria for true agriculture.The ants collect the seeds of the plants and place them in cracks in the bar k of trees.As the plants grow, they form hollow structures called domain that the ants nest in.The ants defecate(排便)at designated absorptive places in these domain,providing nutrients for the plant.In return,as well as shelter,the plant provides food in the form of fruit juice.This discovery prompted Chomicki and others to review the literature on ant-plant relationships to see if there are other examples of plant cultivation that have been overlooked.“They have never really been looked at in the framework of agriculture,”says Chomicki,who is now at the University of Sheffield in the UK.“It's definitely widespread.”The team identified37examples of tree-living ants that cultivate plants that grow on trees,known as epiphytes(附生植物).By looking at the family trees of the ant species,the team was able to determine on how many occasions plant cultivation evolved and roughly when.Fifteen is a conservative estimate,says Campbell.All the systems evolved relatively recently,around1million to3million years ago,she says.Whether the37examples of plant cultivation identified by the team count as true agriculture depends on the definitions used.Not all of the species get food from the plants,but they do rely on them for shelter,which is crucial for ants living in trees,says Campbell.So the team thinks the definition of true agriculture should include shelter as well as food.63.According to biologists,why is ant-fungus cultivation considered as a form of true agriculture?A.Because it occurred earlier than human agriculture.B.Because it fulfills the standards typical of agricultural practices.C.Because it redefines the four criteria for true human agriculture.D.Because it is less common than previously thought.64.What motivated Chomicki and others to review the literature on ant-plant relationships?A.They determined on new family trees of the ant species.B.They overlooked some tree-living ants that provided nutrients for the plants.C.They never studied the ant-plant relationships within the context of agriculture.D.They never identified any an t species that engaged in cultivation of fungi.65.Which of the following statements is supported by the team's findings according to the passage?A.Ants’cultivation of plants is limited to a few specific species.B.The cultivation of fungi by ants is considered the earliest form of agriculture.C.True agriculture in ants involves only food-related interactions with plants.D.Ants have independently cultivated plants on at least15distinct occasions.66.What is the passage mainly about?A.The evolution of ants in the plant kingdom.B.The widespread occurrence of ant-plant cultivation.C.The discovery of a new ant species engaging in agriculture.D.The contrast between ant agriculture and human agriculture.Section CDirections:Read the following passage.Fill in each blank with a proper sentence given in the box.Each sentence can be used only once.Note that there are two more sentences than you need.A.In the end,it turned out to be a case of mistaken identity.B.Doppelgängers will also have some of the same DNA as you.C.To enter your workplace,you likely need to be recognizable.D.Why are people interested in finding their possible doppelgangers?E.Eventually,discovering a person's doppelgänger might widen trust boundaries.F.A doppelgänger was said to be a spirit-double that copied every human and beast on earth.What is the likelihood of you having someone who looks just like you?Would it be a good thing?And if you did have one,would you want to meet them?Consider how often your facial features are used to identify you.Your passport,ID card and driving license all feature your face.67You may need your face to unlock your smartphone and possibly even need it to exclude you from being present at a crime scene.The word‘doppelgänger’refers to a person who looks the same as you,essentially sharing your features; those that you thought were unique to you and your identity.Not identical twins,as a doppelgänger has no relation to you.The idea originated in German folklore.68So,let's get real.What are the chances of you having one in the first place?There's said to be a one in135 chance of an exact match for you existing anywhere in the world,so the chances are pretty low,despite folk wisdom promising you otherwise.And the chances of meeting?The mathematical certainty of finding this particular person is supposedly less than one in a trillion.That said,these statistics may be a good thing.Historically,having a double wasn't always a positive.Back in1999,an innocent American man,indistinguishable from the real criminal,was sent to prison for robbery, where he stayed for19years.69.In a different case,a woman in New York was accused of trying to poison her doppelgänger with deadly cheesecake so that she could steal her identity!70The fascination with doppelgängers may be rooted in historical beliefs that facial resemblance meantthey were from the same family or had a common ancestor.It leads to the hope that one day you will meet your lookalike,creating the thrill of a potentially strange meeting.However,as these encounters can be both interesting and disturbing,we understand that after such an experience,you might not want to meet your doppelgänger again.IV.Summary WritingDirections:Read the following passage.Summarize the main idea and the main point(s)of the passage in no more e your own words as far as possible.Competitive CheerleadingOver the years,cheerleading has taken two primary forms:game-time cheerleading and competitive cheerleading.Game-time cheerleaders'main goal is to entertain the crowd and lead them with team cheers,which should not be considered a sport.However,competitive cheerleading is more than a form of entertainment.It is really a competitive sport.Competitive cheerleading includes lots of physical activity.The majority of the teams require a certain level of tumbling(翻腾运动)ability.It's a very common thing for gymnasts,so it's easy for them to go into competitive ually these cheerleaders integrate lots of their gymnastics experience including their jumps, tumbling,and overall energy.They also perform lifts and throws.Competitive cheerleading is also an activity that is governed by rules under which a winner can be declared.It is awarded points for technique,creativity and ually the more difficult the action is,the better the score is.That's why cheerleaders are trying to experience great difficulty in their performance.Besides,there is also a strict rule of time.The whole performance has to be completed in less than three minutes and fifteen seconds,during which the cheerleaders are required to stay within a certain area.Any performance beyond the limit of time is invalid.Another reason for the fact that competitive cheerleading is one of the hardest sports is that it has more reported injuries.According to some research,competitive cheerleading is the number one cause of serious sports injuries to women.Generally,these injuries affect all areas of the body,including wrists,shoulders,ankles,head, and neck.There can be no doubt that competitive cheerleading is a sport with professional skills.It should be noted that it is a team sport and even the smallest mistake made by one teammate can bring the score of the entire team down.So without working together to achieve the goal,first place is out of reach.第Ⅱ卷(共40分)V.TranslationDirections:Translate the following sentences into English,using the words given in the brackets.72.如果不好好准备，周五的演讲可能会变得一塌糊涂。

静安2014学年度第一学期高三数学文理参考答案及评分标准

2014学年度第一学期静安区高三数学文理科期末检测试卷参考答案及评分标准 2014.12说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．理：)2,0(；文：121； 2. 理：25628=；文：)2,0( 3. 理：)4,21(；文：n n +22； 4. 理：21；文：45 5. 理：)212(4nn-；文：)4,21(； 6. 理：-2，文： 25628= 7. 理：221log 2+=x ；文：π3； 8. 55arccos ；文：54-9. 理：31-；文：-2； 10. 32π-；文：10103arccos （或31arctan ）11. 理：03213=++-y x 或03213=-+--y x ；文：31-12．理：]2,2[-；文：03213=++-y x 或03213=-+--y x13. 理：12S <<；文：]2,2[-； 14. 理：228+=+n C nk ．7或者14；文：12S <<二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ； 16．B ； 17． D ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （1）根据正弦定理BbA a sin sin =，得b B b a A sin 23sin ==，所以23sin =B ，………（4分）又由角B 为锐角，得3π=B ；…………………………（6分）（2）B ac S ABC sin 21=∆，又ABC S ∆=3=ac ，…………………………（8分）根据余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得1037cos 2222=+=+=+B ac b c a ，…………………………（12分）所以ac c a c a 2)(222++=+=16，从而a c +=4．…………………………（14分）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分. （1）他应付出租车费26元；……………………………（ 4分）（2）　, )10( 107c )013( 3b )30( ,⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤<-+≤<=x c b a x x b a x x a y 文21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. （1）因为点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD ，所以PM 为△1ADD 的中位线，得1=PM ，又BD MN ⊥，所以2222===MD ND MN ………………（ 2分）因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，………………（ 6分）在△PMN 中，∠PMN 为直角，2tan =∠PNM ，所以2arctan =∠PNM 。

上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

上海市静安区、青浦区2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为213； ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（） A ．max372a c+-=B ．max372a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=4．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭5．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（） A ．51-B ．2C ．3D ．58．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（） A ．56B ．72C ．88D ．4010．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．7811．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -12．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解

2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解1. 选择题（每小题4分，共40分）1. 一辆小汽车以每小时50公里的速度行驶了4小时，再以每小时80公里的速度行驶2小时。

则小汽车这段行程的平均速度是多少？解析：设小汽车行驶的总路程为D，根据速度与时间的关系，可得：50 km/h × 4 h + 80 km/h × 2 h = D。

解方程得D = 400 km + 160 km = 560 km。

所以小汽车这段行程的平均速度为560 km ÷ 6 h = 93.33 km/h。

2. 若函数f(x)=x^2+2ax+a^2与g(x)=px^2+qax+qa^2在区间[-1,1]上的图象重合，且f(x) - g(x) =x 的根的个数为3，则p+q的值为多少？解析：在区间[-1,1]上，f(x)与g(x)重合可以得到以下两个方程：f(-1) - g(-1) = -1 (1)f(1) - g(1) = 1 (2)根据函数定义可得：f(-1) = (-1)^2 + 2a(-1) + a^2 = a^2 - 2a + 1g(-1) = p(-1)^2 + qa(-1) + qa^2 = p + (1-p) a^2f(1) = (1)^2 + 2a(1) + a^2 = a^2 + 2a + 1g(1) = p(1)^2 + q(1) + qa^2 = p + (1+q) a^2将上述结果代入方程(1)和方程(2)中，可得：a^2 - 2a + 1 -[p + (1-p) a^2] = -1 (1')a^2 + 2a + 1 -[p + (1+q) a^2] = 1 (2')将方程(1')和方程(2')展开并整理得：(p - 2) a^2- 2a = 0(1+p-q) a^2 + 2a = 0根据方程(1')和方程(2')同时成立，可得：p - 2 = 0 (3)1 + p - q = 0 (4)由方程(3)得p = 2，代入方程(4)可得q = -3。

