求圆锥曲线中离心率取值范围方法举例

圆锥曲线中离心率取值范围的求解
范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等．
策略一：利用曲线的定义
例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32
a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞
【解析】Ｂ 22033352022
a ex a e a a a e e c -=⨯->+⇒-->， 2e ∴>或13
e <-（舍去），(2,)e ∴∈+∞． 例2双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．)+∞ Ｃ．1]+ Ｄ．1,)++∞
【解析】Ｃ 222
000(1)(1),a a a ex a x e x a a e a c c c
-=+⇒-=+⇒+≥-
2111121011a e e e e c e
∴-≤+=+⇒--≤⇒≤≤+
而双曲线的离心率1e >，1],e ∴∈故选Ｃ.
【点评】例1、例2均是利用第二定义及焦半径公式列出方程．例1根据题设列出不等式；例
2是根据0x 的范围将等式转化为不等式，从而求解．这种利用、x y 的范围将等式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法．
策略二：利用曲线的几何性质
例已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率
的取值范围是（ ）
Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2
Ｃ． Ｄ． 【解析】Ｃ 由题，M 的轨迹为以焦距为直径的圆，由M 总在椭圆内部，知：
2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<，又(0,1)e ∈，所以e ∈故选Ｃ. 【点评】利用圆的几何性质判定轨迹为圆，再利用椭圆和圆的几何性质解题．
一般地，c b <时M 点总在椭圆内部；a c b >>时M 点有4个在椭圆上；c b =时M 有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点．
例4已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞ Ｄ．(2,)+∞
【解析】如图1l 与2l 分别为与双曲线22
221x y a b
-=的渐近线平行的两条直线，直线l 为过F 且倾斜角为60的直线，
要使l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使
tan 603b a
≥=
．2e ∴=≥． 【点评】此处利用双曲线几何性质，用所给定直线和渐近线的
关系确定渐近线斜率范围，从而求出离心率范围．
策略三：利用题设指定条件 例5椭圆22
221x y a b
+=的焦点为12,F F ，两条准线与x 轴的交点分别为,M N ．若 122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．1(0,]2
Ｂ． Ｃ．1[,1)2
Ｄ． 【解析】Ｄ 因为两准线距离为22a c ，又因为122F F c =，所以有2
24a c c
≤，即222a c ≤，
1e ≤<． 【点评】本题主要考查准线方程及椭圆离心率的求法，而限制条件即是题目中的
122MN F F ≤，故利用题设得到与离心率相关的不等式即可．
例6设12、F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ． 【解析】Ｄ 设若P 为右准线与x 轴的交点，可知22a c c c -=，即21
3
e =， 又P 在右准线上可知22a c c c -≥，所以离心率的取值范围为． 【点评】题设条件为几何特殊关系时应注意如何转化几何关系为代数关系，特别是和离心率
相关的关系．
例7已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 【解析】212211sin sin PF PF F PF F PF ∠=∠（由正弦定理得），211PF a PF c e ∴==，21e PF PF ∴=． 又122(1)PF PF a e -=>，2(1)2e PF a ∴-=，221
a PF e ∴=-， 由双曲线性质知2PF c a >-，21a c a e ∴>--，即211
e e
>--，得2210e e --<，
又1e >
，得1)e ∴∈．
【点评】此处的题设条件较前两例复杂，但注意到正弦之比可以转化为边之比，故可进而转
化为和离心率相关的不等式．
策略四：利用三角函数有界性
例8双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3]
Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞
【解析】Ｂ设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，
当P 点在右顶点处θπ=
，
22c e a ===．11,(1,3]e θ-≤<∴∈． 【点评】根据第一定义结合余弦定理将离心率转化为角的函数，再利用三角函数求最值．
策略五：利用三角形三边关系
例8也可用三角形的三边关系求解，但注意取等条件． 如图，在12PF F 中
12121212,PF PF F F PF PF F F -<+≥
(后者在P 与1A 重合时取等)， 又1222PF PF m m m a -=-==，
则22a c <且362m a c =≥，(1,3]e ∴∈．
【点评】和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式．
策略六：利用二次函数的性质 例9设1a >，则双曲线22
22
1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）
Ａ．2)
Ｂ． Ｃ．(2,5)
Ｄ．
【解析】Ｂ
e == 11,01a a
>∴<<
e << 【点评】当所求离心率转化为某参数的二次函数（或类二次函数）时，可以利用二次函数的
性质确定离心率的范围。