分式与分式方程专题一【认识分式】
北师大版初二数学下册第五章 分式与分式方程 认识分式(一)
第五章 分式与分式方程大邑中学 牟军1．认识分式（一）一、教学目标：1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．二、教学重难点:重点：理解分式的概念难点：分式在什么条件下有意义三、教学过程第一环节 知识准备问题：下列子中那些是整式？a ， -3x 2y 3， 5x -1， x 2+xy +y 2， abc m a a y xy n m ,3,19,,2-- 学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得分式的概念。
第二环节 自主探索以小组的形式对前面出现的分式进行讨论后得出分式的概念，体会分式的意义． 讨论内容：对前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？活动目的： 让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念． 注意事项：学生通过观察、类比，及小组激烈的讨论，基本能得出分式的定义，对于分式的分母不能为0，有的小组考虑了，有的没有考虑到，就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解，还可理解为字母是可以表示任何数的。
这样获得的知识，理xa b x x -+,32400,2400解的更加透彻，掌握的更加牢固，运用起来会更灵活。
第三环节 例题探究例题（1）当 a =1，2时，分别求分式 的值；（2）当 a 取何值时，分式 有意义？通过例题讲解，让学生从两方面来理解，一是分式分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数；二是分式可与分数类比，分式的分母也不能为零。
学生基本能够通过计算出分式的值。
第四环节 课堂反馈1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？2、x 取什么值时，下列分式无意义？ 第五环节 自我小结这节课你有哪些收获？让可能多的学生谈谈自己的收获，只要积极的正确的都要给予肯定，并及时鼓励。
y x xy x x b a a b 221)4(41)3(2)2(,2)1(+-+-+32)1(-x x 1051)2(+-x x a a 21+a a 21+。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程
八下第 五 章 分式与分式方程专题复习【本章知识框架】一、 认识分式1、定义：A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则把B A 称为分式。
例如：a b 2，-x x -+41x xy2、性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，数学语言：a b =m a m b⋅⋅（m )0≠,a b =m a m b ÷÷（m )0≠※ 约分：（1）定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为约分。
（2）约分的关键：提取公因式（当分子分母为多项式时先分解因式）3、运算：（1）乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘（2）加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算（通分，找最小公倍数，当分母为多项式时先分解因式）运算结果形式化成最简分数，分子一定要展开，分母不作要求4、经典题型解法：a 、有无意义：分式有意义的条件：分母不为0分式无意义的条件：分母为0分式值为0的条件：分子为0B 、平方法、换元法、整体代入法、倒数法二、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程2、解法：a 、转化法：将分式方程转化为整式方程。
检验：将所得的根代入最简分母，分母为0，则为增根B 、换元法：主要使方程形式简化3、题型解法：方程有增根： 增根必满足（1）满足化解后的整式方程（2）使分母为零方程无解： 无解必满足 （1）整式方程无解（2）有界但为增根4、实际问题：尽量少设元【本章经典错题再现（10~15道）】选择题1、 若分式112--X X 的值为0，则x 的值为( )A, -1 B, 0 C, 1 D, 1±2、下列分式最简分式是（ ）A 、1212+-X X B 、121-+X X C 、-XY X Y XY X -+-2222 D 、122362+-X X 3、已知311=-Y X ,则代数YXY X Y XY X ---+232的值为（ ） A 、-27 B 、-211 C 、29 D 、43 4、在正数范围内定义一种运算 ＊，其规则为a ＊b=ba 11+,根据这个规则X ＊(X+1)=23的解为（ ） A 、 X=32 B 、X=1 C 、X=-32或1 D 、X=32或-1 填空题1、 当X 为_______，分式622||-+-x x x 的值为零 2、 若分式aa ++13的值为正，则a 的取值范围______________ 3、 不论X 取何值，分式M X X +-221总有意义，则M 的取值范围 解答题1、解方程（1）22-x x =1-x -21 （2）3-x x -621-x =21（3） 42-x x +22+x =x x x 2222-- （4）x x 22+-22-+x x =xx x 2222--4、 计算题：（1） （-3)2b a ÷（2322）b a3、分式化简求值（1）122-x -X ÷12222+++X X X +11-X ,其中X=2(2) (ba b a ba bab a +---++22222)÷b a b a -+,其中a=-2,b=3(3) 若分式2521-n ，51+n 的最简公分母为11.