26.2.2.5补充：二次函数的交点式
交点式二次函数表达式
交点式二次函数表达式
二次函数交点式公式：y=a(X-x1)(X-x2)。
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b )/4a)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m) +k(a,h,k为常数，a0).
(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次
方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，概述称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x
轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
第 1 页。
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根.如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点,那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式学生： 时间：学习目标1、熟悉常见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线]2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.）则称y 为x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
例题精讲例题1已知函数y=x 2＋bx ＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1图① 图② 2.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3 D.y =21(x +2)2－13.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四4.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上5.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个6.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)图37.下列说法错误的是A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点8.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是 A.43 B.－43 C.45 D.－45 9.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 110.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______. 11.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.12.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____. 13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.14.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.15．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是 ；（2）当x= 时，y=3；16．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是 ；（2）当x= 时，y=3；（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．17．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．19．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 ，它有最 值，即当x= 时，y= ．20．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为 ．21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为 ．22．抛物线y=x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 ．23．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－41）和（－a ，y 1），则y 1的值是 ．24．如图，图①是棱长为a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S ，解答下列问题：（1）按照要求填表：n 1 2 3 4 …s 1 3 6 …（2）写出当n=10时，S= ．（3）根据上表中的数据，把S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；2. 会平移二次函数y ax2(a 0)的图象得到二次函数y a(x h)2 k 的图象；了解特殊与一般相互联系和转化的思想；3. 根据交点求解解析式．知识点梳理21、顶点式： y a x h k 的图像与性质2、交点式： y a(x x 1)(x x 2) 的图像与性质x 1 、x 2分别是二次函数与 x轴的两个交点坐标， 如果二次函数与 x轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为 y a(x x 1)(x x 2 ) ，然后再根据条件求出 a 即可；23、一般式 y ax 2 bx c 的性质对于一般式： 2y ax 2 bx c(a 0) ，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？将一般式配方成顶点式：1． 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b ，4ac b 2a 4a当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x b 时， y 随 x 的增大而增大；2 a2ab2． 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为直线 x b ，顶点坐标为2ab ，4ac b 2 2a 4a当 x 2b a 时， y 随x 的增大而增大；当 x 2b a 时， y 随x 的增大而减小；典型例题分析1、 二次函数一般式；2y ax=a(x 2bx c=a(x 2 b x c )=a(x 2 bx aab b 2 cb 2x ( ) ) ( ) a 2 a a 2a22b b c) 22a4 a 4a a= a x b2ab 2 4 ac4a 2所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线 bx 2b a ；顶点坐标为b ，4ac b 2 2a 4ax b ，顶点坐标为2a例1、抛物线y 2x2 4x 1 的对称轴是直线．【答案：x 1 】例2、抛物线y 2x 2 4 x 3 的顶点坐标是．【答案：（1,1）】例3、二次函数y x2 2x 3，当y 0时，自变量x 的取值范围是．