1-2约束与约束反力
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约束与反力2
柔性约束
2、光滑接触面约束
（接触面摩擦力很小可忽略不计时）
约束特点:
只能限制沿接触点的法线方向
趋向支承面的运动
NB
约束反力的确定：
通过接触点，沿着接触面公
法线方向，指向被约束的物体，
NA
即物体受压。
光滑接触的约束反力通常用ＦN 或
N表示。
光滑接触约束实例3
光滑接触约束实例
3.光滑铰链约束（简称铰链约束）
1.理想柔性约束 忽略摩擦，把实际中的绳索、链条、胶带等看成
十分柔软又不可伸长的柔索，它限制了被约束体 沿索向向外的运动。
1、柔性约束
柔性约束的特点：
只能限制物体沿柔体伸长方向的运动,只能 受拉，不能受压。
柔性约束反力确定:作用于触点,沿柔性体 中心,背离被约束物体
约束反力符号：柔性约束反力用 FT或T表 示
约束与约束反力
一、自由体与非自由体 1 .自由体：位移不受限制的物体称为自由体。
如，空中飞行的炮弹、飞机或入造卫星等。
[观察与思考]在日常生活中可以看到： 绳索悬挂的灯、支承在墙上或柱子上 的梁都掉不下来；人坐在椅子上也摔 不下来。为什么灯、梁和椅子上的人 都不能向下运动呢？
答：因为灯、梁和人的运动受到周围 物体的限制，不可能在空间某些方向 运动。
6．产生条件：当物体沿着约束所能阻止的方向上有 运动或有运动趋势时，才会出现约束力。
F1N G
F2N
主动力（荷载） 物体的受力可分为两类：约束反力和主动力。 除约束反力以外的其它力称为主动力 例如：物体的重力、结构承受的风力和水压力、
机械零件中的弹簧力、以及电磁力等。 主动力一般为已知力。
ห้องสมุดไป่ตู้、工程中常见的几种约束及约束力特点
1-2 受力分析受力图解读
力偶表示。
(c) 组合结点（不完全铰）
兼有铰结点和刚结点二者的性能。
４、支座的简化
支座——连接杆件与地基之间的装置。 ⑴ 可动铰支座 允许沿支座链杆垂直方向的微 小移动和转动
⑵ 固定铰支座：可以转动，但不能移动
⑶ 固定端支座：既不能转动也不能移动 ⑷ 定向支座 ：仅能沿指定方向移动
第七节 受力分析与受力图
例1-6
例1-7 P14
练习:作出下列结构中AB杆的受力图
作出下列结构中各构件及整体的受力图
第九节 荷载的分类
１、按作用时间分类： 恒载：永久作用在结构上。如结构自重、
永久设备重量。 活载：暂时作用在结构上。如人群、风、
雪及车辆、吊车。
2、按作用位置是否变化分类： 固定荷载：作用位置固定不变。如结构自重。 移动荷载：作用位置连续变化。如行驶汽车。
分离体（隔离体）： 解除周围约束后所得的自由物体。
受力图： 在分离体上画上它所受的全部主动力和约束
反力，就称为该物体的受力图。 内力与外力：
如果所取的分离体是由某几个物体组成的物体 系统时，通常将系统外物体对物体系统的作用力称 为外力；而系统内物体间相互作用的力称为内力。
三、单个物体的受力图
画物体受力图主要步骤为： ① 选研究对象； ② 取分离体； ③ 画主动力； ④ 画约束反力。
[例] 吊灯
T G
2、光滑接触面约束
组 成：由光滑接触面构成的约束。 约束特点：不论接触面是平面或曲面，都不能限制物体沿接触
面切线方向的运动，而只能限制物体沿着接触面的 公法线指向约束物体方向的运动。
约束反力方向：通过接触点，沿着接触面公法线方向，指向
被约束的物体，表现为压力。通常用N 表示。
(c) 组合结点（不完全铰）
兼有铰结点和刚结点二者的性能。
４、支座的简化
支座——连接杆件与地基之间的装置。 ⑴ 可动铰支座 允许沿支座链杆垂直方向的微 小移动和转动
⑵ 固定铰支座：可以转动，但不能移动
⑶ 固定端支座：既不能转动也不能移动 ⑷ 定向支座 ：仅能沿指定方向移动
第七节 受力分析与受力图
例1-6
例1-7 P14
练习:作出下列结构中AB杆的受力图
作出下列结构中各构件及整体的受力图
第九节 荷载的分类
１、按作用时间分类： 恒载：永久作用在结构上。如结构自重、
永久设备重量。 活载：暂时作用在结构上。如人群、风、
雪及车辆、吊车。
2、按作用位置是否变化分类： 固定荷载：作用位置固定不变。如结构自重。 移动荷载：作用位置连续变化。如行驶汽车。
分离体（隔离体）： 解除周围约束后所得的自由物体。
受力图： 在分离体上画上它所受的全部主动力和约束
反力，就称为该物体的受力图。 内力与外力：
如果所取的分离体是由某几个物体组成的物体 系统时，通常将系统外物体对物体系统的作用力称 为外力；而系统内物体间相互作用的力称为内力。
三、单个物体的受力图
画物体受力图主要步骤为： ① 选研究对象； ② 取分离体； ③ 画主动力； ④ 画约束反力。
[例] 吊灯
T G
2、光滑接触面约束
组 成：由光滑接触面构成的约束。 约束特点：不论接触面是平面或曲面，都不能限制物体沿接触
面切线方向的运动，而只能限制物体沿着接触面的 公法线指向约束物体方向的运动。
约束反力方向：通过接触点，沿着接触面公法线方向，指向
被约束的物体，表现为压力。通常用N 表示。
1-2结构计算简图
常见的几种约束 ⑵ 光滑接触面约束 两物体光滑的接触，它们之间的摩擦力可以忽略。
光滑面约束对物体的约束力：作用于接触点处， 沿接触面的公法线，并指向被约束物体，常用 N表示。
W W N N
常见的几种约束 ⑵ 光滑接触面约束 工程实例
常见的几种约束 ⑶ 圆柱铰链约束 简称铰链，是由一个圆柱形销钉插入两个物体的 圆孔中构成，并且认为销钉和圆孔的表面都是光滑的。
柔体约束由软绳、链条等构成。
柔体约束对物体的约束力：通过接触点, 沿柔体中心线且背离物体，常用T 表示。 约束力特点：只能是拉力，不能是压力。
柔索受压不能平衡
常见的几种约束 ⑴ 柔体(柔索)约束 工程中柔索约束实例：
胶带对轮的约束力沿轮 缘的切线方向，为拉力。
常见的几种约束 ⑴ 柔体(柔索)约束 工程中柔索约束实例：
⑵ 可动铰支座
工程实例
⑵ 可动铰支座
A
