2.2.2平面与平面平行的判定课件(人教A版必修2)
2.2.2平面与平面平行的判定(解析版)
人教版A版高中数学必修二2.2.2平面与平面平行的判定学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面D．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的判定定理或定义可得出结论.【详解】根据面面平行的定义可知，若两个平面没有公共点，则这两个平面平行，则一个平面内所有直线都与另一个平面没有公共点，则这两个平面平行.由面面平行的判定定理可知，一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.故选：C.【点睛】本题考查面面平行的判断，一般利用面面平行的定义或判定定理来判断，考查对面面平行的定义和判定定理的理解，属于基础题.2．下列说法正确的是（）A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行【答案】C【解析】【分析】利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.A 错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；B 错，若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行或相交；C 正确，设,l m αβ⋂=//,m α//β，利用线面平行的性质定理，在平面α中存在直线a //m ，在平面β中存在直线b //m ，所以可知a //b ，根据线面平行的判定定理，可得b //α，然后根据线面平行的性质定理可知b //l ，所以m //l ；D 错，两个平面可能平行，也可能相交.故选：C【点睛】本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的熟练应用，属基础题.3．已知,αβ是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ）A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a //,a α//βC ．直线,a b 满足b //,a a //,b α//βD ．异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α【答案】D【解析】【分析】采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.【详解】A 错α内有无穷多条直线与β平行，B 错若直线a //,a α//β，则平面α与平面β可能平行，也可能相交，C 错若b //,a a //,b α//β，则平面α与平面β可能平行，也可能相交，D 正确当异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α时，可在α上取一点P ，过点P 在α内作直线'b //b ，由线面平行的判定定理，得'b //β，,a b 异面，所以',a b 相交，再由面面平行的判定定理，得α//β，故选：D.【点睛】本题考查面面平行的判定，属基础题.4．已知三条互不相同的直线l m n ，，和三个互不相同的平面αβγ，，，现给出下列三个命题：①若l 与m 为异面直线，l m αβ⊂⊂，，则αβ∥；②若αβ∥，l m αβ⊂⊂，，则l m P ；其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】【分析】通过线面平行的性质与判定，以及线面关系，对三个命题进行判断，得到答案.【详解】①中，两平面也可能相交，故①错误；本题考查线面平行的判定和性质，线面关系，属于简单题.5．设α，β表示两个不同平面，m 表示一条直线，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//αβ，则//m β.B ．若//m α，//m β，则//αβ.C ．若m α⊂，//αβ，则//m β.D ．若m α⊂，//m β，则//αβ.【答案】C【解析】【分析】由//m β或m β⊂判断A ；由//αβ，或αβ、相交判断B ；根据线面平行与面面平行的定义判断C ；由//αβ或αβ、相交，判断D .【详解】若//m α，//αβ，则//m β或m β⊂，A 不正确； 若//m α，//m β，则//αβ，或αβ、相交，B 不正确；若m α⊂，//αβ，可得m 、β没有公共点，即//m β，C 正确；若m α⊂，//m β，则//αβ或αβ、相交，D 不正确,故选C.【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．能够推出平面α∥平面β的是（ ）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质7．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ等价于（ ） A ．存在两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.B ．存在一条直线a ，//,//a a αβ.C ．存在一条直线a ，,//β⊂a a a .D ．存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a .【答案】A【解析】【分析】根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A 选项，如图：,a b 为异面直线，且,,//,//a b a b αββα⊂⊂，在β内过b 上一点作//c a ，则β内有两相交直线平行于α，则有//αβ；故A 正确；对于B 选项，若//,//a a αβ，则a 可能平行于α与β的交线，因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；对于D 选项，若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ，则α与β可能平行，也可能相交，故D 错.故选：A【点睛】本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.8．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m βP ，n P P βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒P ③αβ∥，m α⊂，n m n P β⊂⇒ ④m αP ，n m n α⊂⇒P 其中正确命题的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】①m α⊂，n α⊂，m P β，n βP ，则α与β可能相交，①错；②n m P ，n α⊂，则m 可能在平面α内，②错；③αβP ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可能异面，③错；④m αP ，n α⊂，则m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选A ．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 9．