【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修1：第二章++函数+单元同步测试(含解析)
数学北师大版高中必修1北师大版 - 必修1第二章 函数— 第三节 函数的单调性
③函数 的单调递增区间是，单调递减区间是.
试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.
二师生互动
例1画出下列函数的图像，根据函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.
（1） ；（2） .
练一练：
变式：指出 、 的单调性.
例2求函数 的单调区间
练一练
1求函数 的单调区间
2.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
三巩固练习
1.函数 的单调增区间是（）
A. B. C.RD.不存在
2.如果函数 在R上单调递减，则（）
A. B. C. D.
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）__________，区间D叫做函数y=f(x)的____________.
2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的.
3.①图象如何表示单调增、单调减？
3.在区间 上为增函数的是（）
A． B．
C． D．
4.函数 的单调性是.
5.函数 的单调递增区间是，
6..求证 的(0,1)上是减函数，在 是增函数.
7.下列结论正确的是（）
A函数 （R为常数，R 0）在R上是增函数
B函数 在R上是增函数
C函数 在 上是减函数
D函数 在 上是增函数
四课后反思
五课后巩固练习
教学过程
一自主学习
1.函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,当 时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是；
北师大版高中必修1第二章函数课程设计
北师大版高中必修1第二章函数课程设计一、前言《高中数学必修1》是我国普通高中数学必修课程中的重要内容之一。
其中，第二章函数是整个数学必修1课程中的首个章节，也是学生在高中阶段接触最广泛的数学内容之一。
因此，本文档将针对北师大版高中必修1第二章函数的课程设计进行总结和分析。
二、课程目标2.1 知识目标•理解函数的概念和符号表示•掌握常见函数的概念、图像和性质•能够正确使用函数概念解决简单的应用问题•熟练掌握复合函数和反函数的概念和性质2.2 能力目标•培养学生的分析问题、解决问题和推理能力•提高学生对数学概念和符号的认知和理解•培养学生的独立学习能力和团队协作精神三、课程安排3.1 第一节课：函数和图像3.1.1 课程目标•学生理解什么是函数、函数的符号表示以及如何画出函数的图像•学生掌握一些常见函数的图像和性质•培养学生的观察能力和描述能力3.1.2 课程内容1.函数的概念和符号表示2.函数的图像1.一次函数2.平方函数3.反比例函数4.正比例函数3.常数函数和绝对值函数4.给定一个式子画出函数图像3.1.3 课程设计本节课的课程设计主要包括以下几个方面：•通过教师课前讲解，让学生对函数的概念有初步的认知和了解。
•通过多媒体和展示板展示各种函数图像，并进行详细解释和说明。
•让学生对图像进行观察和描述，帮助学生更好地理解函数的性质和规律。
•派发练习题，让学生在课堂上或者课后自主完成，巩固所学内容。
3.2 第二节课：常见的初等函数3.2.1 课程目标•学生理解初等函数的概念和性质•掌握初等函数的图像和基本性质•学生能够使用初等函数解决简单的应用问题•培养学生的逻辑思维和运算能力3.2.2 课程内容1.初等函数的概念和分类2.常见初等函数的图像和性质1.幂函数2.指数函数3.对数函数4.三角函数3.2.3 课程设计本节课的课程设计主要包括以下几个方面：•通过讲解初等函数的概念和分类，让学生更好地理解初等函数的性质。
北师大版高中数学必修一教案第二章函数的表示法
⎧§2.2函数的表示法教学目标：1.使学生掌握函数的常用的三种表示法；2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点；3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题；4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。
教学重点：函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。
教学过程：一、新课引入复习提问：函数的定义及其三要素是什么？函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。
请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？答：列表法是、图像法、解析法二、新课讲解请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题：1.列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？2.这三种表示法各有什么优、缺点？在学生回答的基础上师生共同总结:(多媒体课件显示)列表法图像法解析法定义用表格的形式把两个变量用图像把两个变量间一个函数的对应关系可以用间的函数关系表示出来的方的函数关系表示出来的方自变量的解析式表示出来的方法法法不必通过计算就能知道两可以直观地表示函数能叫便利地通过计算等手段优个变量之间的对应关系，比的局部变化规律，进而可研究函数性质点较直观以预测它的整体趋势缺只能表示有限个元素的函有些函数的图像难以一些实际问题难以找到它的点数关系精确作出解析式函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。
下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。
例1、请画出下列函数的图像。
y=x=⎨x,x≥0⎩-x,x≤0(m)/g0<m≤20解：图像为第一和第二象限的角平分线，y如图2-5所示0x图2-5本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。
学高中数学第二章函数函数的单调性教案北师大版必修第一册
第二章函数第２．３节函数的单调性教学设计本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。
在函数性质中具有举足轻重的地位。
本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。