【答案：根据一般式，画出图像，求出与x轴的两个交点，位于x 轴下方的部分就是y 0； 1 x 3 】例4、已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图，则a、b 、c的正负性分别是．【答案：a 0；b 0；c 0】例5、如果A（2，y1），B（1，y 2）为二次函数y x2 4x 1的图像上的两点，试判断y1 与y2 的大小为．答案：y2 y1 】例6、若二次函数y m 1 x2 m2 2m 3的图象经过原点，则m 的值为【答案：3 】22例7、二次函数y ax2 bx c的图像如图所示，那么abc, b2 4ac,2a b,a b c值为正数的有个．【答案：2】例8、已知二次函数y ax2 bx c 的图象与x 轴交于点( 2,0) 、( x1,0)且1 x1 2 ，与y 轴的正半轴的交点在(0, 2) 的下方．下列结论：① 4a 2b c 0 ；② a b c 0；③ a b c 0 ；④ a b 0．其中正确结论的是．【答案：①正确，将x 2即可；②正确，将x 1 代入得：a b c 0；③错误，将x 1代入得：a b c 0 ；④正确，将x 2代入得：4a 2b c 0 ，将x 1代入得：a b c 0，所以(4a 2b c) (a b c)0 ，整理得：3a 3b 0】例9、已知二次函数y 2x2 3x 1的顶点是A ，与x轴的两个交点为B、C( B点在C 点的左侧)与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．3 1 1 9【答案：A(4,8)；B( 1,0) ； C ( 2,0) ；D(0,1) ；面积为32】2、二次函数顶点式；12例10、把二次函数y x 2的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得2图像的解析式为：．1 2 1 2 7【答案：y ( x 1)2 3或y x2 x 】2 2 2例11、如果抛物线y x2mx m 3的顶点在x 轴上，那么m ．【答案：m 6或m 2】2例12、抛物线y ax 2 1 上有一点P(2, 2) ，平移该抛物线，使其顶点落在点A (1 ,1 ) A(1,1) 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为．【答案：Q (3, 4) ，原函数顶点坐标是(0, 1) 】22例13、将函数y 2x2 8x 7 写成y a x m k 的形式为____________________________ ．【答案：y 2( x 2)2 1】例14、已知函数y m 2 x m2 m 4是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x为何值时，y随x的增大而增大；(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？答案：( 1) m 3 或m 2 ；2)m 2 ，(0,0) ；当x 0时，y有最小值为0，当x 0 ，y随x的增大而增大3)m 3，(0,0) ；当x 0时，y有最大值为0，当x 0，y随x的增大而减小】例15、（1）若抛物线y x2 mx 2m的顶点在y 轴右侧，求m的取值范围；（2）已知抛物线y x2 2（k 1）x 16 的顶点在x轴上，求k 的值；（3）若抛物线y x2 2（k 1）x 16 的顶点在y 轴，求k 的值．【答案：（1）m 0；（2）k 3或k 5；（3）k 1】3、二次函数交点式；例16、抛物线y x2 bx c经过点（0, 3）和（ 1,0），那么抛物线的解析式是．2【答案：y x2 2x 3】例17、二次函数的图像经过点（ 1,0），（3,0），且最大值是3，求二次函数的解析式．3 2 3 9【答案：y x2x 】4 2 4例18、已知抛物线y ax2 bx c（a 0）与x轴的两交点的横坐标分别是1和3，3与y 轴交点的纵坐标是；（ 1 ）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线2的开口方向，对称轴和顶点坐标．1 2 3【答案：（1）y x x ；（2）开口向上；对称轴：直线x 1 ；顶点坐标（1,2）】22课后练习练1．抛物线y x2 6x 5 的顶点坐标为．【答案：(3, 4) 】练2．已知一元二次方程x2bx 3 0的一根为3 ，在二次函数y x2 bx 3 的451图象上有三点( ,y1)、( ,y2)、( ,y3)，y1、y2、y3 的大小关系是．546【答案：y1 y2 y3 】练3．已知函数y (k－3)x2 2x 1的图象与x轴有交点，则k 的取值范围是．【答案：k 4 】23练4．若二次函数y x2x c图象的顶点在x 轴上，则c ．29【答案：c 】16练5．抛物线y ax2 bx c在点(3,1)处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标为8 ，则它的解析式为．【答案：y x2 6x 8 】练6．已知抛物线y ax2 bx c经过(1,2) 、(3,0) 两点，它在x轴上截得线段的长为6 ．求此抛物线的函数解析式．答案：1 2 3 27 1 2 9【答案：y x x 或y x 】8 2 8 4 4练7．已知抛物线y x2 mx 2与直线y 2x b 相交于M 、N两点，点M 、点N 的横坐标分别是7 和－2．求：（1）M、N 两点的坐标；（2）直线和抛物线的解析式；（3）若坐标原点是O，求MON 的面积．【答案：（1）M（7, 30），N（ 2, 12）；（2）y x2 3x 2；y 2x 16；（3）S MON72】练8．抛物线y ax2 bx c过点0, 1 与点3,2 ，顶点在直线y 3x 3 上，a 0 ，求此二次函数的解析式．【答案：y x 2 4x 1】练9．已知二次函数图象与x轴交于A（ 2,0），B（3, 0）两点，且函数有最大值是2．（1）求二次函数的图象的解析式；（2）设次二次函数的顶点为P ，求ABP的面积．8 8 48【答案：（1）y x2x ；（2）S ABP 5】ABP25 25 25练10．已知抛物线y x2 mx m 2 ．（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y x2 mx m 2与x轴交于整数点，求m的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B. 若M 为坐标轴上一点，且MA MB ，求点M 的坐标．【答案：（1）b24ac 0；2）m 2；（3）（1，0）或（0,1）】课后小测验121. 将抛物线y x2向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为，再向右3平移 3 个单位得到的抛物线的解析式为，并分别写出这两个函数的顶点坐标、．1 2 1 2 【答案：y 3x22；y 3(x 3)22；(0, 2) ；(3, 2)】332. 抛物线y x2 6x 16 的顶点坐标为________________ ．【答案：(3, 25)】3. 二次函数y x2 bx c的图象沿x轴向左平移 2 个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y x2 2x 1，则b与c分别等于 _____________ ．【答案：－6，6】4. 已知抛物线的顶点坐标为(1,1)，且抛物线过原点，则抛物线的关系式是．【答案：y x2 2x 】5. 抛物线y x2 bx c与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，ABC的面积为1，则b的值为___________ ．【答案：3 】本章小结。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
.
