北京大学科学学院 03 数学分析 期末
北京科技大学历年数学分析考研真题汇编(2003-2017)
数展开式；
（2）证明： 1 sin t
1 t
1n
n1
t
1 n
t
Байду номын сангаас1 n
，
t
不是
的整数倍；
（3）利用上面结果计算广义积分： sin x dx 。
0x
北京科技大学 2013 年硕士学位研究生入学考试试题
=============================================================================================================
0 ，求曲线C
距离 XOY
面最远的点和
最近的点。
7．（15 分）设 f x 在a, b 连续，在 a, b 可导，且 f x 0 。试证明：存在
, a, b ，使
f f
eb b
ea a
e
。
8．（15 分）设 f (x) 在区间[1,1]上连续且为奇函数, 区域 D 由曲线y 4 x 2 与
a
4a
(a,b), 使得
f ( ) f ( 2 ) 1 . 4(b a)
1
（2）求极限 lim x et d t x x 0
3. (20 分 )
设
f
(x )
g(x) x
ex
,
x 0 ， 其 中 g(x) 有 二 阶 连 续 的 导 数 ， 且
0,
试题编号： 613 试题名称：
数学分析
（共 2 页）
适用专业：
数学，统计学
数学分析(下)_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数学分析（下）_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1. 4. 设y=f(x1,...,xn)是Rn上连续函数，E={(x1,..xn,y):y=f(x1,...xn),(x1,...,xn)属于Rn}。
则：E是【图片】上的闭集。
参考答案:正确2. 2. 函数【图片】在(0,0)点可微。
参考答案:正确3. 1. 已知三角形ABC的三个顶点为A(2,1,3),B(1,2,1),C(3,1,0)，求BC边上的高AD的长。
参考答案:根号35/64. 5. 求以原点为顶点，z轴为轴，半顶角为α的直圆锥面方程为【图片】.参考答案:正确5. 2. 已知平面经过点M(4,-3,-2),且垂直于平面x+2y-z=0和2x-3y+4z-5=0,求这个平面的方程。
参考答案:5x-6y-7z-52=06.8. 证明：Rn中点列{Pk}收敛的充要条件是：参考答案:{Pk}是基本列7.7. E是Rn中紧集的充要条件是：参考答案:E是有界闭集8. 6. 设z=f(x,y)在区域D有定义，关于x和y分别都是连续函数，且关于x单调. 则z=f(x,y)在区域D内连续.参考答案:正确9.7.设【图片】,若【图片】是由【图片】所确定的隐函数，【图片】.求【图片】参考答案:-110. 1. 设【图片】则【图片】在【图片】点是否连续？偏导数是否存在？参考答案:不连续，存在11. 3. 函数【图片】在(0,0)点可微。
参考答案:错误12. 3. P是E的聚点的充要条件是：存在E中点列{Pk}，且，Pk不等于P，k=1，2，...,使得k趋于无穷时，Pk的极限是P..参考答案:正确13. 5. 函数【图片】的稳定点是____，此点是____（填极小值点或极大值点）。
参考答案:(1,2)极小值点##%_YZPRLFH_%##(1,2)，极小值点##%_YZPRLFH_%##(1,2) 极小值点14.8. 设【图片】可微，它所表示的曲面与【图片】平面的交线为【图片】且【图片】.求【图片】.参考答案:-215. 1. 设E是Rn的一个子集，E0是E的内点构成的集合. 则E0是开集.参考答案:正确16. 6. 设【图片】,若【图片】是由【图片】所确定的隐函数，【图片】.求【图片】参考答案:-217.9. 设【图片】是由方程【图片】所确定的隐函数，并且满足【图片】.则【图片】的极值为____.参考答案:818. 2. 设E是Rn中开集，F是Rn中闭集. 则E-F是开集，F-E是闭集.参考答案:正确19. 5. 设P是Rn上任意一点，E是Rn中给定的一个子集. 定义P到E的距离为:d(P,E)=inf{d(P,Q),Q属于E}。
(整理)数学分析(3)期末试题B答案
2.()Lx y ds +=⎰ 其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 （ A ）A. 1+B. 1C.D. 03.()Ly x dy -=⎰.，其中L 为直线,AB(1,1),(2,2)A B （ D ）A. 1B. 2C.12D. 0 4 Syzdxdy =⎰⎰ ,其中S 是球面2221x y z ++=的上半部分并取外侧为正向。
( D )A. 2πB. πC. 1D. 05.Lydx xdy +=⎰. , 其中22:1L x y += （ A ）A. 0B. 1C. 2D. 3精品文档二、填空题：（本题共5小题, 每小题4分，共20分）1. 22()Dx y dxdy +=⎰⎰8π, 其中22:4D x y +≤ 2.Vxyzdxdydz =⎰⎰⎰8. 其中:02,0V x y z ≤≤≤≤≤≤3. 将(,)DI f x y d σ=⎰⎰ 化成先对x 后对y 的累次积分为24422(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰其中D 由24,2y x y x =-=围成。
4. 设L 是半圆周,0,sin ,cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x L则第一型曲线积分()22Lxy ds +=⎰ π5. 格林公式建立了区域D 上二重积分与D 的边界曲线L的第二型曲线积分之间的联系。