求n 的值 4、应用题（1）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤，求该种水果打折前的单价是多少？（2）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务，则原计划每天植树多少【本章巩固练习（10~15道）】选择题1、当x 为任意实数时，下列分式一定有意义（ ）2、A, 21XX + B, 121+-X X C, 121+-X X D, 1||1-+X X 2、若解分式方程X X m X X ++-+2112=X X 1+产生增根，则m 的值是（ ） A 、 -1或者-2 B 、 -1或者2 C 、 1或者2 D 、 1或者-23、若Y a YX 2-X 2a 22-÷aYaX Y X ++2)(的值为5，则a 的值是（A 、 5B 、 -5C 、51D 、-51 4、已知X+Y=43.X-Y=3,则（Y X XY Y X -+-4）(Y X XY Y X +-+4)的值是（ ） A 、 48 B 、23 C 、16 D 、12填空题1、 当m 为___________时，关于x 的方程234222+=-+-X X mX X 无解 2、 当K 为 时，分式方程XX X K X X 5)1(216-++=-有增根。
分式与分式方程
分式与分式方程一认识分式知识点一分式的概念1、分式的概念从形式上来看，它应满足两个条件：（1）写成的形式（A、B表示两个整式) （2）分母中含有这两个条件缺一不可2、分式的意义（1）要使一个分式有意义，需具备的条件是（2）要使一个分式无意义，需具备的条件是（3）要使分式的值为0，需具备的条件是知识点二、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个分式的值不变用字母表示为AB =,A M A A MB M B B M⨯÷=⨯÷（其中M是不等于零的整式）知识点三、分式的约分1、概念：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分2、依据：分式的基本性质注意：（1）约分的关键是正确找出分子与分母的公因式（2）当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。
（3）要会把互为相反数的因式进行变形，如：（x--y ）2=（y--2)2二、分式的乘除法 【巩固训练】 1、要使分式51x -有意义，则x 的取值范围是( )(A)x ≠1 (B)x ＞1 (C)x ＜1 (D)x ≠－12、分式242x x -+的值为0，则x 的取值是A ．2x =-B ．2x =±C ．2x =D ．0x =3、函数y=中自变量x 的取值范围是（ ） A ． x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ≠3 D ． x ≠﹣34．式子有意义的x 的取值范围是（ ） 5．分式的值为零，则x 的值为（ ）A ． ﹣1B ．0 C ．±1 D ． 16．当x= 时，分式无意义．7、使式子1+1 x -1有意义的x 的取值范围是 。
8、在函数3xy x =+中，自变量x 的取值范围是 ． 9、已知关于x 的方程123++x nx =2的解是负数，则n 的取值范围为 ． 10、化简：111x x x ---= ． 11、化简212(1)211a a a a +÷+-+-的结果是（ ）A ．11a - B ．11a + C ．211a - D ．211a + 12、 化简：111x x x ---= ． 13、化简的结果为（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ．D ．14、化简+的结果为 ．15、化简分式的结果是（ ）A ．2B ．C ．D ．－216．若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则= 17分式方程2102x x-=-的根是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－218、分式方程xx 325=-的解是（ ）A ．x =3B ．x =3-C ．x =34D ．x =34-19、分式方程的解是（ ） A ． x =﹣2B ．x =1 C ． x =2 D ． x =320、已知关于x 的方程123++x nx =2的解是负数，则n 的取值范围为 ． 21．分式方程21311x x x+=--的解是_________________．22. 从三个代数式：①222b ab a +-，②b a 33-，③22b a -中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a =6，b =3时该分式的值．23、先化简，再求值：，其中，．24．