20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题8.1 线性规划(原卷版)

8.1 线性规划
二.线性规划中的基本概念
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．
三．可行域的判断方法
1.直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
2.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
考向一截距型
【例1】已知变量x，y满足约束条件{x+y−1≤0
3x−y+1≥0
x−y−1≤0
，则z=2x+y的最大值为__________．
【举一反三】
1．若变量x,y满足约束条件{
x≤1
x+y≥0
3x−2y+5≥0
，z=2x−y，则z的最小值为_______．
2．已知实数x,y 满足{2x +3y −6≥0
x −y +2≤0x ≤4
，则z =x −3y +2的最大值为_______.
考向二 斜率型
【例2】（1）已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，
x ＋2y －1≥0，
则z ＝
y
x ＋1
的最大值与最小值的比值为 。

（2）已知实数x ，y 满足{x −2y −4≤0
y +1≥0y −lnx ≤0
，则z =x+y+1
x
的最大值是 。

（3）在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤0，x －y ≤0，
x 2＋y 2≤r 2
(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满
足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1
x ＋3
的最小值为 。

【举一反三】
1．已知变量x ，y 满足{x −2y +4≥0
x ≤2x +y −2≥0 ，则y+1x+2
的取值范围是（ ） A. [1
4,1] B. [14,3
2] C. (−∞,1
4]∪[1,+∞) D. [1,3
2]
2.已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤1，
则k ＝
y
x ＋1
的最大值为________．
考向三 距离型
【例3】（1）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，
x ≤2，
则z ＝(x －1)2＋y 2
的最大值为 。

（2）若x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0
x −2y +1≤02x −y +2≥0
，则Z =x 2+y 2的最小值为__________．
1．若x,y 满足约束条件{x −y +2≥0
x +y −4≤0y ≥2 ，则x 2+(y −3)2的最小值__________．
2．设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤4,
3x −2y ≥6,y ≥−1, 则(x −1)2+y 2的取值范围是__________．
考向四 含有绝对值型
【例4】已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋y －7≥0，x ＋3y －13≤0，
x －y －1≤0，
则z ＝|2x －3y ＋4|的最大值为 。

【举一反三】
1．已知实数x 、y 满足条件{x −y +2≥0
x +y −4≥02x −y −5≥0 ，则z =|y−5
x+2|的最大值为（ ）
A. 4
5 B. 4
9 C. 2
3 D. 1
2．已知点P (x,y )满足{x −y +1≥0
x +y −1≤0x ≥0
，|2x +y −6|+|y −2x +8|的取值范围是__________．
考向五 实际运用
【例5】某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A ，B 两种饮品.生产1吨A 饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B 饮品，需1小时，获利1200元.每天B 饮品的产量不超过饮品A 产量的2倍，每天生产B 饮品的时间不低于生产A 饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．
【举一反三】
1．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利__________元．
2,。

甲、乙两种食物的维生素含量如下表：
分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量
的最小值为________ kg.
考向六 含有参数型
【例6】已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －1≤0，x ＋y －5≤0，
4x ＋y －8≥0，
若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数多个，
则z ＝x ＋ay 的最大值为________．
【举一反三】
1.设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋1>0，x ＋m <0，
y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m
的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，43
B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，13
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－53
2.设x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≥a ，
x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
3.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，mx －y ≤0，
3x －2y ＋2≥0，
且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )
A.1
3 B.23 C ．1 D ．2
4．实数对(x,y)满足不等式组{x −y −2≤0,
x +2y −5≥0,y −2≤0, 则目标函数z =kx −y 当且仅当x =3，y =1时取最大值，则
k 的取值范围是（ ）
A. (−∞,−1
2)∪[1,+∞) B. (−1
2,+∞) C. [−1
2,1] D. (−∞,−1]
5．已知实数x,y 满足{x −y +2≥0,
x +y ≥0,5x −y −6≤0. 若z =x +my 的最小值是-5，则实数m 取值集合是（ ）
A. {−4,6}
B. {−7
4,6} C. {−4,−7
4} D. {−4,−7
4,6}
6．已知实数x,y 满足{2x +y −2≥0
x +2y −4≤0x −y −1≤0
，且(k −1)x −y +k −2≥0恒成立，则实数k 的最小值是__________．
1.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≥0，x ＋y ≤3，
y ≤2x －1，
则z ＝x ＋2y 的最大值为_______．
2.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧ 2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，
x －2≤0，
则z ＝x ＋1
3
y 的最大值是________．
3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x ＋y －3≤0，
y ≥1，
则
y ＋1
x ＋2
的最小值为________． 4．已知点(x,y)满足{2x −y ≥1
2x +y ≤72x +3y ≥5
，则y
x
的取值范围为__________．
5．已知实数x ，y 满足{y ≥1
y ≤2x −1x +y ≤m ，如果目标函数z =x −y 的最小值为−1，则实数m =
6．设点(x ， y)满足约束条件{x −y +3≥0
x −5y −1≤03x +y −3≤0
，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有 个.
7．设x ，y 满足约束条件{xy ≥0,|x +y |≤2,
则z =2x +y 的取值范围是 。

8．已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0
x +y +k ≥0x ≤1 ，且z =x +2y 的最小值为3，则常数k =__________．
9．若实数x,y 满足{y ≤2|x |−y +1≤0 ，则z =x+y x−2的最小值为 _____________
10．若实数x ，y 满足{2x −y +1≥0
x +y ≥0x ≤0
，则z =|x −y |的最大值是__________.
11．已知a 是区间[1,7]上的任意实数,直线l 1:ax −y −2a −2=0与不等式组{x ≥m
x +y ≤8x −3y ≤0 表示的平面区域总
有公共点，则直线l:mx −3y +n =0(m,n ∈R)的倾斜角α的取值范围为__________．
12．设x ，y 满足约束条件{2x +y −3≤0,
2x −2y −1≤0,x −a ≥0, 若x−y
x+y 的最大值为2，则z =x −y 的最小值为__________．
13．若实数x,y 满足{x ≥y,
2x −y ≤2,y ≥0, ，且z =mx +ny (m >0,n >0)的最大值为4，则1m +1
n
的最小值为
__________．。