其它表示
B C
RA
RB
RC
A
C B
RA
RB
RC
固定铰支座和可动铰支座的工程应用实例
⑶ 固定端支座
简化 计算简图
雨棚
支座反力
基础
简化
计算简图 支座反力
⑶ 固定端支座
工程实例
1.2.2 结构的计算简图
荷载及其分类 荷载：作用上结构上的主动力。 主动力：使物体产生运动或使物体有运动趋势的力。 ⑴ 根据作用在结构上的时间长短分类：
①固定荷载：荷载作用的位置固定不变。如所有的 恒载、风载和雪载等。
②移动荷载：在荷载作用期间，其位置不断变化的 荷载。如吊车、汽车、火车等。
1.2.2 结构的计算简图
⒈ 荷载及其分类 荷载：作用上结构上的主动力。 主动力：使物体产生运动或使物体有运动趋势的力。 ⑷ 根据荷载的作用性质分类：
约束力和约束反力
反力画法：
W
G1
G2
0
G
N
N1
N1
N2
N2
N3
光滑约束（接触面法向压力）
《建筑力学》：第一章 绪论和基本概念
1-3 约束及约束反力
光滑圆柱铰链 光
滑
固定铰支座
面
约
活动铰支座
束
球铰
《建筑力学》：第一章 绪论和基本概念
1-3 约束及约束反力 光滑圆柱铰链：
铰光链滑约圆束柱的铰常反链用力是过：指铰用链圆中柱心形两销个钉大将小两未个知构的件正联交接分在力
X一，起Y来所表形示成,的两约个束分，力不的计指接向触可处以的假摩设擦。。
X
R
R Y
《建筑力学》：第一章 绪论和基本概念
1-3 约束及约束反力
➢两个构件光用滑光圆滑圆柱铰链铰连连接接称为铰连接。
柱铰链
链 杆 铰连接简图：
约束反力通过铰中 心，大小和方向不能确 定，通常用正交的两个 分力表示。
《建筑力学》：第一章 绪论和基本概念
《建筑力学》：第一章 绪论和基本概念
1-3 约束及约束反力
光滑圆柱铰链
光
滑
固定铰支座
面
约
活动铰支座
束
球铰
《建筑力学》：第一章 绪论和基本概念
1-3 约束及约束反力
活动铰支座：
在固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成．
约束特点： 仅约束构件在垂直于支撑面方向的位移。
约束力：通过接触点，垂直于光滑接触面。方向任意假定。
《建筑力学》：第一章 绪论和基本概念
1-3 约束及约束反力
➢约束反力的特点： ①大小常常是未知的； ②方向总是与约束限制的物体的 位移方相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
第1章第2节 约束概念及受力图
A
C
二力杆
B
A
C
B
G
D
D
二力杆
G
刚体在二力作用下平衡的必要充分条件是此二 力等值、反向、共线。 力等值、反向、共线。 约束力必沿二铰链中心的连线， 约束力必沿二铰链中心的连线，其指向可任意 假设。 假设。
§1-3 受力图
物体的受力分析
确定物体受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向。 确定物体受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向。
例 题 1
例 题 2
F
C B
A A
C B
FAy
A
F
C
FB
B
P
A
FA
FAx
C
FA
B
F
C
FNB
A
FB
B
P
图示三角拱桥，由左、右两拱铰接而成。 图示三角拱桥，由左、右两拱铰接而成。设各拱自重 例 题 3 不计，在左拱上作用有载荷 。 不计，在左拱上作用有载荷P。 试分别画出左、右拱及整体的受力图。 试分别画出左、右拱及整体的受力图。
P
P
课堂练习
（1） ）
作出图示结构中各构件的受力图
（2） ）
（3） ）
第一次作业： 、 、 、 、 第一次作业：1-1、1-2、1-3、1-4、 1-5（d有点问题改一下） 有点问题改一下） （ 有点问题改一下
主动力与被动力
主动力：促使物体运动或有运动趋势的力，其大小和方向 主动力：促使物体运动或有运动趋势的力， 都已知。如重力、水压力等。 都已知。如重力、水压力等。 被动力：由主动力引起并随其变化的力， 被动力：由主动力引起并随其变化的力，其大小和方向都 不知。如约束反力。 不知。如约束反力。
约束力与约束反力
相反。 （ 3） 作 用 点 ： 作 用 在 被 约 束 物 体 与 约 束 物 体的接触处。 三、约束类型 1、 柔 性 约 束 （ 1）约 束 ： 绳 子 、链 条 、 皮 带 等 柔 软 物 体 。 （ 2） 约 束 反 力 （ T 或 S） 方向：沿着约束背离物体。 2、 理 想 光 滑 面 约 束 （ 1） 反 力 方 向 总是沿接触面的法线而指向物体。 （ 2） 符 号 ： N 例：
G G N
C NC G B NA NB G
A
练习（学生上黑板） ： P13： 1、 a 作 业 ： P13 2、 a 1、 b. c 2、 b. c 3、Βιβλιοθήκη 课 教 标 学题 目
约束力与约束反力 理 解 约 束 的 概 念 、熟 悉 各 种 约束类型及约束反力的特 点 约束反力的方向的判断
程
教 学 重 、 难点 教 学 过
复习提问：
1 、什 么 是 二 力 杆 、三 力 杆 ？ 作 用 在 二 力 杆 、 三力杆上的 力有什么特点？ 2、 什 么 是 三 力 平 衡 汇 交 原 理 ？ 3、 公 理 一 和 公 理 二 之 间 有 什 么 区 别 ？ 一、约束的概念（新授） 限制物体运动的周围物体称为约束。 二、约束反力与主动力 1、 主 动 力 ： 已 知 使物体产生运动或运动趋势的力称为主 动力。 2、 约 束 反 力 ： 未 知 （ 1 ）定 义 ：限 制 物 体 运 动 或 运 动 趋 势 的 力 。 （ 2） 方 向 ： 总 是 与 约 束 新 能 限 制 的 运 动 或 运动趋势方向
工程力学约束与约束反力
总结词
机械设备维修保养
详细描述
通过对机械设备的约束和反力进行分析，可 以指导机械设备的维修保养工作。通过对机 械设备运行过程中的约束和反力进行监测和 分析，可以及时发现潜在的故障或损伤，并 采取相应的维修保养措施，确保机械设备的
