2006.12.21空间向量及其运算(四)共线与共面分析
空间向量的共线与共面问题
么条件？
bC
p
P
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
存在有序实数对x,y使 AP x AB y AC
或对空间任一点O,有 OP xOA yOB zOC (x y z 1)
可证明或判断四点共面
三.类似地,有空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
23 c
B
(D)
2 3
a
+
2 3
b
－
1 2
c
课外补充练习:
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A
(A)若 OP OA t AB ，则P、A、B共线
(B)若 3OP OA AB ，则P是AB的中点
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
向量规．规定定a 平:: oo行与与于任任b一一记向向作量量aaa/是/是b共．共线线向向量量..
2.共线向量定理：空间任意两个向量
a
、b（
b
≠
0
），
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
练习.已知A、B、P三点共线，O为直线外
一点，且OP OA OB，求 的值.
那么 A 、B 、P 三点共线吗?
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
BP
a
O
注:我们把非零 向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
空间向量的共线与共面解析
空间向量的共线与共面解析在三维空间中，我们经常会遇到多个向量的关系问题，其中一个重要的问题就是判断向量的共线与共面关系。
本文将介绍空间向量的共线与共面解析方法。
一、共线向量的判断若存在实数k，使得向量a与向量b的每个分量同比例，则向量a 与向量b是共线的。
即可以表示为：a = kb对于三维空间中的两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，我们可以通过列向量的形式表示：⎛a1⎞⎛b1⎞⎜a2⎟ = k⎜b2⎟⎝a3⎠⎝b3⎠其中a与b共线，k的值即为向量a与向量b的公比。
二、共面向量的判断若存在实数k1和k2，使得向量a、b和向量c的每个分量满足以下关系：a = k1b + k2c则向量a、b和向量c是共面的。
即可以表示为：⎛a1⎞⎛b1⎞⎛c1⎞⎜a2⎟ = k1⎜b2⎟ + k2⎜c2⎟⎝a3⎠⎝b3⎠⎝c3⎠其中a、b和c共面，k1和k2分别为向量a与向量b和向量a与向量c的公比。
三、共线与共面解析举例假设有三个向量a=(1,2,3)，b=(2,4,6)和c=(3,6,9)，我们来判断它们的共线与共面关系。
1. 共线判断：a = 2b，即k=2，所以向量a与向量b是共线的。
2. 共面判断：我们可以将向量a表示为向量b和向量c的线性组合，即：a = 1b + 0c所以向量a、b和向量c是共面的。
通过上述例子，我们可以发现，共线向量满足每个分量同比例，而共面向量则满足每个分量都可以由其他向量线性表示。
结论：通过对空间向量的共线与共面解析，我们可以更好地理解向量之间的关系。
共线与共面关系在几何学和物理学中都有广泛的应用，对于求解问题和推导结论具有重要意义。
总结：在本文中，我们介绍了空间向量共线与共面的解析方法，并通过具体例子进行了解析。
通过这些方法，我们可以判断出向量的共线与共面关系，更好地应用于实际问题中。
对于进一步学习和应用向量的相关知识具有重要的参考价值。
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质几何学是数学的一个重要分支，而解析几何则是几何学中的一个重要工具。
在高中阶段的数学学习中，我们需要掌握一些几何知识，其中包括向量的共线与共面性质。
本文将对这些性质进行解析解析，以加深对几何知识的理解。
一、向量的共线性质在几何中，向量是一个具有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
在解析几何中，我们通常将向量表示为坐标形式，即[x, y]。
如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们是共线的。
换句话说，如果两个向量的方向向量相等或者相反，那么它们是共线的。
例如，向量A=[2, 3]，向量B=[4, 6]，可以通过将向量B的坐标除以2得到向量A，即[4/2, 6/2] = [2, 3]，所以向量A和向量B是共线的。
在解析几何中，我们可以通过计算向量的斜率来判断两个向量是否共线。
如果两个向量的斜率相等，那么它们是共线的。
以直线上的两个点A和B为例，坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么两个点的斜率就可以通过公式(y2-y1)/(x2-x1)来计算。
二、向量的共面性质在几何中，如果三个或者更多个向量在同一个平面上，那么它们是共面的。
换句话说，如果一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么它们是共面的。
例如，有向量A=[1, 2, 3]，向量B=[4, 5, 6]，以及向量C=[2, 4, 6]。
我们可以看到，向量C可以表示为向量A和向量B的线性组合，即C=2A+2B。
