岩石力学6-3

ψ (1 + )
（7-32）→（7-30）得塑性区径向位移：
u = rε θ = r
2 p
2R 1 + 0 = r E0
2E p 0 (ξ 1) + σ c ξ +1
(σ θ σ r )
（7-33）
5、弹性区的应力和位移
受力模型：相当于内外受压的厚壁圆筒。
边界条件：
γ = RP
σ re = σ rp = σ RO
ξ 1
1 = 2 PO
弹、塑性分析应力边界条件
σ c RP ξ 1 ra
RP r a
ξ 1
2σ c = 2 PO + ξ 1 2 PO (ξ 1) + 2σ c = σ C (ξ 1)
1 ξ 1
ξ 1
2 PO (ξ 1) + 2σ c R P = ra σ c (ξ 1)
σ θ p = σ rp + r
d σ rp
d (σ rp r ) dr
②代入上式：
σ θp
σ θp σ c d ξ = dr
r σ σ r d σ θp c = θp + ξ ξ dr
dσ θp dr
ξ 1
r
σ θp =
σc
r
（一阶微分式）
边界条件： r = ra , σ rp = 0 （若考虑支护 σ rp = P） 积分并考虑边界条件得：
同理得另外两式，最后 得到消除静水压力部分的应 力应变关系
1+ (σr σ ) +ε ⑤ εr = E 1+ (σθ σ ) + ε ⑥ εθ =
E
1+ (σz σ) +ε ⑦ εz = E
在以上3式的右边乘上 ψ ，就得到塑性区 的应力-应变关系。当 ψ = 1 时，为弹性的应 力-应变关系。 体积应变为0 注：体积应变为
有 r = RP 在弹性与 塑性的交界面 上，应力分量 和第一应力不 变量相等
σ θp = σ θe σ rp = σ re
(见下图)
σ re + σ θ e = 2 PO σ rp + σ θ P = 2 PO
解： ③+④得： 解
σ c RP ξ ξ 1 ra
ξ 1
σ R 1 + c P ξ 1 ra
σ θ = ξσ r + σ c
σ r ,σθHale Waihona Puke Baidu
②
①、②两个方程求两个未知应力分量 优点：不用本构关系 优点 elasticity
plasticity
（2）解方程（脚标P 表示塑性应力分量）
平衡方程第一 式自动满足，由第二式得：
d σ rp dr +
σ rp σ θ p
r
=0 dr σ θP =
ε =0
设塑性区的平均变形模量为E0，横向变形模 量 o ，剪切模量为G0，体积应变 ε = 0
轴对称下的平面应变问题
由 ε z = 0 →σ z = σ 平面问题平均应力 σ = 1 (σ + σ ) r θ
2
⑦ ⑧ ⑨
塑性区 EO 2 2Eo 应力-应 ψ (1 + o ) 变关系： ε θ = (σ θ σ
平均应变： ε = 1 (ε r + ε θ + ε z ) 三个广义虎克定律相加：
3
ε= Θ
1 2 σ E
1 3
1 2 (σ r + σ θ + σ z ) ε r + εθ + ε z = E
ε=
代入广义虎克定律
1 1 2 σ ε r ε = [σ r (σ + σ z )] E E 1 1 2 σ = [σ r (1 + ) 3σ ] E E 1+ (σ r σ ) = E
4、塑性区的位移
塑性区的应力—应变关系不再呈线性，仅用 广义虎克定律不能正确地表现塑性区内的应力、 应变关系。用平均应力与平均应变之间的关系， 乘于一表示两者所具有的非线性关系的塑性模数， 并假设塑性体积应变为0。
平均应力： σ = 1 (σ r + σ θ + σ z )
3
1 σ = I 3
σ
re
r → α
= PO
求出弹性区的应力分量和位移分量：
σ re = p0 (1 σ θe = p0 (1 +
2 Rp
r 2 Rp r
2
2
) + σ R0 ) σ R0
p0 1+ u = [(1 )r + (1 + )] σ R0 E E
（7-34） 2 Rp r
σ rp
③代入②得：
塑性 区的 应力 分量