先化简，再求值：23111x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中x ＝3－2．25．先化简，再求值： (1)12a )111(2++÷+-a a a ，其中a=3－1.6．(2)244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ,其中a=2－1.26、．先化简，再求值: 22111121x x x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪---+⎝⎭， 2.x =其中27．解方程：．28.解分式方程：12422=-+-x xx .29．甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是A.8B.7C.6D.530、小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，并且在距离学校60米的地方追上了他。
分式及分式方程知识点总结
分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解一、分式1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n ba b a n n n = ;cb ac b c a ±=± bdbc ad d c b a ±=± 二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类考点典例一、分式的值【例1】（2015·黑龙江绥化）若代数式6265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=_________.【点睛】分式6265x 2-+-x x 的值为零则有x 2-5x+6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】1.要使分式x 1x 2+-有意义，则x 的取值应满足（ ） A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=-2.（2015·湖南常德）若分式211x x -+的值为0，则x ＝ 考点典例二、分式的化简【例2】化简：2x x x 1x 1---=（ ） A 、0 B 、1 C 、x D 、1x x -【点睛】观察所给式子，能够发现是同分母的分式减法。
北师大版数学八年级下册《第五章 分式与分式方程 1 认识分式 第1课时 分式的概念》教学课件
第1课时 分式的概念
北师版 八年级下册
新课导入
面对日益严重的土地沙漠化问题，某县决定在
一定期限内固沙造林2400hm2，实际每月固沙造林
的面积比原计划多30hm2 ，结果提前完成原计划的
任务.如果设原计划每月固沙造林xhm2，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少月？ 2 4 0 0
b a x
上面问题中出现了代数式 2 4 0 0 ， 2 4 0 0 ，
35a 45b ， b
x
x + 30
，它们有什么共同特征？
ab a x
观察下列两组式子，它们都是整式吗？ 它们有什么特点？ （1）a，-3x2y3，5x-1，x2+xy+y2 （2） 2 ，y，a ，c
m-n x 9a-1 ab
x2
A. ±2
B.2 C. -2
D.4
分析 分式的值为零，即分子为零且分母不为零. 根据题意，得x2-4=0且x-2≠0， 解得x=-2.
3.有下列式子：①x； ②y2； ③5； ④x2 .
3 y x2
其中是分式的有（ B ）
A. 1个
B.2个 C. 3个
D.4个
课后小结
一般地，.只要分母不 等于零，分式就有意义；
（2）有关求分式有意义、无意义的条件的问题， 常转化为不等式的问题.
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零. 用式子表示：B A=0A=0且B0 例 当x为何值时，分式 x 2 9 的值为零.
x3
[分析] 分式的值为零 分 分子 母= 00xx239 解出x的值.
解 依题意，得
x 2 9 = 0 ①
第五章 分式与分式方程 认识分式1
a 1 已知分式 2a 1
(1)当a=1 , 2，-1 时，分别求该分式的值。 解：当a=1时， 当a=2时， 当a=-1时，
a 1 11 2 2a 1 2 1 1
a 1 2 1 1 2a 1 2 2 1
a 1 1 1 0 2a 1 2 (1) 1
做一做
（1）2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某 一时段内的统计结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万 人，后 b 天日均参观人数 45 万人，这（a + b）天日 均参观人数为多少万人？ （2）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是 每册 a 元，现每册降价 x 元销售，当这种图书的库存 全部售出时，其销售额为 b 元．降价销售开始时，文 林书店这种图书的库存量是多少？
第五章 分式与分式方程
1 认识分式（一）
整式：单项式和多项式统称为整式.
单项式：数与字母的乘积, 一个数或者一个字母也是单项式. 多项式：单项式的代数和.
