学大教育高考数学函数的值域与最值专题过关
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解高考数学冲刺策略：函数的值域与最值求解高考数学中，函数的值域与最值问题一直是重点和难点。
在冲刺阶段，掌握有效的求解策略对于提高成绩至关重要。
本文将为同学们详细介绍函数值域与最值的求解方法，并通过实例帮助大家加深理解。
一、函数值域与最值的基本概念首先，我们来明确一下函数值域和最值的定义。
函数的值域是指函数在其定义域内所有可能的输出值的集合。
简单来说，就是当自变量在定义域内取遍所有可能的值时，函数所对应的函数值的范围。
而函数的最值则分为最大值和最小值。
最大值是函数在定义域内所能取得的最大函数值，最小值则是所能取得的最小函数值。
二、常见函数的值域与最值1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的函数为一次函数。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增，值域为 R；当 k ＜ 0 时，函数单调递减，值域也为 R。
2、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
对于形如 y ＝ a(x h)²＋ k 的顶点式，顶点坐标为（h, k)，当 a ＞ 0 时，函数的最小值为 k；当 a ＜ 0 时，函数的最大值为 k。
3、反比例函数反比例函数 y ＝ k/x（k ≠ 0），其定义域为x ≠ 0。
当 k ＞ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递减；当 k ＜ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递增。
值域为（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。
4、指数函数指数函数 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数在 R 上单调递增，值域为（0, ＋∞）；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在 R 上单调递减，值域同样为（0, ＋∞）。
5、对数函数对数函数 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1），其定义域为（0, ＋∞）。
(2021年整理)高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
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函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法(耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。
(1）2121x y x -=+； (2）()lg 12cos y x =-; (3）2y x =；(4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6)3sin 2cos xy x-=-。
高考数学精讲知识点（8）：函数的最值与值域
高考数学精讲知识点（8）：函数的最值与值域
历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。
——培根
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、函数最值的定义
考点二、函数最值的常用求法
要点诠释：
【典型例题】
类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值
类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值
举一反三：
类型三、含参类函数的最值与值域问题
举一反三：
类型四、抽象函数的最值与值域问题
类型五：解析几何在最值方面的综合应用。
高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)
函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。
（1）2121x y x -=+； （2）()lg 12cos y x =-；（3）2y x =（4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6）3sin 2cos xy x-=-。
解：（1）[解一]分离常数法：()()21212211,11,212121x x y y x x x -+-===-≠⇒∈-∞+∞+++ [解二]反函数法：()21122112122x y y y x y x y x y -+=⇒-=--⇒=-⇒≠+-（2）基本函数性质法：[][]cos 1,112cos 1,3x x ∈-⇒-∈-又12cos 0x -> (](]12cos 0,3,lg3x y ⇒-∈⇒∈-∞（3）换元法：令0t =≥，则221x t =+[)22132101,24y x t t t t y ⎛⎫=++=++≥⇒∈+∞ ⎪⎝⎭又（4）基本不等式法：令10t x =+≠，则()()21211414t t x t y t tt---+=-⇒==+-当0t >时，40y ≥=，当且仅当2t =即1x =时取等号当0t <时，48y ≤-=-，当且仅当2t =-即3x =-时取等号 ∴(][),80,y ∈-∞-+∞（5）单调性法：1lg y x =在[]1,2上单调增且226y x x =-+在[]1,2上单调增 12y y y ⇒=+在[]1,2上单调增[]5,8lg 2y ⇒∈+（6）数形结合法：设()cos ,sin P θθ、()2,3Q ，则3sin 2cos PQ xk y x-==-设()3212y k x k ⎡-=-⇒≤⇒∈-+⎢⎣⎦即2y ⎡∈+⎢⎣⎦例2：函数()21f x ax a =++在区间()1,1-上的值有正有负，求实数a 的取值范围。
