结构动力学教程-同济大学(蒋通)279487-1
结构动力学—1dyanmics of structures-ch1 ch
the second term is called the inertial force resisting the acceleration of the mass.
The equation of motion for the simple system is most easily formulated by directly expressing the equilibrium of all forces acting on the mass using d'Alembert's principle.
FIGURE 1-3 Sine-series representation of simple beam deflection.
CHAPTER 1. OVERVIEW OF STRUCTURAL DYNAMICS
Discrete Models
FIGURE 1-4 Lumped-mass id(ea)a1l9i9z9a年t台io湾n集o集f地a震集si鹿m大p桥l破e坏b状e态am.
(a) 1999年台湾集集地震集鹿大桥破坏状态
Tasman Bridge Derwent River, Hobart, Australia (1975)
CHAPTER 1. OVERVIEW OF STRUCTURAL DYNAMICS
1.2 ESSENTIAL CHARACTERISTICS OF A DYNAMIC PROBLEM • timevarying nature of the dynamic problem • inertial forces (more fundamental distinction)
结构动力学ch1
第一章 绪论
§1.1结构动力学基本特征 §1.2离散化方法 §1.3结构振动方程建立
3
§1.1结构动力学基本特征
1、结构动力计算的特点
结构力学
静荷载 :大小、方向或位置不随时间而变， 或变得很慢
结构动力学
动荷载：荷载的大小、方向和作用位置
随时间而变化。
绝大多数实际荷载都是动荷载，但是：
θt
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和
水平分量均为简谐荷载.
P(t )
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
非简谐周期荷载：荷载随时间周期性变化，但不能简单用三 角函数来表示。
如： ①平稳情况下波浪对堤坝的动水压力，
设计师莫伊塞夫闻讯后愧疚不已，尽管在设计中他已经作了 当时所要求的全部抗风静力核算，美国政府与公众也没有追究 他的个人责任，但他还是一病不起，几年后就去世了。
13
§1.1结构动力学基本特征
幸运的是，这次
事故没有人员伤亡，
而且当时在现场的
一位摄影师，拍下
了旧塔科马桥风毁
的全过程，给桥梁
抗风动力研究留下
10
§1.1结构动力学基本特征
Tacoma悬索桥风毁事故
Tacoma海湾(Tacoma Narrows)位于美国西海岸的华盛顿 州，1940年在这里建成了一座悬索桥(Old Tacoma Narrows Bridge)，史称旧塔科马悬索桥，见图1-1-1。
该桥为三跨连续加劲梁悬索桥．主跨853m，宽11.9m， 加劲粱为H型板梁，梁高只有2.45m。该桥的宽跨比为1／ 71.6，高跨比为1／348，是当时最细长的桥梁，并且该桥的 H型板粱的抗扭刚度几乎等于零。
高等结构动力学2
t
p (τ )
数值积分递推计算公式：v N = AN sin ω D t N − B N cos ω D t N 矩形公式： 曲边梯形：
AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) +
二次曲线： AN = AN −2 exp(−ξω∆τ )
+ ∆τ 3mω
∆τ y N −1 exp(−ξω∆τ ) mω D ∆τ [ y N −1 exp(−ξω∆τ ) + y N ] AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) + 2 mω D
FFT计算法则(续) ③ WNnm计算方法
(2 nm WN = WN
γ −1
nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 + 2γ − 2 mr − 2 +L+ m0 )
∵
a +b a b WN = WN WN
∴ W
nm N
=W
( 2γ −1 nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 ) N
1.1 无阻尼精确解(续)
广义卷积(General Convolution Integral)：
v(t ) = p(τ )h(t − τ )dτ
0
∫
t
(t ≥ 0)
单位脉冲响应函数(Unit-Impulse Response Function)：
高等结构动力学第六讲
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
2.相似变换法(续)
2.2 相似变换法分类
(1) Jacobi对角化方法(Jacobi Diagonalization) 1954年以前唯一的相似变换法 严格按照相似变换关系计算出矩阵[N ]的元素 通过相似变换使矩阵[A ] 为对角矩阵 (2) Givens 三对角化方法(Givens Tridiagonalization) 通过相似变换使矩阵[A ] 为三对角元素矩阵
2.1 相似变换原理