设函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域D 上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为LPdx Qdy +=⎰()DQ Pdxdy x y∂∂-∂∂⎰⎰。
(本题共2小题，每题10分, 共20分）1．计算DI dxdy =⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。
。
3分先对x 后对y 积分：11112yxI dy dx dx dy ===⎰⎰⎰⎰ 。
6分2. 计算xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω 是三个坐标面与平面 x精品文档+ y + z =1所围成的区域解 画出区域 D ： 0101y x x ≤≤-≤≤ 。
第三学期数学分析期末考试题及答案
第三学期《数学分析》期末试题一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000； Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。
3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。
4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。
5、设yx ez =，则=∂∂+∂∂yz y x z x （A ）A 、0；B 、1；C 、-1；D 、2。
二、计算题（50分，每小题10分）1、 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、 设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d ex f 0)(),(,)(2求ττ；3、 设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、 计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、 计算zdS ∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldzy x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f 在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++10333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。
北京科技大学数学分析考研试题答案2003年
因为收敛，由(威尔斯-特拉斯判别法)知，得证. 十、解
2003年数学分析答案 一、解
(1) 但f(x)在x=0处无定义，因此x=0为f(x) 的可去间断点，也称为第一类间 断点.
(2) 在x=1处，因为， ，
左极限右极限，故x=1是f(x)的跳跃间断点，也是第一类间断点. (3) 在处，，
，左极限右极限，所以是f(x)的跳跃间断点，也是第一类间断点. 考查点：间断点的类型
1.可去间断点 若而f在点无定义，或有定义但则称为f的可去间断点. 2.跳跃间断点 若函数f在点的左右极限都存在，但则称点为函数f的 跳跃间断点. 3.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.第一类间断点的 特点是函数在该点处的左、右极限都存在. 4.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存 在的那些点，称为第二类间断点. 5.找间断点的方法 i) 使得函数无意义的点（即考查函数的定义域），比如使分母为0 的点，使中的点. i) 左右极限不相等的点，通常考虑，尤其是函数中含有的形式. iii) 考虑. 例1 解 但是f(x)在x=0处无定义，故x=0是函数的第一类间断点中的可去 间断点. 例2 , 解 x=0处不存在，故x=0是函数的第二类间断点. x=1处，但是函数在x=1处无定义，故x=1是函数的第一类间断点中 的跳跃间断点. 例3 是函数的第二类间断点. 二、(1) 证明 因为，所以，也就是说数列{}有界.令，则，所以f(x)单调 递增，所以，即{}是单调递增数列.由单调有界定理知数列{}收敛。 (2) 设，求解得x=1，即. 考查点：单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 求极限的方法之一，设出把x直接带入题中等式，解方程。
三、证明 令，则f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由柯西中值定 理知，至少存在一点使得，整理即证. 考查点：柯西中值定理的应用
北京大学《数学分析(Ⅲ)》2020-2021学年第一学期期末试卷 (2)
北京大学《数学分析（Ⅲ）》2020-2021学年第一学期期末试卷《数学分析（Ⅲ）》院/系——年纪——专业——姓名——学号——一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在(a,b)上单调递增C. f(x)在[a,b]上单调递减D. f(x)在(a,b)上单调递减2. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b) = 0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得（ ）A. f'(ξ) = 0B. f'(ξ) > 0C. f'(ξ) < 0D. 以上都不一定3. 关于函数极限的ε-δ定义，以下说法正确的是（ ）A. 对任意ε>0，总存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εB. 