因此，向量A、向量B和向量C是共面的。
在解析几何中，我们可以通过计算向量的混合积来判断三个向量是否共面。
向量的混合积可以通过公式[A, B, C]来计算，其中A、B和C是三个向量。
如果混合积等于零，那么这三个向量是共面的，否则就不共面。
总结：在高中的几何学中，向量的共线与共面性质是非常重要的知识点。
通过解析几何的方法，我们可以判断两个向量是否共线，以及三个向量是否共面。
向量的共线性质可以通过方向向量相等或者相反来判断，也可以通过计算斜率来判断；向量的共面性质可以通过线性组合或者计算混合积来判断。
共线与共面向量
2. 共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） a // b ！ R，使 a b . 判定 说明:(1) a // b (b 0) a b(b 0) 性质 a // b (b 0) a b(b 0)
OP OA x AB y AC
运用 判断三点共线，或两 判断四点共线，或直线 直线平行 平行于平面
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ， 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p xa yb
p 与两不共线向量 a ， b
a ， 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如 b 果 p xa yb ，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？
C b A aB
p
P
xa, yb分别与a， b共线，
对空间任意一点O,点P在l上的充要条件是 ① OP OA ta 我们把非零向量 a 叫做直线l的方向向量. 若在l上取 AB a 则有 OP OA t AB ②
P B
O
a
A
l
①和②都称为空间直线的向量参数方程，空间任意直线 由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 进一步， OP (1 t)OA t OB A，P，B三点共线 ③ 特点: (1-t)+t=1
同时①②③也都是P,A,B,C四点共面的充要条件.
例1.如图,已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA、 OB、OC、OD，在四条射线上分 别取点E、F、G、H，并且使 OE OF OG OH k, OA OB OC OD 求证：E、F、G、H四点共面. E 求证：平面AC∥平面EG
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
所以 E、F、G、H共面。
12
例2 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明：②EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
平面向量的基本定理:
ur ur
如果
e1
,
e2
是平面内两个不共线的向量,那么对于这 r
一平面内的任一向量 r ur ur
a
,存在唯一的一对实数
t1
,
t2
使
a t1e1 t2 e2 .
uur
ur
ur
a
e2
M
C
e2
uur
ur
a
ur
e1
e1
O
N
r
uuur uuuur uuur ur ur
对向量 a 进行分解, OC OM ON t1 e1 t2 e2
uuur uuur uuur uuur ∵ OP xOA yOB zOC . uuur uuur uuur
又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面,
∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
4
类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
复习引入
空间向量 基本定理
例1
例2
课外补充 练习
作业:课本 P99B 组第 2 题
1
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
上一节,我们发现:
向量共线与共面的判定
向量共线与共面的判定在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于描述物体的运动和位置。
在研究向量的性质和关系时，一个重要的问题是如何确定两个或多个向量是否共线或共面。
本文将介绍判定向量共线与共面的方法。
共线向量的判定两个向量是共线的，意味着它们位于同一条直线上或平行于同一条直线。
判定两个向量是否共线的一种简单方法是比较它们的方向比例。
假设有两个向量a和b，则a和b共线的条件是存在一个实数k，使得a=k*b。
根据这个条件，可以通过比较向量的分量来判定两个向量是否共线。
假设向量a的分量为(a1,a2,a3)，向量b的分量为(b1,b2,b3)，则向量a和b共线的条件可以表示为以下方程组：a1=k*b1a2=k*b2a3=k*b3如果存在一个实数k满足这个方程组，则向量a和b共线；否则，它们不共线。
共面向量的判定三个或三个以上的向量是共面的，意味着它们位于同一个平面上或平行于同一个平面。
判定三个向量是否共面可以使用向量的混合积。
假设有三个向量a、b和c，则a、b和c共面的条件是它们的混合积为零，即(a×b)·c=0。
根据这个条件，可以通过比较向量的分量来判定三个向量是否共面。