判断下面哪些式子是整式.
x xy y ,
2 2
3x y
2
3
xy y
a 9a 1
5x-1
2 mn
a
2 3
m 答：整式有a,3x y ,5 x 1, x xy y , 3
1 a 2
小结：
分式有意义的条件：分母不等于零 分式无意义的条件：分母等于零 分式的值为0的条件：分子等于零且分母不等于零
对于分式 来说， 当B ≠ 0 时，分式有意义； 当B = 0 时，分式无意义； 当
A=0
A B
A 时 ，分式 =0. B B≠0
35 a 45b ab
b ax
议一议
2022春八年级数学下册 第5章 分式与分式方程5.1 认识分式第1课时 认识分式习题课件北师大版
均速度为( A．12(a＋b) C．a2＋abb
)千米/时． B．aa＋bb D．a2＋abb
【点拨】设上山路程为 s. ∴上山时间 t1＝as，下山时间 t2＝bs. ∴上、下山平均速度 v＝t1＋2st2＝as＋2sbs ＝a2＋abb.
【答案】D
5．对于分式AB，(1)当_B__≠__0___时，分式AB有意义； (2)当__B__＝__0__时，分式AB没有意义．
A．1
B．－1
C．±1
D．0
*12.下列说法正确的是( ) A．aa2b是整式 B．若分式的分子为零，则分式的值为零 C．对于任意实数 x，分式x25＋x 5总有意义 D．将式子 a÷(m＋n)写成分式的形式是ma ＋an
【点拨】aa2b是分式；当分式的分子为零且分母不为零时，分式 的值才为零；∵x2＋5≠0，∴x25＋x 5总有意义；a÷(m＋n)写成分 式的形式是m＋a n.
6．(2020·衡阳)要使分式x－1 1有意义，则 x 的取值范围是( B ) A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠0
7．已知分式x2－x－4x5＋m，当 x＝6 时，分式无意义，则 m 的值为
( B) A．12
B．－12
C．±12
D．不确定
8．(2020·菏泽)函数 y＝ xx－－52的自变量 x 的取值范围是( D )
整式．
2．(中考·贺州)下列式子中，是分式的是( C )
A．π1 C．x－1 1
B．x3 D．25
3．下列各式：15(1－x)，π4－x3，1x，5xx2，分式有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
*4.(2019·攀枝花)一辆货车送货上山，并按原路下山，上山速度
《认识分式》分式与分式方程PPT课件(第1课时)
探究新知
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统
称为什么呢？
数、式通性
有 整数 理 数 分数
数的 扩充
整式 有 理
分式 式 式的 扩充
探究新知
想一想： 代数式
单项式 整式
多项式 有理式
分式
实数
类比思想
整数 有理数
分数
无理 式
无理数
探究新知
判一判： 下面的式子哪些是分式？
2 bs
4 5b c
037 018
x2 . y
规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于-
x2 .
y
课堂小结 定义
分式
有意义 的条件
值为零 的条件
一个整式 f 除以一个非零整式g（g中
f
含字母）所得的商 g .
f
分式 g 有意义的条件是 g ≠0.
分式
f g
值为零的条件是
f=0且g
≠0.
x -1
A. x＞1
B. x≠1
C. x＝1
D. x≠0
课堂检测
基础巩固题
1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）5x-7;
（2）
（3）3x2-1;
; ; （4）
4 5bc
（5）
b3 2 a 1
（6）x
3 y
;
; . （7）
x2
xy 2 x1
y
2
（8） m(n p) 7
解：整式：（1）（2）（3）（8）； 分式：（4）（5）（6）（7）.
分式以及第27个分式.