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在两条不同的直线l ，m ，使得l ⊂β，m ⊂β，使得l ∥α，m ∥α③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B利用直线与平面、平面与平面的位置关系,对选项进行逐一判断,确定出正确选项即可.【详解】对于①:由平行于同一平面的两个平面平行可知①正确;对于②:由面面平行的判定定理知,若,l m 是同一平面内的两条相交直线时,可以判定α与β平行,反之不成立,故②不正确;对于③:若,αβ是两个相交平面时,如果平面α内不共线的三点在平面β的异侧时，此三点可以到平面β的距离等,此时不能判定α与β平行,故③不正确;对于④:在平面α内作''//,//l l m m ,因为,l m 是两条异面直线,所以必有'',l m 相交,又因为//,//l m ββ,所以''//,//l m ββ,由面面平行的判定定理知,α与β平行,故④正确;故选:B【点睛】本题考查面面平行的判定及线面平行的判定;熟练掌握面面平行的判定定理是求解本题的关键;重点考查学生的逻辑思维能力;属于中档题、常考题型.10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且1MP AB C P ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ，根据面面平行的判定定理，得到平MRN ∠是直角，进而即可求出结果.【详解】取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ，则1////MN B C HR ，//MH AC ， ∴平面//MNRH 平面1AB C ，∴MP ⊂平面MNRH ，线段MP 扫过的图形是MNR V∵2AB =，∴MN NR MR ===∴222MN NR MR =+，∴MRN ∠是直角，∴线段MP 长度的取值范围是. 故选B.【点睛】本题主要考查面面平行的判定，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.二、填空题11．给出下列命题：①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_____（填序号）.【答案】②③【解析】【分析】对四个选项进行逐一分析即可.对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误. 综上所述，正确的有②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.12．过平面外两点，可作______个平面与已知平面平行．【答案】0或1【解析】【分析】当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，结论不唯一，得到结果．【详解】两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行， 这样的平面可能有，可能没有，故答案为0或1．【点睛】本题考查平面的基本性质及推论，考查过两个点的平面与已知平面的关系，本题要考查学生的空间想象能力，是一个基础题．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD平行的面是____________．【答案】面A1B1C1D1【分析】根据正方体的性质，得到答案.【详解】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中根据正方体的性质，对面互相平行所以与面ABCD 平行的面是A 1B 1C 1D 1【点睛】本题考查正方体的基本性质，属于简单题.14．设直线,l m ，平面,αβ，下列条件能得出//αβ的是_____.l m αα⊂⊂①,，且//,//l m ββ；l m αβ⊂⊂②,且//l m ；③,l m αβ⊥⊥，且//l m ；//,//l m αβ④，且//l m .【答案】③【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题分析判断得解.【详解】设直线,l m ，平面,αβ，①,l m αα⊂⊂，且//,//l m ββ；l 与m 不相交时不能得出//αβ.②,l m αβ⊂⊂且//;l m α与β可能相交.③,l m αβ⊥⊥，且//l m ；能得出//αβ.④//,//l m αβ，且//l m .可能得出α与β相交.故答案为：③.【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点（包括边界），且11//A F D AE 平面，则11FA FB ⋅u u u v u u u v的最小值为____．【答案】12【解析】【分析】 根据题意1111ABCD A B C D -，可知2211111111111()||||FA FB FB B A FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，即求21||FB u u u r 的最小值.在侧面11BCC B 内找到满足1//A F 平面1D AE 且21||FB u u u r最小的点即可.【详解】 由题得21111111()||FA FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，取1BB 中点H ，11B C 中点G ，连结1A G ，1A H ，GH ，11//A H D E Q ，∴1//A H 平面1D AE ，1//GH AD Q ，//GH ∴平面1D AE ，∴平面1//GA H 平面1D AE ，1//A F 平面1D AE ，故F ⊂平面1GA H ，又F ⊂平面11BCC B ，则点F 在两平面交线直线GH 上，那么1FB 的最小值是1FB GH ⊥时，11=1B G B H =，则211||=2FB u u u r 为最小值. 【点睛】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，//AB CD ，E ，F 分别为棱PC ，CD的中点，3AB =，6CD =，且AC =（1）证明：平面//PAD 平面BEF .（2）若四棱锥P ABCD -的高为3，求该四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据3AB =,6CD =可知2CD AB =,由//AB DF 可证明//BF AD ,又根据中位线可证明//EF PD 即可由平面与平面平行的判定定理证明平面//PAD 平面BEF . （2）利用勾股定理,求得DC .底面为直角梯形,求得底面积后即可由四棱锥的体积公式求得解.【详解】（1）证明：因为F 为CD 的中点,且2CD AB =,所以DF AB =.因为//AB CD ,所以//AB DF ,所以四边形ABFD 为平行四边形,所以//BF AD .在PDC ∆中,因为E ,F 分别为PC ,CD 的中点,所以//EF PD ,因为EF BF F =I ,PD AD D ⋂=,所以平面//PAD 平面BEF .（2）因为AD CD ⊥,所以AC ==又AC =所以2AD =. 所以四边形ABCD 的面积为()123692⨯⨯+=, 故四棱锥P ABCD -的体积为13993⨯⨯=. 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定,四棱锥体积的求法,属于基础题.17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1AD ，1BD B C ，的中点. 