数学哲学的内容和意义
数的哲学和思想
数的哲学和思想数学作为一门学科，既具有严谨的逻辑性，也涉及到了许多哲学和思想上的问题。
数的哲学和思想是指通过研究数学中的概念、原理和方法，探讨数学哲学和思想问题的一门学科。
本文将从数的本质、数学存在主义以及数学的社会影响等方面展开讨论，试图揭示数的哲学和思想的重要性和意义。
一、数的本质数的本质一直是哲学和思想家们关注的核心问题之一。
古希腊哲学家毕达哥拉斯认为，数是宇宙的基础，它具有普遍性和不变性。
康德则认为，数是直观与概念的统一，在我们对世界进行认识和描述时，离不开数的概念。
在现代逻辑学中，数被看作是抽象对象的象征，它代表了逻辑思维的基础。
二、数学存在主义数学存在主义是数学哲学中的一个重要派别，它强调数学对象的独立存在。
哥德尔认为，数学定理的存在证明了数学的客观性和真实性。
数学存在主义主张，数学是一种独立于人类思维的客观存在，它的发现和证明只是揭示了数学世界的真相而已。
数学存在主义对数学哲学的发展和人类对数学认识的深化产生了重要影响。
三、数学的社会影响数学作为一门纯粹的学科，也深刻地影响着人类社会的进步和发展。
在科学技术领域，数学的应用无处不在。
从物理学到工程学，从经济学到计算机科学，各个学科都需要数学的理论和方法来支撑和推动其发展。
同时，在经济金融领域，数学模型和算法被广泛应用于风险评估、投资决策等方面，为经济发展提供了重要工具和方法。
此外，数学的思维方式和观念也对人类社会产生了深刻的影响。
数学鼓励人们思考问题的逻辑性和严谨性，培养了人们的分析思维和解决问题的能力。
数学的思维方法和严谨的推理也渗透到其他学科和人类的日常生活中，影响着人们的观念和行为方式。
总结通过数的哲学和思想的讨论，我们可以看到数学与哲学、思想之间的紧密联系和互相影响。
数的本质问题从古至今一直是哲学家们思索的难题，而数学存在主义则形成了数学哲学中的一个重要派别。
数学的社会影响则体现在科学技术和人类思维方式上。
深入探讨数的哲学和思想不仅可以拓展我们对数学的认识，也有助于促进数学和哲学、思想领域的交叉融合，进一步推动人类社会的发展和进步。
数学中的哲学思想
数学中的哲学思想数学，作为一门精确、严谨的学科，常常给人一种冰冷、理性的印象。
然而，在探索数学的过程中，我们会发现其中蕴含着许多哲学思想。
数学中的哲学思想既深刻又有启发性，对我们理解数学本质以及人类思维方式都有着重要的意义。
本文将介绍数学中的哲学思想，并讨论它们对于我们的认知和思考方式的影响。
一、数学的抽象与具体数学对于现实世界的描述往往不那么直接，而是通过抽象的方式展示。
这种抽象并不是放弃真实世界的特征，而是通过简化和概括去掉无关紧要的细节，从而更好地理解问题的本质。
这类似于哲学中的“本质”和“现象”之间的关系。
数学通过抽象，帮助我们理解事物背后更深层次的规律与原理。
另一方面，数学也强调具体性。
例如，具体的数学问题可以通过具体的实例来解释和验证，这与哲学中通过具体的案例来讨论一般性原则的方法相似。
数学中的具体性帮助我们更好地理解抽象的概念，并将其应用于真实世界中的具体问题。
二、数学的逻辑与证明逻辑是数学的基石。
数学推理严密，从一个简单的命题出发，通过逻辑推演，最终得到清晰、明确的结论。
这种逻辑推理的方式与哲学中的演绎推理有着异曲同工之妙。
数学通过严密的证明过程，保证了结论的可靠性和正确性。
数学的证明过程也体现了哲学思想中对于真理的追求。
类似于哲学家的追问和探索，数学家通过推理和证明，试图揭示存在于数学世界中的真理。
数学中的证明过程，不仅仅是为了验证一个结论的正确性，更是一种追求真理的哲学行为。
三、数学的美与形式数学中的美常常令人惊叹。
一条简洁而美妙的数学定理，如同美丽的艺术品，引发着人们对于数学的情感共鸣。
这种美与形式的追求，与哲学中对于美与形式的探讨息息相通。
哲学家亚里士多德曾经提到，“美是一种秩序”。
数学中的公式和定理所展示的秩序和对称性，给人一种美的享受。
数学在努力找寻真理的同时，也在追求一种内在的美感。
这种追求美的精神，激励着数学家不断地创造和探索。
四、数学的无穷与无限无穷是数学中一个重要的概念，也是一种哲学思想在数学中的体现。
数学哲学知识点总结大全
数学哲学知识点总结大全数学哲学是数学及其哲学基础的研究领域，涉及到数学的本质、数学的起源、数学的演化、数学真理的性质以及数学与现实世界的关系等问题。
下面是一份数学哲学知识点的总结，帮助大家更好地了解数学哲学。
1. 数学的本质数学的本质一直是哲学家们讨论的重要问题。
古希腊哲学家柏拉图认为数学是理想世界的真理影子，是普遍存在的概念与数量的结合。
而亚里士多德则将数学划分为算术、几何和音乐三个部分，将数学作为哲学的基础。
现代哲学家也对数学的本质进行了深入探讨，提出了数学的形式主义、逻辑主义、直觉主义等观点。
2. 数学的起源数学的起源可以追溯到古代文明，最早的数学问题来自于测量土地、计算财产等实际问题。
古代巴比伦人和埃及人都有较为发达的数学知识，包括计算、几何、代数等方面。
希腊人则将数学推向了理论之上，进行了许多数学的哲学探讨。
随着大航海时代的到来，数学得到了更大的发展，特别是导数和积分的发明，为后来的微积分学的发展奠定了基础。
3. 数学的演化数学的演化是数学哲学中的一大问题。
数学是不断发展变化的学科，数学的理论也不断更新。
随着现代数学的发展，数学的分支也越来越多，如代数、几何、分析、拓扑等。
同时，数学的应用也得到了广泛的拓展，运用于物理、生物、经济等其他学科中。
数学的演化也在不断推动着数学哲学的研究。
4. 数学真理的性质数学真理的性质一直是数学哲学中的一个重要问题。
数学真理是指数学陈述的真实性质，数学真理的性质包括客观性、普遍性、必然性等。
古希腊哲学家柏拉图认为数学真理是绝对的，与哲学中的观念相同。
但现代哲学家对数学真理的性质提出了不同的看法，如形式主义认为数学真理是符号系统的产物，直觉主义则认为数学真理是基于直觉的。
5. 数学与现实世界的关系数学与现实世界的关系一直是数学哲学中的一个重要问题。
