河北省邯郸市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
河北省邯郸市第二十五中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
邯郸市第二十五中学2022-2023学年第一学期期中考试八年级数学一、选择题（1—10题每题3分，11—16题每题2分，共42分）1.下列图形具有稳定性的是（）A. B. C. D.【答案】A解析：A .具有稳定性，符合题意；B .不具有稳定性，故不符合题意；C .不具有稳定性，故不符合题意；D .不具有稳定性，故不符合题意，故选：A ．2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，故此选项错误．故选C ．3.平面直角坐标系中，点()3,4A -关于y 轴的对称点是1A ，点1A 的坐标是（）A.()4,3-- B.()3,4- C.()3,4-- D.()3,4【答案】D解析：解：点()3,4A -关于y 轴的对称点的坐标为：()3,4．故选：D ．4.如图，点C 在AD 上，,40CA CB A =∠=︒，则BCD ∠等于（）A.40︒B.70︒C.80︒D.110︒【答案】C解析：解：CA CB = ，40A ∠=︒，40A B ∴∠=∠=︒，404080BCD A B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．5.如图，△ABE ≌△ACD ，BC ＝10，DE ＝4，则DC 的长是（）A.8B.7C.6D.5【答案】B解析：解：∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∴BE +CD ＝BC +DE ＝14，∴2CD ＝14，∴CD ＝7，故选：B ．6.用三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A. B.C. D.【答案】A解析：解：B ，C ，D 都不是△ABC 的边BC 上的高，A 选项是△ABC 的边BC 上的高，故选：A ．7.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC 等于（）A.30°B.35°C.45°D.60°【答案】A 解析：解：如图，∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，∴六边形花环为正六边形，∴∠ABD=×°6（6-2）180=120°，而∠CBD=∠BAC=90°，∴∠ABC=120°-90°=30°．故选：A ．8.如图，已知ABC 的周长是20，OB 和OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥，垂足为点D ，3OD =，则ABC 的面积是（）A.20B.30C.40D.60【答案】B 解析：连接AO ，过点O 分别作OE AB ⊥于点E ，OF AC ⊥于点F ，∵ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△，111222AB OE BC OD AC OF =++，∵BO 、CO 为角平分线，∴3OE OD OF ===，∴()113203022ABC S OD AB BC AC =++==．故选：B ．9.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里【答案】D解析：∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M ＝70°，∠N ＝40°，∴根据三角形内角和定理得∠MPN ＝70°．∴∠M ＝∠MPN ＝70°．∴NP ＝NM ＝80（海里）．故选D ．10.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？A.5B.6C.7D.10【答案】C 解析：依题意可得，当其中一个夹角为180°即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角为180°的两条木条的长度之和．因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7，故选C11.如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，2AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的值不可能是（）A.1.5B.2C.2.5D.3【答案】A 解析：解：如图，过点D 作DH BC ⊥交BC 于点H ，BD CD ⊥ ，90BDC ∴∠=︒，又180C BDC DBC ∠+∠+∠=︒ ，180ADB A ABD ∠+∠+∠=︒，ADB C ∠=∠，90A ∠=︒，ABD CBD ∴∠=∠，BD ∴是ABC ∠的角平分线，又AD AB ⊥ DH BC ⊥，，AD DH =∴，又2AD = ，2DH ∴=，又∵点D 是直线BC 上一点，∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 的长，即DP 的长最小值为2，1.52< ，DP ∴的长不可能是1.5，故选：A ．12.已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ；（2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（）A.BAD CAD∠=∠ B.△BCD 是等边三角形C.AD 垂直平分BCD.ABDC S AD BC= 【答案】D解析：解：∵BD BC CD ==∴△BCD 是等边三角形故选项B 正确；∵AB AC =，,BD CD AD AD==∴ABD ACD≅△△∴BAD CAD∠=∠故选项A 正确；∵BAD CAD ∠=∠，AB AC=∴据三线合一得出AD 垂直平分BC故选项C 正确；∵四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD 的面积之和∴12ABCD S AD BC =⋅故选项D 错误．故选：D ．13.如图，在正方形网格中有M ，N 两点，在直线l 上求一点P ，使PM PN +最短，则点P 应选在（）A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点【答案】C 解析：解：如图，点M '是点M 关于直线l 的对称点，连接M N '，则M N '与直线l 的交点，即为点P ，此时PM PN +最短，M N ' 与直线l 交于点C ，∴点P 应选C 点．故选：C ．14.如图，在ABC 中，30,90A C ∠=︒∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（）A.DE DC= B.AD DB = C.AD BC = D.BC AE=【答案】C 解析：解：∵ 30, 90A C ∠=︒∠=︒，∴60ABC ∠=︒，∵DE 垂直平分AB ，∴AD BD =，AE BE =，故B 选项正确，不符合题意；C 选项错误，符合题意；∴30ABD A ∠=∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∴CBD ABD ∠=∠，∵90,C DE AB ∠=︒⊥，∴DE DC =，故A 选项正确，不符合题意；∵ 30, 90A C ∠=︒∠=︒，∴12BC AB =，∴BC AE =，故D 选项正确，不符合题意；故选：C15.如图，D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足为D ，交AC 于点E ，A ABE ∠=∠．若5AC =，3BC =，则BD 的长为（）A.2.5B.1.5C.2D.1【答案】D 解析：解：∵CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，∴ECD BCD ∠=∠，90BDC EDC ∠=∠=︒，在BCD △与ECD 中，90ECD BCD CD CD BDC EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ASA BCD ECD ∴≌ ，BC CE ∴=，BEC ∴ 是等腰三角形，∴12BD BE =，又A ABE ∠=∠ ，ABE ∴ 是等腰三角形，AE BE ∴=，()111222BD BE AE AC CE ∴===-，∵5AC =，3BC =，()15312BD ∴=⨯-=．故选：D ．16.如图，已知等边三角形ABC ，2AB =，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，,BD CF DE BC =⊥于E ，FG BC ⊥于G ，DF 交BC 于点P ，则下列结论：①BE CG =；②EDP GFP ≌；③60EDP ∠=︒；④1EP =．其中一定正确的是（）A.①③B.②④C.①②③D.①②④【答案】D 解析：解：ABC 是等边三角形，AB BC AC ∴==，60A B ACB ∠=∠=∠=︒．ACB GCF ∠=∠ ，DE BC ⊥ ，FG BC ⊥，90DEB FGC DEP ∴∠=∠=∠=︒．在DEB 和FGC △中，DEB FGC B GCF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)DEB FGC ∴△≌△BE CG ∴=，DE FG =，故①正确；在DEP 和FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)DEP FGP ∴△≌△，故②正确；PE PG ∴=，EDP ∠不一定等于60︒，当PD AB ⊥时，60EDP ∠=︒，故③错误；PG PC CG =+ ，PE PC BE ∴=+．2PE PC BE ++= ，1PE ∴=．故④正确．正确的有①②④，故选：D ．二、填空题（17，18题每题3分，19题每空2分，共10分）17.如图，ABC 中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，ABC 的面积是20，则阴影部分的面积是______．【答案】5解析：解：ABC 中，D 、E 分别是BC ，AD 的中点，AD ∴是ABC 的中线，CE 是ADC △的中线，2ABC ADC S S ∴= ，2ADC AEC S S = ，4ABC AEC S S ∴= ，ABC 的面积是20，AEC ∴ 的面积为5，即阴影部分的面积是5．故答案为：5．18.如图，已知8AO =，P 是射线ON 上一动点（即Р点可在射线ON 上运动），60AON ∠=︒，则OP =_______时，AOP 为直角三角形．【答案】4或16##16或4解析：解：当90APO ∠=︒时，9030OAP AOP ∠︒∠=︒=-，142OP OA ∴==，当90OAP ∠=︒时，9030OPA AOP ∠=︒-∠=︒，216OP OA ∴==，故答案为：4或16．19.如图，已知()()3,0,0,1A B -，连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA BC =，连接AC ，C 点坐标为__________；Р点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角BPQ V ，连接CQ ，当C 、P 、Q 三点共线时Р点的坐标为___________．【答案】①.(1,4)-②.(1,0)解析：解：如图，过C 作CH y ⊥轴于H ，则90BCH CBH ∠+∠=︒，∵()()3,0,0,1A B -，∴3OA =，1OB =，AB BC ⊥ ，90ABC ∴∠=︒，90ABO CBH ∴∠+∠=︒，ABO BCH ∴∠=∠，在ABO 和BCH V 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ABO BCH ∴≌△△，3BH OA ∴==，1CH OB ==，4OH OB BH ∴=+=，C ∴点坐标为(1,4)-；BPQ △是等腰直角三角形，90PBQ ABC ∴∠=∠=︒，PBQ ABQ ABC ABQ ∴∠-∠=∠-∠，即PBA QBC ∠=∠，在PBA △和QBC △中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)PBA QBC ∴△≌△，135BPA BQC ∴∠=∠=︒，BPQ △是等腰直角三角形，45BQP ∴∠=︒，当C 、P ，Q 三点共线时，135BQC ∠=︒，18013545OPB ∴∠=︒-︒=︒，1OP OB ∴==，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,4)-，(1,0)．三、解答题（共68分）20.求出下列图形中x 的值．【答案】（1）70x =；（2）60x =解析：解：（1）∵40180x x ++=，解得70x =；（2）∵()7010x x x +=++，解得60x =．21.如图，在平面直角坐标系中，A(﹣3，2)，B(﹣4，﹣3)，C(﹣1，﹣1)．（1）在图中作出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）写出点111,,A B C 的坐标（直接写答案）；（3）在y 轴上画出点P ，使PB+PC 最小．【答案】（1）图见解析；（2）111(3,2),(4,3),(1,1)A B C --；（3）图见解析．解析：（1）先根据轴对称的性质分别描出点111,,A B C ，再顺次连接即可得到111A B C △，如图所示：（2）点坐标关于y 轴对称的变化规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变3,24,3(),(),()1,1A B C ----- 1113,24,(),(),(3)1,1A B C ∴--；（3）由轴对称的性质得：1PB PB =则1PB PC PB PC+=+由两点之间线段最短得：当1,,C P B 三点共线时，1PB PC +取得最小值，最小值为1CB 如图，连接1CB ，与y 轴的交点P 即为所求．22.如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝CE ．试说明：AB ∥DE ．【答案】见解析解析：证明：BF CE = ，BF CF CE CF ∴+=+，即BC EF =，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ≅∆∆∴，B E ∴∠=∠，//AB DE ∴．23.如图，ABC 和ADE V 中，AB AD =，B D ∠=∠，BC DE =．边AD 与边BC 交于点P （不与点B ，C 重合），点B ，E 在AD异侧．（1）若30B ∠=︒，70APC ∠=︒，求CAE ∠的度数；（2）当30B ∠=︒，AB AC ⊥，6AB =时，设AP x =，请用含x 的式子表示PD ，并写出PD 的最大值【答案】（1）40︒（2）6PD x =-；当3x =时，PD 有最大值，即3PD =【小问1详解】解：在ABC 与ADE V 中，AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC ADE ∴≌△△，BAC DAE ∴∠=∠，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠，30B ∠=︒ ，70APC ∠=︒，703040CAE BAD APC B ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；【小问2详解】解：AB AC ⊥ ，90BAC ∴∠=︒，6AB = ，AP x =，()SAS ABC ADE ≌，6AB AD ∴==，∴当AD BC ⊥时，x 最小，PD 最大，6PD x =-，30B ∠=︒ ，AD BC ⊥，90APB ∴∠=︒，132AP AB ∴==，3AP x ∴==时，PD 有最大值，即633PD AD AP =-=-=．24.如图：已知等边ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =．（1）求E ∠的度数．（2）求证：DBE 是等腰三角形．【答案】（1）30︒（2）见解析【小问1详解】解： ABC 是等边三角形，60ACB ABC ∠=∠=︒∴，又CE CD = ，E CDE ∴∠=∠，又ACB E CDE ∠=∠+∠ ，1302E ACB ∴∠=∠=︒；【小问2详解】证明： 等边ABC 中，D 是AC 的中点，11603022DBC ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒由（1）知30E ∠=︒，30DBC E ∴∠=∠=︒，DB DE ∴=，即DBE 是等腰三角形．25.如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，(1)观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：正多边形边数3456……n ∠α的度数______°_____°______°______°……_____°(2)根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.(3)是否存在正n 边形使得∠α=21°？若存在，请求出n 的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)60，45，36，30°，180n；(2)22.5；(3)不存在.解析：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：正多边形边数3456…n ∠α的度数60°45°36°30°…（1808）°（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（1808）°=22.5°；（3）不存在，理由如下：设存在正n 边形使得∠α=21°，得∠α=21°=（180n）°．解得n=847，n 是正整数，n=847（不符合题意要舍去），不存在正n 边形使得∠α=21°．26.如图，已知：在ABC 中，4AC BC ==，120ACB ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺()90,30PMN M MPN ∠=︒∠=︒按如图放置，顶点Р在线段AB 上滑动（且不与A 、B 重合），三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当α=______°，PN BC ∥，此时APD ∠=______°（2）点Р在滑动时，当AP 长为多少时，ADP △与BPC △全等，为什么？（3）点Р在滑动时，PCD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．【答案】（1）30，30（2）4AP =时，ADP △与BPC △全等，理由见解析（3）45α∠=︒或90︒时，PCD 的形状可以是等腰三角形【小问1详解】若PN BC ∥，则MPN α∠=∠，30MPN ∠=︒，∴30MPN α∠=∠=︒，120ACB ∠=︒ ，AC BC =，30A B ∴∠=∠=︒，30α∠=︒，303060APC B α∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，30MPN ∠=︒，603030APD APC MPN ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：30，30；【小问2详解】当4AP =时，ADP BPC ≌ ，理由如下：120ACB ∠=︒ ，AC BC =，30A B ∴∠=∠=︒，APC ∠ 是BPC △的一个外角，30APC B αα∴∠=∠+∠=︒+∠，30APC DPC APD APD ∠=∠+∠=︒+∠ ，APD α∴∠=∠，4AP BC == ，在ADP △和BPC △中，A B AP BC APD BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ADP BPC ∴≌ ；【小问3详解】PCD QV 是等腰三角形，120PCD α∠=-°，30CPD ∠=︒，①当PC PD =时，()118030752PCD PDC ∴∠=∠=︒-︒=︒，即12075α-=°°，45α∴∠=︒；②当PD CD =时，PCD 是等腰三角形，30PCD CPD ∴∠=∠=︒，即12030α-=°°，90α∴=︒；③当PC CD =时，PCD 是等腰三角形，30CDP CPD ∴∠=∠=︒，180230120PCD ∴∠=︒-⨯︒=︒，即120120α-=°°，0α∴=︒，此时点P 与点B 重合，点D 和A 重合，∵点P 不与A ，B 重合，0α∴=︒，舍去，综合所述：当PCD 是等腰三角形时，45α=︒或90︒．20。
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
河北省邯郸市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
