2019届人教B版(文科数学) 指数与指数函数单元测试

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2019-2020学年人教B版必修第二册第四章指数函数、对数函数与及幂函数单元测试题

2019-2020学年人教B版必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数单元测试题(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简（π－4）2＋3（π－5）3的结果是()A．2π－9B．9－2πC．－1 D．1解析：选C.（π－4）2＋3（π－5）3＝(4－π)＋(π－5)＝－1.2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1x B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|解析：选C.A项，y＝1x是奇函数，故不正确；B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg |x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.3．已知集合A＝{x|y＝lg (2－x)＋lg x}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是实数集，则(∁R B)∩A等于()A．[0，1] B．(0，1]C．(－∞，0] D．以上都不对解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧2－x＞0，x＞0，得0＜x＜2，故A＝{x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，故B＝{y|y＞1}，∁R B＝{y|y≤1}，则(∁R B)∩A＝{x|0＜x≤1}．4．函数y＝x53的图像大致是()解析：选B.函数y＝x53＝3x5是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图像关于原点对称，排除A，C.因为y＝⎝⎛⎭⎪⎫1253＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1223<12，y＝153＝1，y＝253＝2×223>2，所以当x∈(0，1)时，函数y＝x53的图像在直线y＝x的下方；当x∈(1，＋∞)时，函数y＝x53的图像在直线y＝x的上方．故选B.5．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝2－x2B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1D ．y ＝31x ＋1解析：选A.A 中，y ＝2－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22x的值域为(0，＋∞)． B 中，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0， y ＝1－2x 的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y ＝1－2x 的值域是[0，1)． C 中，y ＝x2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.D 中，因为1x ＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝31x ＋1的值域是(0，1)∪(1，＋∞)． 6．1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是( ) A ．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1B ．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1C ．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1 D ．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1解析：选D.1.5－3.1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11.53.1，2－3.1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123.1，又幂函数y ＝x 3.1在(0，＋∞)上是增函数，且12＜11.5＜2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫123.1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫11.53.1＜23.1，故选D.7．已知f (3x )＝4x·log 2x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值是( )A ．－2B ．4C ．8(log 23－1)D ．－ 2解析：选A.令3x ＝32，得x ＝12.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×12＝412×log 212＝－2.8．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)∪(1，＋∞)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选D.方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，所以0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.9．若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg x )的解集是( )A ．(0，10)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 解析：选D.因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，因为f (x )在(－∞，0)内单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x |＞1，即lg x ＞1或lg x ＜－1，解得x ＞10或0＜x ＜110.10.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0，若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图像如图所示，则g (x )等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－x D ．－2x解析：选D.由图像可知，当x >0时，函数f (x )单调递减，则0<a <1，因为f (1)＝12，所以a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .当x <0时，－x >0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x <0，故选D.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－3a ）x ＋10a ，x ≤7，ax －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，611 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 解析：选B.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，（1－3a ）×7＋10a ≥a 0，所以13<a ≤611.12．已知点A (1，0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B.设B (x 0，ln x 0)，x 0>0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程的解的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图像的交点个数．画出图像，可知两个函数的图像只有1个交点．故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．函数f (x )＝a x －1＋3的图像一定过定点P ，则P 点的坐标是________．解析：由于函数y ＝a x 恒过点(0，1)，而y ＝a x －1＋3的图像可看作由y ＝a x 的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P 点坐标为(1，4)．答案：(1，4)14．(2019·江西省抚州市崇仁二中期中)函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a >1时，函数y ＝log a x 在[2，4]上单调递增，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.(2)当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2，4]上单调递减，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12.综上可知a ＝2或12.答案：2或1215．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2，x ∈（－∞，1]，31－x －2，x ∈（1，＋∞），则f (x )的值域为________．解析：当x ∈(－∞，1]时，x －1≤0，0<3x －1≤1，－2<f (x )≤－1；当x ∈(1，＋∞)时，1－x <0，0<31－x <1，－2<f (x )<－1，所以f (x )的值域为(－2，－1]．答案：(－2，－1]16．对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是________．解析：因为f (x )＝e x ，所以f (x 1＋x 2)＝e x 1＋x 2，f (x 1)f (x 2)＝ex 1e x 2＝e x 1＋x 2，故f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，①正确．f (x 1x 2)≠f (x 1)＋f (x 2)，②不正确．由f (x )＝e x 为增函数，可知当x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)；当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，此时f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，故③正确．答案：①③三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)计算下列各式的值． (1)(ln 5)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫940.5＋（1－2）2－2log 42；(2)log 21－lg 3·log 32－lg 5.解：(1)因为(ln 5)0＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫940.5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12＝32.（1－2）2＝|1－2|＝2－1. 2 log 42＝(412) log 42＝412log 42＝4 log 422＝ 2.所以原式＝1＋32＋2－1－2＝32.(2)原式＝0－lg 3·lg 2lg 3－lg 5＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg 10＝－1.18．(本小题满分12分)已知x ＞1且x ≠43，f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解：f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1＜x ＜43时，34x ＜1，所以log x 34x ＜0，所以f (x )<g (x )；当x ＞43时，34x ＞1，所以log x 34x ＞0，所以f (x )>g (x )．综上可得当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＞43时，f (x )＞g (x )．19．(本小题满分12分)若不等式x 2－log m x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围．解：由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，要使x2<log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的图像在y ＝x 2的上方，所以0<m <1.在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．因为当x ＝12时，y ＝x 2＝14，所以只要当x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14.所以12≤m 14，即116≤m .又0<m <1，所以116≤m <1，即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. 20．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ，0<x ≤15，1.5＋2log 5（x －14），x >15.(2)因为x ∈(0，15]时，0.1x ≤1.5，又y ＝5.5>1.5，所以x >15，所以1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，解得x ＝39.即老张的销售利润是39万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域；(2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，6－2x >0，解得1<x <3.故函数φ(x )的定义域为{x |1<x <3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )．(*)①当a >1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73； ②当0<a <1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3. 综上可知，当a >1时，不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，73；当0<a <1时，不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，3. 22.(本小题满分12分)如图，A ，B ，C是函数y ＝f (x )＝log 12x 图像上的三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4(t ≥1)．(1)设△ABC 的面积为S ，求S ＝g (t )；(2)若函数S ＝g (t )＜f (m )恒成立，求m 的取值范围．解：(1)S ＝g (t )＝－[log 12t ＋log 12（t ＋2）]×22＋－[log 12（t ＋2）＋log 12（t ＋4）]×22－－[log 12t ＋log 12（t ＋4）]×42＝log 2（t ＋2）2t （t ＋4）＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋4t 2＋4t (t ≥1)． (2)因为函数g (t )在区间[1，＋∞)上单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝log 295. 所以g (t )max ＝log 295＜f (m )＝log 12m ＝log 21m . 所以1m ＞95，所以0＜m ＜59.。

