2019_2020学年高中数学课时分层作业4角度问题含解析新人教b版必修5

课时分层作业(四) 角度问题

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．从C 处望A 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则∠BAC ＝( ) A ．α B ．α＋β C ．90°

D ．|α－β|

B [由图可知∠BA

C ＝α＋β.]

2．某人沿着倾斜角为α的斜坡前进c m ，那么他上升的高度是( ) A ．c sin α B ．c tan α C ．c cos α D ．c

tan α

A [如图，∠C ＝α.

∴sin α＝AB c

. ∴AB ＝c ·sin α.]

3．有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s ，小船的速度为 2 m/s ，为

使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶( )

A ．与水速成45°

B ．与水速成135°

C ．垂直于对岸

D ．不能确定

B [如图所示，AB 是水速，AD 为船速，A

C 是船的实际速度，且AC ⊥AB ，在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝AB BC ＝AB A

D ＝

22

.

∴∠ABC ＝45°，

∴∠DAB ＝90°＋45°＝135°. 则小船的方向应与水速成135°行驶．]

4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )

A ．200 m

B ．300 m

C ．400 m

D ．100 3 m

B [法一：如图，△BED ，△BD

C 为等腰三角形，B

D ＝ED ＝600(m)，BC ＝DC ＝2003(m)．

在△BCD 中，由余弦定理可得

cos 2θ＝6002

＋(2003)2

－(2003)2

2×600×2003＝3

2，∴2θ＝30°，4θ＝60°.

在Rt △ABC 中，

AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×

3

2

＝300(m)，故选B ． 法二：由于△BCD 是等腰三角形， 1

2

BD ＝DC cos 2θ， 即300＝2003cos 2θ. cos 2θ＝

3

2

，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ ＝2003×

3

2

＝300(m)，故选B ．] 5．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )

A ．12 m

B ．8 m

C ．3 3 m

D ．4 3 m

D [由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝AC

sin B ，

即AB ＝

AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°

sin 30°

＝4 3.]

二、填空题

6．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处

出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________．

30°[如图，OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，

∴∠BOC＝30°.]

7．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．

30°[如图，∠CAB＝60°，BC⊥AC时，BC在地面的影子最长为AB，此时∠CBA＝30°.]

8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C 处，则A，C两地的距离为________km.

7 [如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.

由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC＝7.

则A，C两地的距离为7 km.]

三、解答题

9．要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m，速度为900 km/h，航测员先测得M山顶的俯角为30 °，经过40 s(已飞过M点)后又测得M山顶的俯角为45 °，求山顶的海拔高度．(精确到m)(可能要用到的数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.450)

[解]900 km/h＝250 m/s，

AB＝250×40＝10 000(m)，

在△ABM中，由正弦定理得

BM sin 30 °＝AB

sin 105 °，

所以BM ＝

AB sin 30°

sin 105°

，作MD ⊥AB 于点D (图略)，

则MD ＝BM sin 45°

＝

AB sin 30°

sin 105 °×sin 45 °＝10 000×12×

22

22×12＋22×3

2

＝

10 000

3＋1

＝5 000(3－1)≈3 660， 所以山顶M 的海拔高度为10 000－3 660≈6 340(m)．

10．如图所示，在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A

处(3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．

此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？

[解] 设缉私船用t h 在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，

在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得

BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，

∴BC ＝6，

且sin ∠ABC ＝AC

BC

·sin∠BAC ＝26

·

32＝22

. ∴∠ABC ＝45°. ∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠BCD ＝

BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t

＝1

2，

∴∠BCD ＝30°.