2024届上海静安区高三一模数学试卷和答案

上海静安区2023-2024学年第一学期期末教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1.准线方程为10x +=的抛物线标准方程为______．2.32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 的系数为______.3.若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是______.4.已知R a ∈，i 是虚数单位，1i a -的虚部为______.5.计算123ii +∞=⎛⎫=⎪⎝⎭∑_____________．6.某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg ，则预估该果园的苹果产量为______kg ．7.下列幂函数在区间()0,∞+上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______（请填入全部正确的序号）．①12y x =；②13y x =；③23y x =；④13y x-=．8.若不等式35x x a-+-≥对所有实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，||||2AP AB ==，||4AD =，E 是BC 上的点，直线PB 与平面PDE 所成的角是3arcsin6，则BE 的长为______.10.不等式2log 42x x +<的解集为______.11.在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需______个月．（结果取整）12.记22()ln 2f x x x kx k =+-+，若存在实数a b 、，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是______.二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13.已知α：1x >，β：11x <，则α是β的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“1212a b x x y y ⋅=+（其中1122(,),(,)x y x y ==a b ）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律．A.①③④ B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤16.记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.记22()sin cos cos ()f x x x x x x λ=-++∈R ，其中λ为实常数．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）若函数()y f x =的图像经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，求该函数在区间20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18.甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．19.已知双曲线C ：2212x y -=，点M 的坐标为()0,1．（1）设直线l 过点M ，斜率为12，它与双曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长；（2）设点P 在双曲线C 上，Q 是点P 关于y 轴的对称点．记k MP MQ =⋅，求k 的取值范围．20.如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆AB ，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知10AB =米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．（1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路l 上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点C 处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度H ；（2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆AB 似乎是由于在根部A 处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆AB 是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；（3）已知（1）中的小路l 是东西方向，且与点A 所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆AB 大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．21.如果函数()y f x =满足以下两个条件，我们就称()y f x =为L 型函数．①对任意的()0,1x ∈，总有()0f x >；②当12120,0,1x x x x >>+<时，总有1212()()()f x x f x f x +<+成立．（1）记21()2g x x =+，求证：()y g x =为L 型函数；（2）设R b ∈，记()ln()p x x b =+，若()y p x =是L 型函数，求b 的取值范围；（3）是否存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立？请说明理由．参考答案一．填空题：1、24y x =；2、6；3、π；4、211a +；5、2；6、6216；7、②；8、(,2]-∞；9、2；10、()0,4；11、10；12、9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；二．选择题：13、B ；14、C ；15、D ；16、D ；三．解答题：17、（1）()cos 22f x x x =-+π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ+．∴函数()y f x =的最小正周期为π．（2） π102f λ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴1λ=-，则π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令2π6x t -=，则π7π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．当ππ266x -=-或7π6，即0x =或2π3时，()min 2f x =-．当ππ262x -=，即π3x =时，max ()1f x =．18、设事件A 表示甲获胜，事件B 表示和棋，事件C 表示甲不输．则C A B = ．因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得()()()()P C P A B P A P B ==+ ．因为()0.9,()0.4P C P A ==，所以()0.90.40.5.P B =-=（2）设事件A 表示甲获胜，则A 表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为E ，则()()()E A A A A A A =⋂⋃⋂⋃⋂，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.所以()0.40.4(10.4)0.40.4(10.4)0.64P E =⨯+-⨯+⨯-=19、（1）直线l 的方程为112y x =+．由方程组2211,21,2y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2480x x --=．设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,8x x x x +==-，AB ===．（2）设点(),P x y ，则点Q 的坐标为(),x y -．(),1MP x y =- ，(),1MQ x y =--，∴()221k x y =-+-222221y y y =--+-+2221(1)y y y =---=-+．因为R y ∈，所以(],0k ∞∈-．20、（1）解一：(1)如图1，设点A 在水平面的投影点为O ．用测距仪测得CA m =，CB n =．在ABC 中，22100cos 20m n BAC m +-∠=，在AOC 中，22100cos 20m n OAC m +-∠=-，所以22100cos 20n m H m OAC --=∠=．解二：如图2，在平面ABC 上，以点C 为原点，向量CO为x 轴，建立平面直角坐标系xCy ，设点(),A x H ，则(),10B x H +，用测距仪测得CA m =，CB n =，则()22222210x H mx H n⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得22100.20n m H --=（2）如图，用电子尺测得CA m =，CB n =，在广场上从点C 移动至点D ，使得DB n =，再移至点E ，使得EA n =，此时再测量DA EA 、，若CA DA EA ==，则可知旗杆AB 垂直于地面，否则就是倾斜了．理由如下：已知CB DB =，CA DA =，设点M 是CD 的中点，则在等腰CBD △中，BM CD ⊥．同理AM CD ⊥，又,AM BM ⊂平面ABM ，所以AM ⊥平面ABM ；又因为AB ⊂平面ABM ，故AB CD ⊥．同理可证AB DE ⊥．综上所述，旗杆AB 垂直于地面．（3）提问：旗杆AB 向哪个方向倾斜多少角度？说明：用AB 在地平面上的投影来刻画AB 的倾斜方向是合理的，也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，用AB 与小路l 的夹角刻画扣1分．关于如何刻画AB 倾斜多少角度的问题，既可以用AB 与垂直于地面的直线所成角的大小，也可以用AB 与地平面所成角的大小来刻画．解答方案1：如图，在地面画出离点A 距离相等的点的轨迹圆O ，再在圆O 上找到离点B 距离最近的点D ，作BH 垂直于地面，垂足为H ，则ABH ∠的大小就是旗杆AB 倾斜角度．理由如下：先证明OH 与圆O 的交点既是点D ．只需证明：对于圆O 上任意一点M ，MB DB >．因为在MHD 中，ODM OMD ∠>∠，所以MH DH >，故MB DB >．如图5，从图4中的点D 向点A 的方向走到点P ，放置一个物体，测得PD 、PA 、DA 的长，利用余弦定理可得ADO ∠的大小．同理可得BDO ∠的大小．因此，可以求得图4中的BH 、AO 、DH 、DO 的长．在COD △中，三边已知，利用余弦定理可求得COD ∠，即旗杆AB 向西偏南COD ∠的方向倾斜．又由于DH 、DO 已求得，故AB 倾斜角度为arccos10DO DH-．测量倾斜角的大小方案2：如图5，从点D 向点A 的方向走到点P ，测得PD 、PA 、DA 的长，利用余弦定理可得ADO ∠的大小，从而求得A 点的高度1h ．同理可求得B 点的高度2h ．如图，1210h h +-即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度1B G．所以21AG h h =-，在Rt ABG △中，21arccos 10h h BAG -∠=即为所求，测量倾斜角的大小方案3：在图5中，以点O 为原点，以OA 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则容易求出点A 与点B 的坐标(),A A x y 与(),B B x y ，故AB 的倾斜角为arctanB AB Ay y x x --．21、（1）当()0,1x ∈时，1()02g x >>，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()2121212g x x x x +=++，()()2212121g x g x x x +=++，则()()()()2221212121212111222g x g x g x x x x x x x x +-+=++-+-=-12142x x -=，121x x >+≥∴12140x x ->，∴()()()1212g x g x g x x +>+，∴21()2g x x =+为L 型函数.（2）当()0,1x ∈时，由()()ln 00p x b >+≥得1b ≥，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()1212ln p x x x x b +=++，()()()()1212ln ln p x p x x b x b +=+++，由()()()1212p x x p x p x +<+，得()()()1212ln ln ln x x b x b x b ++<+++，即()()1212x x b x b x b ++<++，即()2121212x x b x x b x x b ++<+++，即()()212121210b b x x x x x x ++-+-+>，令()()()21212121h b b b x x x x x x =++-+-+，则对称轴()12110,22x x b -+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以()h b 在[)1,+∞上的最小值为()1h ，只要()10h >，则()0h b >，因为()()()2121212111h x x x x x x =++-+-+120x x =>，所以[)1,b ∈+∞．（3）存在，举例1：()r x =理由如下：当()0,1x ∈时，()()04r x ∈,符合()0r x >；当1>0x ，20x >，121x x +<时，()12r x x +=()()12r x r x +=，212x x =++，21212x x x x =+<++，故22<，∴<()()()1212r x x r x r x +<+，即()y r x =是L 型函数，且对任意的()0,4m ∈，存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立；举例2：()()1r x x =+；理由如下：当()0,1x ∈时，()()04r x ∈,，符合()0r x >，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()12121r x x x x +=++，()()()()121211r x r x x x +=+++，()()121212121111x x x x x x x x ++=+++>++ ，∴()()()1212111x x x x ++<+++，即()()()1212r x x r x r x +<+，即()y r x =是L 型函数，且对任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立.由此可知存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立.。