对任意δ>0，总存在ε>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εC. 对任意ε,δ>0，当|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<εD. 以上都不对4. 设z = f(x,y)在点(x0, y0)处可微，则（ ）A. dz在(x0, y0)处连续B. dz在(x0, y0)处有界C. dz在(x0, y0)处可导D. dz在(x0, y0)处存在偏导数5. 设u = u(x,y,z)有连续的二阶偏导数，则（ ）A. u关于x的二阶偏导数与关于y的二阶偏导数一定相等B. u关于x的二阶偏导数与关于y的二阶偏导数一定不相等C. u关于x,y的二阶混合偏导数与关于y,x的二阶混合偏导数一定相等D. 以上都不一定6. 设函数$f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，若$f'(x) > 0$对所有$x \in (a, b)$成立，则$f(x)$在$[a, b]$上（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 可能递增也可能递减D. 为常数7. 设$f(x)$在$x = x_0$处可导，且$f'(x_0) > 0$，则对于充分小的$\Delta x > 0$，有（ ）A. $f(x_0 + \Delta x) < f(x_0)$B. $f(x_0 + \Delta x) > f(x_0)$C. $f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)$D. 无法确定8. 若$\lim_{{x \to \infty}} f(x) = L$，则下列说法正确的是（ ）A. $f(x)$在$x \to \infty$时单调B. $\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = L$C. $f(x)$在$x \to \infty$时一定有界D. $\lim_{{x \to x_0}} f(x)$不一定存在9. 设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则$f$在$(x_0, y_0)$处的全微分$dz$可以表示为（ ）A. $dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$B. $dz = f_x(x_0, y_0) + f_y(x_0, y_0)$C. $dz = f_x(x_0, y_0) dy + f_y(x_0, y_0) dx$D. $dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$10.设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且对任意$x \in (a,b)$，有$f(x) \geq 0$和$f'(x) \leq 0$，则：A. $f(x)$在$[a,b]$上单调递增B. $f(x)$在$[a,b]$上单调递减C. $f(x)$在$[a,b]$上恒为常数D. $f(x)$在$[a,b]$上无单调性二、填空题（每题3分，共15分）1. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) < 0，则f(x)在[a,b]上的最小值为_______。
北京大学数学科学学院【数学分析 I】课程习题集(参考 谢惠民 数学分析习题课讲义)
或任意 n ≥ N 有 则仍有矛盾. 从而 c = 1.
1 ∈ (c − ϵ, c + ϵ) .
an
解. 取 M > 1 使得
[
]
1
a1, a2 ∈
,M M
.
则归纳易知任意
n
有
an
∈
[
1 M
,
M ],
从而
α = lim sup an, β = lim inf an
n→∞
n→∞
均为正数, 且 α ≥ β. 又从两个方向分别导出不等式, 可得出 αβ = 1. 取 {ank }∞ k=1 收敛于 α, 易证
4
证明. 只须证 α < c < β 的情形. 找 p1 < q1 < p2 < q2 < · · · 使得
xpl > c > xqm (l = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . .). 又存在 pj ≤ rj < qj (j = 1, 2, . . .) 使得
此时
xrj ≥ c ≥ xrj+1.
lim
k→∞
ank −1
=
lim
k→∞
ank −2
=
β.
而 2
ank−3 = ank−1 − ank−2 (nk > 3).
左式关于 k 的上极限不大于 α, 但右式关于 k 的极限为 2α − β > α, 矛盾.
问题 4 (08 上期中). 设 {an}∞ n=1 为单调递增的正整数列. 证明: 数列
cn = max(bn+1, bn) (n = 1, 2, . . .).
则 {cn}∞ n=1 不增且有下界, 故其下确界 c 为其极限值 (显然 c ≥ 1), 从而任 意 ϵ > 0, 存在 N 使得任意 n ≥ N 有
北京大学2020年数学分析试题及解答
+
fy
(u cos θ, u sin θ) sin θ du
du fx (u cos θ, u sin θ) cos θ + fy (u cos θ, u sin θ) sin θ dθ
∫0 r ∫0 r
0
1 u 1 u
0∫
du
fx dy − fy dx (第二型曲线积分)
∫x∫2 +y 2 =u2 du
3
8. (1) 直接套公式可计算出 f (x) 的 Fourier 级数为
sin πp ∑ ∞ (−1)n sin πp ( 1 +
+
) 1 cos nx,
πp
π
p+n p−n
n=1
由于 f (x) = cos px 是分段单调有界的, 故上述级数收敛于 cos px.
