人教A版高中数学选修长春实验微积分基本定理导学案(1)

【学习目标】

1．通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；

2．通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法；

3. 真心把握牛顿-莱布尼兹公式，放心解决函数定积分。

【重点难点】

重点：微积分基本定理

难点：准确求函数的定积分 【自主学习】

一．知识链接：

1．定积分的概念：()b

a f x dx ⎰=

2．定积分的几何意义：

3．定积分的性质：

4．求定积分的方法：

（1） ； （2） ；

5．运动物体的位移)(t S 和速度)(t v 的关系：

二．思考：

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为)(t S ，速度为)(t v 在某段时间

],[21t t 内经过的路程为S ，则有

1．用速度怎么表示S 呢？能用定积分表示吗？

2．可以用位置函数)(t S 表示S 吗？

3．从上面的问题中，你能发现速度函数和位置函数的关系吗？

【合作释疑】

合作探究一：微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）

定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰。或写成()()|()()b

b a a f x dx F x F b F a ==-⎰。 思考：

1．函数()f x 的原函数只有()F x 一个吗？

2．因为)(])(['

'x F C x F =+（C 为常数）,为什么微积分基本定理不用C x F +)(表示呢？

3．利用微积分基本定理求定积分的关键是什么？如何实现这些？

合作探究二：

例1．计算下列定积分的：

（1）dx x 21

0⎰ （2）dx x

121⎰

（3）dx x x )12(2

31-⎰

（实验班）计算（1）dx e x x ）（+⎰-cos 0

π （2）dx x 2

sin 220π

⎰

【巩固训练，整理提高】

一．例题讲解

例2．计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π

ππ

π⎰⎰⎰ 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。

解：

二．通过本节课的学习，你有哪些收获？（阅读教材54页最后一自然段）

1．知识上

2．思想方法上

3．反思

三．巩固训练题

1.计算dx x

x )12(261-

⎰=_________ 2．计算dx x )1(21-⎰=________ 3．抛物线x x y -=2

与x 轴围成的图形的面积为（ ） A.

81 B. 1 C. 61 D. 2

1 4．若)1(2ln 3)12(1>+=+⎰a dx x x a ，则=a （ ） A.6 B. 4 C.3 D.2

5．（实验班）设函数)0()(2≠+=a c ax x f ，若

10),()(0010≤≤=⎰x x f dx x f ，则0x 的值为_____

【作业】

1．教材55页习题1.6A 组第1题

2．(实验班)计算dx e x 221⎰的值，你能总结这类题的规律吗