求证：（1）MN ∥平面11CC D D ；（2）平面MNP P 平面11CC D D .【答案】证明见解析【解析】【分析】（1）连接1,AC CD ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）连接1BC ，1C D ，先由线面平行的判定定理，得到PN P 平面11CC D D ，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】（1）如图，连接1,AC CD .∵四边形ABCD 是正方形，N 是BD 的中点，∴N 是AC 的中点.又∵M 是1AD 的中点，∴1//MN CD .∵MN ⊄平面11CC D D ，1CD ⊂平面11CC D D ，∴//MN 平面11CC D D .（2）连接1BC ，1C D ，∵四边形11B BCC 是正方形，P 是1B C 的中点，∴P 是1BC 的中点.又∵N 是BD 中点，∴1PN C D P .∵PN ⊄平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ，∴PN P 平面11CC D D .由（1）知MN ∥平面11CC D D ，且MN PN N ⋂=，∴平面//MNP 平面11CC D D .【点睛】本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC P 平面1B CD ．【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC P ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1AP DB P ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC P 平面1B CD ．【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC P ，又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1AD B P P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形，∴1AP DB P ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =I ，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC P 平面1B CD ．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别是平面11AA D D ､平面1111D C B A 的中心，证明:（1）1//D Q 平面1C DB ；（2）平面1//D PQ 平面1C DB .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)证明1//D Q DB 即可.(2)根据(1)中的结论再证明11//D P C B 即可.【详解】（1）由1111ABCD A B C D -是正方体,可知,1//D Q DB ,∵1D Q ⊄平面1C DB ,DB ⊂平面1C DB ,∴1//D Q 平面1C DB .（2）由1111ABCD A B C D -是正方体,可知,11//D P C B ,∵1D P ⊄平面1C DB ,1C B ⊂年平面1C DB ,∴1//D P 平面1C DB ,由（1）知,1//D Q 平面1C DB ,又111D Q D P D =I , ∴平面1//D PQ 平面1C DB .【点睛】本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.20．如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，2,1EP BP AD AE ====，,//,,AE EP AE BP G F ⊥分别是,BP BC 的中点．求证：平面//AFG 平面PCE ；【详解】因为G 是BP 的中点，2BP =，所以112PG BP ==． 又因为1AE =， //AE BP ，所以//AE PG ，且AE PG =，所以四边形AEPG 是平行四边形，所以//AG EP ．又因为AG ⊄平面,PCE EP ⊂平面PCE ，所以//AG 平面PCE ． 因为G F 、分别是BP BC 、的中点，所以//FG PC ．又因为PC ⊂平面,PCE FG ⊄平面PCE ，所以//FG 面PCE 又因为,AG FG G AG ⋂=⊂平面,AFG FG ⊂平面AFG ， 所以平面//AFG 平面PCE ．。
高中数学必修二《平面与平面平行的判定》PPT
问题与探究
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平 面与桌面平行吗？三角板的两条边 所在直线分别与桌面 平行，情况又如何？
根据平面与平面平行的定义可知，判定面面平行的关键在于 判定它们有没有公共点。若一个平面内的所有直线都与另一平面 平行，那么这两个平面一定平行。否则，这两个平面就会有公共 点，这样在一个平面内通过这个公共点的直线就不平行另一平面 了。
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面 平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D.
规律总结：
判断两个平面平行的方法有四种：
（1）利用定义； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用面面平行判定定理的推论； （4）利用面面平行的传递性。 对于考查定义的问题，只需要找出一个反例就行， 没必要把每个选项都正面推导一次。
直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记 为：线面平行，则面面平行。因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问 题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找 到两条相交直线和另一个平面平行即可． 面面平行判定定理的推论：若一个平面内的两 条相交直线 与 另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这 两个平面平行．
【例2】如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1//平面C1BD。 .
【分析】
只要证一个平面内有两 条相交直线和另一个平 面平行即可
跟踪练习2
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱 A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
人教A版高中数学必修二课件第五讲直线与平面、平面与平面平行的性质.pptx
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
Aa B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
Aa B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
∴a与b无公共点． 又∵ a , b ,
解决问题
已知：直线a∥平面, a , b.