精选最新版2019年高中数学单元测试试题-指数函数和对数函数测试版题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题指数函数和对数函数（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．（2012湖北文）函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5D2．如果1122log log 0x y <<，那么（）()1A y x << ()1B x y << ()1C x y << ()1D y x <<（2011北京文3）3．三个数60．7，0．76，log 0．76的大小顺序是（）A ．0．76＜log 0．76＜60．7B ．0．76＜60．7＜log 0．76C ．log 0．76＜60．7＜0．76D ．log 0．76＜0．76＜60．7（1997上海2）4．已知y ＝log a （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是（） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（0，2）D ．［2，＋∞）（1995全国理11）5．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2 (2009山东卷理)【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．已知βαlg ,lg 是方程05lg 2lg 2)5lg 4(lg 2=+++x x 的两根，则αβ⋅=7．函数()321f x ax a =-+在[1,1]-上存在一个零点，则实数a . 15a ≥或1a ≤- 8．函数2log 22-=x x y 的最小值是，此时x 的值为。

2019年高考数学(文科)单元滚动精准测试卷课时10指数与指数函数-有答案

课时10 指数与指数函数模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟） 1．下列函数中值域为正实数的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1-xC ．y ＝ 12x－1D ．y ＝1－2x【答案】B【解析】∵1－x ∈R ，y ＝(13)x的值域是正实数，∴y ＝(13)1－x的值域是正实数．2．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝4 B ．a ＝1 C ．a ＝4 D ．a >0，且a ≠1 【答案】C3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )<0(0<a bC ．x 0<cD ．x 0>c 【答案】D【解析】如图所示，方程f (x )＝0的解即为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，若x 0>c >b >a >0，则f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，与已知f (a )f (b )f (c )<0矛盾，所以，x 0>c 不可能成立，故选D. 4.当0>x 时，函数的值总大于1，则实数a 的取值范围是（）A.21<<aB.1<aC.2>a D. 2<a【答案】C【解析】因为0>x 时，函数的值总大于1，所以112>-a ，22>a ，即2>a .5．已知y ＝f (x ＋1)是定义在R 上的偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )＝2x，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，c ＝f (1)，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．c b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43>c ＝f (1)．6．给出下列结论：①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)； ③函数f (x )＝(x －2) 12－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x ＝16,3y＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 【答案】B7．若2x＝3y＝5z且x 、y 、z 均为正数，则2x,3y,5z 的大小关系是________．【答案】3y <2x <5z【解析】由2x＝3y＝5z得x lg2＝y lg3＝z lg5＝k ，且k >0，x ＝k lg2，y ＝k lg3，z ＝klg5，通过作差得：2x －3y >0,2x －5z <0，∴3y <2x <5z .8．已知函数y ＝a x +2－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (其坐标与a 无关)，则定点A 的坐标为__________．【答案】(－2，－1)【解析】当x ＝－2时，无论a 取何值，都有y ＝－1，即图象恒过定点A (－2，－1)．9．已知函数(1)求函数的定义域、值域； (2)确定函数的单调区间．【解析】(1)根据指数函数的定义域易知，此函数的定义域是R ，先求出函数u ＝x 2－6x ＋11在R 上的10.定义域为R 的函数是奇函数.（1）求b a ,的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式恒成立，求k 的取值范围.【解析】（1）因为)(x f 是定义域为R 的奇函数，所以0)0(=f ，即021=++-ab，解得1=b .又由，即，解得2=a .所以2=a ，1=b .（2）由（1）知，易知)(x f 在R 上为减函数.又因为)(x f 是奇函数，不等式等价于.因)(x f 在R 上为减函数，所以，即对一切R t ∈有，只需，解得31-<k . [新题训练] （分值：10分建议用时：10分钟） 11．（5分）在平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称【答案】C【解析】y ＝2x左移一个单位得y ＝2x ＋1，y ＝2－x 右移一个单位得y ＝21－x，而y ＝2x 与y ＝2－x关于y 轴对称，∴f (x )与g (x )关于y 轴对称． 12．（5分）已知函数f (x )＝2x，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．。

第四章指数函数_对数函数与幂函数——高一数学人教B版(2019)必修第二册单元检测卷(A卷)

