《n维向量空间》PPT课件
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n维向量空间
计算 2
§8 向量间的线性关系 一、线性组合 定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称 可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。 例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合 为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称 为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为 的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。
§8 向量间的线性关系 一、线性组合 定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称 可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。 例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合 为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称 为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为 的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。
高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间
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a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量 称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与 记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。 零向量：分量全为零的n维向量： 负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量 的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量 向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 F n 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向 量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i
n维向量空间与线性相关性.ppt
（1）
（加法交换律）
（2） ( ) ( ) （加法结合律）
（3） O O
（4） ( ) O
（5）1
（6） kl kl
（数乘结合律）
（7） k k k （数对向量的分配律）
（8） k l k l （向量对数的分配律）
其中 , , F n ，1,k,l F ， O 为 F n 中的零向量。
即
a1,a 2 , ,a n 。
设 (a1,a 2 , ,a n ) ， b1,b2 , ,bn 都是 n 维向量，则 当且 仅当 ai bi i 1,2, , n
3.1.2 n 维向量的运算 既然向量可看成矩阵，那么，由矩阵运算的定义就可得向
量的运算。
定义 2 设 (a1, a 2 , , a n ) ， b1, b2 , , bn Fn ， k F ，
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F（一般为实数域 R 或复数域C ）上全体 n 维
向量的集合，连同定义在其上的线性运算，称为数域 F 上的
n 维向量空间，仍记为 F n 。当 F 为 R 时，称为 n 维实向量空
间，记为 Rn 。
3.2 向量组的线性相关性
本节将利用 n 维向量空间中向量的线性运算来研究向量
之间的线性关系，着重讨论有关向量的三个基本概念： 线性组合，线性相关与线性无关。
以下总是在一个固定的数域 F 上的 n 维向量空间中进行
讨论，不再每次说明。
3.2.1 线性组合与线性表示
定义 1 设有 n 维向量1, 2 , , m 及 ,如果存在一组数
第 3 章 n 维向量及向量组的线性相关性 3.1 n 维向量
线性代数n维向量空间小结幻灯片
故向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 5的秩为3.
又 1 , 2 , 4是U的列向量组的一个最大线性
无关组,
所以 1 , 2 , 4也是A的列向量组的一个最大
线性无关组.
1
30
三、向量空间的判定
判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构 成向量空间；否则，不构成向量空间．
若R( A) m,则 1, 2 , , m 线性无关, 若R( A) m,则 1, 2 , , m 线性相关.
1
17
例１ 研究下列向量组的线性相关性
1 0 1
1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
的向量均为T的最大无关组。
关于向量空间和子空间: 基，维数。
组(I)无关，组(I)可由(II)表出，
则组(I)的个数<组(II)的个数。
1
7
四、 X AX 0解空间，维数：n - R(A)
任n R(A)个线性无关的AX 0的解向量均为 AX 0的基解系。
x k11 k22 L krt
即向量方程
k1 1 k 2 2 k r r (k1t1 k2 t2 kr tr) 0
1
22
是否有某组不全为零的数 k1 , k 2 , , k r ,而使得对
每个恒有非零解,因此可得如下证明.