¾矩阵相似变换：
−1
[A ] = [N ] [A][N ]
[A ] — 矩阵 [A ]的相似矩阵
[A] — n × n阶矩阵 [N ] — n × n阶非奇异矩阵
¾相似变换特点
(1) 没有重根的矩阵[A]一定可以通过相似变换对角化
(2) 对称矩阵[A]特征值是实数
(3) 非对称矩阵[A] 的特征值是复数
[A ] = [L][A][L] [A ] = [L][A][R]
T
[R ] —右上三角矩阵 [L ] —左下三角矩阵；
改进特点：不必求逆运算 (4) Hessenberg上三对角化方法(Upper Hessenberg Form) 通过相似变换使矩阵[A ] 为上三角元素矩阵
[A ] = [N ]−1[A][N ] 相似变换公式：
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
2.2 相似变换法分类(续)
(5) LR变换法(LR Transformation Method) 通过相似变换使矩阵[A ] 为上三角元素矩阵 相似变换公式：[A ] = [L][A][R ] 改进特点：不必求逆运算 (6) QR或QL变换法(QR or QL Transformation Method) 每次相似变换使矩阵[A ] 右下角4元素分离，即
动力学(第1章)
f
(t)
=
2P0
ωt π
∫ ∫ bi
=
2 T
T 0
f (t) sin(iωt)dt = 4ω π
π 2ω 0
f
(t) sin(iωt)dt
=
8P0 i2π 2
i −1
(−1) 2 (i
= 1,3,5,⋅⋅⋅)
6of12
结构动力学的教程（同济大学结构所蒋通研究员）
∑ 取
i=1~3
β1 算得：
=
1
−
1 ω2
= 1−ω
2ζω 3 2 + (2ζω )2
1+ 4ζ 2ω 2 (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
5of12
结构动力学的教程（同济大学结构所蒋通研究员）
隔振要求： 频率比： ω
=
ω
>
2⇒
ωn
阻尼比小：ζ ↓⇒ A ↓
B
A <1 B
但过小通过共振区不利
主动隔振：将振源隔开，使振动传播不出去（隔振器）
+ϕ)
振幅与相位角： A=
x02
+
⎜⎜⎝⎛
x&0 ωn
⎟⎟⎠⎞2
,ϕ
=
arctg
ωn x0 x&0
x
A
x&0
x0
t ϕ /ωn
t t +T
例题 1-1 求图示体系的固有频率
悬臂梁刚度：k1
=
3EI l3
与 K2 并联后等效刚度：k = k1 + k2 固有频率:ωn = k / m （串联弹簧）
l m
• •
能量守衡：We +Wd + Wf = 0 → ω = ωn →
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
同济大学高等结构动力学课件(全)
车辆振动作用 地震振动作用 风致振动作用
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、 同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
主要内容
第一讲 单自由度系统自由振动 第二讲 单自由度系统强迫振动 第三讲 广义单自由度叠加方法 第四讲 广义单自由度分步方法 第五讲 多自由度系统动力问题 第六讲 特征值问题求解方法 第七讲 随机振动基础 第八讲 结构随机振动分析 第九讲 结构动力可靠性分析 第十讲 桥梁车辆振动作用 第十一讲 桥梁地震振动作用 第十二讲 桥梁风致振动作用
阻尼比计算：
2πξω vn = exp vn +1 ωD
Hale Waihona Puke 两边取对数： δ ≡ ln vn = 2πξ ≈ 2πξ = c
ξ≈
vn +1 1−ξ v n − v n +1
2mf
2πv n +1
ξ≈
vn − vn+m 2mπv n + m
振幅衰减值：振幅减小50％的振动次数
1. 1结构重力影响(续)
&&(t ) + cv &(t ) + k∆ st + kv (t ) = p (t ) + W mv
∵ k∆ st = W ∴ ∵ ∴
&&(t ) + cv &(t ) + kv (t ) = p (t ) mv
&&(t ) , v & (t ) &&(t ) = v ν &(t ) = v
A = 0，
B=− p0 β k 1 1 − β 2
无阻尼系统通解：
p v(t ) = 0 k 1 1 − β 2 (sin ω t − β sin ωt )
结构动力学-第一章
2019/9/16
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三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
2019/9/16
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
2019/9/16
1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
结构动力学1 56页
Dynamics of Structures
雷庆关 2011年3月
2019/12/11
Dynamics of Structures
1
参考教材
1.《结构力学(Ⅱ)》龙驭球、包世华主编，高等教育出版社 2.《结构动力学及其应用》陆伟民、刘雁编著，同济大学出版社 3.《结构动力学》包世华编著，武汉理工大学出版社 4.《结构动力学》杨茀康编著，人民交通出版社
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