第四章指数函数、对数函数与幂函数——高一数学人教B 版(2019)必修第二册单元检测卷（A 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数为偶函数的是( ).A. B.D.2.设( )A. B. C.3.19世纪天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家法兰克·本福特重新发现了这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量b 进位制随机数据中，以n 开头的数出现的概率为律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，），则k 的值为( )A.2B.3C.4D.54.函数A. B.1y x-=y =2y x =3y x =a >=11a12a12130()log b bP n =2010()n kP n ==∑*∈N 20k ≤y =C.D.5.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为( ).6.设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点( )A. B. C.D.7.我们知道，比较适合生活的安静环境的声强级L （噪音级）为，声强I （单位：）与声强级L （单位：）的函数关系式为（a ，b 为常数）.某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为.若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为( )A. B. C. D.8.已知函数为R 上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数，其中且，则下列结论正确的是( )()y f x =(4,2)2(1)[()]f x f x --()y f x =1()y f x -=2()y x f x =-(2,3)1()y f x -=-(1,1)-(3,2)(1,0)(2,1)30~40dB 2/m W dB 10aL I b =⋅5.2210W /m -68dB 6.5210W /m -55dB 9210W /m -8210W /m -7210W /m -6210W /m -()f x 12(0,,)x x ∈-∞12x x ≠()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦a f =133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2log 5c f =-c b a<1a ≠A.函数是奇函数B.方程在R 上有解C.函数的图象过定点D.当时，函数在其定义域上为增函数10.若（，）为函数图象上的一点，则下列选项正确的是( )A.为函数图象上的点B.为函数图象上的点C.为函数图象上的点D.为函数图象上的点11.已知幂函数的图象经过点，则( )A.函数为减函数B.函数为偶函数C.当时，D.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数为指数函数，则_________.13.已知函数若，则_________.14.已知幂函数的图象过点，则函数四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y （单位：微克）与时间t （单位：时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（，）图象的一部分.根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少()f x (9,3)()f x ()f x 4x ≥()2f x ≥21x x >>122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x ()0f x =()f x (0,1)1a >()f x (,)a b 0a >1a ≠2log y x =(,)b a 2x y =1,b a ⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =(,)b a -12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,2)a b 4log y x =()2()1(1)x f x a a a =+-+a =2ln 2ln 1,0,()3,0,x x x f x x ⎧+->⎪=-≤()2f a =a =()y f x =(4,2)y =[0,1.5)t ∈[1.5,6]t ∈log ( 2.5)5a y t =++0a >1a ≠于2微克时，治疗有效.（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y 与时间t 之间的函数关系式.（2）问服药多久之后开始有治疗效果，治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1，参考数据：）16.已知函数（1）若，，都有，求解关于a 的方程；（2）若函数的图象上存在关于直线对称的点，求实数a 的取值范围.17.已知幂函数的图象过点.（1）求实数n 的值；（2）设函数在上单调递减.18.已知函数.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）函数，若对任意满足的正数a ，b ，都有，求实数的取值范围.19.已知定义在R 上的函数.（1）当时，求的值域；（2）若函数在上单调递增，求实数m 的取值范围；()2()81m f x m x =-(,)m n -1.414≈142,0,()log ,0.xa x f x x x --⋅≤=>⎪⎪⎩1(,0]x ∀∈-∞2[1,)x ∈+∞()()12f x f x =((0))0f f =()f x y x =()()g x f x =()g x (0,1)(()ln f x x =()f x 2()42x x g x +=-1()f a fb ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()g a g b λ+≥λ1()42()x x f x m m m +=⋅--∈R 1m =()f x ()f x (1,)+∞（3）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是函数的局部对称点，求实数m 的取值范围.()y g x =0x ()()002g a x g a x b ++-=()g x (,)a b ()g x (1,0)()y f x =答案以及解析1.答案：C解析：A，D是奇函数，B是非奇非偶函数.2.答案：C3.答案：B解析：依题意，得，所以，故.4.答案：B解析：设的定义域为，且，故函数为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A，C；又当时，，，所以，排除D，故选B.5.答案：C解析：设幂函数，其图象过点，，.故，，，则，由，知，当6.答案：A解析：因为函数的图象过点，所以，解得，即的图象过点，所以的图象过点，的图象过点，所以11111155131533552222222a a a a a a a a⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=⋅⋅=⋅=⋅==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2010101010()()(1)(20)n kP n P k P k P==++++∑12211221lg lg lg lg120120k k k kk k k k++++⎛⎫=+++=⨯⨯⨯=⎪++⎝⎭22log7lg7log10==21lgk=lg73k=()f x=()f x{0}x x≠∣2ln||()()()2xf x f xx--==-+()f x(0,1)x∈ln||0x<220x+>()0f x<()af x x=(4,2)2422a a∴==12a∴=()0)f x x=≥2(1)[()]f x f x x--=t=0t≥21x t=+()21y t t=-+0t≥t=2()y x f x=-(2,3)22(2)3f-=(2)1f=()y f x= (2,1)1()y f x-=(1,2)1()y f x-=-(1,)2-的图象过点，故选A.7.答案：B解析：由题意可知解得所以，易得当L 越大时，I 越大，所以当时，达到安静环境要求下的I 取得最大值.故选B.8.答案：C解析：因为对任意，，均有成立，所以函数在上单调递减.因为函数为R 上的偶函数，所以，函数在上单调递增.因为，，所以所以，即.故选C.9.答案：ABD解析：的定义域为R ，且，故为奇函数，A 正确；，故方程在R 上有解，B 正确，C 错误；当时，函数在R 上单调递增，在R 上单调递减，故在R上单调递增，D 正确.故选ABD.10.答案：ABC解析：（，）为函数图象上的一点，()()22log 5log 5c f f =-=()f x (0,)+∞22log 5log 42>=313332833⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭132log 523>>>1()y f x -=-(1,1)-5.2686.5551010,1010,a ab b --⎧=⋅⎨=⋅⎩120.1,10,a b -=⎧⎨=⎩120.10.112101010L L I --=⋅=40L =()0.1401282max 1010 W /m I ⨯--==12,(,0)x x ∈-∞12x x ≠()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x (,0)-∞()f x ()132log 53f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭a b c <<1()x x f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11()()xxx x f x a a f x a a --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()f x 01(0)110f a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()0f x =1a >x y a =1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(,)a b 0a >1a ≠2log y x =，，则为函数图象上的点，故A 正确；，，则为函数图象上的点，故B 正确；，，则为函数图象上的点，故C 正确；，，故D 错误.