高考数学 求函数的值域与最值 练习题(含答案)
高考考点精练专辑019函数及其表示(九)求函数的值域与最值九、求函数的值域与最值求函数的值域与最值，虽有区别，但方法基本相同。
求出的值域除小数情况(只有几个有限元素组成的集合)外都可以用区间表示，可能是开区间，也可是闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，还可能是多个区间的并集。
求出的值域中，有的能直接找出最值(含有闭区间)，有的也许找不出最值(都是开区间)。
㈠、求函数的值域求函数的值域是学习中的难点，方法因题而易，灵活多样。
常用的方法有：直接法、图像法、单调法、换元法，反解法(解方程法，即方程思想)、判别式法、分离常数法、配方法、导数法等。
1.(2019上海文理同卷13)(共23题的第13题 4道选择题第1题 150分占5分) 下列函数中，值域为[)0,+∞的是( )A.2xy = B.12y x = C.tan y x = D.cos y x = 答案：B解：2x y =的值域为()0,+∞，故A 错；12y x =的定义域为[)0,+∞，值域也是[)0,+∞，故B 正确；tan y x =的值域为(),-∞+∞，故C 错；cos y x =的值域为[]1,1-，故D 错。
因此，选B 。
点拔：直接求四个选项中的函数的值域即可。
2.(2016北京理14)(共20题 6道填空题第6题 150分占5分)设函数()33,,2,,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 。
答案：2； (),1-∞-解：如图作出函数()33g x x x =-与直线直线2y x =-的图象，它们的交点是()1,2A -，()0,0O ，()1,2B -，由()233g x x '=-，知1x =是函数()g x 的极大值点，BA-112-2-22yxO①当0a=时，()33,0,2,0,x x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x的最大值是()12f-=；②由图象知当1a≥-时，()f x有最大值是()12f-=；只有当1a<-时，由332a a a-<-，因此()f x无最大值，∴所求a的范围是(),1-∞-。
高考数学复习函数的值域与最值
则 a=（ A ）
A． 2 4
B． 2 2
C． 1 4
D． 1 2
★【例题
8】、函数
1
f(x)= 2 1+x
(x ∈ R)的值域是
(
)
A ．(0， 1) B． (0， 1]
C． [0， 1)
D ．[0， 1]
解：函数
f(x)=
1 1+x
2
(x ∈ R)，∴
1
x2 ≥ ，所以原函数的值域是
(0， 1] ，选 B.
a x 有如下性质：如果常数
a
0 ，那么该函数在
0, a
x
上是减函数，在
a,
上是增函数。
2b
（1）如果函数 y x
(x 0) 在 0,4 上是减函数，在 4,
x
上是增函数，求 b 的值。
（2）设常数 c 1,4 ，求函数 f ( x) x c (1 x 2) 的最大值和最小值； x
（3）当 n 是正整数时，研究函数
A ．45.606
B ．45.6
C． 45.56
D ． 45.51
[解析 ]: 由题 15 辆车分配在甲 ,乙两地销售要获得最大利润 ,通过分配试算比较 ,当甲地销 10 辆 ,
乙地销售 5 辆 ,即获得最大润为 :.5.06 10 0.15 100 2 5 45.6( 万元 ), 故选 B.
★【例题 6】、．若 x， y 是正数，则 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 的最小值是（
2008 高考数学复习 函数的值域与最值
一、基本知识体系： 1 、常见函数的值域： 一次函数 y= kx+b (k ≠0)的值域：
② 、二次函数 y= ax 2+bx+c
高中数学函数的值域与最值复习 通用最新优选公开课件
本节完，谢谢聆听
30
徐志摩曾说过：“一生中至少该有一次，为了某个人而忘记了自己，不求结果，不求同行，不求曾经拥有，甚至不求你爱我，只求在我最美的年华里，遇见你。”我不知道自己是何等的幸运能在茫茫人海中与你相遇？我也不知道你的出现是恩赐还是劫？但总归要说声“谢谢你，谢谢你曾来过……” 还记得初相识时你那拘谨的样子，话不是很多只是坐在那里听我不停地说着各种不着边际的话。可能因为紧张我也不知道自己想要表达什么？只知道乱七八糟的在说，而你只是静静地听着，偶尔插一两句。想想自己也不知道一个慢热甚至在不熟的人面前不苟言笑的我那天怎么会那么多话？后来才知道那就是你给的莫名的熟悉感和包容吧！
b
1 a
1
+b
=2.
(2)假设存在这样的实数a、b（a<b）使得函
数y=f(x)的定义域、值域都是［a,b］.
23
①当0<a<b≤1时，
函数f(x)= 1 -1在(0,1］上是减函数，
x
则f(a)=b
f(b)=a,即
1 a
-1=b
1 -1=a，
b
解得a=b，与0<a<b≤1矛盾，
故此时不存在满足条件的实数a、b.
（1）若函数f(x)的最小值为0，求a的值； （ 2 ） 若 函 数 f(x)≥0 对 任 意 x∈R 都 恒 成 立 ，
求函数g(a)=2-a|a+3|的最大值.