数学是自然界的描述语言，是描述客观世界的重要工具。
数学与现实世界的关系包括数学的应用、数学模型的建立等方面。
数学的应用涉及到物理学、经济学、生物学等其他学科，数学模型的建立则为解决现实问题提供了重要的方法。
数学中的数学哲学
数学中的数学哲学数学作为一门精确的科学，其实质是研究数量、结构、变化以及空间的一种学科。
它不仅仅是一种工具，也是一种哲学思维方式。
数学中蕴含着许多哲学观念和思考方式，这些思考方式在现实生活和其他学科中都具有广泛的应用。
本文将从数学中的数学哲学的角度出发，探讨数学的本质、思维方式以及其在其他领域中的应用。
一、数学的本质数学被认为是一种纯粹的理性思维活动。
它不依赖于感官经验，而是通过逻辑推理和抽象概念来探索和揭示事物的本质。
数学家们通过构建数学模型、定义概念和推导定理等方法，来研究数学问题。
数学的本质可以被概括为四个方面：1.公理化思维：数学研究建立在一定的公理系统之上。
公理是数学推理的基础，它们是被认为是真实的且无需证明的命题。
数学家通过对公理系统的研究和应用，从而推导出数学中的定理和法则。
2.推理与证明：数学的推理过程是一种严密的逻辑推理，它要求从已知的真实命题出发，通过一定的规则和定理进行推导。
证明则是数学思维中的重要环节，通过严密的逻辑推理和推导，将问题的解答合理地论证和证明。
3.抽象与概念：数学是对事物的抽象和概念化的一种表达方式。
数学家通过将现实问题抽象为数学模型和符号，来进行问题的研究和解决。
抽象能力是数学家的核心素质，也是数学哲学的重要组成部分。
4.普遍性与必然性：数学的定律和法则具有普遍性和必然性，它们在任何时空条件下都成立。
数学的普遍性使得数学的应用具有广泛性，不仅仅局限于数学自身，而且可以应用于其他学科领域。
二、数学思维方式数学思维方式是指数学家在解决问题和推进数学发展过程中所采用的思考方式和方法。
数学思维方式具有独特性和普遍性，它不仅适用于数学本身，也可以应用于其他学科中。
数学思维方式主要表现在以下几个方面：1.逻辑思维：数学思维强调逻辑推理和思维的严密性。
数学家能够从已知条件出发，通过一系列的逻辑推理和演绎，得出准确、有效的结论。
逻辑思维是数学思维中最为基础和核心的部分。
2.抽象思维：数学是一种具有高度抽象性的学科。
数学哲学原理
数学哲学原理数学哲学什么是数学哲学？•数学哲学是研究数学概念、原理和方法的哲学领域。
•它探究数学的本质、逻辑和语言，以及数学与现实世界之间的关系。
数学的起源•数学作为一门学科具有悠久的历史，最早可以追溯到古代的埃及、巴比伦等文明。
•古代数学家通过观察自然界和解决实际问题，逐渐发展了数学概念和方法。
数学的对象和方法•数学的对象可以是数、集合、函数、结构等。
•数学的方法包括推理、证明、计算等。
数学的逻辑基础•数学建立在严格的逻辑基础上，其中包括公理、定义和定理等概念。
•公理是不可证明的基本前提，定义是给出概念的准确描述，定理是基于公理和定义推导出来的结论。
数学的语言和符号•数学使用特定的语言和符号来描述和表达概念和关系。
•数学符号可以简洁地表示复杂的数学概念，提高了数学表达的效率和准确性。
数学与现实世界的关系•数学与现实世界存在着紧密的联系。
•数学的概念和方法在自然科学、工程技术以及经济金融等领域中具有广泛的应用。
数学的哲学问题•数学哲学探讨数学的本质、对象和方法是否存在独立于人类思维的客观实在。
•数学的发展是否受到人类语言和文化的影响？数学的真理是否相对和主观的？数学哲学的流派和观点•数学哲学的主要流派包括形式主义、直观主义、逻辑主义等。
•形式主义认为数学是一套形式系统，在逻辑上是自洽的；直观主义强调数学直觉和直觉证明的重要性；逻辑主义认为数学可以建立在逻辑基础上。
数学哲学的研究领域•数学哲学研究的领域包括数学基础、数学逻辑、数学语义等。
•数学基础研究数学的公理和定义，数学逻辑研究数学的推理和证明，数学语义研究数学的意义和解释。
数学哲学的意义和价值•数学哲学的研究有助于深化对数学的理解和认识。
•数学哲学还提供了关于数学真理和数学思维的哲学思考，对数学教育和研究具有重要的指导意义。
介绍数学的三大哲学基础流派：逻辑主义、形式主义、直觉主义的书有哪些？
数学是一门哲学性极强的学科，它的发展不仅仅是基于实际问题的解决，更是基于数学本身的哲学思考。
而数学的哲学基础流派有三种，分别是逻辑主义、形式主义、直觉主义。
下面我们就来详细介绍一下这三种流派的书籍。
逻辑主义是数学哲学的一种基本流派，它的核心思想是数学是逻辑的一部分。
逻辑主义的代表人物是哥德尔、弗雷格、罗素等人。
其中罗素的《数学原理》是逻辑主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过逻辑基础来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这本书的重点在于证明数学的基础是逻辑的，而且逻辑的基础是自洽的。
这个证明是通过建立逻辑的公理系统来实现的，这个系统被称为罗素-怀特海公理系统。
这本书对于逻辑主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
形式主义是数学哲学的另一种基本流派，它的核心思想是数学是符号的游戏。
形式主义的代表人物是希尔伯特、冯诺依曼等人。
希尔伯特的《数学基础》是形式主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过数学符号系统来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这个证明是通过建立数学符号系统来实现的，这个系统被称为希尔伯特符号系统。
这本书对于形式主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
直觉主义是数学哲学的第三种基本流派，它的核心思想是数学是人类直觉的产物。
直觉主义的代表人物是布劳威尔、比舍尔等人。
