20172018学年高中数学人教A版选修23：阶段质量检测(一) 计数原理 Word版含解析.doc
2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列课件新人教A版选修2_3
(3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个 元素的一个全排列.即有 A������ ������ =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1, 就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连 乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.所以 n 个不同
2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 符号A������ ������ 表示. (2)排列数公式:A������ ������ =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
������-1 (4) ������!
������ -1
=
1 1 − . (������-1)! ������!
即A2 4 =12.
A������ 12
2.“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念 剖析不是同一个概念.“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数;“排列数”是指 “从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是一个数. 例如,从a,b,c中任取2个元素的排列有ab,ba,ac,ca,bc,cb,共6个,6就是 从a,b,c中任取2个元素的排列数. 归纳总结解简单的排列实际问题,首先必须认真分析理解题意, 看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.如果是的话,再进一 步分析,这里“n个不同的元素”指的是什么,以及“从n个不同的元素 中任取m个元素”的每一种排列对应的是什么情况,然后才能运用排 列数公式求解.
1.排列的相关概念 (1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同, 且元素的排列顺序也相同. 名师点拨1.排列的定义包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是 “按照一定的顺序排成一列”.研究的n个元素是互不相同的,取出的 m个元素也是不同的. 2.由相同排列的定义知,元素完全不同或元素部分相同或元素完 全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列.
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3：阶段质量检测(一)计数原理含解析
阶段质量检测（一）计数原理（时间120分钟满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( ）A．7 B．64C．12 D．81解析：选C 根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．2．若（1＋2)4＝a＋b错误!(a，b为有理数），则a＋b＝（) A．33 B．29C．23 D．19解析：选B ∵(1＋错误!）4＝C错误!（错误!）0＋C错误!（错误!)1＋C错误!（错误!）2＋C错误!(错误!)3＋C错误!（错误!)4＝1＋4错误!＋12＋8错误!＋4＝17＋12错误!，由已知,得17＋12错误!＝a＋b错误!，∴a＋b＝17＋12＝29．3．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )A．－720 B．720C．120 D．－120解析：选D 由T r＋1＝C错误!（－x)r＝（－1）r C错误!x r，因为r＝3，所以系数为（－1)3C错误!＝－120．4．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有( ）A．8种B．10种C．12种D．32种解析：选B 此人从A到B,路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示,横用1表示,则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C错误!＝10种．5．已知（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a0＋a1＋a2＋…＋a n＝16,则自然数n等于（)A．6 B．5C．4 D．3解析：选C 令x＝1,得2n＝16，则n＝4．故选C．6．从0，1,2,3，4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( ）A．300 B．216C．180 D．162解析:选C 由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C错误!C错误!C错误!A错误!＝108,（2)不选“0”,共有C错误!A错误!＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C．7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数共有( ) A．12 B．24C．36 D．48解析：选B 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A错误!种排法，故总的排法有2×2×A错误!＝24种．8．（2－错误!)8展开式中不含x4项的系数的和为（)A．－1 B．0C．1 D．2解析:选B （2－错误!)8展开式的通项为T r＋1＝C错误!·28－r·(－r＝C错误!·28－r·（－1)r·x错误!．由错误!＝4得r＝8．∴展开式中错误!)x4项的系数为C错误!＝1．又(2－错误!）8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x4项的系数的和为0．9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2 013是“六合数”）,则“六合数”中首位为2的“六合数"共有（) A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B 依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4．由4、0、0组成3个数分别为400、040、004;由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112．共计：3＋6＋3＋3＝15个．10．已知错误!8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（)A．28B．38C．1或38D．1或28解析：选C T r＋1＝（－a)r C错误!x8－2r,令8－2r＝0⇒r＝4．∴T5＝C错误!（－a）4＝1 120，∴a＝±2．当a＝2时,各项系数的和为（1－2）8＝1;当a＝－2时，各项系数的和为（1＋2）8＝38．11．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0）与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( ）A．66条B．72条C．74条D．78条解析：选B 先考虑x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有（1,7）(5,5）(7,1），依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C错误!＝66(条），过每一点的切线共有12条,又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．12．将二项式错误!8的展开式中所有项重新排成一列,有理式不相邻的排法种数为（)A．A错误!B．A错误!A错误!C．A66A错误!D．A错误!A错误!解析：选C 错误!8展开式的通项公式T r＋1＝C错误!·（错误!)8－r·错误!r＝C r，82r·x错误!，r＝0,1，2，…，8．当错误!为整数时,r＝0，4,8．∴展开式共有9项,其中有有理项3项，先排其余6项有A错误!种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A错误!种方法．∴共有A错误!A 错误!种排法．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x人，则C2，8－x·C1x＝30,即错误!·x＝30，解得x＝2或3．答案：2或314．若错误!n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于________．解析：二项式的通项为T r＋1＝C错误!(2x3)n－r·错误!r＝C错误!2n－r·x3n－错误!,令3n－错误!r＝0，即r＝错误!n，而r∈N＊．∴n为7的整数倍，即最小的正数n等于7．答案：715．用数字2，3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个．（用数字作答）解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1416．将5位志愿者分成3组,其中两组各2人，另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：先分组错误!，再把三组分配乘以A错误!得：错误!·A错误!＝90种．答案：90三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）已知A＝｛x｜1<log2x〈3,x∈N＊｝，B ＝{x｜｜x－6|〈3，x∈N*｝，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点?解：A＝{3，4,5，6,7｝，B＝{4,5,6，7,8}．从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种,故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．18．（本小题满分12分）已知（1＋2x）n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的5 6 ,试求展开式中二项式系数最大的项．解:二项式的通项为T k＋1＝C错误!（2k）x错误!由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的错误!，∴错误!解得n＝7．∴展开式中二项式系数最大两项是：T4＝C错误!（2错误!）3＝280x错误!与T5＝C错误!（2错误!）4＝560x2．19．（本小题满分12分）10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上,有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A错误!＝1 680（或C错误!·A错误!)（种）．(2）分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上,有A2，6种方法,再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A48种方法,共有A错误!·A错误!＝50 400（或C错误!·A错误!）（种)．20．(本小题满分12分）已知错误!n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1）求n；(2）求第三项的二项式系数及项的系数;(3)求含x 项的系数．解：（1）∵前三项系数1，错误!C 错误!，错误!C 错误!成等差数列． ∴2·12C 1，n ＝1＋错误!C 错误!，即n 2－9n ＋8＝0． ∴n ＝8或n ＝1(舍）．（2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(错误!)8－r .错误!r ＝错误!r .C 错误!.x 4－错误!r ，r ＝0，1， (8)∴第三项的二项式系数为C 错误!＝28．第三项的系数为错误!2·C 错误!＝7．（3)令4－34r ＝1，得r ＝4， ∴含x 项的系数为错误!4·C 错误!＝错误!．21．(本小题满分12分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法?解：分为两类： 第一类：若1,3同色,则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法（与1相同)，4有4种涂法．故N1＝5×4×1×4＝80．第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．故N2＝5×4×3×3＝180种．综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．22．（本小题满分12分）7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种？（1）两名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；(3）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：（1)两名女生站在一起有站法A错误!种，视为一种元素与其余5人全排，有A错误!种排法．故有不同站法有A错误!·A错误!＝1 440种．（2）先站老师和女生，有站法A错误!种,再在老师和女生站位的间隔（含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A错误!种．故共有不同站法A错误!·A错误!＝144种．（3）7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A错误!种,而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2×错误!学必求其心得，业必贵于专精＝420种．（4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解:①老师站两端之一，另一端由男生站，有A错误!·A错误!·A错误!种站法,②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一,有A错误!·A 错误!·A错误!种站法．故共有不同站法共有A错误!·A错误!·A错误!＋A 错误!·A错误!·A错误!＝2 112种．。
高中数学人教A版选修2-3 第一章 计数原理 1.1-第2课时学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．名同学去听同时进行的个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是( )．．．×．×××【解析】名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有种选择，由分步乘法计数原理知共有××××＝种选择．【答案】．已知集合＝{，－}，＝{－}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )．．．．【解析】分两类．第一类：中的元素作横坐标，中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有×＝(个)；第二类：中的元素作横坐标，中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有×＝(个)．由分类加法计数原理，共有＋＝(个)点在第一、二象限．【答案】．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有( )．种．种．种．种【解析】设四张贺卡分别记为，，，.由题意，某人(不妨设卡的供卡人)取卡的情况有种，据此将卡的分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复或遗漏，我们用“树状图”表示如下：所以共有种不同的分配方式，故选.【答案】.将，…，这个数字填在如图的个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当固定在图--中的位置时，填写空格的方法为( )．种．种．种．种【解析】因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，只有一种填法，只能填在右上角或左下角，填好后与之相邻的空格可填任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有×＝种结果，故选.【答案】．体育老师把个相同的足球放入编号为的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有( ) 【导学号：】．种．种．种．种【解析】首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有种结果；第二种方法，可以把球分成两份，和，这两份在三个位置，有×＝种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有种结果．综上可知共有＋＋＝种结果．【答案】二、填空题．小张正在玩“农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这种种子中选出种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有种．【解析】当第一块地种茄子时，有××＝种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有××＝种不同的种法，故共有种不同的种植方案．。
2018秋新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 检测(B)
������
-
1 ������
6.Tr+1=������6������(
������)6-r·
-
1 ������
������
=(-1)
6 - ������ ������
r������6������������ 2 ·������ - 2=(-1)r������6������x3-r.
令 3-r=0,得 r=3,此时 T4=(-1)3������36=-20.
C.30 个
D.35 个
解析:因为 a,b 互不相等且 a+bi 为虚数,所以 b 只能从 1,2,3,4,5,6 中选一个,共 6 种方法,a 从剩余的 6
个数中选一个有 6 种方法,根据分步乘法计数原理知,虚数的个数为 6×6=36.
答案:A
2.已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=
-
������ ������
������
=
������8������·(-1)r·������8
-
������
-
������ ������
2������
-
82
������
,
������
8 - ������
因此 8-r-2=2,r- 2 =2,即 r=4.
故
x2y2
的系数为������48
×
8
(-1)4=4
所以 A=(-1)9������195=-������165=-5 005.