一．教学目标１、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；２、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
二. 核心素养１．数学抽象：函数在区间上单调性概念的概述２．逻辑推理:本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象；通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。
３．数学运算：判断函数的单调性及证明４．直观想象：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。
５．数学建模:本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。
教学重点函数单调性的概念、判断及证明教学难点归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性PPT１．知识引入函数是刻画变量关系的.研究函数y=f （x ）时最关心的问题是：当自变量x 变化时，函数值f （x ）随之怎样变化.我们知道，一次函数y = kx+b,当k<0时，在R 上y 值随x 值的增大而减小；当k>0时，在R 上y 值随x 值的增大而增大.一元二次函数和反比例函数也有类似的性质.可见，用增大或减小来刻画函数在一个区间的变化是非常重要的.如下图分析：图２—9是函数f （x ）([6,9])x ∈-的图象,直观上可以看出，对于区间[—6, —５],[—２,１],[３,４．５]，[7,8],每个区间上函数值f （x ）都随x 值的增大而增大；对于区间 [—５ , —２] , [１,３] , [ ４．５,7] , [ 8,9],每个区间上函数值f （x ）都随x 值的增大而减小.一般地，在函数y=f （x ）定义域内的一个区间A 上,如果对于任意的12,x x A ∈,当x １<x ２时, 都有f （x １）<f （x ２）,那么就称函数y=f （x ）在区间A 上是增函数或递增的;如果对于任意的12,x x A ∈,当x １思考： 图2-9中，怎样用数学的符号语言表达函数值f(x)在区间[-6, -5]上隨x 值的增大而增大呢？<x ２时，都有f （x １）>f （x ２）,那么就称函数y=f （x ）在区间A 上是减函数或递减的.如果函数y=f （x ）在区间A 上是增函数或减函数,那么就称函数y=f （x ）在区间A 上是单调函数，或称函数y=f （x ）在区间A 上具有单调性.此时，区间A 为函数y=f （x ）的单调区间.备注：１．概念中应该注意问题：任意的12,x x A ∈（不能写成“存在12,x x A ∈”）２．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.知识扩充：例１设1()(0)f x x x=<,画出f （x+３）（x<—３）的图像，并通过图像直观判断 它的单调性。
北师大版高中数学必修一第二章 函数.doc
第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，f (1f (3))其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案： 23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a .解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22. B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数． 由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0，∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x (0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).。
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 §3 第1课时 函数的单调性
称函数y=f(x)在区间I上单调递减
自左向右图象逐渐下降
图
示
名师点睛
x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈D;
(2)任意性,即不可用区间D上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)增(减)函数定义中的“任意两个自变量的值x1,x2”可以改为“存在两个自
1
1
− 2
2
=
(2 -1 )(2 +1 )
.
2
2
1 2
∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,12 22 >0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).
∴函数
1
f(x)=2 在区间(0,+∞)上单调递减.
函数 增函数
条件
减函数
设函数y=f(x)的定义域是D:如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数
f(x1)>f(x2)
称函数y=f(x)是减函数
条件 特别地,当I是定义域D上的一个区间时
结论 称函数y=f(x)在区间I上单调递增
图象
特征
自左向右图象逐渐上升
D.变化趋势不能确定
答案 D
解析 由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有
限的函数值的关系,是不能作为判断函数变化趋势的依据的.故选D.
知识点2 单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间
北师大版必修一：第二章3函数单调性课件
（3）x1, x2 取值的任意性.
牛刀小试 例1、画出反比例函数 f (x) = 1 的图像.
x （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？用定义证明 你的结论.
增函数的定义. y
你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？ y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间A上 的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
那么就说函数f(x)在区间A上是递增的 （增函数），A称为f(x)的单调增区间.