证明 因为 1 , 2 , , r 线性相关,所以存在不全
为零的数k1, k2 , , kr ,使
对i 1,2,L
n都有解
L L L
an1x1 an2x2 L ann xn 0
第四章 n 维向量空间
一般地，
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1， ，1T , 2 0，1， ，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立 称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关 至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关 向量组线性相关
向量组线性无关 向量组中任意部分向量线性无关
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1， ，1T , 2 0，1， ，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立 称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关 至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关 向量组线性相关
向量组线性无关 向量组中任意部分向量线性无关
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T
第三章 n维向量组 PPT课件
组成的向量组称为 n 维单位向量组，且任意 n 维向量都可以被该
向量组线性表出。（有的书上用1 (1,0, ,0)，2 (0,1, ,0)， ， n (0,0, ,1) 表示单位向量组。） （4）向量组1,2 , ,m 中任意向量都可以用这个向量组线性 表出，即 i 0 1 0 2 0 i1 1i 0 i1 0 m
则向量 (b1, b2 , , bm ) 可由向量组 1,2 , ,n 线性表出的充
分必要条件是线性方程组
a11k1 a21k2 an1kn b1
a12k1
a22k2
an2kn
b2
a1mk1 a2mk2 anmkn bm
有解。
【注】定理3.2.1和命题1的区别是，定理3.2.1中向量组是 1, 2 ,
（2）分量都是零的向量称为零向量，记作 O，即O (0,0, ,0)
（3）向量(a1,a2 , ,an ) 称为向量 (a1, a2 , , an ) 的负
向量，记作
2. 向量的线性运算 （1）向量的加法
定义3.1.2：设 (a1, a2 , , an )， (b1,b2 , ,bn ) ，那么向 量 (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 称为 与 的和，记为 ，即
n
把原始向量的序号 1,2 , ,n , 标注在矩阵右侧；
第二步：对矩阵 A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，且
将每次变换的过程标注在右侧；
第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有 的行不是零行， 则向量 不能被向量组1,2, ,n 线性表出；若标注有 的行
是零行，则令标注的表达式为零，通过移项化简，则能用向量组
3
1 1 0
0
2
1
0 2
n维向量空间
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
第四章 n 维向量空间
4.2.3 向量的线性相关与线性无关 线性相关和线性无关与线性表示概念密切联系。 定义4.3 设有n维向量组A : α1 , α2 , L , αm , 如果存在一组 不全为0的数k1 , k2 ,L , km，使 k1α1 + k2 α2 + L + km αm = 0 称向量组A 线性相关。 若仅当k1 = k2 = L = km = 0时，有 k1α1 + k2 α2 + L + km αm = 0 成立，称向量组A 线性无关。 给定的向量组A，线性相关或线性无关二者必居其一。
线 性 方 程 组 (4.2)可 表 示 为 两 种 矩 阵 方 程 ： (1) . 将 所 有 系 数 构 成 一 个 系 数 矩 阵 A a 11 a 12 a 21 a 22 M M a n1 a n 2 即 ： AX = L L M L B a1m a2m M a nm = β b1 b2 = M bn a1m a2m M a nm x1 x2 M xm b1 b2 = M bn
例4.3 证明任意n维向量α = (a1 , a2 ,L, an )T 可由基本单位向量 e1 = (1, 0,L, 0)T , e2 = (0,1,L, 0)T ,L, en = (0, 0,L,1)T 唯一地线性表示。 解 由 1 0 L 0 a1 0 1 L 0 a2 ( e1 , e2 ,L, en , α) = M M M M 0 0 L 1 an 可知 rank(e1 ,e2 ,L, en ) = rank(e1 ,e2 ,L, en , α) = n。 因此，α可由e1 ,e2 ,L, en唯一地线性表示。显然 α = a1e1 + a2 e2 +Lan en
n维向量空间
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
§4.2 向量组的线性相关性
一. 线性相关和线性无关
1. 定义
1, 2, …, s线性相关:
不全为零的k1, k2, …, ks使
k11 + k22 + … + kss = 1, 2, …, s线性无关: k11 + … +kss = k1 = … = ks = 0.
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(6) 若
1 1
,
2 2
, …,
s s
线性相关,
其中1, 2, …, s维数相同,
则1, 2, …, s也是线性相关的.
关键
k1
1 1
+ k2
2 2
+ … + ks
s s
=
k11 + k22 + … + kss k11 + k22 + … + kss
=
若1, 2, …, s, s+1, …, t线性无关, 则1, 2, …, s也线性无关.
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(5) 当s > n时, n维向量1, …, s 线性相关.
关键
令 A = (1, …, s), 则 Ax = 中未知量的个数s >方程的个数n,
因而有非零解.
特别地, 任意n+1个n维向量线性相关.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
3. 三个典型的例子
(1) K(Asn) = {x | Ax = } Rn —— A的核空间, Ax = 的解空间
第二节 n维向量空间
分量全部为零的向量称为零向量，记为 o。
向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )， k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
第二节 n维向量空间
定义3.1 n 个数组成的有序数组 (a1, a2 ,, an ) 称为 一个 n 维向量。
a1 , a2 ,, an 称为向量 的分量或坐标。
行向量 (a1 , a2 ,, an )或 (a1 , a2 ,, an )T
1
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
特别地，Rn 表示实数域 R 上的 n 维向量空间 若无特别说明，我们涉及的向量均为 Rn 中的向量
5
练习： P123 习题三(A)
4.
6
2
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) (2) ( ) ( ) (3) O (4) () O (5) k( ) k k (6) (k l) k l (7) (kl) k(l ) (8) 1
其中, , 都是n维向量, k, l 为实数.
