2015版高考数学二轮复习专题训练：解析几何
2015年高考数学(理)三轮专题质量检测：解析几何(含详解)
15．F是抛物线y2＝2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为__________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知：|AF|＋|BF|＝＋x1＋＋x2＝x1＋x2＋p＝6，
∵p＝1，∴x1＋x2＝5，
∵线段AB的中点的横坐标为＝，
答案：D
4．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1、F2，则满足△PF1F2的周长为6＋2的动点P的轨迹方程为()
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0)
解析：依题意得，|F1F2|＝2＝2，|PF1|＋|PF2|＝6＞|F1F2|，因此满足△PF1F2的周长为6＋2的动点P的轨迹是以点F1、F2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠0)，选C.
答案：B
3．若直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，则直线l与下列曲线一定有公共点的是()
A．y2＝xB.－y2＝1
C．(x－2)2＋y2＝4 D.＋y2＝1
解析：依题意得，圆心(0,0)到直线l的距离等于＝1，即直线l必是圆x2＋y2＝1的切线．对于A，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线y2＝x没有公共点；对于B，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线－y2＝1没有公共点；对于C，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线(x－2)2＋y2＝4没有公共点；对于D，由于圆x2＋y2＝1上的所有点均不在椭圆＋y2＝1外，因此圆x2＋y2＝1的切线与曲线＋y2＝1一定有公共点．综上所述，选D.
由于直线x＋3y＝n与椭圆E有公共点，所以Δ＝(6n)2－4×18×(n2－18)≥0，
解得－6≤n≤6，故·＝x＋3y－6的取值范围为[－12,0]．
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：平面解析几何 直线与圆锥曲线的综合应用(2)(含答案)
第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2)1. 以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为____________． 答案：x 2－y 23＝1 解析：椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)，则双曲线中a ＝1，c ＝2，b ＝c 2－a 2＝3，所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1. 2. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____________．答案：x 24－y 212＝1 解析：由题意知，双曲线的一个焦点为(4，0)，即a 2＋b 2＝16.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以有b a ＝3，即b ＝3a ，可解得a 2＝4，b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 3. 顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是____________． 答案：y 2＝－6x解析：由题可得，双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝32，则所求抛物线是顶点在原点、开口向左的抛物线且p 2＝32，即p ＝3，所以所求抛物线方程为y 2＝－6x. 4. 双曲线x 2－y 23＝1的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝________． 答案：2解析：渐近线的方程为3x ±y ＝0，圆心(0，4)到渐近线的距离等于r ，则r ＝|4|3＋1＝2.5. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是____________．答案：x 24＋y 23＝1 解析：圆C ：(x －1)2＋y 2＝16，∴2a ＝4，即a ＝2.∵e ＝c a ＝12.∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 6. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________．答案：[2，22]解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]．7. 直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________． 答案： 2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2， ∴ x ＝±63，∴ A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63，∴ AB ＝433.设点C(2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·|sin(θ－φ)|≤32，∴ S △ABC ＝12AB ·d ≤12×433×32＝ 2.8. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________个．答案：2 解析：由题意得4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部． 9. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1) 求椭圆的方程；(2) 直线y ＝33x ＋1与椭圆交于P 、N 两点，求|PN|. 解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，右焦点F 为(c ，0)，则|c ＋22|2＝3，解得c ＝ 2.又b ＝1，∴a ＝ 3.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2) 设直线与椭圆的交点为P(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝33x ＋1，x 23＋y 2＝1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2＝0.∴直线与椭圆的交点为P(0，1)、N(－3，0)，∴|PN|＝（3）2＋12＝2. 10. 已知圆C 的圆心为C(m ，0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A(3，1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点． (1) 求圆C 的标准方程；(2) 若点P 的坐标为(4，4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D 、B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1) 由已知可设圆C 的方程为(x －m)2＋y 2＝5(m ＜3)，将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m)2＋1＝5，即(3－m)2＝4，解得m ＝1，或m ＝5.∴ m ＜3，∴ m ＝1.∴ 圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5.。
2015届高考二轮复习 专题六 第1讲 直线与圆
答案 B
(2)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x
对称，直线 4x － 3y － 2 ＝ 0 与圆 C 相交于 A ， B 两点，且 x2＋(y－1)2＝10 |AB|＝6，则圆C的方程为________________. 解析 设所求圆的半径是 r，依题意得，抛物线 y2＝4x
的焦点坐标是(1,0)，
解决与圆有关的问题一般有两种方法： (1) 几何法，
系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
变式训练2
(1)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过点A(－1,0)的直线l
与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|＝2 3 ，则直线l的
方程为( )
A.x＝－1或4x＋3y－4＝0
B.x＝－1或4x－3y＋4＝0 C.x＝1或4x－3y＋4＝0 D.x＝1或4x＋3y－4＝0
所以 x2＋y－32＝2 x2＋y2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则2－1≤|CD|≤2＋1，
即 1≤ a2＋2a－32≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 12 2 由 5a －12a≤0，得 0≤a≤ . 5
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜
率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线). (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率
为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).
y－y1 x－x1 (3)两点式： ＝ (直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， y2－y1 x2－x1 且 x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线). x y (4)截距式： ＋ ＝1(a、 b 分别为直线的横、 纵截距， 且 a≠0， a b
2015高考数学第二轮复习专题讲解 解析几何 (含试题及答案)
2
）
D．与 P 点位置有关 解： A 记 △P F 1 F 2 的内切圆圆心为 C ，边 P F 1 、 P F 2 、 、 D ，易见点 C 、 D 的横坐标相等，如图，
c
F1 F2
上的切点分别为
M
、
N
可得 |P M | = |P N | ，|F 1 M | = |F 1 D| ，|F 2 N | = |F 2 D| ． 由 |P F 1 | − |P F 2 | = 2a ，即
|P M | + |M F 1 | − (|P N | + |N F 2 |) = 2a,
得 |M F 1 | − |N F 2 | = 2a ，即 记点 C 的横坐标为 x 0 ，则 练习 1. 已知椭圆 C
x : 9
2
|F 1 D| − |F 2 D| = 2a D (x 0 , 0)
． ，得
圆锥曲线定义挖掘 描述 锥曲线问题可以从曲线的几何性质和代数计算两个角度考虑，圆锥曲线的几何性质中首先需 圆 要关注的是圆锥曲线的定义． 对椭圆来说，是椭圆上任意一点到两个焦点的距离和为定值；对 双曲线来说，是双曲线上任意一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为定值；对抛物线 来说是，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离． 本小节主要关注如何利用这些定义去解决圆锥曲线的一些选择填空题． 一般来说，涉及到与焦 点相关的问题或与准线（抛物线）相关问题，优先考虑定义，避免直接代数计算． 而一般圆锥 曲线的解答题或是小题与焦点、准线无关时，才会考虑去做代数计算． 已知
易知线段 M F 的中点在抛物线内，且线段 M F 的垂直平分线斜率存在且不为零，故其与抛 物线有两个交点，从而满足条件的圆共有 2 个． 设双曲线
二轮专题复习第7讲解析几何(学生版)
2023年高考数学二轮复习专题解析几何1.直线的倾斜角与斜率的关系（1）倾斜角α的取值范围： .倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k ＝ ，当倾斜角为=α90°的直线斜率 ．当∈α 时，k >0且k 随倾斜角α的增大而增大．当∈α 时时，k <0且k 随倾斜角α的增大而增大．（1）两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离：|P 1P 2|＝ . （2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ . 二．圆的方程 1.圆的方程形式：（1）标准方程： ，圆心坐标为 ，半径为 .（2）一般方程： ( )，圆心坐标为 ，半径r ＝ . 2.点与圆的位置关系（1）几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．（2）代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．3.直线与圆的位置关系直线l ：Ax＋By ＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.位置关系几何法：根据d＝与r的大小关系代数法：联立消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0 4.圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>无解外切d＝一组实数解相交<d<两组不同实数解内切d＝(r1≠r2)一组实数解内含≤d<(r1≠r2)无解三．椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫．||P F1|＋|P F2|＝2a(2a>|F1F2|=2c)在平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(0＜2a＜2c)，则点P的轨迹叫．||P F1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)在平面内定点F和定直线l，（点F直线l上），P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上焦点在x轴上焦点在x轴正半轴上图象几何性质范围|x|≤，|y|≤|x|≥，y∈R x≥，y∈R 顶点，对称性关于、和对称关于对称例1：(1)经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝(2)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是 (3)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(4)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．【变式训练1】(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．(2)直线l 过点M (－1,2)且与以点P (－2，－3)、Q (4,0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率范围是（3）△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： ①BC 所在直线的方程；②BC 边上中线AD 所在直线的方程；③BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．考向2：两条直线的位置关系及距离公式例2：（1）若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为（2）已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝ (3)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．(4)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【变式训练2】 (1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的 条件。
2015届高考数学(理·湖北)二轮专题复习课件【4】解析几何
【问题引领】 1. 已知椭圆的中心在原点, 离心率 e= , 且它的一个焦点与抛
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物线 y2=- 4x 的焦点重合, 则此椭圆方程为( A . + =1 C . +y =1 D . +y2= 1
2
) .