19
（1）因为f(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2,
①
且f(x)min=0，所以2a+6-4a2=0， 所以a=-1或a= 3 . （2）因为f(x)≥2 0,由①知,2a+6-4a2≥0，
学大教育高考数学函数的值域与最值专题过关
学大教育高考数学函数的值域与最值专题过关本专题目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．教学重点：求函数的值域与最值的基本方法。
（一）主要知识：1.函数的值域的定义；2.确定函数的值域的原则：定义域优先原则3.求函数的值域的方法。
（二）主要方法：求函数的值域的方法常用的有：直接法，分离常数法，换元法，配方法，判别式法，不等式法，利用某些函数的有界性法，数形结合法，函数的单调性法，利用平移等。
（三）例题精选：问题1．求下列函数的值域：1（直接法）y3某某2；22y某26某5；3y3某1某2；（分离常数法或者反函数法）4y2某34某1；35y2某5log3（单调性）6y某12（换元法）某1某2,10；某；7（数形结合）y|某1||某4|；8y1313某某；（函数的有界性）9y2某某2某某122；（△法）10y2某某12某12(某12)；11y1in某2co某；（三角函数的有界性）12y某42（几何意义）某2某10；22．1求函数ylog某1224某5的值域；【函数的值域与最值】|1学大教育五角场高三数学个性化辅导方案2已知f(某)2log3某，某1,3，求函数yf(某)2f某2的值域;3若函数f(某)的值域为348,9，求yf(某)12f(某)的值域.3．已知函数ya某b某21的值域为1,4，求常数a、b的值课堂练习：某1.函数y2某的值域为212.若函数f(某)loga某在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a3.已知f(某)2某36某2a（a是常数），在2,2上有最大值3，那么在2,2上的最小值是A.5B.11C.29D.37课后作业：1.求下列函数的值域：1y某21某（某0,1）；2y5某+log1某；3y某某某0；223某5,某04y某2某21；5y某5,0某12某8,某12.函数y13某1的值域是（）A.,1B.(,0)(0,)C.1,D.(,1)(0,)3.已知函数f(某)某24某，则f(2co1)的值域是【函数的值域与最值】2|学大教育五角场高三数学个性化辅导方案4.函数f(某)某22m某3在区间0,2上的值域为2,3，则m的值为（）A.5或5B.5或94C.5D.945、若函数f(某)122某某a的定义域和值域均为1,bb1，求a、b的值26、函数y4某8某136(某1)某1的最小值是（）A.1B.32C.2D.37、(10年上海杨浦区五校联考)函数y3某某2某1某0的值域是（）A.3,0B.3,1C.,3D.,08、(09上中高三第一学期期末模拟)函数y2某1的定义域是,12,5，则其值域是（）A.,01,2B.,2C.1,222,D.0,9、求函数y2某234某1某0的值域10、定义在R上的函数yf(某)的值域为a,b，则函数yf(某a)的值域为A.2a,abB.0,baC.a,bD.a,ab11、已知f(某199)4某24某3(某R)，那么函数f(某)的最小值为12、若f(某)的值域为0,2，则g(某)f(某2007)1的值域为（）A.1,3B.1,1C.2008,2006D.以上都不对13、（07江西）设函数y4log2(某1)(某≥3)，则其反函数的定义域为14、已知函数f(某)11a某a0,某0.1若f(某)在m,n上的值域是m,n，求a的取值范围，并求相应的m,n 的值；【函数的值域与最值】3|学大教育五角场高三数学个性化辅导方案2若f(某)≤2某在0,上恒成立，求a的取值范围高考过关：1、（04湖北）函数f(某)a某loga(某1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（）A.14B.12C.2D.42、（04湖北文）已知某A.最大值5452，则f(某)54某4某52某42有（）B.最小值C.最大值1D.最小值13、（07重庆文）函数f(某)某2某22某5某42的最小值为(0某)，下列结论正确的是4、（06安徽）设a0，对于函数f某in某ain某A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值5、（06陕西文）函数f(某)11某2某R的值域是A.0,1B.0,1C.0,1D.0,16、（06上海文）若曲线y21与直线yb没有公共点，则b的取值范围为7、（08重庆理）已知函数y14121某某3的最大值为M,最小值为m,则某mM的值为A.B.C.22D.328、（06福建文）已知f(某)是二次函数，不等式f(某)0的解集是0,5，且f(某)在区间1,4上的最大值是12.(Ⅰ)求f(某)的解析式；（Ⅱ）是否存在在自然数m，使得方程f(某)37某0在区间(m,m1)内有且只有两个不等的实数根？若【函数的值域与最值】|4学大教育五角场高三数学个性化辅导方案存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由.【函数的值域与最值】5|。
高考数学 专题02 常见函数值域或最值的经典求法黄金解题模板
专题02 常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法. 【方法点评】方法一 观察法解题模板：第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1 函数=)(x f ()111x x -- 的最大值是（ ）A.45 B. 54 C. 34 D. 43【变式演练1】求函数x x f 28)(-=的值域. 【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤x 28-＜2．故函数x x f 28)(-=的值域是)22,0[.方法二 分离常数法解题模板：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域.【解析】函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---，根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y .【变式演练2】求函数5143x y x -=-的值域.方法三 配方法解题模板：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】已知函数432--=x x y 的定义域是],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ）A ．]4,0(B ．]4,23[C ．]3,23[ D ．),23[+∞【答案】C 【解析】试题分析：因二次函数432--=x x y 的对称轴为23=x ,且0=x 时,函数值4-=y ,当23=x 时,425-=y ,因此当3=x 时, 4-=y .故当323≤≤m ,故应选C.考点：二次函数的图象和性质.方法四 反函数法解题模板：第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域；第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域 例4 设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【变式演练4】求函数34()56x f x x +=+的值域.方法五 换元法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 例5 已知函数2329+⋅-=xxy ，]2,1[∈x ,求该函数的值域. 【解析】因为[]1,2x ∈,所以[]33,9x∈ ，令[]3,3,9xt t =∈()222211y t t t =-+=-+ ，二次函数在[]3,9上为增函数，3t =时， 5y =； 9t =时， 65y =.函数的值域为{y|5≤y ≤65}.【变式演练5】 若02,x ≤≤求函数12()4325x x y f x -==-+的值域.例6 求函数y x =+.【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域.方法六 判别式法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数； 第二步 将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【变式演练7】求函数12+=x xy 的值域. 【解析】2201x y yx x y x =∴-+=+，当0y =时方程有解，当0y ≠时由0∆≥可得2140y -≥1122y ∴-≤≤，综上可知值域为]21,21[-.方法七 基本不等式法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如2ex fy ax bx c+=++或2ax bx c y ex f ++=+的函数；第二步 对函数进行配凑成by ax x=+形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8 已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.例9 已知函数9()(03)1f x x x x =+≤≤+，求()f x 的值域. 