答案:-5 005
三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
人教A版数学选修2—3《计数原理》简介
一
原理 得 出排 列 数 公 式 ：应 用 分 步计 数原 理 和 排列 数公 式推 出组 合 数 公 式 。 于排 列 与组 合 ， 要 根 据 一 类 问 对 一 题 的特 点 和 规 律寻 找简 便 的计 数 方 法 ，就 像 乘 法做 为
加法 的简 便 运 算 一样 ：二 要 注 意 应 用两 个 计 数原 理 思
考 和 解 决 问题 。
、
内容安排及说明
４二 项 式 定 理 的 学 习 过程 是 应 用 两 个 计 数 原 理 解 ． 决 问题 的 典 型过 程 ， 基 本 思 路 是 “ 其 先猜 后证 ” 与 以往 。
教 材 比较 ，新 教 材 中的 猜 想 不 是 通过 对 （ ＋ 呻 ｎ ａ ｂ） 取 １ ２ ３ ４的展 开 式 的 形式 特 征 的 分析 、 归纳 后 得 出 ， ，， ， 而 是 直 接 应 用 两 个计 数原 理 对 （ ＋ ： 开 式 的 项 的 特征 ａ ｂ） 展 进 行 分析 。这 个 分 析 过 程 不仅 使 学 生 获 得 二项 式 的 展 开 式 与两 个 计 数 原 理 之 间 的 内在 联 系 ，也 为证 明 猜 想
的两 种 基 本 思 想 方法 。 对 一 个 复 杂 的计 数 问题 时 ， 面 人
们 往 往 通 过 分 类或 分 步 将 它 分解 为若 干 个 简 单计 数 问 题， 在解 决 这 些 简 单 问题 的基 础 上 ， 它 们 整 合起 来 而 将 得 到 原 问题 的答 案 ，这 是 在 日常生 活 中 经 常使 用 的思 想 方 法 。 过 对 复 杂计 数 问 题 的 分解 ， 综合 问题 化 解 通 将 为 单 ～ 问题 的组 合 ， 对 单 一 问题 各 个 击 破 ， 以达 到 再 可
高中数学人教A版选修2-3 第一章 计数原理 1.1-第2课时学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是()A．54B．45C．5×4×3×2 D．5×4【解析】5名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有4种选择，由分步乘法计数原理知共有4×4×4×4×4＝45种选择．【答案】 B2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18B．17C．16D．10【解析】分两类．第一类：M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有3×3＝9(个)；第二类：N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有4×2＝8(个)．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17(个)点在第一、二象限．【答案】 B3．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A．12种B．9种C．8种D．6种【解析】设四张贺卡分别记为A，B，C，D.由题意，某人(不妨设A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复或遗漏，我们用“树状图”表示如下：BADCCDADAC CADBDABDBA DABCCABCBA所以共有9种不同的分配方式，故选B.【答案】 B4.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图1-1-8中的位置时，填写空格的方法为()A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，故选A.【答案】 A5．体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有() 【导学号：97270006】A．8种B．10种C．12种D．16种【解析】首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．【答案】 B二、填空题6．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．【解析】当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．【答案】487．从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax＋By＋C ＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．【解析】因为过原点的直线常数项为0，所以C＝0，从集合中的6个非零元素中任取一个作为系数A，有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数B，有5种方法，由分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有1×6×5＝30(条)．【答案】308．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．【解析】分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．【答案】20三、解答题9．如图1-1-9所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同的涂色方法共有多少种(用数字作答)．图1-1-9【解】不妨将图中的4个格子依次编号为①②③④，当①③同色时，有6×5×1×5＝150种方法；当①③异色时，有6×5×4×4＝480种方法．所以共有150＋480＝630种方法．10．用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列．(1)求这个数列的项数；(2)求这个数列中的第89项的值．【解】(1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确定个位，因此要分步相乘．第一步：确定百位数，有6种方法．第二步：确定十位数，有5种方法．第三步：确定个位数，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120个三位数．所以这个数列的项数为120.(2)这个数列中，百位是1,2,3,4的共有4×5×4＝80个，百位是5的三位数中，十位是1或2的有4＋4＝8个，故第88个为526，故从小到大第89项为531.[能力提升]1．(2016·菏泽检测)如图1-1-10，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()图1-1-10A．96 B．84 C．60 D．48【解析】可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．由分类加法计数原理，不同的种法种数为36＋48＝84.【答案】 B2．两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局数的不同视为不同情形)共有() A．10种B．15种C．20种D．30种【解析】由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局．当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2×6＝12(种)，综上可知，共有2＋6＋12＝20(种)．故选C.【答案】 C3．在一次运动会选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．【解析】分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24种．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．所以安排这8人的方式有24×120＝2 880种．【答案】 2 8804．(2016·杭州外国语学校检测)给出一个正五棱柱，用3种颜色给其10个顶点染色，要求各侧棱的两个端点不同色，有几种染色方案？【解】分两步，先给上底面的5个顶点染色，每个顶点都有3种方法，共有35种方法，再给下底面的5个顶点染色，因为各侧棱两个端点不同色，所以每个顶点有2种方法，共有25种方法，根据分步乘法计数原理，共有35·25＝7 776(种)染色方案.。
高中数学 第1章 计数原理阶段性测试题一 新人教A版高二选修2-3数学试题
第一章 计数原理(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数a ＝2－2，则a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝( ) A ．32 B ．－32 C ．1 024 D ．512解析：由题意得a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝(a －2)10，又a ＝2－2，所以原式＝(2－2－2)10＝32.答案：A2．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45解析：依题意知，a 8＝C 81022(－1)8＝180，故选A. 答案：A3．(2019·某某省八校高三联考)某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天，若甲、乙两人需安排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有( )A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种解析：因为甲、乙两人都不排在周三，且安排在相邻两天，所以分两类：①甲、乙两人安排在周一，周二，则有A 22·A 44＝48种；②甲、乙两人安排在周四，周五，周六中的相邻两天，则有2A 22·A 44＝96种，则共有48＋96＝144(种)．答案：B4．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种解析：不同的分派方法⎝ ⎛⎭⎪⎫C 25C 23A 22＋C 15C 14A 22A 33＝150种，故选A.答案：A5．(2019·某某市、某某市部分学校联合模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋228的展开式中x 6的系数为562，则⎠⎛1a (x －cos πx )d x ＝( )A ．2B ．1C.32D.12 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫22＋ax 28的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫228－r (ax 2)r ，∵2r ＝6，∴r ＝3.令r ＝3，则C 38×⎝⎛⎭⎪⎫225×a 3＝562，解得a ＝2，所以⎠⎛1a (x －cos πx )dx ＝⎠⎛12(x －cos πx )dx答案：C6．已知6C x －7x －3＝10A 2x －4，则x 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：由6C x －7x －3＝10A 2x －4，得6·(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝10·(x －4)(x －5)．∴x 2－9x －22＝0，∴x ＝11或x ＝－2(舍)． 答案：A7．(2019·某某一中高二月考)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数为( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：因为一种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，所以分两类，第一类，涂前三个圆用三种颜色，有A 33＝6种涂法，则涂后三个圆有C 12C 12＝4种涂法，共有6×4＝24种涂法；第二类，涂前三个圆用两种颜色，则涂后三个圆也用两种颜色，共有C 13C 12＝6种涂法．综上，可得不同的涂色方案的种数为24＋6＝30.答案：C8．设⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 展开式的各项系数之和为M ，其二项式系数之和为N ，若M ＋N ＝272，则n 的值为( )A ．1B ．4C ．3 D.12解析：由题意得M ＝4n ，N ＝2n. ∵M ＋N ＝272，∴4n ＋2n＝272，得n ＝4. 答案：B9．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．C 28A 23 B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25解析：先从后排中抽出2人有C 28种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，即抽出的2人插入前排为A 26.共有C 28A 26种调整方法．故选C.答案：C10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种解析：首先，甲、乙两人同选1门，有4种方法；其次，甲从剩下的3门课中选1门，有3种方法；最后，乙从剩下的2门课中选1门，有2种方法．所以共有4×3×2＝24种．答案：C11．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)，且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝( )A ．250B ．－250C ．256D ．－150解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6或3n ＋1＋n ＋6＝23，∴n ＝52(舍去)或n ＝4.令x＝－1，则(3－x )n＝(3＋1)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝256.∴a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝256.故选C.答案：C12．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为( )A ．1 320B ．1 332C ．2 532D ．2 544解析：共组成A 33＋A 23＝12个这样的三位数，个位数有4个3,4个2 ,4个1，和为24；十位数有2个3,2个2,2个1,6个0，和为12；百位数有4个1,4个2,4个3，和为24，∴这些位数的和为2 544，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2019·某某市高三质量预测)已知⎝⎛⎭⎪⎫1x＋x 2n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为_______________________________________．解析：令x ＝1，得2n ＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 26的展开式的通项T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r x 2r ＝C r6x 3r －6，令3r －6＝3，得r ＝3，故x 3的系数为C 36＝20.答案：2014．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析：由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧n a ＝3，n (n －1)a 2＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9，a ＝3.答案：315．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有________种不同的取法(用数字作答)．解析：依题意，取盒子中6个小球，可以看作6个小球排成一排，在中间插入挡板，由于每次至少取出一个球，所以最多可以插入5个挡板，即C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝25＝32.答案：3216．(2019·某某一中高二月考)将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限)，每人只参加一项，则共有x 种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人，则共有y 种不同的方案，其中x ＋y 的值为________．解析：6名同学报名参加跳绳、接力、投篮三项比赛，每人只参加一项，每人有3种报名方法，根据分步乘法计数原理可得x ＝36＝729.