绝密★启用前河北省邯郸市2020-2021学年高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}19|A x x =≤≤，{||1|2}B x x =+<，则A B =（ ）A ．{}3|9x x -≤≤B ．9{|}3x x -<≤C ．{}1|9x x -<≤D ．{}|19x x ≤≤2．23cos6π=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ． 3．若0.33a =，0.3log 3b =，0.50.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．已知幂函数()221()1m f x m m x +=+-在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2-或15．已知实数2m >，集合12{|}4x A y y -==+，集合(){}2220B x x m x m =-++≤，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,4B ．(]2,4C ．()4,+∞D ．[4,)+∞6．已知函数()f x =A ，函数()229log 4g x x x ⎛⎫ ⎪⎝=+⎭-的值域为B ，又A B ⊆，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫--∞⎪⎢⎣⎭7．已知23cos sin 2αβ+=，1sin sin cos 3αββ+=，则)os(c 2αβ+=（ ）A ．49B ．59C ．536D ．518-8．设()()215f x x a x =+-+，若函数()f x 在区间[]1,4上的图象位于直线1y x =+上方，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞ C ．(,2)-∞- D ．(,2]-∞-二、多选题9．在以下函数中，恰有1个零点的函数是（ ） A ．12log (1)y x =+B ．|31|x y =-C ．1212y x =+-D ．22x y x =-10．下列命题的否定中，真命题的是（ ） A ．x R ∃∈，2104x x -+< B ．所有正方形既是矩形也是菱形 C ．0a ∃>，2220x x a +++=D ．所有三角形都有外接圆11．已知曲线1:cos 4C y x =，2:sin 23C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把曲线1C 向左平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2C B ．把曲线1C 向右平移24π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2CC ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移不单位长度，得到曲线2CD ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C12．下列结论中，所有正确的结论有（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．当x ∈R 时，4sin 4sin x x+≥C ．若a R ∈22D ．若,a b R +∈，22a b +=，则1492a b +≥+三、填空题13．已知集合21{}2|A x x =≤，{}5,B x x x Z =≤∈，则()UA B ⋂的子集个数为__________.14．已知函数()21,01,0x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()()2f f m =，则m = ______________.15．已知函数()3181ln 803x f x x -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间(),1k k +内，则整数k =________.16．已知,m n R ∈，且2221m mn n -+=成立，则2m n -的取值范围_____________.四、解答题17．已知0a >，集合{|1A x x =≤-或}2x ≥，{}22230B x x ax a =--≥（1）当1a =时，求A B（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知函数()5sin(4))66f x x x ππ=++-（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间 （2）求函数()y f x =在50,24π⎛⎫⎪⎝⎭上值域. 19．已知函数()f x 对于任意,x y R ∈都有()()()·f x y f x f y +=且()0f x >，且当0x >时，()1f x >.（1）求()0f ，判断函数()f x 的单调性并利用定义加以证明；（2）若函数()g x 为[]22-,上的奇函数，当02x <≤时，()()g x f x =，解不等式()()120g t g t -+<20．某商品的进货价格为每千克6元，利用数学知识进行市场分析模拟可得：该商品的预定价x （整数）（元/千克）与销售y （件）之间的关系式为15y x =-+， （1）预定售价x 为多少元/千克时，销售总利润最大？此时总利润是多少元？ （2）现定义利用总利润与预售价x 的比为“利润售价比”，则预定售价x 为多少时，“利润售价比”最大？21．函数()cos()f x A x ωφ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，先把函数()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 图象的对称中心. （2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域. （3）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()2()230g x m g x m +-+-=有解，求实数m 的取值范围.22．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【分析】先化简集合B ，再利用并集运算求解. 【详解】因为{}19|A x x =≤≤，{|31}B x x =-<<， 所以AB =9{|}3x x -<≤，故选：B. 2．C 【分析】利用诱导公式计算求值即可． 【详解】23coscos 466πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos cos 66ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 故选：C 3．B 【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】因为0.313a =>，0.5000.50.51<<=，0.30.3log 3log 10<=， 所以b c a <<， 故选：B. 4．A 【分析】由()f x 是幂函数结合函数单调性得出实数m 的值． 【详解】由于()f x 为幂函数，所以2112m m m +-=⇔=-或1m =；又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，故当2m =-时符合条件，故选：A 5．C 【分析】利用指数函数的性质化简集合A ，分解因式可得集合B ，由A B φ⋂≠可得实数m 的取值范围． 【详解】 集合1{|}{|}244x A y y y y -==+=>，(){}()(){}222020B x x m x m x x x m =-++≤=--≤{}2x x m =≤≤，由于A B φ⋂≠，所以4m >，故选：C 6．B 【分析】先求出函数()f x 的定义域以及函数()g x 的值域，再利用集合的包含关系求解a 的取值范围即可. 【详解】根据题意得：202x a x a +>⇒>-，()2222219log log log 42212x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+≥=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎢⎥⎣⎦=⎭-+，则{}2A x x a =>-，{}1B y y =≥，由A B ⊆，可得1212a a -≥⇔≤-， 故选：B. 7．C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23αβ+=，然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②，将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+，解得()5cos 236αβ+=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值. 8．A 【分析】根据题意，由()()2151f x x a x x =+-+>+在区间[]1,4上恒成立，转化为42a x x->--在区间[]1,4上恒成立求解. 【详解】由题意得，()()2151f x x a x x =+-+>+在区间[]1,4上恒成立,42a x x->--在区间[]1,4上恒成立,令4y x x=+，其图象如图所示：由图象知4y ≥， 所以24a ->-， 解得2a >-， 故选：A. 9．AB 【分析】根据函数零点定义进行求解即可. 【详解】A ：由12log (1)00y x x =+=⇒=，所以该函数只有一个零点，符合题意；B ：由|31|00x y x =-=⇒=，所以该函数只有一个零点，符合题意；C ：由1121024y x x =+-=⇒=-或34x =-，所以该函数有两个零点，不符合题意； D ：当0x >时，2202x y x x =-=⇒=或4x =，所以该函数当0x >时有两个零点，不符合题意， 故选：AB 10．AC 【分析】判断各选项中命题的真假，进而可判断出各选项中命题否定的真假，由此可得出合适的选项. 【详解】选项A ，2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，所以选项A 满足条件；选项B ，所有正方形既是矩形也是菱形，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项B 不满足条件；选项C ，当0a >时，()2222110x x a x a +++=+++>，所以原命题为假命题，原命题的否定为真命题，所以选项C 满足条件；选项D ，所有三角形都有外接圆，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项D 不满足条件. 故选：AC. 11．BD 【分析】由曲线1C 到曲线2C 可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换. 【详解】曲线1C 到曲线2C 的转换可通过两个途径放缩、平移可得：途径一：向右平移24π，即cos 4cos 46y x y x π⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即cos 4cos(2)cos(2)sin 266323y x y x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=-⇒=-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得选项B 正确.途径二：把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即cos 4cos 2y x y x =⇒=，所得曲线向右平移12π个单位长度即cos 2cos 2()cos(2)cos(2)sin 2126323y x y x x x x πππππ⎛⎫=⇒=-=-=+-=+ ⎪⎝⎭，可得选项D 正确. 故选: BD 12．AD【分析】运用不等式性质与基本不等式结合选项一一判断即可. 【详解】A ：因为22ac bc >，不等式两边同乘以21c ，因为210c >，不等式两边不等号不变，所以a b>成立，正确；B ：∵x ∈R ，令sin t x =，∴[]sin 1,1t x =∈-，当[)1,0t ∈-时，40t t+<，故B 错误；C 22==t =1t t+，根据函数的定义域可得12t t+≥，错误； D ：因为22a b +=，则14114124(2)922b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯++=⨯++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19(922⨯+=+，正确. 故选：AD. 13．16 【分析】分别化简集合,A B ，计算出()UA B ⋂，可得其子集个数．【详解】根据题意可得{A x x =-≤≤，{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5B =-----，可得(){}5,4,4,5UA B =--，其子集个数为4216=故答案为：16 14．0 【分析】用换元法，结合函数的解析式进行求解即可. 【详解】令()f m t =，则()2f t =，（1）当0t >时，121t t +=⇒=，所以()1f m =； 当0m >时，110m m +=⇒=（舍去）， 当0m ≤时，2110m m +=⇒=；（2）当0t ≤时，2121t t +=⇒=-，所以()1f m =-； 当0m >时，11m +=-，显然此时方程无实数解， 当0m ≤时，211m +=-，显然此时方程无实数解， 终上所述：0m =. 故答案为：0 15．2 【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可求得结果. 【详解】因为函数81ln y x =与31803x y -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()f x 在()0,∞+为增函数，()281ln 2830f =-<，()381ln3810f =->，()()230f f ⋅<，所以，函数()f x 的零点位于区间()2,3内 ，故2k =. 故答案为：2.16．[]22-,【分析】用换元法、判别式法进行求解即可. 【详解】设2m n t -=，则2m t n =+.从而()()222221t n t n n n +-++=，即2277210n tn t ++-=，则()224947210t t ∆=-⨯-≥，解得22t -≤≤，故答案为：[]22-,17．（1）{|1x x ≤-或}3x ≥；（2）203a <≤. 【分析】（1）当1a =时，利用交集的定义计算可得A B ；（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，可得A B ，列不等式组解出实数a 的取值范围．【详解】{|1A x x =≤-或}2x ≥，{}()(){}2223030B x x ax a x x a x a =--≥=-+≥{|x x a =≤-或}3x a ≥（1）当1a =时，{|1B x x =≤-或}3x ≥所以{|1A B x x ⋂=≤-或}2x ≥{|1x x ⋂≤-或}3x ≥{|1x x =≤-或}3x ≥ （2）由题意得AB ，∴1,1,2233a a a a ≤⎧-≤-⎧⎪⇒⎨⎨≥≤⎩⎪⎩（且等号不能同时成立）， ∴203a <≤. 18．（1）2T π=，(),12262k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）(]1,2-. 【分析】（1）利用诱导公式和辅助角公式可得()f x =2sin(4)6π-x ，即可求出周期和单调增区间.（2）由50,24x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得24,663t x πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，利用sin y t =的函数图象可得值域. 【详解】（1）()5sin(4))66f x x x ππ=++-sin(4))66x x πππ=+++-sin(4))66x x ππ=++2sin(4)2sin(4)636x x πππ=+-=-， 所以最小正周期242T ππ==， 令242262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得12262k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 故函数()y f x =的单调递增区间为(),12262k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）因为50,24x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令24,663t x πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭， 根据sin y t =的函数图象，可得1sin 4,162x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴()(]2sin 41,26y f x x π⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭. 函数值域为：(]1,2-19．（1）()01f =，函数()f x 单调递增，证明见解析；（2）11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）利用赋值法,令0x =，1y =求解；任取12,x x R ∈，设12x x <，由()()21f x f x -()()1211f x f x x =--⎡⎤⎣⎦判断其符号即可.（2）根据函数()g x 的奇函数，将()()120g t g t -+<转化为()()12g t g t -<-，利用其单调性求解. 【详解】（1）当0x =，1y =时，()()()101f f f =⋅， 因为()10f >，所以()01f =.函数()f x 单调递增，证明如下： 任意12,x x R ∈，设12x x <，则210x x ->，()211f x x ->，()2110f x x -->，()()()()()()()()2112111211f x f x f x x x f x f x f x x f x -=+--=--()()1211f x f x x =--⎡⎤⎣⎦，因为()10f x >，()2110f x x -->， 所以()()210f x f x ->，所以()f x 单调递增. （2）因为()()120g t g t -+<， 所以()()12g t g t -<-，所以212,222,12,t t t t -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得113t -≤<. 所以不等式的解集为11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.20．（1）当预定售价x 为10或11时，销售总利润最大，此时总利润是20元；（2）当预定售价为9元/千克或10元/千克时，“利润售价比”最大. 【分析】（1）由已知条件求出总利润，利用二次函数的性质得出总利润的最大值，进而可得此时的预定售价和总利润；（2）利用总利润与预售价的比得出“利润售价比”的解析式，由对勾函数的性质得出结论． 【详解】（1）根据题意：总利润()()26152190z x x x x =--+=-+-，该函数图象的对称轴为2110.52=， 所以当预定售价x 为10或11时，销售总利润最大，此时总利润是20元.（2）根据题意：“利润售价比”()22190x x m x x-+-==90902121x x x x ⎛⎫--+=-++ ⎪⎝⎭，由90x x x=⇔=x 为整数知，当9x =或10时，较大者为最大值，()()9102m m ==，所以当预定售价为9元/千克或10元/千克时，“利润售价比”最大.21．（1）(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）观察图象，由函数最值求出A ，由周期求出ω，再将7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭代入得出ϕ，即可求出函数()f x 的解析式，进而得出函数()g x 的解析式以及对称中心； （2）由x 的范围结合余弦函数的性质可得()g x 的值域；（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m 的取值范围． 【详解】（1）根据图象可知1A =，174123T ππ=-， ∴T π=，∴22Tπω==，()()cos 2f x x φ=+， 将7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得，7cos 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即726k πϕππ+=+，解得26k πϕπ=-，k Z ∈， ∵2πϕ<，∴0k =，6πϕ=-，∴()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.