山东省济宁市高考数学专题复习 第31讲 一元二次不等式及其解法练习 新人教A版

第二节一元二次不等式及其解法[考情展望] 1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型.3.以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅不等式恒成立问题的解法不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，Δ＜0；不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，Δ＜0.1．不等式2x2－x－1＞0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 【答案】 D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ≤1 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥1或x ＜－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥1或x ≤－12 【解析】 原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.【答案】 A 3．函数y ＝16－x －x2的定义域是________．【解析】 要使函数有意义，只需6－x －x 2＞0， ∴x 2＋x －6＜0，∴－3＜x ＜2，∴f (x )的定义域为{x |－3＜x ＜2}． 【答案】 {x |－3＜x ＜2}4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋132a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.【答案】 －145．(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15 ，则a ＝ ( )A.52B.72C.154D.152【解析】 由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)， 即－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a,4a )．由x 2－x 1＝15得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52.故选A.【答案】 A6．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 【答案】 (0,8)考向一 [102] 一元二次不等式的解法已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.【思路点拨】 (1)先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a 的符号，然后利用根与系数的关系列出a ，b 的方程组，求a ，b 的值．(2)所给不等式含有参数c ，因此需对c 讨论写出解集．【尝试解答】 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b ＞1且a ＞0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0，即x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； 当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅.所以，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为∅.规律方法1 1.解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后当根存在时，根据根的大小进行分类.对点训练 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．(2)(2014·潍坊模拟)a ∈R ，解关于x 的不等式x －1x≥a (x －1)．【解析】 (1)令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (－x )＝ax 2－bx ＋c ，结合图象，可得ax 2－bx ＋c ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}．【答案】 {x |－3＜x ＜－2} (2)原不等式可转化为x －1[1－a x ＋1]x ≥0(*)(1)当a ＝1时，(*)式为x －1x≥0，解得x ＜0或x ≥1. (2)当a ≠1时，(*)式为1－ax －1⎝⎛⎭⎪⎫x ＋11－ax≥0①若a ＜1，则a －1＜0，1a －1＜0，解得1a －1≤x ＜0，或x ≥1； ②若1＜a ≤2，则1－a ＜0，1a －1≥1，解得x ＜0，或1≤x ≤1a －1； ③若a ＞2，则a －1＞1,0＜1a －1＜1,1－a ＜0，解得x ＜0，或1a －1≤x ≤1； 综上，当a ＝1时，不等式解集为{x |x ＜0或x ≥1}．当a ＜1时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a －1≤x ＜0，或x ≥1. 当1＜a ≤2时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0，或1≤x ≤1a －1. 当a ＞2时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0，或1a －1≤x ≤1. 考向二 [103] 不等式恒成立问题设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【思路点拨】 本题(1)可讨论m 的取值，利用判别式来解决．对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单．【尝试解答】 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0； 若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m ＜6恒成立(x ∈[1,3])，又因x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，所以m <6x 2－x ＋1.因为y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 由t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，∴y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数因此函数的最小值y min ＝67.所以，m 的取值范围是{m |m <67}．规律方法2 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.对点训练 若x ∈[－1，＋∞)时，x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，试求a 的取值范围． 【解】 法一 令f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1，＋∞)，f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .(1)当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1，∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.法二 由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，f －1≥0.解得－3≤a ≤1.故a 的取值范围为{a |－3≤a ≤1}．考向三 [104] 一元二次不等式的实际应用图6－2－1行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图6－2－1所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【思路点拨】 (1)由图象信息，将v ＝40，v ＝70代入求s 1，s 2，得关于n 的不等式组；(2)解关于v 的不等式，求最大值．【尝试解答】 (1)由试验数据知，s 1＝25n ＋4，s 2＝710n ＋494，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＜25n ＋4＜8，14＜710n ＋494＜17，解之得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514.又n ∈N ，∴取n ＝6.(2)由(1)知，s ＝3v 50＋v2400，v ≥0.依题意，s ＝3v 50＋v2400≤12.6，即v 2＋24v －5 040≤0，解之得－84≤v ≤60. 注意到v ≥0，所以0≤v ≤60. 故行驶的最大速度为60 km/h. 规律方法3 1.1求解本例的关键是文字语言、图形语言，符号语言之间的合理转化.2避免忽视v ≥0的限制条件，及3v 50＋v2400≤12.6中的等号.2.解不等式的实际应用中，常以函数模型为载体，解题时要理清题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，最后用不等式的解回答实际问题.对点训练 某种商品，现在定价p 元，每月卖出n 件，设定价上涨x 成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍．(1)用x 和y 表示z ；(2)若y ＝23x ，求使每月售货总金额有所增加的x 值的范围．【解】 (1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，每月卖出数量为n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10件，每月售货总金额是npz 元，因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10，所以z ＝10＋x10－y100.(2)当y ＝23x 时，z ＝10＋x ⎝⎛⎭⎪⎫10－23x 100，要使每月售货总金额有所增加，即z >1， 应有(10＋x )·⎝⎛⎭⎪⎫10－23x >100，即x (x －5)<0，所以0<x <5，所以，要使每月售货总金额有所增加，则x 的取值范围是(0,5)．思想方法之十四 数形结合巧解不等式不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义，实现“数”向“形”的转化．———— [1个示范例] ———— [1个对点练] —————(2013·四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．【解析】 设x <0，则－x >0. ∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图象可知f (x )<5，得－5<x <5.∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 x ≥01 x ＜0，则满足不等式f (1－x )＞f (x )的x 的取值范围是________．【解析】 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 x ≥01 x ＜0的图象，如图所示．由图可知，若f (1－x )＞f (x )，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1－x ＞x ，解之得x ＜12.即满足要求的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12。