而每项比赛至少要安排一人时，先分组有C 16C 15C 44A 22＋C 16C 25C 33＋C 26C 24C 22A 33＝90(种)，再排列有A 33＝6(种)，所以y ＝90×6＝540.所以x ＋y ＝1 269. 答案：1 269三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)为支援西部开发，需要从8名男干部和2名女干部中任选4人组成支援小组到西部某地支边，要求男干部不少于3人，问有多少种选派方案．解：解法一：男干部有四人时有C 48种选法；男干部有3人时有C 38C 12种选法，故适合条件的选派方案有C 48＋C 38C 12＝182种．解法二：从10名干部中选4名减去2名女干部全被选中的方案数，共有C 410－C 28C 22＝182种．18．(12分)已知(3x 2＋3x )n展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大4 032. (1)求展开式中含x 4的项；(2)求展开式中二项式系数最大的项．解：(1)令x ＝1得展开式各项系数和为4n ，而二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n， 由题意得4n －2n ＝4 032，即(2n －64)(2n ＋63)＝0，得2n ＝64或2n＝－63， 又∵n ∈N *，∴2n＝64，故n ＝6，二项展开式的第r ＋1项为，令12＋r 3＝4，得r ＝0，∴展开式中含x 4的项为T 1＝30·C 06·x 4＝x 4. (2)∵n ＝6，∴展开式中第4项的二项式系数最大，19．(12分)2名女生和4名男生外出参加比赛活动．(1)他们排成一列照相时，若2名女生必须在一起，有多少种排列方法？ (2)他们排成一列照相时，若2名女生不相邻，有多少种排列方法？(3)从这6名学生中挑选3人担任裁判，至少要有1名女生，则有多少种选法？ 解：(1)有2A 55＝240种． (2)有A 44A 25＝480种． (3)有C 36－C 34＝16种．20．(12分)求证：1＋4C1n＋7C2n＋10C3n＋…＋(3n＋1)C n n＝(3n＋2)·2n－1.证明：设S＝1＋4C1n＋7C2n＋10C3n＋…＋(3n＋1)C n n，①则S＝(3n＋1)C n n＋(3n－2)C n－1n＋…＋4C1n＋1.②①＋②得2S＝(3n＋2)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝(3n＋2)·2n，∴S＝(3n＋2)·2n－1.21．(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球．(1)全部投入4个不同的盒子里；(2)放进不同的4个盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒；各有多少种不同的放法？解：(1)由分步计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进不同的4个盒子里(每盒一个)共有A45种放法．(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C45C14＝20种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C25A44种不同的放法．22．(12分)设x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是关于x的多项式，a，b∈R.(1)求a，b的值；(2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余数．解：(1)由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴C010(x－1)10＋C110(x－1)9＋…＋C810(x－1)2＋C910(x－1)＋C1010－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴[C010(x－1)8＋C110(x－1)7＋…＋C810](x－1)2＋10x－12＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴10x－12＝ax＋b.∴a＝10，b＝－12.(2)∵ax＋b＝28，即10x－12＝28，∴x＝4，∴x10－3＝410－3＝(3＋1)10－3＝C010×310＋C110×39＋…＋C910×3＋C1010－3＝34×(C010×36＋C110×35＋…＋C610)＋40×34＋5×34＋28＝81(C010×36＋C110×35＋…＋C610＋45)＋28，∴所求的余数为28.。
高中数学第一章计数原理章末检测新人教A版选修2-3(2021年整理)
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第一章计数原理章末检测时间：120分钟满分： 150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( ）A．24种B．18种C．12种D．6种解析：因为黄瓜必须种植,在余下的3种蔬菜品种中再选出两种进行排列，共有C2，3A错误!＝18种．故选B。
答案：B2．若A3，n＝12C错误!，则n等于（）A．8 B．5或6C．3或4 D．4解析：A3n＝n(n－1）(n－2),C错误!＝错误!n(n－1),∴n（n－1)（n－2)＝6n(n－1)，又n∈N＊,且n≥3，解得n＝8.答案：A3．关于（a－b）10的说法,错误的是( ）A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析:由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的．答案:C4．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是（）A．8 B．122017-2018学年高中数学第一章计数原理章末检测新人教A版选修2-3C．16 D．24解析：∵A错误!＝n（n－1)＝132，∴n＝12（n＝－11舍去)．故选B。
2017-2018学年高中数学选修2-3教材用书：第一章计数原理1.3-2“杨辉三角”与二项式
2017-2018学年⾼中数学选修2-3教材⽤书：第⼀章计数原理1.3-2“杨辉三⾓”与⼆项式1．3.2 “杨辉三⾓”与⼆项式系数的性质(a＋b)n的展开式的⼆次项系数，当n取正整数时可以表⽰成如下形式：问题1：从上⾯的表⽰形式可以直观地看出什么规律？提⽰：在同⼀⾏中，每⾏两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两⾏中，除1以外的每⼀个数都等于它“肩上”两个数的和．问题2：计算每⼀⾏的系数和，你⼜能看出什么规律？提⽰：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n问题3：⼆项式系数的最⼤值有何规律？提⽰：n＝2,4,6时，中间⼀项最⼤；n＝3,5时，中间两项最⼤．⼆项式系数的性质1．求⼆项式系数最⼤的项时，要特别注意n的奇偶性，n为奇数时，中间两项的⼆项式系数最⼤；n为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤．2．奇数项的⼆项式系数和与偶数项的⼆项式系数和相等，但这并不意味着等号两边⼆项式系数的个数相同．当n为偶数时，奇数项的⼆项式系数多⼀个；当n为奇数时，奇数项的⼆项式系数与偶数项的⼆项式系数个数相同.如图所⽰，在“杨辉三⾓”中，从1开始箭头所指数字组成⼀个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S19的值．S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋2＋220＝274.解决与“杨辉三⾓”有关问题的⼀般思路如图，在由⼆项式系数所构成的“杨辉三⾓”中，第________⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3.第0⾏ 1第1⾏ 1 1第2⾏ 1 2 1第3⾏ 1 3 3 1第4⾏ 1 4 6 4 1第5⾏ 1 5 10 10 5 1……解析：由“杨辉三⾓”知，第1⾏中的数是C01，C11；第2⾏中的数是C02，C12，C22；第3⾏中的数是C03，C13，C23，C33；…；第n⾏中的数是C0n，C1n，C2n，…，C n n.设第n⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解得n＝34.答案：34设(1－2x)5012345求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；(2)a1＋a3＋a5的值；(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值．记f(x)＝(1－2x)5.(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2.(2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1＋a3＋a5＝12＝12(－1－35)＝－122.(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(－1)－f(0)＝35－1＝242.“赋值法”是解决⼆项式系数问题常⽤的⽅法，根据题⽬要求，灵活赋予字母所取的不同值．⼀般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10.(1)求a0＋a1＋…＋a10；(2)求a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10.解：(1)令x＋1＝1，即令x＝0，得0＝a0＋a1×1＋…＋a10×110，得a0＋a1＋…＋a10＝0.(2)令x＋1＝－1，即令x＝－2，得(－2)3＋(－2)10＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝1 016.已知x 23＋3x 2n 的展开式中，各项系数和与它的⼆项式系数和的⽐为32.(1)求展开式中⼆项式系数最⼤的项； (2)求展开式中系数最⼤的项．令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. ⼜展开式中⼆项式系数和为2n，∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴⼆项式系数最⼤的项为第3,4两项，∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最⼤，则由T k ＋1＝C k5(x 23)5－k(3x 2)k ＝3k C k5x1043k +，得3k C k5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，k ∈N ，∴72≤k ≤92，∴k ＝4，即展开式中系数最⼤的项为T 5＝C 45x 23·(3x 2)4＝405x263.1．求⼆项式系数最⼤的项，根据⼆项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的⼆项式系数最⼤；当n 为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤．2．求展开式中系数最⼤项与⼆项式系数最⼤项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，⼀般采⽤列不等式组、解不等式的⽅法求得．x －2x 28的展开式中：(1)求⼆项式系数最⼤的项． (2)系数的绝对值最⼤的项是第⼏项？解：(1)⼆项式系数最⼤的项为中间项，即为第5项．故T 5＝C 4 8·24·x2－8＝1 120x －6.(2)因T k ＋1＝C k 8·(x )8－k－2x 2k ＝(－1)k ·C k 8·2k ·x 4－5k 2.设第k ＋1项系数的绝对值最⼤，则?C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，C k 8·2k ≥C k －18·2k －1，即18－k ≥2k ＋1，2k ≥19－k .整理得k ≥5，k ≤6.于是k ＝5或6.故系数的绝对值最⼤的项是第6项和第7项．4.混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项已知(2x －1)n的展开式中，奇次项系数的和⽐偶次项系数的和⼩38，求C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值．设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…，由已知得B －A ＝38令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ，即B －A ＝(－3)n，所以(－3)n ＝38＝(－3)8，所以n ＝8，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1＝255.1．求解本题易犯下列问题：⼀是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项．⼆是错误地认为－38＝(－3)8.三是把C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 看成⼆项展开式各项⼆项式系数和，忽略了C 0n .2．解答此类问题应掌握(a ＋b )n 的展开式的各个⼆项式系数的和为2n，且奇数项⼆项式系数的和与偶数项⼆项式系数的和都等于2n －1.已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于________．解析：依题可得a 0＋a 2＋a 4＝－(a 1＋a 3＋a 5)＝16，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)＝－256.答案：－2561．(1＋x)2n＋1的展开式中，⼆项式系数最⼤的项所在项数是( )A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析：选C 该式展开共2n＋2项，中间有两项，第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为⼆项式系数最⼤的项．2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于( )A．64 B．32C．63 D．31解析：选B C0n＋2C1n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32.3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( ) A．32 B．1C．－243 D．1或－243解析：选B (a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k·C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25 a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.4．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中⼆项式系数的和，则n的值为________．解析：(7a＋b)10的展开式中⼆项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x ＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.答案：55．求(1－x)8的展开式中：(1)⼆项式系数最⼤的项；(2)系数最⼩的项．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由⼆项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间⼀项(即第5项)的⼆项式系数最⼤．该项为T5＝C48(－x)4＝70x4.(2)⼆项展开式系数的最⼩值应在各负项中确定最⼩者，即第4项和第6项系数相等且最⼩，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.⼀、选择题1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于( )A．180 B．－180C．45 D．－45解析：选A a8＝C810·22＝180.2．在(a－b)20的⼆项展开式中，⼆项式系数与第6项的⼆项式系数相同的项是( ) A．第15项 B．第16项C．第17项 D．第18项解析：选B 第6项的⼆项式系数为C520，⼜C1520＝C520，所以第16项符合条件．3．