(2) 取 x = 0, 由(1) 知：
形 Stokes 公式的证明
∫
∫
R(x, y, z) dz = ∂R dy dz − ∂R dz dx,
L⃗
S⃗ ∂y
∂x
其中 R 是 C1 函数, S⃗ 的方向为 S 的上侧, L⃗ 为 S⃗ 的边界曲线 R 相应的方向.
7.
(15 分) 设 f (x, y) 在 点, 半径为 r 的圆周.
R 上有连续二阶偏导数, 满足 f (0, 0) = 请求出 f (x, y) 在 Cr 上的平均值 A(r)
但是
limn→+∞
√1 n
=
0,
故
f (x)
在
[0, +∞)
上不一致收敛.
注 判断这种在无穷区间上的连续可微函数是否一致收敛, 首先是看函数在无穷处的极限是否存在, 若存在则一
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
北大数学专业课程及教材
北大数学专业课程及教材
北大数学专业的课程和教材可能会根据不同的专业方向和学年的安排有所不同。
以下是北大数学专业的一些常见课程及其常用的教材参考：
1. 高等数学：《高等数学》（同济大学版）、《高等数学》（朱承本、冯跃龙等合编）
2. 线性代数：《线性代数及其应用》（北京大学出版社出版）
3. 概率论与数理统计：《概率论与数理统计》（清华大学出版社出版）
4. 数学分析：《数学分析》（北京大学数学学院编写）
5. 数学建模与计算实践：根据具体的课程内容可能有不同教材
6. 微分方程：《常微分方程教程》（北京大学出版社出版）
7. 数值分析：《数值分析》（北京大学数学学院编写）
8. 抽象代数：《抽象代数》（高等教育出版社出版）
9. 实变函数：《实变函数与泛函分析》（清华大学出版社出版）
10. 积分方程：《积分方程教程》（北京大学出版社出版）
以上仅为一些常见的课程及教材参考，具体的课程安排和教材
使用可以根据北大数学专业的教学计划和师资组织安排而有所不同。
北京大学数学学院期末试题(高代2011-2012第二学期期末)
北京大学数学学院期末试题2011－2012学年第二学期考试科目 高等代数II 考试时间 2012年6月12日姓 名 学 号一. 设A : XAX 是R 4到R 3的线性映射, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211110101101. 1) 求 Im A 的维数 r 与一组基;2) 求 Ker A 的维数与一组基;3) 求R 4的一组基α1 , α2 , α3 , α4 与 R 3的一组基β1 , β2 , β3 ,使得 A α i = β i , 1≤ i ≤ r 且 A α i = 0 , ∀ i > r .二（15分）已知 f ( α , β ) 是 R 3 上的对称双线性函数, 且 f 在基底 α 1 , α 2 , α 3 下的度量矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡520231011 .1) 证明 f ( α , β ) 是 R 3 上的内积 ;2) 求内积 f 的一组标准正交基 β1 , β2 , β3 ;3) 在内积 f 下, α 3的顶点到子空间 < α 1 , α 2 > 的距离是多少?三（16分）求以下矩阵的相似分类(说明理由, 但不需写出过渡矩阵).⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010110A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110011001C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110010011D .四（32分）设 A 是实线性空间V 上的线性变换, 且在基底 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 下的矩阵为 A = .1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ;2) 求V 的根子空间分解, 各个根子空间的基底;3) 对每个根子空间 W , 求多项式 h W ( x ) , 使得 h W ( A )是沿其余根子空间向W 作的投影变换;4) 求V 的一组基, 使得A 的矩阵为Jordan 标准型.五（16分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 设 A , B 分别是 3 ⨯ 5 与 5 ⨯ 3 矩阵. 若B A 可对角化,则 A B 也能对角化;2) 若 A 是 3 维实线性空间 V 到其对偶空间 V * 的线性同构,则存在V 的一组基α 1 , α 2 , α 3 , 使得A ( α i ) = α i * , 3i 1≤≤. 这里α 1* , α 2* , α 3* 是α 1 , α 2 , α 3的对偶基.六 ( 6分) 设分块矩阵 A = , 这里I , A 1 , A 2 ∈ M n (R). 已知线性变换 Y A Y 有唯一的n 维不变子空间W ⊂ R 2n ,且W 与分块矩阵 的列空间的交为零子空间. 求矩阵方程 X 2 + X A 1–A 2 X = I所有解 X ∈ M n (R). ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000110012211212⎥⎦⎤⎢⎣⎡21A I I A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡I 0。
