2019年高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式学案理北师大版

第一节 不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(对应学生用书第92页)[基础知识填充]1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )；a －b ＜0⇔a ＜b(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0).a b ＜1⇔a ＜b2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )； (6)开方法则：a >b >0⇒n ≥2，n ∈N )；(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.3．“三个二次”的关系(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式的解法[知识拓展] 1.倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.2．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋ma ＋m.3．(1)f (x )g (x )＞0(＜0)⇔f (x )·g (x )＞0(＜0)． (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式． 4．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( ) (2)a >b ⇔ac 2>bc 2.( )(3)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(6)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集一定不是空集．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√2．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞0，ab ＞0，又当ab ＞0时，a 与b 同号，结合a ＋b ＞0知a＞0且b ＞0，故“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的充要条件．]3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．ab>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．(教材改编)若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b ＝________. －14 [由题意知x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2(经检验知满足题意)．∴a ＋b ＝－14.](对应学生用书第93页)(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b(2)(2017·山东高考)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a(1)A (2)B [(1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，∴c ≥b ＞a .(2)法一：∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1. ∵b 2a ＝1a2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a， 又∵b ＝1a ，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a(1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 故选B.法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 2 52，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 故选B.]．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特＞b 3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2x x －1，则f (a )与f (b )的大小关系是( )【导学号：79140188】A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＜f (b )C ．f (a )≤f (b )D ．不确定(1)A (2)C [(1)a ＞|b |能推出a ＞b ，进而得a 3＞b 3；当a 3＞b 3时，有a ＞b ，但若b ＜a ＜0，则a ＞|b |不成立，所以“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的充分不必要条件，故选A.(2)∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－b b －1 ＝m 2·a (b －1)－b (a －1)(a －1)(b －1)＝m 2·b －a(a －1)(b －1)，当m ＝0时，f (a )＝f (b )； 当m ≠0时，m 2＞0， 又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )． 综上，f (a )≤f (b )．]解下列不等式： (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根时，不等式解集为R 或求：求出对应的一元二次方程的根写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2.解含参数的一元二次不等式的步骤：二次项中若含有参数应讨论是等于不等式或二次项系数为正的形式判断方程的根的个数，讨论判别式确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式[跟踪训练] (1)不等式x －5≥－1的解集为________．(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A ．{x |2<x <3} B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x ＞5(2)B [(1)将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x ＞5.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x ＞5. (2)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]◎角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140189】(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ◎角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. ◎角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.]形如x ＞0x ＜x ∈的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解形如x ＞0x ＜x ∈[a ，b 的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.形如x ＞0x ＜参数∈[a ，b 的不等式确定换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数[跟踪训练] (1)(2017·四川宜宾一中期末不等式x 2－立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定(1)A (2)C [(1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.]。