2020高考数学二轮复习 第二部分 专题一 函数与导数 专题强化练三 不等式 文

专题强化练三 不等式
一、选择题
1．(2018·湖南衡阳第一次联考)若a 、b 、c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2
＜bc 2
B.1a ＜1b
C.b a ＞a b
D ．a 2
＞ab ＞b 2
解析：若c ＝0，则A 不成立；1a －1b
＝b －a ab ＞0，选项B 错；b a －a b ＝b 2
－a 2
ab ＝（b ＋a ）（b －a ）
ab
＜0，选项C 错．
由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ，且ab ＞b 2
，从而a 2＞ab ＞b 2
，D 正确． 答案：D
2．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－2} B ．{x |－2＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞4}
D ．{x |0＜x ＜4}
解析：f (x )＝ax 2
＋(b －2a )x －2b 是偶函数，
因此b －2a ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)． 又f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以a ＞0.
f (2－x )＞0即ax (x －4)＞0，解得x ＜0或x ＞4.
答案：C
3．(2018·河北石家庄一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，
则z ＝2x ＋y 的最大值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 解析：先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分， 当直线z ＝2x ＋y 过点A (2，－1)时，
z 取最大值，z max ＝2×2－1＝3.
答案：B
4．(2018·佛山质检)若a ＞0，b ＞0且2a ＋b ＝4，则
1
ab
的最小值为( )
A ．2 B.12 C ．4 D.1
4
解析：因为a ＞0，b ＞0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)． 又因为2a ＋b ＝4，
所以22ab ≤4⇒0＜ab ＜2，则1ab ≥1
2.
故
1
ab 的最小值为1
2. 答案：B
5．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，
则x 2＋y 2
的最大值是( )
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
x 2＋y 2表示区域内点到原点距离的平方，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，
2x －3y ＝9，得A (3，－1)． 由图形知，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2
＝10. 答案：C
6．实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )
A ．0
B ．－2
C ．1
D ．－1
解析：画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，
因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，所以－a ＝1，a ＝－1，所以当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，
z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，所以ax ＋y ＋1的最小值是0.
答案：A 二、填空题
7．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋1
3
y 的最大值是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
作直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点(2，3)时，z ＝x ＋1
3
y 取得最大值，
故z max ＝2＋1
3×3＝3.
答案：3
8．(2018·天津卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x ＞0.
若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：当－3≤x ≤0时，f (x )≤|x |恒成立等价转化为x 2＋2x ＋a －2≤－x 恒成立，即a ≤－x 2
－3x ＋2恒成立，所以a ≤(－x 2
－3x ＋2)min ＝2；
当x ＞0时，f (x )≤|x |恒成立等价转化为－x 2
＋2x －2a ≤x 恒成立，即a ≥－x 2
＋x 2恒成立，所以a ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x 2
＋x 2max ＝18
. 综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤18，2 9．在平面直角坐标系xOy 中，M (a ，b )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0
所表示的区域上任意动点，则b －1
a －4
的最大
值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
则M(a，b)在△AEF内(含边界)．
易知
b－1
a－4
表示点M与点B(4，1)连线的斜率，
当点M与点A重合时，k AB取最大值．
又
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y＝2，
2x－3y＝9.
解得点A(3，－1)，
所以
b－1
a－4
的最大值为k AB＝
1－（－1）
4－3
＝2.
答案：2
10．设满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y≤6，
x－y≤2，
x≥0，
y≥0，
的实数x，y所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是________．解析：作出不等式组表示的平面区域Ω，如图中阴影部分所示．
则区域Ω是四边形ABCO(含内部及边界)．
易知BC⊥AB，则外接圆的圆心为AC的中点，
又A(0，6)，C(2，0)，
则该四边形外接圆圆心为(1，3)，半径r＝
1
2
|AC|＝10，
故所求外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝10
11．(2018·河南八校质检)已知等差数列{a n}中，a3＝7，a9＝19，S n为数列{a n}的前n项和，则
S n＋10
a n＋1
的最小值是________．
解析：因为a3＝7，a9＝19，
所以公差d＝
a9－a3
9－3
＝
19－7
6
＝2，
所以a n＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1，
所以S n＝
n（3＋2n＋1）
2
＝n(n＋2)，
因此
S n＋10
a n＋1
＝
n（n＋2）＋10
2n＋2
＝
1
2
[(n＋1)＋
9
n＋1
]≥
1
2
×2（n＋1）·
9
n＋1
＝3.
当且仅当n＋1＝
9
n＋1
即n＝2时取等号．
故
S n＋10
a n＋1
的最小值为3.
答案：3
三、解答题
12．(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧
连续剧播放时长
(分钟)
广告播放时长(分
钟)
收视人次(万)
甲70560
乙60525
30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
⎩⎪
⎨
⎪⎧70x＋60y≤600，
5x＋5y≥30，
x≤2y，
x≥0，x∈N，
y≥0，y∈N，
即
⎩⎪
⎨
⎪⎧7x＋6y≤60，
x＋y≥6，
x－2y≤0，
x≥0，x∈N，
y≥0，y∈N，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－
12
5
x＋
z
25
，这是斜率为－
12
5
，随z变化的一族平行直线，
z
25
为直线在y 轴上的截距，当
z
25
取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距
z
25
最大，即z最大．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，
x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。