求证：a∥b．
a
b
证明： b, b , 又a //
∴a与b无公共点． 又∵ a , b , 即a与b共面．
解决问题
已知：直线a∥平面, a , b.
BC 面BC' 面BC' 面A'C' B'C'
BC//B'C'
EF//B'C'
BC//EF
D'
A'
P E
D
F B'
C' C
EF、BE、CF共面． A
B
则EF、BE、CF为应画的线．
直线与平面平行的性质定理的运用： 例1 如图所示的一块木料中, 棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎
a
b
讲授新课
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．
符号语言：
a
b
讲授新课
直线与平面平行的性质定理
数学：2.2.2《平面与平面平行的判定》课件(新人教A版必修2)
教学目标
• 理解并掌握两平面平行的判定定理。会用这个定 理证明两个平面的平行。 • 教学重点：两个平面平行的判定定理及应用。 • 教学难点：两个平面平行的证明。
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? （1）定义法； （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行．
a b α β β α b a
事实上，
建筑师如何检验屋顶平面是否与 水平面平行？
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
a , b， ab=P a // b // 符号语言
线不在多 贵在相交 //
P b
a
图形语言
面面平行
转化
线面平行
转化
线线平行？
两个平面平行的判定定理： 变式探究
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行 1.线面平行是否可用其它条件代替？ 推论 如果一个平面内有两条 相交 直线分 别平行于另一个平面内的两相交直线，那 么这两个平面平行。 a a , b， ab=P P b // a∥a' , a ' a' b' b∥ , b' b'
无限
转化
有限
启示?
两个平面平行的问题，可以转化为一个 平面内的直线与另一个平面平行的问题。 面面平行
转化
线面平行
2、如果平面α内的任意直线都平 行于平面β，则α∥β吗？
α
β
3、若平面α内有一条直线a平行 于平面β，则能保证α∥β吗？
高二数学人教A版必修二 第二章 2.2.2 平面与平面平行的判定(同步课件1)
对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面
平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么
第十六页，编辑于星期一：点 五十一分。
这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在． 对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面
平行，同①.
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义． 对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平 面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判
2.反过来,如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平 行,那么这两个平面平行.
启示
线面平行
转化
面面平行
第五页，编辑于星期一：点 五十一分。
课堂探究1
1.三角板ABC的一条边BC与桌面平行，如图①三角板 ABC所在的平面与桌面α平行吗？
①
解析：不平行
第六页，编辑于星期一：点 五十一分。
2.当三角板ABC的两条边BC，AB都平行桌面α时，
(4)过平面外一点，只可作1个平面与已知平面平行 （ ）√
第二十三页，编辑于星期一：点 五十一分。
（5）设a，b为异面直线，则存在平面α，β，使
a a,b ，且a / / .
（ √）
α
a
b β
Hale Waihona Puke 第二十四页，编辑于星期一：点 五十一分。
【提升总结】 1.应用定理时，“内”、“交”、“平行”三个条件
2.2.2 平面与平面平行的判定
第一页，编辑于星期一：点 五十一分。
活动板房各个面是怎样拼在一 起的，它们都有什么关系呢？
第二页，编辑于星期一：点 五十一分。
木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次，如 果水准仪的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面 和水平面平行，这是什么道理？
人教新课标A版高中数学必修二 可编辑课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 222 平面与平面平行的判定
.
2．推论：如果一个平面内有两条 相交 直线，分别平
人 教
A
行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
版
数
用符号表示为a∥c，b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α ， 学
c⊂β，d⊂β⇒α∥β
.
3．α∥β，a⊂α⇒ a∥β .
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人
2．2.2 平面与平面平行的判定
教 A 版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人 教 A 版 数 学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．判定定理：如果一个平面内有两条 相交 直 线 分
别 平行 于另一个平面，那么这两个平面平行．用数学符
号表示 a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，a∩b＝A⇒α∥β
一、选择题
1．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平 行，则这两个平面的公共点个数
A．有限个 B．无限个
C．没有
D．没有或无限个
[答案] D
[解析] 两平面相交或平行，故选D.
(
)
人 教
A
版
数
学
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
二、填空题
2．直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a、b的
证明如下：在正方体ABCD－A1B1C1D1中连接PQ.
∵P，Q分别为DD1，CC1的中点，
∴PQ綊CD，CD綊AB.
人
教
∴PQ綊AB，∴四边形ABQP是平行四边形，
A 版
数
∴PA∥QB.