【解析】99()11,03,114,11f x x x x x x x =+=++-≤≤∴≤+≤∴++5)(,31min ==+x f x ，9)(,11max ==+x f x ，所以()f x 的值域为[5,9].【变式演练8 】 求函数2()f x =.【变式演练9】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由题意得，因为()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()()12F x f x f x =+≥=，当且仅当()1f x =等号是成立的.当()3f x =时，函数()F x 取得最大值，此时最大值为()max 103F x =，所以函数()F x 的值域为102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B. 考点：函数的性质；基本不等式.方法八 单调性法解题模板：第一步 确定函数的定义域； 第二步 求出函数的单调区间； 第三步 确定函数的值域或最值. 例10 求函数212()log (35)(02)f x x x x =-+≤≤的值域.2212111222min 11122235(02),2]()log (35),2]11()log (0)log 5(2)log 3411()log 5log 5,log ].4u x x x u f x x x f f f f x =-+≤≤∴=-+∴====∴=∴12max 33在[0,]是减函数，在[上是增函数。
高三数学复习讲义函数的值域和最值
城东蜊市阳光实验学校二函数与导数7．函数的值域和最值一、考纲要求二、命题规律1．函数的值域是函数内容中的重点和难点，高考中很少考察单个知识点，常结合其他知识点〔如不等式、方程等〕进展考察；2．命题形式上看，填空题和解答题都有出现，对数形结合思想的考察较为深化。
三、要点回忆 1.函数的值域〔1〕当函数()y f x =以表格给出时，函数的值域是指的集合； 〔2〕当函数()y f x =以图象给出时，函数的值域是指的集合； 〔3〕当函数()y f x =以解析式给出时，函数的值域是由唯一确定.〔4〕当函数由实际问题给出时，函数的值域是由问题的决定. 2.函数的最值定义：设函数()y f x =的定义域为I ，假设存在实数M 满足：对于任意的x I ∈,都有()f x M≤；存在0x I ∈，使得0().f x M =那么，称M 是函数()y f x =的最大值，类似地可定义函数的最小值.3．求函数值域的方法求函数值域有很多种方法，但最常用的主要有以下几类：〔1〕观察法：对于一些比较简单的函数可通过观察分析法求得函数的值域；〔2〕配方法：求二次函数的值域最根本的方法；〔3〕判断式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0F x y=，通过方程有实根，判断式∆≥，从而求得原函数的值域；〔4〕换元法：运用代数或者者三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一类函数，从而求得原函数的值域.形如,,,y ax b a b c d=++均为常数〕的值域问题.三角代换是指具备221x y+=的题目；〔5〕不等式法：利用根本不等式2,,2a ba b R ab++⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭；3,,,.3a b ca b c R abc+++⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭求函数的值域时，应注意“一正、二定、三相等〞.〔6〕单调性法：确定函数的定义域〔或者者某个定义域的子集上〕的单调性求出函数的值域；〔7〕数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法来求函数的值域.〔8〕函数的有界性：如sin1sinxyx=+，可用y表示出sin x，再根据1sin1x-≤≤解不等式求出y的取值范围.〔9〕导数法：利用导数求闭区间上函数的最值的步骤是：①求导，令导数等于0；②确定极值点，求极值；③比较端点的函数值与极值，确定最大值与最小值或者者值域.三、课前练习苏大教学与测试P14根底训练1-6四、例题分析苏大教学与测试例1—例4 五、例题拓展 1．求以下函数的值域：〔1〕)2712(log 23x x y --= 〔2〕x xy sin 2cos -=2．设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g(a)。
高考数学 函数的值域
第二章 函数——第9课时：函数的值域一．课题：高考数学 函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．三．教学重点：求函数的值域．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．（二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．（三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-； （4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x-=-． 解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26．∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =． 又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y 的值域为[0,2]．（3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （4）换元法（代数换元法）：设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，第二章 函数——第9课时：函数的值域∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+ ∵[0,]απ∈，∴5[,]44πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-)[4πα+∈-， ∴原函数的值域为[-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)11112121212122x x x xy x x x x x x -+-+===+=-++----， ∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-当且仅当112122x x -=-时，即x =12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞． （9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x yx y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==）， ∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤， ∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围．第二章 函数——第9课时：函数的值域 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--， 令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数， ∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．（《高考A 计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x -与1t +成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件． 已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年生产成本为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++． ∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++， ∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+． （2）由（1）得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++， 当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)． 2．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a=2．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．。
2020年高考数学复习函数的最值与值域的妙解专题突破