④判断：根据定义得出结论.
分享心得
？ 你学到了什么知识？ ？掌握了什么方法？ ？ 收获了什么思想？
函数的单 调性
证步 明骤
增函数 增区间 减函数 减区间
单调 区间
取 值 → 作 差 变 形 → 定 号 → 下结论
关 注
函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即 函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区 间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪 个区间内.
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
Ox
x
y
f (x) x2
f (x)
Ox
x
y
f (x) x2
f (பைடு நூலகம்)
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第2章 函数 4.1 函数的奇偶性
②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;
③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数,又是偶函数.
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
规律方法
由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,
因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数
图象的问题.
变式训练2已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么( C )
A.f(2)=2
B.f(2)=-2
C.f(2)>-2
D.f(2)<-2
解析 由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则
(-x,f(x))一定在其图象上.
自主诊断
1.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则f(-2)=
1
解析 ∵当x>0时,f(x)=-x+1,∴f(2)=-2+1=-1.又f(x)为定义在R上的奇函
数,∴f(-2)=-f(2)=1.
.
2.[人教A版教材习题]已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.
值时的自变量的值也互为相反数.
名师点睛
1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研
究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究
函数图象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函
(教师用书)高中数学 第二章 函数教案 北师大版必修1
第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2．1 函数概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的要素．(3)会求一些简单函数的定义域和值域．(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．3．情感、态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．●重点难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．本节的重点的突破方法是通过教材中的实例让学生自己尝试用集合与对应的语言进行描述．对难点来说，学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值，其突破方法是可以列举一些对应关系相同但定义域不同的函数，或定义域、值域相同但对应关系不同的函数，让学生在比较、判断中体会．在函数教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免求函数的定义域时出现过于烦琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域的偏题，以便学生有时间重点理解函数的概念及符号“y＝f(x)”的含义．(教师用书独具)●教学建议函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是函数学习的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，教材采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数的概念．●教学流程复习引入初中学过的函数有哪些，它们分别有哪些变量⇒新课讲解，给出函数的概念及其表示方法⇒完成例1、例2及其变式训练，加深学生对函数概念的理解⇒给出区间的概念，并注意表示过程中区间的开闭⇒质疑答辨，排难解惑，发展思维，完成例3及变式训练，强化对定义域的理解⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】没有依赖关系．不是函数关系．2．储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，但不是函数关系．3．在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，也是函数关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间具有函数关系．1．初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？【提示】初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．2．因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？【提示】因变量y随自变量x的变化而变化．给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．1.区间：设a ，b 是两个实数，而且a <b ，规定如下表：这里实数a ，b 都叫作相应区间的端点． 2．无穷大的概念及无穷区间：下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (3)商品的销售额与广告费之间的关系； (4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 【思路探究】 两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．【自主解答】 (1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h )与时间(t )具有关系h ＝12gt 2，其中g 是常量，很显然，对于时间t 在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h 与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．(1)下列说法不正确的是( ) A ．依赖关系不一定是函数关系 B ．函数关系是依赖关系C ．如果变量m 是变量n 的函数，那么变量n 也是变量m 的函数D ．如果变量m 是变量n 的函数，那么变量n 不一定是变量m 的函数(2)张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x 千克，小麦总产量y 千克，则( ) A ．x ，y 之间有依赖关系 B ．x ，y 之间有函数关系 C ．y 是x 的函数 D ．x 是y 的函数【解析】 (1)根据依赖关系与函数关系的区别可知A 、B 正确．若变量m 是变量n 的函数．因为满足函数关系的自变量n 对因变量m 可以是多对一，此时若把m 换成自变量，n 换成因变量，显然对于m 的每一个取值，会有多个n 与之对应，所以变量n 不是变量m 的函数．(2)虽然小麦总产量y 与每亩施肥量x 之间存在依赖关系，但小麦总产量y 还受气候、管理等其他因素的影响，所以x ，y 之间无函数关系．【答案】 (1)C (2)A下列对应关系是否为A 到B 的函数．(1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝R ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x .【思路探究】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A 中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【自主解答】 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数； (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2，在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数；(3)A 中元素负数没有平方根，故在B 中没有对应的元素且x 不一定为整数，故此对应关系不是A 到B 的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A 、B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．