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：〔1〕一般式：y=ax2+bx+c 〔a，b，c为常数，a0〕，那么称y为x的二次函数。
顶点坐标〔-b/2a，〔4ac-b^2〕/4a〕〔2〕顶点式：y=a〔x-h〕2+k或y=a〔x+m〕^2+k〔a，h，k 为常数，a0〕。
〔3〕交点式〔与x轴〕：y=a〔x-x1〕〔x-x2〕
〔4〕两根式：y=a〔x-x1〕〔x-x2〕，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
〔1〕任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a
〔x-h〕2+k，抛物线的顶点坐标是〔h，k〕，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a〔x-h〕2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
〔2〕当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a〔x-x1〕〔x-x2〕，二次函数y=ax2+bx+c 可转化为两根式y=a〔x-x1〕〔x-x2〕。
第 1 页。
二次函数交点式公式
二次函数交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线][仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限：X>0，Y>0点P(x,y)在第二象限：X<0，Y>0点P(x,y)在第三象限：X<0，Y<0点P(x,y)在第四象限：X>0，Y<02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数，y=0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数，x=0点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
二次函数交点式公式
y=a(x-x1)(x-x2) 的函数图象
我 们 来 画 二 次 函 数 y=2(x-1)(x-3) 、 y=3(x-2)(x+1) 、 y=-(x+4)(x+3)的图象，并研
究函数与x轴的交点坐标。y=Leabharlann (x-x1)(x-x2) 的函数图象
y
4
3
2 1
c
与X轴的交点坐标
x1
O x2
x (x1,0) (x2,0)
与Y轴的交点坐标及它关
（
b 2a
，4ac 4a
） b2
于对称轴的对称点
(0, c)
(
b a
,
c)
y=-2(x+1)2-8 y=3(x+1)(x-3)
y=x2-4x-5 y=-x2+5
y a x
b
2
4ac
b2
2a
4a
直线x b 2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
a 0,当x b , 2a
y最小 4ac b2 ) 4a
a>0，x≤-b/2a,y随x增大而减小 x≥b/2a,y随x增大而增大
y
对称轴直线x=
b 2a
(
b
a,
c)
顶点坐标（
b 2a
， ） 4ac b2 4a
（2，0）（-1，0） （-4，0）（-2，0）
y=a(x_-_x_1 )(x_-_x_2) （a交≠0点）式 (x1,0),( x2,0)
二次函数的交点式（两根式）：y＝a(x－x1)(x－x2)， 其中x1 ，x2 为两交点的横坐标.