σ c r = ξ 1 ra
ξ 1
1
③
r ξ 1 σc ξ ξ + σ C σ θp = ξ 1 ra r ξ 1 σc ξ 1 = ξ 1 ra
④
2、塑性区半径RP 塑性区半径R 边界条件：轴对称，塑性区边界是圆周 ， 边界条件： 边界条件
转换成平面应变下的位移：
2 2 RP 1 + RP 1+ σR O u= PO (1 2 )r + E r E r
开挖前完成的位移
1+ uo = P (1 2) r O E
由于开挖引起的围岩总位移增量
2 RP 1+ u = u u o = [PO σ RO ] E r
即为弹性区与塑性区位移增量之和
（7-28）
可见，RP与原岩应力PO、岩体强度 σ C 和 C , 有关。 锚杆长度： 锚杆长度：
l = (RP ra ) + 0.15m
3、塑性区与弹性区交界面上的应力
式（7-28） r = RP 代入（7-27）得， （7-29）
1 σ rp = ξ + 1 [ 2 p 0 R 0 ] σ = 1 [ 2 p ξ + R ] 0 0 θp ξ + 1
2E
o
εr =
ψ(1+ o ) σr +σθ ψ(1+ o ) (σr σθ ) σr =
r
) ⑩
几何方程： ⑿求得：
du εr = dr
u εθ = r
⑾⑿
du r u dεθ dr 1 du u = = 2 dr r r dr r 2εθ 1 = (ε r ε ) = r r
小结（ 6、小结（ λ = 1 ）
（1）圆形洞室，当 σ max = σ (r = a ) = 2 PO > σ c 时， 出现塑性区。 （2）塑性区内每点应力状处于极限状态，即 σ rp 和 σ θp 均随r 增大，但都与强度曲线相切。 （3）塑性区内的应力分量与外载无关，外 力增大，转移到弹性区，式塑性区扩大。 （4）塑性区的存在对弹性区域起支护作用， 参见(7-34)式。 （5）弹-塑性岩体弹性区的应力分布与弹 性岩体基本相同。
原 岩
弹-塑性区应力分布图
返回
利用边界条件求C 利用边界条件求C
当 r = R P时 ψ = 1
2C→C 代入(7-31)式得：
塑性区边界 上的应力分 量差由(7-29) 式给出
(1 + o ) R 2 (σ C=
EO
p
θ
σ r ) |r = R p
将上式求出的 系数C代入(7-31)式得塑性模数
2 R12 PO (ξ 1) + σ C ψ = 2 （7-32） (ξ + 1)(σ θ σ r ) r
第三节
深埋圆形洞室弹塑性分布 的二次应力状态
只介绍 λ = 1 （其它情况太复杂、不介绍）
1、塑性区内的应力态
假设岩体服从库仑-莫尔准则，是理想塑 性体（极限平衡理论）。
（1）基本方程（不计体力 )
1 σ θ τ rθ τ + + 2 rθ = 0 r r θ r
极坐标下的平衡： 极坐标下的平衡：
强度线 塑性区 内任一 点的应 力圆均 与该线 相切 应力 降区 塑 性 区 弹 性 区
σ
弹性 状态 切向 应力 分布 曲线
塑性 区切 向应 力分 布曲 线
弹性 区切 向应 力分 布曲 线
弹性 状态 径向 应力 分布 曲线
应力升高区 塑性 区径 向应 力分 布曲 线 围
原岩应力区
r
弹性 区径 向应 力分 布曲 线 岩
dε θ
εθ
2 = dr r
εr + εθ + εz = 0 因εz = 0故εr = εθ
C = 2 r
ln ε θ = 2 ln r + ln C ε θ
⑩式
由⑩得： C = ψ (1 + o ) (σ θ σ r ) 2
r 2 Eo
EO C ψ= 2 （7-31） (1 + o )(σ θ σ r )r
σ r σ r σ θ 1 τ rθ + + =0 r r r σθ
由于轴对称：与
θ
无关，τ rθ = τ θr = 0 ①
1 + sin ξ= 1 - sin
塑性条件式（2-43）： σ 1 = ξσ 3 + σ C 此处：σ1 = σθ ,σ 3 = σ r , 即：
σ C 单强 ξ - 塑性数 ,