工程构件典型截面几何性质的计算
附录 截面几何性质(1)
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
单筋矩形截面计算公式
单筋矩形截面计算公式单筋矩形截面是一种常见的结构截面形式，广泛应用于建筑、桥梁、机械和航空航天等领域。
在工程设计中，需要根据单筋矩形截面的几何参数和材料性质来计算其相关的力学性能，以确保结构的安全可靠。
单筋矩形截面的计算公式主要涉及截面的面积、惯性矩和抵抗力等参数。
下面将分别介绍这些参数的计算方法。
1. 面积计算公式：单筋矩形截面的面积可以通过矩形的宽度和高度来计算。
假设矩形的宽度为b，高度为h，则截面的面积A为A=b*h。
2. 惯性矩计算公式：惯性矩是描述截面抵抗弯曲变形的重要参数，常用的有一阶惯性矩和二阶惯性矩。
对于单筋矩形截面，一阶惯性矩I和二阶惯性矩Iy 可以通过以下公式计算：I = b*h^3/12Iy = h*b^3/123. 抵抗力计算公式：单筋矩形截面对外力的抵抗性能可以通过计算抵抗弯曲力矩和抵抗轴向力来评估。
对于受弯构件，其抵抗弯曲力矩M可以通过以下公式计算：M = f*y*Z其中，f为截面上的应力，y为截面离中性轴的距离，Z为截面的抵抗力矩。
对于受轴向压力的构件，其抵抗轴向力N可以通过以下公式计算：N = f*A其中，f为截面上的应力，A为截面的面积。
值得注意的是，单筋矩形截面的计算公式是基于一系列假设和简化条件得出的，因此在具体工程设计中需要根据实际情况进行修正和调整。
此外，对于大跨度和高强度的结构，还需要考虑截面的非线性效应和失稳问题。
单筋矩形截面的计算公式是工程设计中重要的基础知识，它可以帮助工程师评估截面的力学性能并进行结构设计。
通过合理应用这些公式，可以确保结构的安全可靠，满足工程项目的要求。
因此，工程师在实际工作中应该熟练掌握这些公式的使用方法，并结合具体情况进行合理的设计和计算。
构件截面的几何性质
构件截面的几何性质构件截面的几何性质，如静矩、形心、轴惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件承力性能产生影响，常被用于分析杆件的弯曲、扭转和剪切等问题。
静矩又称面积矩或静面矩。
截面对某个轴的静矩等于截面内各微面积乘微面积至该轴的距离在整个截面上的积分。
如图1所示, 面积为A的截面对x、y坐标轴的静矩分别为：静矩可能为正值，也可能为负值。
它的量纲是长度的三次方。
静矩的力学意义是：如果截面上作用有均匀分布载荷，其值以单位面积上的量表示，则载荷对于某个轴的合力矩就等于分布载荷乘以截面对该轴的静矩。
静矩是求截面形心和计算截面内各点剪应力的必要数据。
形心又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。
如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。
形心坐标xC、yC的计算公式为：式中A为截面面积。
如果截面有一个对称轴,则形心必在对称轴上；如截面有两个对称轴，则形心就是两个对称轴的交点。
由 n个截面组成的组合截面的形心可由下列公式求得：式中Ai为第i个截面的面积；xCi、yCi为该截面形心的坐标。
形心的力学意义是：如果截面上作用有均匀分布的载荷，则合力作用点就是形心。
轴惯性矩反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。
截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。
图1所示的面积为A的截面对x、y 轴的轴惯性矩分别为：轴惯性矩恒为正值，量纲为长度的四次方。
构件的抗弯能力和轴惯性矩成正比。
一些典型截面的轴惯性矩可从专业手册中查到，如平行四边形对中线的轴惯性矩为：其中b为平行四边形底边宽度，h为高。
如果轴作平行移动，例如由x1平移到x2，则移动前后的轴惯性矩Ix1和Ix2之间关系为：Ix2＝Ix1+(b2-a2)A，式中a、b分别为形心至x1、x2轴的距离；A为截面面积。
这个公式叫作轴惯性矩移轴公式。
组合截面对某个轴的轴惯性矩，等于各个部分截面对该轴的轴惯性矩之和。
midas截面几何性质计算
midas截⾯⼏何性质计算看⼤家对横向⼒分布系数计算疑惑颇多，特在这⾥做⼀期横向⼒分布系数计算教程（本教程讲的⽐较粗浅，适⽤于新⼿）。
总的来说，横向⼒分布系数计算归结为两⼤类（对于新⼿能够遇到的）：1、预制梁（板梁、T梁、箱梁）这⼀类也可分为简⽀梁和简⽀转连续2、现浇梁（主要是箱梁）⾸先我们来讲⼀下现浇箱梁（上次lee_2007兄弟问了，所以先讲这个吧）在计算之前，请⼤家先看⼀下截⾯这是⼀个单箱三室跨径27+34+27⽶的连续梁，梁⾼1.55⽶，桥宽12.95⽶！！⽀点采⽤计算⽅法为为偏压法（刚性横梁法）mi=P/n±P×e×ai/(∑ai x ai)跨中采⽤计算⽅法为修正偏压法（⼤家注意两者的公式，只不过多了⼀个β）mi=P/n±P×e×ai×β/(∑ai x ai)β---抗扭修正系数β=1/(1+L^2×G×∑It/(12×E×∑ai^2 Ii)其中：∑It---全截⾯抗扭惯距Ii ---主梁抗弯惯距 Ii=K Ii` K 为抗弯刚度修正系数，见后L---计算跨径G---剪切模量 G= 旧规范为P---外荷载之合⼒e---P对桥轴线的偏⼼距ai--主梁I⾄桥轴线的距离在计算β值的时候，⽤到了上次课程我们讲到的计算截⾯⼏何性质中的抗弯惯矩和抗扭惯矩，可以采⽤midas计算抗弯和抗扭，也可以采⽤桥博计算抗弯，或者采⽤简化截⾯计算界⾯的抗扭，下⾯就介绍⼀下这种⼤箱梁是如何简化截⾯的：简化后箱梁⾼度按边肋中线处截⾯⾼度(1.55m)计算，悬臂⽐拟为等厚度板。