假设向量a的分量为(a1,a2,a3)，向量b的分量为(b1,b2,b3)，向量c的分量为(c1,c2,c3)，则向量a、b和c共面的条件可以表示为以下方程：a1*(b2*c3-b3*c2) + a2*(b3*c1-b1*c3) + a3*(b1*c2-b2*c1) = 0如果上述方程成立，则向量a、b和c共面；否则，它们不共面。
综合判定除了使用上述方法判定向量共线与共面外，还可以使用线性方程组或矩阵运算来进行综合判定。
例如，可以将向量的分量构成方程组，并求解该方程组的解。
如果存在解，则向量共线或共面；如果不存在解，则不共线或不共面。
此外，还可以使用矩阵的秩来判定向量的共线性或共面性。
将向量的分量构成矩阵，并对该矩阵进行行变换，然后观察矩阵的秩。
平面向量的共线与共面
平面向量的共线与共面在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，而共线和共面则是用来描述向量之间的关系的。
共线指的是多个向量在同一直线上，共面则意味着多个向量在同一平面上。
平面向量的共线与共面是一种重要的概念，在几何学和物理学中都有广泛的应用。
一、共线向量共线向量是指多个向量位于同一直线上的情况。
为了判断向量是否共线，我们可以通过以下两种方法：方法一：向量的数量积法对于两个向量a和b来说，如果它们共线，那么它们的数量积（又称为点积）的结果为0。
数量积的计算公式如下：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，θ表示向量a和b之间的夹角。
如果两个向量的数量积为0，则它们共线。
方法二：向量的比例法对于两个向量a和b来说，如果它们共线，那么它们之间存在一个实数k，使得a=kb。
也就是说，如果一个向量是另一个向量的k倍，那么它们是共线的。
二、共面向量共面向量是指多个向量位于同一平面上的情况。
为了判断向量是否共面，我们可以通过以下方法：方法一：向量的数量积法对于三个向量a、b和c来说，如果它们共面，那么它们的数量积的结果为0。
数量积的计算公式如下：(a × b)·c = 0其中，×表示向量的叉积运算。
如果三个向量的数量积为0，则它们共面。
方法二：向量的混合积法对于三个向量a、b和c来说，如果它们共面，那么它们的混合积的结果为0。
混合积的计算公式如下：(a × b)·c = 0同样，如果三个向量的混合积为0，则它们共面。
三、应用举例1. 平面几何中的共线与共面在平面几何中，通过判断点是否共线或者判断线段是否相交，我们可以应用共线和共面的概念来求解几何问题。
例如，当我们需要判断三个点A、B和C是否共线时，可以计算向量AB和向量AC，然后判断这两个向量是否共线。
如果它们共线，则说明三个点在同一直线上。
同样地，如果我们需要判断四个点A、B、C和D是否共面，可以计算向量AB、向量AC和向量AD，然后判断它们的混合积是否为0。
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面判定
高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面判定几何学是数学的一个重要分支，其中解析解析几何是通过运用代数和分析工具来研究几何问题的方法。
在几何学中，向量是一个重要的概念，它可以用来描述空间中的方向和大小。
在解析解析几何中，我们经常需要判断向量的共线性和共面性。
本文将对高中几何学中的向量共线与共面判定进行解析解析，以帮助读者更好地理解和应用这一知识。
在解析解析几何中，向量共线性的判定是非常重要的一点。
两个向量如果共线，意味着它们的方向相同或相反，并且它们的长度成比例。
具体来说，如果有两个向量a⃗和b⃗，它们共线的充要条件是存在一个实数k，使得a⃗ =k * b⃗。
也就是说，如果两个向量的坐标分别为(a₁，a₂，a₃)和(b₁，b₂，b₃)，那么它们共线的条件为a₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃。
在解析解析几何中，我们还需要判断向量的共面性。
如果有三个向量a⃗，b⃗和c⃗，它们共面的充要条件是存在三个实数x、y和z，使得a⃗ =x * b⃗ + y * c⃗。
也就是说，如果三个向量满足这个条件，那么它们共面。
向量的共线性和共面性判定在解析解析几何中都是比较基础的内容，但在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在空间几何中，如果我们需要判断一条直线是否与平面共面，就需要利用向量共线和共面的性质来解决。
又如，在物理学中，如果我们需要分析物体的运动轨迹，就需要运用向量共线性和共面性来进行分析和判断。
在解析解析几何中，我们可以通过一些具体的计算来判断向量的共线性和共面性。
例如，对于共线性的判定，我们可以计算两个向量的坐标比值是否相等。
如果相等，则说明它们共线；如果不等，则说明它们不共线。
对于共面性的判定，我们可以利用三个向量之间的线性关系进行计算。
如果三个向量满足线性关系，则说明它们共面；如果不满足，则说明它们不共面。
此外，在解析解析几何中，还有一些其他的方法可以判断向量的共线性和共面性，例如向量的混合积和向量的叉积。
2006.12.21空间向量及其运算(四)共线与共面分析
C
8
答案
练习
平行六面体中, =2AM, =2ND, =2 =2 例1 平行六面体中,点MC=2 ,A1N=2 , 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 ,b,c表示 = , = , ,试用a, , 表示 MN. .