正常运行和使用寿命。
05
案例分析：桥梁的约束与反力
桥梁的常见约束类型
01
02
03
固定端约束
桥梁的固定端约束限制了 所有方向的位移和旋转， 使得桥梁在固定端处不能 移动或转动。
弹性约束
桥梁的弹性约束主要考虑 了材料的弹性性质，包括 弯曲和剪切变形。
流体约束
对于桥梁跨越河流、湖泊 等水域的情况，需要考虑 水流的阻力对桥梁位移和 转动的限制。
桥梁的约束反力计算
固定端约束反力
在固定端约束处，约束反力的大小和 方向由外力的大小和方向以及桥梁的 位移和转动情况决定。
弹性约束反力
流体约束反力
流体约束反力的大小和方向与水流的 速度、方向以及桥梁的形状、大小有 关，可以通过流体动力学的方法计算 。
弹性约束反力的大小和方向与桥梁的 位移和转动的变化率有关，可以通过 弹性力学的方法计算。
总结词
铰链约束的约束反力通常为零或非零， 具体取决于铰链的形式和被约束物体的 运动状态。
VS
详细描述
铰链约束通常限制了物体的某些自由度， 因此其约束反力可能为零。例如，固定在 铰链上的杆在铰链轴的方向上无法移动， 因此该方向的约束反力为零。然而，如果 物体在铰链约束下受到外力作用，则铰链 约束会产生非零的约束反力。
车辆行驶中的约束与反力分析
总结词
车辆动力学性能
详细描述
在车辆行驶过程中，约束和反力的分析对于车辆动力学性 能的研究至关重要。通过分析轮胎与地面之间的约束和反 力，可以研究车辆的操控稳定性、制动性能和行驶平顺性 等。
机械设备维修保养
详细描述
通过对机械设备的约束和反力进行分析，可 以指导机械设备的维修保养工作。通过对机 械设备运行过程中的约束和反力进行监测和 分析，可以及时发现潜在的故障或损伤，并 采取相应的维修保养措施，确保机械设备的
正常运行和使用寿命。
05
案例分析：桥梁的约束与反力
桥梁的常见约束类型
01
02
03
固定端约束
桥梁的固定端约束限制了 所有方向的位移和旋转， 使得桥梁在固定端处不能 移动或转动。
弹性约束
桥梁的弹性约束主要考虑 了材料的弹性性质，包括 弯曲和剪切变形。
流体约束
对于桥梁跨越河流、湖泊 等水域的情况，需要考虑 水流的阻力对桥梁位移和 转动的限制。
桥梁的约束反力计算
固定端约束反力
在固定端约束处，约束反力的大小和 方向由外力的大小和方向以及桥梁的 位移和转动情况决定。
弹性约束反力
流体约束反力
流体约束反力的大小和方向与水流的 速度、方向以及桥梁的形状、大小有 关，可以通过流体动力学的方法计算 。
弹性约束反力的大小和方向与桥梁的 位移和转动的变化率有关，可以通过 弹性力学的方法计算。
总结词
铰链约束的约束反力通常为零或非零， 具体取决于铰链的形式和被约束物体的 运动状态。
VS
详细描述
铰链约束通常限制了物体的某些自由度， 因此其约束反力可能为零。例如，固定在 铰链上的杆在铰链轴的方向上无法移动， 因此该方向的约束反力为零。然而，如果 物体在铰链约束下受到外力作用，则铰链 约束会产生非零的约束反力。
车辆行驶中的约束与反力分析
总结词
车辆动力学性能
详细描述
在车辆行驶过程中，约束和反力的分析对于车辆动力学性 能的研究至关重要。通过分析轮胎与地面之间的约束和反 力，可以研究车辆的操控稳定性、制动性能和行驶平顺性 等。
约束力和约束反力
在工程实际中，为了求出未知旳约束反力， 需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此， 首先要拟定物体旳全部受力情况，即对物体进 行受力分析。反应物体受力状态旳图称为受力 图。
1-4
物体旳受力图 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
受力分析旳措施： 1.明确研究对象，把所要研究旳物体从约束中解除出来，
小结：
(1) 柔体约束: 拉力
光滑圆柱铰链：2个相互垂直分力
(2) 光滑面约束
固定铰支座：2个相互垂直分力 活动铰支座：1个垂直接触面旳反力
球铰：3个相互垂直分力
(3) 固定端:2个相互垂直分力、1个反力偶 end
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
1.4 物体旳受力图
1-4
物体旳受力图 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
例4:绘制构件及整体受力图（不计自重）。
F C
FC C
A FAx
FA
FAy
B FB
F C
B FB
F′C
FAx A
FA
FAy
完毕
1-4
物体旳受力图 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
讨论：若左、右两拱都考 虑自重，怎样画出各受力 图？
完毕
1-4
物体旳受力图 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
滑
固定铰支座
面
约
活动铰支座
束
球铰
1-3 约束及约束反力 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
球形铰约束：
经过圆球和球壳将两个构件连接在一起旳约束称为球铰。
1-3 约束及约束反力 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。 球铰：
约束特点：经过球与球壳将构件连接，构件能够绕球心任意 转动，但构件与球心不能有任何移动．
建筑结构力学--约束与约束反力
约束与约束反力
一、概念
自由体：位移不受限制的物体叫自由体。
非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束。 （这里，约束是名词，而不是动词的约束。） 约束反力：约束给被约束物体的力叫约束反力。
约束反力特点： ①大小常常是未知的；