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【答案】 C
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| ������������| ������
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
3. 设点 F 1, F 2 是双曲线 x - = 1 的两个焦点, 点 P 是双曲
2
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������������
P F 1F 2 为直角三角形, 所以△P F 1F 2 的面积 S= ³6³8= 24. ������
【答案】C
������
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
4. 已知椭圆 ������+ ������ = 1( a>b>0) , M 、N 分别是椭圆的左、右
������ ������
������������ ������������
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
义求解, 变量问题要尽量减少变量, 最值问题要联系均 值不等式, 函数的方法或数形结合找到特殊位置. 解题过程 中数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、函数与 方程思想都会得以体现 . 在复习中多掌握运算技巧, 有利于 提高解题的速度和准确率.
热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)
高考数学二轮复习 解答题题型练习6 解析几何中的探索性问题
题型六 解析几何中的探索性问题(推荐时间：30分钟)1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2为正三角形，且以AF 2为直径的圆与直线y ＝3x ＋2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答 案1．解 (1)∵△AF 1F 2是正三角形，∴a ＝2c .由已知F 2(c,0)，A (0，b )，∴以AF 2为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，12b ，半径r ＝12a . 又该圆与直线3x －y ＋2＝0相切，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －b 2＋22＝a 2. 由a ＝2c ，得b ＝3c ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －32c ＋22＝a 2. 得a ＝2，∴c ＝1，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 2(1,0)，l ：y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由菱形对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，∴(x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，得k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，得k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件k ≠0，且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4. ∵3k 2>0，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 2．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4， 解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．。
高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题课件理
切入点：(1)直接套用斜率公式，并借助－12＜x＜32求其范围； (2)先分别计算|PA|、|PQ|的长，再建立|PA|·|PQ|的函数，进而借 助导数求其最值．
[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12， 因为－12<x<32， 所以－1＜x－12＜1， 即直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(与向量交汇直线过定点问题)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动 点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2 P→N ＝ 3 M→N ，动点P的轨迹 为E.
(1)求E的方程； (2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两 点(A，B不是左、右顶点)，且满足| D→A ＋ D→B |＝| D→A － D→B |，求证：直 线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
第二部分 讲练篇
专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的综合问题
研考题 举题固法
求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考) 考向1 构造不等式求最值或范围
[高考解读] 以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与 方程，均值不等式、导数于一体，重在考查学生的数学建模、数学 运算能力和逻辑推理及等价转化能力.
[解](1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)， ∵2P→N＝ 3M→N，∴2(x0－x，－y)＝ 3(0，－y0)， 即x0＝x，y0＝ 23y， 又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4， 将x0＝x，y0＝ 23y代入得x42＋y32＝1， 即轨迹E的方程为x42＋y32＝1.
设C(p，q)，由2qpp＝＋q21，－2＝0
得p＝q＝2，所以C(2,2)．
高考数学二模专题试题2015年高三二模汇编——解析几何
2015年高三二模汇编——解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ． 【答案】0323=--y x ；2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，则点M 到x 轴的距离等于 ． 【答案】332； 3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．【答案】()4122=+-y x ；4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．【答案】4；5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．【答案】4或5；6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________. 【答案】67. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B角形，则双曲线的实轴长为__________.18. （2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.【答案】39．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．【答案】7(2)3(3)0 7(1)3(4)0x y x y ++-=-++=也可以是；22246510第6题y xA O FB10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】3y x =?；11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ． 【答案】1；12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 【答案】210x y -+=；13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b+=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .【答案】2；14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O e ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围为 ． 【答案】2,2⎡⎤-⎣⎦；15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 ． 【答案】116．（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-u u u r u u u r OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 ．【答案】22182x y +=；17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-r，则此直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】6π18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原ABDyCNMO是 ． 【答案】2π 19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 【答案】b a -20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分【答案】D2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点， F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ， 则222123S S S ++的值为（ ）A.3B.4C.6D.9【答案】A3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或2 【答案】C4．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；x y 2±=x y 2±=x y 22±=x y 21±=βαP BADC4（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a 所以椭圆方程为1222=+y x （2）根据题意得直线方程为1:-=x y l解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222x y y x 得Q P ,坐标为)31,34(),1,0(-计算324=PQ 点O 到直线PQ 的距离为22 所以，32=∆OPQ S（3）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x 由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k 222212221212,214kk x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x y m x -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ=计算得421x x m += 即2221214k k x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ． （1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分) 【答案】（1）()22123,1222443y y x y k k x x x =⋅=-∴+=≠±+-Q 5分 （2）设双曲线方程为()222103y x b b -=> 6分 ()00,Q x y 在双曲线上，所以()22002103y x b b-=>20342200033y k k x b -===Q 8分 2330,024b b∴-+≥∴<< 9分330,024b b-+≥∴<≤ 10分焦距是 12分∴ 14分3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . 所以2PF PQ =，从而1211122,PF PF PF PQ FQ F F +=+==>= 所以，动点P 的轨迹C 是以点12F F 、为焦点的椭圆 设椭圆的方程为12222=+bya x ，则22,222==c a ，1222=-=c ab ， 故动点P 的轨迹C 的方程为 2212x y += ……5分（2）设1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)a b a b >><<，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r，则121222,20a a b b +=-+= ② 由①、② 解得112215,,,2448a b a b ===-=-……8分 所以直线MN 的斜率MNk 2121b b a a -==- . ……10分（3）设直线l 的方程为1,3y kx =-则由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得229(21)12160,k x kx +--= 由题意知，点1(0,)3S -在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、 22(,)B x y ，则121222416,.3(21)9(21)k x x x x k k +==-++ ……12分6假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=-u u r u u r因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-=u u r u u r即1212()()0()x x y m y m +--=*……14分 因为112211,,33y kx y kx =-=-故()*可化为2121212221212()121(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++++-++-=+由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=u u r u u r 恒成立，故2210,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 1m =. 因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). …… 16分4.（2015黄浦二模理23）已知点()1F、)2F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=u u u r u u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．Q GH 是直径，∴NH NG =-u u u u r u u u r ．又||=1NG u u u r，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r∴22200||(3)(0)MN x y =-+-u u u u r ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤u u u u r u u u u r u u u r ，0． ∴MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤u u u u r u u u u r．(另解21||25MN ≤≤u u u u r ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可． 设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则 2222(cos(),sin())(sin ,cos )22B r r r r ππθθθθ++=-． 利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩因此，22121134r r +=． 所以，243d =，即d为定值3．所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=． 5.（2015黄浦二模文23）已知点12(F F 、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF u u u r u u u u r．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．Q GH 是直径，∴NH NG =-u u u u r u u u r ．又||=1NG u u u r，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r∴22200||(3)(0)MN x y =-+-u u u u r ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤u u u u r u u u u r u u u r ，0．