函数()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线再向左平移4π个单位长度，得()5cos 416g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令54,62x k k Z πππ+=+∈，解得124k x ππ=-+∴此函数图象的对称中心为(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . （2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，54514,cos 41,63362x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈⇔+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， ()53cos 410,62g x x π⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()g x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）()()()2230gx m g x m +-+-=()()()2231g x g x m g x ⇔++=+⎡⎤⎣⎦()()()2231g x g x m g x ++⇔=+，令()1s g x =+，由（2）知51,2s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2223310s m s s s +⎡⎤==+∈⎢⎥⎣⎦， 因此m的取值范围为3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．22．（1）()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩；（2）[]1,1-.【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数()f x 的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m 的取值范围． 【详解】（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，当(]0,2x ∈时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，所以()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-， 要使()229m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，则()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩即31,13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，∴实数m 的取值范围是[]1,1-.。
经典试题解析—高一化学2020-2021学年上学期期末三校联考
D．钠盐、钾盐是根据盐中的阳离子进行分类的，它们之间是并列关系，碳酸盐是根据盐中的阴离子分类的，它和钠盐、钾盐之间是交叉关系，D错误；
故选C。
10.下列化学反应的离子方程式正确的是
A. 用醋酸除去水垢：2H++CaCO3=Ca2++CO2↑+H2O
D. 实验②证明Fe2+既有氧化性又有还原性
【答案】C
【解析】
【分析】
实验①中高锰酸钾能将浓盐酸氧化成黄绿色气体Cl2，该反应中，高锰酸钾为氧化剂，Cl2为氧化产物，氧化剂的氧化性大于氧化产物，因此氧化性MnO ＞Cl2；实验②中Cl2能将FeCl2氧化生成黄色的FeCl3，Cl2做氧化剂，FeCl3是氧化产物，故氧化性Cl2＞Fe3+；实验③中Cl2能与I-反应生成I2，Cl2为氧化剂，I2为氧化产物，故氧化性Cl2＞I2。
故选C。
11.下列与Cl2有关的说法正确的是
A.Cl2具有很强的氧化性，在化学反应中只能作氧化剂
B. 氯气作水的杀菌消毒剂时没有发生化学变化
C.0.1molCl2与足量NaOH溶液反应，转移0.2mol电子
D.Cl2能使湿润的淀粉碘化钾试纸变蓝、说明Cl2具有氧化性
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．氯气中Cl元素化合价处于中间价态，既可以被氧化，又可以被还原，故A错误；
D、CCl4和金属钠反应生成金刚石和氯化钠，符合“单质+化合物=单质+化合物”的特点，属于置换反应，故D正确；
故选C。
5.对四组无色透明溶液进行离子检验，四位同学各鉴定一组，他们的实验报告的结论如下，其中可能正确的是
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
河北省邯郸市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数 的定义确定函数值，注意区间端点处的函数值．
【详解】由 的定义知当 时， ， ，所以当 时， ，即值域中有5个元素．
故选：C．
【点睛】本题考查分段函数的值域．解题时需根据分段函数定义分段求值．
9.在△ABC中，∠ACB ，AB＝2BC，将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A的大小为θ（0＜θ＜π），PB与平面ABC所成角为α，则α的最大值为（）
C. 若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l
D. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面面垂直的判定与性质、线面平行与垂直的判定定理进行判断．
【详解】平面α⊥平面β，它们的交线在平面β内，不垂直于平面β，A错；
当直线l在平面α内时，α内有无数条直线平行于直线l，B错；
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定集合 中的元素，再由集合的运算法则计算．
【详解】由题意 或 ， ，
，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的运算，确定集合的元素是解题基础，掌握集合的运算法则是解题关键．
2.已知f（x）＝ax3+bx+2，且f（2）＝4，那么f（﹣2）＝（）
A. ﹣4B. ﹣2C.0D.8
邯郸市2018--2021学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，B＝{x|x+2＞0}，则（∁RA）∪B＝（）
河北省邯郸市魏县第五中学2022高一数学上学期第二次月考试题(含解析)
C. 的最大值是2D.若 ，则 或
【答案】B
【解析】
分析】
根据三角函数的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，正弦函数在区间 上递增，不能说在第一象限递增，要分开区间，故A选项错误.
对数B选项，根据正切函数的性质可知，B选项正确.
22.已知函数 的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求出函数 的一个解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数 的周期为 ，当 时，方程 恰有两个不同的解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ．(2) ．
【解析】
试题分析：
(1)由最小正周期公式可得 ．利用函数的最值可得 结合函数的最高点坐标可得 ．所以函数的解析式为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图像的最大值求得 ，根据周期求得 ，根据点 求得 的值，进而求得函数 的解析式.
【详解】函数图像的最大值为 ，故 .根据图像可知， 的最小正周期为 ，故 ，所以 ，代入 得 ，由于 ，所以 .故 .
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，属于基础题.
19.已知函数
（2） ， ，所以 .
【点睛】本小题主要考查正切型函数的定义域、单调区间的求法，考查诱导公式、两角和的正切公式，属于基础题.
20.已知函数 ， ，
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 向右平移 （ ）个单位后变为偶函数，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先利用诱导公式进行化简，进而求得函数 的单调递增区间.
16.定义运算 若 ，则 的值是_______．
河北省邯郸市2020-2021学年高一下学期期末考试 数学 试题 (含答案)
邯郸市2020—2021学年第二学期期末质量检测高一数学注意事项：1. 考试时间120分钟，总共150分.2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考场填写在答题卡上，并把条形码贴在答题卡上的指定位置.3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量(),1a x =，()3,2b =-，若//a b ，则x =（ ） A. 32- B. 23- C. 32 D. 232. 在正四面体A BCD -中，直线AB 与直线CD 所成的角的大小为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒3. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标.每3个随机数为一组，代表3次射击的结果.经随机模拟产生了20组随机数：926 446 072 021 392 077 663 817 325 615405 858 776 631 700 259 305 311 589 258据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为（ ）A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.64. 设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）A. 若//m α，n α⊂，则//m nB. 若//αβ，//m α，//n β，则//m nC. 若m β⊥，//n β，则m n ⊥D. 若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，则n α⊥5. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是0.8，乙解出此问题的概率是0.6，那么至少有一人解出此问题的概率是（ ）A. 0.98B. 0.92C. 0.9D. 0.886. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若6C π=，22b c ==，则ABC △的面积为（ ）A. 2B. 1C.D. 27. 为了解疫情防控延迟开学期间全市中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向全市各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图.经分析统计图表，采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）A. 22.5%B. 27.5%C. 32.5%D. 37.5%8. 在ABC △中，22AB AC ==，M ，N 分别为线段BC 上的两个三等分点，若59AM AN ⋅=，则角A 为（ ）A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知复数11z i i =++，其中z 是z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. z 的实部为12 B. z 的虚部为12i - C. 12z +为纯虚数 D. 在复平面内z 对应的点位于第四象限10. 已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为Ω，事件A 为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件B 为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是（ ）A. A 与B 是互斥事件B. A 与B 不是对立事件C. A B Ω=D. ()()98P A P B += 11. 已知非零单位向量a 和b ，若33a b ⋅=-，向量b 在向量a 上的投影向量为c ，向量a 在向量b 上的投影向量为d ，则下列结论正确的是（ ） A. c d = B. a b a c ⋅=⋅ C. 33d b = D. 3c d ⋅=-12. 已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 方体1111ABCD A BC D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ） A. 平面11//AB C D 平面EFGHB. 平面11ACC A ⊥平面EFGHC. 四边形EFGH 的面积为D. 四棱锥B EFGH -的体积为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13. 已知复数12z =-，则1z -=__________. 14. 将边长为2的正方形，绕其一条对角线旋转180︒，所围成的几何体的表面积为__________.15. 已知正方体1111ABCD A BC D -，则二面角11A B D C --的正弦值为___________.16. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，已知sinsin 2A C a b A +=，且C 为钝角，则B =______________，a c的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=.（1）求角A 的大小；（2）若4b =，在下面三个条件中选一个，若ABC △存在，求c 的值，若不存在，说明理由.①3a =；②a =a =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 如图，已知O 为平面直角坐标系的原点，150OAB ABC ∠=∠=︒，2OA BC AB ===.（1）求OC 的坐标；（2）若四边形ABCD 为平行四边形，求OB OD +.19. 如图，在三棱锥P ABC -中，1AC =，2AB =，60CAB ∠=︒，PA ⊥平面ABC .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若PA AC =，M 是PB 的中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值.20. 甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，规则如下：甲掷两次骰子，第一次掷出的数字作为十位数，第二次掷出的数字作为个位数，组成一个两位数，然后让乙猜.若乙猜出的结果与该两位数满足的数字特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲掷两次骰子）.所要猜的两位数的数字特征方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“两位数的十位大于个位”；猜法二：猜“两位数的十位不大于个位”.请回答：（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人连续获胜两次则整个游戏停止.若乙按照（1）中的猜法进行游戏，求第三轮后游戏停止的概率.21. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱1CC ，1BB 上的点，点M 是线段AC 上一点，22EC FB ==.（1）若M 为中点，证明：//BM 平面AEF ；（2）若2A BCEF A MEB V V --=，求AM .22. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.高一数学参考答案一、选择题1-5：ADBCB6-8：ABC二、选择题9. AD 10. BCD 11. ABD 12. ACD三、填空题13. 1 14. 15. 316. 3π 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 四、解答题17. 解：（1）因为(2)cos cos b c A a C -=，由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即2sin cos sin()B A A C =+，又因为A B C π++=，所以2sin cos sin B A B =，又因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 从而1cos 2A =，故3A π=.（2）显然有sin CD b A ==ABC △存在，必有BC CD ≥.选①3a =：此时有CD a BC >=，故ABC △不存在.选②a =CD BC a ==，如图1，ABC △存在，且BC 有唯一解.故有2c =.选③a =CD BC a <=，如图2，ABC △存在，且BC 有两解（1B C 与2B C ）. 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即2430c c -+=，解得1c =或3c =.18. 解：（1）如图1所示，过点B 作BM x ⊥轴，//BN x 轴，CN BN ⊥，M 、N 分别为垂足. 显然，30BAM ∠=︒，60CBN ∠=︒.故AM CN ==1BM BN ==.所以(3C ，从而(3OC =++.（2）方法1：如图2所示，设AC BD P =，由平行四边形法则，2OA OC OB OD OP +=+=，由于()2,0OA =，所以28OB OD OA OC +=+=方法2：由（1）知，()2B +. 由于四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =，设点()00,D x y，则()003,1DC x y =++. 又()3,1AB =，故00311x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩003x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即(D .所以(5OB OD +=，从而28OB OD +=方法3：如图2所示，设AC BD P =，则P 为AC 和BD 的中点.由（1）知，()2,0A ，()2B，(3C +. 设点()00,D x y ，则002122x y P ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭，又P⎝⎭，故(D ，故(5OB OD +=+，从而28OB OD +=19. 解：（1）证明：在ABC △中，1AC =，2AB =，60CAB ∠=︒，由余弦定理得2222cos 3BC AC AB AC AB CAB =+-⋅∠=.所以BC =，从而222AC BC AB +=，由勾股定理得，AC BC ⊥.又因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，由于AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PAAC A =，所以BC ⊥平面PAC ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .（2）取PC 中点E ，连接AE ，EM .因为PA AC =，所以AE PC ⊥.又因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC平面PBC PC =， 所以AE ⊥平面PBC ，故EMA ∠即为直线AM 与平面PBC 所成的角，因为1PA AC ==，2AB =，所以2AE =，2AM =，所以2EM ==，则tan 3AE EMA EM ∠==，所以AM 与平面PBC20. 解：（1）两个骰子掷出的数字所构成的两位数组成样本空间：{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,Ω=55,56,61,62,63,64,65,66}，共36个样本点.设事件A 为“两位数的十位大于个位”，B 为“两位数的十位不大于个位”， 则155()3612P A ==，217()3612P B ==. 为了尽可能获胜，应该选择猜法二.（2）设事件C 为“游戏结束时甲连续获胜两次”，D 为“游戏结束时乙连续获胜两次”. 则275()1212P C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，257()1212P D ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故第三轮后游戏停止的概率为 22755735()()12121212144P C P D ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21. 解：（1）证明：取AE 中点G ，连接GM ，FG ，则//GM EC 且2EC GM =， 又因为//BF EC 且2EC BF =， 所以//GM BF ，且GM BF =，所以四边形GMBF 为平行四边形，从而//BM GF .又BM ⊄平面AEF ，GF ⊂平面AEF ，所以//BM 平面AEF .（2）作AK BC ⊥交BC 于K ，则K 为BC 中点.所以AK ⊥平面BCE ，因为ABC △是边长为2的正三角形，且22EC FB ==.所以13A BCEF BFEC V S AK -=⋅=梯形则1132A MEB E AMB AMB A BCEF V V S EC V ---==⋅==△，所以4AMB S =△.又因为34AMBABC S AM S AC===△△，所以32AM =.22. 解：（1）设这m 人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）.设第80百分位数为a ，方法一：由50.02(40)0.040.2a ⨯+-⨯=，解得37.5a =.方法二：由0.050.350.3(35)0.040.8a +++-⨯=，解得37.5a =.（2）（i ）由题意得，第四组应抽取4人，记为A ，B ，C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙. 对应的样本空间为：{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A A A D B C B B B D C C Ω=甲乙甲乙甲乙 (,),(,),(,),(,)}C D D D 甲乙甲乙，共15个样本点.设事件M =“甲、乙两人至少一人被选上”，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}M A A B B C C D D =甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙，共有9个样本点.所以，()3()()5n M P M n ==Ω. （ii ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ， 则437x =，543x =，2452s =，251s =， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s . 则4542396x x z +==， ()(){}222224545142106s s x z s x z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.。
