7.4 用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力
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X1 5 kN 4
6 X 2 kN 7
(6)作最后内力图 利用叠加公式 M M 1 X 1 M 2 X 2 M P ，计算最后弯矩如下
M AF M FA M FD M DF M DE M ED M EB M BE
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FN图
7.4.3 超静定组合结构
用力法计算时，一般可将桁杆作为多余约束切断而得到 其静定的基本体系。计算系数和自由项时，对桁杆应考 虑轴向变形的影响；对梁式杆只考虑弯曲变形的影响， 而忽略其剪切变形和轴向变形的影响。 【例7-6】试用力法分析图示超静定组合结构已知
横梁AB：Eh=3×107kN/m2，I=6.63×10-4m4 压杆CE、DF：Eh=3×107kN/m2， A1=1.65×10-2m2 拉杆AE、EF、FB：Eg=2×108kN/m2， A2=0.12×10-2m2
FN图(kN)
【例7-4】试计算图示具有弹性支座的结构，并作弯矩图。抗 3EI 转刚度系数 k 。 l
A C A k M EI=常数 l X1 X1 M C
B
l/2 l/2
基本体系
B
解：(1)确定基本未知量数目 (2)选择力法基本体系 (3)建立力法典型方程
All Rights Reserved
B
基本体系
(4)求系数和自由项
X1=1 X2=1 2 2
X2=1
8kN
2
4
16
4
2
2
MP图(kN.m)
11
22
Δ1 P
2 EI
2 EI
2 1 128 ( 4 4) ( 4) 2 3 3EI
M 1图
12 21 0
M 2图
2 1 112 ( 2 2) ( 2) (2 4) 2 2 3 3EI
故力法典型方程简化为
A
B
M 2图
1
B X3=1
M 3图
A q
11 X 1 12 X 2 Δ1 P 0 21 X 1 22 X 2 Δ2 P 0
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B
MP图
ql2/8
应用图乘法，可得
11
l 3EI
11
EA 0.707 FP a ( ) 0.146 FP EA 4.828a
FP
-0.103FP
(6)计算原结构各杆轴力
FN FN1 X 1 FNP 0.146FP FN1 FNP
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1 1 5 160 ( 16 2) ( 4) EI 2 6 3EI
Δ2 P
1 EI
1 96 ( 16 2) 2 2 3EI
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(5)解方程，求多余未知力
128 160 X1 0 0 3EI 3EI 112 96 0 X2 0 3EI 3EI
13 3
1 X1=1
1
13 3
M1 , FN1
100kN
150 150
(5)解方程，求多余未知力
2200 Eh I X1 ( ) 11 Eh I 2526 624 10 2 . 87.073kN () Δ1P
250
MP(kN.m), FNP(kN)
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(4)求系数和自由项
2 2
2 3 2 3
Δ1P
2 1 1 ( 3 150) ( 2) (150 250) 2 2 2 2 3 2 2200 Eh I 1 Eh I
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100kN
A C D B
E
F
2m 3m
3m
2m
2m
解：为了简化计算，首先求出如下各比值：
Eh I 6.63 104 4.018 102 m 2 Eh A1 1.65 102
Eh I (3 107 ) (6.63104 ) 8.28810 2 m 2 E h A2 (2 108 ) (0.1210 2 )
(6)作最后弯矩图和剪力图
ql2/12 （ql2/8） A ql2/24 B ql2/12
M图
ql/2
B
A
F Q图
ql/2
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【例7-3】试计算图示刚架，并作内力图。EI=常数 。
解： (1)确定基本未知量数目
8kN
D
C
E 2m
F
n=2
A 2m D X1 X2 F A 2m X1
作出M图以及FQ图、FN :
5 kN 4
6 kN 7 5
4
D 8kN F
C
E 2m
24
kN
24
8kN 2m B 2m 2m 130
6 kN 7 59
A
1 M图( kN m 14
46
)
5 4 27 4
6 7
5 4
6 7
5 4
6 7
FQ图(kN)
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FP
-0.707 X1=1 -0.707 X1=1 1 1 1 -0.707
-0.707
FN1图
FP
Δ1P
FN1 FNP l EA
FP
1 (0.707) FP a 0.707FP a EA EA
(5)解方程，求多余未知力
X1 Δ1P
FNP图
FP -0.103FP -0.103FP 0.897FP
22
l 3EI
A
q
B
12 21
3
l 6 EI
Δ2 P ql 24EI
3
MP图
X1=1
Hale Waihona Puke Baidu
ql2/8
B A
1
ql Δ1 P 24EI
ql 2 X1 X 2 12
All Rights Reserved
M 1图