∴MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤u u u u r u u u u r．8(另解21||25MN ≤≤u u u u r ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 设原点到直线AB 的距离为d ，且A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点．01若点A 在坐标轴上，则点B 也在坐标轴上，有11||||||22OA OB AB d =⋅，即22233d a b==+．02若点(,)A A A x y 不在坐标轴上，可设1:,:OA y kx OB y x k==-．由221,42.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 得222224,124.12A Ax k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设点(,)B B B x y ，同理可得，222224,24.2B B k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩于是，221||212k OA k +=+，221||22k OB k +=+，2222223(1)||(2)(12)k AB OA OB k k +=+=++ ． 利用11||||||22OA OB AB d =⋅，得23d =． 综合0012和可知，总有23d =，即原点O 到直线AB 的距离为定值233．(方法二：根据曲线C 关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA OB ⊥，求出A B 、的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =u u u u r u u u r ，0OA OM ⋅=u u u r u u u u r．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+ 22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分 或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．……………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分 （方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，，因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分107.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =u u u u r u u u r ，0OA OM ⋅=u u u r u u u u r．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，……………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．…………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即k k ==又0k >，所以直线AB方程为y =或y =………………………………… 16分8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=u u u r u u u r． （1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………6分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r12当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r；………………………8分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--u u u r u u u r21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分（3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k =⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t ≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ………………14分 Q 92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=u u u r u u u r． （1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标； （3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标． 【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）由条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，知道1MA MB k k =-,Q (0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -．………………………10分（3）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………12分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………14分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………16分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……12分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r；………………………14分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--=14122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--u u u r u u u r21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………16分10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=u u u r u u u r 、2EB BD λ=u u u r u u u r．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分 因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程12222=-by a x 得到:()()0222222222=-++-b a t mty b y a m b()22222221222221,2a m b b a t y y a m b mtb y y ---=--=+, 2221211a t mty y --=+ （1） 而由AD EA 1λ=、2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ （2） 22212ba =+λλ （3）……………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：2222222ba a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者at a -=1λ，a t a +-=2λ，都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=u u u r u u u r 、2EB BD λ=u u u r u u u r．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； （2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标． 【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分16因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）直线l 的方程为t my x +=，代入方程1322=-y x 得到:()()0323222=-++-t mty y m .2（2）设,M a ka （），则(,)OM a ka =，(2,1),PM a ka =-- 6分由PM OM ⊥得0OM PM =u u u u r u u u u rg ,即(2)(1)0a a ka ka -+-=， 7分解得0a =（舍去），221ka k+=+，所以22222(,)11k k k M k k ++++ 8分S RP QDCBAO 22222001232211122111k k k k k kk k +-=+++++，2(21)(2)16215OPM k k S k -+==+V g 9分 ①若12k ≥，则2(21)(2)1215k k k -+=+，化简得2215220k k -+=，解得2k =或112k = 10分②若102k <<，则2(12)(2)1215k k k -+=+，化简得2221520k k ++=，解得12k =-或211k =-，均不合题意.综上①②可得，k 的值为2或112. 11分（3）设(,)(,)(,)(0,0)T x y M a ka N b kb a b ->>、、，根据题意可知：OM =ON =22sin 1kMON k ∠=+ 12分 11sin 2MON S OM ON MON k=∠=V g ，即21ab k =（*） 13分(),22a b k a b x y +-==，故22x a by a b k=+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 14分变形得222444y x ab k -=（*） 将（*）带入（**）得，22221y x k k-=，即2221(0)k x y x -=> 15分故点T 的轨迹为双曲线2221k x y -=的右支. 16分12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）【答案】解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =<由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±()()20,20A B ---()28AB cm =≈ 答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQ l y k x k +=-<…..7’(()2220101002010y k x x kx x y ⎧+=-⎪⇒+-=⎨=-⎪⎩则()210040020k k ∆=+=⇒=-:20RQ l y =-+…………..10’18得()(),40Q R-OQ MR RQ ⇒===梯形周长为(()2141cm =≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ……..14’13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=u u u u r u u u u r ，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-u u u u r u u u r u u u r，求N 点坐标.【答案】解：（1）证明：),(),,(,2:),0,2(2211y x Q y x P pmy x l p F PQ +=设； ,0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==∴p pmy y p my x pxypmy p my p x p x FQ FP +++=+++=+∴212111212111 pm p m p p y y mp y y m p y y m 2)1()1(2)(2)(22222121221=++=+++++= 6分（2）),(),,(,:),0)(0,(2211y x Q y x P a my x l a a M PQ +=>设；,022222=--⇒⎩⎨⎧+==∴pa pmy y a my x px y pa y y pm y y 2,22121-=⋅=+∴ 22222221************222212122221212122)1(1)(2)(11)11(11)(1)(1)(1)(111a m pa m p p y y y y y y m y y m y my y my y a x y a x MQ MP ⋅++⋅=⋅⋅-++=++=+++=+-++-=+∴2211MQ MP +Θ为定值 当a pp MQ MP m ⋅=+=2221110时， 当2222221111a pap p MQ MP m +⋅=+=时， 由p a a pap p a p p =+⋅=⋅得2222211 取)0,(p M 代入验证，则221212,2p y y pm y y -=⋅=+∴222222221)1()1(111p p m m p p MQ MP =⋅++⋅=+∴为定值，得证。
2015届高三数学二轮复习(新课标)-解析几何综合题
一、解析几何综合题1．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．【解】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得， |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得， |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.2．(2014·全国大纲高考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．【解】 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p.所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，x 1y 2＝－4.故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m )，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1) 2m 2＋1m 2.由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m 2＋2)2＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 3．(2014·浙江温州适应性测试)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y 在点A ，B 处的切线垂直相交于点P ，直线AB 与椭圆C 2：x 24＋y 22＝1相交于C ，D 两点． (1)求抛物线C 1的焦点F 与椭圆C 2的左焦点F 1的距离；(2)设点P 到直线AB 的距离为d ，试问：是否存在直线AB ，使得|AB |，d ，|CD |成等比数列？若存在，求直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．【解】 (1)抛物线C 1的焦点F (0,1)， 椭圆C 2的左焦点F 1(－2，0)， 则|FF 1|＝ 3.(2)设直线AB ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0， 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m .由x 2＝4y ，得y ′＝x2，故切线P A ，PB 的斜率分别为k P A ＝x 12，k PB ＝x 22，再由P A ⊥PB ，得k P A k PB ＝－1， 即x 12·x 22＝x 1x 24＝－4m 4＝－m ＝－1， 故m ＝1，这说明直线AB 过抛物线C 1的焦点F .由⎩⎨⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224，得x ＝x 1＋x 22＝2k ，y ＝x 12·2k －x 214＝kx 1－x 214＝x 1＋x 24·x 1－x 214＝x 1x 24＝－1，即P (2k ，－1)．于是点P (2k ，－1)到直线AB ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0， 从而|CD |＝1＋k 2(4k )2－4(1＋2k 2)·(－2)1＋2k 2＝1＋k 28(1＋4k 2)1＋2k 2，同理，|AB |＝4(1＋k 2)若|AB |，d ，|CD |成等比数列，则d 2＝|AB |·|CD |，即(21＋k 2)2＝4(1＋k 2)·1＋k 28(1＋4k 2)1＋2k 2，化简整理，得28k 4＋36k 2＋7＝0，此方程无实根， 所以不存在直线AB ，使得|AB |，d ，|CD |成等比数列．4．(2014·江西南昌一模)已知点P ⎝⎛⎭⎫1，－32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，过椭圆C 的右焦点F 2(1,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN ∥AB ，W ＝|AB |2|MN |.试判断W 是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W 不是定值，请说明理由．【解】 (1)椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)，∴c ＝1，椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)，可得2a ＝(1＋1)2＋⎝⎛⎭⎫－322＋(1－1)2＋⎝⎛⎭⎫－322 ＝52＋32＝4，解得a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线斜率不存在时，|AB |2＝(2b )2＝4b 2，|MN |＝2b 2a ，∴W ＝|AB |2|MN |＝4b 22b 2a＝2a ＝4.②当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －1)，得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2.设直线AB 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx，消去y ，并整理得：x 2＝123＋4k 2，设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴W ＝|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(1＋k 2)3＋4k 2＝4.综上所述，W 为定值4.。