3
例1 设 3(1 ) 2(2 ) 5(3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,1) , 求 .
解 31 3 22 2 53 5 ,
6 31 22 53 ,
1 6
(31
2 2
53 )
1 [3(2, 5,1) 2(10,1, 5) 5(4,1, 1)] 6
1 [(6,15, 3) (20, 2,10) (20, 5, 5)] 6
1 (6,12,18) (1, 2, 3)
向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )， k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
第二节 n维向量空间
定义3.1 n 个数组成的有序数组 (a1, a2 ,, an ) 称为 一个 n 维向量。
a1 , a2 ,, an 称为向量 的分量或坐标。
行向量 (a1 , a2 ,, an )或 (a1 , a2 ,, an )T
1
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
特别地，Rn 表示实数域 R 上的 n 维向量空间 若无特别说明，我们涉及的向量均为 Rn 中的向量
5
练习： P123 习题三(A)
4.
6
2
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) (2) ( ) ( ) (3) O (4) () O (5) k( ) k k (6) (k l) k l (7) (kl) k(l ) (8) 1
其中, , 都是n维向量, k, l 为实数.
3
例1 设 3(1 ) 2(2 ) 5(3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,1) , 求 .
解 31 3 22 2 53 5 ,
6 31 22 53 ,
1 6
(31
2 2
53 )
1 [3(2, 5,1) 2(10,1, 5) 5(4,1, 1)] 6
1 [(6,15, 3) (20, 2,10) (20, 5, 5)] 6
1 (6,12,18) (1, 2, 3)
线性代数ppt第二章 n维向量
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
(6) k(l ) = (kl) , (7) (k + l) = k + l , (8) k( + ) = k + k . 五. 线性组合(linear combination)
n维向量: 1, 2, …, s
数(scalars): k1, k2, …, ks 线性组合: k11+k22+…+kss
根据推论2.1可知 1, 2, …, s线性相关.
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 若1, 2, …, s线性相关, 则1, 2, …, s, s+1, …, t也线性相 关. 反之, 若1, 2, …, s, s+1, …, t线性 无关, 则1, 2, …, s也线性无关.
…
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
r(1, 2, …, s) s r(1, 2, …, s) < s r(1, 2, …, s) = s
1, 2, …, s
线性相关
(linearly dependent)
1, 2, …, s
线性无关
(linearly independent)
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
推论2.2. 若向量组1, 2, …, t与向量组1, 2, …, s等价, r(1, 2, …, t) = r(1, 2, …, s).
推论2.3. 若向量组1, 2, …, s 和1, 2, …, t 都线性无关, 并且这两个向量组等价, 则s = t.
n维向量空间
第二节 n 维向量空间定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母表示。
称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()Tn n b b b b b b ,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β为n 维列向量。
称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。
特别对矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为矩阵A 的行向量；每一列()Tnj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。
定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。
定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。
定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。
定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。
()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。
向量的运算性质：（1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(（3）αα=+0 （4）0)(=-+αα （5）()βαβαk k k +=+ （6）()αααl k l k +=+ （7）)()(ααl k l k =⋅ （8）αα=⋅1定义7：在n 维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与数的积都在这个集合中，则称这集合为n 维向量空间。
n 维向量空间.ppt
ax
(ax ,a y ,az )
az
axi a y j azk. x ax
o
ay
a y
ay y
一、n 维向量的概念
1．定义
由数域P上的n个数组成的有序数组 (a1,a2 ,L ,an ) 称为数域P上的一个n维向量； ai 称为该向量的第i个分量．
注:① 向量常用小写希腊字母, , ,L 来表示； ② 向量通常写成一行 (a1,a2 ,L ,an ) ,
• 与向量大小相等，方向相反的向量称为的 负向量，即 OA.
向量的线性运算
向量相等 当平面向量 OA, OB 的终点重合时，称这两个向量相等.
向量加法
设, 为平面向量 ， 称+为这两个向量的和，
- = +(-)为两个向量的差.
数乘向量
设为平面向量 ，k为一实数,称k为数k与向量的数乘.
k是这样的向量,其大小(模)为的k倍，
当k0时,k方向与相同；
当k0时,k方向与相反； 向量加法和数乘运算统称
当k=0时,k=0.
线性运算.