上海市静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学(理)试卷

上海市静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（理）试卷（试卷满分150分考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M . 答案：)2,0(考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。

2．设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 答案：25628=考点：二项式定理解法：将1x =-代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。

3．不等式01271<--x 的解集是 . 答案：)4,21(考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。

4．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 . 答案：12考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。

5．已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S .答案：)212(4n n-考点：数列分组求和，等比数列求和。

备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。

同时，AB CDP也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。

6．已知两个向量a ，b 的夹角为303=，b 为单位向量，b t a t c )1(-+=, 若c b ⋅=0，则t = .答案：-2考点：向量的数量积：解法：由于b 与c 、a 、b 的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个b 。

上海市静安区2014届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版,含答案)

静安区2013学年高三年级第一学期期末数学理试卷（试卷满分150分考试时间120分钟） 2014.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合，，则 . 2．（理）已知，，则的值是 .3．当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是 .4．关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 .5．（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种. （结果用数值表示）6．（理）不等式的解集是 .7．若（其中、为有理数），则 .8．（理）已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是 .9．（理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为 .10．设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为 .11．（理）已知，且，则的值用表示为 . 12．（理）已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为 .13．（理）若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为 .14．（理）已知不等式的解集为，则，且的值为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（理）“”是“直线与直线互相垂直”的 ( ) A．充要条件；B．充分不必要条件；C．必要不充分条件；D．既不充分也不必要条件.16．已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( )①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A．①③； B．②； C．②③ D．①②③17．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( ) A．； B．； C．； D．.18．（理）已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) A．或； B．0；C．0或； D．0或.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；（2）设为正数，且，求证：.21．（理）(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知双曲线（其中）.（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求△的面积.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．（1）求证：数列（）为等比数列；（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.（理）已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.2013学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准 1．； 2．（理）； 3．4．； 5．（理）；6．（理）；7．169； 8．（理）； 9．（理）12；10．或. 11．（理）；12．（理）；13．（理）；14．（理）4；15．（理）B ； 16．A． 17． C 18．D19解：(1) 扇形半径，………………………2分扇形面积等于………………………5分弧田面积=（m2）………………………7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦矢+矢2）=.………………………10分平方米………………………12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.20（理）（1）解法1：-==………………3分因为、是不全为零的实数，所以，即>。

上海市静安区2023-2024学年度第一学期期末教学质量调研(含解析)

静安区2023-2024学年度第一学期期末教学质量调研九年级物理试卷（本卷满分100分：完卷时间60分钟）考生注意：1．本调研试卷含五个大题。

2．考生务必按要求在答题纸规定的位置上作答，在其他纸张上答题一律无效。

一、单项选择题（共16分）下列各题均只有一个正确选项，请将所选选项的代号用2B铅笔填涂在答题纸的相应位置上，更改答案时，用橡皮擦去，重新填涂。

1．上海地区，家用电视机工作时的电压为（）A．1.5伏B．24伏C．110伏D．220伏2．下列物质中，其密度跟人体密度最接近的是（）A．水B．铜C．空气D．水银3．下列实例中，属于增大压强的是（）A．图钉钉帽宽大B．铁轨下铺枕木C．刀刃磨得锋利D．坦克车装有履带4．根据连通器的原理，下列情形中，当水面静止时，液面的位置符合事实的是（）A．U形管中的液面位置B．茶壶倾斜时，壶身和壶嘴中的液面位置C．下水道存水弯中的液面位置D．锅炉液位计液面的位置5．关于条形磁体及其磁场，下列描述中正确的是（）A．条形磁体可以吸引铝块B．条形磁体两端的磁性最强A ．C ．8．在如图所示的电路中，A ．电流表A 的示数,p p F F <<乙乙甲甲,p p F F =<甲乙甲乙（1）根据图中的图线，可以发现：无人机从B点到C点的飞行过程中，大气压强变化18．在如图电路中缺少两根导线，请按要求用笔线代替导线完成电路连接。

要求开关S后，向右移动变阻器的滑片时，电压表的示数变大。

21．在如图所示的电路中，电源电压保持不变，电阻22．均匀圆柱体甲、乙分别竖直置于水平地面上，两圆柱体的质量、密度和底面积见下表。

25．小华同学做“用电流表、电压表测电阻”实验。

现有电源（电压为R持不变）、待测电阻、电流表、电压表、待用滑动变阻器有两种规格（分别标有表一圆柱体密度1．D【详解】我国家庭电路的电压为220V，各家用电器之间是并联关系，故上海地区，家用电视机工作时的电压为220V，故ABC不符合题意，D符合题意。