D1 N A M B C1 D A1
B1
解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=－ 3 AC =－3 (a+b) MA=－ =－ + )
如果三个向量 不共面,那么对于空间 空间任一向 b 如果三个向量 a 、 、c 不共面,那么对于空间任一向 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组
p = xa + yb + zc .
{ x, y, z}
使
证明思路： 证明思路：先证存在
b E
进行分解, 对向量 p 进行分解,
p
O C B
A D
OG = k OC , OH = k OD ,
求证： 求证： 共面； ⑴四点E、F、G、H共面； 四点E、F、G、H共面 平面AC. ⑵平面EG//平面 平面 平面
11
(1)答案 答案
(2)答案 答案
课本例)已知 例2 (课本例 已知 课本例
ABCD ，从平面 外一点 引向量 从平面AC外一点 外一点O引向量
一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP = xOA+ yOB + zOC , 则 充要条件是 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x + y + z = 1 . 证明: 证明:⑴充分性 ∵ OP = xOA + yOB + zOC
可变形为 OP = (1 − y − z )OA + yOB + zOC ,
第2讲空间向量与立体几何共线向量与共面向量定理
2.空间向量的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), a=( a1, a2, a3), a·b=a1b1+a2b2+a3b3, a b a= b a1= b1,a2= b2,a3= b3( R), a b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0.
第2讲 空间向量与立体几何
1.共线向量与共面向量定理 （1）如果表示空间向量的有向线段所在直线互相 平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量. （2）平行于同一个平面的向量叫做共面向量. （3）共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b 0),a b的充要条件是存在实数 ，使a= b. （4）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线， 则向量p与向量 a、b共面的充要条件是存在实数对 (x,y)，使p=xa+yb.
5.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
平面 v=(a4,b4,c4)
（以下相同）.
(1)线线夹角
设l，m的夹角为 (0≤ < )，则
2
cos
a·b a ·b
=|cos |.
变式训练2 （2009·江西文，20）如图，在四棱锥 P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， PA=AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心，BD为直径 的球面交PD于点M.
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD； （2）求直线PC与平面ABM所成的角； （3）求点O到平面ABM的距离.
(完整版)04空间向量基本定理
证明：设 C1B1 a，C1D1 b，C1C c ,则 B1C c
uuur OD
uuuur OD1
r c
1（br 2
r a）
r c
,若存在实数
x,
y
,使得
r uuuur a ，C1O uuuur uuur B1C xOD
1（ar
r b）,
2 uuuur
yOC1成立，
,
求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
证明：∵四边形ABCD为
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA k(OC OA) kAC
（﹡）代入 k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH
和N分别是OA、BC的中点uu，ur 点uuurGu在uurMN上，且
使MG=2GN，试用基底 OA,OB,OC
表示向量 OG
M A
O
G
C 解Ouu：Gur 在Ou1uMuOu△uruAurOuMuM2uGur(OuGuN12ur中OuuAurOu，uMu23uruM)uuNur
数学运用
例题1：
已知向量a, b, c 是空间的一个基底，从a, b, c中
选哪个向量，一定可以与向量p a b, q a b 构 成 空 间 的 另 一 个 基 底？ 答1、： 练向如习量果c，a因, b为与如任果c与何a向b，量a 都b共不面能，那构么成c与空a，b间共面的，一这个与基已知底矛，盾。
我们把 e1、e2、e3 称为空间的一个基底,
空间向量及其运算共线与共面分析
物理问题求解
在解决涉及三个方向上的力或速 度的问题时，可以使用混合积来 计算相互作用效果。
线性代数问题求解
在求解线性代数问题时，混合积 可以用于判断向量是否线性相关 或独立。
04
向量的线性相关性
向量共线的条件
1
两个向量共线当且仅当它们所在的直线重合或平 行。
2
如果存在一个标量k，使得向量a=k*向量b，则向 量a和向量b共线。
向量的模
定义
向量$overset{longrightarrow}{a}$的模定义为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$。
性质
$left| overset{longrightarrow}{a} right| geq 0$，且当 $overset{longrightarrow}{a} = overset{longrightarrow}{0}$ 时，$left| overset{longrightarrow}{a} right| = 0$。
向量的数乘分配律
总结词
向量的数乘分配律是指数乘运算可以分配到向量加法 或减法的两侧，即不改变运算结果。
详细描述
数乘分配律是向量运算中的一个重要性质，它允许我们 将数乘运算分配到向量加法或减法的两侧。这意味着我 们可以先对每个向量单独进行数乘运算，然后再进行加 法或减法运算。例如，对于任意两个向量$vec{A}$和 $vec{B}$以及任意实数$k$和$m$，有$(kvec{A}) + (mvec{B}) = k(vec{A} + vec{B}) + m(vec{A} + vec{B}) = (k + m)(vec{A} + vec{B})$。同样地，对于数乘分配 到减法的例子，如$(kvec{A}) - (mvec{B}) = k(vec{A} vec{B}) - m(vec{A} - vec{B}) = (k - m)(vec{A} vec{B})$。
数学复习：共线向量与共面向量
数学复习：共线向量与共面向量学习目标1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面．导语我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下．一、空间向量共线的充要条件问题1平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？提示对任意两个平面向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb ，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．知识梳理1．对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa ，把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的一点和它的方向向量表示．注意点：(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定．(2)向量a ，b 共线时，表示向量a ，b 的两条有向线段不一定在同一条直线上．例1如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，则CE →与MN →是否共线？解方法一∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.