人教版2019-2020年高二数学(理)下学期重点练专题06 生活中的优化问题举例(含解析)
(人教新课标)高中数学 选修2-2【课时训练】6 生活中的优化问题举例
课时训练6生活中的优化问题举例1.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x个单位产品的关系是R(x)=则总利润最大时,每年生产的单位产品数是()A.100B.150C.200D.300解析:依题意可得:总利润为P=P'=令P'=0,当0≤x≤400时,得x=300时总利润最大为25 000元;当x>400时,P'<0恒成立,易知当x=300时,总利润最大.答案:D2.做一个容积为256 cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为()A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm解析:设水箱的底面边长为x cm,容积为256 cm3,所以水箱的高为 cm,于是水箱表面积f(x)=x2+4x·,即f(x)=x2+,f'(x)=2x-,令f'(x)=0得x=8,所以当底面边长为8 cm时用料最省.答案:D3.在内接于半径为R的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为()A.RB.R和RC.R和RD.以上都不对解析:设矩形一边的长为x,则另一边长为2,则l=2x+4(0<x<R),l'=2-,令l'=0,解得x1=R,x2=-R(舍去).当0<x<R时,l'>0;当R<x<R时,l'<0.所以当x=R时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为R,R.答案:B4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积为最大,则高为()A. cmB. cmC. cmD. cm解析:设圆锥的高为x cm,则底面半径为cm,其体积V=πx(202-x2)(0<x<20),V'=π(400-3x2).令V'=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0<x<时,V'>0;当<x<20时,V'<0,所以当x=时,V取最大值.答案:D5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款额度与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x〔x∈(0,0.048)〕,则存款利率为时,银行可获得最大收益.()A.0.012B.0.024C.0.032D.0.036解析:由题意,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx2.于是y'=0.048k-2kx,令y'=0,解得x=0.024,依题意知y在x=0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.答案:B6.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A. B. C. D.2解析:设底面边长为x,则底面面积为x2,设高为h,则x2h=V,于是h=·,这时直棱柱的表面积S(x)=x2×2+3xh=x2+.S'(x)=x-,令S'(x)=0得x=,故当x=时表面积最小.答案:C7.周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是.解析:设矩形的一边长为x cm,则另一边长为(10-x) cm,则V=πx2(10-x)(0<x<10),V'=π×(20x-3x2)=0,解得x=0(舍去),或x=.当x∈时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当x∈时,V'(x)<0,V(x)单调递减.∴当x=时,V为极大值即最大值.此时V=π×(cm3).答案: cm38.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的边长分别为.解析:设矩形边长AD=2x(0<x<2),则AB=y=4-x2(y>0),则矩形的面积S=2x(4-x2)(0<x<2), 即S=8x-2x3,S'=8-6x2.令S'=0,解得x1=,x2=-(舍),当0<x<时,S'>0;当<x<2时,S'<0,∴当x=时,S取得最大值,此时S max=,即矩形边长为时,矩形面积最大.答案:9.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5),现该公司准备共投入300万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额约为-x3+x2+3x(百万元).为使该公司由此获得的收益最大,求x的值.解:设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元),又设由此获得的收益是g(x),则有g(x)=+[-(3-x)2+5(3-x)]-3(0≤x≤3),即g(x)=-x3+4x+3(0≤x≤3),∴g'(x)=-x2+4.令g'(x)=0,得x=-2(舍去),或x=2.又当0≤x<2时,g'(x)>0;当2<x≤3时,g'(x)<0,∴g(x)在[0,2]上是增函数,在(2,3]上是减函数,∴当x=2时,g(x)取最大值,即将2百万元用于技术改造,该公司收益最大.10.两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城B 的影响度之和.记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k.当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数;(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.解:(1)根据题意∠ACB=90°,AC=x km,BC= km,且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为,对城B的影响度为,因此,总影响度y=(0<x<20).又因为垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065,则有=0.065,解得k=9,所以y=(0<x<20).(2)因为y'=-,由y'=0解得x=4,或x=-4(舍去),易知4∈(0,20).y,y'随x的变化情况如下表:x(0,4) 4 (4,20)y'-0 +y单调递减↘单调递增↗由表可知,函数在(0,4)内单调递减,在(4,20)内单调递增,y最小值=.此时x=4,故在上存在C点,使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小,该点与城A的距离x=4 km.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2练习：1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析
[A 基础达标]1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B. 203C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元解析：选D.毛利润为(P －20)Q ， 即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)， f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)． 令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)， 故f (P )max ＝f (P )极大值， 故当P ＝30时，毛利润最大， 所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．3．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长)，其他三边需要砌新的墙壁，若使所用的材料最省，则堆料场的长和宽应分别为( )A ．32 m ，16 mB ．30 m ，15 mC ．64 m ，8 mD ．36 m ，18 m 解析：选A.要使材料最省，则新砌的墙壁的总长度应最短．设堆料场宽为x m ，则长为512x m ，因此新墙总长L (x )＝2x ＋512x (x >0)，则L ′(x )＝2－512x 2.令L ′(x )＝0，解得x ＝16(x ＝ －16舍去)．故当x ＝16时，L (x )取得最小值，此时长为51216＝32(m)．4．某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm 2，上、下要留1.5 cm 空白，左、右要留1 cm 空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为( )A ．左右长12 cm ，上下长18 cmB ．左右长12 cm ，上下长19 cmC ．左右长11 cm ，上下长18 cmD ．左右长13 cm ，上下长17 cm解析：选A.设所印文字区域的左右长为x cm ，则上下长为150x cm ，所以纸张的左右长为(x ＋2)cm ，上下长为⎝⎛⎭⎫150x ＋3cm ，所以纸张的面积S ＝(x ＋2)⎝⎛⎭⎫150x ＋3＝3x ＋300x＋156. 所以S ′＝3－300x 2，令S ′＝0，解得x ＝10.当x >10时，S 单调递增； 当0<x <10时，S 单调递减．所以当x ＝10时，S min ＝216(cm 2)，此时纸张的左右长为12 cm ，上下长为18 cm. 故当纸张的边长分别为12 cm ，18 cm 时最节约．5．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1解析：选A.设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝Vπr 2.由题意，知当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr ·V πr 2＝2πr 2＋2V r .令S ′＝4πr －2Vr 2＝0，得r ＝3V 2π，当r ＝3V 2π时，h ＝Vπ⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π，则h ∶r ＝2∶1时，所用材料最省．