(2)求出这列分式的第2 019个分式除以第2 018个分式所得的
商.并回答把任意一个分式除以前面的一个分式,你发现什么
分式及分式方程知识点总结
分式及分式方程知识点总结分式（Fraction）是由两个整数构成的比值，其中一个是分子（Numerator），另一个是分母（Denominator）。
分式可以表示为 a/b，其中 a 是分子，b 是分母。
分式可以是一个整数、一个小数、或者是两个整数的比值。
分式可以用于表示实际问题中的比例、率、百分比等。
在数学中，分式经常被用于代替除法运算，因为分式的形式更加简洁。
在处理分式时，有几个关键概念和知识点需要了解。
一、分式的简化与等价分式2.等价分式：如果两个分式的值相等，那么它们是等价的。
可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，化简两个分式，然后判断它们的值是否相等，确定它们是否等价。
二、分式的加减乘除2.分式的乘除：两个分式的乘积等于它们的分子乘积作为新分子，分母乘积作为新分母；两个分式的除法等于第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数作为新分子，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子作为新分母。
三、分式方程分式方程（Fractional Equation）是包含一个或多个分式的方程。
解分式方程的关键是找到合适的方法将方程转化为整式方程。
1.方法一：通分2.方法二：消去如果分式方程中有一个分式，可以通过消去（Cancellation）或者消去因子（Cancellation Factor）的方式将分母消去，得到一个整式方程。
3.方法三：代入如果分式方程比较复杂，无法通过通分或者消去的方法解得，可以通过代入（Substitution）的方法，将一个变量用另一个变量的表达式代入，然后去掉分式，得到一个整式方程进行求解。
需要注意的是，在解分式方程时，需要验证得到的解是否满足原方程，因为有时候方程中的一些值可能导致分母为零，从而使分式无解。
四、常见的分式及分式方程1.比例和比例方程：比例是两个分式的等价形式，比例方程是一个或多个比例的方程。
2.百分比和百分比方程：百分比是分数的一种特殊形式，百分比方程是包含百分比的方程。
(完整版)分式和分式方程知识点总结大全
分式和分式方程知识点总结1、分式一般地，我们把形如A的代数式叫做分式，其中A, B都是整式，且BB含有字母。
A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
分式的分母必须含有字母。
分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商在分数中，分母不能等于0.同样，在分式中，分母也不能等于0，即当分式的分母等于0时，分式没有意义。
分数的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的数，其值不变。
分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不其中，M是不等于0的整式利用分式的基本性质可以对分式进行化简把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
2、分式的乘除分式的乘法法则分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
AM A?CB ' D B?D分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。
A C AD A?D__ __ ______ Q ____ ________B D B 'C B?C3、分式的加减同分母的分式加减法法则同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。
A C A CB B B把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。
几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母异分母的分式加减法法则异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）。
A C AD BC AD BCB D BD BD BD分式的混合运算，与数的混合运算类似。
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。
4、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。
在解分式方程时，首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程，然后要将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。
八年级数学下册第五章分式与分式方程认识分式教学课件北师大版
形容器中，水面高度为_3_3__cm；把体积为V的水倒
V
入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为__S____.
S
V
V , 请大家观察式子 S 和 有什么特点？
S
a
请大家观察式子 100 和 60 ，有什么特点？
20 u 20 u
它们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分式分母中含有字母而分数 分母中不含有字母
整式(A)
整式(B) 分式(
A B
)
注意：分式是不同于整式的另一类有理式，分母中含有字 母是分式的一大特点.
1.分式
A B
的分母有什么条件限制
当B=0时，分式 A 无意义.
B
当B≠0时，分式 A有意义.
B
2.当 A =0时分子和分母应满足什么条件？
B
当A=0且B≠0时，分式
A B
的值为零.
【例题】 指出下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？
有意义的条件是2x-1≠0,解得 x .1 2
D. x 1 2
4.（枣庄·中考）若 | x | 3 的值为零，则x＝
．
x2 2x 3
【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零，同时
分母不为零，即
x 3 0,
x
2
2x
3
0,
解得 x 3.
答案：－3
通过本课时的学习，需要我们 1.知道分式的概念，会辨别分式与整式. 2.会求分式有意义时字母的取值范围. 3.会求分式值为零时的字母的取值.