2020年高考数学复习函数的最值与值域的妙解专题突破考纲要求:1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．2、会求一些简单函数的定义域和值域. 基础知识回顾:函数的最值应用举例:招数一：换元法与配方法【例1】求函数y =[]4627(0,2xxx -⨯+∈)的最值及取得最值时的x 值.【答案】22,,log 32,0.x x -==最小值为此时，最大值为此时()22y t 6t 7t 32=-+=--则，其图象是对称轴为t 3=，开口向上的抛物线。
∵[]x 02∈，， ∴[]t 14∈，，∴当x t 23==，即2x log 3=时， min 2y =-； 当x t 21==，即x 0=时， max 0y =。
点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。
不论哪种类型，解决的关键是分清对称轴与区间的关系，并根据函数的图象求解；当条件中含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论。
（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．【例2】【山东省曲阜师范大学附属中学上学期期末考试】若实数满足，则的最小值是（ ）A ．B ． 1C ．D ． 5【答案】C【例3】【广西钦州市2018届高三第三次质量检测】定义运算：，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：令，得，即可得到，即可求解其最大值．详解：令，由于，所以，所以，所以其最大值为，故选D．点睛：本题主要考查了函数的新定义运算，二次函数与三角函数的性质，其中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．招数二：图像法【例4】已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值【答案】C【例5】已知函数()[](] ,0,2 {4,2,4.x xf xxx∈∈，（Ⅰ）画出函数()f x的大致图象；（Ⅱ）写出函数()f x的最大值和单调递减区间【答案】(1) 见解析(2) ()f x的最大值为2.其单调递减区间为[]24，或(]24，.招数三：基本不等式法 【例6】【设{},min ,,y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，若定义域为R 的函数()f x ，()g x 满足22()()8xf xg x x +=+，则()(){}min ,f x g x 的最大值为__________．【答案】28.【解析】设()(){}min ,f x g x m =，∴2()2()()()8m f x xm f x g x m m g x x ≤⎧⇒≤+⇒≤⎨≤+⎩，显然，当m 取到最大值时，0x >，∴21288882x x x x x x =≤=++⋅，∴28m ≤，当且仅当()()80f xg x x x x =⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩时等号成立，即m 的最大值是28，故填：28. 【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘.【例7】【2017河北省武安一中高三月考】求函数13log log 3-+=x x y 的值域.【答案】(－∞，－3]∪[1，＋∞)．招数四：单调性法【例8】设函数f(x)＝22xx -在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则2m M ＝( )A ． 23B ． 38 C ． 32 D ． 83【答案】D【解析】由题意得()24222x f x x x ==+--，所以函数()f x 在区间[3,4]上单调递减， 所以()()44326,4243242M f m f ==+===+=--，所以224863m M ==．选D ． 【例9】【函数f (x )＝13x⎛⎫ ⎪⎝⎭－log 2(x ＋2)在区间 [－1，1]上的最大值为________.【答案】3【例10】若函数在区间上的最大值为6，则_______.【答案】4【解析】由题意，函数在上为单调递增函数，又，且，所以当时，函数取得最大值，即，因为，所以.的定义域为(0，1](a为实数).【例11】已知函数f(x)＝2x－ax(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.【答案】(1) (－∞，1]. (2)见解析【解析】试题分析：（1）将a的值代入函数解析式，利用定义证明函数的单调性，从而求出函数的值域；（2）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1]上的单调性，求出函数的最值．试题解析：(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－＝(x1－x2).∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当a＜0时，f(x)＝2x＋，当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.招数五：导数法【例12】已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( ) A ． 0 B ． －5 C ． －10 D ． －37 【答案】D【例13】若函数()1f x x x=在{|14,}x x x R ≤≤∈上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（ ） A ．74 B ． 2 C ． 94 D ． 114【答案】C 【解析】()()0,10,0f x f m ≥=∴=Q ，又()()114f x x x x≤≤≤，且0x <时，等号成立，故只需求()()114g x x x x =≤≤的最大值，由于()3222'2x g x x -=，故()(){}9max 1,44M g g ==，故选C. 方法、规律归纳:1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有： (1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围； (3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；(6)导数法求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值3步骤①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 实战演练: 1．已知函数()11x f x x +=-， []2,5x ∈，则()f x 的最大值是__________． 【答案】3【解析】函数()211f x x =+-在[]2,5上为减函数，故最大值为()2123f =+=. 2．若函数()f x ax b =+， []4,x a a ∈-的图像关于原点对称，则函数()ag x bx x=+， []4,1x ∈--的值域为__________． 【答案】12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数()y f x =在[]1,1-上的最大值， N 为a b +的最大值.（ ）A ． 若13M =，则3N = B ． 若12M =，则3N = C ． 若2M =，则3N = D ． 若3M =，则3N = 【答案】C4．已知、是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题，当点、分别位于分段函数的两支上，且直线分别与函数图像相切时，最小，设当时， 直线因为点在直线直线上，解得同理可得则，且函数在上单调递增， 在上单调递见，故函数的最大值为.故选B.5．已知函数()sin21f x x =-， ()()2sin cos 4g x a x x ax =+-， ()g x '是()g x 的导数，若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x g x ≥'成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ． (][),10,-∞-⋃+∞ B ． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ． (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ． [)0,+∞ 【答案】D6．若函数()()113e sin 1e x x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（ ）．A ． 2B ． 1C ． 6D ． 3【答案】C【解析】因为()()()1113e sin 1sin 13e e x x x x x f x ---⋅---==-所以()1sin 1sin 313e ex x x x f x f x ---=-∴+-=-（），（） 因为函数13f x +-（） 为奇函数，所以它在区间[]4,4-上的最大值、最小值之和为0，也即330p q -+-=，所以6p q +=7．定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=．