①矩形部分(不计中肋):计算公式:It1=4×b^2×h1^2/(2×h/t+b/t1+b/t2)其中：t,t1,t2为各板厚度h,b为板沿中⼼线长度h为上下板中⼼线距离It1= 4×(+/2)^2×^2/(2×++=5.454 m4②悬臂部分计算公式: It2=∑Cibiti3其中：ti,bi为单个矩形截⾯宽度、厚度Ci为矩形截⾯抗扭刚度系数,按下式计算:Ci=1/3××ti/bi + ×(ti/bi)^5)=1/3××+×^5)=It2=2×××^3=0.0239 m4③截⾯总的抗扭惯距It= It1+ It2=+=5.4779 m4⼤家可以⽤midas计算对⽐⼀下看看简化计算和实际能差多少？先计算⼀下全截⾯的抗弯和中性轴，下⾯拆分主梁需要⽤的到采⽤<<桥梁博⼠>>版中的截⾯设计模块计算全截⾯抗弯惯距，输出结果如下：<<桥梁博⼠>>---截⾯设计系统输出⽂档⽂件: D: \27+34+⽂档描述: 桥梁博⼠截⾯设计调试任务标识: 组合截⾯⼏何特征任务类型: 截⾯⼏何特征计算------------------------------------------------------------ 截⾯⾼度: 1.55 m------------------------------------------------------------ 计算结果:基准材料: JTJ023-85: 50号混凝⼟基准弹性模量: +04 MPa换算⾯积: 7.37 m2换算惯矩: 2.24 m4中性轴⾼度: 0.913 m沿截⾯⾼度⽅向 5 点换算静矩(⾃上⽽下):主截⾯:点号: ⾼度(m): 静矩(m××3):12345------------------------------------------------------------计算成功完成结果：I全= 2.24 m4 中性轴⾼度H=0.913m下⾯来讲⼀下主梁拆分的原则：将截⾯划分为τ梁和I梁,保持将两截⾯中性轴与全截⾯中性轴位置⼀致。
截面参数的几何性质CAD计算方法
Ix＝387464mm4=38.7464cmm4
4、计算抵抗矩：
由材料力学论证定义：
抵抗矩Wx=Ix/Ymanx
Ymanx是材料截面的中性轴距离材料截面轮廓线的最大垂直距离。
计算方法1：
在查询表中，已经给出“边界框”的两组坐标和“质心”的坐标，具体位置如右图所示。由于该型材的受力方向是垂直于X轴的，很显然：该截面距中性轴的两个Y值分别为：
7、并集（将所有实体合并为一个整体）：选择“并集”连续左击每个实体，右击完成。
鼠标左击截面，右击完成。
二、查询
1、选择“工具”－>“查询”－>“面域/质量特性”
2、点击截面任意处，弹出查询结果。
3、选择惯性矩值Ix：下图是查询结果表，其中的“惯性矩”，是该截面相对于世界坐标“0，0”的惯性矩值，“主力拒与值心的X-Y方向”的两个值才是我们需要的惯性矩，注意两个惯性矩的受力方向：第一个是沿着【1.0000 0.0000】，即x=1.0000，y=0.0000，画一个坐标，显然受力方向是沿x轴的；同理，第二个的受力方向是沿y轴的。本例中的构件受力方向（风压方向）显然是沿y轴的，
5. 差集（将实体中的空缺删除，仅保留实体部分）：下图为是4个截面的组合，每个截面中间都有空腔，因此必须作4个截面各自的差集：选择“差集”，先左击第一个截面的外轮廓线，右击确定后，再左击该截面的内轮廓线（有几个内轮廓线，就左击几个），右击完成；再接着作下一个截面的差集；
6、验证差集是否成功：点击一个截面上任意一点，显示该截面上所有内外轮廓线；
Y1=28515.2-28482.7=32.5
Y2=28542.7-28515.2=27.nx=387464mm4/32.5mm=38.7464cm4/3.25cm=11.9218 cm3
第四章 截面的几何性质
• 概念： • 一、主惯性轴与主惯性矩 • 定义：截面对一对坐标轴的惯性积为零，则这一对坐 标轴称为主惯性轴，截面对主惯性轴的惯性矩即为主惯 性矩。 • 二、形心主惯性轴和主惯性矩 • 定义：截面对过形心的一对坐标轴（互相垂直）的惯 性积为零，则这一对轴称为形心主惯性轴，平面对形心 主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 • 由上知要确定形心惯性轴，必须先求 I zy , 再令其为零。 为方便，先求平面对 z、y轴的 I z , I y , I zy , 由此计算相对 它转过一个角度 的 I z1 , I y1 , I z1 y1 。
2a 100
• 例子:求下平面图形的 • 解：图由一个矩形和两个半圆组成 ,设矩形z2的惯性矩为 1 z I I y ，每个半圆的为 , zc 12 40 z1 I d 2a 2d 3 3 1
c
Iz ?
i
i
z
40
d 80
12 5.33 107 mm4 80 2 100
A
•
若将 dA 理解为垂直于纸面的力， ydA便是对z轴的力 矩， s z 则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。 • 若形心坐标为 zc , yc ，静矩也可写成：
sz ydA A yc
A
s y zdA A zc
A
• 性质： • 1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、 可以是负或零； • 2、单位：mm3 , cm3 ； • 3、当坐标轴原点过形心，zc yc 0, s z s y 0 ；
第四章 截面的几何性质