②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反；
以上约束，其约束特性相同，
b.活动铰链支座
N的实际方向也 可以向下
约束特点： 在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑 辊轴而成。 约束力： 构件受到⊥光滑面的约束力。
活动铰支座
三、建筑结构构件的抽象
预制钢筋混凝土门窗过梁和简易桥梁的简化
A A B B
二、类型和研究方法：
1.由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束 由柔软而不计自重的绳索、链条、传动带等形成的约束 称为柔体约束。 绳索类只能受拉，所以它们的约束反力是作用在接触点，
方向沿绳索背离物体。
T
P P
S1 S'1
S2
S'2
2.光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计) 两个相互接触的物体，如果接触面上的摩擦力很小而略去不计，那么 由这种接触面所构成的约束，称为光滑接触面约束。
YA A
A
XA
A
约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成， 如剪刀。
4.铰链支座的约束
a.固定铰链支座 若圆柱销连接的两构件中有一个是固定 构件，则称其为固定铰链支座。
固定铰支座
滑槽与销钉 （双面约束）
二力杆
固定铰链支座
约束特点： 由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成。
约束力：与圆柱铰链相同
约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力物体
一、概念
自由体：位移不受限制的物体叫自由体。
非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束。 （这里，约束是名词，而不是动词的约束。） 约束反力：约束给被约束物体的力叫约束反力。
约束反力特点： ①大小常常是未知的；
②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反；
以上约束，其约束特性相同，
b.活动铰链支座
N的实际方向也 可以向下
约束特点： 在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑 辊轴而成。 约束力： 构件受到⊥光滑面的约束力。
活动铰支座
三、建筑结构构件的抽象
预制钢筋混凝土门窗过梁和简易桥梁的简化
A A B B
二、类型和研究方法：
1.由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束 由柔软而不计自重的绳索、链条、传动带等形成的约束 称为柔体约束。 绳索类只能受拉，所以它们的约束反力是作用在接触点，
方向沿绳索背离物体。
T
P P
S1 S'1
S2
S'2
2.光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计) 两个相互接触的物体，如果接触面上的摩擦力很小而略去不计，那么 由这种接触面所构成的约束，称为光滑接触面约束。
YA A
A
XA
A
约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成， 如剪刀。
4.铰链支座的约束
a.固定铰链支座 若圆柱销连接的两构件中有一个是固定 构件，则称其为固定铰链支座。
固定铰支座
滑槽与销钉 （双面约束）
二力杆
固定铰链支座
约束特点： 由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成。
约束力：与圆柱铰链相同
约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力物体
约束和约束反力
力四边形法则、力三角形法则 和力的多变形法则;
2
第一章 静力学的基本概念和公理
1.1 力的概念 1.2 静力学公理 1.3 约束与约束反力 1.4 受力分析和受力图
3
§1.3 约束和约束反力
1. 基本概念 •自由体：可以在空间任意运动的物体
•非自由体：运动受到某些限制的物体
4
§1.3 约束和约束反力
1、柔性约束:沿柔性绳索远离被约束体。
2、理想光滑表面约束: 沿公法线方向指向被约束体
3、铰链和轴承约束: 不能确定方向(接触点)时, 用一对正交分力表示.
4、固定端约束: 用力偶和一对正交分力来表示
5、尖端约束: 在接触点沿公法线方向指向被约束体
34
§1.4 受力分析和受力图
1.4 受力图
画受力图是对物体进行受力分析的第一步， 也是最重要的一步。
FAy
q
F
FAy
q
F
MA A FAx B
C
MA
FC
FBx
C
FAx
FBx
FBy
FBy
FC
41
§1.4 受力分析和受力图
例 5 连杆滑块机构如图，受力偶 M和力F作用， 试画出其各构件和整体的受力图。
解: 研究系统整体、杆AB、BC(二力杆)及滑块C。
B
FAy
M A FAx
C F
FC
FBC
B
B
FAy
M FBC
非自由体实例
5
§1.3 约束和约束反力
•约 束：限制被约束体运动的周围物体。
•列车是被约束体 •铁轨是约束体
•铁轨作用在车轮 上的力为约束力
•约束力：约束作用在被约束体上的力。
2
第一章 静力学的基本概念和公理
1.1 力的概念 1.2 静力学公理 1.3 约束与约束反力 1.4 受力分析和受力图
3
§1.3 约束和约束反力
1. 基本概念 •自由体：可以在空间任意运动的物体
•非自由体：运动受到某些限制的物体
4
§1.3 约束和约束反力
1、柔性约束:沿柔性绳索远离被约束体。
2、理想光滑表面约束: 沿公法线方向指向被约束体
3、铰链和轴承约束: 不能确定方向(接触点)时, 用一对正交分力表示.
