2016届江西省赣州市高三上学期期末考试理数试题 word版

赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）试题 2016年1月（考试时间120分钟. 共150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数2i1i --的共轭复数是 A .3i 2+ B .1i 2- C .3i 2- D .3i 2--2.{}2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R A B = ð A .[]2,5 B .(2,5] C .[]1,2- D .[)1,2- 3.等比数列 {}n a 中，242,8S S ==，则6S =A .32-B .32C .26-D .264.已知命题13:1,log 0p x x ∀<<都有，命题:q x ∃∈R ，使得22x x ≥成立，则下列命题是真命题的是A .p q ∨B .()()p q ⌝∧⌝C .()p q ∨⌝D .p q ∧5.从3个英语教师和5个语文教师中选取4名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有A .132231353535A A A A A A ++B .132231353535C C C C C C ++ C .1337C C D .()13223143535354C C C C C C A ++ 6.变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为A .2B .3C .4D .57.若,,l m n 是不相同的空间直线，,αβ是不重合的两个平面，则下列命题正确的是 A .,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥ B .∥m ，m l α⊆⇒∥αC .l α⊆，m α⊆，∥β，m ∥βα⇒∥βD . ,l n m n l ⊥⊥⇒∥m 8.将函数2sin()(0)3y x ωωπ=+>的图像分别向左、向右各平移π3个单位后，所得的两个图像的对称轴重合，则ω的最小值为 A .3B .43 C .6D .329.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的方程为y =，则该双曲线的离心率为 A .32BC .3 D10.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为3655，则空白处应填入的条件是 A .9i ≤ B .6i ≤ C .9i ≥ D .8i ≤11.已知圆O 的半径为2，,A B 是圆O 上任意两点，且120AOB ∠= ，PQ 是圆O 的一条直径，若点C 满足()()331OC OA OB λλλ=+-∈R ,则CP CQ ⋅的最小值为A .3B .4C .5D .612.已知函数2()ln (,)g x x mx nx m n =--∈R 在2x =处取得极大值，则m 的取值范围为 A .()1(,0)0,8-+∞ B .1(,)8-+∞ C .()1,0(0,)8-∞ D .()0,+∞第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()()1012x x -+)的展开式中3x 的系数为______.14.已知对任意n *∈N ，点2221111(,(2))22n n n n a n a a a n ++--+ 在直线y x =上,若11a =，0n a >则n a=_________.15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，2,-20()2,021mx x f x nx x x +≤<⎧⎪=-⎨≤≤⎪+⎩，其中,m n ∈R ，若()()13f f =，则1431()mx n dx -+=⎰.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数)23()sin 0222x f x x ωωω=++<< （1）若函数()f x 图像的一条对称轴是直线π4x =，求函数()f x 的最小正周期 （2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足A f ω⎛⎫=⎪⎝⎭，12a =，4C π= 求b 的值 18．（本小题满分12分）为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某 脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况 编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果 在175个以上（包括175）定义为“高产”， 挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，ABCD 面为矩形，PA ABCD ⊥面，12PA AD AB ==，M 为PB 的中点， 1742110865654320998854219998771918171615PDS N MCBAN 、S 分别为AB CD 、上的点，且14AN CS AB ==. （1）证明：DM SN ⊥；（2）求SN 与平面DMN 所成角的余弦值．20.(本小题满分12分)从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,4M x 在抛物线C上，且6MF =（F 为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C 的方程；（2）求证：四边形PCQD 是平行四边形.21.(本小题满分12分)已知函数()ln f x x x =-（1）求函数()()2g x f x x =--的图像在1x =处的切线方程 （2）证明：()ln 12x f x x >+ （3）设0m n >>，比较()()1f m f n m n -+-与22mm n+的大小，并说明理由 请考生在第（22）、（23）、（24）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点,M T （不与,A B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结,,MC MB OT（1）求证：DT DCDO DM=； （2）若40BMC ∠= ,，试求DOT ∠的大小．