“杨辉三⾓”如图所⽰，“杨辉三⾓”中的第5⾏除两端数字1外，均能被 5整除，则具有类似性质的⾏是( )1第1⾏ 1 1第2⾏ 1 2 1第3⾏ 1 3 3 1第4⾏ 1 4 6 4 1第5⾏ 1 5 10 10 5 1……A．第6⾏ B．第7⾏C．第8⾏ D．第9⾏解析：选B 由题意，第6⾏为1 6 15 20 156 1，第7⾏为17 21 35 35 21 7 1，故第7⾏除去两端数字1外，均能被7整除．4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的⼆项式系数之和为1 024B．展开式中的第6项的⼆项式系数最⼤C．展开式中第5项或第7项的⼆项式系数最⼤D．展开式中第6项的系数最⼩解析：选C 根据⼆项式系数的性质进⾏判断，由⼆项式系数的性质知：⼆项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，⼆项式系数最⼤的项是中间⼀项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最⼩的．5．在(x－2)2 016的⼆项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S 等于( )A．23 023B．－23 023C ．23 024D ．－23 024解析：选B 因为S ＝x －2 2 016－x ＋22 0162，当x ＝2时，S ＝－23 0242＝－23 023.⼆、填空题6．在(1＋2x )7的展开式中，C 27是第________项的⼆项式系数，第3项的系数是________．解析：由⼆项式系数的定义知C k n 为第k ＋1项的系数，∴C 2 7为第3项的⼆项式系数．∵T 2＋1＝C 27·(2x )2＝22·C 27x 2，∴第3项的系数为22·C 27＝84. 答案：3 847．(1－3a ＋2b )5的展开式中不含b 的项的系数之和是________．解析：令a ＝1，b ＝0，即得不含b 的项的系数和为(1－3)5＝－32. 答案：－328．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1·x ＋a 2·x 2＋…＋a 50·x 50，则a 3等于________．解析：a 3＝C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 44＋C 34＋…＋C 350＝C 45＋C 35＋…＋C 350＝C 451. 答案：C 451 三、解答题9．(1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中⼆项式系数最⼤的项和系数最⼤的项．解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26n ＝8.∴(1＋2x )n的展开式中，⼆项式系数最⼤的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最⼤，则有?C k 82k≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1.∴5≤k ≤6.⼜∵k ∈{0,1,2，…，8}，∴k ＝5或k ＝6. ∴系数最⼤的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n.(1)当m ＝n ＝7时，f (x )＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (2)当m ＝n 时，f (x )展开式中x 2的系数是20，求n 的值；(3)f (x )展开式中x 的系数是19，当m ，n 变化时，求x 2系数的最⼩值．解：(1)赋值法：分别令x ＝1，x ＝－1，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝128. (2)T 3＝2C 2n x 2＝20x 2，∴n ＝5.(3)m ＋n ＝19，x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12m (m －1)＋12n ·(n －1)＝12＝171－mn ＝171－(19－n )n ＝? ????n －1922＋3234，所以，当n ＝10或n ＝9时，f (x )展开式中x 2的系数最⼩值为81.11．(2x －3y )9展开式中，求： (1)⼆项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)⼆项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)令x ＝1，y ＝1，得各项系数之和a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59，⼜a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，故所有奇数项系数之和为59－12.(4)∵T k ＋1＝C k9(2x )9－k(－3y )k＝(－1)k 29－k·3k C k 9x9－k·y k，∴a 1<0，a 3<0，a 5<0，a 7<0，a 9<0.∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.。
2018秋新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 检测(A)
第一章检测(A)(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开后的不同项数有( )A.9项B.12项C.18项D.24项:第一步,从(x3+x2+x+1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y2+y+1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z+1)中任取一项有2种方法.根据分步乘法计数原理得共有4×3×2=24项.2.下列等式不正确的是( )A.C mn=C n-m nB.C mm+C m-1m=C mm+1C=25 .C15+C25+C35+C45+C55D.Cmn+1=C m-1n+C mn-1+C m-1n-1:=25,故C不正确,而A,B,D正确.C05+C15+C25+C35+C45+C553.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有( )A.8种B.10种C.12种D.32种4.将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有( )A.252种B.112种C.70种D.56种:甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人,所以不同的分配方案共有=35×2+21×2=112种.C37A22+C27A225.满足a ,b ∈{-1,0,1,2},且关于x 的方程ax 2+2x+b=0有实数解的有序数对(a ,b )的个数为( )A.14B.13C.12D.10a=0时,方程变为2x+b=0,则b 为-1,0,1,2都有解;当a ≠0时,若方程ax 2+2x+b=0有实数解,则Δ=22-4ab ≥0,即ab ≤1.当a=-1时,b 可取-1,0,1,2.当a=1时,b 可取-1,0,1.当a=2时,b 可取-1,0,故满足条件的有序数对(a ,b )的个数为4+4+3+2=13.6.若x+x 2+…+x n 能被7整除,则x ,n 的值可能为( )C 1n C 2n C n n A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5x+x 2+…+x n =(1+x )n -1,分别将选项A,B,C,D 中的值代入检验知,仅有选项C 适合.C 1n C 2n C n n7.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279=900,而无重复数字的三位数的个数为=648,故所C 19C 110C 110C 19C 19C 18求个数为900-648=252,应选B .8.在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10x 3的项是由(1+x )6展开式中含x 2的项与x 相乘得到,又(1+x )6展开式中含x 2的项的系数为=15,故含x 3项的系数是15.C 269.设(1+x+x 2)n =a 0+a 1x+…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为( )A.3nB.3n -2C D .3n -12.3n +12x=0,得a 0=1;①令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 2n =1;②令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2n =3n ,③②+③得2(a 0+a 2+…+a 2n )=3n +1,故a 0+a 2+a 4+…+a 2n =,3n +12再由①得a 2+a 4+…+a 2n =3n -12.10.从正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为( )A -12B -8.C 48.C 48C -6D -4.C 48.C 486个面和6个对角面中,每个面上的四个点不能构成四面体.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,从A 处到B 处共有 条不同的线路可通电.,上线路中有3条,中线路中有一条,下线路中有2×2=4条.根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8条不同的线路.12.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答):第一类,7级台阶上每一级只站一人,则有种;第二类,若有一级台阶有2人,另一级A 37有1人,则共有种.因此共有不同的站法种数是=336.C 13A 27A 37+C 13A 2713.若的展开式中x 4的系数为7,则实数a= .(x +a 3x )8的通项为x 8-r a r ()r(x +a 3x )8C r 8x -13=a r x 8-r a r ,C r 8x -r 3=C r 8x 8-r -r 3∴令8-r-=4,r 3解得r=3.a 3=7,得a=∴C 3812.14.-2+4-8+…+(-217)= .C 017C 117C 217C 317C 1717=(1-2)17=(-1)17=-1.115.若4名学生和3名教师站在一排照相,则其中恰好有2名教师相邻的站法有 .(用数字作答)3名教师中任取2名作为一个整体排列,共有种方法,然后排4名学生共有种方法,把2A 23A 44名教师组成的整体和另外一名教师安排在4名学生隔成的五个空中,有种排法,故共有不同的站法A 25种数为=2 880.A 23·A 44·A 25种三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设集合M={-2,-1,0,1,2,3},P (a ,b )是坐标平面上的点,a ,b ∈M.(1)P 可以表示多少个第四象限内的点?(2)P 可以表示多少个不在直线y=x 上的点?分两步,第一步确定横坐标有3种,第二步确定纵坐标有2种,根据分步乘法计数原理得点的个数为N=3×2=6.(2)分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有5种,根据分步乘法计数原理得点的个数为N=6×5=30.17.(8分)球台上有4个黄球、6个红球,击黄球入袋记2分,红球入袋记1分.求将此10球中的4球击入袋中,但总分不低于5分的击球方法有多少种?x 个,红球y 个符合要求.则有{x +y =4,2x +y ≥5,x ,y ∈N .解得{x =1,y =3或{x =2,y =2或{x =3,y =1或{x =4,y =0.对应每组解(x ,y ),击球方法数分别为,所以不同的击球方法种数为C 14C 36,C 24C 26,C 34C 16,C 44C 06=195.C 14C 36+C 24C 26+C 34C 16+C 44C 0618.(9分)有大小、形状、质地相同的6个球,其中3个一样的黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?1个、2个、3个黑球进行分类求解.:(1)若取1个黑球,和另三个球排4个位置,不同的排法种数为=24;A 44(2)若取2个黑球,从另三个球中选2个排4个位置,2个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为=36;C 23A 24(3)若取3个黑球,从另三个球中选 1个排4个位置,3个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为=12.C 13A 14综上,不同的排法种数为24+36+12=72.19.(10分)求证:(1)4×6n +5n+1-9是20的倍数(n ∈N *);(2)3n -2n ≥n ·2n-1(n ∈N *).×6n +5n+1-9=4×(5+1)n +5×(4+1)n -9=4(5n +5n-1+…+5+1)+5(4n +4n-C 0n C 1n C n -1nC 0n C 1n 1+…+4+1)-9=20[(5n-1+5n-2+…+)+(4n-1+4n-2+…+)],故结论成立.C n -1n C 0n C 1n C n -1n C 0n C 1n C n -1n (2)∵3n -2n ≥n ·2n-1⇔3n ≥n ·2n-1+2n =2n-1(n+2),①当n=1时,①式左边=31=3,右边=21-1×(1+2)=3,∴3n =2n-1(n+2).当n ≥2时,3n =(2+1)n =2n +2n-1+2n-2+…+>2n +n ·2n-1=2n-1(2+n ).C 1n C 2n C n n 综上,对一切n ∈N *,不等式3n ≥2n-1(2+n )成立,即3n -2n ≥n ·2n-1(n ∈N *)恒成立.20.(10分)已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(x +12x )n (1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.,利用等差中项的性质即可求出n 的值;所谓系数最大的项,即只要某一项的系数不小于与它相邻的两项的系数即可,这是由二项式系数的增减性决定的.由题意,得=2,C 0n +14×C 2n ×12×C 1n 即n 2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).(2)设第r+1项的系数最大,则{12r C r 8≥12r +1C r +18,12r C r 8≥12r -1C r -18,即{18-r ≥12(r +1),12r ≥19-r ,解得r=2或r=3.所以系数最大的项为T 3=7x 5,T 4=7x 72.。
2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2课件新人教A版选修2-3
＝ ( C 2 2 ＋ C 1 2 ＋ C 1 3 ＋ … ＋ C 1 9 － C 2 2 ) ＋ ( C 3 3 ＋ C 3 2 ＋ … ＋ C 9 2 ) ＝ C120＋ C130－ 1＝ 164.
(2)由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,即
二项展开式的第14项和第15项的系数比为
C.0
D.2
(2)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,(n∈N*),且a2=60. ①求n的值;
②求
的值.
a21a 22 2a 23 3 1na 2n n
【解题指南】(1)对x赋值1,即可求得.
(2)①由a2=60,求出n的值.
②令x=0,求出a0,再令x=-1 即可求得. 2
这C 正0 n 1 好C 是1 n第C nn 2 +1 2C 条3 n 细2 斜C 4 n 线 3 上… 各数之和.
类型二 求展开式中的系数和
【典例2】(1)(2017·济宁高二检测)如果(1-2x)7=a0+
a1x+a2x2+…+a7x7,那么a0+a1+…+a7的值等于 ( )
A.-1
B.-2
【解题指南】(1)该数列从第3项开始每隔一项等于前 两项的和,解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的 位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,然后利 用组合数的性质求和. (2)可联系对应二项式系数的位置求解.
【解析】(1)选C.由图知,数列中的首项是
C
,第2 2项
2
是 ,第3项是
项是C 12 ,
答案:7
C
6 13
6.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求a1+a3+a5.