6．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入．解析：设没有租出去的公寓数为x ，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，所以f ′(x )＝1 600－100x ，解得x ＝16，所以当x ＝16时，f (x )取最大值，把租金定为1 800元时，收入最大．答案：1 8007．甲、乙两地相距240 km ，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为16 400v 3元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h 的速度行驶．解析：设全程运输成本为y 元， 由题意知y ＝240v ⎝⎛⎭⎫160＋16 400v 3(v >0)， y ′＝240⎝⎛⎭⎫－160v 2＋26 400v ，令y ′＝0，得v ＝80， 当v >80时，y ′>0； 当0<v <80时，y ′<0. 所以v ＝80时，y min ＝720. 答案：808．某厂生产x 件产品的总成本为C 万元，产品单价为P 万元，且满足C ＝1 200＋275x 3，P ＝500x，则当x ＝________时，总利润最高．解析：设总利润为L (x )万元，则由题意得L (x )＝x ·500x －1 200－275x 3＝－275x 3＋500x －1 200(x >0)．由L ′(x )＝－225x 2＋250x ＝0，得x ＝25.令L ′(x )>0，得0<x <25；令L ′(x )<0，得x >25，得L (x )在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x ＝25时，总利润最高．答案：259．某商店经销一种奥运纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a (a 为常数，4≤a ≤5)元的税收，设每件产品的日售价为x (35≤x ≤41)元，根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．(1)求该商店的日利润L (x )元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L (x )最大，并求出L (x )的最大值． 解：(1)设日销售量为k e x ，当日售价为40元，日销量为10件时，ke 40＝10，所以k ＝10e 40，故日销售量为10e 40ex 件．则日利润L (x )＝10e 40（x －30－a ）e x(35≤x ≤41)．(2)由(1)可得L ′(x )＝10e 40（31＋a －x ）e x，因为4≤a ≤5，所以35≤a ＋31≤36.令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，故L (x )在[35，a ＋31]上为增函数，在[a ＋31，41]上为减函数．所以当x ＝a ＋31时，L (x )取得最大值，最大值为10e 9－a .10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩在桥面距离计算中都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：(1)设需要新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x －1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx ＋m x ＋2m －256(0<x ≤m )．(2)对第一问中函数f (x )求导得，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝6402x 2(x 32－512)＝320x 2(x 32－512)(0<x ≤640)．令f ′(x )＝0，解得x 32＝512，即x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0，64)上为减函数； 当64<x ≤640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64，640]上为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得极小值，也是最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．[B 能力提升]11．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( ) A ．2πR 2 B ．πR 2 C ．4πR 2D.12πR 2 解析： 选A.设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则 x ＝R 2－h 24，所以S 侧＝2πxh ＝2πh R 2－h 24＝2πR 2h 2－h 44，令t ＝R 2h 2－h 44，则t ′＝2R 2h －h 3，令t ′＝0，得h ＝2R (舍负)或h ＝0(舍去)，当0<h <2R 时，t ′>0，当2R <h <2R 时，t ′<0，所以当h ＝2R 时，圆柱的侧面积最大． 所以侧面积的最大值为2π2R 4－R 4＝2πR 2，故应选A.12．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则s 的最小值是________．解析：如图，设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，所以梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，所以梯形的面积为34－34x 2，所以s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)，则s ′＝－833×（3x －1）（x －3）（1－x 2）2.令s ′＝0，解得x ＝13或x ＝3(舍去)．当x ∈(0，13)时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈(13，1)时，s ′>0，s 为增函数，故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.答案：323313．某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔x 米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元(桩位视为一点且打在长方形的边上且四个顶点各有一个桩位)，桩位之间的x 米墙面需花(2＋3x )x 万元，在不计地板和天花板的情况下，当x 为何值时，所需总费用最少？解：由题意可知，需打2(60x ＋1)＋2(30x －1)＝180x (0<x <30)个桩位．墙面所需费用为(2＋3x )x ·180x ＝180(2＋3x )(0<x <30)，所以所需总费用y ＝180x ×92＋180(2＋3x )＝180(92x ＋3x )＋360(0<x <30)．令t ＝92x ＋3x ，则t ′＝－92x 2＋32x ＝3（－332＋（x 32）2x 2，当0<x <3时，t ′<0；当3<x <30时，t ′>0.所以当x ＝3时，t 取极小值为t ＝92×3＋3×3＝92. 而在(0，30)内极值点唯一，所以t min ＝92.所以当x ＝3时，y min ＝180×92＋360＝1 170(万元)，即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1 170万元．14．(选做题)如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数； (2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积．解：(1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)．(2)因为S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S ′＝5 000(cos θ＋cos 2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝π3.当0<θ<π3时，12<cos θ<1，S ′>0；当π3<θ<π时，－1<cos θ<12，S ′<0. 故当θ＝π3时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150.即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析
当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数,
所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在区间(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.
故当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少
4.解决优化问题的基本思路.
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
第三页，编辑于星期日：点 十八分。
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【做一做】 电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为 y=
1 3
39 2
− 2 -40x(x>0),为使耗电量最少,则其速度应定为
20 000
单调递增,
∴L(x)max=L(100)=1 000ln 100-2 000.
∵1 000ln 50-250-(1 000ln 100-2 000)
=1 750-1 000ln 2>1 750-1 000>0,∴当x=50,即年产量为50 000吨时,该
厂所获利润最大,最大利润为(1 000ln 50-250)万元.
则每栏的高和宽分别为(x-20)cm、
-25
由两栏的面积之和为 2(x-20)·
得 y=
18 000
-20
2
cm, 其中x>20,y>25.
= 18 000,
+ 25.