上海市金山区2024届高三上学期一模试题数学含解析

2023学年第一学期质量监控高三数学试卷（答案在最后）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，则A B = ________．2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =________.3.不等式12x x ->+的解集为_________．4.双曲线2212y x -=的离心率为____．5.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中m 的值______．7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为1r '=和2r =，母线长为3l =，则该该圆台的高为_________.8.从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．9.已知函数sin()y x ω=(0ω>)在区间[0,π]上是严格增函数，且其图像关于点()4π,0对称，则ω的值为________．10.若()33223106x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=________．11.若函数()22(1)()(0)f x x x ax b c c =-++-≠的图像关于直线2x =-对称，且该函数有且仅有7个零点，则a b c ++的值为________．12.已知平面向量a 、b 、c 满足42,a b c a b a b a=-=+=-+ ，且π,3a c = ，则a c ⋅ 的取值范围是________．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知事件A 和B 相互独立，且()()13,37P A P B ==，则()P AB =（）A.17B.221C.27D.162115.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．A.若1E BD ∈，F BD ∈，则EF AC⊥B.若1E BD ∈，F BD ∈，则平面BEF⊥平面11A BC C.若E AC ∈，1F CD ∈，则//EF 面11A BC D.若E AC ∈，1F CD ∈，则//EF 1AD 16.设集合{1,2,,100}A = ，X 、Y 均为A 的非空子集（允许X Y =）．X 中的最大元素与Y 中的最小元素分别记为M m 、，则满足M m >的有序集合对(,)X Y 的个数为（）．A.20010021002-⋅ B.20010021012-⋅ C.20110021002-⋅ D.20110021012-⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,==PA AD E 为PB 的中点，F 为AC 与BD 的交点．（1）证明：EF //平面PCD ；（2）求三棱锥E ABF -的体积．18.已知数列{}n a 满足212log 1log n n a a +=+，且12a =．（1）求10a 的值；（2）若数列{}n na a λ+为严格增数列，其中λ是常数，求λ的取值范围．19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD ，0.8m AD =， 2.4m AB =，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角π4α=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH ， 1.2m EH =．设PHG β∠=，当冰箱被卡住时(即点H 、G 分别在射线PR 、PQ 上，点O 在线段EF 上），尝试用β表示冰箱高度EF 的长，并求出EF 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m ）20.已知三条直线:i i l y kx m =+（1,2,3i =）分别与抛物线2:8y x Γ=交于点i A 、i B ，(,0)T t 为x 轴上一定点，且123m m m t <<<-，记点T 到直线i l 的距离为i d ，△i i TA B 的面积为i S ．（1）若直线3l 的倾斜角为45︒，且过抛物线Γ的焦点F ，求直线3l 的方程；（2）若110OA OB ⋅=，且10km ≠，证明：直线1l 过定点；（3）当1k =时，是否存在点T ，使得1S ，2S ，3S 成等比数列，1d ，2d ，3d 也成等比数列？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21.设函数()y f x =的定义域为D ，给定区间[,]a b D ⊆，若存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =为区间[,]a b 上的“均值函数”，0x 为函数()y f x =的“均值点”．（1）试判断函数2y x =是否为区间[1,2]上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数2112212x x y m --=-+⋅-是区间[1,3]上的“均值函数”，求实数m 的取值范围；（3）若函数222(22)x a y x x +=-+（常数a ∈R ）是区间[2,2]-上的“均值函数”，且23为其“均值点”．将区间[2,0]-任意划分成1m +（N m ∈）份，设分点的横坐标从小到大依次为12,,,m t t t ，记02t =-，10m t +=，10|()()|mi i i G f t f t +==-∑．再将区间[0,2]等分成21n +（n ∈N ）份，设等分点的横坐标从小到大依次为122,,,n x x x ，记21()ni i H f x ==∑．求使得2023H G ⋅>的最小整数n 的值．2023学年第一学期质量监控高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，则A B = ________．【答案】{}3【解析】【分析】根据交集直接计算即可.【详解】由题可知：{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，所以A B = {}3故答案为：{}32.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =________.【答案】1-##1-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1z =-+，结合共轭复数的概念即可求解.【详解】由题意知，该复数为1z =-+，则1z =-.故答案为：1-.3.不等式102x x ->+的解集为_________．【答案】{|1x x >或}2x <-【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.【详解】根据分式不等式解法可知102x x ->+等价于()()120x x -+>，由一元二次不等式解法可得1x >或<2x -；所以不等式102x x ->+的解集为{|1x x >或}2x <-.故答案为：{|1x x >或}2x <-4.双曲线2212y x -=的离心率为____．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得：21,123,ca c c e a==+====考点：双曲线离心率5.已知角α，β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______．【答案】1-【解析】【分析】根据角α，β的终边关于原点O 对称得()()21Z k k βαπ=+-∈，即可得到()cos αβ-的值.【详解】角α，β的终边关于原点O 对称，(21)(Z)k k βαπ∴=+-∈，()()()cos cos 121Z k k αβπ⎡⎤∴-=-=-∈⎣⎦.故答案为：1-.6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中m 的值______．【答案】3【解析】【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得m 的值.【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为3234332+=，甲、乙两组数据的中位数相同，∴甲组数据的中位数为33，即3033m +=，解得：3m =.故答案为：3.7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为1r '=和2r =，母线长为3l =，则该该圆台的高为_________.【答案】【解析】【分析】作出圆台轴截面，求出轴截面的高，即得答案.【详解】作出圆台的轴截面，如图示为等腰梯形，=故答案为：8.从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．【答案】25##0.4【解析】【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可.【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有25C 10=，所抽到两个数的和大于6共有()2,5，()3,5，()4,5，()3,4共4种，所以所抽到的两个数的和大于6的概率为42=105P =.故答案为：259.已知函数sin()y x ω=(0ω>)在区间[0,π]上是严格增函数，且其图像关于点()4π,0对称，则ω的值为________．【答案】14或12【解析】【分析】根据增函数和对称中心特征，求出ω范围，进而得到答案.【详解】因为[0,π]x ∈，则[]0,πx ωω∈，函数sin()y x ω=(0ω>)在区间[0,π]上是严格增函数，所以π0π2ω<≤，即102ω<≤；又因为sin()y x ω=的图像关于点()4π,0对称，则πx k ω=（Z k ∈），则πk x ω=（Z k ∈），所以π4πk ω=（Z k ∈），解得4kω=（Z k ∈），结合102ω<≤，所以14ω=或12.故答案为：14或12.10.若()33223106x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-+=________．【答案】8【解析】【分析】采用赋值法，令1,2x y =-=即可求得结果.【详解】令1,2x y =-=，则()()310162248a b c d ⨯-+⨯=-+-+，所以324828a b c d -+-+==，故答案为：8.11.若函数()22(1)()(0)f x x x ax b c c =-++-≠的图像关于直线2x =-对称，且该函数有且仅有7个零点，则a b c ++的值为________．【答案】32【解析】【分析】根据题意，求得()22(1)()g x x x ax b =-++的图形过点(1,0),(1,0)-，得到()g x 的图象过点(3,0),(5,0)--，结合()()13g g -=-，()()15g g =-，联立方程组，求得,a b 的值，得出()22(1)(815)f x x x x c =-++-，再根据题意，得到2x =-必为函数()y f x =的一个零点，结合()20f -=，求得c 的值，即可求解.【详解】由函数()22(1)()f x x x ax b c =-++-，则函数()22(1)()g x x x ax b =-++的图形过点(1,0),(1,0)-，因为函数()g x 的图象关于2x =-对称，则函数()g x 的图象过点(3,0),(5,0)--，可得()()10,3(19)(93)g g a b -=-=--+，且()()13g g -=-，可得930a b -+=，又由()()10,5(125)(255)g g a b =-=--+，且()()15g g =-，可得2550a b -+=，联立方程组9302550a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得8,15a b ==，所以()22(1)(815)g x x x x =-++，因为函数()y f x =图像关于直线2x =-对称，且该函数有且仅有7个零点，则2x =-必为函数()y f x =的一个零点，即()20f -=，可得(14)(48215)0c --⨯+-=，解得9c =，所以32a b c ++=.故答案为：32.12.已知平面向量a 、b 、c 满足42,a b c a b a b a =-=+=-+ ，且π,3a c = ，则a c ⋅ 的取值范围是________．【答案】,6⎡∞⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】利用平面向量的坐标表示与数量积计算，结合双曲线的定义与性质计算即可.【详解】根据题意不妨设()()2,0,,,a OA b x y OB c OC =====，O 为坐标原点，则2a b a b a +=-+⇒，即点B 到()2,0-的距离比到点A 的距离大2，根据双曲线的定义可知B 的轨迹为双曲线的一支，以2为长轴，4为焦距，则()22113y x x -=>，又π,3a c = ，易知C点轨迹为():0l y x =>，显然C 点轨迹为B 点轨迹双曲线的渐近线，如上图所示，由图形的对称性不妨设()C m ，则2a c m ⋅=，由题意12b c CB -==，当BC l ⊥时，此时C 点横坐标m 最小，由点到直线的距离公式可知112BC y ==⇒-=，而双曲线在渐近线y =下方，则1y -=，与双曲线方程联立22143331y x x y y ⎧⎧=-=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨-=⎪⎩⎪=⎩，即23,13B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则:13BC l y x ⎛⎫=-+⎪⎪⎭，联立2313y x x y ⎧⎛⎫=-+⎪⎪⎪⇒=⎨⎭⎪=⎩，即min 53532126m a c m ==⇒⋅=≥，由双曲线的性质可知满足12BC =的点C 横坐标无上限，故a c ⋅的取值范围是6⎡∞⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：6⎡∞⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】难点点睛：本题难点在于利用平面向量的坐标表示及数量积的运算判定向量终点轨迹，再利用双曲线的性质结合点到直线的距离计算即可.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．14.已知事件A 和B 相互独立，且()()13,37P A P B ==，则()P AB =（）A.17B.221C.27D.1621【答案】A 【解析】【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案.【详解】依题意可()()()17P AB P A P B ==．故选：A15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）．A.若1E BD ∈，F BD ∈，则EF AC⊥B.若1E BD ∈，F BD ∈，则平面BEF⊥平面11A BC C.若E AC ∈，1F CD ∈，则//EF 面11A BC D.若E AC ∈，1F CD ∈，则//EF 1AD 【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定可判定A 、B 选项；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质可判定C 、D 选项.