二次函数交点式
二次函数交点式二次函数是一个方程，形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，a不等于0。
它以抛物线的形式呈现，因此可以有交点。
对于两个二次函数y₁=ax₁²+bx₁+c₁和y₂=ax₂²+bx₂+c₂，它们的交点可以通过求解方程y₁=y₂，即ax₁²+bx₁+c₁=ax₂²+bx₂+c₂得到。
求解这个方程，我们可以将两个二次函数等式的右侧移动到一边，得到ax₁²+bx₁+c₁-ax₂²-bx₂-c₂=0。
我们可以将方程化简成ax₁²+bx₁-ax₂²-bx₂+c₁-c₂=0。
进一步将方程进行合并，得到a(x₁²-x₂²)+b(x₁-x₂)+(c₁-c₂)=0。
我们可以发现，这个方程非常类似于二项式(a+b)(x₁-x₂)的平方差公式。
根据平方差公式，a(x₁²-x₂²)=a(x₁+x₂)(x₁-x₂)，b(x₁-x₂)=b(x₁+x₂)(x₁-x₂)，我们可以将方程改写成(a(x₁+x₂)+b)(x₁-x₂)+(c₁-c₂)=0。
如果x₁不等于x₂，那么方程可以进一步简化为(a(x₁+x₂)+b)+(c₁-c₂)(x₁-x₂)=0。
我们可以将方程左侧的因式(a(x₁+x₂)+b)和右侧的因式(c₁-c₂)(x₁-x₂)分别记为D和E，得到D+E=0。
我们可以进一步将方程化简为(x₁+x₂)/2=-b/a，(c₁-c₂)/(x₁-x₂)=D/E。
观察D和E的正负性可以得到方程的解。
1.当D和E同时为正数或同时为负数时，方程没有实数解。
因为正数除以正数和负数除以负数，结果都是正数。
2.当D和E不同时为正数或负数时，方程有两个实数交点。
这是因为正数除以负数或负数除以正数，结果都是负数。
综上所述，当D和E同时为正数或同时为负数时，二次函数没有实数交点；当D和E不同时为正数或负数时，二次函数有两个实数交点。
二次函数的顶点式和交点式
二次函数的顶点式和交点式二次函数，这个名字听起来有点高大上，其实它就像我们生活中的一部分，虽说它的公式和图形看起来有些复杂，但实际上很有趣哦。
说到二次函数，首先要提到的是它的顶点式和交点式。
嘿，别紧张，我会把它们说得轻松点，咱们就像朋友聊天一样。
你想象一下，二次函数就像一条弯弯曲曲的山路，顶点就像山顶，交点就是路和地面的交汇。
顶点式呢，简直就像个小秘密，它让我们轻松找到那座山的最高点，公式是 y =a(x h)² + k，里面的 h 和 k 就是顶点的坐标。
听起来复杂，但其实就像把一个拼图拼好，找到对的位置，哎呀，爽快得很！再来说说交点式，它的样子就像个大招牌，标明了这条路的起点和终点。
公式是 y = ax² + bx + c，a、b、c 听起来像是朋友的名字，实际是这条曲线的构成要素。
交点式的魅力在于，它能告诉你这条曲线和 x 轴、y 轴的交点在哪儿。
想想看，如果你开车在山路上，看到路牌就知道该往哪儿走，交点式就有点这个意思，明明白白的！你可以通过求解方程来找到这些交点，简直就是在解谜一样，乐趣无穷。
有些小伙伴可能会觉得，哎呀，数学真无聊。
其实不然，咱们可以把二次函数想象成一个炫酷的游戏。
顶点式和交点式就像游戏里的两个角色，各自有各自的任务。
顶点式负责告诉你“嘿，我在这里，快来找我！”而交点式则告诉你“喂，看看这条线在哪儿交错！”这两个角色互相配合，让整个数学世界变得丰富多彩。
大家平常在生活中遇到的很多情况，比如抛物线的运动，都是二次函数在默默发挥作用呢，真是不可思议。
说到这里，不禁让我想到一个有趣的例子。
想象一下，你扔了一颗球，它的轨迹就是一条抛物线。
球的最高点就是顶点，而它落地的地方就是交点。
这种情况在生活中可常见了，咱们出去玩的时候，投个球，扔个飞盘，这些都能感受到二次函数的魅力，感觉自己就像个数学家，哈哈！这些公式的背后其实是很美妙的自然规律，有种“天人合一”的感觉。
二次函数公式顶点式交点式两根式之欧阳与创编
二次函数公式顶点式交点式两根式之欧阳与创编二次函数是一种常见的函数形式，其数学表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在本文中，将介绍三种表示二次函数的常用公式：顶点式、交点式和两根式。
这些公式在解决二次函数相关问题时非常有用。
一、顶点式：二次函数的顶点式是f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
顶点式的形式非常简洁，可以直接得到二次函数的顶点坐标。
为了将二次函数转换为顶点式，我们需要用完全平方公式将其展开。
具体的步骤如下：1. 将一般式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的二次项系数a设为1、如果原二次函数的二次项系数不为1，可以通过提取公因式将a提取出来。
2. 将二次项系数a直接与x^2写在一起，形式为a(x^2 + bx)。
3. 利用完全平方公式将x^2 + bx部分展开。
完全平方公式为(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2，其中x和y为任意实数。
4. 根据完全平方公式，我们可以将x^2 + bx展开为(x + b/2)^2 - (b/2)^25.将展开后的表达式代入二次函数原式中，得到f(x)=a[(x+b/2)^2-(b/2)^2]+c。
6. 根据代数运算的基本原理进行展开，得到f(x) = a(x^2 + bx + b^2/4) - ab^2/4 + c。
7. 将展开后的表达式进行整理，得到f(x) = ax^2 + bx - ab^2/4 + c。
8. 将二次项系数a重新恢复到原来的值，得到顶点式f(x) = a(x -h)^2 + k，其中h = -b/2a，k = c - ab^2/4a。
顶点式可以直接得到二次函数的顶点坐标(h,k)，且通过观察可以得到该二次函数的开口方向（开口向上或开口向下）。
当a>0时，二次函数的开口向上；当a<0时，二次函数的开口向下。
二、交点式：二次函数的交点式是f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中(x1,0)、(x2,0)为二次函数的两个根。
二次函数解析式的三种形式