平面向量及线性运算示意
和的运算
α α+β β
αβ
α
β
数乘向量运算(k>0)
α kα
α
kα
N a
M
平面向量(2维)
2维（平面）向量的坐标表示
平面解析几何中，引进了坐标（或分量）的概念, 即在平面直角坐标系中，一个平面向量惟一对应着一个 2维有序数组 （a1，a2），称a1，a2为该向量的坐标。
B
AA
空间向量(3维)示意
3维向量及线性运算的坐标表示
向量的坐标表示
(ax ,a y ,az ),ax ,a y ,az称作的坐标.
第四章 向量空间.ppt
1 3 2 1 3 r4r3 1 3 2 1 3
而(
A
|
B)
1 1
1
1 1 3
0 1 1
1 0 2
1 2 0
r3 r2
~
r2 r1
0 0 0
4 2 4
2 1 2
2 1 2
2 1 2
1 3 2 1 3
r4 r2
~
r3
1 2
r2
0 0 0
2 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0
，所以R(
定理3.向量组a1,a2 ,...,am线性相关的充要条件是它 构成的矩阵A (a1,a2,...,am )的秩小于向量个数m ； 向量组线性无关的充要条件是R( A) m
定理4：向量组a1,a2,…,am(m≥2)线性相关的充要条 件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.
证明：若向量组a1, a2 ,..., am线性相关，则有
B
1 2
2
2 1 3
1 4 0
0 3 1
r4 r3
~
r2 r1 r3 2r1
0 0 0
1 1 2
2 2 4
1 1 2
r3 r2
~
r4 2r2 r1 r2
0 0 0
1 0 0
2 0 0
1 0 0
所以R( A) R(B) 2，且a 2a1 a2
1 1 3 5 例2.设β1 01 β2 11 β3 11 β4 31,判 断β4可否由β1、β2、β3线性表示？
定理2.向量组B：b1,b2 ,...,bp能由向量组A：a1,a2 ,...,am 线性表示的充要条件是矩阵A (a1,a2,...,am )的秩等于 矩阵(A|B) (a1,a2,...,am | b1,b2,...,bp )的秩，即
3.2 n维向量空间
证 设x V1，则x可由a1 ,, am线性表示.
因a1 ,, a m 可由b1 ,, bs 线性表示，故x可由b1 ,, bs 线性表示，所以x V2 .
这就是说，若x V1，则x V2， 因此V1 V2 .
类似地可证: 若x V2 , 则x V1 ,
因此V2 V1 . 因为V1 V2，V2 V1，所以V1 V2 .
y1 y2 y , y n
令
称 x, y 为向量 x 与 y的内积.
内积可用矩阵记号表示为 :
x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
说明 内积是向量的一种运算, 如果x , y都是列向量,
x, y x T y.
定理
设， R n，则
,
称为柯西-施瓦茨不等式.
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 . x, y 2 当 x 0, y 0时, arccos
x y
称为n维向量x与y的夹角 . 例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
, V , 则 V ;
V , R, 则 V .
2．n 维实向量的全体构成的集合是一个向量 R n. 空间,记作
例1 3 维向量的全体R 3 , 是一个向量空间 .
例2 判别下列集合是否为向量空间.
T
1 V1 x 0, x2 ,, xn x2 ,, xn R 2V2 x 1, x2 ,, xn T x2 ,, xn R T T 解 1 0, a2 , , an , 0, b2 , , bn V1 ,
第三章 N维向量空间
在实际问题中我们讨论的向量空间v通常是无穷向量集合能否用v中的有限个向量来代表向量空间的基与维数定义310基的作用由定义知向量空间v的基实际上是v作为向量集合中的极大线性无关组dimvrv例如71向量空间的基不惟一定理38若向量空间的v维数dimvr则v中任意r个线性无关的向量都是v是二维向量空间
第三章 n维向量空间
b Ax 为 A 的列向量的线性组合 .
17
b Ax x11 xnn;
x1
[ 1 an ]
x2
xn
18
3.3.2 向量组线性相关性
1、向量组线性相关性性的引入
三维向量组1， 2共线的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , 使得 : k11 k2 2 0 三维向量组1， 2， 3共面的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , k3使得 : k11 k22 k33 0 对于n维向量组1，2，m共线、共面的几何意义没有 但是k11 k22 kmm 0是有意义的,
对应成比例。
21
3、如何讨论α1，α2，…，αm 线性相关？ 一般先假定：
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，
若存在（找到）不全为0的m个常数k1，k2，…， km使得
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0
则称α1，α2，…，αm 线性相关。
22
例7 讨论下列向量组的线性相关性。
9
设α＝（a1, a2, …, a n）T，β＝（b1, b2, …, b n）T
是两个n维向量，λ是一个实数，则:
T
（1）向量（a1 + b1, a2 + b2, …, a n + b n）称为向量
第三章 n维向量空间
b Ax 为 A 的列向量的线性组合 .