广告的面积 S=xy=
所以 S'=
2
-25
18 000
-20
18 000[(-20)-]
高中数学专题生活中的优化问题举例试题新人教A版选修
1.4 生活中的优化问题举例1．利用导数解决优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．__________是求函数最值问题的有力工具．解决优化问题的基本思路是：K知识参考答案：1．导数K—重点利用导数解决生活中的优化问题K—难点利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题K—易错求利润最大、用料最省、效率最高等问题时，易忽略实际意义最大值问题实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值．如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【答案】箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3．【解析】设箱子的底边长为x cm，则箱子高602xh-=cm，箱子容积23260()2x x V x x h -==(060)x <<， 得23()602V x x x '=-，令()0V x '=，解得10x =（不合题意，舍去），240x =． 当x 在(0)60，内变化时，()V x '的正负如下表：因此在40x =处，函数()V x 取得极大值，并且这个极大值就是函数()V x 的最大值． 将40x =代入()V x ，得最大容积为2360404016000(cm )2-⨯=． 所以，箱子底边长为40cm 时，容积最大，最大容积为16000cm 3．【名师点睛】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．（2）注意根据实际意义对求出的解进行取舍．最小值问题实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10海里/小时时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小． 【解析】设速度为v 海里/小时时的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得3·p k v =，其中k 为比例系数， 又10v =时，p ＝6，则360.00610k ==，于是有30.006p v =． 又设当船的速度为每小时v 海里时，航行1海里所需的总费用为q 元， 因为每小时所需的总费用是30.00696v +(元)，而航行1海里所需的时间为1v小时， 所以，航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006q v v v v=+=+，所以322960.012'0.012(8000)q v v v v=-=-， 令0q '=，解得20v =．当020v <<时，0q '<；当20v >时，0q '>， 故当20v =时，q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小．【名师点睛】本题是费用最少问题，若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左减右增，则此时唯一的极小值就是最小值．1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为2(60)()(060)2x x V x x -=<<，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为 A ．30 B ．40 C ．50D ．352．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件D ．7万件3．路灯距地平面8 m ，一个身高为1.6m 的人以2m/s 的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C 开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v 为 A ．207m/s B ．247m/s C ．227m/sD ．21m/s 4．现有一段长为18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是 A ．1 mB ．1.5 mC ．0.75 mD ．0.5 m5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益最大时应该订购的合同件数是 A ．150 B ．175 C ．200D ．2256．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______________ cm ，宽为______________ cm ，高为______________ cm 时，可使表面积最小． 7．某商品一件的成本为30元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大，每件定价为______________元．8．已知某厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问： （1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？9．为了美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示．要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3米，|AD|＝2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．10．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，焊接成水箱，则水箱的最大容积为A．120000 cm3B．128000 cm3C．150000 cm3D．158000 cm311．某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数为y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数为y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产A．6千台B．7千台C ．8千台D ．9千台12．某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，要使砌墙所用材料最省，堆料场的长和宽分别为 A ．16 m ，16 m B ．32 m ，16 m C ．32 m ，8 mD ．16 m ，8 m13．已知某厂生产x （百件）某种商品的总成本为321()629153x C x x x =-++（万元），总收益为2()20R x x x =-（万元），则生产这种商品所获利润的最大值为______________万元，此时生产这种商品______________百件．14．某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m 与商品单价的降低值x （单位：元，90<≤x ）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．（1）将一星期的商品销售利润y 表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？15．某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人．某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人．该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系．（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数()y f x =所具有的性质； （2）若()f x =mn x+，试确定m ，n 的值，并说明该函数是否符合上述两点预测； （3）若()f x =(0,1)xa b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取值范围．16．（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ．如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2．5千米，以12,l l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型． （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．1．【答案】B【解析】由题可得3223()(30)6022x V x x x x ''=-=-，060x <<．令)0(V x '=，解得40x =，所以当40x =时，箱子的容积有最大值．故选B ．3．【答案】D【解析】如图，设人从C 点运动到B 处路程为x m ，时间为t s ，AB 为人影长度，AB 长为y m ．由于DC∥BE ，则AB BEAC CD=，即1.6185y y x ==+，∴y =41x =21t ，∴v =y ′=21 m/s ．故选D ．4．【答案】A【解析】设长方体底面较短边的长为x m ，则较长边的长为2x m ，高为18849342x x x --=- m ，它的体积为2392(3)962V x x x x x =⋅⋅-=-（其中0＜x ＜32）．对V 求导，并令V ′=0，得18x −18x 2=0，解得x =0，或x =1．当0＜x ＜1时，函数V 单调递增，当1＜x ＜32时，函数V 单调递减，所以当x =1时，函数V 有最大值．因此底面的较短边长是1m ，故选A ． 5．【答案】B【解析】设x 表示订购的件数，R 表示公司的收益，则R 等于每件的售价×订购的件数x ，当x ≤150时，R ＝200x ，最大收益为200×150=30000元；当x >150时，R ＝[200－(x －150)]x ＝350x －x 2，R ′＝350－2x ，令R ′＝0，得x ＝175，当(150,175)x ∈时，0R '>，当(175,)x ∈+∞时，0R '<，则当x ＝175时，R 有最大值，最大收益为350×175－1752＝30625元，故选B ． 6．【答案】6 3 4【解析】设底面相邻两边长分别为x cm 、2x cm ，高为y cm ．则V ＝2x 2y ＝72，y ＝2722x ＝236x，S ＝2(2x 2＋2xy ＋xy )＝4x 2＋6xy ＝4x 2＋216x ． S ′＝8x －2216x ，令S ′＝0，解得x ＝3，则长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时，表面积最小．8．【答案】（1）1000件；（2）6000件． 【解析】（1）设平均每件的成本为y 元，则2125000200250004020040x xx y xx ++==++，∴225000140y x -'=+．令0y '=，得11000x =或21000x =-（舍去），可知当1000x =时，函数取得极小值且为最小值， 所以要使平均成本最小，应生产1000件产品．（2）设利润为L 元，则22500(25000200)300250004040x x L x x x =-++=--，所以2(30025000)3004020x xL x ''=--=-， 令0L '=，解得6000x =，可知当6000x =时L 取得极大值且为最大值， 因此要使利润最大，应生产6000件产品．9．【答案】（1）8(2,)(8,)3+∞U （单位：米）；（2）|AN |＝6米，|AM |＝4．5米，最小面积为27平方米．【解析】设AN 的长为x 米(x >2)，易得||||||||AM DC AN DN =，∴23||-=x xAM ， ∴232AMPNx S AN AM x =⋅=-矩形． （1）由32AMPNS >矩形得32232>-x x ，∵2x >，∴2332640x x -+>，即(38)(8)0x x -->，∴823x <<或8x >，即AN 长的取值范围是8(2,)(8,)3+∞U （单位：米）．（2）令232x y x =-，则2226(2)33(4)(2)(2)x x x x x y x x ---'==--，∴当4x >时，0y '>，即函数234x y x =-在(4,)+∞上单调递增，∴函数234xy x =-在[6,)+∞上单调递增，∴当x ＝6时，232-=x x y 取得最小值，即AMPN S 矩形取得最小值，为27（平方米）．此时|AN |＝6米，|AM |＝4.5米．故当AM ，AN 的长度分别是4.5米、6米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是27平方米．11．【答案】A【解析】设利润为y 万元，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，令y ′>0，得0<x <6，令y ′<0，得x >6，∴当x ＝6时，y 取最大值，故为使利润最大，应生产6千台．故选A ． 12．【答案】B【解析】如图所示，设场地垂直于墙的一边长为x m ，则其邻边长为512xm ．因此新墙总长度5122(0)L x x x =+>，25122L x'=-．令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．可知当x ＝16时，L 取得最小值，当x ＝16时，5125123216x ==．故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．故选B ． 13．【答案】66 9【解析】设利润为()P x （万元），则232311()()()206291533P x R x C x x x x x x x =-=--+--=-+25915x x --，∴2()109P x x x '=-+-，由()0P x '>得19x <<，∴19x <<时，()P x 单调递增，9x >时，()P x 单调递减，∴9x =时，()P x 有最大值(9)66.P =14．【答案】（1）3254575675y x x x ∴=-+-+)90(<≤x ；（2）商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．（2）易得215907515(1)(5)y x x x x '=-+-=---， 由0>'y 得51<<x ，由0<'y 得10<≤x 或95<<x ， 可知函数y 在[0,1)上递减，在(1,5)递增，在(5,9)上递减， 从而函数y 取得最大值的可能位置为0=x 或5=x ，675x y==Q ，5800x y==，∴当5=x 时，800max =y ．答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大． 15．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1(0,]3．【解析】（1）根据题中两点预测可知()f x 在[1,)+∞上单调递增，()130f x <对[1,)x ∈+∞恒成立．（2）将（1，100），（2，120）代入my n x =+中，得1001202m nmn =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得40140m n =-⎧⎨=⎩． 所以40()140f x x =-+，所以240()0f x x'=>， 故()f x 在[1,)+∞上单调递增，符合预测①； 又当4x ≥时，40()140130f x x=-+≥，所以此时()f x 不符合预测②． （3）由2100120ab c ab c =+⎧⎨=+⎩，解得20(1)201001a b b c b ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩，()ln xf x a b b '=⋅⋅，要想符合预测①，则有()0f x '>， 即ln 0a b ⋅>，从而01a b >⎧⎨>⎩或001a b <⎧⎨<<⎩，当1b >时，200(1)a b b =>-，此时符合预测①． 由()130f x ≥，解得23log ()22b b x b ≥-，即当23log ()22b b x b ≥-时，()130f x ≥，所以此时()f x 不符合预测②； 当01b <<，200(1)a b b =<-，此时符合预测①，又由1x ≥，知(0,]x b b ∈，所以[,0)xa b ab ⋅∈，从而()[,)f x ab c c ∈+．欲使()f x 也符合预测②，则130c ≤，即201001301b -≤-，又01b <<，解得103b <≤． 综上所述，b 的取值范围是1(0,]3．16．【答案】（1）1000a =，0b =；（2）①6243410(),[5,20]2f t t t t⨯=+∈，②当102t =时，公路l 的长度最短，为153千米．（2）①由（1）知，21000(520)y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000(,)t t ， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x '=-，则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得233000(,0),(0,)2t A B t．故622224330003410()()(),[5,20]22t f t t t t t⨯=+=+∈． ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得102t = 当2)t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当(102,20)t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数． 从而，当102t =()g t 取得极小值，也是最小值， 所以min ()300g t =，此时min ()153f t =故当102t =l 的长度最短，为153千米．。