2019/12/11Dynamics of Structures
本课程主要介绍结构的反应分析,其主要任务是：
讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。 寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者 间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规 律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供 依据。
两个质点 一个DOF
两个质点 三个DOF
复杂体系可通过附加链 杆法确定体系的自由度
（2）体系动力自由度与其超静定次数无关
（3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度
转化
2019/12/11Dynamics of Structures
1.2 单自由度体系的自由振动
1.2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立 1.2.2 自由振动微分方程的解答 1.2.3 结构的自振周期和自振频率 1.2.4 阻尼对自由振动的影响
y
y2
EI
EI 2EI
(a)单自由度
v(t) u(t)
θ(t)
(c)三个自由度
结构动力学_2
初相位
4、振幅C和初相位
x0 C sin
x0 Ccos
C
x02
x02
2
arctan x0
x0
——振幅 ——初相位
第2章 单自由度系统
x
3
x02
x02
2
sin(t
)
x
x02 2
x02
T 2
x0 0
t
图2.7 无阻尼系统自由振动位移曲线
-3
0
3
第2章 单自由度系统
x x02 x022 cos(t )
mx cx kx 0
设：
x Aept
第2章 单自由度系统
mp2 cp k 0
p1,2 c
c2 4mk 2m
c2 4mk
1、过阻尼系统
0 x A1e p1t A2e p2t
第2章 单自由度系统
2、临界阻尼系统
0
c2 4mk 0
cc 2 mk 2m
x
e
c 2m
t
第2章 单自由度系统
3、解的形式
x Asint x Bcost x Asint Bcost
x A2 B2 ( A sint B cost)
A2 B2
A2 B2
A2 B2 (cos sint sincost)
C sin(t )
第2章 单自由度系统
x C sin(t )
振幅
剪切变形
第2章 单自由度系统
3EI
ml 3
——弯曲频率
2 3EI
ml 3
——剪切频率
第2章 单自由度系统
图2.5 框架的剪切变形
第2章 单自由度系统
③摆问题
结构动力学课件
st
---重力引起的位移
质点的总位移为
l/2
l/2
m
W
st y(t )
Y (t ) y(t ) st
加速度为
(t ) (t ) Y y
(t ) m y
1
(t )] y(t ) st 11[ P(t ) W m y
st W 11
§1.2 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构 上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分 析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐 标和时间的函数。
二.动荷载的分类
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.3 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
单自由度体系、有限自由度体系、无限自由度体系 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 集中质量法 广义坐标法 有限单元法
P(t )
m1
EI
l/3
m2 y2 (t )
l/3
1 (t )] 22[m2 2 (t )] y2 (t ) 21[ P(t ) m1 y y
1 y y1 11 12 P 11 12 m1 0 0 m y y 0 2 2 2 21 22 21 22
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些 几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无 限自由度系统变成一有限自由度系统。
(同济大学)结构动力学教程 第六章 结构动力学中常用的数值方法
=
1 δ∆t 2
({x}t + ∆t
−
{x}t
)
−
1 δ∆t
{x}t
∆t
−( 1 2δ
− 1){x}t
（2）代入 → 用 表示 {x}t+∆t = {x}t + (1 − γ ){x}t ∆t + γ {x}t+∆t ∆t
{x}t + ∆t
{x}t + ∆t
（3）代入 →解得： [M ]{x}t+∆t + [C]{x}t+∆t + [K ]{x}t+∆t = {Q}t+∆t
若取 γ = 1/ 2 → {x} = 1/ 2({x}t+∆t − {x}（t ) 平均加速度） xt
取速度{x}t+∆t 的一阶泰勒展开：{x}t+∆t = {x}t + {~x}∆t t
将 代入→ {~x} = {x}t + γ ({x}t+∆t −{x}t )
{x}t+∆t = {x}t + (1 − γ ){x}t ∆t + γ {x}t+∆t ∆t
, a1
=
3 θ∆t
, a2
=