2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。
2020-2021学年河北省唐山市高一上期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年河北省唐山市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，则下列选项中说法不正确的是（）A．∅⊆A B．﹣2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y＜3} 2．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为（）A．∀x≥0，都有e x＜﹣x+1B．∀x＜0，都有e x≥﹣x+1C．∃x0≥0，e＜﹣x0+1D．∃x0＜0，e＜﹣x0+13．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．4．已知a＝，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a5．已知关于x不等式ae x≥x+b对任意x∈R和正数b恒成立，则的最小值为（）A．B．1C．D．26．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣17．已知函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，得到g（x）的图象，g（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数g （x）图象的一个对称中心为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）8．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0）的最小正周期为π，最大值为4，则（）A．ω＝1，a＝3B．ω＝2，a＝3C．ω＝2，a＝7D．ω＝1，a＝7二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤10．关于函数g（x）＝，下列结论正确的（）A．g（x）的图象过原点B．g（x）是奇函数C．g（x）在区间（1，+∞）上单调递增D．g（x）是定义域上的增函数11．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数C．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在[﹣π，π]上是增函数D．，若恒成立，则a的最小值为12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．14．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x﹣3，则f（1）＝．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值．16．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）比较f（x+1）与f（x）的大小．19．（1）求函数的值域；（2）已知，求f（x）的解析式．20．设x∈R，函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）的对称轴方程与对称中心．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．2020-2021学年河北省唐山市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，则下列选项中说法不正确的是（）A．∅⊆A B．﹣2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y＜3}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，所以A说法正确，因为A＝{0，2}，所以C，D说法正确，B说法错误，故选：B．2．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为（）A．∀x≥0，都有e x＜﹣x+1B．∀x＜0，都有e x≥﹣x+1C．∃x0≥0，e＜﹣x0+1D．∃x0＜0，e＜﹣x0+1【解答】解：命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为：“∃x0≥0，都有＜﹣x0+1”．故选：C．3．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由x2﹣1＞0且x≠0得x＞1或x＜﹣1，f（﹣x）＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C 当x→+∞，f（x）＞0，排除A，故选：D．4．已知a＝，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵，，，∴a＞b＞c．故选：A．5．已知关于x不等式ae x≥x+b对任意x∈R和正数b恒成立，则的最小值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：不等式ae x≥x+b，化为不等式ae x﹣x≥b，设f（x）＝ae x﹣x，f′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，若a＞0时，令f′（x）＝ae x﹣1＝0，x＝﹣lna，在x＞﹣lna时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在x＜﹣lna时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．由题意可得f（x）min≥b，当a≤0时，f（x）在R上单调递减，无最小值，不符合题意，当a＞0时，f（x）min＝f（﹣lna）＝1+lna≥b，∴≥，设h（a）＝，则h′（a）＝，当a∈（0，1]，h′（a）＜0，h（a）递减；a∈[1，+∞），h′（a）≥0，h（a）递增，∴h（a）min＝h（1）＝1．则≥1，的最小值为1．故选：B．6．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣1【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，B，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除D，故选：C．7．已知函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，得到g （x）的图象，g（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数g （x）图象的一个对称中心为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【解答】解：由已知得数f（x）＝cos（ωx﹣），函数g（x）的最小正周期为，则，解得ω＝2，所以g（x）＝cos（2x﹣），由（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数g（x）图象的对称中心为（）（k∈Z）．显然当k＝﹣1时，g（x）图象的一个对称中心为（﹣）．故选：C．8．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0）的最小正周期为π，最大值为4，则（）A．ω＝1，a＝3B．ω＝2，a＝3C．ω＝2，a＝7D．ω＝1，a＝7【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0），＝sin2ωx﹣cos2ωx+a﹣1＝2sin（2ωx﹣）+a﹣1，因为的最小正周期为π，最大值为4，故2ω＝2即ω＝1，2+a﹣1＝4，所以a＝3故选：A．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．③，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．故选：ABD．10．关于函数g（x）＝，下列结论正确的（）A．g（x）的图象过原点B．g（x）是奇函数C．g（x）在区间（1，+∞）上单调递增D．g（x）是定义域上的增函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数g（x）＝，则有g（0）＝0，则函数g（x）的图象经过原点，A正确，对于B，函数g（x）＝，其定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，B错误，对于C，函数g（x）＝，其导数g′（x）＝，在区间（1，+∞），g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，C正确，对于D，函数g（x）＝，有g（0）＝0，g（2）＝﹣4，g（x）是定义域上的增不是函数，D错误，故选：AC．11．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数C．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在[﹣π，π]上是增函数D．，若恒成立，则a的最小值为【解答】解：如图所示：，∴T＝6π，∴，∵f（2π）＝2，∴，即，∴（k∈Z），∴（k∈Z），∵|φ|＜π，∴，∴，故A正确；把y＝f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数，是奇函数，故B正确；把y＝f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，∵x∈[﹣π，π]，∴，∴在[﹣π，π]上不单调递增，故C错误；由可得，恒成立，令，，则，∵，∴，∴，∴，∴a的最小值为，故D正确．故选：ABD．12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0【解答】解：要使log a3＜log b3成立，只要＜，∴＜，∴0＞lga＞lgb，或lga＜0，lgb＞0．求得1＞a＞b＞0，或b＞1＞a＞0，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．【解答】解：∵x2﹣xy+9y2＝1，∴x2+9y2＝1+xy≥＝6xy，即xy≤，当且仅当x＝3y，即，y＝时，等号成立，∴（x+3y）2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy≤1+7×＝，∴≤x+3y≤，∴x+3y的最大值为．故答案为：．14．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x﹣3，则f（1）＝1．【解答】解：设f（x）＝kx+b（k≠0），则f（f（x））＝k2x+kb+b＝4x+9，从而，解得k＝2，b＝﹣1或k＝﹣2，b＝3，则f（x）＝2x﹣1或f（x）＝﹣2x+3，故f（1）＝1．故答案为：1．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值8．【解答】解：由已知定点P坐标为（﹣2，﹣1），由点P在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+＝（2m+n）（+）＝4++≥4+2＝4+4＝8当且仅当m＝，n＝取等号．故答案为：8．16．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝﹣．【解答】解：将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，可得y＝cos（2x+）的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2cos（2x+）的图象，则＝﹣，故答案为：﹣．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}＝（﹣∞，a）∪（2a，+∞），B＝{x|x2﹣x ﹣6≥0}＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），若x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴a＞0，且2a≤3．解得0＜a≤．18．已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）比较f（x+1）与f（x）的大小．【解答】（1）解：∵，∴f（x）是偶函数；（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴，则f（x2）＞f（x1），即当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数；（3）解：要比较f（x+1）与f（x）的大小，∵f（x）是偶函数，∴只要比较f（|x+1|）与f（|x|）大小即可．当|x+1|≥|x|时，即时，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，∴f（x+1）≥f（x）；当|x+1|＜|x|时，即当时，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，∴f（x+1）＜f（x）．19．（1）求函数的值域；（2）已知，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）设t＝，则t≥0，x＝，代入f（x）得，y＝+t＝，因为t≥0，所以函数y的最大值是1，即函数f（x）的值域是（﹣∞，1]；（2）由题意得，，①令x取代入得，，②由①②解得f（x）＝．20．设x∈R，函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）的对称轴方程与对称中心．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1＝sin2x﹣（cos2x﹣sin2x）+1＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x﹣）+1令：﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）．（2）令：2x﹣＝+kπ，（k∈Z），解得：x＝kπ+，（k∈Z），所以函数的对称轴方程为：x＝kπ+，（k∈Z），令：2x﹣＝kπ，（k∈Z），解得：x＝kπ+，（k∈Z），所以函数的对称中心为：（kπ+，1），（k∈Z）．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．【解答】解：（Ⅰ）由＝，由，得sin（α+）＝0，又α∈[0，2π]，得或．（Ⅱ）由题知，，由g（x）≤2，得，∴，∵，，∴，或，∴，或，即所求x的集合为，或．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．【解答】解：（1）依题意，a＝2，y＝，要使y≥0.4，则f（x）≥2．当0≤x≤2时，，得1≤x≤2；当2＜x≤7时，7﹣x≥2，得2＜x≤5．∴1≤x≤5，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）设再次投放m亿元消费券x天，则，，0≤x≤2，由≥0.4，得m≥，令t＝3+x，t∈[3，5]，t∈N*，则m≥＝，而＝，当且仅当，即t＝2，即x＝时，上式等号成立，∴m的最小值为20﹣．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