布劳威尔的《数学的直觉基础》是直觉主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过直觉来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这个证明是通过建立直觉的基础来实现的，这个基础被称为布劳威尔直觉基础。
这本书对于直觉主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
总结一下，逻辑主义、形式主义、直觉主义是数学哲学的三大基本流派，它们分别以逻辑、符号、直觉为基础来建立数学的基础。
逻辑主义的代表作是罗素的《数学原理》，形式主义的代表作是希尔伯特的《数学基础》，直觉主义的代表作是布劳威尔的《数学的直觉基础》。
这些书籍对于数学哲学的研究都有着重要的贡献，对于我们理解数学的本质也有着深远的影响。
第二讲自然科学中的哲学问题——以数学哲学和物理学哲学为例
（体论问题和语义学问 题，当代数学哲学界出现了两种不 同的、相互对立的解释策略，这就 是著名的数学实在论和数学反实在 论，它们构成了当代数学哲学的两 大阵营。
第一、从本体论的角度来看
“本体论实在论”（也称“柏拉图主义”）认为， 数学对象存在，并且客观地存在着，独立于数学 家的心智、语言、约定、构造和数学家共同体， 它们是抽象的、不可观察的、在在时空中的、永 恒的、不可改变的、因果内在的。 “本体论的反实在论”认为，数学对象根本不存 在，数学没有对象；或者即使数学对象存在，它 们的存在也依赖于数学家。前一种观点是强的本 体论反实在论，“唯名论”是典型代表 ;后一处观 点是弱的本体论反实在论，其典型代表是直觉主 义。
（四）定域性与非定域性
定域性假设是指在测量时，曾经相互作用过 的两个粒子，当它们分离后，对一个粒子的 测量，将不影响另一个粒子的状态。 非定域性是指，在空间中彼此分离的两个系 统之间存在着相互纠缠。
谢谢
第二、直觉主义的策略
主张只有构造的才是存在的，否定数学中的 实无穷，只承认潜无穷。它可以归结为：① 一个关于无限结构——比如由0和1组成的无 限序列——的陈述如果得到证明，便可视为 真，如被反驳，则为假，但在所有其他场合， 则非真非假。②由于这结构并不被认为是明 确定义的，因此一个关于它的陈述，仅当它 对于一个大得多的结构类被证明了，才能被 证明。
第二、从语义学的角度来看
数学真值实在论者认为，数学陈述具有 真值，这些真值具有独立于数学家的心 智、语言、约定以及数学家共同体的客 观性。 数学真值反实在论者认为，数学陈述的 真值依赖于数学家。
（四）实验数学革命
所谓实验数学，简言之就是以计算机为 工具，通过大量的个例归纳、搜寻和检 验来获取数学结论的一种新的数学分支。 它不再像传统演绎数学那样通过逐步的 逻辑演绎的办法来研究数学。计算机已 经酝酿出了进行数学研究的一种全新手 段——计算机实验。
数学哲学观
数学哲学观
数学哲学观是关于数学本质和数学知识的哲学理解。
首先，数学知识被认为是一种先天综合判断。
这意味着数学知识不是从经验中得出的，而是基于先天的概念和判断。
同时，数学知识是普遍的、严格的，并试图推导出任意跨学科公理系统。
其次，数学哲学观认为哲学也可以通过数学方法进行定义和推导。
哲学被定义为个体域与非量化自然语言谓词域的笛卡尔积，并试图基于简易归纳法推导出任意跨学科公理系统，且在语法上满足半散文-半杂文范式。
此外，对于数学判断，可以将其分为分析判断和综合判断。
分析判断是指谓词概念包含在主词概念中的判断，而综合判断是指谓词概念完全外在于主词概念的判断。
同时，既属于先天判断又属于综合判断的判断被称为先天综合判断。
综上所述，数学哲学观提供了对数学本质和知识的深入理解，并强调了数学和哲学的相互关系以及它们在推导跨学科公理系统中的重要性。
数学教育哲学
数学教育哲学
数学教育哲学是一种关注数学教育的思维方式和原则的学科。
它探讨数学的本质、学习和教授数学的理想方法以及数学在人类思维和社会发展中的作用。
数学教育哲学的核心观点包括以下几点：
1. 数学的本质：数学是一种逻辑推理和抽象思维的活动，通过数学，人们能够发现并描述现实世界中的模式和规律。
2. 学习和教授数学的理想方法：数学教育应该注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，而不仅仅是灌输和记忆数学知识。
理想的数学教学应该注重学生的主动参与，引导他们发现和构建数学的知识和概念。
3. 数学教育与人类思维和社会发展的关系：数学作为一种思维工具，不仅仅用于解决实际问题，还可以培养人们的逻辑思维、分析思维和创造思维能力。
同时，数学也是科学、技术和经济发展的基础，对社会的进步和创新起着重要作用。
数学教育哲学还关注数学教师的角色和教育环境对学生学习数学的影响。
它强调教师应该成为学生学习的引导者和激发者，为学生创造积极的学习环境。
通过探索数学教育的哲学问题，可以提高数学教师的教学质量，促进学生对数学的理解和兴趣。
数学教育哲学
数学教育哲学（西方视角）Paul Ernest关键词：数学哲学，数学教育哲学两千多年来的数学一直处于绝对主义范式的统治下，不过现在却发生了一些变化——数学是可误的、变化的，像其他知识一样，数学是人类创造的产物。
数学哲学的这一变化具有重要意义，因为数学被认为是人类知识最可靠的组成部分，是其他知识的基础。
如果对它的可靠性提出异议，就可能导致人类根本没有可靠知识的结论。
但是，放弃数学的可靠性也许就是方式同数学与生俱来的伪安全性，同时也是人类进一步成熟的标志。
可以将其视为一种动态的数学观，一种理性的思维方式。
数学教育的四个组成部分：1）数学哲学？数学是什么？如何解释其本质？提出过哪些数学哲学？2）数学学习的本质是什么？3）数学教育的目的是什么？4）教学的本质是什么？Part One 数学哲学1.1来自认识论的观点冲突：绝对主义观——可误主义观数学知识是由具有证明的一组命题所构成，数学的证明依靠推理而不是经验材料。