【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题训练：专题5 解析几何 卷]
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专题五 解 析 几 何第一讲 直线与圆(选择、填空题型)一、选择题 1．(2014·保定模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－22．(2014·黄冈期末)直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A ．－33或 3 B ．－33或33 C.3或－3 D ．－3或333．(2014·长春调研)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1且n <1B ．mn <0C ．m >0且n <0D ．m <0且n <04．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0 5．(2014·安徽模拟)直线x －y ＋1＝0被圆x 2＋y 2＋2my ＝0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m ＝( )A.6－2B.6＋2 C ．1 D.6 6．(2014·昆明三中、玉溪一中联考)已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 7．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切， 且与直线ax －y ＋1＝0垂直， 则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.128．(2014·沈阳模拟)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2 9．(2014·烟台二模)已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若以直线y ＝kx －2上任意一点为圆心，以1为半径的圆与圆C 没有公共点，则k 的整数值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．210．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y ≤2}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是( )A ．[0， 3 ]B ．[－3，0]C ．[－3， 3 ]D ．[－3，＋∞) 二、填空题 11．(2014·太原模拟)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．12．(2014·天津一模)已知圆C 过点(0,1)，且圆心在x 轴负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________________．13．(2014·唐山模拟)若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是________．14．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN＝45°，则x 0的取值范围是________．15．(2014·长春调研)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆C 所作的切线长的最小值是________．16．(2014·浙江联考)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为___________________________．答案一、选择题1．解析：选D 直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即⎝⎛⎭⎫－a 2·(－1)＝－1，所以a ＝－2，所以选D.2．解析：选A 由圆x 2＋y 2－2x －2＝0可得标准方程为(x －1)2＋y 2＝3，知圆心为(1,0)，半径为3，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d ＝|3－0＋m |2＝3，解得m ＝3或m ＝－3 3.故选A.3．解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0，故选B.4．解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.5．解析：选B 圆的方程即x 2＋(y ＋m )2＝m 2，圆心(0，－m )到已知直线的距离d ＝|m ＋1|2＝3|m |2，解得m ＝2＋ 6.6．解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，解得x ＝4，y ＝2，则A (4,8)，B (－4,2)，所以|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10.故选B.7．解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.8．解析：选A 由题意得，圆心坐标是(0,1)，则有b ＋c ＝1.4b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4cb ＋bc≥5＋2 4c b ·bc＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1，4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c的最小值为9.故选A.9．解析：选A 由题意得，圆C 的圆心坐标为(1,0)，设另一圆的圆心坐标为C 1(a ，ka －2)(a ∈R )，则|CC 1|>2，即(a －1)2＋(ka －2)2>2.所以(k 2＋1)a 2－(4k ＋2)a ＋1>0，又a ∈R ，所以Δ＝(4k ＋2)2－4(k 2＋1)<0，解得－43<k <0，又k 为整数，所以k ＝－1，故选A.10．解析：选C 集合A 表示的点集是单位圆上的点，集合B 表示的是二元一次不等式kx －y ≤2所表示的平面区域，其边界直线是kx －y ＝2，该直线必过定点(0，－2)，所以要使A ⊆B ，则圆与直线必须相切或相离，故2k 2＋1≥1，解得－3≤k ≤3，故选C.二、填空题11．解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心的坐标是(1,1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3.答案：312．解析：设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， ① ∵圆心在x 轴负半轴上，∴a <0. ∵圆C 过点(0,1)，∴a 2＋1＝r 2. ② 又∵圆C 被直线l 截得的弦长为22，∴(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＝r 2， ③由①②③解得a ＝－1，r ＝ 2.故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝213．解析：由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4.答案：(4，＋∞) 14．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]15．解析：由圆C 的方程可知其圆心坐标为(－1,2)，代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0，即点(a ，b )在直线l ：－x ＋y ＋3＝0上，过C (－1,2)作l 的垂线，设垂足为D ，过D作圆C 的切线，设切点为E ，则切线长DE 最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，由勾股定理得|DE |＝4.答案：416．解析：如图，A 为PB 的中点，而C 为AB 的中点，因此，C 为PB 的四等分点．而C (3,5)，P 点的横坐标为0，因此，A ，B 的横坐标分别为2、4，将A 的横坐标代入圆的方程中，可得A (2，3)或A (2,7)，根据直线的两点式得到直线l 的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0.答案：2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型)一、选择题 1．(2014·辽宁高考)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．(2014·洛阳模拟)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D.x 25＋y220＝1 3．(2014·广东高考)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线 x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等4．(2014·银川模拟)已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.32或52B.32C. 5D.32或55．(2014·江西高考)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于一点A .若以 C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过 A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝16．已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋147．(2014·昆明模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x8．(2014·衡水二调)已知等边△ABF 的顶点F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上且AB ⊥l ，则点A 的位置( )A ．在C 1开口内B ．在C 1上 C ．在C 1开口外D ．与p 值有关9．(2014·厦门模拟)双曲线x 2－y 28＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，则以线段AF 为直径的圆被其中一条渐近线截得的弦长为( )A.23B.43C.273D.47310．(2014·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.226B.426C.213D.413二、填空题11．(2014·四川高考)双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于________．12．(2014·北京高考)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________________．13．(2014·大庆模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相切，则p 的值为________．14． (2014·兰州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________________________．15．设点A 1，A 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A 1，A 2的点P ，使得PO ⊥P A 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．16．(2014·洛阳模拟)设e 1，e 2分别是具有公共焦点F 1，F 2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，O 是F 1F 2的中点，且满足|PO |＝|OF 2|，则e 1e 2e 21＋e 22＝________.答案一、选择题1．解析：选C 因为点A 在抛物线C 的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34，选C.2．解析：选C 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋22b 2＝1，a 2－b 2＝15，解得a 2＝20，b 2＝5，所求椭圆方程为x 220＋y 25＝1.故选C.3．解析：选D 由0<k <5，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由于16＋5－k ＝16－k ＋5，所以两曲线的焦距相等．选D.4．解析：选D 由题意知，m 2＝2×8，∴m ＝±4，当m ＝4时，圆锥曲线为椭圆，其离心率e ＝c a ＝32；当m ＝－4时，圆锥曲线为双曲线，其离心率e ＝5，综上选D.5．解析：选A 设双曲线的右焦点为F ，则F (c,0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝bax ，得y ＝b ，则A (a ，b )．由|F A |＝r ＝4，得(4－a )2＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.6．解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12.7．解析：选B 依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，选B.8．解析：选B 设B ⎝⎛⎭⎫－p 2，m ，由已知有AB 中点的横坐标为p2，则A ⎝⎛⎭⎫3p 2，m ，△ABF 是边长|AB |＝2p 的等边三角形，即|AF |＝⎝⎛⎭⎫3p 2－p 22＋m 2＝2p ，∴p 2＋m 2＝4p 2，∴m ＝±3p ，∴A ⎝⎛⎭⎫3p2，±3p ，代入y 2＝2px 中，得点A 在抛物线上，故选B. 9．解析：选D 双曲线x 2－y 28＝1的左顶点A (－1,0)，右焦点F (3,0)，所以以线段AF 为直径的圆的圆心D (1,0)，半径为2，则圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，所以圆心D 到渐近线的距离为223，所以所截得的弦长为222－⎝⎛⎭⎫2232＝473.故选D.10．解析：选B 以A ，B 为焦点的椭圆C 过直线l ：y ＝x ＋3上的点P ，若长轴最短即a 最小，则|P A |＋|PB |＝2a 最小，如图作点B 关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点B ′，则|P A |＋|PB |＝|P A |＋|PB ′|＝|AB ′|，经计算得点B ′(－3,5)，|AB ′|＝26，∴a 的最小值为262，∵c ＝2，∴离心率的最大值为426，故选B.二、填空题11．解析：由双曲线的方程易得a ＝2，b ＝1，c ＝5，故离心率e ＝c a ＝52.答案：5212．解析：根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，所以a ＝1，c ＝2，于是b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为x 2－y 2＝1.答案：x 2－y 2＝113．解析：将x 2＋y 2－2x －3＝0化为(x －1)2＋y 2＝4.可知圆心坐标为(1,0)，半径为2，又抛物线准线与圆相切，所以－p2＝－1，解得p ＝2.答案：214.解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .答案：y 2＝3x15．解析：由题设知∠OP A 2＝90°，设P (x ，y )(x ＞0)，以OA 2为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝a 24，与椭圆方程联立，得⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2·x 2－ax ＋b 2＝0.易知，此方程有一实根为a ，且由题设知，此方程在区间(0，a )上还有一实根，由此得0＜b 2a ⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＜a ，化简得0＜a 2－c 2c 2＜1，即0＜1－e 2e 2＜1，得12<e 2<1，所以e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎫22，116．