二次函数解析式的三种形式
一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，下面总结了二次函数的表达式，供大家参考。
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c (a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
二次函数的性质
1.二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
2.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
3.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
4.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)。
当c>0时，图像与y轴正半轴相交。
当c<0时，图像与y轴负半轴相交。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式一般地 ,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a ,b ,c为常数 ,a0) ,那么称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a ,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a ,h ,k为常数 ,a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2) ,其中x1 ,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标 ,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根 ,a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k ,抛物线的顶点坐标是(h ,k) ,h=0时 ,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时 ,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时 ,抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时 ,即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时 ,根据二次三项式的分解公式
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ,二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式
y=a(x-x1)(x-x2)。
1 / 1。
二次函数解析式交点式
二次函数解析式交点式
一、表达式形式
二次函数的交点式解析式为：y = k（x-x1）（x-x2），其中（x1，0）和（x2，0）是二次函数与x轴的两个交点的坐标，k为常数。
二、交点坐标
当y=0时，二次函数与x轴交于两点，其横坐标为x1和x2。
三、确定系数
使用交点式时，需要先确定k、x1、x2的值。
通常情况下，可以先将已知的二次函数与x轴的交点坐标代入解析式中，解出k的值，再利用其他条件求出x1和x2的值。
四、适用范围
交点式适用于已知二次函数与x轴的交点坐标和对称轴的情况下，方便求解方程和计算函数值。
五、与一般式比较
二次函数的一般式为y=ax^2+bx+c，交点式在形式上更加简洁，并且能够直接反映二次函数与x轴的交点情况。
相比之下，一般式在求解方程和计算函数值时需要先进行配方或者分解因式等计算步骤。
六、与顶点式比较
二次函数的顶点式为y=a（x-h）^2+k，其中（h，k）为顶点坐标。
相比之下，交点式没有直接包含二次函数的顶点坐标，但可以通过解方程组得到顶点坐标。
同时，在某些情况下，使用交点式可以更加方便地求解方程和计算函数值。
七、应用领域
交点式在数学领域有着广泛的应用，如代数、几何、分析等。
在解决实际问题中，交点式也经常被用来建模和分析数据。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，交点式被用来描述实验结果、预测模型、分析数据等方面。
二次函数交点式怎么用例题
二次函数交点式怎么用例题
什么是二次函数？
二次函数是指以x为自变量，y为因变量的函数形式：y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，它是一种特殊的多项式函数。
什么是二次函数交点式？
二次函数交点式是指两个相交的二次函数之间的交点，即找到两个不同的二次函数之间的共同点。
二次函数交点式怎么用例题？
下面是一个二次函数交点式的例题：
已知直线 y = 2x + 3 和曲线 y = x2 - 3x - 4 相交于A, B 两点，求AB两点的坐标。
解：
将直线 y = 2x + 3 和曲线 y = x2 - 3x - 4 替换入方程组：
2x + 3 = x2 - 3x - 4
化简得：x2 - 5x - 7 = 0
解得：x1 = 7, x2 = 1
代入原方程得：
当 x = 1 时，y = -4，即A（1，-4）
当 x = 7 时，y = 17，即B（7，17）
故AB两点的坐标分别为A（1，-4），B（7，17）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，则该函数可以表示为
（2）若二次函数是
y a( x x1 )(x x2 )
的形式，
则该抛物线与x的交点坐标是 ( x1 ,0)、 ( x2 ,0) 故我们把这种二次函数的关系式叫做交点式（也叫 两根式）
练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐 标轴的交点坐标.