2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-2培优课件-生活中的优化问题举例
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材 P34～P36 的内容，回答下列问题． 某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 ml 溶液的圆柱形易拉罐． (1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？
提示：计算出圆柱的表面积即可．
(2)如何制作使用材料才能最省？
提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的 底面半径为 x，列出圆柱表面积 S＝2πx2＋1 0x00(x＞0)，求 S 最小时，圆柱的半径、高即可．
∴y′＝2
000vv－8－1 v－82
000v2＝1
000v2－16 v－82
000v .
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.
若v0≥16，当v∈(8,16)时，y′<0，y为减函数；当v∈(16，v0]
时，y′>0，y为增函数．故v＝16(பைடு நூலகம்米/时)时，y取得极小值，
也是最小值，此时全程燃料费最省．
设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解] (1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用
为C(x)＝3xk＋5，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝3x4＋0 5.
而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
[针对训练] 1．请你设计一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由
矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶 点的连线构成的图形．
试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体 积最大？并求出最大体积．
2019-2020学年人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 学案 (1)
学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.类型一面积、容积的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V (cm 3)最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ，高为2(30－x ) cm ， 所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x2)2＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2)最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20；令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为12.反思与感悟 1.这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x 作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了．2．这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x 的不等式(组)求定义域． 跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2 θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m. 类型二 利润最大问题例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10，当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x ，所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 类型三 费用(用材)最省问题例3 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km /h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)，则y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y ，由题意，得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v (v －8)2.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数， ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16 km/h 全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．反思与感悟 1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6. 解得x ＝5，x ＝－253(舍去)，当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5时，为f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台 答案 C解析 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 答案100π4＋π解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x ， 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π(x 2π)2＋(100－x 4)2(0<x <100)．因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有 f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘故x ＝12时，f (x )取得极大值． 因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664.所以定价为30－12＝18，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．一、选择题1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)， 所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V答案 C解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0)． ∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝⎛⎭⎫l 63π B.⎝⎛⎭⎫l 33π C.⎝⎛⎭⎫l 43π D.14⎝⎛⎭⎫l 43π 答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(cm 3)(0<x <120)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 (cm)时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250 D ．300答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.6．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6答案 B解析 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2(0<x <0.048 6)． 令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032 4时，y ′>0；当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1答案 A解析 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr 2. 由题意知，表面积S 最小时所用材料最小．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr V πr 2＝2πr 2＋2V r， S ′＝4πr －2V r 2＝0，得r ＝3V 2π， 当r ＝3V 2π时，此时h ＝V π(3V 2π)2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小．二、填空题8．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少． 答案 80解析 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得， y ＝(1128 000x 3－380x ＋8)100x＝ 1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， 则y ′＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)， 令y ′＝0得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数递减；当x ∈(80,120)时，y ′>0，该函数递增；当x ＝80时，y 取得最小值．9．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为________件时总利润最大． 答案 25解析 由题意知有502＝k 100，解得k ＝25×104. ∴产品的单价P ＝ 25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x 500x－1 200－275x 3 ＝500x －1 200－275x 3， L ′(x )＝250x －12－225x 2， 令L ′(x )＝0得x ＝25，∴当x ＝25件时，总利润最大．10．某超市中秋前30天，月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30，t ∈Z )的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该超市前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为________． 答案 18解析 平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10， 由y ′＝1－16t2＝0得t ＝4∈[1,30]， ∴当t ＝4时，y min ＝18.11．甲、乙两地相距240 km ，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为16 400v 3元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h 的速度行驶．答案 80解析 设全程运输成本为y 元，由题意知y ＝240v (160＋16 400v 3)(v >0)， y ′＝240(－160v 2＋26 400v )， 令y ′＝0，得v ＝80，当v >80时，y ′>0；当0<v <80时，y ′<0.∴v ＝80时，y min ＝720.三、解答题12．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？解 设C 点距D 点x km ，则BD ＝40 km ，AC ＝(50－x ) km ，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2(km)．又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x )＋5ax 2＋402(0≤x ≤50)， 则y ′＝－3a ＋5ax x 2＋402， 令y ′＝0，解得x ＝30.当x ∈[0,30)时，y ′<0，当x ∈(30,50]时，y ′>0，∴当x ＝30时函数取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．解 (1)因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ， 所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr (643r 2－43r )＝128π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝(128π3r －8πr 23)×3＋4πr 2×4＝128πr＋8πr 2. 又l ＝643r 2－43r >0⇒r <243. 所以定义域为(0,243)． (2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2， 所以令y ′>0得2<r <243；令y ′<0得0<r <2， 所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83.。
2019-2020学年人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 学案 (1)