【详解】如图所示，对于选项A ，易知AC BD ⊥，1DD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，所以1DD ⊥AC ，又11,BD DD D BD DD ⋂=⊂、平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，EF ⊂平面1BDD ，所以EF AC ⊥，故A 正确；对于选项B ，易知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面1BDD ，因为11AC ⊂平面11A C B ，所以平面11A C B ⊥平面1BDD ，显然平面1BDD 即平面BEF ，故B 正确；如上图所示，对于C 项，由正方体的特征可知1111//,//AD BC A B D C ，因为1AD ⊄平面11A C B ，1C B ⊂平面11A C B ，所以1//AD 平面11A C B ，同理1CD ⊄平面11A C B ，1A B ⊂平面11A C B ，所以1//CD 平面11A C B ，显然11111,AD CD D AD CD ⋂=⊂、平面1AD C ，所以平面1//AD C 平面11A C B ，由EF ⊂平面1AD C 可得//EF 平面11A C B ，故C 正确；对于D 项，显然1CE CFAE FD ≠时，EF 与1AD 不平行，故D 不正确.故选：D16.设集合{1,2,,100}A = ，X 、Y 均为A 的非空子集（允许X Y =）．X 中的最大元素与Y 中的最小元素分别记为M m 、，则满足M m >的有序集合对(,)X Y 的个数为（）．A.20010021002-⋅B.20010021012-⋅ C.20110021002-⋅ D.20110021012-⋅【答案】B 【解析】【分析】根据子集的个数，先求解M m ≤的有序集合对(,)X Y 的个数，然后用总个数减去即可求解.【详解】对于给定的max M X =,集合X 是集合{1,2,,1}m - 的任意一个子集与{}m 的并，故有12m -种不同的取法，又min m Y =,所以{},1,,100Y m m + 的任意一个非空子集，共有121n m +--种取法，因此，满足M m ≤的有序集合对(,)X Y 的个数为()1001001001001100110011001001001111222122100210022112m mm m m m -+--===--=-=⨯-=⨯-+-∑∑∑，由于有序对(,)X Y 有()()()2100100100212121--=-个，因此满足M m >的有序集合对(,)X Y 的个数为()()21001001002001002110022121012--⨯-+=-⋅故选：B三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,==PA AD E 为PB 的中点，F 为AC 与BD 的交点．（1）证明：EF //平面PCD ；（2）求三棱锥E ABF -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）由中位线定理证明EF PD ，再由判定证明即可；（2）求出点E 到平面ABCD 的距离，再由体积公式求解.【小问1详解】证明：四边形ABCD 为正方形，F 为AC 与BD 的交点，F ∴是BD 的中点，又E 是PB 的中点，EF PD ∴∥，又EF ⊄平面,PCD PD ⊂平面PCD ，EF ∴//平面PCD ．【小问2详解】PA ⊥ 平面,ABCD E 是PB 的中点，E ∴到平面ABCD 的距离112d PA ==，四边形ABCD 是正方形，12,14ABF ABCDADS S =∴==△正方形，∴三棱锥E ABF -的体积11111333ABF V S d =⋅=⨯⨯=△．18.已知数列{}n a 满足212log 1log n n a a +=+，且12a =．（1）求10a 的值；（2）若数列{}n na a λ+为严格增数列，其中λ是常数，求λ的取值范围．【答案】（1）101024a =（2）8λ<【解析】【分析】（1）根据对数运算性质可得12n n a a +=，即可判断{}n a 为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，（2）利用作差法可得212n λ+<对正整数n 恒成立，即可求解.【小问1详解】由212log 1log n n a a +=+，得212log log 2n n a a +=（），故12n n a a +=，即12n na a +=.又120a =≠，故数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.从而，112n n n a q a -=⋅=.所以101024a =.【小问2详解】设数列{}n b 满足22n n n n n b a a λλ=+=+，因为数列{}n b 为严格增数列，故111(2)(2)022n n n n n n b b λλ+++-=+-+>对正整数n 恒成立，即212n λ+<对正整数n 恒成立，当1n =时，212n +取到最小值8.所以8λ<.19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD ，0.8m AD =， 2.4m AB =，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角π4α=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH ， 1.2m EH =．设PHG β∠=，当冰箱被卡住时(即点H 、G 分别在射线PR 、PQ 上，点O 在线段EF 上），尝试用β表示冰箱高度EF 的长，并求出EF 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m ）【答案】19.冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析；20.EF 最小值为125米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为2.6米.【解析】【分析】（1）过A ，D 作水平线12,l l ，作21,CF l DE l ⊥⊥，由h DE CF =+可得；（2）延长EF 与直角走廊的边相交于M 、N ，由EF MN ME NF =--表示出EF ，设πsin cos4t βββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭进行换元，利用单调性即可求解.【小问1详解】过A ，D 作水平线12,l l ，作21,CF l DE l ⊥⊥如图，当倾斜角π4α=时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）ππ0.8sin2.4cos 2.3445h DE CF =+=+=<，故冰箱能够按要求运送入客户家中．【小问2详解】延长EF 与直角走廊的边相交于M 、N ，则 1.8 1.8+sin cos MN OM ON =+=ββ， 1.2tan EM β=， 1.2tan FN β=，又EF MN ME NF =--，则 1.8 1.81 1.8(sin cos ) 1.21.2(tan )sin cos tan sin cos EF ββββββββ+-=+-+=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．设πsin cos 24t βββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以(2t ∈，则()221.8 1.263215112t t EF t t --==⋅--，再令32m t =-，则(26541,1,3225552413m EF m m m m ⎤=⋅=⋅∈⎦+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，易知，54y m m=-+在(1,322⎤-⎦上单调递增，所以(541,1,322554y m m m⎤=⋅∈⎦-+单调递减，故当322m =-，即2t =，π4β=时，EF 取得最小值18212 2.695-≈.由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．20.已知三条直线:i i l y kx m =+（1,2,3i =）分别与抛物线2:8y x Γ=交于点i A 、i B ，(,0)T t 为x 轴上一定点，且123m m m t <<<-，记点T 到直线i l 的距离为i d ，△i i TA B 的面积为i S ．（1）若直线3l 的倾斜角为45︒，且过抛物线Γ的焦点F ，求直线3l 的方程；（2）若110OA OB ⋅=，且10km ≠，证明：直线1l 过定点；（3）当1k =时，是否存在点T ，使得1S ，2S ，3S 成等比数列，1d ，2d ，3d 也成等比数列？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x =-（2）证明见解析（3）存在点(2,0)T -满足题意【解析】【分析】（1）根据抛物线交点，结合直线的点斜式即可求解，（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解，（3）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求解||82i i i A B m =-，根据点到直线距离求解2ii d =，进而根据等比中项即可代入化简求解.【小问1详解】焦点(2,0)F ，斜率1k =，故直线3l 的方程为2y x =-．【小问2详解】联立218,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩消去x ，整理，得21880ky y m -+=．易164480k m ∆=-⨯>，即12km <，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1128m y y k =，22212112264y y m x x k==.由110OA OB ⋅= ，即12120x x y y +=，得211280m m k k+=，由于10m ≠，所以18m k =-，直线1:8l y kx k =-，故直线1l 过定点(8,0).【小问3详解】当1k =时，:i i l y x m =+．由于123m m m t <<<-，所以0i t m +<，设(,0)T t，则i d ==.由2213d d d =⋅，得2213()()()t m t m t m +=+⋅+，即22213132()m m t m m m m t +=++．①联立28,,i y x y x m ⎧=⎨=+⎩消去y ，整理，得222(4)0i i x m x m +-+=.由224(4)40i i m m ∆=-->，得2i m <．于是||i i A B =．由2213S S S =⋅，2213d d d =⋅，且1||2i i i i S A B d =⋅⋅，得2221133||||||A B A B A B =⋅，从而22m -=，即2213(2)(2)(2)m m m -=--，化简，得222131342()m m m m m m -=-+．②①②相减，整理，得213(2)(2)0t m m m +--=．而2132(2)(2)(2)m m m -=-+-<，即2132m m m <+，故20t +=，即2t =-．又当2t =-时，比如取11m =-，31m =，22m =满足题意，故存在点(2,0)T -满足题意．.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 21.设函数()y f x =的定义域为D ，给定区间[,]a b D ⊆，若存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =为区间[,]a b 上的“均值函数”，0x 为函数()y f x =的“均值点”．（1）试判断函数2y x =是否为区间[1,2]上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；（2）已知函数2112212x x y m --=-+⋅-是区间[1,3]上的“均值函数”，求实数m 的取值范围；（3）若函数222(22)x a y x x +=-+（常数a ∈R ）是区间[2,2]-上的“均值函数”，且23为其“均值点”．将区间[2,0]-任意划分成1m +（N m ∈）份，设分点的横坐标从小到大依次为12,,,m t t t ，记02t =-，10m t +=，10|()()|mi i i G f t f t +==-∑．再将区间[0,2]等分成21n +（n ∈N ）份，设等分点的横坐标从小到大依次为122,,,n x x x ，记21()ni i H f x ==∑．求使得2023H G ⋅>的最小整数n 的值．【答案】（1）2y x =为区间[1,2]上的“均值函数”“均值点”（2）(,2)6,)-∞++∞ （3）15【解析】【分析】（1）根据题意，得到方程22202121x -=-，求得0=x ，即可得到答案；（2）设0x 为该函数的“均值点”，则0(1,3)x ∈，根据题意转化为002(23)26x x m -=-在(1,3)上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；（3）根据题意，得到方程2(2)(2)()32(2)f f f --=--，求得0a =，得出22()2(22)x f x x x =-+，利用导数求得函数的单调性，得到1)(()i i f t f t +≥，求得15G =，结合()(2)1f x f x +-=，进而求得12n H -=，利用指数幂的运算性质，即可求解.【小问1详解】解：设函数2y x =是区间[1,2]上的“均值函数”，且均值点为0[1,2]x ∈，可得22202121x -=-，解得0=x 或0x =(舍).故2y x =为区间[1,2]上的“均值函数”“均值点”.【小问2详解】解：设0x 为该函数的“均值点”，则0(1,3)x ∈，且00520211(2212)(2212)221231x x m m m ---+⋅---+⋅--+⋅-=-，即关于0x 的方程00222360x x m m -⋅+-=在区间(1,3)上有解，整理得002(23)26x x m -=-，①当023x =时，03m ⋅=，方程无解.②当023x ≠时，可得0022623x x m -=-.令023x t =-，则(1,0)(0,5)t ∈- ，且023x t =+，可得2(3)636t m t t t+-==++，又由对勾函数性质，可得函数36y t t=++在(1,0)t ∈-上是严格减函数，在t ∈上是严格减函数，在t ∈上严格增函数，所以当(1,0)t ∈-时，可得2y ＜，当(0,5)t ∈，可得6y ≥+，所以(,2)6,)m ∈-∞++∞ .即实数m的取值范围是(,2)6,)-∞+∞ .【小问3详解】解：由函数222(22)x a y x x +=-+是区间[2,2]-上的“均值函数”，且23为其“均值点”，可得2(2)(2)(32(2)f f f --=--，即22442()2(442)2(442)3222(2)2[()22]33a a a ++-+-+++=---⨯+，解得0a =，所以22()2(22)x f x x x =-+，则22222212(22)(22)(2)()2(22)(22)x x x x x x x f x x x x x ⋅-+-⋅--'=⋅=-+-+，当[2,0]x ∈-时，()0f x '≤，即22()2(22)x f x x x =-+在[2,0]-上单调递减，所以1)(()i i f t f t +≥(0,1,2,,i m = )，则1101001|()()|[()()]()()(2)(0)5m mi i i i m i i G f t f t f t f t f t f t f f +++===-=-=-=--=∑∑，又因为2222(2)()(2)12(1)22(1)2x x f x f x x x -+-=+=-+-+，从而122()()()n H f x f x f x =+++ ，1221()()()n n H f x f x f x -=+++ ，所以22n H=，可得12n H -=.，由11220235n -⋅>，即220230n >，可得2log 2023014.3n >≈，故使得2023H G ⋅>的最小整数n 的值为15.【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略：（1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键；（2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力.。