解析：由|PO |＝|OF 2|＝|OF 1|可知，△PF 1F 2为直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. 又⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 椭，||PF 1|－|PF 2||＝2a 双， 即⎩⎪⎨⎪⎧(|PF 1|＋|PF 2|)2＝4a 2椭，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2双， ⎩⎪⎨⎪⎧4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2椭， ①4c 2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2双， ② ①＋②得a 2椭＋a 2双＝2c 2.又e 1＝c a 椭，e 2＝c a 双，所以e 1e 2e 21＋e 22＝c 2a 椭·a 双c 2a 2椭＋c 2a 2双＝c a 2椭＋a 2双＝c 2c 2＝22. 答案：22第三讲 高考中的圆锥曲线(解答题型)第1课时 圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题1．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．2．(2014·海淀模拟)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：x 2＋2y 2＝4上两点，点M 的坐标为(1,0)．(1)当A ，B 关于点M (1,0)对称时，求证：x 1＝x 2＝1；(2)当直线AB 经过点(0,3)时，求证：△MAB 不可能为等边三角形．3．(2014·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且椭圆C 上一点与两个焦点F 1，F 2构成的三角形的周长为22＋2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设的取值范围．4． (2014·重庆高考)如图，设椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．答案1．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得， |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.2．解：(1)因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋2y 21＝4，①x 22＋2y 22＝4.②因为A ，B 关于点M (1,0)对称， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝0，将x 2＝2－x 1，y 2＝－y 1代入②得(2－x 1)2＋2y 21＝4，③ 由①和③消去y 1解得x 1＝1， 所以x 1＝x 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，A (0，2)，B (0，－2)，可得|AB |＝22，|MA |＝3，△MAB 不是等边三角形．当直线AB 的斜率存在时，显然斜率不为0.设直线AB ：y ＝kx ＋3，AB 的中点为N (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝kx ＋3，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋14＝0，Δ＝144k 2－4×14(1＋2k 2)＝32k 2－56.由Δ>0，得到k 2>74，①又x 1＋x 2＝－12k 1＋2k 2，x 1·x 2＝141＋2k 2， 所以x 0＝－6k 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋3＝31＋2k 2， 所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋2k 2，31＋2k 2， 假设△MAB 为等边三角形，则有MN ⊥AB ， 又因为M (1,0)，所以k MN ×k ＝－1，即31＋2k 2－6k1＋2k 2－1×k ＝－1，化简得2k 2＋3k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－12，这与①式矛盾，所以假设不成立．因此对于任意k ，不能使得MN ⊥AB ，故△MAB 不可能为等边三角形．3．解：(1)由题意知：c a ＝22，且2a ＋2c ＝22＋2，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为 x 22＋y 2＝1.(2)由题意易得直线l 的斜率存在，右焦点F 2(1,0)，可设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)， x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2，由得y 1＝λy 2，∵⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k 2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－k21＋2k2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)y 2＝－2k 1＋2k 2，λy 22＝－k21＋2k 2，∴λ＋1λ＋2＝－41＋2k 2，令u (λ)＝λ＋1λ，λ∈[－2，－1)，u ′(λ)＝1－1λ2>0，∴u (λ)在[－2，－1)上单调递增，可得－52≤λ＋1λ<－2， ∴－12≤λ＋1λ＋2<0，故－12≤－41＋2k 2<0，解得k 2≥72，＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2＝2k 2－21＋2k 2＋4k 21＋2k 2＋1＋－k 21＋2k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2)，∵k 2≥72， ∴0<92(1＋2k 2)≤916， ∴4716≤72－92(1＋2k 2)<72， 即的取值范围是⎣⎡⎭⎫4716，72.4.解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 由DF 1⊥F 1F 2，得S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为 x 22＋y 2＝1.(2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知x 2＝－x 1，y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0. 解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝ ⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝423.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.第2课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题1．(2014·洛阳模拟)已知圆心为F 1的圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝32，F 2(2,0)，C 是圆F 1上的动点，F 2C 的垂直平分线交F 1C 于M .(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交M 的轨迹于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1, k 2，证明：k 1＋k 2为定值．2．(2014·贵阳模拟)已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的长轴、短轴、焦距分别为A 1A 2、B 1B 2、F 1F 2，且|F 1F 2|2是|A 1A 2|2与|B 1B 2|2的等差中项．(1)求椭圆C 1的方程；(2)若曲线C 2的方程为(x －t )2＋y 2＝(t 2＋3t )20<t ≤22，过椭圆C 1左顶点的直线l 与曲线C 2相切，求直线l 被椭圆C 1截得的线段长的最小值．3．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .(1)若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点T ，并求出点T 的坐标；(2)当直线PQ 过定点T 时，是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数；若不存在，请说明理由．4．(2014·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．答案1．解：(1)由线段的垂直平分线的性质得|MF 2|＝|MC |.又|F 1C |＝42，∴|MF 1|＋|MC |＝42，∴|MF 2|＋|MF 1|＝42>4. ∴M 点的轨迹是以F 1，F 2为焦点，以42为长轴长的椭圆． 由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)×4k (k －2)2k 2－8k＝4.当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4.综上，恒有k 1＋k 2＝4.2．解：(1)由题意得|B 1B 2|＝2b ＝2，|A 1A 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，a 2－b 2＝c 2，又2×(2c )2＝(2a )2＋22，解得a 2＝3，c 2＝2，故椭圆C 1的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)可取椭圆的左顶点坐标为A 1(－3，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)．由直线l 与曲线C 2相切得|k (t ＋3)|k 2＋1＝(t ＋3)t ，整理得|k |k 2＋1＝t . 又因为0<t ≤22，所以0<|k |k 2＋1≤22，解得0<k 2≤1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝k (x ＋3)，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋63k 2x ＋9k 2－3＝0.直线l 被椭圆C 1截得的线段一端点为A 1(－3，0)，设另一端点为B ，解方程可得点B 的坐标为－33k 2＋33k 2＋1，23k 3k 2＋1，所以|A 1B |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33k 2＋33k 2＋1＋32＋12k 2(3k 2＋1)2＝2 3 k 2＋13k 2＋1.令m ＝k 2＋1(1<m ≤2)，则|A 1B |＝23m 3(m 2－1)＋1＝233m －2m.由函数y ＝3m －2m 的性质知y ＝3m －2m 在区间(1， 2 ]上是增函数，所以当m ＝2时，y ＝3m －2m 取得最大值22，从而|A 1B |min ＝62.3.解：(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋n ，消去x 整理，得y 2－4my －4n ＝0.所以Δ＝(－4m )2－4(－4n )＝16(m 2＋n )>0，且y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .因为AP ⊥AQ ，所以＝0， 即(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，又x 1＝y 214，x 2＝y 224，代入整理得(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0， 解得(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0或y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0，将y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n 代入整理得n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，因为Δ>0恒成立，所以n ＝2m ＋5.于是直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)，故直线PQ 过定点T (5，－2)． (2)假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ . 设直线PQ 的方程为x ＝ky ＋b ，显然k ≠0，因为直线过定点T (5，－2)，所以5＝k ×(－2)＋b ，即b ＝2k ＋5，所以直线PQ 的方程为x ＝ky ＋2k ＋5.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ky ＋2k ＋5，消去x 整理，得y 2－4ky －8k －20＝0，则y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－8k －20.因为PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42，y 3＋y 42，即y 23＋y 248，y 3＋y 42， 且y 23＋y 248＝(y 3＋y 4)2－2y 3y 48＝2k 2＋2k ＋5，所以PQ 的中点坐标为(2k 2＋2k ＋5,2k )．由已知，得2k －22k 2＋2k ＋5－1＝－k ，即k 3＋k 2＋3k －1＝0.设g (k )＝k 3＋k 2＋3k －1，则g ′(k )＝3k 2＋2k ＋3>0， 所以g (k )在R 上是增函数． 又g (0)＝－1<0，g (1)＝4>0， 所以g (k )在(0,1)内有一个零点，即函数g (k )在R 上有且只有一个零点，所以方程k 3＋k 2＋3k －1＝0在R 上有唯一实根， 于是满足条件的等腰三角形有且只有一个．4．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a5，因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2.由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)．令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)．可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98， 所以△OMN 面积的最大值为98.。