23.（本小题满分10分）NB CO DTMA已知曲线C 的极坐标方程是2π4cos()103ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是cos ()sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数 （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB =，求直线的倾斜角α的值．24.（本小题满分10分）已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()21a b x x +-≤ 恒成立.（1）求11a b+的最小值； （2）试判断点()1,1P -与椭圆22221x y a b+=的位置关系，并说明理由.赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题1～5.CBDAB ； 6～10.CADDA ； 11～12.CB .二、填空题13.195-； 14.222n n -+； 5.26π3-； 16.8.三、解答题17.解：231()sin cos 222x f x x x x ωωω⎫==++⎪⎪⎭π6x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………………………3分（1）由ππππ()462k k ω+=+∈Z 得：443k ω=+， 因为02ω<<，所以43ω=…………………………………………………………5分函数()f x 的最小正周期为2π3π2T ω==……………………………………………6分（2）6A f A πω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π3A =………………………………7分 又 π4C =，ππsin sin()sin 34B A C ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭9分 由sin sin a bA B=…………………………………………………………………………10分 所以sin sin a B b A===+12分18. 解：（1）根据茎叶图，有“高产”12棵，“非高产”18棵，用分层抽样的方法，每棵被抽中的概率是51306=………………………………………………………………2分 所以选中的“高产”有11226⨯=棵，“非高产”有11836⨯=棵，用事件A 表示至少有一棵“高产”被选中，则232537()111010C P A C =-=-=………………………………4分因此至少有一棵是“高产”的概率是710（2）依题意，抽取30棵中12棵是“高产”，所以抽取一棵是“高产”的频率为122305=………………………………………………5分 频率当作概率，那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取3棵可看成进行3次独立重复试验，所以ξ服从二项分布2(3,)5B ……………………………………………………………6分ξ的取值为0，，2，3，033227(0)(1)5125P C ξ==-=，1232254(1)(1)55125P C ξ==-=， 2232236(2)()(1)55125P C ξ==-=，33328(3)()5125P C ξ===………………………9分 所以ξ的分布列如下：…………………………………………………11分所以2754368601231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或26355E ξ=⨯=）……………12分 19.解：证法一：（1）如图，取AB 中点E ，连接EM ED 、…………………………1分因为M PB 为中点，所以//EM PA ……………………………………………………2分 PA ABCD ⊥又面，SN ABCD ⊆面 所以PA SN ⊥，所以EM SN ⊥……………………3分 因为12AD AB AE == ，所以45AED ∠= ……………4分 S SF AB AB F ⊥过作交于 NF FS =则，所以45FNS ∠=所以ES ED ⊥…………………………………………5分F E PDSN MC BAED ME E = 又，SN ⊥平面EDM所以SN DM ⊥……………………………………………………………………………6分 证法二：设1PA =，以A 为原点，射线AB ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系则(0,0,1)P ，(0,1,0)D ，1(1,0,)2M ，1(,0,0)2N ，3(,1,0)2S ………3分 （1）证明：1(1,1,)2DM =-，(1,1,0)SN =--……………………………………4分因为11+1100SN DM ⋅=-⨯⨯+=……………………………………………………5分所以DM SN ⊥……………………………………………………………………………6分(2) 1(,1,0)2DN =- ，设(,,)n x y z =为平面DMN的一个法向量，则00DM n DN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以102102x y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩……………………8分取2x =，得(2,1,2)n =-……………………………………9分设SN 与平面DMN 所成角为αsin |cos ,|SN n α∴=<>== …………………………………………10分 cos α∴=11分 所以SN 与平面DMN 12分 20. 