4、固定端约束: 用力偶和一对正交分力来表示
5、尖端约束: 在接触点沿公法线方向指向被约束体
34
§1.4 受力分析和受力图
1.4 受力图
画受力图是对物体进行受力分析的第一步， 也是最重要的一步。
FAy
q
F
FAy
q
F
MA A FAx B
C
MA
FC
FBx
C
FAx
FBx
FBy
FBy
FC
41
§1.4 受力分析和受力图
例 5 连杆滑块机构如图，受力偶 M和力F作用， 试画出其各构件和整体的受力图。
解: 研究系统整体、杆AB、BC(二力杆)及滑块C。
B
FAy
M A FAx
C F
FC
FBC
B
B
FAy
M FBC
非自由体实例
5
§1.3 约束和约束反力
•约 束：限制被约束体运动的周围物体。
•列车是被约束体 •铁轨是约束体
•铁轨作用在车轮 上的力为约束力
•约束力：约束作用在被约束体上的力。
约束与约束反力
（1）固定铰链支座:如果铰链约束中两个构件有一个固 定在地面或机架上，简称固定铰支。
固定铰链约束反力
Fy
Fx
固定铰支的约束反力方向不能预先确定，通常用 两个Байду номын сангаас相垂直的分力来代替。
（2）活动铰链支座
F
F
活动铰链支座的约束性质与光滑接触表面 的约束性质相同，其反力必垂直于固定面。 上述两种约束的特点是限制两物体径向相 对运动，而不是限制两物体绕铰链中心的相对 转动。
考纲要求
1.力、力偶、力矩的概念与基本特性； 2.力的三要素；
3.静力学四公理；
4.约束力与约束反力的分类与概念；
第二节 约束和约束反力
学习目标
1、理解自由体、非自由体、约束、约束反
力等重要概念；
2、掌握常见的约束类型； 3、能够正确画出约束反力。
重要概念
1.自由体：空间位移不受限制的物体称为自由体。
4.固定端约束
一个杆件的一端完全固定，即不能够移动 也不能够转动，这种约束称为固定端约束。
FAy
MA
A
FAx
B
巩固练习
1.柔体约束的约束特点是只能承受 受 压力 。 拉力 ，不能承
转动 。
2.固定端既限制物体的 移动，又限制物体的
固定铰支 3.光滑的铰链约束包括两种形式： 、 活动铰支 。
4.约束对物体的作用力称为 约束反力
5.约束反力以外的力称为 主动力 。
。
二、选择题
1．带传动中，带所产生的约束力是 D A．铰链约束 B.光滑面约束 C．固定端约束 D.柔体约束 ＡＢＣＤ 2.常见约束类型有_______ A 光滑接触面的约束 B 柔性约束 C 光滑铰链约束 D 固定端约束
固定铰链约束反力
Fy
Fx
固定铰支的约束反力方向不能预先确定，通常用 两个Байду номын сангаас相垂直的分力来代替。
（2）活动铰链支座
F
F
活动铰链支座的约束性质与光滑接触表面 的约束性质相同，其反力必垂直于固定面。 上述两种约束的特点是限制两物体径向相 对运动，而不是限制两物体绕铰链中心的相对 转动。
考纲要求
1.力、力偶、力矩的概念与基本特性； 2.力的三要素；
3.静力学四公理；
4.约束力与约束反力的分类与概念；
第二节 约束和约束反力
学习目标
1、理解自由体、非自由体、约束、约束反
力等重要概念；
2、掌握常见的约束类型； 3、能够正确画出约束反力。
重要概念
1.自由体：空间位移不受限制的物体称为自由体。
4.固定端约束
一个杆件的一端完全固定，即不能够移动 也不能够转动，这种约束称为固定端约束。
FAy
MA
A
FAx
B
巩固练习
1.柔体约束的约束特点是只能承受 受 压力 。 拉力 ，不能承
转动 。
2.固定端既限制物体的 移动，又限制物体的
固定铰支 3.光滑的铰链约束包括两种形式： 、 活动铰支 。
4.约束对物体的作用力称为 约束反力
5.约束反力以外的力称为 主动力 。
。
二、选择题
1．带传动中，带所产生的约束力是 D A．铰链约束 B.光滑面约束 C．固定端约束 D.柔体约束 ＡＢＣＤ 2.常见约束类型有_______ A 光滑接触面的约束 B 柔性约束 C 光滑铰链约束 D 固定端约束
约束与约束反力
§1-2
约束及约束反力
教学要求：
1、熟悉工程上常见的几种约束类型及 其约束力的确定 2、掌握约束反力的画法
球在空间受什么约束？ 火车行走靠什么约束？ 门为什么只能转动，而不能上下左右移动？
一、约束的有关定义
自由体——凡是能在空间作做任意运动的物体 称为自由体。 例：空中飞机、小鸟等。
y
4、固定端约束
约束特点： 限制了平面内所有可能的运动（被约束构件既不 能移动和也不能转动）。
F
(a)
(b) M Fx
(c)
Fy (d) (e) (f)
固定端约束
约束反力的确定： 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动， 也能限制物体在约束处的转动。所以，固定端 A处的约束反力可用两个正交的分力FAX、FAY和 力矩为MＡ的力偶表示。
1、柔性约束
柔性约束的特点：
只能限制物体沿柔体伸长方向的运动,只能受 拉，不能受压。 柔性约束反力确定:作用于触点,沿柔性体中 心,背离被约束物体 约束反力符号：柔性约束反力用 FT或T表示
柔性约束
2、光滑接触面约束
（接触面摩擦力很小可忽略不计时）
约束特点:
只能限制沿接触点的法线方向趋 向支承面的运动 NB
x
固定铰链支座
固定铰链支座的计算简图
三种形式
F
F
3）可动铰链支座
约束特点：在铰链支座的底部安装一排滚轮， 可使支座沿固定支承面移动，只能限制构件离 开和趋向支承面的运动。 在工程结构中经常采用这种约束。目的是适应 构件变形。计算简图如下：
3）活动铰链支座
约束反力的确定：其约束反力通过铰链中 心且必垂直于支承面。
非自由体——如果物体受到其它物体对它的限 制，在某些方向不能自由运动则称为非自由体。
约束及约束反力
教学要求：
1、熟悉工程上常见的几种约束类型及 其约束力的确定 2、掌握约束反力的画法
球在空间受什么约束？ 火车行走靠什么约束？ 门为什么只能转动，而不能上下左右移动？
一、约束的有关定义
自由体——凡是能在空间作做任意运动的物体 称为自由体。 例：空中飞机、小鸟等。