①又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN→＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，②①＋②得2MN →＝CE →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．方法二∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AF →)－12AC→＝12(AB →＋AF →)－12(AB →＋AD →)＝12(AF →－AD →)＝12(BE →－BC →)＝12CE →.∴MN →∥CE →，即MN →与CE →共线．反思感悟向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(2)判断或证明空间中的三点(如P ，A ，B )共线的方法：是否存在实数λ，使PA →＝λPB →.跟踪训练1(1)已知A ，B ，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝________.答案1解析由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，所以m ＝1－λ，n ＝λ，所以m ＋n ＝1.(2)如图所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD→＝12(CD →－CB →)－32CF ＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH上，∴四边形EFGH 是梯形．二、空间向量共面的充要条件问题2空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面．问题3对两个不共线的空间向量a ，b ，如果p ＝x a ＋y b ，那么向量p 与向量a ，b 有什么位置关系？反过来，向量p 与向量a ，b 有什么位置关系时，p ＝x a ＋y b ?提示向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a＋y b .知识梳理1．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.2．共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )使p ＝x a ＋y b问题4对于不共线的三点A ，B ，C 和平面ABC 外的一点O ，空间一点P 满足关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则点P 在平面ABC 内的充要条件是什么？提示x ＋y ＋z ＝1.证明如下：(1)充分性∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC→可变形为OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，∴AP →＝yAB →＋zAC →，∴点P 与A ，B ，C 共面．(2)必要性∵点P 在平面ABC 内，不共线的三点A ，B ，C ，∴存在有序实数对(m ，n )使AP →＝mAB →＋nAC →，OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，∴OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，又∵点O 在平面ABC 外，∴OA →，OB →，OC →不共面，∴x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，∴x ＋y ＋z ＝1.例2(1)(多选)对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是()A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC →B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC→C ．OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC→D ．OP →＝2OA →－OB →－OC →答案BC 解析方法一A 选项，OP →＝OA →＋OB →＋OC →，不能转化成AP →＝xPB →＋y PC →的形式，∴A 不正确；B 选项，∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面，故B 正确；C 选项，OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →.∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →，由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 选项正确；D 选项，OP →＝2OA →－OB →－OC →，无法转化成AP →＝xPB →＋y PC →的形式，D 项不正确．方法二当点P 与A ，B ，C 共面时，对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x＋y ＋z ＝1，可判断出只有选项B ，C 符合要求．(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N ∈AC ，且AN ∶NC ＝2，求证：A 1，B ，N ，M 四点共面．证明设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，则A 1B —→＝b －a ，∵M 为线段DD 1的中点，∴A 1M —→＝c －12a ，又∵AN ∶NC ＝2，∴AN →＝23AC →＝23(b ＋c )，∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(b ＋c )－a＝23(b －a )－12a ＝23A 1B —→＋23A 1M —→，∴A 1N —→，A 1B —→，A 1M —→为共面向量．又∵三向量有相同的起点A 1，∴A 1，B ，N ，M 四点共面．反思感悟向量共面的判定及应用(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明．①MP →＝xMA →＋yMB →；②对于空间任意一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对于空间任意一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)；④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．(2)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋y AC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．跟踪训练2已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．证明如图，连接EG ，BG .因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知向量EG →，EF →，EH →共面，即E ，F ，G ，H 四点共面．1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．(2)空间向量共面的充要条件．(3)三点共线、四点共面的证明方法．2．方法归纳：转化化归、类比．3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．对于空间的任意三个向量a ，b ,2a －b ，它们一定是()A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案A解析由向量共面定理可知，三个向量a ，b ,2a －b 为共面向量．2．(多选)下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是()A ．OM →＝3OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC→C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0答案AC解析A 选项中，3－1－1＝1，四点共面，C 选项中，MA →＝－MB →－MC →，∴点M ，A ，B ，C 共面．