解：（1）因为462pMF =+= 所以4p =，即抛物线C 的方程是28x y =…………3分（2）由28x y =得28x y =，'4xy =………………4分 设221212,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则直线PA 的方程为()211184x x y x x -=-， ①…………………………………………5分 GB 2B 1y xF 2F 1PN MOz yx F E PDSN MC BA则直线PB 的方程为()222284x xy x x -=-，②…………………………………………6分由①和②解得：1212,28x x x x x y +==，所以1212,28x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭……………………7分 设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+………………………………………8分由28x yy kx t⎧=⎨=+⎩得2880x kx t --= 则12128,8x x k x x t +==-……………………………………………………………9分 所以()4,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分， 在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段CD 的中点 坐标为12,04x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,0k ……………………………………………………10分 又因为直线PQ 的方程为2ty x t k=-+，所以线段CD 的中点()2,0k 在直线PQ 上， 即线段CD 被线段PQ 平分…………………………………………………………11分 因此，四边形PCQD 是平行四边形…………………………………………………12分 21. 解：(1) 因为()()ln 21g x x x =-+ 所以()12xg x x-'=，()11g '=-…………………………………………………1分 又因()14g =-，所以切点为()1,4-………………………………………………2分 故所求的切线方程为：()41y x +=--，即30y x ++=………………………3分 （2）因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞ 上是减少的， ()()max 1ln111f x f ==-=-，()min ||1f x =……………………………………4分设()G x =ln 12x x +，则()'21ln xG x x -=，故()G x 在()0,e 上是增加的， 在(),e +∞ 上是减少的，故()()max 1112G x G e e ==+<，()()min max ||G x f x <所以()ln 12x f x x >+对任意()0,x ∈+∞恒成立……………………………………7分 （3）()()ln ln ln 111,1m f m f n m n m n n m m n m n n n ---++=+=⨯---2211m n m m n n m n =⨯++ 0m n >> ，10m n ∴-> ,故只需比较ln mn 与1m n n m m n-+的大小…………………8分 令()1mt t n =>，设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++， 则()()()()()3243'222222111211111t t t t t t t t G t t t t t t t -+++--++=-==+++………………………9分 因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的，故()()10G t G >=……………………………………………………………………10分 所以 ()0G t >对任意1t >恒成立……………………………………………………11分即1ln mm n n m n m n->+,从而有()()221f m f n m m n m n -+>-+……………………………12分 22.证明：（1）因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理2DN DT DM =⋅，2DN DB DA =⋅…………………………………2分 得DA DB DM DT ⋅=⋅…………………………………………………………………3分 设半径()0OB r r =>，因BD OB =，且2rBC OC ==， 则233DB DA r r r ⋅=⋅=，23232rDO DC r r ⋅=⋅=………………………………3分 所以DT DM DO DC ⋅=⋅………………………………………………………………4分 所以DT DCDO DM=…………………………………………………………………………5分 （2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠………………7分 故DTO ∆∽CM D ∆，所以DOT DMC ∠=∠………………………………………8分 根据圆周角定理得，2DOT DMB ∠=∠，则40BMC DMB ∠=∠= ……………9分80DOT ∴∠= …………………………………………………………………………10分23.解：（1）由2π4cos()103ρρθ---=得圆C 的方程为22(1)(5x y -+=……………………………………………4分 （2）将cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=…………5分 化简得22cos 40t t α--=……………………………………………………………6分设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则12122cos 4t t t t α+=⎧⎨=-⎩………………………7分所以12||||AB t t =-===……………………8分所以24cos 2α=,cos α=,π3π44αα==或…………………………………10分 24.解：（1）因为()21a b x x +-≤，0x >，所以1a b x x +≤+……………………1分 因为12x x +≥，所以2a b +≤…………………………………………………………3分 11112()24b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112a b +≥……………………5分 所以11a b +的最小值为2…………………………………………………………………6分 （2）因为222211112()()1222a b a b ++≥≥=………………………………………………7分 所以22112a b +≥……………………………………………………………………………8分 即()22221121a b -+≥>，所以点()1,1P -在椭圆22221x y a b +=的外部……………………10分。