故选ABC.11.答案：CD解析：设幂函数，则，解得，所以.，故在上为增函数，故A 错误；B 选项，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B 错误；C 选项，由A 可知，在上单调递增，故当时，，故C 正确；D 选项，当时，，又，D 正确.故选CD.12.答案：1解析：函数为指数函数，解得.13.答案：或e 或-25解析：若，则，即，即或，解得或；若，，即.2log a b ∴=2b a ∴=(,)b a 2x y =2log a b = 12211log log 1a b a -∴==-1,b a ⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =2ba = 122bba -⎛⎫∴== ⎪⎝⎭(,)b a -12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2log a b = 4211log log 222a ab b ∴==≠()f x x α=(9)93f α==12α=()f x =)+∞0>()f x [0,)+∞()f x ()f x ()f x [0,)+∞4x ≥12()(4)42f x f ≥==210x x >>()()22121222f x f x x x f +⎡⎤⎡+⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦122x x +=-0==<()f x ≥122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭()2()1(1)xf x a a a =+-+211,1011,a a a a ⎧+-=∴⎨+>+≠⎩且1a =3e -0a >()2f a =2ln 2ln 12a a +-=ln 3a =-ln 1a =3e a -=e a =0a ≤()32f a ==25a =-综上，或e 或-25.14.答案：解析：设幂函数.的图象过点，，，，即，的定义域为.15.答案：（1）（2）5.2小时解析：（1）当时，由题中图象可设，将点的坐标代入上述解析式，解得，即当时，.当时，将点的坐标代入，解得所以（2）令，解得或（舍去），故服药约0.3小时之后开始有治疗效果.令，即，解得.2124(1)4,0 1.5,log ( 2.5)5,1.56t ty t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩0 1.5t ≤<2(1)4y k t =-+(0,0)3e a -=1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()y f x x α==()f x (4,2)42α∴=α∴=()f x ∴=1(12)f x ∴=-20x ->12x <1(12)y f x ∴=-1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4k =-0 1.5t ≤<24(1)4y t =--+1.56t ≤≤(1.5,3)log ( 2.5)5a y t =++a =2124(1)4,0 1.5,log ( 2.5)5,1.5 6.t t y t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩24(1)42t --+=10.3t =-≈1 1.7t =≈12log ( 2.5)52t ++≥310 2.52t -⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2.5 5.5t -<≤又因为，所以.因为，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.16.答案：（1）（2）解析：（1）由题意知，因为为减函数，故.若，则时，，与矛盾，不符合题意，故.又，即，故，.，即，由在区间上单调递增，且，即所以方程的解集为.（2）因为曲线关于直线对称的曲线为，则函数的图象上若存在关于直线对称的点，即曲线与的图象在上有公共点，故，使，即在时成立.因为函数上单调递增，所以函数在上单调递增，当时，，当时，.1.56t ≤≤ 1.5 5.5t ≤≤5.50.3 5.2-={a a =-∣(1]-∞{()0}{()1}f x x f x x ≤=≥∣∣14log y x ={()1}(,0]f x x ≥=-∞∣0a ≤0x ≤0<≤20x a -⋅≥{()0}(,0]f x x ≤=-∞∣0a >(0)f =-0a ->0a <<14)log )0f a a -==1a -=1a =-0a -≤a ≥)0f a -=2x y a -=-⋅(,0]-∞{()0}(f x x ≤=-∞∣0a =a =((0))0f f ={a a =-∣14log y x =y x =14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x y x =14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y a -=-⋅(,0]-∞(,0]x ∃∈-∞124xxa -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2x a -=-(,0]x ∈-∞y =,0]-∞()2x g x -=-(,0]-∞x →-∞()g x →-∞0x =(0)1g =-所以，即a的取值范围为.17.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由函数是幂函数，得，解得当，显然此函数图象不可能过点，即符合题意；当时，函数，显然此函数图象可以过点，所以.（2）证明：由（1）知，函数.任取，且，则，由，得，且，则，即，所以函数在上单调递减.18.答案：（1）函数在R上单调递增.证明见解析（2）解析：（1）函数在R上单调递增.证明：对，则，则函数的定义域为R.又，即，故函数为奇函数.m=()f xx=121122f-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x x=1122()g x x x-=+=+12,(0,1)x x∈12x x<()()121g x g x⎛-==-⎝1201x x<<<01<<<0<<0<10< 1a≤-(1]-∞-n=()2()81mf x m x=-2811m-=m=±m=y=)+∞1,2n⎛⎫- ⎪⎝⎭m=12m=-y x=)+∞1,2n⎛⎫⎪⎝⎭10⎛>⎝()()12g x g x>()g x(0,1)()f x(,2]-∞-()f xx∀∈||x x>≥-0x+>()f x)(()()ln ln0f x f x x x-+=-++=()()f x f x-=-()f x任取，则，，因此，所以函数在区间上单调递增.又函数为R 上的奇函数，所以函数在R 上单调递增.（2）因为，在R 上单调递增，所以，即故，因为，当且仅当时等号成立，所以，因此，所以的取值范围为.19.答案：（1）（2）（3）解析：（1）当时，，令，则可转化为，即，的值域为.（2）令，，，则可转化为（）.在上单调递增，要使在上单调递增，120x x >≥((()1212x x x x +-=-+()()121210x x x x ⎛ =-+=-> ⎝1>()()120f x f x ->()f x [0,)+∞()f x ()f x 1()f a f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 10a b =>b =11221()()()4422a a a ag a g b g a g a ++⎛⎫+=+=+-- ⎪⎝⎭221112242222226a a a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1224aa+≥≥=1a =()()2g a g b +≥-2λ≤-λ(,2]-∞-[2,)-+∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦1m =1()421x x f x +=--20x t =>1()421x x f x +=--221(0)y t t t =-->2(1)22y t =--≥-()f x ∴[2,)-+∞2x t =1x > 2t ∴>()f x 22y mt t m =--2t >2x t = (1,)+∞∴()f x (1,)+∞只需在上单调递增即可.①当时，在上单调递减，不符合题意；②当时，的图象开口向下，不符合题意；③当时，要满足解得综上，实数m 的取值范围是.（3）由是函数的局部对称点，得，，代入整理得.①令，则，当且仅当时取等号，则，，实数m 的取值范围为.22y mt t m =--(2,)+∞0m =2y t =-(2,)+∞0m <22y mt t m =--0m >0,12,m m>⎧⎪⎨≤⎪⎩m ≥1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(1,0)()y f x =x ∃∈R (1)(1)0f x f x ++-=()()2442220x x x x m m --+-+-=22x x t -=+2t ≥0x =()22442222x x x x t --+=+-=-2t -y =+∞52t t ∴-≥240,532t t⎛⎤∈ ⎥⎝⎦-∴40,3⎛⎤⎥⎝⎦。