2023-2024学年河北省邯郸市魏县高一上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年河北省邯郸市魏县高一上册期末考试数学试题一、单选题1．设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.2．已知函数()f x 的定义域为R ，则“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件【正确答案】A【分析】通过()()10f x f x ++=可以得出()()2f x f x +=，反过来不可以，反例见详解.【详解】由()()10f x f x ++=得，()()1f x f x +=-，所以，()()()()()()()111fx f x f x f x ++=-+=--=，即()()2f x f x +=.所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的充分条件.如下图是一个周期为2得函数，得不出()()10f x f x ++=，所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的不必要条件.所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.故选：A.3．已知命题p ：任意2[1,2],0x x a ∈-，命题q ：存在2000,220x x ax a ∈++-=R ，若“p 且q ”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．2a -B ．1a ≤C ．2a -或=1a D ．2a >-且1a ≠【正确答案】D【分析】当命题为p 真时，此问题为恒成立问题，用最值法，转化为当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0，可求出a ≤1，当命题q 为真时，为二次方程有解问题，用“∆”判断，可得a ≤﹣2或a ≥1，先判定“p 且q ”是真命题，即p 真q 真时，a 的范围，再求出实数a 的补集即可．【详解】当命题为p 真时，即：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≥0“，即当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0，又当x ＝1时，x 2﹣a 取最小值1﹣a ，所以1﹣a ≥0，即a ≤1，当命题q 为真时，即：∃x ∈R ，x 2+2ax +2﹣a ＝0，所以∆＝4a 2﹣4（2﹣a ）≥0，所以a ≤﹣2或a ≥1，又命题“p 且q ”是真命题，所以p 真q 真，即121a a a ≤≤-≥⎧⎨⎩或，即实数a 的取值范围是：2a ≤-或=1a ；故命题“p 且q ”是假命题时，实数a 的取值范围是2a >-且1a ≠.故选：D ．4．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()()20f x f x -+-=，当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【正确答案】C【分析】由条件可知()f x 有对称轴2x =-，对称中心(1,0)-，推出具有周期性4T =，由()24f -=求得a 的值，可分别计算(1),(2),(3),(4)f f f f ，结合周期性计算()131k f k =∑即可.【详解】因为()2f x -是偶函数，所以()2(2)f x f x --=-，所以()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，又因为()()20f x f x -+-=，所以()()2f x f x --=-，所以()(2)f x f x =---，所以()f x 关于点(1,0)-中心对称，由()(4)f x f x =--及()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---所以(4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈--时，()14xf x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=，所以21424a a -=+-，解得：2a =或4a =-，因为0a >且1a ≠，所以2a =.所以当[]2,1x ∈--时，()1(242xf x x =--，所以(2)4,(1)0f f -=-=，(3)(1)0f f -=-=，(0)(2)4f f =--=-，(1)(14)(3)0f f f =-=-=，(2)(2)4f f =-=，(3)(1)0f f =-=，(4)(0)4f f ==-，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑,故选.C5．下列命题中，正确的有（）个①对应：21R,R,:1A B f x y x ==→=+是映射，也是函数；②若函数(1)f x -的定义域是（1,2），则函数()2f x 的定义域为,102⎛⎫⎪⎝⎭，；③幂函数23y x -=与4y x =图像有且只有两个交点；④当0b >时，方程210xb --=恒有两个实根.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；对于②，由抽象函数的定义求解即可；对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；对于④，将问题转化为21xy =-与y b =的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.【详解】解：对于①，对应：21R,R,:1A B f x y x ==→=+是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；对于②，若函数()1f x -的定义域是（1,2），则1x -()()10,1,20,10,2x x ⎛⎫∈∴∈⇒∈ ⎪⎝⎭故函数()2f x 的定义域为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故②对对于③，幂函数23y x-==(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减且图像过()()1,1,1,1-，4y x =为偶函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增且图像过()()1,1,1,1-所以两个图像有且只有两个交点；故③对；于④，当1x >时，21x -单调递增，且函数值大于1，所以当1b >时，方程210xb --=只有一个实根.故④错；故选：C6．已知定义域为R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()2xf xg x +=．若存在实数a ，使得关于x 的不等式()()()()0--≤nf x a g x a 在区间[]1,2上恒成立，则正整数n 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据奇偶性列方程组求得11()22x x f x ---=+，11()22x x g x ---=-，利用它们的单调性确定在[]1,2上的值域，再由不等式有()()a f x n g x a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩或()()a f x n g x a⎧≤⎪⎨⎪≥⎩求a 的范围，进而求出正整数n 的范围.【详解】由题设，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=，又()()2xf xg x +=，联立可得：11()22x x f x ---=+，11()22x x g x ---=-，又()1f x ≥当且仅当0x =时等号成立，即()f x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以，在[]1,2上517()[,]48f x ∈，而11()22x x g x ---=-在[]1,2上递增，故315()[,48g x ∈，若()()a f x n g x a⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，则15584n a ≤≤且n 为正整数，只需2n ≥即可.若()()a f x n g x a⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，则17384n a ≤≤且n 为正整数，不成立；综上，正整数n 的最小值为2.故选：B关键点点睛：利用奇偶性列方程组求()f x 、()g x 解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a 的范围，即可得n 的范围.7．定义域为R 的函数()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则()12345f x x x x x ++++等于（）A ．1B ．2lg 2C ．3lg 2D ．0【正确答案】C【分析】分析出函数()f x 的图象关于直线2x =对称，分析可知2为关于x 的方程()()20f x bf x c ++=的一根，求出12345x x x x x ++++的值，即可得解.【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的大致图象，当2x ≠时，()()4lg 42lg 2lg 2f x x x x f x-=--=-=-=，故函数()f x 的图象关于直线2x =对称，因为关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有5个不同的实数根，则关于u 的方程20u bu c ++=恰有两根，设为1u 、2u ，且必有一根为1，设21u =，设方程()1u f x =的两根分别为1x 、2x ，且12x x <，则124x x +=，所以，3456x x x ++=，12345=10x x x x x ++++，因此，()10lg83lg 2f ==.故选：C.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=，当()0,1x ∈时，()1sinπ4f x x =-，若对任意(],x m ∈-∞，都有()2f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【正确答案】B【分析】由题意可得当(]2,3x ∈时，()()()[]=42=sinπ21,0f x f x x --∈--，且(]π2π,3πx ∈，令sinπ2x -=-，得73x =或83x =，结合图象即可得m 的取值范围.【详解】解：由()()12f x f x +=得：()()21f x f x =-，又当(]0,1x ∈时，()11sinπ,044f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，故当(]1,2x ∈时，()11sin[π(1)],022f x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦；依此类推得：当(]2,3x ∈时，()()[]42sin[π(2)]1,0f x f x x =-=--∈-，且(]π2π,3πx ∈.如图.由sinπ2x -=-，得sinπ2x =，解得ππ2π3x =+或2π2ππ3x =+，解得73x =或83x =.故若对任意(],x m ∈-∞，都有()2f x -73m .故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．x ∀∈R ，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【正确答案】BD【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误.【详解】当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确；若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增，所以11((f f a b >，即3311()()a b>，所以B 正确；若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确；若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ++≤<≤=所以D 正确.故选：BD此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.10．已知函数()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+，则下列说法正确的是（）A ．,R a b ∃∈，()f x 为奇函数B ．R,R b a ∃∈∀∈，()f x 为偶函数C ．,R a b ∃∈，()f x 的值为常数D ．R,R b a ∃∈∀∈，()f x 有最小值【正确答案】BCD【分析】对于A 、B ，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C ；对于D ，将函数解析式变形为()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦，分()0a f x -=和()0a f x -≠两种情况讨论，即可判断.【详解】解：因为()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+，x ∈R ，对于A ：若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即22222211ax bx ax bx x x -+++=-++，即220ax +=，显然方程220ax +=不恒成立，故不存在,R a b ∈，使得()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即22222211ax bx ax bx x x -+++=++，即0bx =，当0b =时方程0bx =恒成立，故当0b =时，对R a ∀∈，()f x 为偶函数，故B 正确；对于C ：当2a =，0b =时()222221x f x x +==+为常数函数，故C 正确；对于D ：()f x 的定义域为R ，()2221ax bx f x x ++=+，所以()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦，当()0a f x -=，即()f x a =时()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦变形为20bx a +-=，当0b ≠时方程20bx a +-=有解，当0b =、2a =时方程20bx a +-=在R 上恒成立，当()0a f x -≠，即()f x a ≠时，方程()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦在R 上有解，所以()()2420b a f x f x ∆=---≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()2244280fx a f x a b -++-≤，因为()()()22221621681620a a b a b ⎡⎤+--=-+≥⎣⎦，当0b =、2a =时()()()2244280fx a f x a b -++-≤变形为()()2416160f x f x -+≤，解得()2f x =，当0b ≠或2a ≠时，()()()2244280fx a f x a b -++-=可以求得()f x 的两个值，不妨设为m 和n ()m n <，则2284m n a a b mn +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以()()()2244280fx a f x a b -++-≤解得()m f x n ≤≤，所以当0b ≠时，R a ∀∈，()f x 有最小值，故D 正确；故选：BCD11．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足①()f x 在[],a b 上是单调函数；②()f x 在[],a b 上的值域为[](),0ka kb k >，则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（）A ．()ln f x x=B ．()()10f x x x=>C ．()()20f x x x =≥D ．()()2011xf x x x =≤≤+【正确答案】BC【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a 、b 的存在性，即可得答案.【详解】A ：()ln f x x =为增函数，若()ln f x x =存在“3倍值区间”[],a b ，则()()ln 3ln 3f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩，结合ln y x =及3y x =的图象知，方程ln 3x x =无解，故()ln f x x =不存在“3倍值区间”，A 错误；B ：()()10f x x x=>为减函数，若存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()1313f a b a f b a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，得13ab =，又0a >，0b >，所以可取13a =，1b =，所以()()10f x x x=>存在“3倍值区间”，B 正确；C ：()()20f x x x =≥为增函数，若()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”[],a b ，则()()2233f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩，得03a b =⎧⎨=⎩，所以()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”，C 正确；D ：当0x =时，()0f x =；当01x <≤时，()11f x x x=+，从而可得()f x 在[]0,1上单调递增，若()21x f x x =+存在“3倍值区间”[],a b 且[][],0,1a b ⊆，则有()()223131a f a a a b f b bb ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，不符合题意，所以()()2011xf x x x =≤≤+不存在“3倍值区间”，D 错误．故选：BC12．已知函数()|sin |cos ,R f x x x x =∈，则（）A ．函数()f x 的值域为11[,]22-B ．函数()f x 是一个偶函数，也是一个周期函数C ．直线34x π=是函数()f x 的一条对称轴D ．方程4()log f x x =有且仅有一个实数根【正确答案】ABD【分析】利用函数()f x 的奇偶性、周期性分析判断A ，B ；利用对称的性质验证判断C ；利用零点存在性定理分析判断D 作答.【详解】显然，()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=--==，即函数()f x 是偶函数，又(2)|sin(2)|cos(2)|sin |cos ()f x x x x x f x πππ+=++==，函数()f x 是周期函数，2π是它的一个周期，B 正确；当0πx ≤≤时，022x π≤≤，1()sin cos sin 22f x x x x ==的最小值为12-，最大值为12，即当0x π≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，因()f x 是偶函数，则当0x π-≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，因此，当x ππ-≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，而2π是()f x 的周期，所以x ∈R ，()f x 的值域为11[,]22-，A 正确；因1(42f π=，51()42f π=-，即函数()f x 图象上的点1(,)42π关于直线34x π=的对称点51(,)42π不在此函数图象上，C 不正确；因当2x >时，恒有41log 2x >成立，而()f x 的值域为11[,]22-，方程4()log f x x =在(2,)+∞上无零点，又当01x <<或22x π<<时，()f x 的值与4log x 的值异号，即方程4()log f x x =在(0,1)、(,2)2π上都无零点，令441()()log sin 2log 2g x f x x x x =-=-，[1,]2x π∈，显然()g x 在[1,2π单调递减，而1(1)sin 202g =>，4()log 022g ππ=-<，于是得存在唯一0(1,)2x π∈，使得0()0g x =，因此，方程4()log f x x =在[1,]2π上有唯一实根，则方程4()log f x x =在(0,)+∞上有唯一实根，又4log x 定义域为(0,)+∞，所以方程4()log f x x =有且仅有一个实数根，D 正确.故选：ABD结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三、填空题13．设函数()22f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________.【正确答案】1, 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，设()f x t =，可知1t a ≥-，从而将不等式()()0f f x <的解集为空集，转化为()0f t <在区间[)1,a -+∞上的解集为空集，从得出而()2110y t a =++-≥在区间[)1,a -+∞上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出()211y t a =++-，开口向上，对称轴为1t =-，且44a ∆=-，分类讨论0∆≤和0∆>两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出a 的取值范围.【详解】解：根据题意，可知()()222111f x x x a x a a =++=++-≥-，设()f x t =，则1t a ≥-，因为不等式()()0f f x <的解集为空集，即()0f t <在区间[)1,a -+∞上的解集为空集，即()222110y t t a t a =++=++-<在区间[)1,a -+∞上无解，所以()2110y t a =++-≥在区间[)1,a -+∞上恒成立，对于二次函数()211y t a =++-，开口向上，对称轴为1t =-，44a ∴∆=-，当440∆=-≤a ，即1a ≥时，则101a -≥>-，所以()2110y t a =++-≥在区间[)1,a -+∞上恒成立，符合题意；当440a ∆=-≥，即1a ≤时，令()2110y t a =++-≥，解得：1t ≤--1t ≥-+要使得()2110y t a =++-≥在区间[)1,a -+∞上恒成立，只需满足11a t ->=-且11a -≥-，即0a >且210a a +-≥，解得：12a -≤（舍去）或12a -≥，又因为1a ≤1a ≤<，综上得，实数a 的取值范围是 ⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为.1 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭14．