1.4 生活中的优化问题举例[学习目标]1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． [知识链接]设两正数之和为常数c ，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)?答 设一个正数为x ，则另一个正数为c －x ，两数之积为 f (x )＝x (c －x )＝cx －x 2(0＜x ＜c )，f ′(x )＝c －2x . 令f ′(x )＝0，即c －2x ＝0，得x ＝c2.故当x ＝c 2时，f (x )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＝c24，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的14.若设这两个正数分别为a ，b ，则有(a ＋b )24≥ab (a ＞0，b ＞0)，即a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时等号成立． [预习导引]1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是 优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．要点一用料最省问题例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．∴y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝6103＝0.006，于是有p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，航行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而航行1海里所需时间为1v 小时，所以，航行1海里的总费用为：q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v . q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.∵当v <20时，q ′<0； 当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时，q 取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小． 要点二 面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每栏的高和宽分别为x －20 cm ，y －252 cm ， 其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ， ∴S ′＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25. 令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；④求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案． 跟踪演练2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2， 由V ＝πR 2h ，得h ＝V πR 2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2V R ＋2πR 2， 令S ′(R )＝－2VR 2＋4πR ＝0，解得R ＝3V 2π， 从而h ＝VπR 2＝Vπ ⎝⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π＝2 3V 2π，即h ＝2R . 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省． 要点三 成本最省，利润最大问题例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v ， ∴所求函数及其定义域为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v ，v ∈(0，c ](2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数． y ′＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v 2＝0得v ＝ab .但v ∈(0，c ]．①若ab ≤c ，则当v ＝ab 时，全程运输成本y 最小；②若ab >c ，则v ∈(0，c ]，此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数． 所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小，当 ab ≤c 时，行驶速度v ＝ a b ；当ab >c 时，行驶速度v ＝c .规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．跟踪演练3 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？ 解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2， 利润L ＝R －C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200) L ′＝－14q ＋21令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84. 所以产量为84时，利润L 最大．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A ．8 B ．203 C ．－1 D ．－8答案 C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.3V B．32VC．34V D．23V答案 C解析设底面边长为x，则表面积S＝32x2＋43x V(x>0)．∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0，得x＝34V.3．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为x cm，则箱高h＝60－x2cm，箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0，解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ， ∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6答案 B解析 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0；当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43πD ．14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<r <l 4.则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0， ∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)． 水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32 (0<x <120)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 cm 时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 答案 3解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R ， ∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．6．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________． 答案 40解析 由题设知y ′＝x 2－39x －40， 令y ′＞0，解得x ＞40，或x ＜－1，故函数y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x ＝40时，y 取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解设版心的高为x dm ，则版心的宽为 128x dm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128＝2x ＋512x ＋8，x >0. 求导数，得S ′(x )＝2－512x 2.令S ′(x )＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)． 于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0； 当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使四周空白面积最小． 二、能力提升8．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ) A.32 3 cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2 D ．2 3 cm 2答案 D解析 设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)，故选D.9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎨⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎨⎧－x3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．答案 6 3解析 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab ，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a 2＋a .于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k (2＋a )30a －a2.(0<a <30) 令y ′＝a 2k ＋4ak －60k (30a －a 2)2＝0 得a ＝6或a ＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx (2＋x )x＝256mx ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小．12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km. 则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x＝a (kx 2＋200x )．由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200，∴f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋200x (0＜x ＜100)．令f ′(x )＝a (x 3－20 000)100x 2＝0，得x ＝10320.当0<x <10320时，f ′(x )<0； 当10320<x <100时，f ′(x )>0. ∴当x ＝10320时，f (x )有最小值， 即速度为10320 km/h 时，总费用最少． 三、探究与创新13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .解 (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3， 又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－4r 3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r .由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43⎝⎛⎭⎪⎫20r2－r×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0，所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>92时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.。
高中数学选修2-2同步练习题库：生活中的优化问题举例(填空题：容易)
生活中的优化问题举例（填空题：容易）1、函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是．（写出所有满足条件的函数的序号）2、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为，令，则的值为．3、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为；4、若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围_______．5、函数在区间上的最大值为_______．6、设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。
7、若函数在处取极值，则 .8、设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则 .9、若上是减函数，则的取值范围是 __.10、若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是．11、若存在过点的直线与曲线和都相切，则=_____.12、若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是________．13、曲边梯形由曲线，，，所围成，过曲线，上一点作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．14、已知函数的导函数为，且满足，则= 。
15、若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的值域恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．如果函数是上的正函数，则实数的取值范围为▲ .16、曲线在点（2,8）处的切线方程为_______________________。
17、．曲线在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _。
18、设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 .19、函数的减区间是 ********20、如果过曲线上点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为 .21、如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．22、已知函数则函数的图像在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是。
2019-2020学年人教A版选修2-2 生活中的优化问题举例 课件(53张)
思考题 4 求曲线 y＝4－x2(x＞0)上与定点 P(0，2)距离最
近的点． 【解析】 设曲线 y＝4－x2(x＞0)上一点 Q(x，y)， PQ 的距离 f(x)＝ （x－0）2＋（y－2）2 ＝ x2＋（4－x2－2）2＝ x4－3x2＋4. 令 h(x)＝x4－3x2＋4， ∴令 h′(x)＝4x3－6x＝2x(2x2－3)＝0.
x000＋200＋4x0.
y′＝(25 x000＋200＋4x0)′＝－2x52000＋410.