再长的路，一步步也能走完，再短的路， 不迈开双脚也无法到达。
第五章 分式与分式方程 1 认识分式 第1课时
八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1认识分式5.1.2认识分式课件(新版)北师大版
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xy (xy)(xy)
(2)
y2 y2 4
_y__1_2___
精选
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• 2.化简下列分式:
12 x 2 y 3 (1) 9 x 3 y 2(2)Βιβλιοθήκη (xy x y)3
解(1)： 19xx2 3y2y233 3xx22yy224 3xy4 3xy
(2 )(x x y y )3(xy x ) x ( y y)2(x 1 y)2
同除以的ab、
(x-1)在原分式中 充当了分母的因
式，所以默认是
(2)x2x22 x11(x( x1 )1 x () 21)x x 1 1
不等于0的，否 则原分式无意义。
这就不再交代ab、
(x-1)不等于0。
• 说明:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ;在（２) 中相当于分子、分母同时约去了整式(x-1)；把一个分式的 分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
精选
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约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数， 并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项 式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因 式． 注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号 法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式 的基本性质.
精选
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分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式
精选
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化简下列分式：
（ 1 ） a 2 bc ab
(2) x 2 1 x2 2x 1 5 xy
( 3 ) 20 x 2 y
(4) a (a b ) b (b 2 a 2 )
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点分式是数学中的一个重要概念，它是由两个整数的比构成的表达式。
在分数中，分子表示被分割的数量，分母表示将整体划分的份数。
掌握好分式的相关知识，对于解决各种实际问题以及在后续数学学习中起到至关重要的作用。
1. 分式的基本运算在进行分式的基本运算时，需要掌握分式的相加、相减、相乘和相除四种基本运算法则。
首先，当分式的分母相同的时候，可以直接将分子相加或相减。
例如，分式 1/4 + 2/4 = 3/4；分式 5/7 - 3/7 = 2/7。
其次，当分式的分母不同但可以化为相同分母的时候，可以通过找到最小公倍数，将分数化为相同的分母之后再进行运算。
例如，分式 1/2 + 1/3 可以通过最小公倍数为6，将分式转化为 3/6 + 2/6 = 5/6。
另外，分式的相乘和相除运算需要分别将分子与分母相乘或相除。
例如，分式 2/3 * 4/5 = 8/15；分式 3/7 ÷ 1/4 = 12/7。
2. 分式方程的解分式方程是由分式构成的方程，它的未知数通常出现在分数的分子或分母中。
解分式方程的关键在于消除分母，使方程转化为一般方程，从而求解未知数。
解分式方程的基本步骤如下：(1) 消去分母。
通过将方程两边同乘以分母的最小公倍数，可以将方程中的分母消除，形成原方程的等效方程。
例如，对于分式方程 1/x + 1/(x+1) = 1/2，可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到 2(x+1) + 2x = x(x+1)。
(2) 解一元方程。
将经过一次化简后的方程转化为一般的方程形式，并进行进一步的求解。
对于上述的等效方程，按照一般方程的解法进行处理，得到 x = 2。
(3) 验证解的可行性。
将得到的解代入原方程进行验证，确保解的可行性。
对于分式方程 1/x + 1/(x+1) = 1/2，将 x = 2 代入方程左侧得到 1/2 +1/3 = 1/2，等式成立。
因此， x = 2 是原方程的解。
《认识分式》分式与分式方程
化学反应问题
在化学反应中，分式方程 可以用来描述反应速率和 反应物浓度的关系，从而 预测反应进程。
经济问题
分式方程可以用来描述经 济现象，例如投资回报率 、通货膨胀率等，从而预 测经济发展趋势。
分式方程在数学问题中的应用
几何问题