北大数学课程安排
北大数学课程安排
北京大学数学科学学院的课程安排一般分为大一、大二和大三三个阶段。
大一阶段主要是基础课程，大二阶段开始进入专业课程，大三阶段则是深入学习和研究的阶段。
以下是北京大学数学科学学院的课程安排：
大一阶段：
1.高等数学：主要包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等基础课
程。
2.数学分析：主要包括实数论、极限论、函数论、微积分等课程。
3.数学模型与实验：主要包括数学建模、计算机软件使用等课程。
大二阶段：
1.数学分析：主要包括数学分析、复变函数、实变与泛函等课程。
2.线性代数：主要包括线性代数、矩阵论等课程。
3.概率论与数理统计：主要包括概率论、数理统计等课程。
4.数学物理方法：主要包括数学物理方法、量子力学等课程。
大三阶段：
1.数学分析：主要包括数学分析、复变函数、实变与泛函等课程。
2.线性代数：主要包括线性代数、矩阵论等课程。
3.概率论与数理统计：主要包括概率论、数理统计等课程。
4.数学物理方法：主要包括数学物理方法、量子力学等课程。
5.数学方法：主要包括数学方法、数学实验等课程。
6.科研训练：主要包括科研训练、毕业论文等课程。
数学分析第三学期期末复习卷两套卷一卷二
数学分析第三学期期末复习卷两套卷一卷二卷一一、填空（每空2分，共20分）1．设平面点集2R E ∈，点2R a ∈，“a 为E 的聚点”的定义是：2．设},|),({均为整数y x y x E =，则E 的全体界点是：3．设),(xy y x f u +=，则du =4．设函数xyz u =，则函数u 在点)1,0,1(A 处的梯度u grad =5．写出格林公式：设函数),(y x P ，),(y x Q 在闭区域D 上有连续的一阶 偏导数，L 为区域D 的边界曲线，取正方向，则有 ⎰+LQdy Pdx = 6．设V 是锥面22y x z +=与平面1=z 围成的区域，在直角坐标系下将 下列积分化为三次积分=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,( 7．设V 是锥面22y x z +=与平面1=z 围成的区域，将下列积分化为柱面 坐标变换的三次积分=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,( 8．设V 是锥面22y x z +=与平面1=z 围成的区域，将下列积分化为球坐标变换的三次积分 =⎰⎰⎰V dxdydzz y x f ),,(9．S 为球面1222=++z y x ，外侧为正侧，则=⎰⎰Sdxdy ；10．设S 为球面1222=++z y x ，则=++⎰⎰SdS z y x )(222 ；二、求偏导数或全微分（共25分）1．（5分）设x y z arctan =，求xz ∂∂2．（5分）设y x z =，求dz3．（10分）设 ),(2x y y x f z =，求y x z ∂∂∂2 4．（5分）设;,arctanln 22dx dy x y y x 求=+ 四、（10分）设 ⎰-=ydx x f x y y F 0)()()(，（其中f 可微）求)(y F '，)(y F ''。
五、（45分）求下列积分1．（10分）求⎰⎰+=13101y dx x y dy I2．（10分）⎰+Lxdy ydx sin 其中L 为x y sin =（π≤≤x 0）与x 轴所围的闭曲线， 依顺时针方向3．（10分）求⎰⎰SydS 其中S 是右半球面0,2222≥=++y a z y x4．（15分）计算积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面222z y x =+与平面h z =所围空间区域（h z ≤≤0）的表面，方向取外侧。
北京科技大学历年数学分析考研真题答案汇编(2003-2012)
f (x) lim x1
x2n2 1 x2n 1
1
，
lim
x1
f (x)
lim
x1
xn2 0 xn 0
lim
x1
x2
1，左极限 右极限，所以 x 1 是 f(x)的跳跃间断
点，也是第一类间断点. 考查点：间断点的类型
1.可去间断点
若 lim x x0
少存在一点
(a,b) 使得
f ( ) g( )
f (b) f (a) g(b) g(a)
，整理即证.