概述： 讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量 (静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴 公式，转轴公式等。 在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于 横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如 一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更 不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦 状） ，这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放 上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、 刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解
两类桥梁构件截面的几何特性计算
尺寸渐变截面在桥塔、拱肋、主梁等构件中应 用较多, 计算截面几何特性的工作量大, 如何批量 计算是该问题的关键。F lexPD E 软件是一求解偏 微分方程的数学软件, 能求解截面的几何特性。它
收稿日期: 2005203211
将截面视为由若干个环道线围成的面域, 每个环 道线 围 成 一 圈, 基 本 元 素 是 直 线 ( line) 和 圆 弧
两类桥梁构件截面的几何特性计算
胡晓伦1 王慧萍2 陈立山3
(同济大学1 上海 200092) (东南大学2 南京 210096) (唐山远大交通工程有限公司3 唐山 063600)
摘 要 从几何特征来看, 尺寸渐变截面和复杂薄壁截面是桥梁构件的两大特点。 提出了尺
寸渐变截面几何特性可用F lexPD E 软件计算, 介绍了该种截面借助Excel 可成批生成截面数据, 导 入软件F lexPD E 中进行计算的过程。提出了复杂薄壁杆件截面可利用AN SYS 的用户自定义功能 进行几何特性计算, 介绍了开闭口、分离式和复合材料薄壁截面的几何特性计算实例。
文件, 导入 F lexPD E 中直接求解。 苏通长江公路大桥辅桥是一座主跨 258 m 的 连续刚构桥, 主梁划分为 31 个号块, 如图 2 所示。 采用单箱室预应力混凝土截面, 梁高和腹板厚度 沿纵向逐渐变化。计算时, 在Excel 表格中准备数 据, 如图 1 所示, 一行数据代表一个截面, 包含若 干圈截面轮廓线。 因为截面的特征尺寸可表达为 跨度的函数, 因此, 采用函数方式可生成大量数 据, 再导入 F lexPD E 中计算, 可快速求得所有梁 段的截面特性。 图 3 表示其中两个截面的计算结 果。
Im po rt→Sa t 方式导入AN SYS 中。这种转换方式 较方便, 模型不会失真变形, 但不能转换线条。 对
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
截面几何性质计算
截面几何性质计算计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）：一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成内外两个区域；3、用subtract命令求内外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距）Command: mas MASSPROPSelect objects: 1 foundSelect objects:---------------- REGIONS ----------------Area（面积）: 1.2739Perimeter（周长）: 13.7034Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000Y: 0.0000 -- 1.6000Centroid（质心）: X: 0.0000Y: 1.0458Moments of inertia: X: 1.7883Y: 0.7922Product of inertia: XY: 0.0000Radii of gyration: X: 1.1848Y: 0.7886Principal moments and X-Y directions about centroid:I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距J: 0.7922 along [0.0000 1.0000]2008-6-6 23:10结果.jpg(132.71 KB)2008-6-6 23:00第二种方法：采用桥博计算截面惯距操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几何特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博内置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图）输出结果附后<<桥梁博士>>---截面设计系统输出文档文件: C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds文档描述: 桥梁博士截面设计调试任务标识:任务类型: 截面几何特征计算------------------------------------------------------------截面高度: 1.6 m------------------------------------------------------------计算结果:基准材料: 中交85混凝土:50号混凝土基准弹性模量: 3.5e+04 MPa换算面积: 1.27 m**2换算惯矩: 0.396 m**4中性轴高度: 1.04 m沿截面高度方向5 点换算静矩(自上而下):主截面:点号: 高度(m): 静矩(m**3):1 1.6 0.02 1.2 0.3143 0.8 0.3074 0.4 0.2435 0.0 0.0------------------------------------------------------------计算成功完成未完待续[本帖最后由gexiin 于2008-6-14 22:48 编辑]附件输入数据.jpg(153.31 KB)2008-6-6 23:31第三种方法：采用midas/SPC计算截面性质，也是编者向大家推荐采用的方法！！