下列说法正确的是( ) A ．f (x )＝1－x ＋x －2是函数B ．A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →y ＝±x ，则f 是从集合A 到集合B 的一个函数C ．A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，f ：x →y ＝x 2，则f 是从A 到B 的一个函数 D ．y 2＝x 是函数【解析】 对于A ，由于⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x －2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≥2无解，所以f (x )不是函数．对于B ，对集合A 中的元素4，在B 中有2个元素与之对应，不是函数． 对于D ，当x ＝4时，y ＝±2两个值与之对应，不满足函数定义． 对于C ，A 中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应，符合函数的概念． 【答案】 C求下列函数的定义域：(1)f (x )＝2x ＋3；(2)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (3)y ＝1－x 21＋x.【思路探究】 对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合．【自主解答】 (1)函数f (x )＝2x ＋3的定义域为R.(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4.所以函数f (x )＝x －1·4－x ＋2的定义域为{x |1≤x ≤4}． (3)要使函数有意义，需满足1＋x ≠0，解得x ≠－1. 所以函数y ＝1－x21＋x 的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．1．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于y ＝x 0要求x ≠0；(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1x －2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋12－x.【解】 (1)当x －2≠0，即x ≠2时，1x －2有意义， ∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}．(2)当3x ＋2≥0，即x ≥－23时，3x ＋2有意义，∴函数f (x )＝3x ＋2的定义域是[－23，＋∞)．(3)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{x |x ≥－1}∩{x |x ≠2}＝[－1,2)∪(2，＋∞).求定义域时盲目化简函数解析式致误求函数f (x )＝ x ＋12x ＋1－1－x 的定义域．【错解】 f (x )＝ x ＋12x ＋1－1－x ＝x ＋1－1－x .要使函数有意义，需满足． 1－x ≥0，即x ≤1.故f (x )的定义域为(－∞，1]．【错因分析】 本题错误的原因是化简了函数的解析式而使定义域发生变化． 【防范措施】 讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．【正解】 要使函数f (x )有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，解得x ≤1且x ≠－1.所以函数的定义域为：(－∞，－1)∪(－1,1]．1．函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图像．2．函数的三要素包括：定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.1．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{ y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 由函数的定义，M 中任意一个x ，N 中都有唯一y 对应，故(1)(2)(4)正确． 【答案】 C2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3.【解析】 A 、C 、D 的定义域均不同． 【答案】 B3．(2012·四川高考)函数f (x )＝11－2x 的定义域是________．(用区间表示) 【解析】 由题意，需1－2x >0，解得x <12.故f (x )的定义域为(－∞，12)．【答案】 (－∞，12)4．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4， (1)求函数f (x )的定义域；(用区间表示) (2)求f (－1)，f (12)的值．【解】 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0， ∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.一、选择题 1．已知f (x )＝x －1x ＋1，则f (2)＝( ) A ．1 B.12 C.13 D.14【解析】 f (2)＝2－12＋1＝13.【答案】 C2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．f (x )＝ x 2x 和g (x )＝xx2【解析】 A 中y ＝x －1定义域为R ，而y ＝x 2－1x ＋1定义域为{x |x ≠1}；B 中函数y ＝x 0定义域{x |x ≠0}，而y ＝1定义域为R ； C 中两函数的解析式不同；D 中f (x )与g (x )定义域都为(0，＋∞)，化简后f (x )＝1，g (x )＝1，所以是同一个函数． 【答案】 D3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是( )图2－2－1【解析】 水面的高度h 随时间t 的增加而增加，而且增加的速度越来越快． 【答案】 B 4．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．[1,2] D ．[1，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 【答案】 A 5．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∈R)的值域是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1] 【解析】 由于x ∈R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1， 即0<y ≤1. 【答案】 B 二、填空题6．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． 【解析】 结合区间的定义知， 用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． 【答案】 [－1,0)∪(1,2]7．函数y ＝31－x －1的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，自变量x 须满足⎩⎨⎧x －1≥01－x －1≠0解得：x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)． 【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.【解析】 由f (a )＝2，得41－a＝2，解得a ＝－1. 【答案】 －1 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1x，求：(1)函数f (x )的定义域； (2)f (4)的值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠0，得x >0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)f (4)＝4＋14＝2＋14＝94.10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.【解】 (1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2>0，即x >23，故所求函数的定义域为{x |x >23}．11．已知f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R ，(1)计算f (a )＋f (1a)的值；(2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)的值．【解】 (1)由于f (a )＝a 21＋a 2，f (1a )＝11＋a 2， 所以f (a )＋f (1a)＝1.(2)法一 因为f (1)＝121＋12＝12，f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝ 12 21＋ 122＝15，f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝ 13 21＋ 13 2＝110，f (4)＝421＋42＝1617，f (14)＝ 14 21＋ 142＝117， 所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.