x直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型

1

直线和圆锥曲线常考题型分析

运用的知识：

1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则

121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =

2、韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有

两个不同的根12,x x ，则1212,b c

x x x x a a

+=-=。 3、中点坐标公式：1212,y 22

x x y y

x ++==，其中,x y

是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线

(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

222222

1212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-

或者

22222

12121212122111

()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k =-+-=-+-=+-2121221

(1)[()4]y y y y k

=+

+-。 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:

14x y C m

+=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。

题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2

y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2

(1)

y k x y x =+⎧⎨

=⎩

消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ①

由直线和抛物线交于两点，得

2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2

1

04

k <<

② 由韦达定理，得：212221

,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22

211

(,)22k k k

--。 线段的垂直平分线方程为：2

21112()22k y x k k k

--=-- 令y=0,得021122x k =

-，则211

(,0)22

E k - ABE ∆为正三角形，

∴211

(

,0)

22

E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。 2

2

1212()()AB x x y y =-+-2

22

141k k k -=

+

2

12k d k +=

22

2

314112k k k k

-+∴

+=

解得39k =±

满足②式， 此时05

3

x =。 题型三：动弦过定点的问题

例题3、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率

为

3

，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)

l x t t =>

2

与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I ）由已知椭圆C 的离心率

3

2c e a ==，2a =,则得3,1c b =

=。

从而椭圆的方程为2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,

则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122

(2)

44

y k x x y =+⎧⎨

+=⎩消y 整理得222

121(14)161640k x k x k +++-=

12x -和是方程的两个根，

21121164214k x k -∴-=+ 则2

112

1

2814k x k -=+，1121414k y k =+， 即点M 的坐标为211

22

11284(,)1414k k k k -++，

同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为

2222222

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-

12122k k k k t

-∴=-+， 直线MN 的方程为：121

121y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得2112

12

x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，

化简后得：4

x t

=

又

2t >，∴4

02t

<

< 椭圆的焦点为(3,0)

4

3t

∴=，即433t = 故当43

3

t =

时，MN 过椭圆的焦点。 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22

221x y a b

+=

(0)a b >>上的三点，

其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，

2BC AC =，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程； (II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =

对称，求直线PQ 的斜率。

解：(I)

2BC AC =，且

BC 过椭圆的中心O

OC AC ∴=

0AC BC = 2

ACO π

∴∠=

又

A (23,0) ∴点C 的坐标为(3,3)。

A (23,0)是椭圆的右顶点，

23a ∴=，则椭圆方程为： 22

2

112x y b +=

将点C (3,3)代入方程，得2

4b =，

∴椭圆E 的方程为22

1124

x y +=

(II)

直线PC 与直线QC 关于直线3x =

对称，

∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从

而直线PC 的方程为：

3(3)y k x -=-，即3(1)y kx k =+-，