他不仅可以计算抗弯惯距而且可以计算抗扭惯距！！操作简介：1、首先需要大家把画好的截面存成dxf文件格式（需要把截面的内外区域放到一个图层里，截面单位与刚进SPC里选用的单位统一，本教程选用的单位为米，坐标系为大地坐标系）2、在File菜单中选择import/AUTOCAD DXF,然后选择文件，这时候大家就可以看到你画的截面就被导入SPC中了；3、选择model菜单中Section/Generate,用鼠标框选截面（被选择后线型变成红色）；4、这一步最关键，在apply正上方，有一个Caculate Properties Now复选框，勾选他，然后选择Aplly；5、选择Property菜单中的Display可以查阅Asx和Asy（抗剪面积）、Ixx和Iyy（这两项是抗弯惯距）、Ixy、J（抗扭惯距）。
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
第7章-截面图形的几何性质（PDF）
第7章 截面图形的几何性质教学提示：在对构件进行应力和强度等计算时，需要用到构件截面图形的几何性质，即与构件截面几何形状和尺寸有关的一些量，例如形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。
本章的主要内容就是讨论这些几何性质的定义和计算。
教学要求：通过本章学习，要求理解形心、静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性矩的概念，会用平行移轴公式计算组合截面对形心轴的惯性矩、主惯性矩等。
受力构件的承载能力，不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关。
当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到一些与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩等，统称为“截面图形的几何性质”。
研究这些几何性质时，完全不需考虑研究对象的物理和力学因素，只作为纯几何问题处理。
7.1 静矩与形心考察如图7.1所示任意截面几何图形。
在其上取面积微元d A ，设该微元在Oyz 坐标系中的坐标为(y 、z )。
定义下列积分d y AS z A =∫， d z AS y A =∫(7.1)图7.1分别为截面图形对y 轴和z 轴的静矩(或称为面积矩)。
其量纲为长度的三次方。
常用单位是3m 或3mm 。
由于均质等厚薄板的重心与薄板截面图形的形心有相同的坐标(C y 、C z )，而薄板的重心坐标由式(2.24)给出，即d d AAzCy V y A S y V AA ===∫∫d d y AAC z Vz A S z VAA===∫∫第7章 截面图形的几何性质·91··91·所以，形心坐标为d Az Cy A Sy AA==∫， d y ACz A S z AA==∫ (7.2a)或y C S A z =⋅，z C S A y =⋅(7.2b)由式(7.2)可知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即若0C y =，则0z S =，或若0C z =，则0y S =；反之，若图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必然通过图形的形心。
截面的几何性质
b2
A
上式称为计算惯性矩的平行移轴公式。这个公式表明 ：截面对任意一个轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的 形心轴的惯性矩加上截面的面积与两轴距离的乘积。
工程力学与建筑结构
1.4 组合截面的惯性矩
在计算组合截面对某座标轴的惯性矩时，根据定义， 可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩，然后再相加，即 ：
工程力学与建筑结构
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截面的几何性质
在工程中研究构件的受力和变形时，经常会遇到一些 和构件的横截面形状、尺寸有关的几何量，这些几何量通 称为截面的几何性质。 1.1 截面的静矩和形心 1. 截面的静矩
如图所示的平面图形代表一个任意截面，其面积为A 。在图形平面内选坐标系Oyz，在坐标为(y, z)处取微面积 dA ，则以下两个积分分别被定义为平面图形A 对于z轴和y 轴的静矩。
I z iz2 A
Iy
i
2 y
A
于是得到:
iz
Iz A
iy
IyБайду номын сангаасA
通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径 （或回转半径）。
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1.3平称移轴公式 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩不相同， 但它们
之间都存在着一定的关系。
I z I zc a 2 A
Iy
I yc
Ai
i 1
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1.2 截面的惯性矩 1. 惯性矩的计算公式