2024-2025学年上海市静安区高三上册9月月考数学检测试题(附解析)

2024-2025学年上海市静安区高三上学期9月月考数学检测试题一､填空题1.不等式的解集为__________.312x ≥--2.用反证法证明命题“如果可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，那,a b ab ∈N ､a b ､么假设的内容应是__________.3.的指数幂形式为__________.0)x >4.已知幂函数的图像经过点，求__________.()f x 13,9⎛⎫⎪⎝⎭()3f -=5.设集合，且，则实数的值为__________.{}20,,54A m m m =-+4A ∈m 6.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值2:280,:29p x x q a x a --≤<<+p q a 范围是__________.7.已知函数，则实数的取值范围是__________.y =R a 8.已知，则的解集为__________.()22x x f x x-=--()()2320f x f x -+<9.已知均为正实数，且，则的最大值为__________.,x y 16x y +=9xyx y +10.对于函数和，设，若存在，使得()f x ()g x (){}(){}0,0x f x x g x αβ∈=∈=∣∣αβ､，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与1αβ-<()f x ()g x ()1e 2x f x x -=+-互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是__________.()21g x x ax =-+a 11.对于集合，给出如下三个结论：{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z∣①如果，那么；{}21,P b b n n ==+∈Z ∣P M ⊆②如果，那么；42,c n n =+∈Z c M ∉③如果，那么；12,a M a M ∈∈12a a M ∈其中正确结论的序号是__________.12.已知一个正方形的四个顶点都在函数的图像上，则此正方形的ABCD ()3912f x x x =-+面积为__________.二､选择题13.若且，则下列不等式中一定成立的是（）a b <0ab ≠A. B.11a b >1ba >C.D.33a b <a b<14.集合的子集个数为（）{14}A x x =∈-<<N∣A.2B.4C.8D.1615.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（）()f x ()f x A. B.12y x =12y x -=C. D.3y x =13y x=16.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式()f x R [)0,∞+x 的解集为，则不等式的解集为（）()4f x x≤][(),22,∞∞--⋃+()22f x x>A.B.C.D.()(),22,∞∞--⋃+()2,2-()(),44,∞∞--⋃+()4,4-三､解答题17.设集合.{23},{31}P xx Q x a x a =-<<=<≤+∣∣（1）若且，求的取值范围；Q ≠∅Q P ⊆a （2）若，求的取值范围.P Q ⋂=∅a 18.已知四棱柱中，底面为梯形，平面，1111ABCD A B C D -ABCD AB ∥1,CD A A ⊥ABCD，其中是的中点，是的中点.AD AB ⊥12,1,AB A A AD DC N ====11B C M 1DD（1）求证：平面；1D N ∥1CB M （2）求平面与平面的夹角的余弦值.1CB M 11BB C C 19.近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破，某企业原有1000名技术人员，年人均投入万元，现为加强技术研发，该企业把原有技术人员a (0)a >分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名且，调整后研发人员x (x ∈N 100500)x ≤≤的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.()0.2%x 31000x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？（2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，m m 说明理由.20.已知函数.()()22223124,,4f x x ax a g x x x a a =-+-=-+-∈R （1）当时，解不等式；1a =()()f xg x >（2）若任意，都有成立，求实数的取值范围；0x >()()f xg x >a（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.[][]120,1,0,1x x ∀∈∃∈()()12f x g x >a 21.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则123123n n a a a a b b b b ∈R ､､､､､､､､､，当且仅当()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 0i b =或存在一个数，使得时，等号成立.()1,2,,i n = k ()1,2,,i i a kb i n == （1）请你写出柯西不等式的二元形式；（2）设的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为P ABCD P ，求的最小值；1234d d d d ､､､22221234d d d d +++（3）已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正{}n a m ∈R ()1,2,i a M i ≤= 整数，均有，求证：对任意，恒有.()i j i j ≠､1i j a a i j -≥+4,n n ≥∈N 1m ≥答案一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7～12题每题5分）学生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.【正确答案】(](),12,∞∞--⋃+【详解】，即，3311022x x ≥-⇔+≥--102x x +≥-，解得：或，()()12020x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩2x >1x ≤-所以不等式的解集为.(](),12,∞∞--⋃+故(](),12,∞∞--⋃+2.【正确答案】都不能被5整除,a b 【详解】用反证法证明时，应先假设命题的结论不成立，则假设的内容应是都不能被5,a b 整除.故都不能被5整除,a b 3.【正确答案】34x【详解】.340,x x >=== 故答案为.34x4.【正确答案】19【详解】设幂函数为，(),f x x αα=∈R因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即，()f x 13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭139α=2α=-()2f x x -=所以.()213(3)9f --=-=故答案为.195.【正确答案】5【详解】集合，且，{}20,,54A m m m =-+4A ∈（i ）当时，，违反集合元素的互异性，4m ={}2540,0,4,0m m A -+==（ii ）当时，解得或，2544m m -+=0m =5m =①当时，不满足集合元素的互异性，舍去，0m ={}0,0,4A =②当时，，满足题意，则实数的值为5.5m ={}0,5,4A =m 故5.6.【正确答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【详解】解不等式得2280x x --≤24x -≤≤记{}24,{29}A x xB x a x a =-≤≤=<<+∣∣因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，p q A B 所以，解得.2429a a <-⎧⎨<+⎩522a -<<-所以的取值范围为.a 5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭7.【正确答案】()0,4【详解】由题意得在上恒成立，，()214204x a x +-+>R Δ0∴<即.221Δ(2)4440,044a a a a =--⨯⨯=-<∴<<故答案为.()0,48.【正确答案】()(),31,∞∞--⋃+【详解】函数的定义域为，则()22x x f x x -=--()(),22x x f x x f x --=-+=-R 是上的奇函数，()f x R 函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，2,2,x x y y y x -==-=-R ()f x R不等式，因此，()()()()()22320322f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=-232x x ->-即，解得或，2230x x +->3x <-1x >所以原不等式的解集为.()(),31,∞∞--⋃+故()(),31,∞∞--⋃+9.【正确答案】1【详解】，1919xy x y y x =++由，可得16x y +=()1911919191616y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，110116⎛≥+= ⎝当且仅当，等号成立，则的最大值为1.312y x ==9xyx y +故1.10.【正确答案】[)2,∞+【详解】因为，所以在上为增函数，()1e 2x f x x -=+-()f x R 又，所以有唯一零点为1，()01e 120f =+-=()f x 令的零点为，依题意知，即，()g x 0x 011x -<002x <<即函数在上有零点，()g x ()0,2令，则在上有解，即在上有解，()0g x =210x ax -+=()0,21x a x +=()0,2因为，12x x +≥=当且仅当，即时，取等号，所以，1x x =1x =2a ≥故答案为.[)2,∞+11.【正确答案】①②③【详解】对于①：因为，所以，故，故2221(1),n n n n +=+-∈Z 21b n M =+∈P M ⊆①正确；对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除，()42221,c n n n =+=+∈Zc 若，则存在使得，c M ∈,x y ∈∈Z Z ()()2242,,c n x y x y x y x y =+=-=+-∈∈Z Z 因为和同奇或同偶，x y +x y -若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合，x y +x y -()()42c n x y x y =+=+-若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合，x y +x y -()()42c n x y x y =+=+-所以，故②正确；c M ∉对于③：因为，12,a M a M ∈∈所以存在使得，1212,,,x x y y ∈∈Z Z 2222111222,a x y a x y =-=-所以()()()()()()2222222212112212121221a a x y xy x x y y x y x y =--=+--，()()2212121221x x y y x y x y =+-+因为所以，故③正确.12121221,x x y y x y x y ++∈Z 12a a M ∈故①②③.12.【正确答案】10或17【详解】由得函数关于点()()()33991()1222f x f x x x x x +-=-++---+=()f x 中心对称，()0,1M 显然该正方形的中心为，ABCD M由正方形性质得于，且，AC BD ⊥M AM BM CM DM===设直线的方程为，则直线的方程为，AC 1(0)y kx k =+>BD 11y x k =-+设，则，()()1122,,,A x y B x y ()()1122,2,,2C x y D x y ----联立直线方程与函数得，即，AC ()y f x =31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩3902x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，同理，2192x k =+22912xk =-又，0,0AM BM =-=-所以，即，()2291911122k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2219102k k k k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭化简得，2112940k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以或，14k k -=-112kk -=-所以，1k k +==所以22ABCD S AM BM x =⋅=或17.112210k k k k ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故10或17二､单选题13.【正确答案】C【详解】A ：当时，，故A 错误；0a b <<110ab <<B ：当时，满足不成立，故B 错误；2,1a b =-=-1,1,12b b a b a a <=<>C ：，()()()233222324b a b a b a ab ba b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为，所以，得，即，故C 正确；a b <0a b -<330a b -<33a b <D ：当时，满足不成立，故D 错误.2,1a b =-=-,,a b a b a b<><故选：C14.【正确答案】D 【详解】由题意，得，故集合子集个数为个.{}0,1,2,3A =A 4216=故选：D.15.【正确答案】D【详解】对于A ：函数，显然不符合题意，故A 错误；12y x ==[)0,∞+对于B ：函数的定义域为，显然不符合题意，故B 错误；12y x-==()0,∞+对于C ：函数的定义域为R ，又为奇函数，3y x =3y x =但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C 错误；3y x =()0,∞+对于D ：定义域为R ，又为奇函数，13y x ==13y x =且在上函数是上凸递增，故D 正确.13y x =()0,∞+故选：D16.【正确答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，()f x R [)0,∞+所以在上单调递减，()f x (),0∞-又的解集为，()4f x x≤][(),22,∞∞--⋃+可得的解集为，()4f x x>()2,2-所以当，或时，的图象在图象的下方，2x ≥2x ≤-()y f x =4y x=当时，的图象在图象的上方，22x -<<()y f x =4y x=又因为当，或时，的图象在图象的上方，2x ≥2x ≤-22y x =4y x =当时，的图象在图象的下方，22x -<<22y x =4y x =所以当，或时，的图象在图象的下方，2x ≥2x ≤-()y f x =22y x =当时，的图象在图象的上方，22x -<<()y f x =22y x =则不等式的解集为.()22f x x >()2,2-故选：B.三､解答题17.【正确答案】（1）21,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）(]1,3,2∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭【详解】（1）因为，且，所以，解得，，Q P ⊆Q ≠∅321331a a a a ≥-⎧⎪+<⎨⎪<+⎩2132a -≤<综上所述，的取值范围为.a 21,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：Q =∅Q ≠∅当时，，解得，，满足题意；Q =∅31a a ≥+12a ≥当时，因为，所以，解得，或无解；Q ≠∅P Q ⋂=∅1231a a a +≤-⎧⎨<+⎩3a ≤-3331a a a ≥⎧⎨<+⎩综上所述，的取值范围为.a (]1,3,2∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭18.【正确答案】（1）证明见解析；（2.【详解】（1）取中点，连接，由是的中点，得，且1CB P ,NP MP N 11B C NP ∥1CC ，112NP CC =由是的中点，得，且，M 1DD 1111122D M DD CC ==1D M ∥1CC 则有，四边形是平行四边形，于是，1D M ∥1,NP D M NP =1D MPN 1D N ∥MP 又平面平面，MP ⊂11,CB M D N ⊄1CB M 所以平面.1D N ∥1CB M （2）四棱柱中，平面，则直线两1111ABCD A B C D -1A A ⊥,ABCD AD AB ⊥1,,AB AD AA 两以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，A 1,,ABAD AA ,,x y z 有，()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,2,0,1,1,1,1,0,1,1,2A B B M C C 则有，()()()111,1,2,1,0,1,0,0,2CB CM BB =-=-=设平面与平面的法向量分别为，1CB M 11BB CC ()()111222,,,,,m x y z n x y z == 则有，令，得，111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 11x =()1,3,1m =，令，得，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =()1,1,0n =因此.cos ,||m n m n m n ⋅===⋅∣所以平面与平面.1CB M 11BB CC 19.【正确答案】（1）500（2）存在，.[]2.5,3.5【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为1000x -万元，211000x a⎛⎫+ ⎪⎝⎭则.()21000110001000x x a a⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…因为，所以，解得，0a >2201000x x -…0500x ≤≤因为且，所以，故，x ∈N 100500x ……100500x ……5001000900x -……即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调()1000x -整后的研发人员的人数最少为500.（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，()231000110001000x x x a x m a ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…上式两边同除以，得，ax 1000231110001000x x m x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…整理得，100011000xm x ++…由条件②技术人员年人均投入不减少，得，31000x a m a⎛⎫- ⎪⎝⎭…解得.311000xm +…假设存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，m 即恒成立.()310001110050010001000x xm x x +++…………设，()21000110001110001000x f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由在上单调递减，()f x (]0,1000因为且，所以在上单调递减，x ∈N 100500x ……()f x []100,500则，min 1000500()1 3.55001000f x =++=当时，等号成立，所以.500x = 3.5m ≤又因为，100500x ……当时，，所以，500x =max31 2.51000x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2.5m ≥所以，2.53.5m ……即存在这样的满足条件，的取值范围为.m m [2.5,3.5]20.【正确答案】（1）R （2）1a <（3）(),6a ∞∈-【详解】（1）当时，1a =()()222723,4f x x xg x x x =--=--所以，所以，所以的解集为.()()21504f x g x x -=+>()()f x g x >()()f x g x >R（2）若对任意，都有成立，即在恒成立，0x >()()f xg x >()215104x a x +-+>0x >解法一：设，对称轴，由题意，只须，()()2151,04h x x a x x =+-+>12a x -=min ()0h x >①当，即时，在上单调递增，所以，符合题102a -≤1a ≤()h x ()0,∞+()()1504h x h >=意，所以；1a ≤②当，即时，在上单调递城，在单调递增，102a ->1a >()h x 10,2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，解得且，()21(1)150244a a hx h --⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭11a <<1a >所以.11a <<+综上，1a <解法二：不等式可化为，即，设，()21514a x x -<+1514a xx -<+15,04k x x x =+>由题意，只须，min 151(),4a k x k xx -<=+≥=当且仅当即时等号成立，则154x x=x=min k =所以，即.1a -<1a <+（3）若对任意，存在，使得不等式成立，[]10,1x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x >即只需满足，[]min min ()(),0,1f x g x x >∈，对称轴在递减，在递增，()22314g x x x a =-+-()1,2x g x =10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦，对称轴，()[]222min 1()8,24,0,12g x g a f x x ax a x ⎛⎫==-=-+-∈ ⎪⎝⎭4a x =①即时，在[0，1]递增，恒成04a ≤0a ≤()f x ()22min min ()04()8f x f a g x a ==->=-立；②即时，在递减，在递增，014a <<04a <<()f x 0,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,14a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以，故；22min min 7()4,()848a f x f a g x a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭227488a a ->-04a <<③即时，在递减，，14a≥4a ≥()f x []0,1()22min min()12,()8f x f a a g x a ==--=-所以，解得，综上.2228a a a -->-46a ≤<(),6a ∞∈-21.【正确答案】（1）答案见解析（2）13（3）证明见解析【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：设，则，1212,,,a a b b ∈R ()()()2222212121122a a b b a b a b ++≥+当且仅当时等号成立.1221a ba b =（2）由正四面体的体积，ABCD P ABC PDBC P CDA P DABV V V V V ----=+++，所以()32123413d d d d =+++1234d d d d +++=又由柯西不等式得，()()()()22222212341234123411111111d d d d d d d d d d d d ++++++≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++所以，()2123422221234143d d d d d d d d ++++++≥=当且仅当时等号成立.1234d d d d ====（3）对，记是的一个排列，4n ≥12,,,n k k k 1,2,,n且满足.120n k k k a a a m<<<<≤ 由条件②得.()1112,3,,i i k k i i a a i n k k ---≥=+ 于是，对任意的，4n ≥都有()()()11122111221111n n n n n n k k k k k k k k k n n n n m a a a a a a a a a k k k k k k ------≥>-=-+-++-≥++++++ 由柯西不等式得()()()21122111221111(1)n n n n n n n n k k k k k k n k k k k k k ------⎛⎤⎡⎤+++++++++≥- ⎥⎣⎦+++⎝⎦ 所以()()()21122111221111(1)n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k -------+++≥+++++++++ ()2222221211(1)(1)(1)341233n n n n n n n k k k k k n n k k n n n n ----==≥=-+++--+--+-+- 从而，对任意的，都有，4n ≥23413n m n n -≥-+-故对任意，恒有*2344,,3n n n n n -≥∈>+-N 1m ≥。