令 y′＝0，得 x1＝1 000，x2＝－1 000(舍去)．
当在 x＝1 000 附近左侧时，y′＜0；
在 x＝1 000 附近右侧时，y′＞0，故当 x＝1 000 时，y 取得极小
值，由于函数只有一个点使 y′＝0，且函数在该点有极小值，那么函
【答案】 C
题型三 面积、体积最大
例 3 在半径为 R 的半圆内，以直径为一底边作一个内接等 腰梯形，问如何使其面积最大？最大面积是多少？
【思路分析】 在已知内接梯形底边的前提下，只需再确定其 高，或上底边长，或底角，都可以确定梯形，因此变量可以有不同 的选择．
【解析】 方法一：设上底长为 2x，如图所示：
铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，问如何设计使总 造价最小 ?
【解析】 设圆柱体高为 h，底面半径为 r，又设单位面积铁的 造价为 m，桶总造价为 y，则
y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
由于 V＝πr2h，得 h＝πVr2.
所以 y＝4mπr2＋2mr V(r＞0)．
所以 y′＝8mπr－2mr2V. 令 y′＝0，得 r＝(4Vπ)13，此时 h＝πVr2＝4(4Vπ)13.
S′＝R2(2cos2θ＋cosθ－1)．
2020人教版高二数学下学期重点练专题06 生活中的优化问题举例【带答案解析】
1.某工厂需要建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌新墙所用材料最省时,堆料场的长和宽分别为( )A. 32米, 16米B. 30米, 15米C. 40米, 20米D. 36米, 18米【答案】A【解析】设宽为x ,长为kx ,则2512kx =, 用料为2512256256(2)2464y k x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (当且仅当16x =时取等号), 所以25122k x ==.长为16232kx =⨯=. 2.用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90o 角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为( )A. 3120000cmB. 3128000cmC. 3150000cmD. 3158000cm【答案】B【解析】设水箱底边长为xcm ,则水箱高()602x h cm =-.水箱容积()()322600120.2x V V x x h x x ===-<< ()23'120.2V x x x =-令()x 0V '=,得0x = (舍去)或80x =.可判断得80x cm =时, V 取最大值为3128000.cm 3.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为( )A.4B.6C.4.5D.8【答案】A【解析】设底面边长为x ，高为h ，则2()256V x x h =⋅=，所以2256h x =，所以表面积22222561024()44S x x xh x x x x x=+=+⋅=+， 所以21024'()2S x x x =-.令'()0S x =，解得8x =，所以225648h ==. 4.若一球的半径为r ,则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )A. 22r πB. 2r πC. 24r πD. 212r π【答案】A专题06 生活中的优化问题举例第一章 导数及其应用【解析】如图,设内接圆柱的底面半径为R ,母线长为l ,则cos R r θ=,2sin l r θ=∴. ∴()2224cos sin 0S r πθθ=-=', 得4πθ=,∴当4πθ=,即22R r =时,最大,且最大值为22r π.5.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之。
2019-2020学年高中数学人教A版选修1-1同步练习：3.4 生活中的优化问题举例
3.4 生活中的优化问题举例1、已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为( )A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元2、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为31812863y x x =-+-,则该生产厂家获取的最大年利润为( )A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元 3、内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为（ ） A. R B. 2R C.43R D. 34R 4、把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为( ) A.1:2B.1:πC.2:1D.2:π5、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之。
各以其广乘之，并，以高乘之，六而一。
”其计算方法是:将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为（ ） A.392 B.752 C.39 D.60186、若一球的半径为r ,则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A. 22r π B. 2r π C. 24r π D. 212r π7、海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30海里/小时, 当速度为10海里/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲乙两地相距800海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为( ) A. 30海里/小时 B. 25海里/小时 C. 20海里/小时 D. 10海里/小时8、国家相继出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为%p ;超过280万元的部分按(2)%p +征税.现有一家公司的实际缴税比例为(0.25)%p +,则该公司的年收入是( ) A. 560万元 B. 420万元 C. 350万元 D. 320万元9、做一个圆柱形锅炉,容积为V ,两个底面的材料每单位面积的价格为a 元,侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( )A. a bB. 2a bC. baD. 2b a10、现要做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其容积为27π且用料最省,则水桶底面圆的半径为( ) A.32B. 3?C. D. 611、如图, ,OA OB 为扇形湖面OAB 的湖岸,现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区-区域Ⅰ和区域Ⅱ,点 C 在弧AB 上, ,//COA CD OA θ∠=,其中弧AC ,半径OC 及线段CD 需要用渔网制成若π,13AOB OA ∠==,则所需渔网的最大长度为__________.12、海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30海里/小时,当速度为10海里/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲乙两地相距800海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为__________.13、如图所示,等腰△ABC 的底边AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于,B D 的动点.点F 在边BC 上,且EF AB ⊥.现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE AE ⊥.记(),BE x V x =表示四棱锥P ACFE -的体积.则()V x 取得最大值为__________.14、北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(30天计算)里,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进__________份,才能使每月所获得利润最大.15、甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)之间的关系为x =若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格),1.将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;2.甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额为20.002t 元,在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s 是多少?答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：C解析：设圆锥高为h ,底面半径为r ,则()222R h R r =-+,∴222r Rh h =-,∴()2223π12π2π3π333V r h h Rh h Rh h ==-=-,24'ππ3V Rh h =-, 令0V '=,得43h R =.当403h R <<时, 0V '>;当423Rh R <<时, 0V '<.因此当43h R =时,圆锥体积最大.故应选C.4答案及解析： 答案：C解析：设圆柱高为()06x x <<，即长方形的宽为x ， 则圆柱底面周长即长方形的长为12262xx -=-， ∴圆柱底面半径6R 2x-=π， ∴圆柱的体积322261236R ()24x x x xV h x --+=π=π=ππ， ∴2324363(2)(6)'44x x x x V -+--==ππ， 当02x <<时，'0V >，函数单调递增； 当26x <<时，'0V <，函数单调递减；当6x >时，函数无实际意义. ∴2x =时，体积最大， 此时底面周长为624-=，该圆柱底面周长与高的比为4:22:1=.5答案及解析： 答案：B解析：设下底面的长为992x x ⎛⎫≤<⎪⎝⎭，则下底面的宽为18292x x -=-.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积()()()2117393322239622x V x x x x =⨯⨯⨯+⨯++-=-++⎡⎤⎣⎦，故当92x =时，体积取得最大值，最大值为29917397522222⎛⎫-+⨯+=⎪⎝⎭，故选B 。
2019-2020年人教A版高中数学选修2-2：1.4生活中的优化问题举例课件 (共37张PPT)(1)
解析：(1)∵当 x＝5 时，y＝11，∴a2＋10＝11，∴a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， ∴商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，其中 3<x<6. ∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
2．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时 10 千 时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，轮船的速 是多少时，航行 1 千米所需的费用总和为最小？ 解析：设速度为每小时 v 千米的燃料费为每小时 p 元，由题意得 p＝k·v3，其中 为比例系数，当 v＝10，p＝6，解得 k＝1603＝0.006. 于是有 p＝0.006v3. 设当速度为每小时 v 千米时，行 1 千米所需的总费用为 q 元，那么每小时所需的总
综上，当 1≤t≤2 时，投入23a万元，y 的最大值为3227a3； 当 0<t<1 时，投入22t＋at1万元，y 的最大值为23t2＋a31t23.