必修2课件：平面与平面平行的判定
课堂练习
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别为A1A、 CC1的中点。求证：平面NBD∥平面MB1D1.
N M
归纳:如何利用定理证明平面与平面平行? ※在平面内找(作)两条相交直线与另一平面平行
综合练习
1.判断下列命题正确与否 (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平 面，那么这两个平面平行 (2)如果一个平面内的无数条直线平行于另一个 平面，那么这两个平面平行 (3)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另 一个平面，那么这两个平面平行 (4)平行于同一条直线的两个平面平行 (5)平行于同一平面的两个平面平行.
3.也就是说,两个平面平行的问题可以转化为线面平行 的问题来解决,可是最少需要几条线与面平行呢？
新课探究
问题1.若平面α内有一条直线a平行于平面β,则 能保证α∥β吗？ a b α 问题2.若平面α内有两条 直线a、b都平行于平面β， 能保证α∥β吗？ β
α
b
a
β
新课探究
问题3.若平面α内有无数条条直线平行于平面β, 则能保证α∥β吗？
例2、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F
分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点。 求证：平面AMN//平面EFDB。
证明：连接MF，
由题意知 A1D1 //MF, 又A1D1 //AD,
又AD//MF , ADFM为平行四边形。
AM // DF ,
又AM 平面EFDB ， DF 平面EFDB, AM // 平面EFDB;
线不在多, 重在相交.
a β α
归纳.平面α内有两条相交直线平行于平面β,就能 保证α∥β.
定理的理解:
1.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的 举例说明： （1）已知平面 , 和直线 m, n ， 若 m , n , m // , n // ，则 // 错误 （2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于另 正确 一平面 ，则 //
(第二课时)平面与平面平行的判定
平面与平面平行的判定
应 例3.已知正方体ABCD-A'B'C'D'，S是B'D'的中点，E,F,G分别
用 是BC,DC,SC的中点.
举 求证：（1）直线EG//平面BDD'B'；
例
（2）平面EFG//平面BDD'B'.
分析： （1）要证线面平，则需线线平；
（2）要证面面平，则需线面平.
平面与平面平行的判定
B.直线a//α，a//β，且直线a不在α内，也不在β内
C.直线a ，直线 b ，且a//β,b//α
D.α内的任何直线都与β平行
平面与平面平行的判定
练习
3.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'中，M,N,E,F分别是棱A'B',A'D', B'C',C'D'的中点.
求证：(1)E,F,B,D四点共面； (2)平面AMN//平面EFDB.
BP 平面PBC，NQ 平面PBC
∴NQ//平面PBC
又底面ABCD是平行四边形
∴BC//AD ∴MQ//BC
BP 平面PBC，NQ 平面PBC
∴MQ//平面PBC
又NQ∩MQ=Q
∴平面MNQ//平面PBC
平面与平面平行的判定
规律方法
证明面面平行的步骤 （1）在一个平面内找到两条相交直线； （2）证明两条直线都与第二个平面平行； （3）结论注意条件的完整性.
练习
1.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：
（则1） α已//知β平面α,β和相直交线m,n，若
m
,
n
人教版高中数学必修22.2.2 平面与平面平行的判定
题型一 题型二
题型二
易错辨析
易错点:不满足面面平行的判定定理的条件而致错 【例2】
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,BB1,CC1,DD1 的中点,求证:平面EG∥平面AC.
题型一 题型二
错解:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB.又EF⊄平面 AC,AB⊂平面AC,所以EF∥平面AC.
题型一 题型二
【变式训练边形,点
M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平
面MNQ∥平面PBC.
题型一 题型二
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP. 因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC. 又底面ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥ 平面PBC.
题型一 题型二
反思判定平面与平面平行的常用方法有: (1)根据定义:证明两个平面没有公共点,通常要采用反证法. (2)根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内 找到两条相交直线平行于另一个平面. 判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则, 即先在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行,若找不到 再作辅助线.