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为()A ．1B ．0C ．3D ．13答案D解析∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.4．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知AB →＝9a ＋m b ，BC →＝－2a －b ，DC →＝a －2b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数m ＝________.答案－3解析因为BC →＝－2a －b ，DC →＝a －2b .所以BD →＝BC →＋CD→＝BC →－DC →＝－2a －b －(a －2b )＝－3a ＋b ，因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即9a ＋m b ＝λ(－3a ＋b )．＝－3λ，＝λ，解得m ＝λ＝－3.练习1．下列命题中正确的是()A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb答案C解析A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线，故A 错误；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B 错误；C 中，∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →，故C 正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb ，故D 错误．2．已知非零向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是()A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D答案A解析∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则()A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对答案A解析因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .4．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则()A ．O ，A ，B ，C 四点必共面B ．P ，A ，B ，C 四点必共面C ．O ，P ，B ，C 四点必共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点必共面答案B解析由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，得OA →－OP →＝2(OP →－OB →)＋3(OP →－OC →)，即PA →＝2BP →＋3CP →.由共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面．5．(多选)在以下命题中，不正确的命题是()A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件C ．若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行D ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面答案BCD解析对于A ，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，A 正确；对于B ，若a ，b 同向共线，则|a |－|b |<|a ＋b |，故B 不正确；对于C ，由向量平行知C 不正确；对于D ，只有x ＋y ＋z ＝1时，才有P ，A ，B ，C 四点共面，故D 不正确．6．已知P 为空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →，则实数x 的值为()A ．13B ．－13C ．12D ．－12答案A解析PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴32－x －16＝1，解得x ＝13.7．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案－8解析由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R ，使得AB →＝λBD →.∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2，∵e 1，e 2不共线，＝2，＝－4λ，∴k ＝－8.8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”)答案平行解析设G 是AC 的中点，连接EG ，FG (图略)，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．9．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断M 是否在平面ABC 内．解(1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 四点共面，即M 在平面ABC 内．10．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN→＋13AB BA →＋13DE ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →.又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．11．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.12．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y 等于()A ．56B ．76C ．53D ．73答案B解析由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，①又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，②联立①②，解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1——→，那么M 必()A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内答案C 解析PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1——→＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1——→＝PB 1—→＋B 1A 1——→＋6BA 1—→－4A 1D 1——→＝PA 1—→＋6(PA 1—→－PB →)－4(PD 1—→－PA 1—→)＝11PA 1—→－6PB →－4PD 1—→，又11－6－4＝1，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面．14．已知a ＝3m －2n －4p (a ≠0)，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，则x ＋y ＝________.答案－5解析∵a ∥b 且a ≠0，∴b ＝λa ，即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp ，又m ，n ，p 不共面，∴x ＋13＝8－2＝2y －4，则x ＝－13，y ＝8，x ＋y ＝－5.15．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不同为0的实数λ，m ，n ，使λOA→＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．