当0x >时， ()4821x x f x =-+⨯+． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[]3,1x ∈--时，求()f x 的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ) ()1181,042{0,0 4821,0x xx x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-⨯-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+⨯+>；(Ⅱ) ()=17f x -最小值， ()1f x =-最大值.所以()1181,042{0,0 4821,0x xx x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-⨯-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+⨯+>． （Ⅱ）令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭， []2,8t ∈，则281y t t =--，对称轴为[]42,8t =∈， 当4t =，即2x =-时， ()=1632117f x --=-最小值，当8t =，即3x =-时， ()=646411f x --=-最大值.【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式，一般反用定义如奇函数利用()()f x f x =--，偶函数利用()(0f x f x =-，但奇函数要注意0x =处的定义，另外求指数型复合函数的最值时，常用换元法，可以简化函数的形式，转化为其他函数求最值，解题要注意新元的范围.8．已知函数. (1)当时求函数的最小值； (2)若函数在上恒成立求实数的取值范围.【答案】(1)4.(2) . （Ⅱ）由题意得在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则在上单调递减，在上单调递增， ∴， 又， ， 解得， 所以实数的取值范围是． 9．已知0,0a b >>，则2222629ab ab b a b a +++的最大值是__________． 【答案】3∴3t ≥∴28844t t t t =++ 又∵4y t t =+在)23,⎡+∞⎣上为单调递增 ∴48323323min t t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ ∴2222629ab ab b a b a +++的最大值是8383⨯= 故答案为3.点睛：解答本题的关键是将等式化简到22238310b a a b b a a b⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如()(0,0)b f x ax a b x =+>>的函数称为对勾函数，其单调增区间为,b a ⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭， ,b a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调减区间为,0b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 0,b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 10．若不等式2229t t a t t +≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
高三函数值域或最值的典型例题解析一
高三函数值域或最值的典型例题解析（一）1.函数[]23,4,5y x x-=+∈的值域_____________． 【答案】513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由2()f x x =-在(0,)+∞上单调递增，∴23y x =-+在[]4,5x ∈上单调递增，而当4x =时，52y =；当5x =时，135y =. ∴函数值域为513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2.求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 3.若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是___________. 【答案】[)1,1- 【解析】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++ 当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2201x -≤-<+ 所以21111x -≤-<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-故答案为：[)1,1-4. 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x 2()y a x b c =-+()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 5.已知函数432--=x x y 的定义域是],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ） A ．]4,0( B ．]4,23[ C ．]3,23[ D ．),23[+∞【答案】C 【解析】试题分析：因二次函数432--=x x y 的对称轴为23=x ,且0=x 时,函数值4-=y ,当23=x 时,425-=y ,因此当3=x 时, 4-=y .故当323≤≤m ,故应选C. 6.设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，；第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=7.求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..()1f x -()222x x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=-- ∴()()32222-•-=xxx f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--. 8.求函数y x =+.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令210,2t t x -==，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.9.求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 10.已知函数9()(03)1f x x x x =+≤≤+，求()f x 的值域. 【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式：因为30≤≤x ，所以01>+x ； 所以()()119119-+++=++=x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()5119121191=-+⨯+≥-+++=x x x x x f ，当且仅当191+=+x x ，即2=x 时等号成立。
常见函数值域或最值的经典求法-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一 观察法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（ ） A ．1y x =-B ．1y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 【答案】BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A. 函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； D. 函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意. 故选：BC【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()()21{5x f x x +=-+，，2113x x -≤<≤≤的值域是______________（用区间表示） 【答案】[0,4]【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解21x 时和13x ≤≤时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当21x 时，2()(1)f x x =+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线，所以()[0,4)f x ∈，当13x ≤≤时，()5f x x =-+，为单调递减函数， 所以()[2,4]f x ∈，综上：()[0,4]f x ∈，即()f x 的值域为[0,4]. 