人教版必修二数学课件：2.2 平面与平面平行的判定和性质 (共16张PPT)
平行的判定和性质
一. 平面与平面平行的判定和性质 1. 判定定理: 交线∥平面, 则平面∥平面 2. 性质定理: 平面∥平面, 则交线∥交线 要证面面平行: ①证: 交线∥平面 ②证: 交线∥交线 a b a b
证明面面平行的性质定理 性质定理: 平面∥平面, 则交线∥交线 b 已知: ∥, ∩ = a, ∩ = 求证: a ∥b a 证: ∥ => b 与 无公共点 => a , b a与b没有公共点 => a ∥b a与b同在平面 内
GF∥BD =>GF∥ · · · · · · · · · ② BD GE, GF 平面GEF且相交 · · · · · · ③ ①②③ => 平面GEF∥ EF 平面GEF => EF∥
例5. ∥ , P在 和 外, A,B , PA =A', PB =B', 已知 PA'= 6, AA'=10, A'B'=5, 则AB=_________ 40/3或10/3 A B A B 4 10 P A B A' 5 B' 6 6 10 × 5 A' B' P B' A' 5 = 6 5 6 = AB 16 AB 4 AB=40/3 AB=10/3 P
x2 y2 x2 y2 y2 y2 tan ±tan · · ① a2-5 96 16 12 =1 设 16 12 =1 · 1 tan tan x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ∴ + =1 · · ① · · ① 16 + 12 =1 16 - 12 =1 · 4 3 16 + 12 =1 · a a2+b2-c2 a b a a2+b2-c2 sinA 2ab2 sinA = sinB => sinA 2ab
高中数学 第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》课件3 新人教A版必修2
说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线
EF//平面ABCD.
D1
C1
M A1
D
E
A
G
B1 F C
H B
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为
“线线平行，则线面平行”
思想方法
通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间问题） 转化为直线间的平行关系（平面问题）.
A α
M βB
C
N E
D
l
练习1
如果三个平面两两相交，那么它们的交线 位置如何？
bβ
γ l
α
β γα
ab l a
相交于一条交线 三条交线两两平行
三条交线相交 于一点
应用举例
练习2 一条斜线和两个平行平面相交，求证它和两
个平面所成的角相等．
小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用
2. 思想方法
面面平行
( ）-网校通名校系列资料上，下精品资料！ •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21
•12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/62021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021
D′
平面与平面平行课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
知识点二 平面与平面平行性质定理
二、平面与平面平行性质定理
性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么 两条交线平行． 符号语言： α//β，α∩γ=a，β∩γ=b a//b．
3
PARTTHREE
课堂小结
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
请回忆本节课内容，并回答下列问题：
（1）你学习了哪些知识？ （2）本节课所学的知识中蕴含了什么样的数学思想？
类比、转化，特殊与一般的数学思想 （3）直线、平面之间的平行关系是如何相互转化的？？
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
知识点二 平面与平面平行性质定理
问题4：类比直线与平面平行的研究，下面我们研究平面与平面平行 的性质,也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出那些结论. 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪 些结论？
追问4.1：在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊情况，什么时候 这两条直线平行呢？在图中，平面A′B′C′D′与平面ABCD平行，在平面ABCD内过 点D有平行于直线B′D′的直线吗？如果有，怎样画出这条直线？
追问1.1：减少到一条可以吗？为什么？ 分析：也就是说“如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个 平面平行”．通过分析，这是不一定成立的．
知识点一 平面与平面平行判定定理
问题2：根据基本事实的推论2，3:两条平行直线或两条相交直线， 都可以确定一个平面．由此可以想到，“一个平面内两条平行直线 与另一个平面平行”或“一个平面内两条相交直线与另一个平面平 行”，能否判断这两个平面平行？用自然语言和符号语言表示你的 结论．
2020版人教A数学必修2：2.2.2 平面与平面平行的判定
A)
解析:如图,因为EG∥E1G1,EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,所以EG∥平面 E1FG1,又G1F∥H1E,同理可证H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,所以平面 E1FG1∥平面EGH1.故选A.
4.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中:
①BM∥平面ADNE;
②CN∥平面ABFE;
方法技巧
解决此类问题的关键有两点:(1)借助常见几何体进行分析,使得抽象 问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两 条相交直线均平行于另一个平面”.
即时训练1-1:已知三个平面α ,β ,γ ,一条直线l,要得到α ∥β ,必须满 足下列条件中的( ) (A)l∥α ,l∥β ,且l∥γ (B)l⊂γ ,且l∥α ,l∥β (C)α ∥γ ,且β ∥γ (D)l与α ,β 所成的角相等
2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两
个平面的位置关系是( C )
(A)一定平行
(B)一定相交
(C)平行或相交
(D)以上判断都不对
解析:可借助于长方体判断两平面对应平行或相交.故选C.
3.在正方体EFGHE1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是( (A)平面E1FG1与平面EGH1 (B)平面FHG1与平面F1H1G (C)平面F1H1H与平面FHE1 (D)平面E1HG1与平面EH1G
课堂达标
1.下列命题正确的是( D )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面
高一数学 人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定 课件
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
证明 如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
证明
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 连接SD. ∵点F，G分别是DC，SC的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1， 且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
证明
反思与感悟 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三 种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2) 线线平行 ―判――定―→ 线面平行 ―判――定―→ 面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
第二章 §2.2 直线、平面平行的判 定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理. 2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平 面与平面α平行吗？ 答案 平行.