法二 由(1)知，f (a )＋f (1a )＝1，则f (2)＋f (12)＝f (3)＋f (13)＝f (4)＋f (14)＝1，即[f (2)＋f (12)]＋[f (3)＋f (13)]＋[f (4)＋f (14)]＝3，而f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝72.(教师用书独具)求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝1－x 2； (3)y ＝1＋1x ＋1(x >0)． 【思路探究】 求函数的值域就是求函数值的取值集合．【自主解答】 (1)x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5；x ＝3时，y ＝7；x ＝4时，y ＝9. 所以函数y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}． (2)因为1－x 2≤1，所以y ＝1－x 2的值域为(－∞，1]． (3)∵x ＋1>1，∴0<1x ＋1<1， ∴1<1＋1x ＋1<2，∴y ＝1＋1x ＋1的值域为(1,2)．求函数值域的常用方法1．观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． 2．配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．3．分离常数法：分子、分母是一次函数的有理式函数，即形如y ＝ax ＋bcx ＋d(c ≠0)的函数可用分离常数法，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域．4．换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．(1)函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( ) A ．[1,6] B ．[－3,1] C ．[－3,6] D ．[－3，＋∞)【解析】 函数y ＝x 2－4x ＋1是二次函数形式，配方得y ＝(x －2)2－3，画出函数y ＝(x －2)2－3，x ∈[2,5]的图像(如图)，由图像可知，函数的值域为{y |－3≤y ≤6}，用区间可表示为[－3,6]．【答案】 C (2)函数y ＝2xx ＋1的值域为________． 【解析】 ∵y ＝2x x ＋1＝2 x ＋1 －2x ＋1＝2－2x ＋1， 又∵2x ＋1≠0，∴y ≠2. ∴函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ≠2}． 【答案】 {y |y ≠2}知识拓展 函数值域的求法函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．求函数值域的常用方法有：(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]，故所求的函数值域为[0,2]．(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．如求函数y ＝1x 2＋2的值域时，若令u ＝x 2＋2，则y ＝1u(u ≥2)，可借助反比例函数的图像，易得0<y ≤12，所以函数y ＝1x 2＋2的值域为(0，12]．(3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，因为y ＝x －2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．(4)换元法：对于形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d ∈R ，ac ≠0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，我们可以令x ＝t (t ≥0)，得y ＝t 2－2t ＋3，即y ＝(t －1)2＋2(t ≥0)，结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞)．(5)判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解．(6)分离常数法：对于形如y ＝cx ＋d ax ＋b 的函数，可将其变形为y ＝k ＋hax ＋b的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．例如：求函数y ＝1－x2x ＋5的值域．由于y ＝1－x 2x ＋5＝－12 2x ＋5 ＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5，因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12.所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为{y |y ∈R ，且y ≠－12}．2．2 函数的表示法(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)明确函数的三种表示方法．(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数． (3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是为研究函数的性质和应用，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情感、态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法 ●重点难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图像．本节课重点的突破方法是充分利用信息技术，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数表示法．例如，可以补充部分函数，让学生用计算机或计算器画出它们的图像．对于难点，其突破方法是教学中不必要求学生一次完成认识，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求，要遵循循序渐进的原则．(教师用书独具)●教学建议教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图像法、列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．●教学流程创设情景，揭示课题，通过已学过的函数的概念引出其表示方法⇒研究新知，明确三种表示方法的优缺点⇒完成例1及其变式训练，掌握函数图像的作法⇒通过例2及其变式训练，掌握待定系数法、换元法、配凑法等方法求函数的解析式⇒学习分段函数及其表示，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同表达式不一样⇒完成例3及变式训练，注意根据函数值求自变量时所求得的值是否在相应的自变量的取值范围内⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．1．函数的定义域是什么？【提示】{1,2,3,4,5}．2．y与x的关系是什么？【提示】y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．【提示】4.【提示】如果笔记本数不超过5本时，每本按5元，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．1．该函数能用解析法表示吗？怎样表示？ 【提示】 能．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，x ∈{1，2，3，4，5}，25＋ x －5 ×4.5，x ∈{6，7，8，9，10}.2．上面解析法表示的两段函数能说成是两个函数吗？ 【提示】 不能．在函数的定义域内，如果对于自变量x 的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.作出下列函数的图像．(1)y ＝1＋x (x ∈Z)； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))； (3)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)．【思路探究】 用描点法作图，但要注意定义域对图像的影响．【自主解答】 (1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y ＝1＋x 上，如图(1)所示．(1) (2) (3)(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．(3)当x＝2时，y＝1，其图像如图(3)所示．1．描点法作函数图像的“三步曲”：一列二描三连线用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图像在平面直角坐标系中描出表中相应的点取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表2．作函数图像的注意事项：(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．求作y＝|x2＋3x－4|的图像．【解】作出二次函数y＝x2＋3x－4的图像如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图像如图(2)．