高中数学选修2-3检测：阶段质量检测一) 计数原理含解析
阶段质量检测(一) 计数原理(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1．若C 2m ＝28，则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．62．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种3．关于(a －b )10的说法，错误的是( )A ．展开式中的二项式系数之和为1 024B ．展开式中第6项的二项式系数最大C ．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小4．(辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!5．5个人排队，其中甲、乙、丙3人按甲、乙、丙的顺序排队的方法有( )A ．12B ．20C ．16D ．1206．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4107．在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3B ．4C ．5D ．68．在(1＋x )n 的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则(1－x 2)n 等于( )A ．0B ．pqC ．p 2－q 2D ．p 2＋q 29．形如45 132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为( )A ．20B ．18C ．16D ．1110．(湖北高考)设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．(福建高考)(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________.12．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．13．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．14．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N ＋)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)有6个球，其中3个一样的黑球，红、白、蓝球各1个．现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？16．(本小题满分12分)已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －12 3x n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．17．(本小题满分12分)如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A ，B 的六个点C 1，C 2，C 3，C 4，C 5，C 6，直径AB 上有异于A ，B 的四个点D 1，D 2，D 3，D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A ，B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？18．(本小题满分14分)已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．答 案1．选B C 2m ＝m (m －1)2×1＝28(m >2，且m ∈N ＋)，解得m ＝8. 2．选C 四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.3．选C 由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A 正确；当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．4．选C 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A 33(A 33)3＝(3！)4.5．选B 甲、乙、丙排好后，把其余2人插入，共有4×5种插入方法，即有20种排法．6．选D ∵T k ＋1＝C k 10x 10－k (－3)k .令10－k ＝6，解得k ＝4，∴系数为(－3)4C 410＝9C 410.7．选D 通项T k ＋1＝C k n (x 2)n －k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k n ·x 2n －3k ，常数项是15，则2n ＝3k ，且C k n ＝15，验证n ＝6时，k ＝4符合题意．8．选C 由于(1＋x )n 与(1－x )n 展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x )n ＝p －q ，所以(1－x 2)n ＝(1＋x )n (1－x )n ＝(p ＋q )(1－q )＝p 2－q 2.9．选C 由题可知，十位和千位只能是4,5或3,5，若十位和千位排4,5，则其他位置任意排1,2,3，则这样的数的个数有A 22A 33＝12；若十位和千位排5,3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1,2在其余位置上任意排列，则这样的数的个数有A 22A 22＝4，综上，共有16个．10．选D 512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．11．解析：(a ＋x )4的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 4a4－r x r ，令r ＝3，得含x 3的系数为C 34a ，故C 34a ＝8，解得a ＝2.答案：212．解析：先让5名大人全排列，有A 55种排法，两个小孩再依条件插空，有A 24种方法，故共有A 55A 24＝1 440种排法．答案：1 44013．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146种；有3件次品的抽法有C 34C 246种，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4 186种不同的抽法．答案：4 18614．解析：根据题意，由于C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N ＋)，所以2n ＋6＝n ＋2(舍)，2n ＋6＋n ＋2＝20，可知n ＝4，那么当x ＝－1时可知等式左边为34＝81，那么右边表示的为a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝81.答案：8115．解：分三类：(1)若取1个黑球，则和另三个球排4个位置，有A 44＝24种排法；(2)若取2个黑球，则从另三个球中选2个，排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C 23A 24＝36种排法；(3)若取3个黑球，则从另三个球中选1个，排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C 13A 14＝12种排法．根据分类加法计数原理，共有24＋36＋12＝72种不同的排法．16．解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为C 0n ，C 1n 2，C 2n 4，所以C 0n ＋C 2n 4＝C 1n 2×2，即n 2－9n ＋8＝0，n ≥2.解得n ＝8.(1)第四项T 4＝C 38(3x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 3x 3＝－7x 23. (2)通项公式为T k ＋1＝C k 8(3x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 3x k ＝C k 8⎝⎛⎭⎫－12k (3x )8－2k ＝C k 8⎝⎛⎭⎫－12k x k 823－. 令2k －83＝0，得k ＝4. 所以展开式中的常数项为T 5＝C 48⎝⎛⎭⎫－124＝358. 17．解：(1)可分三种情况处理：①C 1，C 2，…，C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1，C 2，…，C 6中任取一点，D 1，D 2，D 3，D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1，C 2，…，C 6中任取两点，D 1，D 2，D 3，D 4中任取一点可构成一个三角形． ∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．18．解：二项展开式的通项T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫12x 2n －r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ⎝⎛⎭⎫12n －r C r n x n r 522－. (1)因为第9项为常数项，即当r ＝8时，2n －52r ＝0， 解得n ＝10. (2)令2n －52r ＝5，得r ＝25(2n －5)＝6， 所以x 5的系数为(－1)6⎝⎛⎭⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52r ，即40－5r 2为整数，只需r 为偶数，由于r ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。
2017-2018学年高中数学选修2-3：第1章 计数原理 单元测试 含解析 精品
阶段质量检测(一) 计 数 原 理(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．2．(湖南高考改编)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是________． 3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学 、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．4．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．5．(湖北高考改编)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝________． 6．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．7．C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＝________．8.用4C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有________种． 9．“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为________．10．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．11．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是________．12．(重庆高考改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．13.⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________． 14.()x ＋14(x －1)5的展开式中x 4的系数为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)有三个袋子，其中第一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码．第二个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码．第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码．(1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？16．(本小题满分14分)有0，1，2，3，4，5共六个数字．(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数．17．(本小题满分14分)在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，(1)求r的值；(2)写出展开式中的第4r项和第r＋2项．18．(本小题满分16分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值．(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.19．(本小题满分16分)6个人坐在一排10个座位上，问：(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？20．(本小题满分16分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的； (2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．答案 1．解析：由题意可得不同的选法为C 17＝7种． 答案：72．解析：由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20. 答案：－203．解析：设男学生有x 人，则女学生有(8－x )人，则C 2x C 18－x A 33＝90，即x (x －1)(8－x )＝30＝2×3×5，所以x ＝3，8－x ＝5. 答案：3，54．解析：由分步计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法， 故共有A 33×2＝12种排列方法． 答案：125．解析：T r ＋1＝C r 7(2x )7－r⎝⎛⎭⎫a x r＝C r727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5， 即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1. 答案：1 6．解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共在C 24·C 34·C 34＝96种．答案：967．解析：∵C 06＋C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66＝26＝64，∴C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＝64－2＝62.答案：628．解析：分四步依次涂A ，B ，C ，D .开始涂A 有4种涂法；再涂B 有3种涂法；然后涂C 有2种涂法；最后涂D ，由于D 和A ，B 不相邻，所以D 可以和A 或B 同色，也可以和A ，B 不同色，所以共有3种涂法．由分步计数原理得，共有4×3×2×3＝72(种)．答案：729．解析：由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2C 13C 13C 22＝18个．答案：1810．解析：分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人，另一个住2人，所以不同的分配方案共有C 37A 22＋C 27A 22＝35×2＋21×2＝112种．答案：11211．解析：分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个C 35C 34；第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个C 45C 24；第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个C 55C 14，由分类计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74.答案：7412．解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120. 答案：12013．解析：只有第六项的二项式系数最大，则n ＝10，T r ＋1＝C r 10·()x 10－r⎝⎛⎭⎫2x 2r＝2r C r10x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，T 3＝4C 210＝180. 答案：18014．解析：()x ＋14(x －1)5＝(x －1)5(x 2＋4x x ＋6x ＋4x ＋1)，x 4的系数为C 35×(－1)3＋C 25×6＋C 15×(－1)＝45.答案：4515．解：(1)从第一个袋子中取一个小球有20种取法；从第二个袋子中取一个小球有15种取法；从第三个袋子中取一个小球有8种取法．由分类计数原理可知共有20＋15＋8＝43种取法．(2)分三步：第一步，从第一个袋子中取一个红色球有20种取法；第二步，从第二个袋子中取一个白色球有15种取法；第三步，从第三个袋子中取一个黄色球有8种取法．由分步计数原理可知共有20×15×8＝2 400种取法．16．解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时有A 35个；第二类，2在个位时有A 14A 24个；第三类，4在个位时有A 14A 24个；由分类计数原理知，共有四位偶数A 35＋A 14A 24＋A 14A 24＝156(个)．(2)五位数中5的倍数可分为两类；第一类，个位上的数字是0的五位数有A 45个；第二类，个位上的数字是5的五位数有A 14A 34个．故满足条件的五位数有A 45＋A 14A 34＝216(个)．17．解：(1)第4r 项和第r ＋2项的二项式系数分别是C 4r －120和C r ＋120， C 4r －120＝C r ＋120⇔4r －1＝r ＋1或4r －1＋r ＋1＝20，解得r ＝4或r ＝23(舍去)．所以r ＝4.(2)T 4r ＝T 16＝C 1520·(－x 2)15＝－15 504x 30，T r ＋2＝T 6＝C 520(－x 2)5＝－15 504x 10. 18．解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10＝1. (2)a 6即为含x 6项的系数，T r ＋1＝C r 10(2x )10－r (－1)r ＝C r 10(－1)r 210－r x 10－r， 所以当r ＝4时，T 5＝C 410(－1)426x 6＝13 440x 6， 即a 6＝13 440.19．解：6个人排有A 66种坐法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位． (1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C 47＝35种插法，故空位不相邻的坐法有A 66C 47＝25 200种．(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有A27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A27＝30 240种．(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有C47种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C17C26种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C27种坐法．综上所述，应有A66(C47＋C17C26＋C27)＝115 920种坐法．20．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，所以选取种数为N＝C210＝45(种)即4只鞋子恰成两双有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种)．。
人教新课标版数学高二-A版选修2-3 第一章 计数原理 阶段测评