2a1, a3
=
θ∆t 2
a4
=
a0 θ
, a5
=
− a2 θ
, a6
=
1
−
3 θ
,
a7
=
∆t 2
, a8
=
∆t 2 6
（4） 形成等效刚度矩阵：[K ] = [K] + a0[M ] + a1[C]
2，对每一时间步
结构动力学第七章
7.1 Rayleigh 法
• Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。 • 对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程 中的最大应变能与最大动能相等而求得。 • 对于具有任意自由度的结构体系，用Rayleigh法求其基频有两种 处理方式，一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模 态中的变形形状和运动幅值（广义坐标）变化规律，将连续的结 构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动 能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散 坐标系中应用同样的方法求解结构基频。本节重点介绍Rayleigh 法在多自由度离散坐标系中的原理和应用。
0 0 i =1
n
n n l ⎡ ⎤ ∂ ⎧ l ⎤⎫ 2 2 2 2 ⎡ 2 2 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⋅ ⎨ ∫0 EI [U ′′( x)] dx −ω ⎢ ∫0 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⎬ = 0 i i ⎢ i =1 i =1 ⎣ ⎦ ∂ai ⎩ ⎣ ⎦⎭
ω =
2
∫
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
2
∫ m( x)U
( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
i =1
n
n ⎡ ⎤ 2 EI [U ′′( x)] dx = ω ⎢ m( x)U ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) ⎥ i ∫0 i =1 ⎣ ⎦ l 2 2
代入上式，得
式中：U(x) —振型函数。
l 1 l 1 2 2 2 & 体系的动能为 T (t ) = ∫ m( x)[u ( x, t )] dx = ω cos (ωt + φ ) ∫ m( x)U 2 ( x)dx 0 0 2 2 体系最大动能为 T = 1 ω 2 l m( x)U 2 ( x)dx max 2 ∫0
(同济大学)结构动力学教程 第五章 连续弹性构件的振动
x) sin( mπ 2l
x)dx
=
l
0 /2
m≠n m=n
∫ 求得：
A'n
=
2 l
ε
l o
x sin( mπ x)dx = 2 ε ⋅ 4l 2 sin( nπ ) =
8l
n−1
ε (−1) 2
2l
l n2π 2
2 n2π 2
∑ u( x, t )
=
8l n2π 2
ε
∞
(−1)
n−1 2
sin(
=
G ρ
∂ 2θ ∂x 2
⇒a=
G ρ
⇒
∂ 2θ ∂t 2
= a2
∂ 2θ ∂x 2
→a 为剪切波传播速度。
波动方程 ∂2u = a2 ∂2u 与直杆纵向振动相同
通解： ∂t 2
∂x 2
θ
(
x,
t
)
=
ω A'sin(
x)
+
B'
ω cos(
x)
sin(ωt
+
ϕபைடு நூலகம்
)
a
a
4 个常数 A', B',ω,ϕ 由边界条件及初始条件确定
∂x 2
T (t) + ω 2T (t) = 0
U (x)T (t) = a2T (t)U ''(x) ⇒ T (t) = a2 U ''(x) = −ω 2 T (t) U (x)
U ''(x) + ω 2 U (x) = 0 a2
T (t) + ω 2T (t) = 0 解：T ω 为振动固有频率、ϕ
高等结构动力学
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
3.1确定合适的地震输入(续) ¾响应谱简化 S = S(SC,ξ ,T )
结论：地震土越硬，卓越周期越小，带宽越小
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
3. 桥梁地震反应分析(续)
3.2建立系统的数学模型
¾振动方程
M ss
0
δ&&s
=
δ&&ss
(t
+
∆t
)
−
δ&&ss
(t
)
∆δ&&g
δ&&gg (t + ∆t)
δ&&gg (t)
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3.2建立系统的数学模型(续)
¾解耦方程 令：
∆δ
s
=
δ
vs
2.3桥梁减、隔震设计
(1)桥梁墩柱较刚性 (2)桥梁布置不规范、有可能导致不均匀受力 (3) 地震能量主要集中在高频区时
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3. 桥梁地震反应分析
3.1确定合适的地震输入
¾实际地震输入 相对位移功率谱：
Sd (ξ ,ω)
相对速度功率谱： Sv (ξ,ω)
钢筋砼墩柱抗剪能力验算 支承连接构件抗震验算 抗震能力验算—体系、延性、连接、减隔震
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
下周同一时间再见!