求解利润最大问题方法： 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本” 建立函数关系式，再利用导数求最大值．
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知 价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商 获得的利润最大．
∴当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
2019-2020学年人教A版选修2-21.4 生活中的优化问题举例课件(27张)
所以，当x＝
23时，S(x)取得最大值，此时S(x)最大值＝329
3 .
即矩形的长和宽分别为83，4 3 3时，矩形的面积最大.
用料、费用最少问题
[典例] 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航 行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时 (8＜v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行 速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的 燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应 为多少？
y′＝2－1x228，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8. 因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0， 所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m. 即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.
利润最大问题
[典例] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成 本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本 年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成 本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相 应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝ (每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．
V′(r)＝S－26πr2， 令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个
极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．
又r＝
6Sπ，∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为
6πS 3π .
答案：
6πS 3π
2．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物 线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大 时的长和宽．
高中数学选修2-2同步练习题库：生活中的优化问题举例(简答题：一般)
生活中的优化问题举例（简答题：一般）1、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？2、现有一块大型的广告宣传版面，其形状如图所示的直角梯形．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形（点在曲线段上，点在线段上）．已知，，其中曲线段是以为顶点，为对称轴的抛物线的一部分．（1）求线段，线段，曲线段所围成区域的面积；（2）求厂家广告区域的最大面积．3、某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x－5 000(单位：万元)．(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？4、某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L.（1）求k的值；（2）求该汽车每小时油耗的最小值．5、如图，在半径为3的圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.（1）写出体积关于的函数关系式，并指出定义域；（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？最大体积是多少？（圆柱体积公式：，为圆柱的底面积，为圆柱的高）6、某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水器（如图），其中直四棱柱的高，两底面是高为，面积为的等腰梯形，且，若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元．(1)试将储水窖的造价表示为的函数；(2)该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元?（取）.7、已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算，若今年的实际销售单价为元/件（），则新增的年销量（万件）.（1）写出今年商户甲的收益（单位：万元）与的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由.8、现有一张长为，宽为（）的长方形铁皮，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角上剪下一块边长为的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为，体积为.（Ⅰ）求关于的函数关系式；（Ⅱ）求该铁皮容器体积的最大值.9、某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为，记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大.10、某企业生产一种产品，日销售量（百件）与产品销售价格（万元/百件）之间的关系为，已知生产（百件）该产品所需的成本（万元）.（1）把该产品每天的利润表示成日产量的函数；（2）求当日产量为多少时，生产该产品每天获得的利润最大？11、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,当其体积最大时，底面半径和高分别为多少？12、某渔场有一边长为20m的正三角形湖面ABC（如图所示），计划筑一条笔直的堤坝DE将水面分成面积相等的两部分，以便进行两类水产品养殖试验（D在AB上，E在AC上）．（1）为了节约开支，堤坝应尽可能短，请问该如何设计？堤坝最短为多少？（2）将DE设计为景观路线，堤坝应尽可能长，请问又该如何设计？13、如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设，（1）将商业街的总收益表示为的函数；（2）求商业街的总收益的最大值．14、某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？15、某超市销售某种小商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中，a为常数，已知销售价格为元/件时，每日可售出该商品件．若该商品的进价为元/件，当销售价格为何值时，超市每日销售该商品所获得的利润最大．16、如图，已知曲线C1：y＝x3（x≥0）与曲线C2：y＝－2x3＋3x（x≥0）交于点O,A，直线x＝t（0＜t＜1）与曲线C1、C2交于点B，D．（1）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S＝f(t)；（2）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值．17、在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18、如图是一块地皮，其中，是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，km，km，．现要从这块地皮中划一个矩形来建造草坪，其中点在曲线段上，点，在直线段上，点在直线段上，设km，矩形草坪的面积为km2．（1）求，并写出定义域；（2）当为多少时，矩形草坪的面积最大？19、某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5) (注：收益＝销售额－投放)．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．20、某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为元，推销费用为元，预计当每包药品销售价为元时，一年的市场销售量为万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的(1) 写出该药品一年的利润 (万元)与每包售价的函数关系式，并指出其定义域；(2) 当每包药品售价为多少元时，年利润最大，最大值为多少？21、如图，某公园中间有一块等腰梯形状绿化区，，的长度相等，均为2百米，的长度为4百米，其中是半径为1百米的扇形，.管理部门欲在绿化区中修建从到的观赏小路：其中为上异于、的一点，小路与平行.设（1）用表示的长度，并写出的范围；（2）当取何值时，才能使得修建的观赏小路的总长最短？并说明理由.22、如图，在海岸线由抛物线和线段组成的小岛上建立一个矩形的直升机降落场，要求矩形降落场的边与小岛海岸线重合，点，在抛物线上，其中直线是抛物线的对称轴，米，海岸线米，求降落场面积最大值及此时降落场的边长.23、如图，由围成的曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过所作的的切线与围城的三角形的面积最大，并求得最大值．24、某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）．