知识是已判定为合理的信念。
包括先验知识和经验知识。
数学知识属于先验知识，因为它只基于推理而断定的命题构成。
数学命题的证明是以该命题为终结的一个有限的陈述序列。
逻辑假设即推理规则和逻辑句法是逻辑的基本组成部分，因此逻辑毫无疑问是知识判定的依据。
简而言之，数学真理取决于数学证明，而数学证明又取决于基本的数学公理和基础逻辑。
数学知识由证明合理的命题组成，而证明则依赖于数学公理以及基础逻辑。
数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设基础上：1）涉及公理和定义假设的数学假设，2）以及涉及公理假设、推理规则和形式语言及其句法的逻辑假设。
逻辑主义：把纯数学作为逻辑基本构成的思想学派。
代表人物——Russell。
其观点包括——所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念，所有数学真理都可以单凭公理和逻辑推演规则得到证明。
哥德尔的不完全定理表明，演绎证明对论证所有数学真理是不够的。
形式主义：数学是按规则在纸上用符号所做的一种无意义的形式游戏，代表人物Hilbert、Bishop。
数学的哲学思考与解释
数学的哲学思考与解释数学，作为一门深奥而又晦涩的学科，常常被认为是纯粹的符号运算和抽象概念的组合。
然而，在探究其本质和思维方式时，我们会发现数学内涵着一种哲学思考和解释的力量。
本文将从数学的基本原理、逻辑推理以及数学与现实世界的关系等多个角度探讨数学的哲学思考与解释。
一、数学的基本原理与哲学思考数学的基本原理是数学领域中无法推翻的公理和定理，它们构成了整个数学体系的基石。
然而，这些原理并非是凭空产生的，而是经过数学家们的长期研究和思考得出的。
这一思考过程体现了数学家们对于数学本质的哲学思考。
比如，欧几里得几何的基本公理中的“一点可由两条不重合的直线所确定，两点之间可确定一条直线”表达了空间的自洽性和连续性，这背后蕴含着对现实世界的哲学解释。
通过这些公理和定理，人们能够思考和解释几何空间的各种性质和变化规律，深入洞察空间结构的奥秘。
二、数学的逻辑推理与哲学思考数学的逻辑推理是数学思维的核心部分，也是哲学思考的重要内容。
数学家们通过严密的推理和演绎，建立了一套完整的逻辑体系，使得数学论证具有高度的准确性和可信度。
数学的逻辑推理能力反映了人类对于事物本质和关系的思考方式。
例如，在数学证明中，数学家通过引入定义、前提，运用公理和定理以及逻辑法则等，一步步推导出结论。
这种推理过程体现了人们对于真理、合理性和逻辑一致性的深刻思考。
数学逻辑的严密性也为哲学思考提供了一种思维模式和论证框架。
三、数学与现实世界的关系与哲学思考数学与现实世界的关系是数学哲学思考与解释的重要方面。
虽然数学的起源是人们对于现实世界进行抽象和概括的结果，但数学的发展却不仅仅依赖于现实世界。
数学在一些领域中可以从现实世界中提取问题，并通过抽象和形式化的方式进行模型构建和求解。
例如，微积分的发展源于人们对于运动和变化的观察和思考。
通过建立函数、求导、积分等概念和方法，人们能够对于物体在时间和空间上的变化进行精确和深入的研究。
这种数学方法不仅仅应用于现实世界的实际问题，更揭示了变化和趋势规律的哲学本质。
高二数学哲学知识点
高二数学哲学知识点数学是一门既具有严密性又具有哲学思辨性的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和哲学体系。
在高二数学学习中，我们将接触到一些数学的哲学知识点，这些知识点能够帮助我们更好地理解数学的本质和意义。
本文将从数学哲学的角度，简要介绍几个高二数学中的哲学知识点。
1. 数学的公理系统在数学中，公理是指不需要证明但被默认接受为真实的命题。
公理是建立整个数学体系的基石，它们不可约简或推导出其他公理。
数学的公理系统是数学推理和证明的基础，它保证了数学的严密性和一致性。
例如，在几何学中，欧几里德几何的公理系统包括一些基本的假设，例如“通过两点可以画一条直线”，这些假设为整个几何学提供了严密的逻辑基础。
2. 数学的逻辑推理数学的推理方法基于逻辑推理，逻辑推理是用来从已知命题中推导出新的命题的方法。
数学中的推理方法包括直接证明、间接证明、归谬证明等。
逻辑推理的基本规则包括假言推理、析取推理、推理法则等。
通过学习数学的逻辑推理，我们能够更好地培养自己的思维能力和严密的逻辑思维方式。
3. 数学的抽象和建模数学是一种高度抽象的学科，它通过抽象和建模来描述和解决实际问题。
数学家通过将实际问题抽象为数学模型，使用符号、函数和方程等数学工具对其进行描述和分析。
抽象和建模是数学的核心思想，它能够帮助我们发现问题的本质和规律，并提供解决问题的有效方法。
例如，在几何学中，我们可以使用平面几何和向量几何的抽象概念来解决实际空间中的问题。
4. 数学的无穷性数学中存在着丰富而多样的无穷性概念，例如无穷数列、无穷级数和无穷集合等。
无穷性是数学中的一个基本概念，它在解决一些问题时具有重要的作用。
例如，通过研究收敛的无穷级数，我们可以得到一些重要的数学结论，如自然对数的定义和三角函数的定义等。
无穷性的哲学思考也引发了一系列有关无穷的哲学问题，例如无穷的可数性和不可数性等。
5. 数学的确定性和不确定性数学在逻辑推理和证明中追求确定性，这是数学的核心特征之一。
数学中的数学哲学学
数学中的数学哲学学数学无疑是人类最伟大的发明之一，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和一种哲学观念。
在数学中，我们可以看到一种追求真理、逻辑推理和抽象思维的精神，这正是数学哲学的体现。
本文将探讨数学中的数学哲学学，通过分析数学的本质、数学真理和数学的应用，让我们更加深入地理解数学哲学的重要性。
第一部分：数学的本质数学被广泛认为是一门严密的科学，它以公理、定义和证明为基础，通过逻辑推理和演绎推断来建立和验证数学定理。