X2=1
(5)解方程，求多余未知力
A
B
(
)
M 2图
1
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n=1
A
左 A右
11 X 1 Δ1P 0
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(4)求系数和自由项 计算位移时，除杆件AD、DCB 的变形影响外，还应计入弹簧 约束的弹性变形，即
11
1 EI l EI M 1M 1 M dx M R R EI k
A D 2M
M
C
MP图
B
MR 1
A1 C 1 A
M C
M 1图
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M图
B
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B
7.4.2 超静定桁架
桁架各杆的最后轴力则可按下式计算：
FN FN1 X 1 FN2 X 2 FN n X n FNP
B F D a A 2a E C a FP X1 X1 FP
130 / 14 59 / 14 59 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 46 / 14
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屋架
EI1
链杆
EI1
柱
EI2 EI2
基础面
基础
对排架进行内力分析，主要是计算排架柱的内力。
2m B
(2)选择力法基本体系
8kN
E
(3) 建立力法典型方程
11 X 1 12 X 2 Δ1 P 0 (C处水平方向不离开) 21 X 1 22 X 2 Δ2 P 0 (C处竖直方向不错开)
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M1 , FN1
100kN
150 250 150
1 2 2 ( ) (2) 2 Eh A1 3 杆 1 Eg A2 13 2 ( ) ( 13) 2 (1) 2 (4) 3 杆
MP(kN.m), FNP(kN)
24 1.778 14.416 2526.624 10-2 Eh I Eh A1 Eg A2 Eh I
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n=3
A
拐点
q B
拐点
l
X1
A
q
X2
X3 B
基本体系
(4)求系数和自由项
13=31=0，23==32=0，D3P=0
X1=1
B A
1
33
FN 3 FN 3 d s l EA EA
M 1图
X2=1
A
力法典型方程中的第三式33X3=0 据此可得X3=0
24.15 -57.87 24.15 -57.87 104.57
(6)作最后内力图
M M1 X 1 M P
FN FN1 X 1 FNP
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104.57
75.85 87.07
M(kN.m), FN(kN)
7.4.4 铰接排架
EA=∞
4 2 2 0 0 0 0 4
2 16 0 2 0 2 5 2 4 0 2 6 0 2 7 0 0 2 2 0
【例7-5】试计算图7-17a所示桁 架的轴力，设各杆EA相同。
解： (1)确定基本未知量数目 (2)选择力法基本体系
基本体系
(3)建立力法基本方程
11 X 1 Δ1P 0
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X1
X1
(4)求系数和自由项
2 FN1l 11 EA 1 (0.707) 2 (a) 4 (1) 2 (1.414a) 2 EA 4.828a EA
7.4
用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力
7.4.1 超静定梁和刚架 【例7-2】试计算图示两端固定梁，并作内力图。EA、 EI均为常数。 解 :(1)确定基本未知量数目 (2)选择力法基本体系 (3)建立力法典型方程
11 X 1 12 X 2 13 X 3 Δ1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 Δ2 P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 Δ3 P 0
B
1 l 2 1 2 l 2 ( 1) ( 1) ( l 1) ( 1) 1 (1 ) 2 2 3 2 3 3EI
MR 1
M 1M P dx EI
A 1 1 X1=1 C 1
Δ1P
1 2 1 1 ( l 2M ) ( 1) ( l 2M ) ( 1) 3 2 3 2 Ml
A C
100kN
D B
(1)确定基本未知量数目
E F
2m
n=1
3m
2m
2m
100kN
3m
(2)选择力法基本体系
(3)建立力法基本方程
11 X 1 Δ1P 0
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X1 基本体系
(4)求系数和自由项
由公式 :
11
2 FN1 l M 12 dx EI EA （梁式杆） （桁杆）
2
2 3
2
2 3
Δ1P
F F l M 1M P dx N1 NP EI EA
（桁杆）
可得
δ11 1 Eh I
（梁式杆）
13 3
1 X1=1
1
13 3
2 1 ( 3 2) ( 2) 2 (4 2) (2) 2 3 梁
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M 1图
B
(5)解方程，求多余未知力:
X1 Δ1P EI (Ml) M l
M 2M C
(6)作最后弯矩图