已知定义在整数集合Z 上的函数()f x ，对任意的x ，Z y ∈，都有()()()()4f x y f x y f x f y ++-=且()114f =，则()()()()0122016f f f f +++⋅⋅⋅+=______.【正确答案】12##0.5【分析】先用赋值法得到()()6f x f x +=，即()f x 为周期为6的函数，从而得到()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦，赋值法求出()()()()()3450,2,,,f f f f f ，从而求出答案.【详解】()()()()4f x y f x y f x f y ++-=中，令1y =得：()()()()()1141f x f x f x f f x ++-==，所以()()()21f x f x f x ++=+，故()()()()21f x f x f x f x +++-=，即()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，将3x +代替x 得：()()63f x f x +=-+，从而得到()()6f x f x +=，即()f x 为周期为6的函数，由于20166336=⨯，故()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦，()()()()4f x y f x y f x f y ++-=中，令1,0x y ==得：()()()()11410f f f f +=⋅，因为()114f =，所以()102f =，令1x y ==得：()()()()1204114f f f f +=⋅=，因为()102f =，所以()124f =-，令2,1x y ==得：()()()()31421f f f f +=，即()11344f +=-，解得：()132f =-，令2x y ==得：()()()()40422f f f f +=，即()11424f +=，解得：()144f =-，令4,1x y ==得：()()()()53441f f f f +=，即()11524f -=-，解得：()154f =，从而()()()()()()1111110120244424354f f f f f f +++++=+---+=，故()()()()()()10122016201602f f f f f f +++⋅⋅⋅+===.故答案为.1215．已知()8ln2+=-x f x x定义域为D ，对于任意1x ，2x D ∈，当122x x -=时，则()()12f x f x -的最小值是______．【正确答案】32ln2【分析】先求出函数()8ln2+=-x f x x的定义域()8,2-,根据函数的性质设12x x <，因122x x -=,则212x x =+，()18,0∈-x ，则()()()()2111211202ln 18f x f x f x f x x x ⎛⎫-=+-=- ⎪+⎝⎭,根据单调性和对数函数性质可知，当2118+x x 取得最小值，即14x =-时，取得最小值,代入即可得出结论.【详解】解：由题意，由802+>-x x，即()()820+-<x x ，解得82x -<<，∴函数()f x 定义域为()8,2-，不妨设12x x <，∵122x x -=∴212x x =+，()18,0∈-x ，∴()()()()112111112882lnln 222+++-=+-=----x x f x f x f x f x x x ()()()211112211111110282020ln ln ln 1888+-⎛⎫+-===- ⎪-+++⎝⎭x x x x x x x x x x ，∵()18,0∈-x ，则21180+<x x ，∴21120118->+x x ，∴21120ln 108⎛⎫-> ⎪+⎝⎭x x ，∴()()2121120ln 18⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭f x f x x x ，根据对数函数性质可知，当2118+x x 取得最小值，即14x =-时，()()21-f x f x 取得最小值，∴()()()()212min 2093ln 1ln 2ln 42484⎡⎤-=-==⎢⎥-+⨯-⎢⎥⎣⎦f x f x .故答案为:32ln2本题考查对数运算以及对数函数单调性的判断,属于中档题.16．在函数()()()sin 20f x x ϕϕ=->图象与x 轴的所有交点中，点,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭离原点最近，则ϕ可以等于__________（写出一个值即可）．【正确答案】π3（答案不唯一）【分析】先求出()f x 与x 轴的所有交点，再结合题意得到π222kϕϕ≤+恒成立，整理得π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，分类讨论1k ≥，1k ≤-与11k -<<三种情况，结合恒成立可得到π02ϕ<≤，从而得解.【详解】因为()()()sin 20f x x ϕϕ=->，令()0f x =，即()sin 20x ϕ-=，得2π,Z x k k ϕ-=∈，即π,Z 22kx k ϕ=+∈，则()f x 图象与x 轴的所有交点为π,0,Z 22k k ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为其中点,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭离原点最近，所以π,Z 222k k ϕϕ≤+∈恒成立，不等式两边平方整理得π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当1k ≥时，π02k ϕ+≥，因为0ϕ>，故π02kϕ+≥恒成立；当1k ≤-时，π02k ϕ+≤，即π2k ϕ≤-恒成立，因为ππ22k -≥，则π2ϕ≤，故π02ϕ<≤；当11k -<<，即0k =时，显然上述不等式恒成立，综上，由于上述分类情况要同时成立，故π02ϕ<≤，所以ϕ可以等于π3.故π3（答案不唯一）.四、解答题17．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为A T M m =-，若集合A 中只有一个元素，则0A T =.(1)若{2,3,4,5}A =，求A T ；(2)若{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，求123A A A T T T ++的最大值，并写出取最大值时的一组123,,A A A ；(3)若集合*N 的非空真子集123,,,,n A A A A L 两两元素个数均不相同，且12355n A A A A T T T T ++++= ，求n 的最大值.【正确答案】(1)3A T =(2)123A A A T T T ++的最大值为18，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ ，123A A A A = 且要使得123A A A T T T ++取到最大，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合123,,,,n A A A A L 中元素分析列出方程解出即可.【详解】（1）由集合{2,3,4,5}A =知，5,2M m ==，所以523A T M m =-=-=.（2）因为{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，由此可知集合123,,A A A 中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让123A A A T T T ++取到最大值，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以123A A A T T T ++的最大值为78912318++---=，所以有一组{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===满足题意，（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2 ，，因为123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设1A 是集合*N 中只有一个元素的非空真子集，此时10A T =，例如1{1}A =,则2A 是集合*N 中有两个元素的非空真子集，且21A T =，例如2{1,2}A =，同理3A 是集合*N 中有三个元素的非空真子集，且32A T =，例如3{1,2,3}A =，n A 是集合*N 中有n 个元素的非空真子集，且1nA T n =-，例如{1,2,3,,}n A n = ，所以123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()1552n n -==，解得11n =或10n =-（舍去），所以n 的最大值为11.方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.18．已知函数()()()21,R f x ax x a =+-∈.(1)若12a =，解不等式()0f x ≥；(2)解关于x 的不等式()0f x <.【正确答案】(1){4x x ≤-或}1x ≥(2)答案见解析【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可；（2）分类讨论0a =，0a =，20a -<<，2a =-与2a <-五种情况，利用二次不等式的解法解之即可，注意0a >时不等号的方向.【详解】（1）当12a =时，()()()()11214122f x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以由()0f x ≥得()()14102x x +-≥，解得4x ≤-或1x ≥，故()0f x ≥的解集为{4x x ≤-或}1x ≥.（2）由()0f x <得()()210ax x +-<，当0a =时，不等式化为()210x -<，解得1x <，故不等式的解集为{}1x x <；令()()210ax x +-=，解得12x a=-或21x =，当21a->，即20a -<<时，不等式解得1x <或2x a >-，故不等式的解集为{1x x <或2x a ⎫>-⎬⎭；当21a-=，即2a =-时，不等式化为()210x ->，解得1x ≠，故不等式的解集为{}1x x ≠；当201a <-<，即2a <-时，不等式解得2x a <-或1x >，故不等式的解集为2x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >；当201a -<<，即0a >时，不等式解得21x a -<<，故不等式的解集为21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；综上：当0a >时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a =时，不等式的解集为{}1x x <；当20a -<<时，不等式的解集为{1x x <或2x a ⎫>-⎬⎭；当2a =-时，不等式的解集为{}1x x ≠；当2a <-时，不等式的解集为2x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >；19．对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的),x a ⎡∈+∞⎣，有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[),a +∞上的弱渐近函数．(1)判断()g x x =是否是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数，并说明理由．(2)若函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；(3)是否存在函数()g x kx =，使得()g x 是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)答案见解析(2)08m ≤≤(3)不存在，理由见解析【分析】（1）首先代入()f x 与()g x 并化简整理成[)()()()1,f x g x x -=∈+∞，然后判断函数的单调性，最后利用函数单调性即可得(]()()0,1f x g x -∈，进而得证结论；（2）首先代入()f x 与()g x ，根据题意可得()()11mf xg x x-=-≤在区间[)4,+∞上恒成立，解绝对值不等式得02m x ≤≤在区间[)4,+∞上恒成立，根据解恒成立问题可得参数m 的取值范围；（3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数k 的范围，通过k 是无解的导出矛盾，进而验证结论.【详解】（1）[)()()()1,f x g x x x x -=-==∈+∞因为y x =[)1,+∞上单调递增，所以()()f x g x -在区间[)1,+∞上单调递减，故当1x =时取得最大值，最大值为1故(]()()0,1f x g x -∈，得证．（2）因为函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数，所以()()11mf xg x x-=-≤在区间[)4,+∞上恒成立，即111mx-≤-≤在区间[)4,+∞上恒成立，整理得：02m x ≤≤在区间[)4,+∞上恒成立，因为2y x =在[)4,∈+∞x 上的最小值为8，得08m ≤≤．（3）不存在.假设存在，则有[)()()()1,1,f x g x kx x -=≤∀∈+∞即11kx -≤-，对任意[)1,x ∞∈+成立，k ≤≤[)1,x ∞∈+成立．等价于max mink ⎛≤≤ ⎝⎭⎝⎭，对任意[)1,x ∞∈+成立令()11h x x ==-+(]0,1t =∈，得()21h t t t =-+，当12t =时，取得最大值，最大值为14；令()21h x x(]0,1t =∈，得()22h t t t =+，易知()(]20,2h t ∈可得104k ≤≤，不存在．所以，假设不成立，不存在函数()g x kx =是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数．20．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,3000002016920…………(1)设全年应纳税所得额为t （不超过元）元，应缴纳个税税额为y 元，求()y f t =；(2)小王全年综合所得收入额为元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？(3)设小王全年综合所得收入额为x （不超过元）元，应缴纳综合所得个税税额为y 元，求y 关于x 的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由元增加到元，那么他全年缴纳多少综合所得个税？注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．【正确答案】(1)()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩(2)1029.6元(3)[](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩；5712元【分析】（1）由税率与速算扣除数表列分段函数即可；（2）根据公式计算即可；（3）先求出小王全年应纳税所得额（注意讨论0=t 的情况），再结合()y f t =分类讨论即可.【详解】（1）根据税率与速算扣除数表，可得()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩.（2）小王应纳税所得额为()189600600001896008%2%1%9%52800456034320t =--´+++--=元.则小王全年应缴纳综合所得个税为.()343200.03343201029.6y f ==⨯=（3）小王全年应纳税所得额为()600008%2%1%9%5280045600.8117360t x x x =--+++--=-，由0.81173600146700t x t =-=Þ=，则有[]()0,0,1467000.8117360,146700,x t x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩.则当[]0,146700,0,0.030x t y t Î===；当(](]146700,191700,0,36000,0.030.243520.8x t y t x 挝==-；当(](]191700,326700,36000,144000,0.125200.0814256x t y t x 挝=-=-；当(](]326700,521700,144000,300000,0.2169200.1640392x ty t x 挝=-=-.故y 关于x 的函数解析式为[](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩.故当249600x =时，0.08249600142565712y =⨯-=.∴小王全年应缴纳综合所得个税为5712元.21．已知函数()()sin 2sin cos 1sin cos 2f x x x x x x a =++-+-，其中R a ∈.(1)当1a =时，若()034f x =，求0sin 2x 的值；(2)记()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的表达式并求出()g a 的最小值.【正确答案】(1)09sin 216x =(2)()112g a a =+--，()min 1g a =【分析】（1）令sin cos x x t +=，可得()()()31f x h t t ==-，即可得答案；（2）分16a ≥、1126a -<<、12a =-、12a <-四种情况讨论，每种情况下得到函数的单调性，即可得答案.【详解】（1）令sin cos x x t +=，则t ⎡∈⎣，21sin 2t x =+，∴()()()2112f x h t t t t a ==-+--，当1a =时，()()()()()()()23112112314f x h t t t t t t t t ==-+--=-++-=-=，∴54t =，∴20259sin 2111616x t =-=-=.（2）()()()()2222121,21122121,2t a a t ah t t t t a a t a t a ⎧-++-≥⎪=-+--=⎨+--<⎪⎩，①当2124a a +≥，即16a ≥时，()h t 在t ⎡∈⎣上单调递增，∴()()max 112g a h t h a ===+--.②当2124a a +<，即16a <时，1°.1126a -<<时，()h t 在)2a ⎡⎣上单调递增，在212,4a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在214a +⎛ ⎝上单调递增，∴()(){}max 2,g a h a h =，记()()))22241112414s a h a haa a a =-=-----=+--()s a 在11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，()106s a s ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，∴()()20s a h a h=-<，∴()112g a ha ==+--.2°.12a =-时，()112g a ha ==+--.3°.12a <-时，()({}max ,g a h h=，而(1121112h a h a =-<<=+，∴()112g a ha ==+--.综上，对R a ∀∈，()112g a h a ==+--，∴()min 1g a =，当2a =时取得最小值.22．如图，矩形ABCD 的长AD =1AB =，,A D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，, B C 两点在第一象限.求2OB 的最大值.【正确答案】73+【分析】过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，设OAD θ∠=，求得,,,OA BH AH B 的坐标，由两点间的距离公式，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】由题意，过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，设(0)2OAD πθθ∠=<<，则,3,sin()cos ,cos()sin 222BAH OA BH AH πππθθθθθθ∠=-==-==-=，所以(23sin ,cos )B θθθ+，所以222(23sin )cos 76cos 2232OB θθθθθ=++=++73)3πθ=++，又由02πθ<<，可得42333πππθ<+<，所以当12πθ=时，2OB 取得最大值743+.本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中注意运用三角函数的定义和二倍角公式和正弦函数的图象与性质，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.。