人教B版(2019)高中数学必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系习题

4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－135．已知函数f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个．6．若函数f(x)＝2x＋1x＋a的反函数是其本身，则实数a＝________.7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg (x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________．8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )．知识点二反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立．其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3)D ．(1)(2)(3)14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．知识点三指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a 0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值 20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．易错点一对反函数的定义理解不清而致误已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.一、单项选择题1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )A．y＝1＋log2x(x>0)B．y＝log2(x－1)(x>1)C．y＝－1＋log2x(x>0)D．y＝log2(x＋1)(x>－1)2．把函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A．y＝－a x B．y＝a－xC．y＝log a(－x) D．y＝－log a x3．已知f(x)＝－4－x2的反函数为f－1(x)＝4－x2，则f(x)的定义域为( )A．(－2,0) B．[－2,2]C．[－2,0] D．[0,2]4．当0<a<1时，方程log a x＝a x的实数解( )A．有且只有一个B．可能无解C ．可能有3个D ．一定有3个5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．36．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75D ．10711．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．16．已知函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．18．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f－1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值． 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性； (2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋xk.4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)答案 C解析y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝12ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝12ln x，x>0.2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)答案 D解析∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)答案 B解析令y＝12x2＋1.∵x>2，∴y＝12x2＋1>3.对调函数中的x和y得x＝12y2＋1，解得y＝2x－2.∴所求反函数为y＝2x－2(x>3)．4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－13答案 B解析∵函数y＝3x－2a，∴x＝y＋2a3，互换x，y，得函数y＝3x－2a的反函数是y ＝13x ＋23a ，x ∈R .∵函数y ＝3x －2a 的反函数是y ＝bx ＋23，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13，2a 3＝23，解得a ＝1，b ＝13.故选B.5．已知函数f (x )＝x 2，x ∈D 的值域是{1,4,9}，且函数f (x )存在反函数，这样的f (x )共有________个．答案 8解析当x 2＝1时，x ＝±1；当x 2＝4时，x ＝±2；当x 2＝9时，x ＝±3.若函数f (x )存在反函数，则一个y 只能对应一个x ，列举如下：⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9.故这样的f (x )共有8个． 6．若函数f (x )＝2x ＋1x ＋a的反函数是其本身，则实数a ＝________. 答案－2解析函数y ＝f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数为x ＝2y ＋1y ＋a ，即y ＝1－axx －2，因为函数f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数是其本身，所以2x ＋1x ＋a ＝1－axx －2，所以a ＝－2. 7．已知函数f (x )是以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝lg (x ＋1)，令函数g (x )＝f (x )(x ∈[1,2])，则g (x )的反函数为________________．答案 g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)解析当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，∴f (x )＝f (－x )＝lg (－x ＋1)；当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，∴f (x )＝f (x －2)＝lg [－(x －2)＋1]＝lg (－x ＋3)．∴g (x )＝lg (－x ＋3)(1≤x ≤2)，∴－x ＋3＝10g (x )，∴x ＝3－10g (x )．故反函数为g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )．解 (1)当a ＝－12时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ∈[－1，1]，显然函数不单调，所以此时没有反函数．(2)函数存在反函数时必须在[－1,1]上单调，而f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，x ∈[－1,1]，对称轴x ＝a ，所以a ≥1或a ≤－1.当a ≥1时，f －1(x )＝a －x ＋a 2－2，x ∈[3－2a,3＋2a ]；当a ≤－1时，f －1(x )＝a ＋x ＋a 2－2，x ∈[3＋2a,3－2a ]．知识点二反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 A解析反函数的定义域即为原函数的值域．由12x －1>0可得log 212x －1∈R ，所以原函数的值域为R ，故它的反函数的定义域为R .故选A.10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 答案 D解析 ∵f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，∴－1≤log 3x 2≤1，即13≤x 2≤3，而x >0，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.∵反函数的值域为原函数的定义域，∴反函数f －1(x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )答案 C解析由f (x )＝3x －1可得f －1(x )＝log 3x ＋1，∴图像为C.12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称答案 D解析函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )互为反函数，图像关于直线x －y ＝0对称．故选D.13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立．其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3) D ．(1)(2)(3)答案 A解析 (1)设奇函数f (x )的反函数为f －1(x )，∵f (x )是奇函数，∴f (x )的值域关于原点对称，即f －1(x )的定义域关于原点对称．假设f (x )＝y ，则f (－x )＝－y .∴f －1(y )＝x ，f －1(－y )＝－x .∴f －1(－y )＝－f －1(y )，即f －1(－x )＝－f －1(x )．∴f －1(x )是奇函数．故(1)正确；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数，不一定f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，比如f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤1，x ，x >1存在反函数，但f (x )在R 上不单调，故(2)不正确；(3)x 0不一定属于f (x )的值域，即f －1(x 0)不一定存在，故(3)不正确．故选A.14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.答案 log 2(x －1)(x >1)解析 ∵(3,9)在函数f (x )上，∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x ，又f (x )>1，∴f －1(x )＝log 2(x －1)(x >1)．15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.答案 2解析由y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，且f (4)＝1，得g (1)＝4，所以a 2＝4，a ＝2.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．答案 (1,4)解析 ∵y ＝f (x )的图像过点(0,1)，∴f (4－x )的图像过点(4,1)，∴g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点(1,4)．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，＋∞解析因为y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )互为反函数，所以二者关于y ＝x 对称．若y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )有实数根，则y ＝f (x ＋a )与y ＝x 有交点，所以x ＋a －1＝x ，即a ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.知识点三指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a 0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值答案 AC解析 ∵函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，当a >1时，由a x －1>0，可得x >0，此时，函数的图像仅在y 轴的右侧；当0<a <1时，由a x －1>0，可得x <0，此时，函数的图像仅在y 轴的左侧，故A 正确．由于f (－x )＝log a (a －x －1)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1≠－f (x )，故函数不是奇函数，故B 不正确．由于函数y ＝log a t 和函数t ＝a x 的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，根据复合函数的单调性可得f (x )＝log a (a x －1)在它的定义域内一定是增函数，故C 正确．由于t ＝a x －1无最值，故y ＝log a t 无最值，故D 不正确．故选AC.20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．解 (1)要使函数f (x )＝log 2(1－2x )有意义，则1－2x>0，即2x<1. 故x <0，此时0<1－2x <1， ∴f (x )＝log 2(1－2x )<0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y ＝f (x )＝log 2(1－2x )可得1－2x ＝2y ，解得x ＝log 2(1－2y )，故原函数的反函数为f －1(x )＝log 2(1－2x )，与原函数相同，所以函数f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．易错点一对反函数的定义理解不清而致误已知函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝x 对称，且g (x )的图像过定点(1,2020)，则y ＝f －1(x ＋1)的图像过定点________．