分式方程在几何问题中有 着广泛的应用，例如求面 积、体积等问题，可以通 过建立分式方程来解决。
在热学问题中，分式方程可以用来 描述温度的变化规律，例如热传导 、热辐射等问题。
电磁学问题
在电磁学问题中，分式方程可以用 来描述电磁场的变化规律，例如电 场强度、磁场强度等问题。
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03
分式的运算
分式的加减法
异分母分式加减法
首先找到分母的最小公倍数，然后对分子进行相应的运算，最后化简得到结果。
同分母分式加减法
直接对分子进行加减运算，然后化简得到结果。
分式的乘除法
分式乘法
将两个分式的分子与分子相乘，分母 与分母相乘，然后化简得到结果。
分式除法
将除法转化为乘法，然后进行乘法运 算，最后化简得到结果。
详细描述
分式的基本性质包括分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；分式的加减法运算 中，同分母的分式可以相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式加减时，先通分，变为同分母的分式，再 进行加减运算。
02
分式方程的解法
方程的解法
消去分母
将分式方程转化为整式方程，通过两 边同时乘以最简公分母，消除分母。
解一元一次方程
使用一元一次方程的解法，如移项、 合并同类项、系数化为1等，求解一 元一次方程得出未知数的值。
转化为一元一次方程
分式和分式方程知识点总结材料及练习
分式和分式方程知识点总结一、分式的根本概念 1、分式的定义 一般地，我们把形如BA的代数式叫做分式，其中 A ，B 都是整式，且B 含有字母。
A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
分式也可以看做两个整式相除〔除式中含有字母〕的商。
分式的分子和分母同乘〔或除以〕一个不为0的整式，分式的值不变。
MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。
其中，M 是不等于0的整式。
把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
利用分式的根本性质可以对分式进展化简 二、分式的运算 1、分式的乘除 分式的乘法法如此分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
DB C A D C B A ••=• 分式的除法法如此分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。
C BD A C D B A D C B A ••=•=÷2、分式的加减同分母的分式加减法法如此同分母的两个分式相加〔减〕，分母不变，把分子相加〔减〕。
BCA B C B A ±=± 异分母的分式加减法法如此异分母的两个分式相加〔减〕，先通分，化为同分母的分式，再加〔减〕。
分式的通分把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个一样的分母叫做这几个分式的公分母。
几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 分式的混合运算分式的混合运算，与数的混合运算类似。
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。
三、分式方程 1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解〔也叫做分式方程的根〕。
3、解分式方程的步骤1.通过去分母将分式方程转化为整式方程，3.将整式方程的根代入分式方程〔或公分母〕中检验。
八年级数学下册第五章分式与分式方程1认识分式教学课件新版北师大版
教学课件
数学 八年级下册 BS
第五章 分式与分式方程
5.1认识分式
第1课时
1.知道分式的概念,明确分式和整式的区别. 2.掌握分式有意义、无意义的条件及分式的值为0的
条件.
小明在做练习题时遇到这样一道题目:下列式子中哪些是整式?
① 3x+4y,② 4a,③ ������+������,④ 8m2,⑤ ������ ,⑥ x-2,⑦ ������+������.
A.都正确
B.小强正确,小亮不正确
C.都不正确
D.小亮正确,小强不正确
2.请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简. x2-4xy+4y2 ; x2-4y2 ; x-2y.
解:如������2-4������������+4������2= (������-2������)2 =������-2������ .
小强:原式=(2������+������)(2������-������)=2a-b;
2������+������
小亮:原式=(4������2-������2)(2������-������)=2a-b.
(2������+������)(2������-������)
对于他俩的解法,你的看法是( B )
������+���;1=2或x+1=3或x+1=6,
即x=0或x=1或x=2或x=5.
2.已知分式 ������������ ,问 a 取何值时,
������-������������
(1)分式的值为 0;
(2)分式的值是正数;
(3)分式的值是负数; (4)分式无意义.