数学的本质在于它追求普遍性、一致性和确定性。
数学家通过运用逻辑和推理，揭示了世界的基本结构和规律。
数学的本质在于它是一种抽象的理论体系，它不依赖于具体对象的存在，而是关注于对象之间的关系和性质。
数学的本质在于它是一种智力游戏，通过思考和解决难题，我们可以培养逻辑思维和创造力。
第二部分：数学真理数学真理作为数学哲学的核心概念，是数学哲学研究的重点之一。
数学真理与现实世界的真理有所不同，数学真理不依赖于感知和经验，而是建立在公理系统之上的逻辑推理。
数学真理是客观存在的，与人类的主观意识无关。
数学真理无法被证伪，一旦被证明，就可以被认为是真理，直到有更强的证据来推翻它。
数学真理的发现和证明是数学家们的追求，通过证明数学定理来揭示数学的真理。
第三部分：数学哲学与数学的应用数学哲学不仅仅关注数学的本质和数学真理，还与数学的应用息息相关。
数学在科学、工程、经济学等领域的应用，使数学不再仅仅是一种纯粹的学科，而是一种强大的工具。
数学哲学探讨数学的应用背后的哲学思考，探索数学在这些应用中的意义和价值。
数学哲学也在深入思考数学的边界和局限性，通过反思数学的基本假设和推理方式，为数学的发展和应用提供指导和启示。
结论数学哲学是一门重要而复杂的学科，它探讨了数学的本质、数学真理和数学的应用。
通过研究数学哲学，我们可以更好地理解和欣赏数学的美丽和价值。
数学中的数学哲学学是数学学习过程中不可或缺的一部分，它可以开启我们对数学世界的深入思考和探索。
数学中感悟的人生哲理
数学中感悟的人生哲理中垂线也叫垂直平分线，它的性质是，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
包括它的判定，即它的逆用，也是恒成立的。
以下内容是小编为您精心整理的数学中感悟的人生哲理，欢迎参考！数学中感悟的人生哲理篇1一、高等数学中的人生哲理“函数极限与连续性的关系”可以类比为“人生的痛苦就在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，才猛然发现，你和它是不连续的”[既可以加深学生对连续性定义的理解，也能告诉学生对自己要有准确的定位，选择合适的目标为之奋斗。
我们都知道“指数函数的各阶导数均等于其本身”。
这也可翻译为：我们曾有多少的理想和承诺，在经历几次求导的考验之后就面目全非甚至荡然无存?有没有那么一个誓言，叫做?[生听到这里通常都会会意地大笑，笑老师的睿智、风默和才情。
课堂气氛顿时活跃起来。
同时这诗一般的警句也告诉学生做人做事要诚信专一，认定了就要坚定不移地走下去。
讲授“微分在近似计算中的应用”这一部分内容时，可举例求与。
其计算结果，我们也可借题发挥。
次方代表一年的天，每天多做0.0.99代表每天少做0.0年后，一个增长到了8，一个减少到0.0就是说每天进步一点点，一年以后，你将进步很大，远远大于“每天退步一点点，你将在一年以后，远远小于“远远被人抛在后面，将会是“无成。
而，原地踏步，一年以后你还在原地踏步，还是那个“原来数学式子也可以这么励志!一元函数可积的充分条件是在上有界，且只有有限个间断点。
这就好比：幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累[借此告诫学生要乐观地面对人生，不要被生活中的一些小挫折所吓倒，引导学生形成乐观积极向上的人生态度。
这是满满的正能量啊!“级数的收敛性”可引申为：人生也是一个级数，而理想是我们渴望收敛到的那个值。
有限的人生刻画不出无穷的级数，收敛只是一个梦想罢了。
不如脚踏实地，经营好每一天。
二、概率论中的人生哲理概率论中很多常用概念如平均数、变异数、随机抽样等等，都能衍生出人生的处世法则。
数学的哲学意义
数学的哲学意义数学是一门追求真理的科学，它以逻辑思维为基础，通过严密的推理和证明，揭示了世界的深层结构和规律。
数学的独特特性和哲学意义使其成为人类文明发展中不可或缺的一部分。
本文将探讨数学的哲学意义，并探讨数学与现实世界之间的关系。
一、数学的哲学基础数学的哲学基础主要在于它作为一种纯粹的、抽象的形式系统。
数学并非只是实际问题的工具，它是一种自足的、独立的学科。
数学的公理系统和推理规则被视为无可置疑的真理，在这个基础上，数学家们可以进行严谨而又精确的推理和证明。
由于其纯粹性和抽象性，数学具有普遍性，它的结论在任何时候和任何地点都是成立的。
二、数学的认识论意义数学的发展推动了人类认识世界的边界。
通过数学，我们可以认识到一系列普遍存在的数学对象和规律，如数、集合、函数、几何等。
这些数学对象和规律并没有依附于我们主观的感觉和经验，而是客观存在的，数学可以通过形式化的方法对其进行描述和探究。
因此，数学开启了我们对世界的新认识，揭示了存在于事物背后的本质和结构。
三、数学的实践意义尽管数学是一门纯抽象的学科，但它在现实世界中有着广泛的应用。
数学在自然科学、工程技术、经济金融等领域中起着重要的作用。
例如，微积分在研究物体的运动和变化过程中具有重要的意义；概率论和统计学在描述和分析随机事件中发挥着关键的作用；线性代数在解决大规模线性方程组和矩阵运算中发挥着重要作用。
数学的应用使我们能够更好地理解和掌握自然界和社会现象，推动了科学技术的发展。
四、数学的美学意义数学有着独特的美学意义，这一美学体现在数学的优雅性、对称性和和谐性上。
数学中的证明和推理既严谨又巧妙，数学家们通过精确的逻辑将数学结论娓娓道来。
例如，费马大定理的证明凝聚了人类智慧的结晶，其简洁而又优美的证明方法令人叹为观止。
此外，数学中的对称性和和谐性也给人以视觉上的享受。
所以，数学的美学意义成为了一种精神寄托，激发人们对数学的兴趣和热爱。
五、数学与现实世界的关系虽然数学是一门抽象的学科，但它与现实世界有着深刻的联系。
数学哲学及其现代意义
数学哲学及其现代意义数学是一门富有哲学意义的学科。
从古希腊开始，数学就被视为是哲学的一部分。
数学的本质是探究自然界中存在的规律和规则。
数学家们通过不断地提出问题、构建模型、验证定理，不断地深化对数学世界的认识。