17
b Ax x11 xnn;
x1
[ 1 an ]
x2
xn
18
3.3.2 向量组线性相关性
1、向量组线性相关性性的引入
三维向量组1， 2共线的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , 使得 : k11 k2 2 0 三维向量组1， 2， 3共面的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , k3使得 : k11 k22 k33 0 对于n维向量组1，2，m共线、共面的几何意义没有 但是k11 k22 kmm 0是有意义的,
对应成比例。
21
3、如何讨论α1，α2，…，αm 线性相关？ 一般先假定：
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，
若存在（找到）不全为0的m个常数k1，k2，…， km使得
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0
则称α1，α2，…，αm 线性相关。
22
例7 讨论下列向量组的线性相关性。
9
设α＝（a1, a2, …, a n）T，β＝（b1, b2, …, b n）T
是两个n维向量，λ是一个实数，则:
T
（1）向量（a1 + b1, a2 + b2, …, a n + b n）称为向量
n维向量与向量空间
线性相关，就有不全为零的
由
线性无关有k≠0。
（否则，
线性相关）
即 可由
线性表出。
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设 为任意两个表达式。
且
线性无关
得到 l1=h1, l2=h2, …，lt=ht
因此表示式是唯一的。
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定理3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相 关。
称为B的列向量组。
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§2 向量组的线性相关性
定义5 向量组
称为线性相关的，如果有
不全为零的数k1,k2,…,ks，使
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就
称
线性无关。
当
是行向量组时，它们线性相关就是指有非
零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
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所以
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感谢您的欣赏
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定理1 向量组
（s≥2）线性相关的充要条件
是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。
证 分性：设
中有一个向量能由其他向
量线性表出，不妨设
所以
线性相关。
必要性：如果
线性相关，就有不全为零的
数k1,k2,…,ks，使 设k1≠0,那么
即 能由
线性表出。 返回
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性相关性。
证 对任意的常数k1,k2,…,ks，
第4章 n维向量空间
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母βα、、、b a 等表示,即n 维列向量记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α,n 维行向量记为),,,(21n αααα =.行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x 解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --= 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.§4.2 向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i ==α组成的向量组m ααα,,,21 称为矩阵A 的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。
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2. 向量运算的基本性质
1) 加法交换律 +=+ 2) 加法结合律 (+)+= +(+) 3) 零元特性 +0= 4) 负元特性 +()=0
.
7
5) 1=
6) 结合律 k(l)= (kl)
7) (k+l)= k+l
8) k(+)= k+k 9) 0=0，(-1)=-, k0=0 10) 如果k0, 0, 则k0，即 11) 如果k＝0，则 k=0或=0.
a1
a
2
a
n
.
3
2. 向量的相等
对于两个n维向量 =(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn)
如果其对应分量皆相等，即 ai= bi , i=1,2,…,n,
则称向量与相等，记作 =．
.
4
3.一些特殊向量
,…,0).
负向量：向量(a1, a2,…, an)称为向 量=(a1, a2,…, an)的负向量，记作.
.
5
二、n维向量的运算
定义 设=(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn), k 为数域P中的数，定义向量
(a1+b1,a2+b2,…,an+bn) 为向量与的和,记为+ ；
称向量(ka1, ka2,…, kan)为向量 = (a1, a2,…, an)与数k的. 数量乘积, 记为k. 6
.
8
3、 n维向量空间
定义 数域P上的n维向量的全体，同 时考虑到定义在它们上的的加法和数 量乘法运算，称为数域P上的n维向量 空间，记作Pn。
.
9
n维向量空间
.
1
一、n维向量的概念
1．定义 由数域P上的n个数组成的有序数组
(a1, a2,…, an) 称为数域P上的一个n维向量，称ai为该向 量的第i个分量,
.
2
注：
① 向量常用小写希腊字母,,,…来表示
② 向量通常写成一行=(a1, a2,…, an)
称之为行向量； 向量写成一列 称之为列向量；