考查点：柯西中值定理的应用 技巧：将题目中的等式变形成柯西中值定理的形式，根据情况再构造另一个函数. 柯西中值定理 设函数 f 和 g 满足 i) 在[a,b]上连续； ii) 在(a,b)内都可导；
的左、右极限都存在. 4.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第
二类间断点. 5.找间断点的方法
i) 使得函数无意义的点（即考查函数的定义域），比如使分母为 0 的点，使 loga f (x)
中 f (x) 0 的点.
i) 左右极限不相等的点，通常考虑 x 1 ，尤其是函数中含有 xn 的形式.
{ xn }有界.令 f (x) 1 sin(x 1) ，则 f (x) cos(x 1) 0, (0 x 2) ，所以 f(x)单调递
增，所以 xn xn1 ，即{ xn }是单调递增数列.由单调有界定理知数列{ xn }收敛。
(2)
设
lim
n
xn
x,则
x
所以 an1 an ，即{ an }单调递减有下界.故{ an }收敛.
北京大学数学分析期末试题
1. 讨论下列函数序列或函数项级数在指定区间的一致收敛性:
+∞ 1
(1)
, x ∈ (−∞, +∞);
n2 + x2n源自1+∞ sin x sin nx
(2)
√
, x ∈ [0, +∞);
n=1 n + x2
(3) fn(x) = nαx(1 − x)n, α ∈ R, x ∈ [0, 1].
x
8. p(x)是周期为2π的连续函数, ω是实数但不是整数, 求证: p(x) sin ωxdx有界.
0
2. 求下列幂级数的收敛半径和收敛域:
(1)
+∞
n! n2n
xn;
n=1
+∞
(2)
2nxn2 .
n=1
3. 求下列函数的Fourier级数:
(1) f (x) = x cos x, −π ≤ x < pi; (2) f (x) = sin4 x.
1
2
4. 设函数fn(x)(n = 1, 2, · · · )在[0, 1]上具有连续导函数, 并且{fn(x)}在[0, 1]上一致有 界. 证明: 如果{fn(x)}在区间[a, b]上点点收敛到f (x), 则{fn(x)}在[a, b]上必定一致 收敛到f (x).
5. 设函数f (x)和g(x)以2π为周期, 且在[−π, π]上可积. 证明: f (x)与g(x)的Fourier级数
π
相等的充分必要条件是 |f (x) − g(x)|dx = 0.
−π
b
6. 设f (x)是[a, b]上的连续函数, 满足: f (x)x3ndx = 0, n = 0, 1, 2, · · · . 证明在[a, b]上
北京大学数学期末考试卷
北京大学数学期末考试卷一、选择题（本题共10分，每小题1分）1. 以下哪个数是实数？A. iB. πC. eD. √(-1)2. 直线方程 y = 2x + 3 与 x 轴的交点坐标是：A. (1, 5)B. (-3, 0)C. (0, 3)D. (3, 0)3. 以下哪个不是二次方程？A. x^2 + 2x + 1 = 0B. y^2 - 4 = 0C. z^3 - 2z^2 + z - 2 = 0D. 2x^2 - 3x + 1 = 04. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)5. 以下哪个极限不存在？A. lim (x→0) (sin(x)/x)B. lim (x→0) (1 - cos(x))/x^2C. lim (x→∞) (1/x)D. lim (x→∞) (e^x - x)二、填空题（本题共20分，每空2分）6. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 5 的顶点坐标为 (1, a)，则 a 的值为______。
7. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解为 y = ______。
8. 圆心在原点，半径为 2 的圆的方程为 ______。
9. 若一个向量 a = (1, 2)，向量 b = (3, 4)，则向量 a 与 b 的点积为 ______。
10. 函数 f(x) = ln(x) 的反函数是 ______。
三、计算题（本题共30分，每题6分）11. 计算定积分∫[1, e] (x^2 - 3x + 2) dx。
12. 解微分方程 y' + 2y = e^x，初始条件 y(0) = 1。