高三数学(理)二轮复习：题型精讲第三讲解答题的解法解析几何.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作解析几何(见学生用书P132)1．突出解析几何的基本思想：解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一．求曲线的方程的常用方法有两类：一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等)，常用待定系数法求方程．另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：(1)直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式．(2)代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标(x，y)表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程．(3)参数法：通过一个(或多个)中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程．2．熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识(1)直线和圆①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向．需要注意的是：(i)倾斜角α的范围是：0≤α<π；(ii)所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率．②直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条件下灵活使用．如截距式不能表示平行于x轴，y 轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况．③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点到圆心的距离、圆心到直线的距离或两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特征较为简捷、实用．(2)椭圆①完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用．椭圆是平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点的轨迹．②椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴．焦点是F(±c，0)时，标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)；焦点是F(0，±c)时，标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．这里隐含a2＝b2＋c2，此关系体现在直角三角形OFB(B为短轴端点)中．③深刻理解a，b，c，e，ca的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质．(3)双曲线①类比椭圆，双曲线定义，两种标准方程形式．同样要重视定义在解题中的运用，要深刻理解几何量a，b，c，e，ca的本质含义及其相互间的关系．②双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线．③双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1(a >0，b >0)隐含了一个附加公式c 2＝a 2＋b 2，此关系体现在△OAB (A ，B 分别为实轴，虚轴的一个端点)中．特别地，当a ＝b 时的双曲线称为等轴双曲线，其离心率为 2.(4)抛物线①抛物线的定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹(F ∉l )．定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用．②抛物线方程(标准)有四种形式：y 2＝±2px 和x 2＝±2py (p >0)，选择时必须判定开口与对称轴．③掌握几何性质，注意分清2p ，p ，p 2的几何意义．3．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法(1)判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，然后利用“Δ”法．(2)有关弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线的定义的运用，以简化运算．(3)有关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算．(4)有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达定理，设而不求，整体处理．(5)有关圆锥曲线关于直线l 的对称问题中，若A ，A ′是对称点，则应抓住AA ′的中点在l 上及k AA ′·k 1＝－1这两个关键条件解决问题．(6)有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”．考点一 求椭圆的离心率求离心率e 的值，只需根据题目条件，寻找一个a ，b ，c 等量的关系式．求离心率e 的取值范围，只需根据题目条件，寻找一个a ，b ，c 的不等关系式．例 1－1(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．分析：(1)先由|BM |＝2|MA |，得出M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，再根据OM 的斜率建立关于a ，b 的等式求离心率．(2)利用点N 关于直线AB 的对称点的坐标建立关于b ，x 1的等式，再结论(1)中的结论，求出系数a ，b ，即可求出椭圆E 的方程．解析：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b .故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋y b＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b . 设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72， 则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74. 又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.例 1－2(2015·陕西卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．分析：(1)直接根据点到直线的距离公式列出关于a ，b ，c 的方程求解离心率e .(2)由题意知，M (－2，1)是线段AB 中点，且|AB |＝10，可设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，中点坐标公式、弦长公式，列出关于直径AB 的等式，求出a 、b 、c ，从而得到椭圆E 的方程．解析：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bc a ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)(方法1)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.(方法2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B ，关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.考点二 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题，一般要用到直线和圆锥曲线的位置关系，用待定系数法求直线或圆锥曲线的方程．直线与圆锥曲线的相交相切问题转化为方程联立，根据Δ和根与系数的关系等基础知识与基本方法求解，用到弦长公式，焦点三角形，圆锥曲线的标准方程及其性质等等．例 2－1 (2014·辽宁卷)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)若椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．分析：(1)设切点P (x 0，y 0)，(x 0>0，y 0>0)，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可求出方程．(2)由(1)可得椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1(b 1>0)．把P 的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l 的方程为x ＝my ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即求出m .解析：(1)设切点P (x 0，y 0)，(x 0>0，y 0>0)，则切线的斜率为－x 0y 0， 可得切线的方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)， 化为x 0x ＋y 0y ＝4.令x ＝0，可得y ＝4y 0； 令y ＝0，可得x ＝4x 0. ∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S ＝12·4y 0·4x 0＝8x 0y 0.∵4＝x 20＋y 20≥2x 0y 0，当且仅当x 0＝y 0＝2时取等号．∴S ≥82＝4，此时P (2，2)．由题意可得2a 2－2b 2＝1，e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝3，解得a 2＝1，b 2＝2.故双曲线C 1的方程为x 2－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线C 1的焦点(±3，0)，即为椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1(b 1>0)． 把P (2，2)代入可得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3， 因此椭圆C 2的方程为x 26＋y 23＝1.由题意可知直线l 的斜率为0时不符合条件，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 2＋2y 2＝6，化为(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，∴y 1＋y 2＝－23m 2＋m 2，y 1y 2＝－32＋m 2. ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋23＝43m 2＋2， x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋3＝6－6m 2m 2＋2. ∵AP→⊥BP →，∴AP →·BP →＝0， 而AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)， ∴x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0， ∴2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1， 因此直线l 的方程为：x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 例 2－2(2015·浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．分析：(1)由已知，可设出直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b ，将直线AB 的方程与椭圆方程联立组成方程组，消去y 转化为关于x 的一元二次方程，根据线段AB 的中点在直线y ＝mx ＋12上，直线AB 与椭圆有两个不同交点，利用判别式Δ大于0列不等式求解．(2)利用弦长公式和点到直线的距离公式把△AOB 的面积用一个参数表示，再结合式子特点，用配方法求最值．解析：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m ＜－63或m ＞63.(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62， 则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.考点三 圆锥曲线的最值与取值范围问题圆锥曲线的最值与取值范围问题，先建立一个一元或二元的函数关系式．最后一般都用到函数求值域或基本不等式解决问题．综合性很强，要用到很多知识，如斜率计算公式、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识以及换元法和转化法等等．例 3－1(2014·北京卷)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．分析：(1)椭圆C ：x 2＋2y 2＝4化为标准方程为x 24＋y 22＝1，求出a ，c ，即可求椭圆C 的离心率． (2)先表示出线段AB 的长度，再利用基本不等式，求出最小值． 解析：(1)椭圆C ：x 2＋2y 2＝4化为标准方程为x 24＋y 22＝1，∴a ＝2，b ＝2，c ＝2，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设A (t ，2)，B (x 0，y 0)，则x 0≠0.∵OA ⊥OB ，∴OA→·OB →＝0， ∴tx 0＋2y 0＝0，∴t ＝－2y 0x 0. ∵x 20＋2y 20＝4，∴|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝x 202＋8x 20＋4≥4＋4＝8， 当且仅当x 202＝8x 20，即x 20＝4时等号成立． ∴线段AB 长度的最小值为2 2.例 3－2(2015·山东卷)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．分析：(1)直接利用椭圆的定义得2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，从而可求出椭圆方程．(2)(ⅰ)利用O 、P 、Q 三点共线及点P 、Q 分别在椭圆C 、E 上的条件建立等式求解；(ⅱ)先求S △OAB 的最大值，再利用①的结论求S △ABQ 的最大值．解析：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，②由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.考点四 圆锥曲线的探索性问题圆锥曲线的探索性问题，一般先假设结论是成立的，然后求解或证明．如果在求证过程中得出矛盾，则结论不成立．例 4－1(2015·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．分析：(1)根据题目条件列出关于a ，b ，c 的方程组并求解，然后进一步确定点M 的坐标．(2)先假设存在这样的点，再将∠OQM ＝∠ONQ 转化为|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |求解点的坐标．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1＜n ＜1，直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N ，0)，则x N ＝m 1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n，m 22＋n 2＝1， 所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．例 4－2)(2015·四川卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据已知条件，列方程组求出a ，b ，即得椭圆E 的方程．(2)先考虑特殊情况，探讨出点Q 的坐标，然后再进行一般性证明．解析：(1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝ 2. ∴椭圆E 的方程为：x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点．如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1或y 0＝2.所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0，2)．下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)．又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1， 所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |. 故存在与P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．。
2015届高考二轮复习 解析几何
中点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说
明理由. 错解1 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为 y＝k(x－1)＋1.
2 y 代入双曲线方程 x2－ ＝1， 2
整理得(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，
所以符合题设条件的直线的方程为2x－y－1＝0.
找准失分点
没有判断直线2x－y－1＝0与双曲线是否相交. 正解1 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为
(5)一般式：任何直线均可写成 Ax＋ By＋ C＝ 0(A， B不同时为0)的形式.
[问题2]
_______. － 6＝ 0
已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的
5x－y＝0或x＋y 截距相等，则此直线的方程为_________________
3.点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点 P(x0， y0)到直线 Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离为 d＝ |Ax0＋By0＋C| ； 2 2 A ＋B (2)两平行线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离为 d＝ |C1－C2| A ＋B
(4)抛物线标准方程 焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)； 焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0).
x2 y2 [问题 8] 与双曲线 － ＝1 有相同的渐近线， 且过 9 16 4x2 y2 － ＝1 点(－3,2 3)的双曲线方程为_____________. 9 4
9.(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到 的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的 情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；
2015高考数学解析几何完美版
解析几何总结一、直线1、 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角。
2、 范围 0θπ≤<3、 直线的斜率：当倾斜角不是90时，倾斜角的正切值。