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。
2021-2022学年河北省邯郸市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省邯郸市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}230A x x x =-≤，{}1,2,4B =，则A B =（ ）A ．{}4B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,4【答案】C【分析】由一元二次不等式结合交集运算求解即可.【详解】{}{}23003A x x x x x =-≤=≤≤，∵{}1,2,4B =，∴{}1,2A B =故选：C2．命题“R x ∀∈，sin 10x +≥”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，sin 10x +< B ．R x ∃∈，sin 10x +< C ．R x ∃∈，sin 10x +≤ D ．R x ∀∈，sin 10x +≤【答案】B【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可知正确答案. 【详解】根据全称量词命题的否定形式得：原命题的否定是R x ∃∈，sin 10x +<. 故选：B.3．“0x >”是“1e 1x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据指数函数的单调性以及必要不充分条件的定义证明即可.【详解】110e 1e e x x -->⇔>，∵e x y =为单调递增函数，∴10x ->，则1x >，∴0x >，反之不成立，所以“0x >”是“1e 1x ->”的必要不充分条件 故选：B4．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．y =B ．ln y x =C ．||e x y =D ．22y x =-【答案】C【分析】分别求出函数y =ln y x =的定义域，根据奇偶函数的定义域关于原点对称，可知AB 选项为非奇非偶函数函数；函数e ,0e e ,0x xx x y x -⎧≥==⎨<⎩，根据指数函数的图象即可判断C 选项；对于函数22y x =-，根据二次函数的图象和性质，可知D 选项不符合题意，从而得出答案.【详解】解：函数y x =的定义域为[)0,∞+，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数； 同理ln y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；函数e ,0e e ,0x xx x y x -⎧≥==⎨<⎩，根据指数函数的图象可知||e x y =为偶函数且在()0,∞+上单调递增；函数22y x =-为偶函数，但它的图象为开口向下的抛物线，在()0,∞+上单调递减，也不符合题意， 故选：C. 5．若202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120202021b =，20201log 2021c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由函数12020xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2021xy =，2020log y x =的单调性可知20211012020a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1202020211b =>，20201log 02021c =<，故b a c >>. 故选：D6．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ､直角边AB ､AC ，已知以直角边AC ､AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC θ∠=，则sin 2cos cos sin θθθθ-+的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．0D ．1【答案】A【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得12AC AB =，即有1tan 2θ=，将目标式由弦化切求值即可.【详解】以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：()221228AC AC ππ⋅⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，()221228AB AB ππ⋅⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，由面积之比为14，得：()()2214AC AB =，即12AC AB =， 在Rt ABC 中，1tan tan 2AC ABC AB θ=∠==，则12sin 2cos tan 2211cos sin 1tan 12θθθθθθ---===-+++， 故选：A.7．函数()()212xf x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由解析式，应用奇偶性定义判断奇偶性，结合12f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号确定大致图象即可.【详解】∵()())()()2||2||1212x x f x x x x x f x -⎡-=---=--=-⎣， ∴()f x 为奇函数，A 不正确；很显然()()2||12x f x x x =-有三个零点分别为0，±1， 1122111312202248f ⎛⎫⎛⎫=-=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只有C 符合.故选：C.8．设函数()()()22log 1,13,4,3,x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩关于x 的方程()()()21f x a f x a =+-⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,1 B ．[)1,+∞C ．[)0,+∞D ．0,1【答案】D【分析】由分段函数解析式画出函数图象，根据题设方程根的个数，结合函数图象可得1f x有三个根，()f x a =有四个实数根，即可确定a 的取值范围.【详解】由题设，()()()()()()()222log 112log 12343x x f x x x x x ⎧--<<⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，且()()240f f ==，()31f =，作()y f x =图象如图所示，由()()()21f x a f x a =+-⎡⎤⎣⎦得：()()10f x f x a --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴1f x，()f x a =，如上图，1f x有三个根，∴()f x a =有四个实数根，如上图可得：01a <<. 故选：D. 二、多选题9．若a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22lg lg a b > B ．22a b --<C ．11a b< D ．33a b >【答案】BD【分析】应用特殊值23a b =>=-，判断A 、C ，根据2x y =，3y x =的单调性判断B 、D.【详解】当23a b =>=-时，则()22239<-=，而lg 4lg9<，又1123>-， ∴A ，C 不正确；∵2x y =，3y x =都是R 上单调递增函数，∴B ，D 是正确的. 故选：BD.10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()f x 与()g x 的最小正周期都是πB ．()g x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()g x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ABD【分析】利用三角函数的图象及性质逐项求解即可.【详解】解：由题知()sin 2f x x =，()sin 2sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对A ，()f x 与()g x 的最小正周期均为22T ππ==，故A 正确； 对B ，sin 2sin 0012126g πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对C，sin 2sin 1663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6x π=不是对称轴，故C 错误； 对D ，()g x 的单调递增区间为222262k x k πππππ-≤+≤+，Z k ∈，得36k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，当0k =时，递增区间为,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：ABD.11．已知函数()1,0,3,0,x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩则（ ）A ．()f x 的单调递减区间为0,1B ．()2f x =的解集为{}1C ．若()f x a =有三个不同的根，则实数(]2,3a ∈D ．()f x 存在最大值3和最小值2 【答案】AC【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，应用数形结合法，根据各选项的描述判断正误即可.【详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，∴()f x 的单调递减区间为(0,1)，A 正确；()2f x =的解集为{}1,1-，B 错误；y a =与图象有三个不同的交点，实数(]2,3a ∈，C 正确； ()f x 的值域为全体实数，没有最值，D 错误.故选：AC.12．已知函数()221x f x a =-+，且()113f =，则（ ） A ．1a =B ．()f x 为非奇非偶函数C ．函数()f x 的值域为()1,1-D ．不等式()()23130f x f x -+-<的解集为4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】由()113f =求得a 可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；由x 的范围可得2121-++x的范围，可判断C ；利用()f x 的单调性可判断D. 【详解】()211213f a =-=+，求得1a =，A 正确； 1a =时，()22112121x x x f x -=-=++，∵()()21122112x xx xf x f x -----===-++，x ∈R ∴()f x 为奇函数，B 不正确；∵20x >，∴211x +>，∴10121x<<+，22021x --<<+， ∴211121x --<+<+，C 正确； ()2121x f x =-+，因为21xy =+是R 上单调递增函数，221x y =+是R 上单调递减函数，所以()2121x f x =-+是R 上单调递增函数，∴()()()()()2231303133f x f x f x f x f x -+-<⇒-<--=-，∴2313x x -<-，∴2340x x +-<，∴解集为4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ACD. 三、填空题13．已知扇形的半径为8，面积为20，则圆心角α的弧度数为___________. 【答案】580.625 【分析】利用扇形面积公式及弧长公式即可求解. 【详解】解：设扇形面积为S ，圆心角α所对的弧长为l 则18202S l =⨯⨯=，∴5l =，∴圆心角α的弧度数为58α=.故答案为：58.14．计算：()1036229434⎛⎫⎡⎤---= ⎪⎣⎦⎝⎭___________. 【答案】31π+31π+【分析】利用根式与有理数指数幂的关系，应用指数幂的运算性质化简求值即可.【详解】()1362294381327314ππ⎛⎫⎡⎤---=-+-+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭.故答案为：31π+.15．已知())2021log sin 8f x a x b x =--（a ，a 为常实数），若()54f -=，则()5f =___________.【答案】20-【分析】由()()16f x f x -+=-得出()()5516f f -+=-，进而得出()5f .【详解】()()2021log sin 8f x a x b x ⎫-=---⎪⎭，())2021log sin 8f x a x b x -=-+-，∴()()16f x f x -+=-，∴()()5516f f -+=-， ∵()54f -=，∴()520f =-. 故答案为：20-16．若正实数x ，y 满足()9y x x -=，则x y +的最小值为___________. 【答案】16【分析】将题设条件化为191y x+=，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由()9y x x -=，可得9x y xy +=，则191y x+=，∴()199101016x yx y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9x y y x =，即12x =，4y =时等号成立. 故答案为：16. 四、解答题17．设集合{}227150A x x x =+-≤，lg 1x B x y ⎧⎫-⎪==⎨⎪⎩. (1)求A B ； (2)求R A B ⋂.【答案】(1)32A B x x ⎧⎫⋃=≤⎨⎬⎩⎭； (2)R 322A B x x ⎧⎫⋂=-≤≤⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法和具体函数的定义域求法，分别求出集合,A B ，再根据并集的运算即可求出A B ；（2）根据补集和交集的运算进行求解，即可得出R A B ⋂.. (1) 解：{}232715052A x x x x x ⎧⎫=+-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，lg 1x B x y ⎧⎫-⎪==⎨⎪⎩，则21040x x ->⎧⎨->⎩，解得：2x <-， {}2B x x ∴=<-，32A B x x ⎧⎫∴⋃=≤⎨⎬⎩⎭.(2)解：352A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2B x x =<-，∵{}R 2B x x =≥-，∴R322A B x x ⎧⎫⋂=-≤≤⎨⎬⎩⎭. 18．已知1sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求tan 2x 的值；(2)求()22cos cos 22x x ππ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)【分析】（1）根据诱导公式和同角关系式求出tan x ，然后利用倍角公式可得结果； （2）先把目标式化简，然后转化为含有tan x 的式子，代入可求结果. (1)（1）1sin cos 23x x π⎛⎫+== ⎪⎝⎭，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin x =∴tan x =22tan tan 21tan x x x ==-. (2)（2）()222cos cos 22cos sin 22x x x x ππ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭222222cos 2sin cos 22tan 2cos 2sin cos sin cos 1tan x x x x x x x x x x ++=+===++. 19．已知函数()()()log 2log 2a a x x f x =+--（0a >且1a ≠）. (1)判断()f x 的奇偶性并予以证明；(2)若一元二次不等式20x ax c -+≤的解集为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求不等式()f x c >的解集.【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2){}20x x -<<【分析】（1）先求定义域，再由奇偶性定义证明即可； （2）根据解集得出12a =，0c ，再利用对数函数的单调性解不等式即可. (1)要使()f x 有意义，必须20x +>且20x ->， 解得22x -<<，所以()f x 的定义域为()2,2-.()f x 是奇函数.证明如下：()f x 的定义域为()2,2-，关于原点对称，∵()()()()()()log 2log 2log 2log 2a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-⎡⎤⎣⎦， ∴()f x 为奇函数. (2)由不等式20x ax c -+≤的解集为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴10,210,2c a ⎧⨯=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得12a =，0c ，∴()()()1122log 2log 20f x x x =+-->，得()()1122log 2log 2x x +>-，∵12log y x =为减函数，∴20,20,22,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩解得：20x -<<，所以解集为{}20x x -<<.20．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第n 个月()*n ∈N 的检测费用和设备维护费用总计为()25n n +万元，该设备每月检测收入为20万元.(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利 (2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案； （2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案. (1)由题意得()2203650n n n --+>，即215360n n -+<，解得312n <<，∴()*3n n >∈N .∴该设备从第4个月开始盈利. (2)该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，()22036536153n n n n nn --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭.当且仅当6n =时，取等号，月平均盈利达到最大， ∴方案①的利润为：()2063636302038⨯--++=（万元）. ②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭，∴7n =或8n =时，盈利总额最大， ∴方案②的利润为20+16=36（万元）， ∵38>36， ∴方案①较为合算.21．