任意一个构件的横截面如图所示，其面积A 对于z轴和 y轴的惯性矩定义为 ：
I z
A
y 2dA
I y
z 2dA
A
常用截面的惯性矩可查阅工程设计手册。
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midas截面几何性质计算
二跨连续梁
三跨连续梁
四跨连
续梁
L2 1
边跨L1
中跨L2边跨L1
中跨
主截面:
2
3
4
5
计算成功完成
结果：I全= 2.24m4中性轴高度H=0.913m
下面来讲一下主梁拆分的原则：
将截面划分为τ梁和I梁,保持将两截面中性轴与全截面中性轴位置一致。
τ梁和I梁顶板尺寸在两肋间平均划分。由于中性轴位置不变，可计算底板尺寸，具体尺 寸见附件I梁和T梁
对于I梁
×22×+45×15×+^2/2×40=(2x+40)×20×+20×15×+^2/2×40
换算惯矩:
中性轴高度:
沿截面高度方向
主截面:
点号:
1
2
3
4
5
0.713m**4
0.908m
点换算静矩（自上而下）:
高度(m):
静矩(m**3):
=0.446m4T梁=0.713m4
I梁或者T梁的抗弯惯矩时， 由于结构是多跨连续梁，
=34：27=: 1
P204页 等截面连续梁等效简支梁刚度修正系数表：
这是一个单箱三室跨径27+34+27米的连续梁，梁高1.55米，桥宽12.95米！！ 支点采用计算方法为为偏压法（刚性横梁法）
mi=P/n±P×e×ai/（ ∑ai x ai）
跨中采用计算方法为修正偏压法（大家注意两者的公式，只不过多了一个β）
mi=P/n±P×e×ai×β/(∑ai x ai)
β---抗扭修正系数β=1/(1+L^2×G×∑It/(12×E×∑ai^2
计算成功完成
τ梁:
史上最全的常用截面几何特性计算公式
史上最全的常用截面几何特性计算公式构件截面的几何性质，如静力矩、形心、轴向惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件的承载能力有影响，常用于分析构件的弯曲、扭转和剪切。
1.静态力矩:也称为面积力矩或静态表面力矩。
截面对轴线的静力矩等于每个微区的积分乘以整个截面上微区到轴线的距离。
静力矩可以是正的，也可以是负的。
它的维数是长度的三次方。
静力矩的力学意义是:如果有均布载荷作用在截面上，其值表示为单位面积的量，则该载荷在某一轴上的合成力矩等于分布载荷乘以该轴的静力矩。
2、形心：又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。
如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。
形心坐标xo、yo的计算公式为：3、惯性矩：反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。
截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。
下图所示的面积为A的截面对x、y轴的轴惯性矩分别为：转动惯量总是正的，量纲是长度的四次方。
构件的抗弯能力与轴的惯性矩成正比。
一些典型截面的轴惯性矩可在专业手册中找到。
例如，平行四边形对中心线的惯性矩为4、极惯性矩：反映截面抗扭特性的一个量。
截面对某个点的极惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到该点距离的平方在整个截面上的积分。
下图所示面积为A的截面对某点O的极惯性矩为：极惯性矩永远是正的，量纲是长度的四次方。
构件的抗扭能力与惯性矩成正比。
圆形截面相对于其中心的惯性矩为5、惯性积：截面对于两个正交坐标轴的惯性积等于截面上各个微面积乘微面积到两个坐标轴的距离在整个截面上的积分。
面积为A的截面对两个正交坐标轴x、y的惯性积为:惯性积的量纲是长度的四次方。
截面位于坐标系的一、三象限,Ixy为正，位于二、四象限则为负。
6.主惯性轴:使截面惯性积为零的一对正交坐标轴称为截面主惯性轴，简称主轴。
截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。
若两条主惯性轴的交点为质心，则这两条轴称为质心主惯性轴(或称主质心惯性轴)。
惯性矩总结(含常用惯性矩公式).docx
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力惯性矩的国际单位为(m^4) O工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1.面积矩的定义别定义为该图形对Z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S Z和S y,来表示，如式(2 —2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单3 3位为m或mm>2.面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2 —2.2)乩(2 — 2.2)或改写成，如式(2 —2.3)S2= A-y i(2 —2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义:积分川和J 分(2 —2.1)图2-2.1任意截面的几何图形S Z= I Z ydA形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零, 该轴一定通过图形形心。