(1) (2)(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求函数f (x )的解析式．(2)若f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．【思路探究】 (1)由于f (x )是一次函数，所以可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法恒等求解；(2)可用换元法(或配凑法)求解．【自主解答】 (1)由于f (x )是一次函数，可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，依题意知，f [f (x )]＝4x －1，所以k (kx ＋b )＋b ＝4x －1， 即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，k ＋1 b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)法一 (换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二 (配凑法)f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1，x ≥1.1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式，常用待定系数法，其步骤为：(1)根据函数模型设出函数解析式； (2)根据题设求待定系数．2．已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式，常用方法如下：(1)换元法：令t ＝g (x )，然后求出f (t )的解析式，最后用x 代替t 即可．(2)配凑法：可通过配凑把f [g (x )]的解析式用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(1)已知f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式为________． (2)已知2f (x )＋f (1x)＝x ，求f (x )．【解】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，由题意得f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1， ∴f (x )＝3x －1. (2)∵2f (x )＋f (1x)＝x ，以1x 代替x 得2f (1x )＋f (x )＝1x，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f 1x＝x ，2f 1x ＋f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －13x ，∴f (x )＝23x －13x.【答案】 (1)f (x )＝3x －1 (2)f (x )＝23x －13x已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．【思路探究】 由f (x )的解析式令x ＝－1求出f (－1)及f (f (－1))的值，进而求出f (f (f (－1)))的值．【自主解答】 x ＝－1<0，∴f (－1)＝0，f (f －1))＝f (0)＝π， f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1.1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； 2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．(1)(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 x ≥0 ，－2x x <0 ，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】 (1)f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝139.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1＝10，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)； 当x <0时，f (x )＝－2x ＝10，解得x ＝－5.综上得x ＝－5或3.【答案】 (1) (2)－5或3忽略变量的实际意义而致误如图2－2－2所示，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图像．图2－2－2【错解】 由题意得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x ，所以y ＝12x.故所求的函数表达式为y ＝12x，其图像如图所示．【错因分析】 没有考虑x 的实际意义，扩大了x 的取值范围导致出错．【防范措施】 从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．【正解】 由题意得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x.因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5，故所求的函数表达式为y ＝12x(3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的图像．1．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.1．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v 是关于刹车时间t 的函数，其图像可能是()【解析】 刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C ，D ；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B ，故选A.【答案】 A2．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )等于( ) A ．3 B ．3x C ．3x ＋6 D ．6x ＋3 【解析】 由已知，得f [g (x )]＝6x ＋3 ＝3(2x ＋1)＝3g (x )， 所以f (x )＝3x . 【答案】 B3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x，x <0，则f [f (12)]＝________.【解析】 f (12)＝(12)2－1＝－34，故f [f (12)]＝f (－34)＝1－34＝－43.【答案】 －434．2013赛季中国足球超级联赛拉开了大幕．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的首场比赛的门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．【解】 (1)列表法：。
北师大版高一数学必修1第二章函数教案【DOC范文整理】
北师大版高一数学必修1第二章函数教案生活中变量关系与函数的概念教学目标：通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示。
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、探究新知：学生阅读教材内容和区间的概念及写法，完成以下填空和问题．在初中学习过的函数实际上描述了两个变量之间的某种依赖关系：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有与之对应，此时y是x的函数，这两个变量x、y分别称为和。
．通过课本中实例1、2、3我们可以看到并非所有的依赖关系都有函数关系。
只有两个变量满足什么样的依赖关系时，才具有函数关系？．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h与时间t的变化规律是.t与h是否有函数关系？二、抽象概括函数的概念：归纳：从实例1、2、3我们可以看到有函数关系的两个变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x 的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域。
显然，值域是集合B的子集。
例题讲解：一次函数y=ax+b的定义域是R，值域也是R；二次函数的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。
反比例函数的定义域是，值域是。
四、课堂训练：．已知函数①求的值；②当a>0时，求的值。
求函数的值域教材练习2五、课堂小结函数的本质含义是定义域内任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。
北师大版高中数学必修1第二章《函数的单调性》第一课时参考课件
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
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谢谢欣赏！
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
函数f(x)在[0,+∞)上是减函数.