易错分析本题容易误认为f (x ＋1)与f －1(x ＋1)互为反函数．答案(0,2021)正解∵g(x)的图像过定点(1,2020)，∴f(x＋1)的图像过定点(2020,1)．又f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2021,1)．又f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2021)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0,2021)．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.易错分析本题的易错之处为不能正确将问题转化为函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x三个图像之间的关系进行求解．答案 4正解如图，分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x的图像，相交于点P，Q.∵log2α＝4－α，2β＝4－β.而y＝log2x(x>0)与y＝2x互为反函数，直线y＝4－x与直线y＝x互相垂直，∴点P与Q关于直线y＝x对称．∴α＝2β＝4－β.∴α＋β＝4.一、单项选择题1．函数y ＝2x ＋1(x ∈R )的反函数是( ) A ．y ＝1＋log 2x (x >0) B ．y ＝log 2(x －1)(x >1) C ．y ＝－1＋log 2x (x >0) D ．y ＝log 2(x ＋1)(x >－1) 答案 C解析由y ＝2x ＋1⇒x ＋1＝log 2y ⇒x ＝－1＋log 2y ，又因原函数的值域{y |y >0}，故其反函数是y ＝－1＋log 2x (x >0)．2．把函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A ．y ＝－a xB ．y ＝a －xC ．y ＝log a (－x )D ．y ＝－log a x答案 B解析函数的图像绕坐标原点逆时针旋转90°后，得到的函数与原函数的反函数的图像关于y 轴对称．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的反函数为y ＝a x ，其关于y 轴对称的函数解析式为y ＝a －x .故选B.3．已知f (x )＝－4－x 2的反函数为f －1(x )＝4－x 2，则f (x )的定义域为( )A ．(－2,0)B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]答案 D解析 ∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域．∴⎩⎨⎧4－x 2≥0，f－1x ≥0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤2，x ≥0，即0≤x ≤2.故f (x )的定义域为[0,2]．故选D.4．当0<a <1时，方程log a x ＝a x 的实数解( ) A ．有且只有一个 B ．可能无解 C ．可能有3个 D ．一定有3个答案 C解析考虑函数y ＝log a x 与函数y ＝a x 的图像公共点，易知B ，D 两项不对．又y ＝和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116x 的图像除了在直线y ＝x 上存在一个公共点外，还存在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12两个公共点．故选C. 5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．3答案 B解析解法一：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数即y ＝log a x ，故y ＝log a x 的图像过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.解法二：由题意得，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像过点(a ，a )，即a a ＝a ＝，故a ＝12.6．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )答案 B 解析 y ＝1－xx(x ≠0)的反函数为y ＝11＋x (x ≠－1)，其图像为y ＝1x的图像向左平移1个单位长度．7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 C解析由题意，可得－1≤f －1(x )≤12的解集即为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的值域．当－1≤x ＜0时，由题图可知f (x )∈[－2,0)，当0≤x ≤12时，由题图可知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故不等式－1≤f －1(x )≤12的解集为[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.8．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64答案 B解析由函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，则g (x )＝log 3x ，所以g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)＝log 3(x 1x 2…x 2020)2＝2log 3(x 1x 2…x 2020)＝2log 381＝8.故选B.二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上答案 AC解析对于A ，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)为单调函数，一定存在反函数，故正确；对于B ，因为函数f (x )＝1x在定义域上不单调，但函数f (x )存在反函数，故错误；对于C ，因为原函数与它的反函数的图像关于y ＝x 对称，所以将y ＝f (x )的图像沿y ＝x 翻折后，会落在第一、四象限，故正确；对于D ，比如函数y ＝－x ＋1与其反函数y ＝x 2－1(x ≤0)的交点坐标有(－1,0)，(0，－1)，显然交点不在直线y ＝x 上，故错误．故选AC.10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75 D ．107答案 BC解析由图像可知a >1且a 2<log a 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94>2＝94>2，故A 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169<2＝169<2，故B 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝4925<2＝4925<2，故C 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫1072＝10049>2＝10049>2，故D 错误．综上，选BC.11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)答案 CD解析当x ＝1时，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)恒过(1,0)点，故(1,2)一定不是好点；当y ＝1时，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)恒过(0,1)点，故(2,1)也一定不是好点；而(2,2)是函数y ＝(2)x 与的交点；(2,0.5)是函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 4x 的交点；故选CD. 12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称答案 ABC解析令a ＝2，分别作出对应的图像，由图像可知，对于A ，∵函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x图像关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，∵函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称，故B 正确；对于C ，D ，∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称，故C 正确，D 不正确．故选ABC.三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 答案－－x ，x ∈(－∞，－4]解析由y ＝－x 2，x ∈(－∞，－2]，得y ∈(－∞，－4]，∴x ＝－－y ，即f －1(x )＝－－x ，x ∈(－∞，－4]．14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．答案 f (x )＝2x ＋1解析 ∵y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，∴f (x )的图像过点(0,2)，∴2＝a 0－k ，∴k ＝－1，∴f (x )＝a x ＋1.又f (x )的图像过点(1,3)，∴3＝a 1＋1，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ＋1.15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．答案 (－∞，－1]解析由题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (x 2＋2x )＝，∵f (x )在R 上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t ＝x 2＋2x 的单调减区间，即(－∞，－1]．16．已知函数f (x )＝log a x －b x ＋b(a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．答案 (－∞，0)∪(0，＋∞) f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x 解析 ∵b ≠0，∴x －b x ＋b ≠1，∴f (x )＝log a x －b x ＋b ≠0.由y ＝log a x －b x ＋b ，化为x －b x ＋b ＝a y ，解得x ＝b ·1＋a y 1－a y .把x 与y 互换可得y ＝b ·1＋a x 1－ax ，∴f (x )的反函数f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x. 四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式4x ＜log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒在函数y ＝4x 图像的上方，而y ＝4x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 由图可知，log a 12≥2，显然这里0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 递减．又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12，又0<a <1，∴a ≥22. ∴所求的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 18．已知f (x )＝1－3x1＋3x ，求f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值．解令y ＝1－3x 1＋3x ，∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y 1＋y ， ∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x. ∴f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝log 31－451＋45＝log 319＝－2. 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.解 ∵y ＝f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f －1(x )在R 上也是增函数．∵f (－1)＝1，f (1)＝3，∴f －1(1)＝－1，f －1(3)＝1.由|f －1(log 2x )|<1，得－1<f －1(log 2x )<1，∴f －1(1)<f －1(log 2x )<f －1(3)，∴1<log 2x <3，∴2<x <8，即所求不等式的解集为{x |2<x <8}．20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋x k .解 (1)由f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (x )＋f (－x )＝2x －12x ＋1＋2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1＋1－2x1＋2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数．(2)因为f (x )＝y ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以2x ＝1＋y 1－y(－1＜y ＜1)，所以f －1(x )＝log 21＋x 1－x(－1＜x ＜1)． (3)因为f －1(x )＞log 21＋x k ，即log 21＋x 1－x ＞log 21＋x k ，所以⎩⎨⎧ 1＋x 1－x ＞1＋x k ，－1＜x ＜1，所以⎩⎨⎧ x ＞1－k ，－1＜x ＜1，当0＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．。