tan ()2k παα=≠4、 直线的斜率公式：设111(,)P x y ,222(,)P x y 12()x x ≠ 2121y y k x x -=-5、 直线的倾斜角和斜率关系：（如右图） 02πα≤<；0k >；单调增；2παπ<<，0k <；单调增6、 直线的方程（1）点斜式：11()y y k x x -=- ⑵、斜截式：y kx b =+ （3）两点式：112121y y x x y y x x --=-- ⑷、截距式：1x y a b += ⑸、一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠⑹、参数式： 11cos sin x x t y y t θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）参数t 几何意义：定点到动点的向量7、 直线的位置关系的判定（相交、平行、重合）1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+ 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=平行：12k k =且12b b ≠111222A B C A B C =≠相交：12k k ≠1122A B A B ≠重合：12k k =且12b b =111222A B C A B C == 垂直：121k k ⋅=- 12120A A B B +=8、 到角及夹角(新课改后此部分已删掉)到角：直线1l 依逆时方向旋转到与2l 重合时所有转的角。
2121tan 1k k k k α-=+夹角：不大于直角的从1l 到2l 的角叫1l 与2l 所成的角，简称夹角。
2121tan 1k k k k α-=+9、 点到直线的距离（应用极为广泛）P （00,x y ）到1:0l Ax By C ++=的距离d =平行线间距离：11:0l Ax By C ++= 22:0l Ax By C ++=d =10、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。
2015届上海市高考数学·二模汇编 解析几何
2015届高中数学·二模汇编（专题：解析几何）2015届高中数学·二模汇编 解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于 ．3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________.7. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.8.（2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.9．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ．11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ． 12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ．xy2F 1F A BO13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时， PM ON ⋅的取值范围为 ．15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 ．16.（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 ．17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为 ． 18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________．20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为 （ ）A.3B.4C.6D.9βαP BA DCABDy xCP NMO3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或24．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ． （1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)(第22题图）F 2F1y xPQ O 3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=， O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.4.（2015黄浦二模理23）已知点()12,0F -、()22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围； （3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．5.（2015黄浦二模文23）已知点12(2,0)(2,0)F F -、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围； （3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时， 求直线AB 的方程．7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标；（3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标．11.（2015普陀二模理22文22）如图，射线OA OB 、所在的直线的方向向量分别是()()()121,1,0==->d k d k k 、，点P 在∠AOB 内，⊥PM OA 于M ，⊥PN OB 于N ．（1）若311,,22k P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1,∆P OMP 的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M N 、的中点为T ，且1∆=MON S k， 当P 变化时，求动点T 的轨迹方程．22465NMPyxAOBS RPQDC BAO12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦. （1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-， 求N 点坐标.14.（2015年闸北二模文17理16）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2015长宁二模文22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离 之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．16.（2015长宁二模理22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
【名师新题解析】2015届高三高考二轮复习数学理最新模拟试题汇编 专题六 解析几何Word版含解析
1. 【2015重庆一中高三期中】直线()011:1=-+-y x a l 和023:2=++ay x l 垂直，则实数a 的值为( )【答案】D【解析】由已知得：3(a-1)+a=0得D. 2．【2015福建安溪一中月考】对任意实数a ，直线32y ax a =-+所经过的定点是 ( )A ．(2,3)B ．(3,2)C ．(2,3)-D ．(3,2)-【答案】B【解析】直线32y ax a =-+变为(3)(2)0a x y -+-=.又a ∈R ，所以3020x y -=⎧⎨-=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，得定点为(3,2).故选B .3. 【2015件是( )A ．0mn >B ．0<mnC ．0m <且0n >D ．0m >且0<n 【答案】B，得0,0<>n m ，但此为充要条件，因此其必要不充分条件为0<mn ，选B4. 【2015山东省实验中学第三次诊断考试】设,,a b c 分别是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【答案】C【解析】由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx ﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k 1k 2===-1，则直线sinA•x+ay+c=0与bx ﹣sinB•y+sinC=0垂直，故选C ．5. 【2015安徽省江南十校期末大联考】已知1l ：x+2y+1=0, 2l :Ax+By+2=0(A,B ∈{1,2,3,4},则直线1l 与2l 不平行的概率为（） A.D. 【答案】A【解析】由A,B ∈{1,2,3,4}，则有序数对（A,B ）共有16种等可能基本事件，而（A,B ）取值为（1,2）时，12l l ，故12ll 与不平行的概率为6.【2015江西省重点中学协作体第一次联考】已知两点A (1,2),B (3,1)到直线l则满足条件的直线l 共有( )条A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】当A ，B 位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条，又因而A 到直线l 与B 到直线l 距离之和所以当A ，B 位于直线l 两侧时，存在一条与AB 垂直且距离A ，B3条. 7. 【2015辽宁师大附中月考】经过点P （1,4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0【答案】B（1,4），则有，而截距之和为，即62==a b 时，等号成立，，即062=-+y x .8. 【2015陕西高三大联考（四）】直线)(01cos R y x ∈=--θθ的倾斜角α的范围为【解析】斜率为θcos =k ]1,1[-∈，即]1.1[tan -∈α，所以9. 【2015江苏淮安市第二次调研】己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________.【答案】25【解析】∵直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行， ∴()320a b b --=且5120a +，∴32a b ab +=，即a ，b 均为正数，当且仅当5a b ==时上式等号成立．故答案为：25．10. 【2015安徽省黄山市第一次质检】在直角坐标系中，定义两点P （x 1，y l ），Q （x 2，y 2）之间的“直角距离为d（P ，Q 现有以下命题： ①若P ，Q 是x 轴上两点，则d （P ，Q ）②已知两点P （2，3），Q （22sin,cos αα）,则d （P ，Q ）为定值；③原点O 到直线x －y+1=0上任意一点P的直角距离d （O ，P ④若|PQ|表示P 、Q 两点间的距离，那么|PQ|（P ，Q ）；其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）。
高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题六 解析几何
【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题六 解析几何(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l 1:y=2x+3,直线l 2与l 1关于直线y=x 对称,直线l 3⊥l 2,则l 3的斜率为 ( ) A.B.-C.-2D.2【解析】选C.因为直线l 1与l 2关于y=x 对称, 所以直线l 2的方程为x=2y+3,即y=x-, 所以2k l =.又l 3⊥l 2,所以3k l =-21k l =-2. 2.直线经过A(2,1),B(1,m 2)两点(m ∈R),那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A.[0,π)B.∪C. D.∪【解析】选B.直线AB 的斜率k==1-m 2≤1,设直线l 的倾斜角为α,则有tan α≤1,即tan α<0或0≤tan α≤1,所以<α<π或0≤α≤,即直线l 的倾斜角的取值范围是∪.3.(2014·宁波模拟)已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是 ( ) A.圆或椭圆或双曲线 B.两条射线或圆或抛物线 C.两条射线或圆或椭圆 D.椭圆或双曲线或抛物线【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时,圆C与圆O内切或外切,O,P,C三点共线,所以轨迹为两条射线;当点P在定圆O内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0为定值,轨迹为椭圆;当点P与点O重合时,圆心轨迹为圆. 4.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积是( )A.5B.10C.20D.【解析】选B.由抛物线方程y2=4x易得抛物线的准线l的方程为x=-1,又由|PM|=5可得点P的横坐标为4,代入y2=4x,可求得其纵坐标为±4,故S△MPF=×5×4=10.5.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( )A.至多为1B.2C.1D.0【解析】选B.由题意知:>2,即<2,所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2.6.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么( )A.m∥l,且l与圆相交B.m⊥l,且l与圆相切C.m∥l,且l与圆相离D.m⊥l,且l与圆相离【解析】选C.直线m的方程为y-b=-(x-a),即ax+by-a2-b2=0,因为点P在圆内,所以a2+b2<r2,所以m∥l.因为圆心到直线l的距离d=>r,所以直线l与圆相离.7.(2014·浙江五校模拟)我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,则当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A. B. C. D.2【解析】选A.设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,所以a1=.设双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,则e=,所以a=.设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy.当把点P看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy;当把点P看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy.两式联立消去xy,得4c2=+3a2,即4c2=+3,即+3=4.又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=,即双曲线的离心离为.8.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,则满足△PF1F2的周长为6+2的动点P的轨迹方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1(x≠0)D.+=1(x≠0)【解析】选 C.依题意得,|F1F2|=2=2,所以|PF1|+|PF2|=6>|F1F2|,因此满足△PF1F2的周长为6+2的动点P的轨迹是以点F1,F2为焦点,长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点),即动点P的轨迹方程是+=1(x≠0).9.过点(2,0)的直线与双曲线-=1的右支交于A,B两点,则直线AB的斜率k的取值范围是( )A.k≤-1或k≥1B.k<-或k>C.-≤k≤D.-1<k<1【解析】选 B.点(2,0)为双曲线的右顶点,双曲线渐近线为y=±x.如图所示,结合图形得k>或k<-时,直线AB与双曲线右支有两交点.10.如图所示,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,B1,A2,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于点P.若∠B1PA2为钝角,则此椭圆离心率e的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选D.由题意知,∠B1PA2就是与的夹角.设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,则=(a,-b),=(-c,-b).由向量的夹角为钝角得,·<0,所以-ac+b2<0.又b2=a2-c2,所以a2-ac-c2<0,所以-e2-e+1<0,结合0<e<1,解得椭圆离心率e的取值范围为.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)11.l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是.【解析】当两条平行直线与A,B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以k AB==2,所以两平行线的斜率为k=-,所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.答案:x+2y-3=012.若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则|PM|的最小值为.【解析】曲线C表示的圆的圆心为C(5,0),由题意可知△PMC是直角三角形,|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时,|PM|最小.