故答案为：[0,4]方法二 分离常数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式；第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2 求函数2)(-=x x f 的值域.【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 【变式演练2】函数212x y x -=+； ①[]5,10x ∈的值域是__________； ②()()3,22,1x ∈---的值域是__________．【答案】 919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】215222x y x x -==-++，然后画出其图像，结合图像可得答案. 【详解】()2252152222x x y x x x +--===-+++， 其图像可由反比例函数5y x-=的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下： ()f x ()ax bf x cx d +=+()f x ()a ef x c cx d=++ey cx d=+()f x ()f x ()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x当5x =时97y =，当10x =时1912y =，所以[]5,10x ∈的值域是919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为当3x =-时7y =，当1x =时13y =，所以()()3,22,1x ∈---的值域是()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ；()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭方法三 配方法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 将二次函数配方成；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++2()y a x b c =-+2()y a x b c =-+()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）函数212y x x =-++的值域为________.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞【分析】先求出x 的取值范围，再求出2924x x -++≤，且220x x -++≠，即得解. 【详解】解：由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤, 且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞.故答案为：4(,0)[,)9-∞+∞方法四 反函数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域；第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4 设为，的反函数，则的最大值为． 【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；()1fx -()222x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，； 第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5 求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=--∴()()32222-•-=x x x f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--.()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+34()56x f x x +=+【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟】函数22sin sin 21sin x xy x+=+的值域为______. 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题可得，22222sin 2sin cos tan 2tan cos 2sin 12tan x x x x x y x x x ++==++，令tan x t =，则22221t ty t +=+， 即()21y -220t t y -+=，当210y -=，即12y =时，14t =； 当210y -≠，即12y ≠时，要使方程有解，则需()44210y y ∆=--≥，得111,,1222y ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上，1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦例6 求函数12y x x =+-.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令21120,2t t x x -=-=，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数，的值域.方法六 判别式法)1x )(cos 1x(sin y ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 【变式演练7】（2022·全国·高一专题练习）求函数231xy x x =-+的值域.【答案】(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】将函数式转化为方程()2310yx y x y ++=-，即该方程在x ∈R 上有解，讨论0y =、0y ≠，结合判别式法即可求值域. 【详解】因为231xy x x =-+，所以当0x =时，0y =；当0y ≠时，原函数化为()2310yx y x y ++=-，22dx ex fy ax bx c++=++x y 3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y所以22(31)40y y ∆=+-≥，整理得25610y y ++≥， 解得即1y ≤-或15y ≥-，∴综上，函数231xy x x =-+的值域为(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭. 方法七 基本不等式法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8 已知，求函数 的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式： 因为25≥x ，所以02>-x ； 所以()()()()2212222425422-+-=-+=-+-=x x x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()()()122122222122=-⨯-≥-+-=x x x x x f ，当且仅当()()22122-=-x x ，即3=x 时等号成立。
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函数的值域与最值专题过关
本专题目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用． 教学重点： 求函数的值域与最值的基本方法。
（一） 主要知识：
1.函数的值域的定义；
2.确定函数的值域的原则：定义域优先原则
3.求函数的值域的方法。
（二）主要方法：
求函数的值域的方法常用的有：直接法，分离常数法，换元法，配方法，判别式法，不等式法，利用某些函数的有界性法，数形结合法，函数的单调性法，利用平移等。
（三）例题精选：
问题．求下列函数的值域：
()
1232y x x =-+；（直接法） ()2265y x x =---；
()3312
x y x +=
-； （分离常数法或者反函数法） ()423413y x x =-+-；
()553
2log 1x y x -=+-[]2,10x ∈；
（单调性） ()621y x x =+-；（换元法）
()7|1||4|y x x -++；（数形结合） ()81313
x
x y -=+；（函数的有界性）
()922221
x x y x x -+=++；（△法） 102211()212x x y x x -+=>-；
()
111sin 2cos x y x
-=-；（三角函数的有界性） ()12224210y x x x =+++（几何意义）
2．()1求函数()212
log 45y x x =-+的值域；
()2已知 3()2log f x x =+，[]1,3x ∈，求函数[]()22()y f x f x =+的值域;
()3若函数()f x 的值域为3
4,89⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，求()12()y f x f x =-的值域.