13. 证明：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且 f'(x) > 0，则函数 f(x) 在 (a, b) 内严格递增。
2003本科班数学分析期末试题A(正题)
2003本科班《数学分析》期末试题A （正题）（2004—2005学年第二学期）说明：本试卷共四题，共100分考试时间120分钟一、填空：（10分） 1．=⎰→x x ααcos lim220。
2．若222:R y x D ≤+，且m 为常数，则⎰⎰=Dmdxdy 。
3．若]1,0[]1,0[]1,0[⨯⨯=Ω，则⎰⎰⎰Ω=xyzdxdydz 。
4．若n 为自然的，则=+Γ)1(n 。
5．若222:a y x c =+，则第一型曲线积分⎰=+cds y x 22 。
二、判断正误：（10分） 6．dx xy I 21)(+=⎰+∞在),(∞-∞上一致收敛。
（ ） 7．对任何0>p ，0>q ，有),(),(p q B q p B =。
（ ） 8．若),(y x P ，),(y x Q 在平面区域D 内连续，则曲线积分⎰+LQdx Pdx 在D 内与路线无关。
（ ）9．球面是双侧曲面，从而沿球面两侧的第二型曲面积分的值相差一个符号。
（ ） 10．若0),,(=⎰⎰⎰d x d y d z z y x f V，则在V 上0),,(≡z y x f 。
（ ）三、解下列问题。
（60分） 11．求++=Ddxdy xy xI )1(，其中D 是由直线x y =，1=x 及0=y 围成。
12．求dxdy y xI D⎰⎰+=)sin(22，其中π≤+22:y x D 。
13．求由曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积。
系 级 班 姓名 学号密封线内不要答题14．求第二型曲面积分dxdy z dzdx ydydz x I S333++=⎰⎰，其中S 是由上半球面2222R z y x =++及底面0=z 所围成的闭曲面外侧。
四、证明下列问题（20分） 15．证明第二型曲面积分dy x y dx y x I )()()1,1()0,0(-+-=⎰与积分路线无关，并求它的值。
16．应用三重积分的中值定理证明，若),,(z y x f 在2222:ρρ≤++z y x V 内连续，则)0,0,0(34),,(1lim3f dV z y x f V πρρρ=⎰⎰⎰→。
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3.
(16 分)求z
1-; fr} ，怡，的z 仰， 1}
a
Adu + Bdv ,
C
2 - v 2, B A =u
= 2uv , 0 是正方形
{(u， υ)llul < 1, I叫< 1} 的边界.且吨'1
4. (16 分)求第二型曲面积分
(x - y + z)dydz + (y - z + x)dzdx + (z - x
, HU
ηห้องสมุดไป่ตู้
2
内 。
、
σ
， "
σ
u
其中 λ 为常数，证明:
λ<
o.
l
f
6. (10 分)设 R 上光滑函数 U 满足方程 z
U n H U
启
S
u-31
+ -n
U
兔
no-h UT u-A +
--
nu
对于 r>O 令=
f(r)
其中
r-
1
2dxdydz IVul
Br
Br
证明 f(r)
•
2 + y2 + z2 三 r 2 } {(x , y, z)lx
北京大
2003
考试科目 2 姓名 z
学科学学院期末
-200
4 学年第一 学期 2004 年 1 月
数学分析(三)
考试时闽 z 学号2
8 日
,
7
，满分
旦旦分
1. ( 16 分)求常数 α ， b， 使得积分
1
le
达到最小.
x
一
(α +
bx )l 2dx
2. ( 16 分)计算重积分:
1 = I I x 2 dxdγ
2
7. (10 分)设￠定义在(一∞，+∞)上的有界连续函数，定义函数
z， -JE ￠ (z)
f!
r+~ ♂些理
t > 0, t - 0,
x E (-∞，+∞) x 巳(一∞，+∞).
x E (一∞，+∞)}上的连续
证明 U 是定义在闭上半平面 Q {(x , t)lt 主 0 ，
函;.v-.
?二二一-一
S
+ y)dxdy ,
S 为曲面 Ix - y + zl
+ Iν - z + xl + Iz -
x + ν1=1 的外侧.
5. ( 16 分)设 Q 是
R 3 的单位球 ，
n
O
u ε02(ñ) ，且在 Q 的边界上为 0 ，但在 Q
内不恒为 0 ，并满足=
玄 。
d
u-2i
EJM + 文 -UU + τ 一 A