2019_2020学年新教材高中数学第4章指数对数函数与幂函数单元质量测评含解析新人教B版必修第二册

第四章指数、对数函数与幂函数单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝log 12(3x －2)的定义域是( )A ．[1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1 答案 D解析若使函数有意义，则必有log 12 (3x －2)≥0,3x －2>0，即0<3x －2≤1⇒23<x ≤1.故选D.2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的奇函数是( ) A ．y ＝x －12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －3D ．y ＝x 13答案 D解析函数过点(0,0)，排除A ，C ；函数为奇函数，排除B ，故选D. 3．已知a >0且a ≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( ) A ．y ＝log a x 与y ＝(log x a )－1B ．y ＝alog ax与y ＝xC ．y ＝2x 与y ＝log a a 2xD ．y ＝log a x 2与y ＝2log a x 答案 C解析选项A 中函数y ＝log a x 的定义域为(0，＋∞)，函数y ＝(log x a )－1的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故不选；选项B 中函数y ＝alog ax的定义域为(0，＋∞)，函数y ＝x 的定义域为R ，故不选；选项C 中，函数y ＝2x 的定义域为R ，函数y ＝log a a 2x可化为y ＝2x ，且定义域也为R ，选C ；选项D 中函数y ＝log a x 2的定义域为{x |x ≠0}，函数y ＝2log a x 的定义域为(0，＋∞)，故不选，所以本题应选C.4．函数f (x )＝x 3－1在区间[1，m ]上的平均变化率为7，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A解析根据题意，函数f (x )＝x 3－1在区间[1，m ]上的平均变化率为Δf Δx ＝(m 3－1)－(13－1)m －1＝m 2＋m ＋1，则有m 2＋m ＋1＝7，即m 2＋m －6＝0，解得m ＝－3或m ＝2，又由m >1，则m ＝2.故选A.5．已知f (x n)＝ln x ，则f (2)的值是( ) A ．ln 2 B.1nln 2C.12ln 2 D ．2ln 2答案 B解析令x n＝2，则x ＝21n ，∴f (2)＝ln 21n ＝1nln 2.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a bx 的图像可能是下图中的( )答案 C解析由选项知0<a b <1，则－b 2a <－12.故选C. 7．函数f (x )＝1x－ln x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析如图，在同一坐标系中作出y ＝1x与y ＝ln x 的图像，由图像可知f (x )＝1x－ln x 只有一个零点．8．设9a ＝4b＝6，则1a ＋1b＝( )A ．2B ．log 65C ．log 56 D.56答案 A解析由9a ＝4b＝6，得a ＝log 96，b ＝log 46，所以1a ＋1b ＝1log 96＋1log 46＝log 69＋log 64＝log 636＝2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案 C解析设a ＜b ＜c ，由f (a )＝f (b )＝f (c )，得|lg a |＝|lg b |.∵a ，b ，c 互不相等，∴lg a ＝－lg b . ∴ab ＝1.作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知10＜c ＜12，∴10＜abc ＜12.10．下列函数中，随着x 的增长，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1000xC ．y ＝0.4·2x －1D ．y ＝11000e x答案 D解析指数函数y ＝a x在a >1时呈爆炸式增长，而且底数a 越大，增长速度越快．故选D. 11．设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析函数f (x )的定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．当0＜x ＜1时，y ＝ln (1＋x )是增函数，y ＝ln (1－x )是减函数，故f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )在(0,1)上是增函数．故选A.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析因为y ＝2x与y ＝3x －1在(－∞，1)上没有公共点，故由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a≥1，解得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案433解析由a ＝log 43得4a＝3⇒2a＝3，则2a＋2－a＝3＋13＝433.14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案 (1,2]解析当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a 2≥4，a ＞1，解得1＜a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．15．有以下结论：①函数y ＝log 2(1－x )的增区间是(－∞，1)；②若幂函数y ＝f (x )的图像经过点(2，2)，则该函数为偶函数；③函数y ＝3|x |的值域是[1，＋∞)．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．答案 ③解析 ①中令u ＝1－x ，则y ＝log 2u ，根据复合函数的单调性可判断①错误；②∵2＝2α，∴α＝12，∴y ＝x 12，x ∈[0，＋∞)，不具有奇偶性，故②错误； ③中|x |≥0， ∴3|x |≥1，∴y ＝3|x |的值域为[1，＋∞)，故③正确．16．已知y ＝log 4(－ax ＋3)在[0,1]上是关于x 的减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,3)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－a ＋3>0⇒0<a <3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设0<x <1，a >0且a ≠1.试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．解|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝|log (1＋x )(1－x )|，∵0<x <1，∴0<1－x <1,1<1＋x <2,0<1－x 2<1， ∴|log (1＋x )(1－x )|＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x ＝log (1＋x )1＋x1－x 2>log (1＋x )(1＋x )＝1.∴|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x，且f (a )＝2，g (x )＝3ax－4x. (1)求g (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,1]时，求g (x )的值域．解 (1)由f (a )＝2，得3a＝2，a ＝log 32， ∴g (x )＝(3a )x－4x＝(3log 32)x－4x＝2x－4x＝－(2x )2＋2x. ∴g (x )＝－(2x )2＋2x.(2)设2x＝t ，∵x ∈[－2,1]，∴14≤t ≤2.g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的图像可得，当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14；当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.19．(本小题满分12分)定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )的和，如果f (x )＝lg (10x ＋1)，x ∈R ，求g (x )和h (x )．解由已知f (x )＝g (x )＋h (x )，且f (－x )＝g (－x )＋h (－x )，又g (x )是奇函数，h (x )是偶函数， ∴g (x )＝－g (－x )，h (－x )＝h (x )．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )＋h (x )，f (－x )＝－g (x )＋h (x ).∴g (x )＝12[f (x )－f (－x )]＝12lg 10x＋110－x ＋1＝x 2，h (x )＝12[f (x )＋f (－x )]＝12[lg (10x ＋1)＋lg (10－x＋1)] ＝12lg (10x＋1)210x＝lg (1＋10x )－x 2.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0.解得－1<x <3.∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)∵f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )]＝log a (－x 2＋2x ＋3)＝log a [－(x －1)2＋4]，若0<a <1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， ∴log a 4＝－2，a －2＝4，又0<a <1，∴a ＝12.若a >1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4，f (x )无最小值．综上可知，a ＝12.21．(本小题满分12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n，P 2：y 2＝bx ＋c ，如图所示．(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额？解 (1)由图知P 1：y 1＝ax n过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝a ·1n ，52＝a ·4n，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝54，n ＝12，∴y 1＝54x 12，x ∈[0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈[0，＋∞)．(2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，总利润为y 万元．则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54x ＋52＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52，即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516，此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．22．(本小题满分12分)f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,0)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．解 (1)设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，则f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x4x ＋1.由f (x )是奇函数，知－f (x )＝2x4x ＋1.即f (x )＝－2x4x ＋1.故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1.。

精选2019年高中数学单元测试题-指数函数和对数函数测试题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题指数函数和对数函数（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（）A.),2(+∞B. ),1(+∞C. ),1[+∞D. ),2[+∞（2010广东文2）2．函数()y f x =的图像与函数2()log (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为(D)（A ）21()(0)log f x x x=> （B ）21()(0)log ()f x x x =<- （C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<(2006全国2理) 解析(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以2()l o g (0)g x x x =>⇒2()lo g ()(0)f x x x =--< 故选D 3．放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位年）满足函数关系：300()2tM t M -=，其中0M 为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是—10ln2（太贝克/年），则M(60)= A.5太贝克B.75ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克4．若1a >，1a ≠，且0x y >>，n N ∈，则下列八个等式：①()log log na a x n x =； ②()()log log nn a a x x =；③1l o gl o g a a x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；④l o g l o g l o g a a ax x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤1l o ga x n =；⑥1l o g l o gaax n=；⑦log an x na x=；⑧lo g l o g aax y x yx yx y-+=-+-．其中成立的有（） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．方程244x x -=实根的个数为关键字：根的个数；数形结合；含绝对值6．8(3,4)Mod =_____________ 7．比较大小：2log 5 5log 88．已知log 162x =，则x 等于（） A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2 9．设lg 2,lg3a b ==，则5log 12=______。