答案0解析∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AB →＝kBC →，∵AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →，∴OB →－OA →＝k (OC →－OB →)，化简整理得OA →－(k ＋1)OB →＋kOC →＝0，∵λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，∴①当k ＝－1时，比较系数得m ＝0且λ＝－n ，∴λ＋m ＋n ＝0；②当k ≠－1时，可得λ1＝m －k －1＝n k，得m ＝(－k －1)λ，n ＝kλ；由此可得λ＋m ＋n ＝λ＋(－k －1)λ＋kλ＝0，综上所述，λ＋m ＋n ＝0.16．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AG AH ＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．解如图，连接BG .因为AB →＝PB →－PA →，AB →＝DC →，所以DC →＝PB →－PA →.因为PC →＝PD →＋DC →，所以PC →＝PD →＋PB →－PA→＝－PA →＋PB →＋PD →.因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－PA →＋PB →＋PD →)＝－13PA →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－PA →，所以AH →＝－43PA →＋13PB →＋13PD →.因为AGAH ＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3PA →＋m 3PB →＋m 3PD →.因为BG →＝－AB →＋AG →＝PA →－PB →＋AG →，所以BG →＋m 3PD →.又因为G ，B ，P ，D 四点共面，所以1－4m 3＝0，m ＝34，即m 的值是34.。
共面、共线、平行向量的定义及判定
共面、共线、平行向量的定义及判定向量是数学中一个极为重要的概念，它的应用范围广泛，不仅存在于高等数学、线性代数中，也广泛应用于物理、力学等学科。
作为向量中的重点概念，共面、共线、平行向量在向量的运算及应用中有着不可忽略的地位。
本文将详细介绍这三种向量的定义及判定方法。
共面向量共面向量指的是三维向量中处于同一个平面内的向量。
形式上，如果有3个向量a、b、c，且它们处于同一平面内，则称它们是共面向量。
我们可以通过向量的线性组合来判断向量是否共面。
具体来说，设有三个向量a1、a2、a3①当a1、a2、a3线性无关时，它们不共面。
②当a1、a2、a3线性相关时，可通过向量线性组合来判断它们是否共面。
如果能够用a1、a2、a3的线性组合表示出零向量，则a1、a2、a3共面。
如果不能表示为零向量，则a1、a2、a3不共面。
共线向量共线向量指的是两个或多个向量在同一条直线上的向量。
若有2个向量a、b，则称它们是共线向量。
与共面向量类似，我们也可以通过向量的线性组合来判断向量是否共线。
具体来说，设有两个向量a、b①当向量a、b不共线时，它们不共线。
②当向量a、b共线时，可通过向量线性组合来判断它们是否共线。
如果我们可以用一个实数k表示向量a、b，即满足b=ka，则a、b共线。
否则，a、b不共线。
平行向量平行向量指的是在同一平面内且方向相同或相反的向量。
若有两个向量a、b，则称它们是平行向量。
平行向量的判定方法有两种：一是通过向量积判定，二是直接比较方向。
①通过向量积判断：当向量a、b的向量积（即叉积）等于0时，它们是平行向量。
即axb=0。
②通过比较方向判断：当向量a、b的方向相同或相反时，它们是平行向量。
具体来说，可以通过判断两个向量内每个坐标上的值的比例是否相等来确定向量的方向是否相同。
总之，对于向量的共面、共线、平行关系，我们需要通过向量线性组合、向量积判定、直接比较向量方向等方法来进行判断。
熟练掌握判断方法，可以使我们更好地理解向量的性质及操作规律。
高中数学人教版选修2-1教学课件：空间向量及其运算(四)共线与共面分析
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
上一节,我们发现: AB 1.空间一点 P 在直线 上的充要条件是 ________________________________. 唯一实数 t R, 使 AP t AB
或对空间任意一点,存在唯一 实数 t R, 使 OP OA t AB .
类似地,有空间向量基本定理:
b E
p
B
A
对向量 p 进行分解,
O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
得证.
为什么?
4
类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?
平面向量的基本定理: 如果 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,那么对于这 一平面内的任一向量 a , 存在唯一的一对实数 t1 , t2 使 a t1 e1 t2 e2 . e2 a C M e2 a
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
a
推论
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推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则 对空间任一点 P ，都存在唯一的有序实数对 x、 y、z使 OP xOA yOB zOC O
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
B、 C 内 ⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC , 不共线的三点 A、 ,n) ∴存在有序实数对 使 mAB nAC (m AP ∴ OP OA m(OB OA) n(OC OA) ∴ OP (1 m n)OA mOB nOC ∵ OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、 OB 、 OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
基本定理,共面定理及向量运算的几何意义
①线线平行 向向平行 ②线面平行 向法垂直 ③面面平行 法法平行
④线线垂直 向向垂直 ⑤线面垂直 向法平行 ⑥面面垂直 法法垂直
线线
文 线线夹角向向角 字 取正即为余弦值
符 号
cos线线 cos向向
线面
面面
面面夹角法法角 线面夹角向法角 非等即补看锐钝 取正即为正弦值 斜向量与法法乘
确定了点P的象限位置
②已知非零向量 m x1a y1b , n x2 a y2b ，则
ⅰ: m // n
x1 y1 x2 y2
ⅱ: m n
注3.作用：
m•n 0
x1x2 y1y2 0
合成分解是作用 合力位移是榜样
常用特例要熟知 三角四边四六面
向量的基本定理
基底系数即坐标 合成分解是作用
位移为 0
AB BC CA O A
F3
F2
C B
2.减法的几何意义
同头相减尾尾连 方向指向被减数
B
OA OB BA
O
A
3.数乘的几何意义
伸缩变向及共线
① a b
ab
a 与 b 共线
x1 y1 z1
x2 y2 z2
② AP PB A,B,P三点共线
OP xOA yOB
且x y 1
二、共面向量定理: 1.共线向量定理： 2.共面向量定理:
三、向量运算的几何意义： 1.加法的几何意义 2.减法的几何意义 3.数乘的几何意义 4.数量积的几何意义 5.投影的几何意义
一、空间向量的基本定理（向量分解定理）:
1.平面向量的基本定理:
如果 a, b 是同一个平面内两个不共线的向量，那么 对于这个平面内任意一个向量 p ,有且仅有一对实数x,y 使得 p xa yb
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B
16
1 3
1 3
( A)1
( B)0
107
(C )3
作业:课本 P
1 ( D) 3
B 组第 2 题
14
课外补充练习:
1.下列说明正确的是： D (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是：C (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
B1
D1 N C1
A B
D
分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可.