当CP⊥l1时,|CP|min==4,此时|PM|最小且|PM|===4.答案:413.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,若动点P(x,y)与定点A(3,4)满足=5-·,则点P的轨迹方程是.【解析】由于=(x,y),=(3-x,4-y),依题意有x2+y2=5-x(3-x)-y(4-y),整理得3x+4y-5=0.答案:3x+4y-5=014.(2014·温州模拟)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线的方程为.【解析】分别过A,B作AA',BB'垂直准线于A',B',由于|BC|=2|BB'|,则直线l的斜率为,故|AC|=2|AA'|=12,从而|BF|=2,从而|AB|=8,故==,即p=3,从而抛物线的方程为y2=6x.答案:y2=6x15.(2014·绍兴模拟)若直线x+my+3m=0被圆x2+y2=r2(r>0)所截得的最短弦长为8,则r= .【解析】直线过定点(0,-3),当直线被圆截得的弦长最短时,直线为y=-3,弦长的一半为4,所以r==5.答案:516.椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且⊥(O为原点),则+为定值,该定值是.【解析】由得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.由Δ=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)=4a2b2(a2+b2-1)>0,得a2+b2>1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为⊥,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(1-x1)(1-x2)=0.所以2x1x2-(x1+x2)+1=0.所以-+1=0.所以a2+b2=2a2b2,所以+=2.答案:217.若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆+=1交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点G,则k的取值范围是.【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.因为直线y=kx+m与椭圆有两个交点,所以Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3. ①且MN的中点坐标P.设MN的垂直平分线l'的方程为y=-.因为点P在l'上,所以=-.即4k2+8km+3=0,所以m=-(4k2+3).将上式代入①,得<4k2+3,所以k2>,即k>或k<-.所以k的取值范围为∪.答案:∪三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p×1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由直线OA与l的距离d=,可得=,解得t=±1.因为-1 ,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.19.(14分)设点P是曲线C:x2=2py(p>0)上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.(1)求曲线C的方程.(2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q,交x轴于点M,过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C相切?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意知1+=,解得p=.所以曲线C的方程为x2=y.(2)假设存在实数k,由题意知直线PQ的方程为y=k(x-1)+1,则点M.联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,解得x1=1,x2=k-1,则Q(k-1,(k-1)2).所以直线QN的方程为y-(k-1)2=-(x-k+1),代入曲线y=x2中,得x2+x-1+-(1-k)2=0,解得x3=k-1,x4=1--k,则N.所以直线MN的斜率k MN==-.又易知过点N的切线的斜率k'=2.由题意有-=2.解得k=.故存在实数k=满足题意.20.(14分)已知定点A(1,0)和定直线x=-1上的两个动点E,F,满足⊥,动点P满足∥,∥(其中O为坐标原点).(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M,N,若·<0,求直线l的斜率的取值范围.【解析】(1)设P(x,y),E(-1,y'1),F(-1,y'2)(y'1,y'2均不为0)由∥,得y'1=y,即E(-1,y).由∥得y'2=-,即F.由⊥得·=0⇒(2,-y'1)·(2,-y'2)=0⇒y'1y'2=-4⇒y2=4x(x≠0),所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0).(2)设直线l的方程为y=kx+2(k≠0),M,N,联立得消去x得ky2-4y+8=0,所以y1+y2=,y1y2=,且Δ=16-32k>0即k<.所以·=·=·+y1y2=-(+)+y1y2+1=-++1=,因为·<0,所以-12<k<0.21.(15分)(2014·台州一模)如图,P是☉O:x2+y2=4上任意一点,PQ⊥x轴,Q为垂足.设PQ的中点为M.(1)求点M的轨迹Γ的方程.(2)设动直线l与☉O相交所得的弦长为定值2,l与(1)中曲线Γ交于A,B两点,线段AB的中垂线交☉O 于E,F两点,求|EF|的最小值.【解析】(1)设M(x,y),则P(x,2y).因为P在☉O:x2+y2=4上,所以x2+(2y)2=4.即M的轨迹Γ是一个椭圆,方程为x2+4y2=4.(2)由于要求|EF|的最小值,故不妨设l:y=kx+m(k≠0).因直线l与☉O相交所得弦长为2,而圆的半径为2,所以,点O到直线l的距离为1,即=1.直线l与椭圆一定有两个不同的交点,联立得(1+4k2)x2+8kmx+(4m2-4)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-.AB的中点为,AB的中垂线方程为y-=-.化简得x+ky+=0.点O到直线EF的距离d=.当d最大时,|EF|最小.将=1代入d=,得d=.由均值不等式,1+4k2≥4|k|,故d≤(当且仅当|k|=时取等号).故|EF|≥2=,即|EF|的最小值为.22.(15分)(2014·衢州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),短轴的端点分别为B1,B2,且·=-a.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于M,N两点,弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D.设弦MN的中点为P,试求的取值范围.【解析】(1)依题意,不妨设B1(0,-b),B2(0,b),则=(-1,-b),=(-1,b).由·=-a,得1-b2=-a.又因为a2-b2=1,解得a=2,b=.所以椭圆C 的方程为+=1.(2)依题意直线l的方程为y=k(x-1).由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.所以弦MN的中点为P,所以====.直线PD的方程为y+=-,由y=0,得x=,则D,所以=.所以===.又因为k2+1>1,所以0<<1.所以0<<.所以的取值范围是.- 11 -。
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2015版高考数学二轮复习专题训练：解析几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与原点O 及点)4,2(A 的距离都是1的直线共有( )A ．4条B ． 3条C ． 2 条D ． 1条【答案】A2．点P （2，5）关于直线x 轴的对称点的坐标是( )A ．（5，2）B ．（－2，5）C ．（2，－5）D ．（－5，－2）【答案】C3．直线3+=kx y 与圆4)2()3(22=-+-y x 相交于M ，N 两点，若MN ≥k 的取值范围是( )A ． 3(,][0,)4-∞-+∞B ． 1[,0]3-C ． 1(,][0,)3-∞-+∞D ． 3[,0]4-【答案】D4．直线220210x y m xy x -+=+--=与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m <【答案】C5．对任意实数m ,直线(1)260m x m y -++=必经过的定点是( )A ．(1,0)B ．(0,3)-C ．(6,3)-D ． 63(,)1m m-- 【答案】C6．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．B ．C ．D ． 1【答案】C7．抛物线42x y =的焦点坐标是( )A ．（0，161）B ．（161，0）C ．（1，0）D ．（0，1）【答案】D8．双曲线12222=-by a x 的左右焦点为21,F F ，P 是双曲线上一点，满足||||211→→=F F PF ，直线PF 1与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率e 为( )A ．3B ．332 C ．35 D ．45 【答案】B9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )A ． y=2(x+1)2+3 B ． y=2(x －1)2－3 C ． y=2(x+1)2－3 D ． y=2(x －1)2+3 【答案】A 10．抛物线28xy =-的准线与y 轴交于点A .过点A 作直线交抛物线于,M N 两点，.点B 在抛物线对称轴上,且()2MN BM MN +⊥.则OB 的取值范围是( ) A ．(3,)+∞ B ．(4,)+∞ C ．(5,)+∞D ． (6,)+∞【答案】D11．已知点F 为抛物线x y 82-=的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4=AF ，则PO PA +的最小值为( )A ．6B ．242+C ．132D ．524+【答案】C12．直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交,则m 的取值范围是( ) A ．283-≤≥m m 或 B ．211-≤-≥m m 或 C ．R m ∈D ．以上均不正确【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知圆22:230Mx y mx +--=(0)m <的半径为2，则其圆心坐标为 。
【答案】(1,0)-14．m 为任意实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点________． 【答案】(9，－4)15．直线l 过抛物线2y x =的焦点,且l 与抛物线交于,A B 两点,若||4AB =,则弦AB 的中点到y 轴的距离为____________【答案】7416．已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为____________。
【答案】-4三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=． (1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程；(2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动； ②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=． 因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=45=． 化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．(2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．②圆C 过定点，设(3)C m m -，， 则动圆C的半径为于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1，(1+．18．已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 1过定点A (1，0).(1）若l 1与圆C 相切，求l 1的方程；(2）若l 1与圆C 相交于P 、Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 1 的方程.【答案】 (Ⅰ) ①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意.②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：2=，解之得 34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=.(Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为0kx y k --=， 则圆心到直线l 1的距离 2142kk d +-=又∵△CPQ 的面积 2244221d d d d S -=-⨯=＝4)2(42242+--=-d dd∴ 当dS 取得最大值2. ∴2142kk d +-=＝2 ∴ k ＝1 或k ＝7所求直线l 1方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .19．已知圆C 的圆心为(,0),3<C m m ，半径为5，圆C 与椭圆E ：22221x y ab+=（0a b >>）有一个公共点A (3，1)，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点。
(1）求圆C 的标准方程；(2）若点P 的坐标为(4，4)，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程；若不能，请说明理由。
【答案】（1）由已知可设圆C 的方程为)3(5)(22<=+-m y m x 。
将点A 的坐标代入圆C 的方程，得51)3(2=+-m ，即4)3(2=-m ，解得51==m m ，或。
∵3<m ，∴1=m ，∴圆C 的方程为5)1(22=+-y x 。
(2）直线1PF 能与圆C 相切。
依题意，设直线1PF 的方程为4)4(+-=x k y ，即044=+--k y kx 。
若直线1PF 与圆C 相切，则514402=++--k k k ，∴0112442=+-k k ，解得21211==k k ，或。
当211=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为1136，不合题意，舍去；当21=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为4-，∴ )0,4()0,4(421F F c ，，-=。
∴由椭圆的定义得262251)43(1)43(2222221=+=+-+++=+=AF AF a ，∴23=a，即182=a ， ∴2222=-=c a b ，直线1PF 能与圆C 相切，直线1PF 的方程为042=+-y x ，椭圆E 的方程为121822=+y x 。
20．已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为、． (1）求证直线恒过定点；(2）求的最小值．【答案】（1）由题意可知直线、的斜率都存在且不等于零，．设，代入，得∴，，故．因为，所以，将点坐标中的换为，得①当时，则，即此时直线恒过定点； ② 当时，的方程为，也过点．故不论为何值，直线恒过定点．(2）由（1）知，，∴当且仅当，即时，上式取等号，此时的最小值是．21．在直角坐标系中，已知定点F(1,0)设平面上的动点M在直线上的射影为N，且满足.(1）求动点M的轨迹C的方程；(2）若直线l是上述轨迹C在点M（顶点除外）处的切线，证明直线MN与l的夹角等于直线ME与l的夹角; (3）设MF交轨迹C于点Q，直线l交x轴于点P，求△MPQ面积的最小值.【答案】（1）由题意，易知动点在y轴上及右侧（x≥0）.且记它在x = -1上的射影为N'，∵|MN| =|MF|+1，∴|MN'| = |MF|，∴动点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，以直线x = -1为准线的抛物线，.(2），设l与MN夹角为，l与M夹角为由于抛物线C关于x轴对称，不妨设(解法1）当时，，从而∴直线l的斜率. 又直线MF的斜率，(解法2）设直线l的方程为将直线方程代入抛物线方程并整理得整理得又又由于直线的斜率. ∴l为∠FMN的平分线.(3）设则.直线l的方程为，令得P点坐标，令得时，22．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P （4，m ）到焦点的距离为6． (Ⅰ）求抛物线C 的方程；(Ⅱ）若抛物线C 与直线2-=kx y 相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值． 【答案】（Ⅰ）由题意设抛物线方程为px y 22=，其准线方程为2p x =-， ∵P （4，m ）到焦点的距离等于A 到其准线的距离,4642pp ∴+=∴=∴抛物线C 的方程为x y 82=(Ⅱ）由⎩⎨⎧-==282kx y x y 消去y ，得 22(48)40k x k x -++=∵直线2-=kx y 与抛物线相交于不同两点A 、B ，则有0,64(1)0k k ≠∆=+> ，解得01≠->k k 且,又1222422x x k k++==，解得 2,1k k ==-或（舍去） ∴所求k 的值为2。