,证明:当
例3. 讨论函数f (x) ax (1 x 1)
的单调性.
x2 1
例4. 已知函数f(x)对任意的m,n∈R ,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x＞0时,f(x)＞1, 求证: f(x)在R上是增函数.
小结: 函数的单调性有关定义 作业: 作业课本39页A组第4、5题
★如果函数y=f(x)在整个定义域内是增 加的或是减少的, 我们分别称这个函数为增 函数或减函数, 统称为单调函数 .
北师大版高中数学必修1《二章 函数 2 对函数的进一步认识 2.2 函数的表示法》优质课教案_27
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互函数关系教学目标：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证 2.培养学生简单推理的思维能力.教学重点：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系 教学难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 授课类型：新授课 教具准备：多媒体课件． 教学过程： 一． 复习引入： 1. 教学四种命题的概念：二．新课教授1.四种命题间的相互关系 课本：思考（ppt ） 下列四个命题中，（1）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （2）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （4）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： （老师引导—学生回答）归纳：原命题、逆命题、否命题 和逆否命题之间的关系：2.四种命题真假性之间的关系（1）讨论：①例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系：（学生回答）：原命题（1）为真其逆命题（2）为假其否命题（3）为假其逆否命题（4）为真发现有以下规律：②（探究中）以“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
（学生回答）：原命题为：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，为假其逆命题为：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，为真其否命题为：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，为真其逆否命题为：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，为假发现有另外的规律，Array③再举其它例子：写出“同位角相等，两直线平行”的逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
（学生回答）：原命题为：同位角相等，两直线平行，为真其逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真其否命题为：同位角不相等，两直线不平行，为真其逆否命题为：两直线不平行，同位角不相等，为真发现还存在以下规律：④把以上命题改成：同位角不相等，两直线平行，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
数学北师大版高中必修1北师大版高一年级数学必修一第二章函数的概念教案
第二章函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P 20例1 解：（略） 说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2 解：（略） 说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
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阶段性检测卷二(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}答案 D2．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，x －y )，则(1,2)关于f 的原像是( )A ．(1,2)B ．(3，－1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12.故选C.答案 C3．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13答案 A4．下列函数中，是同一函数的是( ) A ．y ＝(x －1)0与y ＝1B ．y ＝x 与y ＝xC ．y ＝|x |与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0D ．y ＝x 2与y ＝(x －1)2解析 A 中y ＝(x －1)0的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}，y ＝1的定义域为R ，定义域不同，故不是同一函数；B 中y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，y ＝x 的定义域为R ，定义域不同，故不是同一函数，D 中的对应法则不同．答案 C5．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎪⎫12，1 解析 由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.答案 B6．若在[1，＋∞)上，函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 均单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1解析 显然a ≠1，且a ≠0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，得0<a <1.答案 D7．设f (x )是定义在R 上的增函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (2a )D ．f (a 2＋1)>f (a )解析 ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0∴a 2＋1>a ，由函数的单调性可知f (a 2＋1)>f (a )．答案 D8．函数y ＝x 53的图像大致是下图中的( )解析 y ＝x 53为奇函数，定义域为R ，且53>1，∴x >0时图像是下凸的，故选B.答案 B9．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析 由已知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.答案 A10．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．[13，23)B ．(13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解析 作出示意图可知：f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇒－13<2x －1<13，即13<x <23，故选B.