证明
Байду номын сангаас
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行 例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线 段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解答
引申探究 将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点， 求证：BC1∥平面A1CM. 证明 如图，连接AC1交A1C于点F， 则F为AC1的中点. 又因为M是AB的中点，连接MF， 所以BC1∥MF. 因为MF⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM， 所以BC1∥平面A1CM.
平面与平面平行课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
引导探究
第八章 立体几何
【例5】求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB＝CD．
证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β
分别相交于AC和BD．
∵α∥β， ∴BD∥AC．
又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
当堂诊学
第八章 立体几何
2.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，
平面A1DCE与B1B交于点E.
D1
A1
求证：EC∥A1D.
B1 C
证明∵BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，
1
∴BE∥平面AA1D.
由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就
能使这两个平面平行?
我们可以借助以下两个实例进行观察. 如图 8.5-11（1），a和b分别是矩形硬纸片的
两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗?如图 8.5-11（2），
c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗?
“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所表示的向量是
共线的，它们不能作为平面内的任意向量的基底，用它们不能“代表”
这个平面上的任意一条直线．
引导探究
第八章 立体几何
平面与平面平行的判定定理：
如一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
• 图形语言：
• 符号语言：
a
β
P
目标引领
第八章 立体几何
数学必修2(人教A版)2.2.1直线与平面平行的判定和2.2.2平面与平面平行的判定公开课教学课件 (共23张PPT)
AD1 D1B D1
平面AB1D1 // 平面C1DB
1．证明直线与平面平行、平面与平面平行的方法： （1）利用定义：没有公共点。
（2）利用判定定理．
线线平行 线面平行 线面平行
面面平行
2．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
小测：
如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E， F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点.
④若 内有一条直线 平行，则 与 平行
a 与平面
×
a
命题错误
a
a //
a
a
（两平面平行）
（两平面相交）
b 与平面 ⑤若 内有两条直线 a ， 平行，则 与 平行
a // b
a
a∩b=P
a
b
b
b
P
a
（两平面平行） （两平面相交） （两平面平行） 两 种 情 况 命题错误 唯 一 命题正确
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面.
P
b
a
练 α与平面β平行的条件可 练5 4．平面 ．判断下列命题是否正确，正 D 以是（ ） 确的说明理由，错误的举例说明： （A）α内有无穷多条直线都与β平行.
（1）已知平面α ， β和直线m， n ，若 m α ,n α ,m// （B）直线a∥α ，a∥β ，且直 线a β ,n// β 则α β // β ； 不在 α内，也不在 内. 错误 （2）一个平面α内两条不平行直 （ C）直线 a α,直线b ，则 β, α 且 线都平行于另一平面 β a// β,b// α // β ；
面面平行的判定
C1D1
归纳
1、面面平行的定义；
2、面面平行的判定定理； 3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行， 只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线 线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、 面面间的位置关系的转化使问题得到解决。
平面与平面平行判定定理的应用
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
◆数学•必修2•(配人教A版)◆
2.2.2平面与平面平行的判定
金品质•高追求 我们让你更放心 ！
复习回顾：
二. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）Байду номын сангаас行
（2）相交 （3）重合
α∥β
a
怎样判定平面与平面平行呢？
生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉， 前后两块黑板也是平行的。
D．4个
解析：①③④错，②正确．
答案：A
4．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么 这两个平面的位置关系是__平__行____．
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)
①若a∥b，b⊂α，则a∥α ②若a∥α，b∥α，则 a∥b ③若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α ④若a∥α， b⊂α，则a∥b
∴MN∥平面EFDB.
连接DF，MF， ∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1， ∴MF∥AD，MF＝AD ∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF
又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE. 又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
点评：判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后 作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个面平行的相交直 线，若找不到再引辅助线．
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结论： //
（4）推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行. （5）怎样判定平面与平面平行？
定义法：证明平面与平面无公共点； 判定定理：其中一个平面内找出两条相交直线分别平
行于另一个平面 a ⊂ , b ⊂ , a b = P , a // , b // ⇒ // .
P
B’
A’
A
C’
C
E
F
B
D
反思~领悟：
1.面面平行,通常可以转化为线面平行来处理.
