第三章量子力学初步

H(r) E(r)
波函数标准条件
⊙体系的波函数为
(r,
t)
(r
)e
i h
Et
21
⊙波函数的归一化问题。由于
(r, t) * (r, t) (r) * (r)
所以只要求对定态波函数归一化即可。
⊙体系的几率密度。由于
dW
d
w (r, t) * (r, t) (r) * (r)
对定态体系，几率密度是不随时间变化的。
(x) (x)
(x) (x)
V
◆ 思考题： 一个粒子在如图所示的两个 无限高势壁间运动，求解体系 的波函数和能量。
V=
V=
I
II
V=0 II
a
x
29
§3.3 简谐振子
简谐振子是物理学经常遇到的一个典型模型，物质结构中 原子和分子的振动均可视为简谐运动。
经典物理学对简谐振子的定义为：作简谐运动的物体受到 的力与他的位移x成正比，而他的方向与位移方向相反，即
15
一、 Schrödinger方程的提出
若取体系的波函数为复数形式，则可构建如下形式的
Schrödinger方程：
h2 2 V ih
2m
t
其中，m是粒子的质量，V是体系的势能，而Laplace算符为 2 2 2 2
x2 y 2 z 2
1. 算符 (1) Harmiltonian。将Sch.方程写成以下形式：
光子能量： E h
光子质量：m E / c2 h / c2
光子动量：p mc h / c h / hk
从上面公式可以看出：光既有波动性，又有粒子性，我们称 这种特性为光的二象性。
3
2.微粒的波动性 L.de Broglie认为，既然光在某些情况下具有波动性，而 在另外一些情况下又具有粒子性，那么实物粒子也应具有二 象性。这样，公式
V V (r)
(2)定态Sch.方程：由于Harmiltonian不显含时间t，可以 用分离变量法求解。令
(r, t) (r) f (t)
代入到Sch.方程中，得到
19
1 (r
)
h2 2m
2
(r
)
V
(r
)
(r
)
ih df (t) f (t) dt
上式左边是r的函数，右边是t的函数，要等式成立，它们必须 等于一个常数，即
cos( ka ) 0 2
k n (n 1, 3, 5, ...)
(5)
a
若B≠ 0，则
sin( ka ) 0 2
k n (n 0, 2, 4, ...)
(6)
a
(5)式和(6)式可以联合写成：
k n (n 0,1, 2, ...)
a
(7)
26
将(7)式代入k和(3)式，可得到本征值和本征函数：
16
h2 2m
2
V
ih
t
Hˆ h2 2 V 2m
Hˆ ih t
显然两者都有能量单位，称为能量算符，通常也称为哈密顿 量（ Harmiltonian ）。
(2) 动量算符 自由粒子波函数对x、y、z求导，
17
ei h
(
px
x
py
y
pz
z
-Et
)
0
px
ih
x
py
ih
y
pz
第三章 量子力学初步
§3.1 物质的二象性; §3.2 Schrödinger方程； §3.3 简谐振子； §3.4 量子力学对氢原子的描述
1
§3.1 物质的二象性
原子结构用电子轨道运动来描述在原子物理的发展过程 中是一个重要的成就，但也存在局限性。20世纪初逐步发展 起来的量子力学对原子问题的处理开辟了一个新的途径。 1924年L.de Broglie从光的二象性推断微粒的波动性，在此 基础上，E. Schrödinger和W.Heisenberg分别独立提出了 关于微观粒子运动的波动力学和矩阵力学，而且两者的结果 相同。现在的量子力学融合了他们两人以及其他许多人的贡 献，成为微观体系的基本理论。
F kx
作简谐运动的体系的势能等于弹性力所作的功，
E h
p h/
应成立。公式的左边物理量表征粒子性，右边的物理量表征 波动性。
同实物粒子联系着的波称为de Broglie波或“物质波”。
3. de Broglie波的实验验证 —自学内容（如下）。
4
二、测不准原理 在经典力学中，粒子的位置和动量（或速度）、能量和 时间是可以同时精确测量的；而在量子力学中不可能同时精 确测量，即不可能在某个确定地点精确测量出粒子的动量。 设粒子位置的不确定度为Δx，动量不确定度为Δp ，则 有