《认识分式》分式与分式方程
工作效率问题
工作时间与效率
在工作过程中，工作效率与工作时间成反比关系。当知道 工作效率和工作时间时，可以应用分式方程来计算工作的 总量。
工作总量与效率
当知道工作的总量和工作效率时，可以应用分式方程来计 算完成工作所需的时间。例如，已知工作的总量和工作效 率，可以求出完成工作所需的时间。
合作问题
当多个工作者合作完成某项工作时，可以应用分式方程来 解决合作问题。例如，已知每个工作者的效率和工作量， 可以求出完成工作所需的总时间。
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分式的混合运算
分式的乘除法运算
总结词
分式的乘除法运算是分式学习中的基础，掌握分式的乘除法运算规则是解决复 杂分式问题的关键。
详细描述
分式的乘除法运算规则与分数的乘除法运算规则类似，不同的是分式的分母不 能为零。在运算过程中，分子和分母都应同时进行乘除法运算，注意分子和分 母的约分，简化分式。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，反应速率通常用反应物或生成物的浓度变化值来表示。这些浓度的变化值通常用分式 表示，分子是浓度的变化值，分母是时间。
酸碱度计算
在化学中，酸碱度通常用pH值来表示。pH值的计算公式是氢离子浓度的负对数，即pH = -lg[H+]， 其中[H+]是氢离子浓度。
在工程中的应用
分式的性质
分式的值与分子、分母的取值 有关
分式的性质包括分式的基本性 质和分式的约分、通分等性质
分式的基本性质是分式约分、 通分的基础
分式的约分与通分
分式的约分是将分子、分母中的 公因式约去的过程
通分是将分式化为相同的公分母 的过程
约分和通分是分式运算中非常重 要的技巧和方法
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专题一：认识分式
知识点一：概念
例1：在下列式子中哪些是整式，哪些是分式？
x 3-，y x ，π3y x +，y x 232，x 81-，y +53，5y x -，a a 1-，5-，x
x 2，）（1232+x ，x y 1+，b
a a
b •。
挑战自我，勇攀高分
1.下列代数式：3a ，x x 12+，）b a y -(1，π
x ，2y x +中分式有（ ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
知识点二：分式有意义和无意义的条件
例1：当x 取什么值时，分式
2
35+-x x 有意义？
例2：分式)
3)(2(1---x x x 有意义，则x 应满足条件是（ ） A 、x ≠1 B 、x ≠2 C 、x ≠2且x ≠3 D 、x ≠2或x ≠3.
例3：若分式231
2++-x x x 的值等于零，则=x _________。
例4：对于分式1
3-+x a x ，当x=-a 时，下列结论正确的是（ ） A 、分式无意义 B 、分式的值为0
C 、当a ≠-
31时，分式的值为0 D 、当a ≠31时，分式的值为0.
挑战自我，勇攀高分
1.若分式1
2-x 有意义，则x 的取值范围是（ )
A 1≠x
B 1>x
C 1=x
D 1<x
2.若分式1
122+-a a 有意义，则（ ） Ａ、ａ≠１ Ｂ、ａ≠－１ Ｃ、ａ≠±１ Ｄ、ａ为任何数
3.若分式1
-x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±
4.分式1
12+-x x 的值为0.则（ ） A 1-=x B 1=x C 1±=x D 0=x
5.对于分式x
b a b a x 32+-++，已知当1=x 时，分式的值为0；当2-=x ，分式无意义，试求a ，
b 的值。
知识点三：分式的基本性质
例1：填空
（1）2
2322+=+x x x x ；（2）2)(y x y x y x +=+-；（3）b a ab ab a -=-2
知识点四：约分与最简分式
例1：化简下列各式：（1）xy
y x 2；（2）2205b ab ；（3）12122+--x x x 。
知识点五：方法规律聚焦
类型一 用分式代数表示某些数量关系
例1：（1）有两块棉田，第一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉花产量是多少？
（2）一件商品售价x 元，利润率为a %（a >0），则这种商品每件的成本是多少元？
类型二 分式中字母的取值变化导致分式的值变化问题
例2：如果把分式y
x x +中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 缩小6倍
类型三 分式、分子、分母三者的符号联系问题
例3：不改变式子的值，使下列分式的分子和分母不含“-”号：
（1）a a 34--；（2）
y x 5-；（3）n
m 75-；（4）xy y x 5---。
类型四 巧取倒数妙求值
例4：如果41=+x
x ，求1242++x x x 的值。
类型五 巧用分式的基本性质化简求值
例5：已知311=-y x ，求分式y xy x y xy x ----22142的值。
挑战自我，勇攀高分
1.已知4
32z y x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值．
2.已知12,4-=-=+xy y x , 求1111+++++y x x y 的值.。