人教B版(2019)必修第二册《41_指数与指数函数》2020年同步练习卷

人教B版（2019）必修第二册《4.1 指数与指数函数》2020年同步练习卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. （）4运算的结果是（）A.2B.−2C.±2D.不确定2. 下列各函数中，是指数函数的是（）)xA.y=(−3)xB.y=−3xC.y=3x−1D.y=(133. 函数y＝a x−x(a>0且a≠1)的图象可能是（）A. B.C. D.4. 函数f(x)=1的值域是（）3x+1A.(−∞, 1)B.(−∞, 1)∪(1, +∞)C.(0, 1)D.(1, +∞)5. 已知函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（）A.(−1, 5)B.(−1, 4)C.(0, 4)D.(4, 0))x的交点个数有（）6. 二次函数y＝−x2−4x(x>−2)与指数函数y=(12A.3个B.2个C.1个D.0个7. 若存在正数x 使2x (x −a)<1成立，则a 的取值范围是( )A.(−∞, +∞)B.(−2, +∞)C.(0, +∞)D.(−1, +∞)8. 化简√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a 3、b >0)的结果是（）A.b aB.abC.a bD.a 2b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

下列各组数既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（）A.和B.0−2和C.和 D.和下列各式中成立的是（）A.(n m)7＝n 7m 17 B.√(−3)412=√−33 C.√x 3+y 34=(x +y)34D.√√93=√33若函数(a >0，且a ≠1)是指数函数，则下列说法正确的是（） A.a ＝8B.f(0)＝−3C.D.a ＝4E.f(2)＝16若函数y ＝a x −(b +1)(a >0且a ≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有（）A.0<a <1B.a >1C.b >0D.b <0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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第8讲指数与指数函数
时间/ 30分钟分值/ 80分
基础热身
1.若3x=a,5x=b,则45x等于()
A. a2b
B. ab2
C. a2+b
D. a2+b2
2.函数f(x)=-
的大致图像是()
A B C D
图K8-1
3.[2017·南平模拟]已知a=-
,b=
-
,c=
-
,则a,b,c的大小关系是 ()
A. c<a的解集为.
能力提升
6.下列函数中,满足“f(x-y)=f(x)÷f(y)”的单调递减函数是()
A. f(x)=x3
B. f(x)=4x
C. f(x)=
D. f(x)=
7.[2017·福州模拟]已知实数a≠1,函数f(x)=
-
若f(1-a)=f(a-1),则a的值为()
A. B.
C. D.
8.[2017·安阳模拟]已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1),如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于()
A. 1
B. a
C. 2
D. a2
9.已知函数y=-在区间(-∞,3)上单调递增,则a的取值范围为()
A. (-∞,3]
B. (-∞,6]
C. [3,+∞)
D. [6,+∞)
10.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是()
A. (-1,2)
B. (1,2)
C. (1,+∞)
D. (2,+∞)
11.若f(x)=-
,g(x)=-
-
,则下列等式不正确的是 ()
A. f(2x)=2[g(x)]2+1
B. [f(x)]2-[g(x)]2=1
C. [f(x)]2+[g(x)]2=f(2x)
D. f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
12.已知函数f(x)=a2x-4+n(a>0且a≠1)的图像恒过定点P(m,2),则m+n= .
13.[2017·安徽江淮十校联考]已知max{a,b}表示a,b两数中的较大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.
14.设f(x)=则f-= .
难点突破
15.(5分)已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是
()
A. -2<a<4
B. -2<a<6
C. -6<a<2
D. -6<a<4
16.(5分)若函数f(x)=-
(a>0且a≠1)的值域是[2,+∞),则实数a的取值范围是.
课时作业(八) 1. A[解析] 45x=9x×5x=(3x)2×5x=a2b,故选A.
2. D[解析] 因为f(x)=-
=
-
-
结合图像可知选项D正确.
3. D[解析] 由指数函数y=的性质及-<-,可得a=-
>b=
-
>1.由指数函数y=的性质及
-<0,可得c=-
<1,所以c<b<a.故选D.
4.-[解析] 原式=--
---=--
-
=-.
5. {x|-1<x<4}[解析] 不等式->化为-
>,因为y=是减函数,所以
x2-2x<x+4,即x2-3x-4<0,解得-1<x<4.
6. D[解析] 验证可知,指数函数f(x)=4x,f(x)=满足f(x-y)=f(x)÷f(y),因为f(x)=4x是增函数,f(x)=
是减函数,所以选D.
7. B[解析] 当a<1时,41-a=21,所以a=;当a>1时,4a-1=22a-1,无解.故选B.
8. A[解析] 因为以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,所以x1+x2=0.又因为f(x)=a x,所以f(x1)·f(x2)=·==a0=1.
9. D[解析] 函数y=-是由函数y=2t和t=-x2+ax+1复合而成的.因为函数t=-x2+ax+1在区间-上单调递增,在区间上单调递减,且函数y=2t在R上单调递增,所以函数y=-在区间-上单调递增,在区间上单调递减.又因为函数y=-在区间(-∞,3)上单调递增,所以3≤,即a≥6.故选D.
10. A[解析] 原不等式变形为m2-m<,因为函数y=在(-∞,-1]上是减函数,所以≥-
=2,
当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2.故选A.
11. D[解析] f(2x)=-
,2[g(x)]2+1=2×-
-
+1=-,即f(2x)=2[g(x)]2+1,A中等式正
确;[f(x)]2-[g(x)]2=1,B中等式正确;[f(x)]2+[g(x)]2=-
=f(2x),C中等式正
确;f(x)f(y)-g(x)g(y)=-
×----×--=--=--,f(x+y)=--,显然不相等,所以D中
等式不正确.故选D.
12. 3[解析] 当2x-4=0,即x=2时,y=1+n,即函数图像恒过点(2,1+n),又函数图像恒过定点P(m,2),所以m=2,1+n=2,即m=2,n=1,所以m+n=3.
13. e[解析] f(x)=
-
当x≥1时,f(x)=e x≥e(当x=1时,取等号);
当x<1时,f(x)=e|x-2|=e2-x>e.因此f(x)的最小值为f(1)=e.
14. 2+2016[解析] f-=f-+2=f-+4=…=f+2016=+2016=2+2016.
15. B[解析] 因为y=2x,y=2-x在R上分别为增函数、减函数,所以f(x)=2x-2-x为增函数.因为
f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.因为f(x2-ax+a)+f(3)>0,所以f(x2-ax+a)>-f(3)=f(-3),得
x2-ax+a>-3,所以x2-ax+a+3>0恒成立,所以(-a)2-4×1×(a+3)<0,所以a2-4a-12<0,解得-2<a<6.
16. (1,][解析] 当x≤2时,f(x)≥=2,此时函数的值域为[2,+∞);当x>2且a>1时,f(x)>log a2,此时函数值域为(log a2,+∞),由(log a2,+∞)⊆[2,+∞),得log a2≥2,解得1<a≤;当x>2且0<a<1时,f(x)<log a2,不合题意.所以实数a的取值范围是(1,].。

2019届人教B版(文科数学) 指数与指数函数 单元测试

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