基本思路: 线线平行
线面平行
面面平行
2、证明的书写三个条件“内”、“交”、“平行”， 缺一不可。
巩固练习:
2.选择题：
( 1 ). 平面 M // 平面 N ，直线 a M ，直线 b N ， 下面四种情形： ( 1 ) a // b ，2 ) a b ，3 ) a 与 b 异面， ( ( ( 4 ) a 与 b 相交 , 其中可能出现的情形有 (
b
a
P
m
n
二、定理的理解:
2、平面和平面平行的条件可以是（ D,F,G）
（A） 内有无数多条直线都与 平行
（B）直线 a // , a // , （C）直线 a ，直线 b ，且a // , b //
（D） 内的任何一条直线都与 平行
（E)平面 内不共线的三点到 的距离相等
C
线线平行
线面平行
面面平行
巩固练习:
1、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,E,F分别是 棱A1B1, A1D1,B1C1,C1D1的中点，求证:平面AMN//平 面EFDB.
D1
N
A1
F M
C1 B1
E
D
C
B
A
2、点P是△ABC所在平面外一点，A’,B’,C’分别
是△PBC 、 △PCA、 △PAB的重心. 求证:平面A’B’C’//平面ABC
三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则结论就不 一定成立了。
（4）怎样判定直线与平面平行？
定义法：证明直线与平面无公共点； 判定定理：证明平面外直线与平面内直线平
行．
线线平行 线面平行
思考：（1）若平面外两个点到此平面的距离相等，则经过这两点的直线与这个 平面平行。（ ） （2）若平面外三点到此平面的距离相等，则经过这三点的平面与这个平 面平行。（ ） （3）若平面外不共线的三点到此平面的距离相等，则经过这三点的平面 与这个平面平行。（ ）
则这两个平面平行 .
归纳结论
b
(2)符号表示： ①内
a ,b ②交 a b P // a // , b // ③平行
a
P
简述为：线面平行，则面面平行
（3）注意：
条件要点：
1〉两条 内有 2〉相交 3〉分别和 平行
（F) // r ，
// r.
(G) α⊥AA’，β⊥AA’
三、定理的应用
例1.如图,在长方体
ABCD A B C D
' ' '
' '
'
中,
求证:
平 面 C D B // 平 面 A B D
'
.
D' A' B' C'
分析： 只要证一个平面内有
两条相交直线和另一个平面平 行即可．
D A B
D1 A1
C1
B1 F
？
A
E D
C B
探究问题
（3）平面 内有两条相交直线与平面 平行， 情况如何呢？
D1 A1 B1 D A B C C1
问题讨论 建筑师如何检验屋顶平面是否与水平 面平行？
探究：一个平面内的两条相交直线与另一个平面
平行，则这两个平面平行． 已知: a ⊂ , b ⊂ 求证: a∩ P b
二、两个平面的位置关系
位置关系 公 共 点 符号表示 图形表示
两平面平行
没有公共点
两平面相交
有一条公共直线
∥
a
a
2.2.2平面与平面平行的判定
探究问题
(1)平面 内有一条直线与平面 平行， ， 平行 吗？ (2)平面 内有两条直线与平面 平行， ， 平行 吗？
一、直线和平面平行的判定
（1）直线和平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。
a b a // a // b
（2）符号表示：
简述为： 线线平行，则线面平行 （3）注意：使用定理时，必须具备三个条件：
（1）直线a在平面α外， （2）直线b在平面α内， （3）两条直线a、b平行
线线平行
线面平行
面面平行
二、定理的理解:
1.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的 举例说明： （1）已知平面 , 和直线 m , n ， 若 m , n , m // , n // ，则
//
错误
（2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于另 正确 一平面 ，则 //
C)
(A). 1 种
(B). 2种
(C). 3种
(D). 4种
（2）经过平面外两点可作该平面的平行平面的
个数为（ C ） (A). 0 (B). 1 (C). 0 或 1 (D). 1 或 2
3:判断下列命题是否正确,并说明理由. ① 若平面α内的两条直线分别与平面β平 行,则α与β平行. (×) ②若平面α内的无数条直线分别与平面β (×) 平行,则α与β平行. ③平行于同一直线的两个平面平行. (×) ④两个平面分别经过两条平行直线,则 (×) 这两个平面平行. ⑤过已知平面外一条直线,必能作出与已知 (×) 平面平行的平面.
a // , b //
证明：用反证法证明 ,
//
a // c
同理 b // c ,
a // b
这与题设a 和 b是相交直线是矛盾的．
//
一、平面与平面平行的判定定理： (1)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，