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上海市静安区20XX 届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题（本试卷满分150分考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．设i 为虚数单位，若复数ibi +-+1)1(2（R b ∈）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 .2. 函数1cos sin 1)(--=x x x f 的定义域为 .3. 若二项式92)1(axx -的展开式中，9x 的系数为221-，则常数a 的值为 .4. 若关于x 的一元二次方程0)2lg(222=-+-a a x x 两根异号，则实数a 的取值范围是 .5. 若0<a ，则关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-02,0222a ax x a ax 的解集为 . 6. 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本.若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有种.（结果用数值表示） 7. 函数xxx x e e e e x f --+=11)(在闭区间]21,21[-上的最小值为 .8. 已知向量a 、b 的夹角为150︒，1=a ，3=b ，则b a 313+= .9. 已知圆锥侧面积为π2cm 2，高为3cm ，则该圆锥底面周长为 cm.10.已知等差数列{}n a 的前10项之和为30，前20项之和为100，则283a a += . 11.已知α为锐角，β为钝角，32sin =α，91cos -=β，则)(2c o sβα-的值为 .12.从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为 . 13.记{}⎩⎨⎧>≤=时当时当b a b b a a b a ,,,min ，已知函数{}34,12min )(222+--++=x x t tx x x f 是偶函数（t 为实常数），则函数)(x f y =的零点为 .（写出所有零点）14.已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．下列命题正确的是 …………………………………………………………………( )（A ） lim n n a A →∞=, lim n n b B →∞=则limn n na Ab B →∞=(0,n b n N ≠∈)（B ）若数列{}n a 、{}n b 的极限都不存在，则{}n n a b +的极限也不存在（C ）若数列{}n a 、{}n n a b +的极限都存在,则{}n b 的极限也存在（D ）设12n n S a a a =+++，若数列{}n a 的极限存在,则数列{}n S 的极限也存在16. 若A 、B 为锐角△ABC 的两内角，则点)sin cos ,cos (sin A B A B P --是…( )(A)第一象限的点 (B)第二象限的点 (C)第三象限的点 (D)第四象限的点 17．若a 、b 、c 都是复数，则“222c b a >+”是“0222>-+c b a ” 的………( )(A) 充要条件 (B) 既非充分条件又非必要条件(C) 充分而非必要条件 (D) 必要而非充分条件18．若xyy x 4)(cos 22+=θ，则x ，y 满足的条件是…………………………………( )(A)y x =且0>x (B)y x = 且0≠x 或y x -=且0≠x (C) y x ≠且0≠x ，0≠y (D) y x =且0<x三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.（1）已知a 、b 为正实数，b a ≠，0>x ，0>y .试比较y b x a 22+与yx b a ++2)(的大小，并指出两式相等的条件；（2）求函数xx x f 2192)(-+=，)21,0(∈x 的最小值.20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分6分.PDCBA如图，在四棱锥ABCD P -的底面梯形ABCD 中，BC AD //，BC AB ⊥，1=AB ，3=AD ，045=∠ADC .又已知⊥PA 平面ABCD ，1=PA .求：（1）异面直线PD 与AC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥ABCD P -的体积；21．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足. 地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.求：（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=8101⨯）22． (本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.已知0>a 且1≠a ，数列{}n a 是首项与公比均为a 的等比数列，数列{}n b 满足n n n a a b lg ⋅=（*N n ∈）.（1）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（2）如果对于*N n ∈，总有1+<n n b b ，求a 的取值范围.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈.（1）求a 的取值范围，使)(x f y =在闭区间]3,1[-上是单调函数；（2）当20≤≤x 时，函数)(x f y =的最小值是关于a 的函数)(a m .求)(a m 的最大值及其相应的a 值；（3）对于R a ∈，研究函数)(x f y =的图像与函数322--=x x y 的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.参考答案1．2-=b ； 2．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠∈Z k k x k x R x x ,2,22,ππππ； 3． 2； 4．)1,21()0,21(⋃-； 5．),(a a -； 6．864 7．21e -； 8．1； 9．π2 10．14； 11．729239-； 12．8113．1,3±±=x ； 14．{}3,0,3- 15——18 C D C B19．（1）作差比较：y b x a 22+-y x b a ++2)(=0)()(2≥+-y x xy bx ay .………………4分所以，y b x a 22+≥yx b a ++2)(.…………………………………………6分当bx ay =时，两式相等.…………………………………………8分（2）解法1：25212)32(2192421922=-++≥-+=-+x x x x x x .……………3分当x x 23)21(2⋅=-，即51=x 时，)21,0(51∈，函数取得最大值25. ……6分解法2：xx xx x +-+=-+22522192，令t x =+52，则)29,2(∈t , 设)(x f y =，则5225)2(22-+-⨯=t t t y ，化简并变形得1318225+--=t t y ；因为121822182-=⨯-≤--tt ， ……………3分当且仅当)29,2(3∈=t 时等号成立，且)3,2(∈t 时t t 182--递增，)29,3(∈t 时t t 182--递减，2=t 或29时，13182-=--t t ，所以1131820≤+--<tt ，251318225≥+--=tt y ，当3=t 即51,352==+x x 时取得最大值25。