y
4、固定端约束
约束特点： 限制了平面内所有可能的运动（被约束构件既不 能移动和也不能转动）。
F
(a)
(b) M Fx
(c)
Fy (d) (e) (f)
固定端约束
约束反力的确定： 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动， 也能限制物体在约束处的转动。所以，固定端 A处的约束反力可用两个正交的分力FAX、FAY和 力矩为MＡ的力偶表示。
1、柔性约束
柔性约束的特点：
只能限制物体沿柔体伸长方向的运动,只能受 拉，不能受压。 柔性约束反力确定:作用于触点,沿柔性体中 心,背离被约束物体 约束反力符号：柔性约束反力用 FT或T表示
柔性约束
2、光滑接触面约束
（接触面摩擦力很小可忽略不计时）
约束特点:
只能限制沿接触点的法线方向趋 向支承面的运动 NB
x
固定铰链支座
固定铰链支座的计算简图
三种形式
F
F
3）可动铰链支座
约束特点：在铰链支座的底部安装一排滚轮， 可使支座沿固定支承面移动，只能限制构件离 开和趋向支承面的运动。 在工程结构中经常采用这种约束。目的是适应 构件变形。计算简图如下：
3）活动铰链支座
约束反力的确定：其约束反力通过铰链中 心且必垂直于支承面。
非自由体——如果物体受到其它物体对它的限 制，在某些方向不能自由运动则称为非自由体。
约束和约束反力
力学简图及反力画法：
见图12（b）。
2. 止推轴承
实物图例：见图13（a）
图13
特点：
除能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿轴向 的位移。允许绕轴的任意转动。
反力方向：
与球铰链的分析相同，其约束反力用三个正交分 力RX、RY、RZ表示。
力学简图及反力画法：
见图13（b）。
3. 连杆约束
由一根杆重不计的构件，在两端由铰链与 其它物体相连接，并且杆上无外载荷作用 的约束形式。 力学简图： 见图14
➢力学简图：
如图8（c）
2. 中间铰链和固定铰链支座
a. 中间铰链
实物图例：见图9（a） 力学简图：见图9（b）
图9
特点：
阻碍被约束物体沿圆柱铰链径向移动，允许沿轴向移动 及任意转动。
反力方向：
过铰链中心，在垂直销钉轴线的平面内，方向不定，类
似向心轴承。可用二正交分力FAx、FAy表示。如图9（c）
轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动，但 轴承阻碍轴沿孔径向向外的位移。
➢反力方向：
过接触点，沿接触面公法线指向轴心。如图8（b） 由于轴在孔内可任意转动，故而轴与孔的接触点位 置是不定的。因此反力的方向一般预先不能确定。 但这样的一个反力常用两个过轴心的，大小未知的 正交分力FAX、FAY来表示。此二力指向可任意假定。
图7
➢特点：
约束只能承受拉力，不能承受压力或弯曲。 由作用与反作用原理，物体受到的约束的作 用也只能是拉力
➢反力方向：
沿柔体的中心线，背离被约束物体。
光滑铰链约束
这类约束有向心轴承、中间铰链约束、 固定铰链支座、滚动支座等。
1. 向心轴承
➢实物图例：
见图8（a）1—轴承 2—轴
见图12（b）。
2. 止推轴承
实物图例：见图13（a）
图13
特点：
除能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿轴向 的位移。允许绕轴的任意转动。
反力方向：
与球铰链的分析相同，其约束反力用三个正交分 力RX、RY、RZ表示。
力学简图及反力画法：
见图13（b）。
3. 连杆约束
由一根杆重不计的构件，在两端由铰链与 其它物体相连接，并且杆上无外载荷作用 的约束形式。 力学简图： 见图14
➢力学简图：
如图8（c）
2. 中间铰链和固定铰链支座
a. 中间铰链
实物图例：见图9（a） 力学简图：见图9（b）
图9
特点：
阻碍被约束物体沿圆柱铰链径向移动，允许沿轴向移动 及任意转动。
反力方向：
过铰链中心，在垂直销钉轴线的平面内，方向不定，类
似向心轴承。可用二正交分力FAx、FAy表示。如图9（c）
轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动，但 轴承阻碍轴沿孔径向向外的位移。
➢反力方向：
过接触点，沿接触面公法线指向轴心。如图8（b） 由于轴在孔内可任意转动，故而轴与孔的接触点位 置是不定的。因此反力的方向一般预先不能确定。 但这样的一个反力常用两个过轴心的，大小未知的 正交分力FAX、FAY来表示。此二力指向可任意假定。
图7
➢特点：
约束只能承受拉力，不能承受压力或弯曲。 由作用与反作用原理，物体受到的约束的作 用也只能是拉力
➢反力方向：
沿柔体的中心线，背离被约束物体。
光滑铰链约束
这类约束有向心轴承、中间铰链约束、 固定铰链支座、滚动支座等。
1. 向心轴承
➢实物图例：
见图8（a）1—轴承 2—轴
约束和约束反力
反力分析
在机械系统中，约束反力是由于约束 对被约束物体产生的反作用力。通过 分析这些反力，工程师可以了解系统 中的受力情况，进一步优化设计。
建筑结构中的约束和反力
约束类型
建筑结构的约束通常包括固定约束、铰链约束、弹性约束等 。这些约束确保了建筑结构的稳定性，抵抗外部载荷。
反力分析
在建筑结构中，反力主要来自于地基、梁、柱等部分的相互 作用。工程师通过计算和分析这些反力，可以确保建筑的安 全性和稳定性。
02 常见约束类型
固定约束
定义
固定约束是指限制物体在某一点上的 所有自由度，使其无法移动或转动的 约束。
特点
应用
固定约束常用于固定机器部件、桥梁、 建筑物等，以保持其位置不变。
固定约束限制了物体的全部自由度， 使得物体无法发生任何位移或转动。
滑动约束
定义
滑动约束是指限制物体在某一直 线或平面上的移动，使其只能沿
相反的弹性力。
应用
弹性约束常用于减震、缓冲、平 衡等场合，如弹簧减震器、气瓶
压力调节等。约束力，其大小和方向都不随物体
的位移或转动而改变的约束。
特点
02
