第27课时 函数与方程教师用书

第27课时 函数与方程

★高考趋势★

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。

一 基础再现

1.如果二次方程 ()

*∈=--N q p q px x ,042的正根小于4，那么这样的二次方程的个数为 ．

2.（08上海卷理）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1

x 的图像交

点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4

x i )（i ＝

1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是

3.三个数c b a ,,成等比数列，且(0)a b c m m ++=>，则b 的取值范围是 ．

4.在圆225x y x +=内，过点53(,)22

有*

()N n n ∈条弦，它们的长构成等差数列，若1a 为过该点

最短弦的长,n a 为过该点最长弦的长,公差11

(,)53

d ∈，那么n 的值是 ． 5.对于数列{}n a ，定义数列{}n a ∆满足： 1n n n a a a +=∆-，（n *∈N ），定义数列2{}n a ∆满足： 21n n n a a a +∆=∆-∆，（n *∈N ），若数列2{}n a ∆中各项均为1，且212008

0a a ==，则

1a =__________．

二 感悟解答

1.解：()⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨

⎧<+≥+⇒>≥+=∆40160401622q p q p f q p 又⇒∈*

N q p ,有3个． 2. 【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x

+=，原方程的实根是曲线3y x a

=+与曲线4y x

=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位

而得到的。若交点(x i ,4

x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，因直线y ＝x 与4y x =交点

为：(2,2),(2,2)--；所以结合图象可得：

33

00

2 2 (,6)(6,)22a a x a x a a x x ><⎧⎧⎪⎪+>-+<⇒∈-∞-+∞⎨⎨⎪⎪≥-≤⎩⎩

或； 3. 解：设,b a c bq q ==，则有1,0,1b m

b bq m b q q q b

++=≠∴++=

．当0q >时，113m q b q =++≥，而0b >，03m b ∴<≤；当0

≤-，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<，故[,0)(0,]3

m b m ∈-⋃

4. 6． 11,12,13,14,15．解:22225255()

4x y x x y +=⇒-+=

⇒ 圆心5(0)2C ，,半径5

,2R =

故与PC 垂直的弦是最短弦，所以12a =，而过P 、C 的弦是最长弦，所以 25,n a R ==由等差数列13

(1)52(1)1

n a a n d n d d n =+-⇒=+-⇒=-，

11

()1016,*,111213141553

d n n N n ∈⇒<<∈=，因所以、、、、．

答案： 20070解答： 由数列2{}n a ∆中各项均为1，知数列{}n a ∆是首项为1a ∆，公差为1的等差数列，所以，1111

1

1

(1)(2)2(1)n k n k a a a a n n a n -=∆==+-+-+∆-∑．这说明，n a 是关于n 的

二次函数，且二次项系数为

1

2，由2120080a a ==，得1

(21)(208)2

n a n n -

=-，从而120070a =．