……6分20．（1）连接AC ，过点C 作ABCF //PDCBA EF交AD 于点F ，因为045=∠ADC ，所以1=FD ，从而2==AF BC ，…………2分解法1：延长BC 至E ，使得3==AD CE ，则DE AC //且5==AC DE ，26=AE ，3327==PE ，10=PD .5分在△P D中，523c o s -=∠P D E .……8分所以，异面直线PD 与AC 所成角的大小为523arccos.………9分解法2：建立如图所示的空间直角坐标系. 则)0,2,1(),1,0,0(),0,3,0(),0,0,0(C P D A .所以)0,2,1(=AC ，)1,3,0(-=PD ，………………5分设异面直线PD 与AC 所成角的大小为θ，则523256cos ==⋅=PDAC PD AC θ.………………8分所以异面直线PD 与AC 所成角的大小为523arccos .………………9分（2）底面梯形面积为25.四棱锥的体积为31⨯底面积⨯高，……………3分所以，四棱锥ABCD P -的体积为6512531=⨯⨯.………………………6分21．（1）地铁营运第n 年的收入1)2.01(0124.0-+⨯=n n a ，*N n ∈…………2分根据题意有：05.0)2.01(0124.01>+⨯-n ，………………………………4分解得≥n 9年.（或者05.0)2.01(0124.01≤+⨯-n ，解得<n 10年）答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金. …………6分（2）市政府各年为1公里地铁支付费用第1年：0124.005.0-；第2年：2.10124.005.0⨯-； ......PDCBAEF xz y第n 年：12.10124.005.0-⨯-n .………………………………2分n 年累计为：]2.10124.02.10124.02.10124.00124.0[05.012-⨯++⨯+⨯+-n n ，……4分将8=n 代入得，1954113485.02.11)2.11(0124.0805.08=--⨯-⨯亿. ………8分答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为一公里地铁共支付19541135元费用.………………………………………………9分22．（1）由已知有n n a a =，a na a a b n n n n lg lg ==.2分所以a na a n a a a S n n n lg ])1(32[132+-++++=- ，a na a n a a aS n n n lg ])1(2[132++-+++= ，5分所以a na a a a a a S a n n n n lg )()1(1132+--+++++=- ，因为1≠a ，所以a a na a a a a S n n n lg 1lg )1()1(12----=+.……………………8分（2）1+<n n b b 即a a n a na n nlg )1(lg 1++<.由0>a 且1≠a 得a a n a n lg )1(lg +<.2分所以⎩⎨⎧<-+<0)1(0lg n a n a 或⎩⎨⎧>-+>0)1(0lg n a n a ……………………………3分即⎪⎩⎪⎨⎧+<<<110n n a a 或⎪⎩⎪⎨⎧+>>11n n a a 对任意*N n ∈成立，………………………5分而11lim =++∞→n n n ，且2111≥+>n n ，所以210<<a 或1>a .……………8分23．（1）函数a ax x x f -++=3)(2图像的对称轴为2ax -=. 因为)(x f 在闭区间]3,1[-上是单调函数，所以12-≤-a 或32≥-a.故6-≤a 或2≥a . ………………………………………………4分（2）当0≥a 时，a f a m -==3)0()(；当04<≤-a 时，341)2()(2+--=-=a a af a m ；当4-<a 时，7)2()(+==a f a m . ………………………………2分所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-+---<+=0,304,3414,7)(2a a a a a a a a m分段讨论并比较大小得，当2-=a 时，)(a m 有最大值4. ………………6分（3）公共点的横坐标x 满足32322--=-++x x a ax x .即x 是方程)1(-x a =33222----x x x 的实数解.设332)(22----=x x x x h ，则直线)1(-=x a y 与)(x h y =有公共点时的横坐标与上述问题等价.当1-≤x 或3≥x 时，62332)(22--=----=x x x x x h ；解方程)1(62-=--x a x 即6)2(-=+a x a ，得26+-=a a x ，2-≠a ；……1分当31≤≤-x 时，x x x x x x h 22332)(222+-=----=.解方程)1(222-=+-x a x x 即0)2(22=--+a x a x ，得2ax -=或1=x ；……2分研究结论及评分示例：（满分6分）结论1：无论a 取何实数值，点)4,1(必为两函数图像的公共点. ………………1分结论2：（对某些具体的a 取值进行研究）. ………………………………2分当2-=a 时，两图像有一个公共点)4,1(；当6-=a 时，公共点有2个，坐标为)4,1(、)0,3(；当2=a 时，公共点有2个，坐标为)4,1(、)0,1(-.（对每一个具体的a 取值，结论正确给1分，总分值不超过2分）结论3：当26,22-<<-<<-a a 时，公共点有3个，坐标为)4,1(、)34,2(2-+-a a a 、))2(4217,26(22++-+-a a a a a . ………………………………4分结论4：叙述完整，结论正确，给满分.具体包括下面几个方面：当6-=a 时，公共点有2个，坐标为)4,1(、)0,3(；当2=a 时，公共点有2个，坐标为)4,1(、)0,1(-. 当62,2-<-=>ora a a 时，公共点有1个，坐标为)4,1(.当26,22-<<-<<-a a 时，公共点有3个，坐标为)4,1(、)34,2(2-+-a a a 、))2(4217,26(22++-+-a a a a a . ……………………………………………6分。

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