2. 桥梁抗震设计实用方法(续)
2.2桥梁延性抗震设计
(1)塑性铰配筋设计
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结构动力学● 第一章 单自由度体系 ● 第二章 分析动力学基础 ● 第三章 两个自由度体系 ● 第四章 多自由度体系● 第五章 连续弹性体的振动● 第六章 结构动力学中常用的数值方法 ● 第七章 动态子结构方法 ● 第八章 非线性振动●第九章 模态分析与参数辩识参考书目● 结构动力学基础，俞载道，同济大学出版社 ● 结构动力学，邹经湘，哈尔滨工业大学出版社 ● 振动力学，刘延柱，高等教育出版社 ● 分析力学，王振发，科学出版社● 机械振动，S.M.凯利[美]，科学出版社● 振动模态参数识别及其应用，林循泓，东南大学出版社第一章 单自由度体系1.1 单自由度体系的运动方程恢复力： 惯性力：粘性阻尼力： 振动外力： • 达朗贝尔原理（动静法）建立运动方程：运动方程的标准形式：无阻尼固有圆频率：阻尼比：临界阻尼系数： 1.2 无阻尼自由振动运动方程： 运动方程解： 无阻尼固有圆频率：固有周期：，固有频率：初始条件： kx -x m -xc -)(t f )(t f x)()()()(t f t kx t x c t x m =++ mt f t x t x t x n n )()()(2)(2=++ωζω m kn =ωrn c cm c ==ωζ2mc n r ω2=n i x ω±=002=+⇒=+x x kx x m n ω t C t C x n n ωωcos sin 21+=m kn =ωk mT nπωπ22==mk T f n ππω2121===0000)(,)(x t xx t x t t ====无阻尼振动解：振幅与相位角：例题1-1 求图示体系的固有频率 悬臂梁刚度： 与K2并联后等效刚度： 固有频率: （串联弹簧）例题1-2 重力的影响 无重梁中部放置重物Q ，挠度 将重物在梁未变形位置轻轻释放， 求系统振动规律。
取平衡位置为坐标原点。
刚度：运动方程：解：1.3 阻尼自由振动 运动方程：阻尼比：初始条件：为过阻尼及临界阻尼情况；无振动解为欠阻尼情况、有振动解 自由振动齐次解： )sin(sin cos )(00ϕωωωω+=+=t A t xt x t x n n nn 002020,x x arctg x x A n n ωϕω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t313lEI k =21k k k +=m k n /=ωm l2k 无重,EI stδstQ k δ=0)()]([)(=+⇒-=+-=kx xm t kx t x k Q t xm st δ)sin()(ϕω+=t A t x n st ng m k δω==23)(,0002020πωϕδω=-∞==-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=arctg x x arctg x x x A n st n 0)()(2)(2=++t x t x t x n n ωζω 21222-±-=ςωςωn n x rn c cm c ==ωζ20000)(,)(x t x x t x t t ====1≥ζr c c <1<ζ)sin(sin cos )(000ϕωωωζωωζωζω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=--t Ae t x x t x e t x d td dn d t nn阻尼体系固有圆频率：一般有 ，故阻尼体系固有周期：振幅与相位角： 对数衰减率：阻尼比的实验量测：例题1-3 实验测得衰减曲线。
经m 个周期后，振幅正好减至一半， 求系统的阻尼比。
由于 ，故1.4 简谐激振1.4.1 运动方程及解运动方程： 非齐次方程的全解：→齐次解+特解： 齐次解（过渡解）：→齐次运动方程： 的解→特解（稳态解）：→21ζωω-=n d 1.0<ζnd ωω≈2122ζωπωπ-==n d dT n d d nx x x tg x x x A ζωωϕωζω00020020,+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= πζζπζζωλζωζω212ln ln 2)(1≈-====+--+d n T t ti i T Ae Ae x x dnn 1ln212+==i i A A ππλζAtπζζω2ln m T m x x d n m i i ≈=+mm x x m m i i 11.02ln 21ln 21===+ππζtf t m F t x t x t x n n ωωωζωsin sin )()(2)(02==++ 21x x x +=0)()(2)(2=++t x t x t x n n ωζω []t C t C ex d d tnωωζωsin cos 211+=-)sin cos cos (sin )sin(2αωαωαωt t A t A x -=-=22222202222222222)2()1(1)2()1(1)2()1(14)(ωζωωζωωζωωωωζωω+-=+-=+-=+-=stnn n xkF f f A