阶段测评(一)时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若A 3m ＝6C 4m ，则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由m (m －1)(m －2)＝ 6·m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，解得m ＝7. 答案：C2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.58C.38D.78解析：由题知所求概率P ＝24－224＝78，选D.答案：D3．从4双不同鞋中任取4只，结果都不成双的取法有________种．( )A ．24B ．16C ．44D ．24×16解析：取4只不成双的鞋分4步完成：(1)从第一双鞋任取一只，有2种取法；(2)从第二双鞋任取一只，有2种取法；(3)从第三双鞋任取一只，有2种取法；(4)从第四双鞋任取一只，有2种取法．由分步乘法计数原理，共有24＝16种取法．答案：B4．从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )A ．C 48－12B ．C 48－8 C ．C 48－6D ．C 48－4解析：在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体． 答案：A5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40解析：在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5中令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1. 原式＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，故常数项为 x ·C 35(2x )2⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＋1x ·C 25(2x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－40＋80＝40. 答案：D6．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n 的值为( ) A ．22n －1－1B ．22n －1C ．2n －1D ．2n解析：因为C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n ＝22n －1，所以C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n ＝22n －1－1. 答案：A7．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24解析：3人中每两人之间恰有一个空座位，有A 33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A 33×A 22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法．答案：D8．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是() A．40 B．74C．84 D．200解析：分三类：第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C35C34＋C45C24＋C55C14＝74.答案：B9．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有()A．18种B．36种C．48种D．60种解析：当甲一人住一个寝室时有：C12×C24＝12种，当甲和另一人住一起时有：C12×C14×C23×A22＝48种，所以共有12＋48＝60种，故选D.答案：D10．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45 B．60C．120 D．210解析：由题意知f(3,0)＝C36C04，f(2,1)＝C26C14，f(1,2)＝C16C24，f(0,3)＝C06C34，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同的选法的种数是____．解析：由分类加法计数原理得共有5＋4＝9种方法．答案：912．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为______． 解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：213．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A 、B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A 、B 、C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法，故A 、B 相邻，A 、C 不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3614．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法(用数字作答)．解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C 29C 37C 44＝1 260种．答案：1 260三、解答题(本大题共4小题，第15～17小题各12分，第18小题14分，共50分)15．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解：设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为C 12·C 13＝6(种)；第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为C 14·C 13＝12(种)；第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为C 14·C 12＝8(种)；第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为A 24＝12(种)；由分类加法计数原理，选派方法数共有：6＋12＋8＋12＝38(种)．16．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N *. (1)如果展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n 的值；(2)对(1)中的n ，求展开式中系数为正实数的项．解：(1)由已知，得C n －2n (2i)2＝－180，即4C 2n ＝180，所以n 2－n －90＝0，又n ∈N *，解得n ＝10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(2x i)10－k x －2k ＝C k 10(2i)10－k x .因为系数为正实数，且k ∈{0,1,2，…，10}，所以k ＝2,6,10.所以所求的项为T 3＝11 520，T 7＝3 360x －10，T 11＝x －20.17．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解：(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)＝2 943 360种排法． 方法二：无条件排列总数A 1010－⎩⎪⎨⎪⎧ 甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33＝604 800种． (4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010＝1 814 400种排法．18．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项．解：T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r ·x .(1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎪⎨⎪⎧ C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1.∴⎩⎨⎧ 18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .∴⎩⎪⎨⎪⎧r ≥5，r ≤6. ∴r ＝5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝C 48·24·x ＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案：复习课(一) 计数原理含解析
复习课（一)计数原理错误!两个计数原理（1）两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．(2）运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分,只有当各步全部完成时，这件事情才完成．错误!计数原理(1）分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋n m；(2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·n m．[典例］如图所示，花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( ）A．180种B．240种C．360种D．420种[解析] 由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．①当用三种颜色时,花池2，4同色和花池3，5同色,此时共有A错误!种方案．②当用四种颜色时,花池2，4同色或花池3,5同色，故共有2A错误!种方案．③当用五种颜色时有A错误!种方案．因此所有栽种方案为A错误!＋2A错误!＋A错误!＝420（种)．［答案］D[类题通法]使用两个原理解决问题时应注意的问题（1）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰．(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．错误!1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( ）A．24种B．18种C．12种D．6种解析:选B 法一：（直接法)若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．法二：(间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号,共可以组成的信号有________种．解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理,共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．答案：39排列与组合应用问题（1）高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用,同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查．（2）解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则．②先取后排原则:在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．③正难则反原则:当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则．④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．[考点精要］1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元按照一定的顺序排素中取出m （m≤n)个元素成一列组合合成一组2．排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有不同排列的个数组合数组合的个数3．排列数与组合数公式(1)排列数公式①A m n＝n(n－1）…(n－m＋1）＝n！n－m！;②A n，n＝n！．(2）组合数公式C m n＝错误!＝错误!＝错误!．4．组合数的性质(1）C错误!＝C错误!;（2）C错误!＋C错误!＝C错误!．[典例］（1）一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3!B．3×(3!)3C．（3！）4D．9!（2)（重庆高考）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120C．144 D．168（3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( ）A．9 B．14C．12 D．15[解析］(1）把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有（3！)4种．(2）依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A错误!A错误!＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A错误!A错误!A错误!＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B．（3）法一：（直接法）分两类,第一类张、王两同学都不参加,有C4，4种选法;第二类张、王两同学中只有1人参加，有C错误!C错误!种选法．故共有C错误!＋C错误!C错误!＝9种选法．法二：(间接法)C错误!－C错误!＝9种．［答案] （1)C (2)B (3）A［类题通法］排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后,再考虑它们“内部”的排列．（2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．（3)特殊元素（位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．错误!1．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( ）A．12 B．24C．36 D．48解析：选B 2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有A错误!A错误!A 错误!＝24种．2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为（）A．720 B．520C．600 D．360解析:选C 根据题意，分2种情况讨论．①只有甲乙其中一人参加，有C错误!C错误!A错误!＝480种情况；②若甲乙两人都参加，有C22C错误!A错误!＝240种情况，其中甲乙相邻的有C错误!C错误!A错误!A错误!＝120种情况，不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C．二项式定理及应用（1）求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难度中低档．(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则在二项式的通项公式中共含有a，b，n,k，T k＋1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素．这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程（组)或不等式(组）．这里要注意n 为正整数,k为自然数,且k≤n．错误!1．二项式定理二项式定理（a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C k，n a n－k b k＋…＋C错误!b n(n∈N*)二项式系数二项展开式中各项系数C错误!(r＝0，1，…，n）二项式通项T r＋1＝C错误!a n－r b r，它表示第r＋1项2．二项式系数的性质［典例］（1)已知（1＋ax）（1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（)A．－4 B．－3C．－2 D．－1（2）设m为正整数,（x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（)A．5 B．6C．7 D．8（3)若（1－2x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4,则a1＋a2＋a3＋a4＝________．［解析] （1）展开式中含x2的系数为C错误!＋a C错误!＝5,解得a ＝－1，故选D．（2)由题意得：a＝C错误!，b＝C错误!，所以13C错误!＝7C错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B．（3)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1,令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0．［答案] （1）D （2)B (3)0［类题通法］求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略（1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．(2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．（3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．错误!1．在x（1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为（)A．30 B．20C．15 D．10解析:选C 只需求(1＋x）6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C错误!＝15,故选C．2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4,则a0＋a2＋a4的值为( ) A．9 B．8C．6 D．5解析：选B 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，∴a0＋a2＋a4＝8．1．设二项式错误!n的展开式各项系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a＋2b＝80,则n的值为( ）A．8 B．4C．3 D．2解析：选C 由题意a＝4n，b＝2n,∵a＋2b＝80，∴4n＋2×2n－80＝0，即(2n)2＋2×2n－80＝0，解得n＝3．2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( ）A．63种B．31种C．8种D．7种解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C错误!＋C错误!＋C错误!＝7（种）．3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（)A．A错误!种B．A错误!A错误!种C．C错误!A错误!种D．C错误!C错误!A错误!种解析：选C 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C24A错误!种．4．(x＋2)2(1－x）5中x7的系数与常数项之差的绝对值为（）A．5 B．3C．2 D．0解析：选A 常数项为C2，2·22·C错误!＝4,x7系数为C错误!·C 5，5(－1）5＝－1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5．5．错误!6的展开式中,常数项是（）A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!解析:选D T r＋1＝C错误!（x2)6－r错误!r＝错误!r C错误!x12－13r，令12－3r ＝0,解得r＝4．∴常数项为错误!4C错误!＝错误!．故选D．6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )A．10种B．20种C．36种D．52种解析：选A 分为两类：①1号盒子放入1个球,2号盒子放入3个球，有C错误!＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C错误!＝6种放球方法．∴共有C14＋C错误!＝10种不同的放球方法．7．若将函数f（x)＝x5表示为f（x)＝a0＋a1(1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a5（1＋x)5，其中a0，a1，a2，…,a5为实数，则a3＝________．解析:不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有（t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C错误!（－1)2＝10．答案:108．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上（1块空地只能种1种作物），若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．（用数字作答)解析：由已知条件可得第1块地有C12种种植方法,则第2～4块地共有A35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C12A错误!＝120种．答案:1209．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种．解析:将A,B捆绑在一起，有A错误!种摆法,再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A错误!A错误!＝48种摆法，而A,B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列,有2×A33＝12种摆法，故A,B相邻，A，C 不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3610．若（2x＋3）3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2）2＋a3(x＋2）3，求a0＋a1＋2a2＋3a3的值．解：由(2x＋3)3＝[2（x＋2)－1]3＝C错误!［2（x＋2)]3（－1）0＋C错误!［2(x＋2)］2（－1）1＋C错误! [2·(x＋2）］1(－1）2＋C错误!［2（x＋2）]0(－1)3＝8（x＋2)3－12(x＋2）2＋6（x＋2)－1＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3（x＋2)3．则a0＝－1，a1＝6,a2＝－12，a3＝8．则a0＋a1＋2a2＋3a3＝5．11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．（1）不出现空盒时的放入方式共有多少种？（2）可出现空盒时的放入方式共有多少种?解:（1）将7个相同的小球排成一排,在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则共有C3，6＝20种不同的放入方式．（2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板,故共有C错误!＝120种放入方式．12．已知（3，x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数的最大项;(2）求展开式中系数最大的项．解：（1）令x＝1，则二项式各项系数和为(1＋3）n＝4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n．由题意,知4n－2n＝992．∴(2n)2－2n－992＝0．∴（2n＋31)（2n－32)＝0．∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5．由于n＝5为奇数,∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝C25(x错误!）3（3x2)2＝90x6，T4＝C错误!（x错误!）2(3x2）3＝270x错误!．（2）展开式通项公式为T r＋1＝C错误!3r·（x错误!）5－r(x2）r＝Cr·x错误!＋错误!．错误!·3假设T r＋1项系数最大，则有错误!∴错误!∴错误!∴错误!≤r≤错误!．∵r∈N＊，∴r＝4．∴展开式中系数最大项为T5＝C错误!·34·x错误!＋错误!＝405x错误!．。
高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案
1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公 式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）． 组合数及组合数的公式 从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．
2017-2018学年高二数学选修2-3第一章计数原理 检测卷Word版含解析