但是，由于波包是不同频率的波组成的，不同频率的波 在煤质中的速度不同，因而这样的波包在煤质中运动时就 会逐渐扩散而消失；同时，波存在折射和反射，而粒子是 不可分的。
显然，这种解释不正确。
10
(b) 粒子是基本的，波只是大量粒子分布密度的变化。 这与实验不符。电子实验说明，当大量粒子通过狭缝时可 呈现出干涉图样；同样由很少的电子通过狭缝、但经过很 长时间后，仍可显现干涉图样。
2
(
t
-
r
cos
)
C
y
写成复数形式：
r
e e 2
i
(
r
cos
t
)
0
2 i(kr - t )
0
rn
考虑到关系式，则有：
B
e i h
(
pr
-Et
)
0
x A
9
上式就是物质波的波函数。历史上对物质波的解释有多种， 其中三种主要的解释如下：
(a) 波是基本的，粒子是由许多波组合而成的一个波包， 波包的速度就是粒子的速度，波包的运动表现出粒子的性 质。
【解】下面分四个步骤求解这一问题。
（a）根据定义列出Sch.方程或定态Sch.方程。
23
h2
d 2 (r) E(r)
( x a)
(1)
2m dx2
2
h2
d 2 (r) V (r) E(r)
( x a ,V )
(2)
2m dx2
0
20
（b）求定态Sch.方程的通解。
在I区：令 k 2mE / h
x p h / 2
这一关系称为测不准关系。这一关系可以通过电子衍射实验 进行验证。
由于狭缝有一定的宽度Δq，在垂直于入射方向的方向 上产生了一个动量Δp：
5
q
p p sin p p h
h q
p q h
对于能量E和时间t的测不准关系为：
E t h / 2
6
上式表明： 在某一确定时刻准确测量体系的能量是不可能的。一般
22
二、 一维无限深势阱
V
这里我们作为一个实例，考 查一维无限深势阱中的波函数 和本征能量。
一个粒子在两个无限高势壁 间运动。粒子在势壁间的势能 为0，在壁外的势能为无限大， 求解体系的波函数和能量。
V=
II V=0 -a/2
V= I II
a/2 x
【分析】由于V=0或∞ ，显然与t无关，属于定态问题， 于是可以应用定态Sch.方程求解。
*dx 1
（9）式
AB 2 a
(x)
2 cos( n x) or
a2
0
2 sin( n x)
a2
( x a) 2
n 1, 3, 5...or
( x a)
n 0, 2, 4...
2
28
三、宇称
关于原点对称的波函数（偶函数）称为偶宇称；反之，关 于原点反对称的波函数（奇函数）称为奇宇称。
(2) 单值性：某时刻粒子在空间出现的几率是一定的，因 此波函数必须是单值函数；
(3) 有限性：粒子在空间任何地方出现的几率必须是有限 的；
(4)* 归一化：粒子在全空间出现的几率为1，即
蜒 *d 2 d 1
V
V
13
【例】Bohr 量子化条件符合波函数的单值性。 一个电子在Bohr轨道中运 动同这电子的de Broglie波 沿轨道传播相联系。对一个 可能的轨道，波函数必须是 单值的，这就要求轨道的一 周等于波长的整数倍：
y Acos(t )
对于横波，y表示t时刻的横向距离，对纵向波则表示t时刻的 纵向位移。
（2）电磁波表示电场或磁场的变化： E E cos(t )
0
而电磁波的强度（光强）：
I E 2 0
8
2. 物质波的物理意义
由一个自由粒子组成的物质波可以用单色平面波表示：
0
cos
(t
-
rn v
)
z
0
cos
显然，波动现象不是和大量粒子同时存在相联系的，波 动是每个粒子所具有的特性。本解释不正确。
(c) 波函数的统计解释 M.Born提出了物质波的统计意义。他认为，波函数代表 发现粒子的几率，这是每个粒子在他所处环境中所具有的 性质。 如果有大量粒子，那么在某处粒子的密度与在此处发现 一个粒子的几率成正比。 对于光波，光的强度同光子的数目成正比，而在某处的 光子数同该处发现一个光子的几率成正比，即
2r n
h / mv
p mvr nh / 2
同样可以证明，可能的椭圆轨道一周也等于de Broglie波 长的整数倍。