刚性约束力的大小和方向是固定的，它与物体的运动状态无关。
应用
03
刚性约束常用于固定连接、铰链连接等场合，以限制物体的运
动。
单个约束反力的计算
确定约束类型
根据约束的性质，确定约束类型，如固定约束、滚动约束等。
确定约束反力的方向
根据约束的性质和物体运动状态，确定约束反力的方向。
计算约束反力的大小
根据物体运动状态和约束类型，计算出约束反力的大小。
多个约束反力的计算
分析系统约束类型和物体运动状态
在机械系统中，约束反力是由于约束 对被约束物体产生的反作用力。通过 分析这些反力，工程师可以了解系统 中的受力情况，进一步优化设计。
建筑结构中的约束和反力
约束类型
建筑结构的约束通常包括固定约束、铰链约束、弹性约束等 。这些约束确保了建筑结构的稳定性，抵抗外部载荷。
反力分析
在建筑结构中，反力主要来自于地基、梁、柱等部分的相互 作用。工程师通过计算和分析这些反力，可以确保建筑的安 全性和稳定性。
02 常见约束类型
固定约束
定义
固定约束是指限制物体在某一点上的 所有自由度，使其无法移动或转动的 约束。
特点
应用
固定约束常用于固定机器部件、桥梁、 建筑物等，以保持其位置不变。
固定约束限制了物体的全部自由度， 使得物体无法发生任何位移或转动。
滑动约束
定义
滑动约束是指限制物体在某一直 线或平面上的移动，使其只能沿
相反的弹性力。
应用
弹性约束常用于减震、缓冲、平 衡等场合，如弹簧减震器、气瓶
压力调节等。约束力，其大小和方向都不随物体
的位移或转动而改变的约束。
特点
02
刚性约束力的大小和方向是固定的，它与物体的运动状态无关。
应用
03
刚性约束常用于固定连接、铰链连接等场合，以限制物体的运
动。
单个约束反力的计算
确定约束类型
根据约束的性质，确定约束类型，如固定约束、滚动约束等。
确定约束反力的方向
根据约束的性质和物体运动状态，确定约束反力的方向。
计算约束反力的大小
根据物体运动状态和约束类型，计算出约束反力的大小。
多个约束反力的计算
分析系统约束类型和物体运动状态
1.3.2约束与约束反力
（2）可动铰支座（链杆支座）：一个支反力，支反力 沿链杆轴线，或指向物体（压力）或背离物体（拉力）
（3）固定支座 三个支座反力分量，可以用三个链杆表示。
典型的（平面）支座及支反力
（4）定向支座（滑动支座，双链杆支座）
两个支座反力分量可以用两个平行链杆表示。
1.3.2
约束与约束反力
支座及支座反力
任何建筑结构（构件），都必须安置在一定的
支承物上，才能承受荷载的作用，达到稳固使用的
目的。在工程上常常通过支座将构件支承在基础或 另一静止的构件上，我们将构建与基础连接的装置 称为支座。 支座对构件就构成约束，支座对构件的约束反
力叫做支座约束反力。对实际支座进行简化后，得
一个搁置在砖墙上的梁；砖墙就是梁的支座，如略去梁 与砖墙之间的摩擦力，则砖墙只能限制梁向下运动，而不能 限制梁的转动与水平方向的移动。这样，就可以将砖墙简化 为可动铰支座。
4、支座的简化
（1）固定铰支座 允许绕固定铰铰心的微小转动。过铰心产生任意方向的 约束力（分解成水平和竖直方向的两个力）。 两个支反力分量可以用两个链杆表示
XA
A
MA YA
[1] 既能阻止杆端的任何移动，也能阻止杆端转动，其约束力 必为一个方向未定的力和一个力偶。 [2] 固定支座的约束力表示，其中力的指向及力偶的转向都是 假设的.
细石混凝土填充
建筑结构中这种理想的支座是不多见的，通常把不能产生移 动，只可能产生微小转动的支座视为固定铰支座 。例如：一 榀屋架，用预埋在混凝土垫块内的螺栓和支座连在一起，垫 块则砌在支座(墙)内，这时，支座阻止了结构的垂直移动和水 平移动，但是 它不能阻止结构微小转动。这种支座可视为固定 铰支座。
到三种理想支座：固定铰支座（铰链支座）、可动 铰支座和固定端支座。
1.2 约束与约束反力
T
F1
F2
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
F1
F2 A
柔索约束
胶带构成的约束
柔绳约束
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
链条构成的约束
柔绳约束
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
柔 索
绳索、链条、皮带
2 光滑支承面约束
约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力物体
P P N N NA
固定铰支座
上摆
销钉 下摆
固定铰支座
固定铰支座
铰
固定铰支座
中间铰
铰
中间铰
销钉
约束力表示：
简化表示：
4 活动铰支座（辊轴支座） 在固定铰链支座的底部安装一排滚轮，可使 支座沿固定支承面滚动。
活动铰支座
上摆 销钉 底板 滚轮
活动铰支座
活动铰支座
其它表示
A B C
FA
A
FB
FC C
B
FA
FB
FC
固定铰链支座
光滑圆柱铰链约束实例
活动铰链支座
5 光滑球铰链
FAy
空间
FAz
A FAx
反力是过球铰中心的FAx、FAy、FAz三个分力。
28
6 二力构件
二力构件
二力构件的约束力 沿连杆两端铰链的 连线，指向不定， 通常假设受拉。
二力构件
翻斗车
7 、其它约束
滑道、导轨： 约束反力垂直于滑道、导轨，指向亦待定。
NB
N
N
凸轮顶杆机构
N
3 光滑圆柱铰链约束 固定铰支座：物体与固定在地基或机架上的支座 有相同直径的孔，用一圆柱形销钉联结起来，这 种构造称为固定铰支座。 中间铰：如果两个有孔物体用销钉连接 轴承：
《建筑力学》1.2约束与约束反力
七种常见的约束
2.光滑接触面约束
约束性能：只能限制物体沿着光滑面的垂线并指向光 滑面的运动，而不能限制物体沿着光滑面或离开光滑 面的运动。 约束力：通过接触点，沿接触面在该点的垂线方向作 用的压力，即指向被约束的物体，常用字母 FN 表示。
七种常见的约束 2.光滑接触面约束
七种常见的约束
约束 名称
约束力：通过构件与支承面，并垂直于支承面，方向可 能向上，也可能向下，常用字母 FN 表示。