C A k M l
11
A
M
EI=常数 l/2 B l/2 1 X1=1
MP图
M M
6 X 2 kN 7
(6)作最后内力图 利用叠加公式 M M 1 X 1 M 2 X 2 M P ，计算最后弯矩如下
M AF M FA M FD M DF M DE M ED M EB M BE
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FN图
7.4.3 超静定组合结构
用力法计算时，一般可将桁杆作为多余约束切断而得到 其静定的基本体系。计算系数和自由项时，对桁杆应考 虑轴向变形的影响；对梁式杆只考虑弯曲变形的影响， 而忽略其剪切变形和轴向变形的影响。 【例7-6】试用力法分析图示超静定组合结构已知
横梁AB：Eh=3×107kN/m2，I=6.63×10-4m4 压杆CE、DF：Eh=3×107kN/m2， A1=1.65×10-2m2 拉杆AE、EF、FB：Eg=2×108kN/m2， A2=0.12×10-2m2
FN图(kN)
【例7-4】试计算图示具有弹性支座的结构，并作弯矩图。抗 3EI 转刚度系数 k 。 l
A C A k M EI=常数 l X1 X1 M C
B
l/2 l/2
基本体系
B
解：(1)确定基本未知量数目 (2)选择力法基本体系 (3)建立力法典型方程
All Rights Reserved
B
基本体系
(4)求系数和自由项
X1=1 X2=1 2 2
X2=1
8kN
2
4
16
4
2
2
MP图(kN.m)
11
22
Δ1 P
2 EI
2 EI
2 1 128 ( 4 4) ( 4) 2 3 3EI
M 1图
12 21 0
M 2图
2 1 112 ( 2 2) ( 2) (2 4) 2 2 3 3EI
故力法典型方程简化为
A
B
M 2图
1
B X3=1
M 3图
A q
11 X 1 12 X 2 Δ1 P 0 21 X 1 22 X 2 Δ2 P 0
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B
MP图
ql2/8
应用图乘法，可得
11
l 3EI
11
EA 0.707 FP a ( ) 0.146 FP EA 4.828a
FP
-0.103FP
(6)计算原结构各杆轴力
FN FN1 X 1 FNP 0.146FP FN1 FNP
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1 1 5 160 ( 16 2) ( 4) EI 2 6 3EI
Δ2 P
1 EI
1 96 ( 16 2) 2 2 3EI
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(5)解方程，求多余未知力
128 160 X1 0 0 3EI 3EI 112 96 0 X2 0 3EI 3EI
13 3
1 X1=1
1
13 3
M1 , FN1
100kN
150 150
(5)解方程，求多余未知力
2200 Eh I X1 ( ) 11 Eh I 2526 624 10 2 . 87.073kN () Δ1P
250
MP(kN.m), FNP(kN)
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(4)求系数和自由项
2 2
2 3 2 3
Δ1P
2 1 1 ( 3 150) ( 2) (150 250) 2 2 2 2 3 2 2200 Eh I 1 Eh I
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100kN
A C D B
E
F
2m 3m
3m
2m
2m
解：为了简化计算，首先求出如下各比值：
Eh I 6.63 104 4.018 102 m 2 Eh A1 1.65 102
Eh I (3 107 ) (6.63104 ) 8.28810 2 m 2 E h A2 (2 108 ) (0.1210 2 )
(6)作最后弯矩图和剪力图
ql2/12 （ql2/8） A ql2/24 B ql2/12
M图
ql/2
B
A
F Q图
ql/2
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【例7-3】试计算图示刚架，并作内力图。EI=常数 。
解： (1)确定基本未知量数目
8kN
D
C
E 2m
F
n=2
A 2m D X1 X2 F A 2m X1
作出M图以及FQ图、FN :
5 kN 4
6 kN 7 5
4
D 8kN F
C
E 2m
24
kN
24
8kN 2m B 2m 2m 130
6 kN 7 59
A
1 M图( kN m 14
46
)
5 4 27 4
6 7
5 4
6 7
5 4
6 7
FQ图(kN)
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FP
-0.707 X1=1 -0.707 X1=1 1 1 1 -0.707
-0.707
FN1图
FP
Δ1P
FN1 FNP l EA
FP
1 (0.707) FP a 0.707FP a EA EA
(5)解方程，求多余未知力
X1 Δ1P
FNP图
FP -0.103FP -0.103FP 0.897FP
22
l 3EI
A
q
B
12 21
3
l 6 EI
Δ2 P ql 24EI
3
MP图
X1=1
Hale Waihona Puke Baidu
ql2/8
B A
1
ql Δ1 P 24EI
ql 2 X1 X 2 12
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M 1图
X2=1
(5)解方程，求多余未知力
A
B
(
)
M 2图
1