在这个过程中，数学家们产生了对世界的探索和思考，也对哲学问题提出了自己的看法和观点。
因此，数学和哲学之间有着千丝万缕的联系。
数学哲学是一种以数学为研究对象，以哲学思考作为手段的研究方法。
在数学哲学中，人们关注的不是数学中的具体概念和定理，而是数学中的思想方法、逻辑原则和普遍规律。
数学哲学主要研究以下几个方面：一、数学中的基本概念和原则在数学中，有很多基本的概念和原则，如数、集合、函数、公理、证明等。
这些基本概念和原则对于整个数学体系都具有极其重要的意义。
数学哲学研究的就是这些基本概念和原则的内涵和本质。
例如，数学哲学家认为集合是一种基本概念，但集合的性质和定义并不是固定不变的。
他们会思考：集合的实体是什么？它是否可以被测量？集合的元素是否可以是其他集合？二、证明和推理证明是数学论证的重要手段，推理则是构建数学证明的基本方法。
数学哲学家们主要探讨证明和推理的性质、规则和限制，以及它们与数学结论之间的关系。
他们会思考：什么样的证明是有效的？证明为什么具有可信性？证明是否可以是无矛盾的？逻辑推理是否永远可以萃取出真实的结论？三、数学的意义和价值数学在现代社会中有着广泛的应用，但它的意义和价值远不止于此。
数学哲学家们常常探讨数学的内在意义和本质价值。
他们会思考：数学是一种发现还是创造？数学的真理是否独立于现实，还是与之密切相关？数学之美在哪里？数学哲学的研究对于现代数学和哲学都具有重大意义。
一方面，数学哲学可以帮助数学家们深化对数学世界的理解和认识，不断挑战数学的边界，探索更深层次的数学结构和规律。
另一方面，数学哲学可以为哲学家们提供观察思考的对象，让哲学家们从数学的角度思考人类认识和思维方式的本质。
数学中的数学哲学与思考
数学中的数学哲学与思考数学是一门既充满逻辑性又具备哲学意味的学科。
它不仅仅追求解题的方法和结果，更重要的是思考和哲学的意义。
在数学中，数学哲学与思考是至关重要的，它们帮助我们理解数学的本质、思维方式以及数学在现实世界中的应用。
本文将探讨数学中的数学哲学与思考，并思考它们对我们的启示。
1. 数学哲学：逻辑与推理在数学中，逻辑性是基础，而数学哲学正是围绕逻辑推理展开的。
数学的基本定理和公理都是通过严谨的逻辑推导得到的，其中正确性和推导过程的合理性是必须严格遵守的原则。
数学哲学的核心是对数学中形式逻辑的思考和研究，它提供了解决问题、证明定理的方法论。
思考：数学哲学的核心思想是还原问题为严谨的推理和逻辑，它强调思维的严谨性与逻辑性，鼓励面对困难时进行深思熟虑、解剖问题本质、提出准确的证明与推理。
2. 数学思考：抽象与具体数学思考是数学家解决问题的有效方法之一。
在数学中，我们通过抽象将具体问题表达为符号和形式，再通过逻辑推理进行思考。
由此，我们可以找到问题的共性和规律，进而解决更加复杂的问题。
思考：数学思考强调从具体到抽象的思维过程，它鼓励我们在解决具体问题时应用抽象的思维方式，将问题转化为数学语言和符号，以便更好地理解问题的本质和规律。
3. 数学哲学：数学基础的思考数学哲学探讨数学的基础性问题和本质，例如“数”的概念和属性，以及实数、自然数、虚数等各种数的类型。
数学基础的思考帮助我们建立数学的框架和体系，理解数学的“起点”和“根基”。
思考：数学哲学和数学基础的思考帮助我们理解数学的本质和基础，也提醒我们在学习和研究数学时要注重基础的打牢，从而建立起更高层次的数学构架。
4. 数学思考：实用与拓展数学思考不仅仅停留在理论层面，更注重在解决实际问题中的应用。
数学作为一种工具，可以用于解决物理、经济、统计等领域的问题。
通过数学思考，我们可以从理论推导到实际使用，为解决实际问题提供有效的工具。
思考：数学思考强调数学的实用性和应用性，它提醒我们在学习数学时不要仅仅追求理论的完美，更要将数学应用到实际中去，解决实际问题。
高二数学哲学知识点
高二数学哲学知识点在探讨高二数学哲学知识点时，我们首先需要理解数学与哲学之间的关系。
数学，作为一种逻辑严密的学科，其发展历史与哲学思想紧密相连。
哲学为数学提供了理论基础和思考方式，而数学则为哲学提供了严谨的逻辑结构和思维工具。
本文将从数学的本质、数学知识的确定性、数学与现实世界的关系以及数学美的哲学意义四个方面，对高二数学哲学知识点进行阐述。
数学的本质数学是一门研究数量、结构、空间和变化等概念的学科。
它的本质在于抽象和逻辑推理。
哲学家们对数学的本质有着不同的理解。
柏拉图认为数学对象是理想的、不变的形式，存在于一个超越的感觉世界中。
而亚里士多德则认为数学对象是实际事物的一种属性。
在现代，逻辑实证主义者认为数学是一种逻辑构造，是基于人类约定的语言游戏。
这些哲学观点为我们理解数学提供了不同的视角。
数学知识的确定性数学知识的确定性是其最为显著的特点之一。
数学定理一经证明，就成为了不变的真理。
这种确定性源自于数学的公理化方法。
从欧几里得的《几何原本》开始，数学家们就尝试通过一系列不证自明的公理，通过逻辑推理建立起整个数学体系。
这种方法保证了数学知识的稳定性和可靠性。
然而，这种确定性也引发了哲学上的讨论，即数学的确定性是否仅仅是一种人为的设定，还是反映了宇宙的某种根本秩序。
数学与现实世界的关系数学与现实世界的关系是一个复杂而有趣的话题。
一方面，数学似乎与现实世界紧密相连。
例如，物理学中的牛顿运动定律、电磁学中的麦克斯韦方程，都是用数学语言精确描述的。
这表明数学不仅是抽象的思考工具，也是理解现实世界的重要手段。
另一方面，数学中的许多概念和结构，如虚数、高维空间等，似乎与我们的现实经验相去甚远。
这引发了哲学家们对数学与现实关系的深入思考。
一些哲学家认为，数学之所以能够描述现实世界，是因为现实世界本身就遵循数学的规律。
而另一些哲学家则认为，数学与现实世界的关系是一种人为的映射，数学的适用性是人类智慧的体现。
数学美的哲学意义数学美是数学哲学中一个重要的议题。
数学的数学哲学