3．已知函数21ax b
y x +=+的值域为[]1,4-，求常数a 、b 的值
课堂练习： 1.函数221x
x y =+的值域为
2.若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a =
3.已知32)26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是 .A 5- .B 11- .C 29- .D 37-
课后作业：
1.求下列函数的值域：()1y =x x --+12 （[]0,1x ∈）；
()2y =x -5+12
log x ； ()3y x x =()0x ≥；
()42221x y x -=+； ()535,05,0128,1
x x y x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
2.函数131
x y =-的值域是 （ ） .A (),1-∞- .B (,0)(0,)-∞+∞ .C ()1,-+∞ .D (,1)(0,)-∞-+∞
3.已知函数2()4f x x x =+，则(2cos 1)f θ-的值域是
4.函数2()23f x x mx =-+在区间[]0,2上的值域为[]2,3-，则m 的值为（ ）
.A 5或5- .B 5或9
4 .C
5 .D 94
5、若函数21()2
f x x x a =
-+的定义域和值域均为[]1,b ()1b >，求a 、b 的值
6、函数248136(1)
x x y x ++=+()1x >-的最小值是（ ） .A 1 .B 32
.C 2 .D 3
7、(10年上海杨浦区五校联考)函数231x y x x =
++()0x <的值域是（ ） .A [)3,0-
.B []3,1- .C (],3-∞- .D (),0-∞
8、(09上中高三第一学期期末模拟)函数21
y x =-的定义域是()[),12,5-∞，则其值域是（ ） .A ()1,0,22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
.B (],2-∞ .C [)1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ .D ()0,+∞
9、求函数2234x x y +=-⋅()10x -≤≤的值域
10、定义在R 上的函数()y f x =的值域为[],a b ，则函数()y f x a =+的值域为
.A []2,a a b + .B []0,b a -.C [],a b .D [],a a b -+
11、已知(199)f x +=2443x x ++()x R ∈，那么函数()f x 的最小值为
12、若()f x 的值域为()0,2，则()(2007)1g x f x =--的值域为（ ）
.A ()1,3-
.B ()1,1- .C ()2008,2006-- .D 以上都不对
13、（07江西）设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为
14、已知函数11()f x a x
=-()0,0a x >>. ()1若()f x 在[],m n 上的值域是[],m n ，求a 的取值范围，并求相应的,m n 的值；
()2若()f ≤2x 在()0,+∞上恒成立，求a 的取值范围
高考过关：
1、（04湖北）函数()log (1)[0,1]x a f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）
.
A 41 .
B 2
1 .C
2 .D 4 2、（04湖北文）已知52
x ≥，则245()24x x f x x -+=-有（ ） .A 最大值54 .B 最小值54
.C 最大值1 .D 最小值1
3、（07重庆文）函数2254()22x x f x x x -+=
-+的最小值为
4、（06安徽）设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x
π+=<<，下列结论正确的是 .A 有最大值而无最小值 .B 有最小值而无最大值
.C 有最大值且有最小值 .D 既无最大值又无最小值
5、（06陕西文）函数21()1f x x
=+()x R ∈的值域是 .A ()0,1 .B (]0,1 .C [)0,1 .D []0,1
6、（06上海文）若曲线21x y =+与直线y b =没有公共点，则b 的取值范围为
7、（08重庆理）已知函数13y x x =-+M ,最小值为m ,则
m M 的值为 .A 14 .B 12 .C 2 .D 3
8、（06福建文）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.
(Ⅰ)求()f 的解析式；
（Ⅱ）是否存在在自然数m ，使得方程37()0f x x
+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，说明理由.。