28[1].1.3圆周角课件

2、右图是一个圆形的零件， 你能告诉我，它的圆心的位置 吗？你有什么简捷的办法？
3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角 分别为（2x＋100）°和（5x－30）°， 求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
练习一： 1.求圆中角X的度数。
35°
O
A
120°
120°
.
B A
70° x
O X
.
O
A
B
C 2.如图，圆心角∠AOB=100°，则 130° ∠ACB=___。 3、 如图，在直径为AB的半 圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500， 则∠CAD=_________ 25°
半圆或直径所对的圆周角都相等， 都等于90°（直角）。 反过来也是成立的，即 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
三、探究同一条弧所对的圆周 角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
一、回顾
如下图，同学们能找到圆心角吗？它 具有什么样的特征？
顶点在圆心，两 边与圆相交的角叫做 圆心角。
二、认识圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？
像图（3）中的角就是圆周角，而图 （1）、（2）、（4）、（5）中的角都不 是圆周角。
思考： 如何判断一个角是不是圆周角 ?
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做 圆周角 。 练习:指出下图中的圆周角。
证明：因为OA＝OB＝OC， ∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形 ∠OAC＝∠OCA， ∠OBC＝∠OCB 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝ 180° 图 23.1.9
180 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝ 2 ＝90°
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B）， ∠ACB总等于90°
结论
（同圆或等圆中，相等的圆周角 所对弧相等）。
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的 半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. 分析： O 证明： ∠ACB= 1 ∠AOB 2 ∠BAC= 1 ∠BOC A C 2 B ∠AOC=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC
练习：
1.如图，已知圆心角∠AOB的度 数为100°，求圆周角∠ACB的度 数。 答案：130° A O B
∠ACB= 2 ； 1 ∠ADB= AOB ； 2 ∠ ACB =∠ADB .
AOB
例
如图，AB为⊙O的直径， ∠A=80°，求∠ABC的度数。 解：∵AB为⊙O的直径
A
∴∠C=90°，
又∠A=80° ∴ ∠B=10 °
B O
图 23.1.12
1、试找出图中 所有相等的圆周角。
（第 1 题）
内容小结：
(1)一个概念（圆周角） (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弧所对的圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角 相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
练习二： 如图，P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等 边三角形。 A 证明：∵∠ABC和∠APC · 都是 ⌒ 所对的圆周角。 O AC C ∴∠ABC=∠APC=60° B (同弧所对的圆周角相等） 同理，∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对 BC 的圆周角，∴∠BAC=∠CPB=60°。 ∴△ABC等边三角形。
定理的证明（1）圆心在∠B来自C的一边上.A 由于OA=OC 因此∠C=∠BAC C 而∠BOC=∠BAC+∠C 1 ∠BOC 所以∠BAC= 2
O B
（2）圆心在∠BAC的内部. 作直径AD. 1 由于∠BAD= 2∠BOD A 1 ∠DAC= 2∠DOC， 所以∠BAD+∠DAC= O 1 （∠BOD+∠DOC） B C 2 1 D 即∠BAC= 2 ∠BOC
2、分别量出图23.1.10中弧AB 所对的圆周角和圆心角的度数， 比较一下，你发现什么？
演示
图 23.1.10
为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对 折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C， 这时可能出现三种情况: （1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部, （3） 折痕在圆周角的外部。
C
课堂小结
1、圆周角的概念.
顶点在圆上，角的两边与圆相交的角。 2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于所对圆心角 的一半。
作业：P.42 习题28-1
4、6、7.
（3）圆心在∠BAC的外部.
作直径AD. 1 由于∠DAB= 2 ∠DOB
1 ∠DAC= 2∠DOC， 所以∠DAC-∠DAB= 1（∠DOC-∠DOB） 2 1 ∠BOC 即∠BAC= 2
A O D C B
结论：
在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等， 都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧也相等。 如图：则有 1
P
练 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 习 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 三 求证：⌒ ⌒ BD=DE A
证明：连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， E ∴∠ADB=90°， C D B ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴⌒ ⌒ BD= DE
A
C
O D
E
×
（1）
O
O
√
×
（3）
O
×
O
（2）
（4）
O
×
B
√
（5）
F （6）
三、探索半圆或直径所对的圆周角 的度数
如图，线段AB 是⊙O的直径，点C 是⊙O上任意一点 （除点A、B）, 那 么,∠ACB就是直径 AB所对的圆周角. 想想看,∠ACB会是 怎么样的角？为什 么呢？
演示 图 23.1.9