答案 B二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x(x >2)，)则f (－4)＝________，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 f (－4)＝(－4)2＋2＝18，由f (x 0)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤2，x 20＋2＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2，2x 0＝8，得x 0＝－6，或x 0＝4. 答案 18 －6或4 12．函数y ＝(m 2－m －1)·xm 2－2m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则m ＝________.解析 由题意得m 2－m －1＝1，得m ＝2，或m ＝－1，当m ＝－1时，y ＝x 0不合题意，当m ＝2时，y ＝x －3，符合题意．答案 213．将y ＝1x 的图像沿x 轴向右平移1个单位，再向上平移两个单位得到的函数的解析式为________．答案 f (x )＝2x －1x －114．函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，则实数m ＝________.解析 由于f (x )在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，知f (x )的对称轴为x ＝－1，即－m ＝－1得m ＝1.答案 115．函数y ＝x 2－2x ＋5，在x ∈[1,2]上的最大值是________，最小值是________．解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＋5在[1,2]上单调递增，∴当x ＝1时，y min ＝1－2＋5＝4，当x ＝2时，y max ＝4－4＋5＝5.答案 5 4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(12分)求函数f (x )＝3x ＋1x 2－x －2的定义域． 解 欲使该函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≥0，x 2－x －2≠0，得⎩⎨⎧x ≥－13，x ≠－1且x ≠2，即x ≥－13，且x ≠2.∴该函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)． 17．(12分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式．解 由题意得－2m 2＋m ＋3>0，得－1<m <32，又m ∈Z ，m ＝0，或m ＝1，又f (x )为偶函数， ∴m ＝1，f (x )＝x 2.18．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，(1)若对于任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，求实数a 的值；(2)若f (x )为偶函数，求a 的值． 解 (1)∵f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称，∴－a2＝1， ∴a ＝－2.(2)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴x 2－ax ＋b ＝x 2＋ax ＋b ， ∴a ＝0.19．(13分)如图所示，函数的图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 设左侧射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (x ≤1)， ∵(1,1)，(0,2)在射线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴x ≤1时，f (x )＝－x ＋2.设右侧射线对应的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(x ≥3)，∵(3,1)，(4,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k 1＋b 1＝1，4k 1＋b 1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b 1＝－2.∴当x ≥3时，f (x )＝x －2. 设1≤x ≤3时f (x )＝a (x －2)2＋2，将(1,1)代入上式得a ＝－1.∴当1≤x ≤3时，f (x )＝－(x －2)2＋2＝－x 2＋4x －2. 综上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <1，－x 2＋4x －2，1≤x ≤3，x －2，x >3.20．(13分)求函数f (x )＝(4－3a )x 2－2x ＋a 在区间[0,1]上的最大值．解 (1)当4－3a ＝0，即a ＝43时，f (x )＝－2x ＋43在[0,1]上为减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝43.(2)当a >43时，4－3a <0，开口向下，对称轴为x ＝14－3a <0，则二次函数在区间[0,1]上为减函数∴f (x )max ＝f (0)＝a .(3)当a <43时，4－3a >0，开口向上，对称轴为x ＝14－3a >0，①当0<14－3a ≤12时，即a ≤23时，f (x )max ＝f (1)＝2－2a ， ②当14－3a >12时，即23<a <43时，f (x )max ＝f (0)＝a ，综上所述，当a >23时，f (x )max ＝a ； 当a ≤23时，f (x )max ＝2－2a .21．(13分)已知函数f (x )＝ax ＋b1＋x2是定义域为(－1,1)的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)求实数a ，b 的值．(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并用定义证明． (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0.解(1)有⎩⎨⎧f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，解得a ＝1，b ＝0.(2)f (x )在(－1,1)上是增函数，证明如下：在(－1,1)上任取两数x 1和x 2且－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22) ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0， 故f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)f (x )为奇函数，定义域为(－1,1)，由f (t －1)＋f (t )<0得f (t －1)<－f (t )＝f (－t )，∵f (x )在(－1,1)上为增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |0<t <12.。