3 •组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式 (2 — 2.4)Σ¾ =Σj ⅛z J (2 — 2.4)式中，A 和y i 、Z i 分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位 置由式(2 — 2.5)确定2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1 •极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A 。
定义：积分丨「’川称为图形对O 点的 极惯性矩，用符号I P ，表示，如式(2 — 2.6)'[ 」(2 — 2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m 4或mr ⅛(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 — 7)IP- 32 (2 — 2.7)(2)对于外径为D 内径为d 的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2 — 2.8)_(1 —況)P 32(2 — 2.8)式中，：二d/D 为空心圆截面内、外径的比值。
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分上t 和A分别定义为该图形对z 轴和y 轴的面积矩或静矩，用符号S z 和S y ，来表示，如式(2 — 2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的 量纲是长度的三次方，其常用单位为m 3或mm2 •面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2 — 2.2)(2 — 2.2)或改写成，如式(2 — 2.3):二 X 乙 (2面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距 离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
—2.3)1 •面积矩的定义图2-2.1任意截 面的几何图形图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之, 图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3 •组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)鬲=刀殆=£4订(2 — 2.4)式中，A和y i、乙分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2 —2.5)确定迟4吗i-i(2 —2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1 •极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分1 称为图形对0点的极惯性矩，用符号I P,表示，如式(2 —2.6)' (2 —2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 —7)(2 —2.7)⑵对于外径为D内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2 —2.8)p 32 (2—2.8)式中，.：二d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2 •惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2 —2.9)^2 =J "沁卜'厂(2 — 2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
第8章 截面的几何性质
b C1 C C2 O a
z y
1 2 1 h bh h ah 2 3 2 3
h
h a 2b 6
2
形心位置
zC 0
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S z h a 2b yC A 3 ab
工程力学
[练习]求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
其中：A为截面面积，x、 y轴为形心轴， x1、 y1为 分别与x、y轴平行的轴， a、b分别为相应平行轴之 间的距离。
O a
z
O1 b
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工程力学
证明： 即推导Iy、Iz、Iyz与 Iy1、Iz1、Iy1z1的关系，x、y 轴为形心轴。 根据惯性矩和惯性积的定义显然有
I y 1 z 1 dA
第 8章
截面的几何性质
单元学习目标
静矩、形心及其相互关系 惯性矩的概念及计算方法 惯性矩的平行移轴公式 组合截面惯性矩计算
水利土木工程学院工程力学课程组
工程力学
静矩、形心及其相互关系 惯性矩的概念及计算方法
惯性矩的平行移轴公式 组合截面惯性矩计算
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建立坐标系如图所示。
zC zA
i i
10
y
A
z1 A1 z 2 A2 A1 A2
120
35 10 110 20.3mm 10 110 80 10
C2
C1(0,0) C2(-35,60)
形心C坐标为（-20.3，34.7）。
80
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25
18 106 mm4
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