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n=1
A
左 A右
11 X 1 Δ1P 0
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(4)求系数和自由项 计算位移时，除杆件AD、DCB 的变形影响外，还应计入弹簧 约束的弹性变形，即
11
1 EI l EI M 1M 1 M dx M R R EI k
A D 2M
M
C
MP图
B
MR 1
A1 C 1 A
M C
M 1图
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M图
B
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B
7.4.2 超静定桁架
桁架各杆的最后轴力则可按下式计算：
FN FN1 X 1 FN2 X 2 FN n X n FNP
B F D a A 2a E C a FP X1 X1 FP
130 / 14 59 / 14 59 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 46 / 14
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屋架
EI1
链杆
EI1
柱
EI2 EI2
基础面
基础
对排架进行内力分析，主要是计算排架柱的内力。
2m B
(2)选择力法基本体系
8kN
E
(3) 建立力法典型方程
11 X 1 12 X 2 Δ1 P 0 (C处水平方向不离开) 21 X 1 22 X 2 Δ2 P 0 (C处竖直方向不错开)
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M1 , FN1
100kN
150 250 150
1 2 2 ( ) (2) 2 Eh A1 3 杆 1 Eg A2 13 2 ( ) ( 13) 2 (1) 2 (4) 3 杆
MP(kN.m), FNP(kN)
24 1.778 14.416 2526.624 10-2 Eh I Eh A1 Eg A2 Eh I
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n=3
A
拐点
q B
拐点
l
X1
A
q
X2
X3 B
基本体系
(4)求系数和自由项
13=31=0，23==32=0，D3P=0
X1=1
B A
1
33
FN 3 FN 3 d s l EA EA
M 1图
X2=1
A
力法典型方程中的第三式33X3=0 据此可得X3=0
24.15 -57.87 24.15 -57.87 104.57
(6)作最后内力图
M M1 X 1 M P
FN FN1 X 1 FNP
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104.57
75.85 87.07
M(kN.m), FN(kN)
7.4.4 铰接排架
EA=∞
4 2 2 0 0 0 0 4
2 16 0 2 0 2 5 2 4 0 2 6 0 2 7 0 0 2 2 0
【例7-5】试计算图7-17a所示桁 架的轴力，设各杆EA相同。
解： (1)确定基本未知量数目 (2)选择力法基本体系
基本体系
(3)建立力法基本方程
11 X 1 Δ1P 0
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X1
X1
(4)求系数和自由项
2 FN1l 11 EA 1 (0.707) 2 (a) 4 (1) 2 (1.414a) 2 EA 4.828a EA
7.4
用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力
7.4.1 超静定梁和刚架 【例7-2】试计算图示两端固定梁，并作内力图。EA、 EI均为常数。 解 :(1)确定基本未知量数目 (2)选择力法基本体系 (3)建立力法典型方程
11 X 1 12 X 2 13 X 3 Δ1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 Δ2 P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 Δ3 P 0
B
1 l 2 1 2 l 2 ( 1) ( 1) ( l 1) ( 1) 1 (1 ) 2 2 3 2 3 3EI
MR 1
M 1M P dx EI
A 1 1 X1=1 C 1
Δ1P
1 2 1 1 ( l 2M ) ( 1) ( l 2M ) ( 1) 3 2 3 2 Ml
A C
100kN
D B
(1)确定基本未知量数目
E F
2m
n=1
3m
2m
2m
100kN
3m
(2)选择力法基本体系
(3)建立力法基本方程
11 X 1 Δ1P 0
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X1 基本体系
(4)求系数和自由项
由公式 :
11
2 FN1 l M 12 dx EI EA （梁式杆） （桁杆）
2
2 3
2
2 3
Δ1P
F F l M 1M P dx N1 NP EI EA
（桁杆）
可得
δ11 1 Eh I
（梁式杆）
13 3
1 X1=1
1
13 3
2 1 ( 3 2) ( 2) 2 (4 2) (2) 2 3 梁
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M 1图
B
(5)解方程，求多余未知力:
X1 Δ1P EI (Ml) M l
M 2M C
(6)作最后弯矩图
C A k M l
11
A
M
EI=常数 l/2 B l/2 1 X1=1
MP图
M M