nωωω=222122ωωζωωωζωα-=-=n n tg静位移： ，频率比：全解：初始条件： →全解：1.4.3 稳态响应中力的功 （1）弹性力的功：（2）阻尼力的功：（3）激振力的功：• 能量守衡： → •→ → stx nωωω=[])sin(sin cos 2121αωωωζω-++=+=-t A t C t C e x x x d d t n0000)(,)(x t xx t x t t ====过渡过程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-sin cos sin cos sin sin cos 000ωαωαζωωαωζωωζωζωt x t Ae t x x x t x e x d d d t d d n d t nn0)cos()sin(=---=-=-=⎰⎰⎰dt t A t kA dt xkx kxdx W e αωωαω 222)]cos([cA dt t A c dt x c dx xc Wd πωαωω-=--=-=-=⎰⎰⎰ απαωωωωωsin )cos()sin()sin()sin(0000A F dt t A t F dt xt F dx t F W f =-===⎰⎰⎰ 0=++f d eW W W ωαc F A /sin 0=n ωω=1sin =αζω20max stnx c F A ==1.4.4 用复数表示的稳态响应激振力： → 运动方程： ；稳态响应： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：复平面上的矢量图：1.4.5 支座位移激振及隔振恢复力：惯性力：粘性阻尼力：相对位移： 相对位移运动方程：→ →同简谐激振 绝对位移运动方程： 设稳态响应： 位移传递率(被动隔振—不使振动传进来)：相位：=ζt F ωsin 0ti e F ω0t i e F kx x c x m ω0=++ )(αω-=t i Ae x 0)()()(20=--+--αωαωωωωt i t i t i cAe i Ae k m e F t i t e t i ωωωsin cos +=ImReωF mx2ωkx-cxi ω-αt ω)(g x x k --x m -)(g x x c --gr x x x -=g r r r x m kx x c x m -=++t B x g ωsin =t mB kx x c xm r r r ωωsin 2=++ t cB t kB kx x c xm x c kx kx x c x m g g ωωωcos sin +=++⇒+=++)sin(αω-=t A x 222222222222)2()1(41)(ωζωωζωωω+-+=+-+=c m k c k B A 2232223)2(12)(ωζωωζωωωα+-=+-=c k k mc tg隔振要求：频率比：阻尼比小：但过小通过共振区不利主动隔振：将振源隔开，使振动传播不出去（隔振器） 弹簧与阻尼器传递的合力：(相位差 )力传递率（隔振要求同被动隔振）：1.5 周期激振周期激振力：傅里叶（Fourier ）展开：将周期激振力分解为一系列频率为的简谐激振力，将各简谐激振力的稳态响应叠加即可。
例题1-4 求图示三角波激振力作用下单自由度体系的稳态响应。
设频率比、不计阻尼 根据函数的反对称性可得⇒>=2nωωω1<B A ↓↓⇒BAζ)2sin()cos()sin(παωωαωωαω+-=-=-=t A t A xt A x 222)/(1k c kA R F F T ω+=+=222220)2()1(41ωζωωζ+-+=F F TtF t f ωsin )(0=x kA F =A c R ω=振源)()(T t f t f +=∑∞=++=1)]sin()cos([2)(i i i t i b t i a a t f ωω),2,1()sin()(2),2,1,0()cos()(200⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==⎰⎰i dt t i t f Tb i dt t i t f Ta Ti T i ωω),2,1()sin()(2),2,1,0()cos()(200⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==⎰⎰i dt t i t f Tb i dt t i t f Ta Ti T i ωω9.0=ω),6,4,2(0)sin()(20)cos()(2;0)(20000⋅⋅⋅=======⎰⎰⎰i dt t i t f T b dt t i t f Ta dt t f T a Ti T i T ωω；πωtP t f 02)(=),5,3,1()1(8)sin()(4)sin()(22122020⋅⋅⋅=-===-⎰⎰i i P dt t i t f dt t i t f Tb i T i πωπωωωπ取i=1~3算得：响应为:仅取第一项，误差为0.4％159.0)/3(1126.59.011/11232221-=-==-=-=n n ωωβωωβ⋅⋅⋅==∑∞=5,3,1)sin()(1i t i b t x i iiωβ)3sin(98)sin(8230210t k P t k P x ωπβωπβ+=。