约束简图及相应约束力：
七种常见的约束
约束 名称
约束性能
约束简图 图示
约束力 方向 未知数
可动铰 支座
限制沿垂直于 支承面方向的 移动，不限制 绕销钉的转动 和沿支承面方 向的移动
过销钉 中心垂 直于支 1 承面方 向，指 向不定
约束力
方向
未知数 个数
限制移动， 圆柱铰
不限制绕销钉的 链
转动
过销钉中心
方向不定
2
七种常见的约束
6.固定铰支座
约束性能：限制物体上下、左右移动，但可以产生微小的转动。 约束力：支座有两个方向的约束力，其大小未知。常采用两个 互相垂直的未知力 Fx、Fy 表示也可以用一 个不知大小和方向 的力 FRA表示。
约束性能
约束简图 图示
约束力
方向
未知数 个数
光滑接触 面约束
限制沿光滑面的垂 线并指向光滑面的 运动，不限制沿着 光滑面或离开光滑 面的运动
过接触点， 沿接触面
垂线方向， 1
指向被约 束物体
七种常见的约束
3.链杆
约束性能：只能限制物体沿链 杆的轴线方向的运动， 而不能限制其他方向的运动。 约束力：沿链杆轴线，指向不定，常用字母 FR 表示。
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一、约束的有关定义
自由体——凡是能在空间作做任意运动的物体 称为自由体。 例：空中飞机、小鸟等。
非自由体——如果物体受到其它物体对它的限 制，在某些方向不能自由运动则称为非自由体。
内燃机曲柄滑块机构
约束的有关定义
约束——限制某物体运动的装置称为该物体 的约束。（Here “约束” is a n.）
1）连接铰链（中间铰）
结构特点：如图示，用销钉联接两有孔零件，两被联 接件均可绕销轴转动，例如发动机中连杆与活塞、连 杆与曲轴的联接
约束特点：两零件均可相对转动又互相制约 约束反力在确定：其约束反力用过销轴中心的两个正
交的分力FX、和FY表示，如下y 图所示。
x
2）固定铰链支座
约束特点：如果中间铰链中的构件之一与地基或 机架相连，便构成固定铰链支座如图所示。
约束反力的确定：约束反力通过销轴中心，方向 随主动力方向而不同，用过销轴中心的两个正交 的分力FX、FY表示。
x
固定铰链支座
固定铰链支座的计算简图
三种形式
F
F
3）活动铰链支座
约束特点：在铰链支座的底部安装一排滚轮， 可使支座沿固定支承面移动，只能限制构件离 开和趋向支承面的运动。
关于约束反力:
确定约束反力三要素的确定原则: 作用点:总是在约束与被约束物体相互接触处; 方向:必与约束所限制的运动方向相反; 大小:根据平衡条件计算其大小.
二、常见约束类型及约束反力确定
约束的分类
柔性约束：绳子、钢丝绳、
皮带、链条等
刚性约束
FT
光滑接触约束：如齿轮、凸轮接触
光滑铰链约束：分中间铰、固定铰和活动铰
光滑铰链
曲柄滑块机构 1—活塞销 2—气缸 3—活塞 4—轴承 5—曲轴 6—连杆
光滑铰链约束实例3
光滑铰链约束
铰链约束反力用两个 X、Y方向的正交分 力FX、FY或XA 、 YA来表示
光滑铰链约束（简称铰链约束）
铰链约束分类
▪ 连接铰链（中间铰） ▪ 固定铰链支座 ▪ 活动铰链支座 ▪ 球型铰链支座（空间约束）
约束特点:
只能限制沿接触点的法线方向趋
向支承面的运动
NB
约束反力的确定：
通过接触点，沿着接触面公法
线方向，指向被约束的物体，即
NA
物体受压。
光滑接触的约束反力通常用ＦN 或N
表示。
光滑接触约束实例3
光滑接触约束实例
3.光滑铰链约束（简称铰链约束）
组成及特点：
两物体分别钻有直径相同的圆柱形孔，用一圆柱形 销钉连接起来，在不计摩擦时，即构成光滑圆柱形铰 链约束，简称铰链约束。
约束反力——当非自由体沿约束所限制方向 有运动趋势时，约束与非自由体之间便产生 相互的作用力，称为约束反力。
例如:汽车轮轴、地面是车轮的约束等,轴对 轮施加约束反力,轴承对轴施加约束反力, 地面对车轮的支承力也为约束反力。
约束的有关定义
物体受力可分:主动力与约束反力
主动力——凡是能主动引起物体运动 状态改变或有使物体运动状态改变趋 势的力称为主动力。 主动力有时也叫载荷，一般大小、方 向已知或可计算，如重力、风力等。 非自由体的平衡可看作是作用于其上的 主动力与约束反力的平衡。
练习1、求图中各力对O点之矩。
MO（F1）＝－F1×OA MO（F2）＝0 MO（F3）＝F3×AB MO（F4）＝F4×OCcosα
§1-2 约束及约束反力
教学要求： 1、熟悉工程上常见的几种约束类型及 其约束力的确定 2、掌握约束反力的画法
球在空间受什么约束？ 火车行走靠什么约束？ 轴和轴承的转动受什么约束？ 门为什么只能转动，而不能上下左右移动？
固定端约束：如外伸梁
轴承约束：向心轴承、推力轴承
1、柔性约束
柔性约束的特点：
只能限制物体沿柔体伸长方向的运动,只能受 拉，不能受压。
柔性约束反力确定:作用于触点,沿柔性体中 心,背离被约束物体
约束反力符号：柔性约束反力用 FT或T表示
柔性约束
2、光滑接触面约束
（接触面摩擦力很小可忽略不计时）
在工程结构中经常采用这种约束。目的是适应 构件变形。计算简图如下：
3）活动铰链支座
约束反力的确定：其约束反力通过铰链中 心且必垂直于支承面。
y
4、固定端约束
约束特点： 限制了平面内所有可能的运动（被约束构件既不
能移动和也不能转动）。
(a) (d)
F
(b)
(c)
M Fx
Fy
(e)
(f)
固定端约束
约束反力的确定：
固定端约束能限制物体沿任何方向的移动， 也能限制物体在约束处的转动。所以，固定端 A处的约束反力可用两个正交的分力FAX、FAY和 ห้องสมุดไป่ตู้矩为MＡ的力偶表示。
y
F
FP
x
FA
关于约束反力
约束反力是由主动力引起的，是一种被动力， 也是未知力。静力分析的重要任务之一就是 要确定未知的约束反力大小、方向。
约束反力的分析和计算是力学中一个非常重 要的基本问题。要求掌握工程中常见的各种 约束类型,重点掌握如何正确判断约束反力的 方向(约束力的大小由后面介绍的平衡方程求 解).