数学的数学哲学在我们学习数学的过程中，或多或少都会思考一些问题，比如为什么数学这么神奇？数学的发展是如何影响人类的思维方式？这些问题都涉及到数学的哲学问题。
虽然数学的本质和应用各不相同，但数学哲学作为探索数学本质和意义的学科，为我们提供了一种抽象和理性的思考方式。
一、数学的起源和发展数学的起源可以追溯到人类社会的原始阶段，人们开始探索和应用数学的方法来解决日常生活中的实际问题，比如计算物品的数量、掌握时间的概念等。
随着人类社会的不断发展，数学的应用范围也越来越广泛，包括几何、代数、概率论等等。
数学的发展推动了科学、工程和技术的进步，成为现代社会不可或缺的一部分。
二、数学的抽象和逻辑数学的一个独特之处在于其抽象性和逻辑性。
数学家们通过运用逻辑推演的方法，从已知的事实中推导出新的结论。
数学的抽象性体现在数学家们抽象出一般规律和定理，将其应用于具体的问题中。
这种抽象思维方式使数学成为一门独立的学科，并且具有普适性和推广性。
三、数学与科学的关系数学与科学紧密相连，无论是物理学、化学、生物学等自然科学，还是经济学、社会学等社会科学，都离不开数学的支持。
数学提供了一种精确、准确的描述和分析现象的工具，使科学家们能够建立模型、预测结果，并且从中找到规律。
数学的应用使科学得以发展，同时科学也为数学提供了更多的问题和挑战，推动数学的发展。
四、数学的哲学问题数学的哲学问题围绕着数学的本质和意义展开探讨。
其中一个核心问题是数学对象的存在性和客观性。
数学家们研究的对象是抽象的概念和结构，它们不是实际存在的物体或现象。
那么数学的结论和定理是否具有客观性呢？这个问题一直是数学哲学争论焦点之一。
另一个重要的哲学问题是数学真理的性质。
数学是基于一套公理和推理规则建立的，那么数学的结论和定理是客观存在的真理吗？还是仅仅是人类的一种约定俗成的规则？这个问题引发了对数学本质的深入思考。
五、数学的应用和意义数学的应用远远超出了我们的想象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
數學哲學的內容和意義鄭毓信什麼是數學哲學?什麼又是數學哲學研究的基本意義?這顯然是數學哲學研究的二個基本問題,並事實上關係到了數學哲學的研究方向或途徑。
本文將分別圍繞數學哲學的歷史發展和數學哲學的現實意義對此作出簡要的分析。
一.什麼是數學哲學?“什麼是數學哲學?”這無疑是數學哲學研究最為基本的一個問題。
儘管數學哲學這一學科在世界上建立已久,而且,即使在中國,這也不再是一個陌生的名詞;然而,就數學哲學研究的現實情況進行分析,可以看出,有不少不能令人滿意的地方其根源仍應追溯到對於上述基本問題的模糊或錯誤認識。
具體地說,我們在此可以首先考慮以下的問題:一些專業的數學工作者、甚至是著名的數學家,他們平時的一些哲學言論、或者是對於自己數學工作較為自覺的哲學反思,能否就說是數學哲學?應當肯定,這些言論、特別是著名數學家對於自己工作自覺的哲學反思,無論對於數學哲學或是新的數學研究都具有十分重要的意義;然而,作為上述問題的明確回答,我們則又應當說,這種言論或分析不應被等同於數學哲學,或者說,它們不應被看成數學哲學的主要內容,因為,即如任何一門科學的理論,數學哲學也具有自己特殊的研究問題,從而,數學哲學的基本內容就具有相對的穩定性,即是圍繞這些基本問題展開的,而不能被等同於個人隨意的哲學暇想或反思。
例如,從歷史的角度看,數學對象的實在性問題(本體論問題)和數學的真理性問題(認識論問題)可以被看成數學哲學研究的兩個基本問題;而除去一般哲學的影響外,這在很大程度上又是由數學本身的特殊性所決定的:由於數學的抽象性,因此,數學對象就並非經驗世界中的客觀存在,然而,在數學中我們所從事的又顯然是一種客觀的研究,從而,我們就必須對數學對象的實在性問題作出明確的解答;另外,由於數學是演繹地展開的,因此,如果我們能對數學公理的真理性作出合理的說明,數學似乎就可以被看成先驗論的“最堅固堡壘”,但是,我們又應怎樣去解釋數學在現實世界中的成功應用呢—當然,我們在此不能僅限於斷言這是一個“不可思議的謎”,而必須從根本上對數學的真理12數學傳播十八卷一期民83年3月性、特別是數學的認識論問題作出深入的分析。
也就是圍繞上述的基本問題,從古希臘的時代起,在數學哲學的範圍內就形成了“柏拉圖主義”和“唯名論”、以及“先驗論”和“經驗論”等對立的觀點,這種對立並一直延伸到了今天。
其次,作為對於“什麼是數學哲學?”的具體分析,我們又應強調指出,與其它科學的理論一樣,數學哲學也有一個歷史發展過程,從而,其基本內容就不應被看成絕對不變的。
例如,就早期的數學哲學研究而言,主要是作為一般哲學研究的一個部分得到了發展;然而,從十九世紀中期開始,數學哲學則進入了一個以數學基礎研究為中心的新的不同時期,而其基本問題就在於:如何為數學奠定一個可靠的基礎,並借助於可靠的方法去開展(重建)出全部或大部分的數學,從而徹底地解決數學的可靠性問題。
對於基礎問題的重視在本質上也是由數學本身的特性所決定的。
事實上,在數學中歷來存在有兩種不同方向的研究:一是由已有的數學去發展、構造出新的、更為複雜的結論和理論;另一則是研究已有的數學可以以何種更為一般的概念和原理作為基礎而得到建立。
顯然,公理化方法在數學中的普遍採用即是與後一方向上的研究直接相聯繫的。
另外,以下的一些實際發展則又構成了數學基礎研究的特殊的“歷史背景”:分析(微積分理論)的嚴格化,非歐幾何的建立,悖論的發現。
由於各自觀點的不同,在基礎研究中形成了邏輯主義、直覺主義和形式主義等不同的學派。
這些學派的一個共同特點是“哲學分析與數學工作”的密切結合:依據各自的哲學主張,他們分別提出了自己的基礎研究規劃,並希望通過這些規劃的實施(這主要是一種數學工作)來證明自己的哲學觀點的正確性。
這樣,就數學哲學的研究而言,在1890至1940年之間就出現了一個“百花齊放”、欣欣向榮的“黃金時代”。
(關於數學基礎研究可參見夏基松、鄭毓信:《西方數學哲學》,人民出版社,1986年。
)然而,數學哲學以基礎研究為中心的時代現在也已過去了。