设计要求彩门的面积为（单位：），高为（单位：）（为常数）．彩门的下底固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为．（1）请将表示成关于的函数；（2）问当为何值最小，并求最小值．25、等腰三角形的周长为，问绕这个三角形的底边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积最大时，各边长分别是多少？26、要设计一个容积为的圆柱形水池，已知底面单位面积造价是侧面单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底面半径和高，才能使总造价最低？27、（本小题满分13分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）28、（本小题13分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．（Ⅰ）当时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？29、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2－600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？并求出此时商品的每件定价．30、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元，每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元. （为自然对数的底数，是一个常数.）（Ⅰ）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；（Ⅱ）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.31、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？32、如图所示，设铁路AB=50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？33、某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．34、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？35、某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．36、在边长为48 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？37、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式其中为常数。
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人教版2019-2020年高二数学（理）下学期重点练
1.某工厂需要建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌新墙所用材料最省时,堆料场的长和宽分别为( )
A. 32米, 16米
B. 30米, 15米
C. 40米, 20米
D. 36米, 18米 【答案】A
【解析】设宽为x ,长为kx ,则2512kx =, 用料为2
512256256(2)2464y k x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
=+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(当且仅当16x =时取等号), 所以2512
2k x
=
=.长为16232kx =⨯=. 2.用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转
90o 角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为( )
A. 3120000cm
B. 3128000cm
C. 3150000cm
D. 3158000cm 【答案】B
【解析】设水箱底边长为xcm ,则水箱高()602
x
h cm =-
.水箱容积()()3
2
2
600120.2
x V V x x h x x ===-<<
()23
'120.2
V x x x =-令()x 0V '=,得0x = (舍去)或80x =.可判断得80x cm =时, V 取最大
值为3128000.cm
3.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为( ) A.4
B.6
C.4.5
D.8
【答案】A
【解析】设底面边长为x ，高为h ，则2()256V x x h =⋅=， 所以2256h x =
，所以表面积222
22561024()44S x x xh x x x x x
=+=+⋅=+， 专题06 生活中的优化问题举例
第一章 导数及其应用
所以21024'()2S x x x =-
.令'()0S x =，解得8x =，所以2256
48
h ==. 4.若一球的半径为r ,则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A. 22r π B. 2r π C. 24r π D. 21
2
r π 【答案】A
【解析】如图,设内接圆柱的底面半径为R ,母线长为l ,则cos R r θ=,2sin l r θ= ∴
.
∴()
2224cos sin 0S r πθθ=-=',
得4
π
θ=
,∴当4
π
θ=
,即2
2
R r =
时,最大,且
最大值为22r π.
5.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之。
各以其广乘之，并，以高乘之，六而一。
”其计算方法是:将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为（ ） A.
392 B.752 C.39 D.601
8
【答案】B
【解析】设下底面的长为992x x ⎛⎫
≤<
⎪⎝⎭
，则下底面的宽为18292x x -=-.由题可知上底面矩形的长
为3,宽为2,“刍童”的高为3, 所以其体积()()()2
117393322239622x V x x x x =
⨯⨯⨯+⨯++-=-++⎡⎤⎣⎦，故当92
x =时，体积取得最大值，最大值为2
99173975
22222⎛⎫-+⨯+=
⎪⎝⎭
，故选B 。
6.已知轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处,以每小时12海里的速度向西行驶,而轮船
乙则以每小时6海里的速度向北行驶.如果两船同时起航,那么经过 小时两船相距最近.
【答案】5 【解析】设经过x 小时两船相距y 海里,y 2=36x 2+(75-12x )2,令(y 2)'=72x -24(75-12x )=0,解得x=5.易知当x=5时,y 2取得最小值.
7.一个帐篷,它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为__________m 时,帐篷的体积最大.
【答案】2
【解析】设1OO 为xm ,底面正六边形的面积为2Sm ,帐篷的体积为3Vm . 则由题设可得正六棱锥底面边长为(m)-(-)=+-2223x 182x x , 于是底面正六边形的面积为()22()682.S x x =⨯
=++--233382x x 42
帐篷的体积为()()()2282182V x x x x x =
⨯+--++-13333
322
()[]282x x )+=
-(-+3x 132()31612,x x =+-32()2123.V x '=-3
2
令0V '=,解得2x =或2x =- (不合题意,舍去).
当12x <<时, 0V '>;当24x <<时, 0V '<.所以当2x =时, V 最大.
8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =,其
中x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为__________万元. 【答案】45.6
【解析】依题意,可设甲销售x (0x ≥)辆,则乙销售(15x -)辆,
∴总利润2
5.060.152(15)S x x x =-+-20.15 3.0630x x =-++2
0.15(10.2)46.806x =--+.根据二次函数图象和N x *∈,可知当10x =时,获得最大利润20.1510 3.06103045.6L =-⨯+⨯+=万元.
9.某厂生产x 件产品的总成本为C 万元,产品单价为P 万元,且满足325001200,75C x P x
=+=,则当x =__________时,总利润最高.
【答案】25
【解析】设总利润为()L x 万元,则由题意得
()()33500221200500120007575L x x x x x x x =⋅
--=-+->.由()22250
'025L x x x
=-+=,
得25x =.令()'0L x >,得025x <<;令()'0L x <,得25x >,得()L x 在区间()0,25上单调递增,在区间()25,+∞上单调递减,所以当25x =时,总利润最高.
10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y
万元.
(1)试写出y 关于x 的函数关系式;
(2)当640m =米时,需新建多少个桥墩才能使y 最小? 【解析】(1)设需新建n 个桥墩,则(1)n x m +=,即1m
n x
=-. ∴()256(1)(2)256(
1)(2)m m y f x n n x x x x x x ==+++=-++2562256(0)m m x m x m x
=++-<< (2)由(1),知13
22222561'()(512)22m m
f x mx x x x
-=-+=-.
令'()0f x =,得3
2
512x =,解得64x =.
当064x <<时,'()0,()f x f x <在区间(0,64)上为减函数; 当64640x <<时,'()0,()f x f x >在区间(64,640)上为增函数. ∴()f x 在64x =处取得极小值,也是最小值,此时640
11964
m n x =-=-=. ∴需新建9个桥墩才能使y 最小.。