第一章 计数原理 检测卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5435C C C n n n +=的解是A ．n =6B ．n =5C ．n =5或1D ．以上都不对2．设n ∈N *，且20n <，则（20−n ）（21−n )···（100−n ）等于A ．80100A n - B ．20100A nn --C ．81100A n -D ．8020A n -3．有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字,如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套,则不同的配套方法共有 A ．7种 B ．12种 C ．64种D ．81种4．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．805．将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有 A ．16种 B ．12种 C ．9种D ．6种6．()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为A ．−40B ．40C ．30D ．−307．“中国梦”的英文翻译为“China Dream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有 A ．360种 B ．480种 C ．600种D ．720种8．第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 A ．540 B ．300 C ．180D ．1509．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A ．24B ．48C ．96D ．12010．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每“艺”安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座的不同排课顺序共有 A ．120种 B ．156种 C ．188种D ．240种11．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为A ．1415B ．115 C ．29D ．7912．若()201822018012201813x a a x a x a x -=++++,则20181222018333a a a +++的值为 A ．2 B ．0 C ．−1D ．−2二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．()5221x x +-的展开式中，3x 的系数为__________．（用数字作答）14．二项式()12nx -的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为__________． 15．将,,,,A B C D E 五个字母排成一排，且,A B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种.(结果用数值作答)16．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）计算：383321C C n nn n -++；（2）解不等式：299A 6A x x ->.18．对二项式（1−x ）10.（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项； （2）求展开式中各二项式系数之和； （3）写出展开式中系数最大的项.19．已知n（其中15n <，*n ∈N ）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列.（1）求n 的值；（2）写出展开式中的所有有理项.20．函数()9a f x x ⎛= ⎝（a 为实数且是常数）.（1）已知()f x 的展开式中3x 的系数为94,求a 的值； （2）已知0a >,若x 在定义域中取任意值时,都有()27f x ≥恒成立,求出a 的取值范围.21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？22．5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人.（1）求两名女生相邻而站的概率；（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.参考答案1．【答案】B【解析】将6n =代入方程式，即5436665C C C +=，显然不成立，故A 错； 将1n =代入方程式，即5431115C C C +=，不成立，故C 错； 将5n =代入方程式，即5435555C C C +=，成立，故B 正确，D 错，故选B ． 2．【答案】C【解析】由题意可得：共有10020181n n ---+=（）（）项，所以（20−n ）（21−n )···（100−n ）=81100A n -，故选C ．【名师点睛】本题考查排列及排列数公式，易错点在于项数的计算，属于基础题． 3．【答案】B【名师点睛】分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的基础，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解．（1）“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情．“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．（2）分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法． 4．【答案】C【解析】由题可得()521031552C C 2r rrr r rr T x x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1034r -=,则2r =，所以522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为225C 240⨯=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题.写出10315C 2r r r r T x -+=⋅⋅，然后即可得结果【名师点睛】利用分类讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类加法计数原理求解即可．分类时要注意以下两点：（1）要根据问题的特点确定一个适合的分类标准，然后在这个标准下进行分类；（2）分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法．只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． 6．【答案】D【解析】()52x y -的展开式的通项公式为：()()()55555C 221C rrrrr r r rx y x y ----=-.令51r -=，得4r =，得到：442452C 10x xy x y ⋅⋅=；令52r -=，得3r =，得到：()232324521C 40y x y x y ⋅⋅-⋅=-. 所以()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为104030-=-.故选D ．【名师点睛】先求()52x y -展开式的通项公式，再由x 和y 分别与通项结合得24x y 的系数.求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“ea ”进行全排列,共有4555C A 600=种,故选C ．【名师点睛】排列与组合的主要区别就是有序和无序，元素顺序不同结果不同的为排列；元素顺序不同，结果相同的为组合． 8．【答案】D【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理及排列组合的应用，求解时，将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，分别计算两类情况的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．有关排列组合的综合问题，往往需要两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题时理解题意很关键，一定要多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 9．【答案】C【解析】若,A D 颜色相同，先涂E 有4种涂法，再涂,A D 有3种涂法，再涂B 有2种涂法，C 只有1种涂法，故共有432124⨯⨯⨯=种；若,A D 颜色不同，先涂E 有4种涂法，再涂A 有3种涂法，再涂D 有2种涂法，当B 和D 相同时，C 有2种涂法，当B 和D 不同时，,B C 只有1种涂法，故共有()4322172⨯⨯⨯+=种， 根据分类加法计数原理可得，共有247296+=种，故选C ．【名师点睛】（1）排列组合问题在几何方面的应用，常常通过等价转化以便于列式计算，转化的方法是选出一组研究对象重点研究．（2）本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理及排列组合的应用，属于难题.求解时，分两种情况进行讨论，第一类,A D 相同颜色，第二类,A D 不同颜色，分别利用分步乘法计数原理求解，然后求和即可. 10．【答案】A【名师点睛】该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.在解决本题问题时，一是注意对“数”的位置分三种情况，二是当“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节. 11．【答案】A【解析】从10部专著中选择2部的所有结果有210C 45=种．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A ，则A 包含的基本事件个数为112737C C C 42+=．由古典概型概率公式可得()42144515P A ==． 故选A ．【名师点睛】解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A 包含的基本事件的个数，然后按照公式求解． 12．【答案】C【解析】在二项展开式中，令13x =，得2018120220180333a a a a ++++=. 令0x =，得01a =.∴20181222018011333a a a +++=-=-． 故选C ．【名师点睛】因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．解本题时，令13x =求得201812022018333a a a a ++++的值，再令0x =得到0a 的值，两式相减可得结果． 13．【答案】40【名师点睛】对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项．另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题．解本题时，先添加括号，利用二项式定理展开，再根据展开式特点确定3x 的系数组成，最后求和得结果. 14．【答案】3160x -【解析】∵二项式()12nx -的展开式中奇数项的二项式系数之和为32， ∴1232n -=，即6n =，∴()612x -展开式中的第4项为()3333316C 12160T x x +=-=-，故答案为3160x -．【名师点睛】先由奇数项的二项式系数之和为32确定n 值，然后根据二项展开式通项公式求出第4项即可.熟记二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋···＋C n n ＝2n 源于(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋···＋C n n b n中令a＝1，b ＝1，即得到C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋···＋C n n b n ＝2n. 15．【答案】80【解析】当,A B 都在C 的左侧时，按C 的位置分类：当C 在第三个位置时，共有2222A A 4=种不同的排法； 当C 在第四个位置时，共有1323C A 12=种不同的排法；当C 在第五个位置时，共有44A 24=种不同的排法，++=种不同的排法，所以当,A B都在C的左侧时，共有4122440⨯=种不同的排法.所以,A B都在C的同侧时，共有40280【名师点睛】解排列、组合应用题的解题策略：(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除序处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略．简单记成：合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；集团捆绑，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序．16．【答案】930【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理及排列组合的应用，属于难题.解本题时，分三种情况讨论，即分别求出甲、乙都入选，甲不入选、乙入选，甲、乙都不入选相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.17．【答案】（1）466；（2）{}2,3,4,5,6,7.【解析】（1）由题意得,解得又由**33821n n n ⎧∈⎪-∈⎨⎪+∈⎩N N N ，可得n =10. 所以28383330213031302131C C C C 4C C 66n n n n -+=+=+=+.【名师点睛】（1）根据组合数的性质，有3n ≥38−n 且21+n ≥3n ，解不等式组可得n 的取值范围，结合n 是整数，可得n 的值为10，代入组合数公式中计算可得答案；（2）首先运用排列公式可将原不等式化简整理变形为2211040x x -+>，解可得x 的范围，再由排列的性质可得29x ≤≤，且*x ∈N ，取交集可得答案．18．【答案】（1）中间项为第6项，−252x 5；（2）1024；（3）210x 4，210x 6.【解析】（1）由题意可知：r =0，1，2，···，11，展开式共11项，所以中间项为第6项：T 6=510C （−x ）5=−252x 5. （2）展开式中各二项式系数之和为1021024=.（3）∵展开式中中间项T 6的系数为负，∴展开式中系数最大的项为T 5和T 7，又T 5=410C x 4=210x 4，T 7=610C x 6=210x 6， ∴展开式中系数最大的项为210x 4，210x 6.【名师点睛】对于本题，（1）根据二项展开式得中间项为第6项，再根据二项展开式通项公式求结果；（2）赋值法求各项系数和，令x =1即得结果；（3）系数最大的项的系数必为正数，再根据二项式系数性质确定系数最大的项.要特别注意二项式系数最大项的确定方法：①如果n 是偶数，则中间一项(第12n +项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第112n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭项的二项式系数相等并最大. 19．【答案】（1）14n =；（2）7x ，63003x ，591x .（2）展开式的通项为1432114C rrr r T x x -+=， 所以展开式中的项当且仅当r 是6的倍数时为有理项，又014r ≤≤，*r ∈N ，∴0r =或6r =或12r =，∴展开式中的有理项共3项，分别为077114C T x x ==，666714003C 3T x x ==，12551314C 91T x x ==. 【思路点拨】（1）先利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数，再利用等差数列的定义列出方程可得结果；（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令x 的幂指数为有理数，求得r 的值，即可求得展开式中的有理项.【名师点睛】本题主要考查二项展开式的通项与系数，属于简单题.二项展开式的问题也是高考命题的热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和与各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.20．【答案】（1）14；（2）4[,)9+∞. 【解析】（1）9a x ⎛ ⎝的展开式的通项为919C r r r a T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭39929C r r r r a x --=, 由3932r -=,解得：8r =, 由题意得89899C 4a -=, 所以14a =.【思路点拨】（1）由二项展开式通项公式求得3x 的系数并让它等于94，可求得a ；（2）由()927a f x x ⎛=≥ ⎝得133a x ≥，因此可利用导数求得()a g x x =的最小值()min g x ，再解不等式()13min 3g x ≥可得a 的取值范围．【名师点睛】本题考查的一个知识点是二项式定理，()n a b +的展开式的第1r +项为1C r n r r r n T a b -+=，一般把此式整理成关于x 的单项式，再由x 的系数求得r ．21．【答案】（1）105；（2）630.（2）同样用分步乘法计数原理：第一步，选出4人有47C 种方法；第二步，选出2人有23C 种方法；第三步，选出1人有11C 种方法； 第四步，将以上分出的三组人进行全排列有33A 种方法. 所以总的分配方案有42137313C C C A 630⋅⋅⋅=（种）.【名师点睛】解决排列、组合的应用题时注意以下三点：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合，要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；(2)深入分析，严密周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多；(3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决．22．【答案】（1）25；（2）415. 【解析】5名师生站成一排照相留念共有55A 120=种站法，（1）记“两名女生相邻而站”为事件A ，两名女生站在一起有22A 种站法，视为一个元素与其余3个全排，有44A 种排法，所以事件A 有2424A A 48=种不同站法，则()482 1205P A==，答：两名女生相邻而站的概率为25.【名师点睛】（1）解排列应用题的基本思路：实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．（2）相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．（3）在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．。
高中数学人教A版选修2-3 第一章 计数原理 1.3-1.3.1学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( )A ．(x －1)3 B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3 【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3.【答案】 C2．已知7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) (x －1x)A. B ．－ 1717C ．7D ．－7【解析】 T 4＝C x 43＝5，则x ＝－. 37(－1x)17【答案】 B 3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a2＝C ×2＝6. 23【答案】 B4．使n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) (3x ＋1x x )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C (3x )n －r r ＝C 3n －r xn －r ，当T r ＋1是常数项时，n －r r n (1x x )r n 5252＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．(x 2＋2)5的展开式的常数项是( ) (1x 2－1)A ．－3B ．－2C ．2D ．3【解析】 二项式5展开式的通项为：T r ＋1＝ (1x 2－1)C 5－r ·(－1)r ＝C ·x 2r －10·(－1)r .r 5(1x 2)r 5当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C x －2·(－1)4＝C ×(－1)4＝5； 4545当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C x 0·(－1)5＝－2.5∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.【答案】 D二、填空题6．(2016·安徽淮南模拟)若n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数(x ＋1x)相等，则该展开式中的系数为________． 1x 2【解析】 由题意知，C ＝C ，∴n ＝8. 2n 6n ∴T k ＋1＝C ·x 8－k ·k ＝C ·x 8－2k ，当8－2k ＝－2时，k ＝5，∴的系数为C k 8(1x)k 81x 258＝56.【答案】 56 7．设二项式6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝(x －a x )4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C x 6－r (－ax －)r ＝C (－a )r ·x 6－r ，B ＝C (－a )4，A r 612r 63246＝C (－a )2.∵B ＝4A ，a >0， 26∴a ＝2.【答案】 28．9192被100除所得的余数为________．【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C ·10092－C ·10091·9＋C ·10090·9209219229292－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．09219290929192∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.0921929092919292法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81三、解答题9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)n C(n∈N*)．1n2n3n n0n1n2n3n 【解】 将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)n C＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.n∴S＝(－1)n＝Error!(2x－1x)10．(2016·淄博高二检测)在6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．26【解】 (1)第3项的二项式系数为C＝15，26x(－1x)26又T3＝C(2)42＝24·C x，26所以第3项的系数为24C＝240.(2)T k＋1＝C(2)6－k k＝(－1)k26－k C x3－k，令3－k＝2，得k＝1.k6x(－1x)k6所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.[能力提升]1．(2016·吉林长春期末)若C x＋C x2＋…＋C x n能被7整除，则x，n的值可1n2n n能为( )A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5【解析】 C x ＋C x 2＋…＋C x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A 、B 、C 、D 代1n 2n n 入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－(x ＋13x )x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19 B ．19C ．20D ．－20 【解析】 n 的通项公式为T r ＋1＝C ()n －r ·r ＝C x －，由题(x ＋13x )r n x (13x )r n n 25r 6意知－＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C ＋C ＋C ＋C ＝1n 25×362232425＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．对于二项式n (n ∈N *)，有以下四种判断： (1x＋x 3)①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．【解析】 二项式n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C x 4r －n ，由通项公(1x ＋x 3)r n 式可知，当n ＝4r (r ∈N *)和n ＝4r －1(r ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．【答案】 ①与④4．求5的展开式的常数项. 【导学号：97270023】 (x 2＋1x ＋2)【解】 法一：由二项式定理得5＝5＝C ·5＋C (x 2＋1x ＋2)[(x 2＋1x)＋2]05(x 2＋1x )·4·＋C ·3·()2＋C ·2·()3＋C ··()4＋C ·()5. 15(x 2＋1x )225(x 2＋1x )235(x 2＋1x )245(x 2＋1x )252其中为常数项的有： C 4·中的第3项：C C ·2·； 15(x 2＋1x )21524(12)2C ·2·()3中的第2项：C C ··()3；展开式的最后一项C ·()5. 35(x 2＋1x )2351212252综上可知，常数项为C C ·2·＋C C ··()3＋C ·()5＝. 1524(12)23512122526322法二：原式＝5 (x 2＋22x ＋22x)＝·[(x ＋)2]5＝·(x ＋)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋132x 52132x 52)10的展开式中含x 5的项的系数，即C ·()5，所以所求的常数项为25102＝. C 510·(2)5326322。