這不僅是因為邏輯主義等學派的基礎研究規劃都未能取得成功,而且也是因為這種“失敗”及隨之而出現的發展的停頓引起了關於應當如何去從事數學哲學研究的新的思考:“數學哲學往何處去?”對於數學哲學的現代發展可參見本期另文“數學哲學現代發展概述”。
綜上可見,數學哲學具有自己特殊的研究問題,從而就不應被等同於各種片斷的見解;另外,又正是通過研究問題的解決和轉移,數學哲學獲得了自己的歷史發展,從而我們也就不應對此持絕對的、僵化的觀點。
二.數學哲學研究的基本意義作為一般哲學、特別是科學哲學的一個重要組成部分,數學哲學顯然有著一定的理論意義,或者說,具有作為獨立學科存在的必要性;然而,筆者在此所關心的主要是數學哲學的實際意義。
這即是指:除去專門的研究家外,誰最需要數學哲學?數學哲學的內容和意義3顯然,作為可能的解答,我們可以分別列舉出哲學家、數學家和數學教師。
的確,從歷史的角度看,數學哲學可以被認為對於一般哲學、特別是認識論研究有著特殊的重要性。
事實上,在很長時期內,數學被認為是唯一的真理,從而就為相應的哲學思考提供了必要的立足點。
這就正如M.克萊因所指出的:“在各種哲學系統紛紛瓦解、神學上的信念受人懷疑以及倫理道德變化無常的情況下,數學是唯一被大家公認的真理體系。
數學知識是確定無疑的,它給人們在沼澤地上提供了一個穩妥的立足點。
”(《古今數學思想》,上海科學技術出版社,1979年,第一冊,第251頁。
)例如,正是以數學為典範,笛卡兒發展起了自己的理性主義方法論;另外,也就是基於關於“純數學何以可能?”的分析,康德提出了自己的先驗主義的認識論。
一般地說,正如前面所已提及的,數學往往被認為是先驗論的最堅固堡壘,從而,數學的真理性問題也就成了經驗主義所必須認真對待的一個難題。
即如休謨關於兩類命題的區分;這一立場並一直延續到了現代的邏輯實證主義。
但是,在邏輯實證主義以後,數學與哲學的這種密切聯繫開始變得疏遠起來。
特別是,現代的哲學大師們對於數學已經不那麼熟悉了。
對於造成這種現象的原因可以從各個角度去進行分析:即如現代數學已經變得過分專門化、從而對於非專門家來說是過於深奧了;或是因為另有更重要的問題吸引了哲學家的注意;等等。
但是,無論最終的原因是什麼,這已表明了這樣一個事實,即數學在現代的哲學研究中已不再占有特別重要的地位。
其次,數學哲學能否說對於實際的數學研究工作有著重要的指導意義?應當肯定:數學家的研究工作必定處在一定哲學觀念、特別是數學哲學觀念的指導或影響之下;但是,現在的問題卻在於,一個成熟的數學工作者往往已經形成了固定的觀念—儘管這可能只是一些素樸的觀念,但由於這些是與其研究活動密切相關、並就是在這種實踐活動逐漸地(並且常常是不知不覺地)形成的,因此,他們通常就感受不到有必要對此進行系統學習和反思、以期達到由不自覺向自覺狀態的轉化和必要的更新。
事實上,除個人的特殊與趣外,大部分數學家在自己的工作生涯中主要地都是集中於專業研究,而根本無暇從事系統的哲學思考,從而也就談不上對於數學哲學的迫切需要。
另外,從整體上說,作為數學的哲學分析,數學哲學相對於數學本身而言在發展上必然表現出一定的滯後性,從而,對一個處在自己學科前沿的數學家來說,數學哲學也就往往會顯得過於陳舊落後。
(當然,筆者在此並不是要完全否定數學哲學對於實際數學活動的促進作用,而只是認為這種作用往往是以一種較為間接的形式體現出來的。
對此可見以下的討論。
)那麼,數學哲學是否對於任何人來說都是不必要的呢?不!筆者認為,對於廣大的數學教師來說,我們就應作出肯定的答覆。
具體地說,與數學家的研究活動一樣,各種層次上的數學教師的教學工作也都處於其哲學觀念、特別是數學哲學觀念的指導或影響之下;然而,這種教學活動則又不僅反映了教師本身的觀念,而且也直接影響到了新的4數學傳播十八卷一期民83年3月年輕一代的數學觀念的形成—正是在後一意義上,我們即應明確肯定數學哲學對於數學教師特殊的重要性。
為了清楚地說明問題,在此可以借助道德教育的例子來進行分析。
如眾所知,正常人的行動都是在一定的道德規範指導下進行的。
然而,儘管道德教育對任何人來說都有一定的意義,但又只是對於年輕人來說才是特別重要的,因為,他們尚未形成固定的道德規範,而這一旦形成,則又將對其整個人生產生十分重要的影響;與此相反,成年人則往往不能感到對自己的道德規範進行自覺反省的必要性,另外,這也是一個無可否認的事實,即要改變一個人所已形成的道德規範是十分困難的。
進而,上述的比喻同時也表明了這樣一點:正如教師的日常言行往往對於學生道德觀念的形成有著十分重要的影響(這就是通常所說的“身教重於言教”),學生往往也就是在教師的影響下逐步地形成了自己的數學觀念。
例如,正如G.波利亞所指出的:“有一條絕對無誤的教學法—假如教師厭煩他的課題,那麼,整個班級也將毫無例外地厭煩它。
”(《數學的發現》,內蒙古人民社,1982年,第二冊,第174頁。
)由此,從教育的角度看,我們就應充分肯定數學哲學對於數學教育的重要性;進而,考慮到素樸的哲學觀念往往是片面或膚淺的;我們則又應當說,首要的任務就是應幫助廣大的數學教師通過數學哲學的學習建立起正確的數學觀。
值得指出的是,就數學教育的現代發展來說,我們已經看到數學哲學、特別是數學哲學現代發展的重要影響。
例如,數學觀的現代演變,即由靜態的數學觀向動態的數學觀的過渡,就是現代數學教育中突出強調“問題解決”的重要原因之一。
一般地說,這就正如同美國著名數學教育家倫伯格(T.Romberg)所指出的:“兩千多年來,數學一直被認為是與人類的活動和價值觀念無關的無可懷疑的真理的集合。
這一觀念現在遭到了越來越多的數學哲學家的挑戰,他們認為數學是可錯的、變化的,並和其它知識一樣都是人類創造性的產物。
···這種動態的數學觀具有重要的教育涵義。
”(可參見另文“數學哲學、數學教育與數學教育哲學”,載《哲學與文化》[台灣],1992年,第十期。
)在筆者看來,以數學教育為“中介”,數學哲學最終也將對數學的未來發展產生重要和深遠的影響,從而,這也就更為清楚和全面地表明了數學哲學的意義。
—本文作者任教於南京大學哲學系—。