（1） y x 2 3x 2 （2）y 3x 2 9 x 12（3） y 2 x 2 12x 10
2、如果抛物线y=x2+px+q 的顶点坐标是（2，-1）， 则p= ______;q=_______
3、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负 半轴上，那么b等于多少？
4、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上 则b= ________
5、抛物线 y=x2+bx+1有最小值1，则 b= ________
y a( x x1 )(x x2 )
二
次
函
数 对 称 轴 顶点
与坐标轴交点
2 b b 4 ac b 一般 与 y 轴交于点 x 2 ( , ) 2a 2a 4a （0，c ） 式 y ax bx c(a 0) 顶点 2 y a ( x h ) k 直线x=h （h，k） 式
直线x=1
（-1,0）、（3,0）
直线x=-2
（-1,0）、（-3,0）
直线x=1
（-1,0）、（3,0）
x1 x2 2
归纳：
二次函数 y a( x x1 )(x x2 ) 的对称轴是直线
顶点是（ x1 x2 , 代入解释求 y）
2
x
练习： ，则对称轴是 直线x=1
1、若二次函数的图象与轴的交点坐标是（3,0），（-1,0）
画出函数
y x 3x 1
的图象
一般取五个点：与x的交点（-3,0）、（-1,0），顶点（1、8）、
与y轴的交点（0,3）、还有（0,12）关于对称轴对称的点（2,15）
1、(1)二次函数 y=x2-４x+3
的对称轴是_____
(2)二次函数y=2x² -mx-4的对称轴是直线x=-2，则 m=_______
1、用十字相乘法对下列二次函数的解析式进行改写：
（1）y x2 2x 3 （2）y x 2 4 x 3 （3）y 2x 2 8x 6
y=(x+1)(x-3)
y=(x+1)(x+3)
y=2(x+1)(x+3)
（2）求以上二次函数与x轴的交点坐标
与x轴的交点
y x2 2x 3
你有什么 发现吗？
（-1,0）、（3,0）
（-1,0）、（-3,0） （-1,0）、（3,0）
y x 2 4x 3
y 2 x 2 8x 6
（1）若二次函数
y ax2 bx c(a 0)
与x轴的交点坐标是
y a( x x1 )(x x2 )
( x1 ,0)、 ( x2 ,0)
2、若二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,0），（1,0） ，则对称轴是 直线x=-1
3、若二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0） ，则对称轴是 直线x=-2 .
练习：求下列二次函数的 2x 2x 3 (3) y 32 x x 4
(1)y=(x-2)(x-1)
(2,0)、(1,0)
(2)y=3(x-4)(x+1)
(3)y=2(x-1)(x-5)
(4,0)、(-1,0)
(1,0)、(5,0)
求下列函数的对称轴，并观察它与两个交点 的横坐标有什么关系：
( x1 ,0)、 ( x2 ,0)
（1）y x2 2x 3 （2）y x 2 4 x 3 （3）y 2x 2 8x 6