M
C
8
答案
练习
例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1
D1
N
A M B
C1 D
解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=－ 3 AC =－ 3 (a+b)
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
3
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性
或对空间任意一点,存在唯一 实数 t R, 使 OP OA t AB .
A
O
l
B P
2.空间一点 P 位于平面 ABC 上的充要条件是 ________________________________________________. 唯一有序实数对 ( x, y ) ,使 AP x AB y AC .
B、 C 和平面 ABC 外的 试证明 : 对于不共线的三点 A 、
一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC , 则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC
可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC ,
10
M A N C
B
例3
例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量 OE kOA , OF kOB,
OG kOC , OH kOD ,
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
11
(Байду номын сангаас)答案
(2)答案
例2 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
推论
6
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则 对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、 y、z使 OP xOA yOB zOC O
C
A P B
例1
例2
例3
7
例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
复习引入
空间向量 基本定理
例1 课外补充 练习
例2
作业:课本 P
107
B 组第 2 题
1
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
上一节,我们发现: 1.空间一点 P 在直线 AB 上的充要条件是 ________________________________. 唯一实数 t R, 使 AP t AB
使
p xa yb zc .
证明思路：先证存在
b E
O C
p
B
A
对向量 p 进行分解,
作 AB // b, BD // a, BC // c
D
c p OB BA OC OD OE
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
a
间的一个基底.如： a , b, c
a t1 e1 t2 e2 .
a
e2
e1
O
M
e2
a
N
C
e1
对向量 a 进行分解, OC OM ON t1 e1 t2 e2
5
类似地,有空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一向 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组
x, y, z
OF OE kOB kOA
O
k (OB OA) kAB 由①知 EG kAC
EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得：
A
H
D
C
B
G
F
13
面EG // 面AC
E
课外补充练习:
A 1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
(A)若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 (B)若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 (C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 (D)若 OP OA AB ，则P、A、B共线 2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， OM xOA ＋ OB ＋ OC , 则x的值为( D)
或对空间任意一点 O, 存在唯一有序实数对 ( x, y) , 使 OP OA x AB yAC .
O
C
P
A
B
2
另外,我们还发现: B 和直线 AB 外一点 O ,空间一点 对于两个不同点 A 、
P 满足关系式 OP xOA yOB ,则点 P 在直线 AB 上的充 要条件是 x y 1 . (课本 P95 思考)
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG. 证明： ∵四边形ABCD为 ① ∴AC AB AD （﹡）
D
O
EG OG OE kOC kOA
C
k (OC OA) kAC k ( AB AD) （﹡）代入 k (OB OA OD OA)
∵ OP xOA yOB zOC 可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
B、 C ⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A 、 ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP mAB nAC ∴ OP OA m(OB OA) n(OC OA) ∴ OP (1 m n)OA mOB nOC
∵ OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、 OB 、 OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
4
类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?
平面向量的基本定理: 如果 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,那么对于这 一平面内的任一向量 a , 存在唯一的一对实数 t1 , t2 使
15
补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、 AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN 上，且使MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG
O
解：在△OMG中，
C N
M
A
G
1 2 OG OM MG 2 OA 3 MN 1 2 OA (ON OM ) 2 3
C
AN=AD+DN=AD－ND 1 = 3 （2 b + c ) ∴MN= MA+AN
=
1 （－ 3
9
a + b + c )
练习 .空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c
点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则 MN=( ). 1 2 1 O (A) a － b + c
2 3 2 2 1 1 (B)－ 3 a + b + c 2 2 1 1 2 (C) 2 a + b － c 2 3 2 1 2 (D) 3 a + b － 2 c 3
A
H
B
G
OF OE OH OE E F EF EH 所以 E、F、G、H共面。
12
例2 已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明： ② EF