14
§3.2 Schrödinger方程
经典力学中，宏观粒子的运动都遵循一个基本定律—— Newton运动定律。以后我们可到，微观体系的状态是用波 函数描述的，但一个势场中的波函数的具体形式势什么，这 个波函数又是如何随时间变化的？因此量子力学中也应该有 一个相应的基本方程来描述体系波函数的变化。这个基本方 程就是Schrödinger方程。Schrödinger方程是量子力学中 的一个基本假设，不能从更基本的假设中推导出来。
12
22
(- a ) (- a )
12
22
A cos( ka ) B sin( ka ) 0
2
2
或
A cos( ka ) 0 2
A cos( ka ) B sin( ka ) 0
2
2
B sin( ka ) 0 2
25
考虑到波函数不能恒等于0，因此A、B不能同时为0，于是
若A≠ 0，则
ih
z
px
ih
x
py
-ih
y
p2 h22
pz
ih
z
E p2 V (r) h2 2 V (r)
2m
2m
注意：算符是作用于波函数的算子，它不能单独存在，只有 与波函数作用才有意义。
18
2. 定态Sch.方程和本征值 (1) 定态：定态是指体系能量不随时间t变化的状态。对 于定态，体系在初始时刻处于某态，若无外界作用，则它一 致处于此态。 定态对应的势函数只是位置的函数，即
来说，体系具有多个可能状态，不同的状态一般具有不同的 能量（非简并），体系在什么时间处于何种状态是不确定的， 我们实际测量的值是某一段时间内的平均值。
不确定关系有：
x p h / 2 x
x p h / 2 y
x p h / 2 z
p h / 2 E t h / 2
7
三、波函数及其物理意义 1. 经典波的物理意义 （1）弹性波表示弹性物质的位移：
E n2 h2 2 (n 0,1, 2,...)
(8)
2ma2
(x)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
cos(
n
2
x)
( x a) 2
(n 1, 3, 5...)
(9a)
0
( x a) 2
或者
(x)
B
sin(
n
2
x)
( x a) 2
(n 0, 2, 4...)
(9b)
0
( x a) 2
27
（d）波函数的归一化。 应用波函数归一化公式，对(9)式子进行归一化处理，求出 A或B。
本章初步介绍量子力学的概念、方法以及他对但电子原 子的描述。
2
一、物质的二象性 1. 光的二象性 ⊙光的波动性表现在：光的干涉、衍射和偏振等现象。 ⊙光的粒子性表现在：黑体辐射、光电效应以及光的直 线传播等现象。
光不仅具有波动性，同时具有粒子性，或者说，光是由 微粒光子组成的，每一个光子都对应着一定的能量、质量和 动量：
h2 2m
2
V
(r)
(r)
E (r )
（定态Sch.方程）
f
(t )
Ce
i h
Et
体系波函数可以写成：
i Et
(r, t) (r)e h
20
由定态Sch.方程求出定态波函数，然后代入到上式即可获 得体系的波函数。
(3)讨论：
⊙应用定态Sch.方程解题的条件是： V V (r)
⊙应用定态Sch.方程和波函数的三个标准条件，可以求 出定态波函数和能量E（本征能量值，不随时间变化），即
W 光子
11
而光的强弱同光波的电场E或磁场强度H的平方成正比，因 此，
W E 2 (or H 2 ) 类比，对于其他物质波，我们可以体积dτ中发现一个粒 子的几率表达为
dW *d 2 d 其中， * = 2 表示单位体积中发现一个粒子的几率——
几率密度。
12
3. 波函数的标准条件
(1) 连续性：粒子在空间出现的几率不能出现突变的情 况，因此波函数必须在全空间中连续；
则(1)式变为
d 2 1
k 2
dx 2
1
(x) A cos(kx) B sin(kx) 1
(3)
24
在II区：(2)式写为
d 2 2
2m (V
E)
dx2 h2
2
考虑到V→∞，而波函数是有限的，因此
(x) 0
(4)
2
（c）应用波函数条件确定波函数和本征值。
因波函数应是连续的，则有
(a) (a)