高中数学人教A版选修2-3 第一章 计数原理 1.3-1.3.2学业分层测评 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项【解析】 第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．【答案】 B2．(2016·吉林一中期末)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·x －r ＝C r 5x10－3r， 令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) 【导学号：97270026】A ．2nB.3n －12C ．2n ＋1D.3n ＋12【解析】 令x ＝1，得3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n ＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )，∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ＋12.故选D. 【答案】 D4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba 的值为( )A.1285B.2567C.5125D.1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎨⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A. 【答案】 A5．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008【解析】 因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23014.【答案】 B 二、填空题6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．【解析】 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 【答案】 －17．若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________． 【解析】 7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝C 0n 9n (－1)0＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n－1，∴n 为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.【答案】 7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-3-5所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，有C k －1n C k n＝34且C k n C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358. [能力提升]1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 【答案】 A2．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)的数列{a n }的各项排成如图1-3-6所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…… 图1-3-6A ．91B ．101C ．106D ．103【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10,6)＝b 10＋2×(6－1)＝101. 【答案】 B3．(2016·孝感高级中学期中)若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．【解析】 令x ＝2，得－5＝a 0，令x ＝3，得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.【答案】 54．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和. 【导学号：97270027】【解】 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116.因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， 所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3，设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次项的系数之和为30.。
高中数学人教A版选修2-3 第一章 计数原理 1.2-1.2.2-第1课时学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( )A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】 从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．【答案】 C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64【解析】 由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C 28＝28条公路．【答案】 C3．组合数C r n (n >r ≥1，n ，r ∈N )恒等于( )A.r ＋1n ＋1C r －1n －1B ．(n ＋1)(r ＋1)C r －1n －1 C ．nr C r －1n －1 D.n r C r －1n －1【解析】 n r C r －1n －1＝n r ·(n －1)！(r －1)！(n －r )！＝n ！r ！(n －r )！＝C r n . 【答案】 D4．满足方程C x 2－x 16＝C 5x －516的x 值为( )A ．1,3,5，－7B ．1,3C ．1,3,5D ．3,5【解析】依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．【答案】 B5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20 B．9C．C39D．C24C15＋C25C14【解析】分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．【答案】 B二、填空题6．C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________．【解析】原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.【答案】7 3157．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．【解析】从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集．【答案】108．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法．【答案】210三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1C x5－1C x6＝710C x7中的x；(2)解不等式C m－18>3C m8.【解】(1)原式可化为：x！(5－x)！5！－x！(6－x)！6！＝7·x！(7－x)！10·7！，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．(2)由8！(m－1)！(9－m)！>3×8！m！(8－m)！，得19－m>3m，∴m>27－3m，∴m>274＝7－14.又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，∴m＝7或8.[能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有()A．36个B．72个C．63个D．126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C49＝126个．【答案】 D2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有() 【导学号：97270017】A．140种B．84种C．70种D．35种【解析】可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C14·C25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．【答案】 C3．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．【解析】∵1≤m<n≤5，所以C m n可以是C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25，C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．【答案】 64．证明：C m n＝nn－mC m n－1.【证明】nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n.。
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阶段质量检测（一）计数原理(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A．7 B．64C．12 D．81解析：选C根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．2．若(1＋2)4＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝( )A．33 B．29C．23 D．19解析：选B∵(1＋2)4＝C04(2)0＋C14(2)1＋C24(2)2＋C34(2)3＋C4(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a＋b2，∴a＋b＝17＋12＝29．3．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )A．－720 B．720C．120 D．－120解析：选D由T r＋1＝C r10(－x)r＝(－1)r C r10x r，因为r＝3，所以系数为(－1)3C310＝－120．4．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有( )A．8种B．10种C．12种D．32种解析：选B此人从A到B，路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C25＝10种．5．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a0＋a1＋a2＋…＋a n＝16，则自然数n等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C 令x ＝1，得2n ＝16，则n ＝4．故选C ．6．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ．300B ．216C ．180D ．162解析：选C 由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C 23C 12C 13A 3＝108，(2)不选“0”，共有C 23A 4＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C ．7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选B 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 3种排法，故总的排法有2×2×A 3＝24种．8．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B (2－x )8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8·28－r·(－x )r ＝C r 8·28－r·(－1)r·x r2．由r 2＝4得r ＝8．∴展开式中x 4项的系数为C 8＝1． 又(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x 4项的系数的和为0．9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4．由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112．共计：3＋6＋3＋3＝15个．10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28 解析：选C T r ＋1＝(－a )r C r 8x 8－2r，令8－2r ＝0⇒r ＝4．∴T 5＝C 48(－a )4＝1 120，∴a ＝±2．当a ＝2时，各项系数的和为(1－2)8＝1；当a ＝－2时，各项系数的和为(1＋2)8＝38．11．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条解析：选B 先考虑x ≥0，y ≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C 212＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax ＋by －1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．12．将二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为( )A ．A 37B ．A 6A 36C ．A 6A 37D ．A 7A 37解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项公式T r ＋1＝C r8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r＝Cr 82r ·x 16－3r 4，r ＝0,1,2，…，8．当16－3r4为整数时，r ＝0,4,8． ∴展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A 6种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A 37种方法．∴共有A 6A 37种排法．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x 人，则C 28－x ·C 1x ＝30，即－－2·x ＝30，解得x ＝2或3．答案：2或314．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x3＋1x n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于________． 解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x r ＝C r n 2n －r·x 3n －7r 2，令3n －72r ＝0，即r ＝67n ，而r ∈N *．∴n 为7的整数倍，即最小的正数n 等于7． 答案：715．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1416．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：先分组C25C23C11A22，再把三组分配乘以A 3得：C25C23C11A22·A 3＝90种．答案：90 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝{x |1<log 2x <3，x ∈N *}，B ＝{x ||x －6|<3，x∈N *}，试问：从集合A 和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ 解：A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{4,5,6,7,8}．从A 中取一个数作为横坐标，从B 中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．18．(本小题满分12分)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．解：二项式的通项为T k ＋1＝C k n (2k)x k2由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，∴⎩⎪⎨⎪⎧Ck n 2k ＝2Ck －1n ·2k－1，Ck n 2k ＝56Ck ＋1n ·2k＋1，解得n ＝7．∴展开式中二项式系数最大两项是： T 4＝C 37(2x )3＝280x 32与T 5＝C 47(2x )4＝560x 2．19．(本小题满分12分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C 48·A 4)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A 26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A 48种方法，共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 6)(种)．20．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解：(1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列．∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0．∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r·C r 8·x 4－34r ，r ＝0,1， (8)∴第三项的二项式系数为C 28＝28．第三项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7．(3)令4－34r ＝1，得r ＝4，∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358．21．(本小题满分12分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？解：分为两类：第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法， 3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法． 故N 1＝5×4×1×4＝80．第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法． 故N 2＝5×4×3×3＝180种．综上可知不同的涂法共有N ＝N 1＋N 2＝80＋180＝260种．22．(本小题满分12分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站； (4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)两名女生站在一起有站法A 2种，视为一种元素与其余5人全排，有A 6种排法．故有不同站法有A 2·A 6＝1 440种．(2)先站老师和女生，有站法A 3种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A 4种．故共有不同站法A 3·A 4＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 4种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2×A77A44＝420种．(4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两端之一，另一端由男生站，有A 12·A 14·A 5种站法，②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一，有A24·A14·A4种站法．故共有不同站法共有A12·A14·A5＋A24·A14·A4＝2 112种．。