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式及其对称轴方程；(2)若()f x 的图象向右平移6π个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，当[]0,x π∈时，方程()2g x a =有两个不等的实根1x ，2x ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对称轴方程为()62k x k ππ=+∈Z(2)1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由图知A 、T 及ω，代入,06π⎛⎫⎪⎝⎭及ϕ的范围可得ϕ，再由整体代入法可得()f x 的对称轴方程；（2）由图象平移规律可得()g x ，根据x 的范围可得()g x 范围，转化为()y g x =的图象与直线2y a =有两个不同的交点可得答案. (1)由图知，2A =，154126T ππ=-，所以T π=，22T πω==， 由2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，所以26k πϕπ=+，∈Z ，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+则()62k x k ππ=+∈Z ， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k ππ=+∈Z . (2)由题意可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ-⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]2sin 1,26g x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，所以方程()2g x a =有两个不等实根时，()y g x =的图象与直线2y a =有两个不同的交点，作图可得122a ≤<，所以112a ≤<. 故实数a 的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．已知定义在R 上的函数()()41R 2xx f x x a a =++∈为偶函数.(1)求a 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性（不用证明）；(3)已知函数()22g x x x m =--，[]1,4x ∈-，若对1x ∀∈R ，总有[]21,4x ∃∈-，使得()()12f x g x ≤成立，试求实数m 的取值范围.【答案】(1)0a =(2)在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减 (3)15,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用奇偶性的定义代特殊值再检验即可； （2）利用单调性的定义进行判断即可；（3）先将条件转化为()()12a max m x f x g x ≤，再分别求出最值即可. (1)解：∵()()41R 2xx f x x a a =++∈为偶函数，∴()()11221104114f a f a a ---=-==+⇒=++，当0a =时，()241xx f x =+，∵()()221414x xx xf x f x ---===++，∴()f x 为偶函数， ∴0a =. (2)解：()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减. (3)解：由（1）知，()241xxf x =+ ∵对1x ∀∈R ，总有[]21,4x ∃∈-，使得()()12f xg x ≤成立， 可得()()12a max m x f x g x ≤，由（2）知，()1f x 在10x =时取得最大值，即()()1102max f x f ==， 又()()222222211g x x x m x m =--=---，[]21,4x ∈-， ∴24x =时，()()2 48max g x g m ==-， ∴182m ≤-，解得152m ≤.所以实数m 的取值范围为15,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：①11x I ∀∈，总有22x I ∀∈，使得()()12f x g x ≤成立，则()()12i max m n f x g x ≤②11x I ∃∈，总有22x I ∀∈，使得()()12f x g x ≤成立，则()()12min min f x g x ≤ ③11x I ∀∈，总有22x I ∃∈，使得()()12f x g x ≤成立，则()()12a max m x f x g x ≤ ④11x I ∃∈，总有22x I ∃∈，使得()()12f x g x ≤成立，则()()12min max f x g x ≤。
河北省邯郸市第二十六中学2022年高一数学文测试题含解析
河北省邯郸市第二十六中学2022年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（）对称．A．y轴B．x轴C．坐标原点D．直线y=x参考答案：C考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数为奇函数，再根据奇函数的性质即可得到答案解答：因为f（x）=﹣x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于坐标原点对称，故选：C点评：本题考查了奇函数的性质，属于基础题2. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则A .M B.N C.I D.参考答案：A 3. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A．B． C． D．参考答案：B4. 已知且，，当时均有，则实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C5. 函数f（x）=x+log2x的零点所在区间为（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．【解答】解：∵f（）=﹣2＜0，f（）=+=﹣1＜0，f（）=+﹣2＞﹣1＞0，∴f（）f（）＜0，故选：C．6. 设集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是( )A． M＝P B． P M C． M P D．参考答案：C7. 设，若函数是定义域为R的奇函数，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：A8. 已知数列{a n}的通项公式a n = n2 +－11n－12,则此数列的前n项和取最小值时，项数n等于( )A. 10或11B. 12C. 11或12D. 12或13参考答案：C略9. 若函数为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为（）A 1B -3C -1D 3参考答案：A略10. 给出以下命题：（1）函数f（x）=与函数g（x）=|x|是同一个函数；（2）函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，1）；（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（x）=有负数根，则实数m的取值范围是（1，+∞）；（4）若f（x）=为奇函数，则f（f（﹣2））=﹣7；（5）设集合M={m|函数f（x）=x2﹣mx+2m的零点为整数，m∈R}，则M的所有元素之和为15．其中所有正确命题的序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（5）C．（2）（4）（5）D．（1）（3）（4）参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据同一函数的定义和性质进行判断．（2）根据指数函数过定点的性质进行判断．（3）根据指数函数的图象和性质先求出函数的解析式，结合指数函数的取值范围进行求解即可．（4）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解．（5）根据根与系数之间的关系进行判断即可．【解答】解：（1）函数f（x）==|x|，函数g（x）=|x|，则两个函数是同一个函数；正确．（2）∵f（0）=a0+1=1+1=2，∴函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，2）；故（2）错误，（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，则设f（x）=a x，由f（1）=4得a=4，即f（x）=4x，若关于x的方程f（x）=有负数根，则当x＜0时，0＜f（x）＜1，由0＜＜1，即，即，得，即m＞1，则实数m的取值范围（1，+∞）；故（3）正确，（4）若f（x）=为奇函数，则f（0）=0，即1+t=0，即t=﹣1，即当x≥0时，f（x）=2x﹣1．则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣1）=﹣3，则f（f（﹣2））=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（23﹣1）=﹣7；故（4）正确，（5）∵函数f（x）=x2﹣mx+2m的零点为整数，∴判别式△=m2﹣8m≥0，解得m≥8或m≤0，x1+x2=m，x1x2=2m，则此时无法确定m的取值，即M的所有元素之和为15不正确，故（6）错误．故所有正确命题的序号为（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，涉及指数函数，函数的零点和概念，综合性较强，利用定义法和转化法是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分13. 右图程序框图的运行结果是参考答案：120略12. 已知函数在上为增函数, 则实数的取值范围为 .参考答案：略13. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当﹣1≤x≤1时，f（x）=1﹣x2，则f[f（5）]等于．参考答案：1【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】化简f（5）=﹣f（3）=f（1）=0，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（5）=﹣f（3）=f（1）=0，f[f（5）]=f（0）=1﹣0=1，故答案为：1．【点评】本题考查了函数的周期性的变形应用及复合函数的应用．14. 若，则的表达式为．参考答案：略15. 对定义域内的任意,若有的函数,我们称为满足“翻负”变换的函数,下列函数:①,②,③中满足“翻负”变换的函数是________________. (写出所有满足条件的函数的序号)参考答案：略 16. 已知，是方程的两个根，则____________.参考答案：32 【分析】 由题得的值，再把韦达定理代入得解.【详解】由题得.所以.故答案为：32【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.17. 已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2025届河北省邯郸市峰峰矿务局第二中学高一化学第一学期期中统考模拟试题含解析
2025届河北省邯郸市峰峰矿务局第二中学高一化学第一学期期中统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、下列实验操作能达到实验目的是（）A．A B．B C．C D．D2、自来水是用氯气杀菌消毒的，不法商贩用自来水冒充纯净水销售，为辨别纯净水真伪，可用下列哪种试剂鉴别（）A．酚酞试液 B．氯化铁溶液 C．硝酸银溶液 D．氢氧化钠溶液3、分别向下列各溶液中加入少量NaOH固体，溶液的导电能力变化最小的是A．水B．盐酸C．醋酸溶液D．NaCl溶液4、将9g由CO和H2组成的混合气体在足量的O2中充分燃烧后，将生成的所有产物通过足量的Na2O2固体，Na2O2固体增加的质量为( )A．8g B．9g C．12g D．13.5g5、将金属钠分别投入下列物质的稀溶液中，有气体放出且有沉淀生成的是A．稀盐酸B．NH4Cl C．CuCl2D．NaOH6、甲、乙、丙、丁分别是Na2CO3、AgNO3、BaCl2、盐酸四种无色溶液中的一种，它们两两反应后的现象如下：甲＋乙−−→沉淀；甲＋丙−−→沉淀；乙＋丙−−→沉淀；丙＋丁−−→沉淀；乙＋丁−−→无色无味气体。
则甲、乙、丙、丁四种溶液依次是()A．BaCl2Na2CO3AgNO3盐酸B．BaCl2Na2CO3盐酸AgNO3C．Na2CO3盐酸AgNO3BaCl2D ．AgNO 3 盐酸 BaCl 2 Na 2CO 37、分析下列反应中属于氧化还原反应的是 ( ) ①2H 2+O 2点燃2H 2O ②Ba(OH)2+H 2SO 4=BaSO 4↓+2H 2O③NH 4HCO 3ΔNH 3↑+H 2O ↑+CO 2↑ ④2CO+O 2点燃2CO 2A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8、关于1 mol/L K 2SO 4溶液的下列说法正确的是（ ） A ．溶液中含有1mol K 2SO 4 B ．可由1molK 2SO 4溶于1L 水得到 C ．溶液中c(K + )=2mol/LD ．1L 溶液中含2molK +,2molSO 42-9、Mg 、Zn 、Al 、Fe 四种金属单质分别与足量的稀硫酸反应，放出H 2的物质的量与投入金属的质量的关系如图所示，则①②③④所表示的金属分别是A ．Al 、Mg 、Fe 、ZnB ．Fe 、Zn 、Mg 、AlC ．Mg 、Al 、Zn 、FeD ．Zn 、Fe 、Mg 、Al10、标准状况下，质量相等的下列物质中体积最大的是 A ．N 2B ．Cl 2C ．H 2D ．CO 211、如果4gNH 3中含有x 个NH 3分子，那么8gH 2S 中含有的电子数为 A ．xB ．3.4xC ．12xD ．18x12、最近湖南都市台报道，长沙市周边农田由于焚烧稻草导致烟雾弥漫，致使高速公路限行，航班停飞。
河北省邯郸市永年区2020-2021学年七年级上学期第一次月考数学试题(含解析)
A. 1B. 0C. 2D. 2或0
8.若两个有理数的和为负数﹐则这两个有理数（ ）
A.一定都是负数
B.一定是一正一负，且负数的绝对值大
C.一定 一个为零，另一个为负数
D.至少有一个是负数，且仅有一个负数时该负数绝对值最大
A. 表示收入1. 00元B. 表示支出1. 00元
C. 表示支出 元D.收支总和为6. 20元
2.有下列各数，0.01，10，－6.67， ，0，－（－3）， ， ，其中属于非负整数的共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：10，0，-（-3），-（-42）是非负整数，共有4个.
故选D.
3. 实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是（ ）
七年级数学试题
本试卷满分120分，时间90分钟.分选择题、填空题、解答题三部分
一、选择题：本大题共16个小题，每小题3分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.小戴同学的微信钱包账单如图所示， 表示收入5. 20元.下列说法正确的是（）
A. 表示收入1. 00元B. 表示支出1. 00元
25.阅读下列料：计算
解法一：原式= ．
解法二：原式= ．
解法三：原式的倒数为
故原式=300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法是错误的．
请你选择合适的解法解答下列问题：计算：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面α内有直线垂直于平面β，由平面α⊥平面β，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质，考查线面平行、垂直的位置关系．掌握空间垂直、平行关系的判定定理和性质定理是解题基础．
7.函数f（x）的定义域为{x|﹣1≤x≤3且x≠2}，值域为{y|﹣2≤y≤2且y≠0}，下列哪个图象不能作为f（x）的图象（）
【详解】（1）根据题意，函数f（x）﹣g（x）＝loga（x+2）﹣loga（2﹣x），
则有 ，解可得﹣2＜x＜2，
即函数的定义域为（﹣2，2）；
（2）根据题意，f（x）﹣g（x）为奇函数，
设F（x）＝f（x）﹣g（x），其定义域为（﹣2，2），关于原点对称；
且F（﹣x）＝loga（2﹣x）﹣loga（2+x）＝﹣F（x），
15.已知0≤x≤2，0≤y≤2，则 最小值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
由题中代数式的几何意义求解．
【详解】代数式 表示点 与四个点 的距离之和，如图由已知 是边长为2的正方形， ，当且仅当 三点共线且 三点共线，即 为 的交点时取等号．
故答案为： ．
【点睛】本题考查两点间距离公式，题中求代数式的最小值，关键是用两点间距离公式解释其几何意义，由平面几何知识就可得解．
A.（﹣3，2）B.[﹣3，2]C.（﹣2，1）D.[﹣2，1]
【答案】A
【解析】
【分析】
利用奇函数性质不等式变为 ，条件（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0说明函数 是减函数，从而得 ，即 ，只要 小于 的最大值即可．
【详解】∵对任意实数x1，x2，x1≠x2时，都有（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0．∴函数 是减函数，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由于旋转过程中垂直关系 保持不变，于是 平面 ，因此可得平面 平面 ，只要作 于 ，则有 平面 ，则题中的 都出现了，由图形中 建立关系，可得 的最大值．
【详解】∵∠ACB ，AB＝2BC，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ， 就是二面角P﹣BC﹣A的平面角，大小为θ，∴平面 平面 ，作 于 ，则有 平面 ， 就是PB与平面ABC所成角为α，易知 ， ，
（1）求函数f（x）﹣g（x） 定义域；
（2）判断f（x）﹣g（x）的奇偶性并证明；
（3）求f（x）﹣g（x）＞0中x取值范围，
【答案】（1）（﹣2，2）；（2）奇函数，见解析（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）定义域是使得两个对数的真数均为正即可；
（2）根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ奇偶性定义判断；
（3）按 和 分类讨论．
（2）若直线l经过点P（3，0），且它夹在直线l1与l2之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
【答案】（1）2x+5y﹣6＝0．（2）22x+y﹣66＝0．
【解析】
【分析】
（1）求出两直线的交点坐标，并写出这点关于 的对称点 ，直线 就是反射光线所在直线；
16.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ＝1时，S的面积为_____．
【答案】
【解析】
分析】
CQ＝1时， 与 重合，作出截面 ，计算其面积即可．
【详解】CQ＝1时， 与 重合，取 的中点 ，连接 ，由正方体的对称性，知四边形 是菱形，其边长为 ，
【分析】
求出端点出的斜率，可得所求直线斜率范围，从而可得倾斜角的范围.
【详解】线段 的端点坐标为 ，
直线 与 轴垂直，倾斜角为 ；
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
过点 且与线段 相交的直线斜率的取值范围是 ，
斜率为非负数时，倾斜角范围 ，斜率为正数时，倾斜角范围 ，
所以，过点 且与线段 相交的直线倾斜角的取值范围是 ，
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定集合 中的元素，再由集合的运算法则计算．
【详解】由题意 或 ， ，
，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的运算，确定集合的元素是解题基础，掌握集合的运算法则是解题关键．
2.已知f（x）＝ax3+bx+2，且f（2）＝4，那么f（﹣2）＝（）
A. ﹣4B. ﹣2C.0D.8
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，它是奇函数，由奇函数性质可求值．
【详解】设 ，它是奇函数， ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是构造奇函数 ，然后利用奇函数性质求值．
3.设a＝Iog 3，b＝log0.70.6，c ，则a，b，c的大小关系是（）
A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b
设直线方程为： ，
把点P的坐标代入得 ，
∴a＝﹣5，
所求直线方程为：x﹣y+5＝0
综上所述：直线方程为：2x+3y＝0，或x﹣y+5＝0．
【点睛】本题考查求直线方程，考查直线方程的截距式．直线在两坐标轴上截距相等或相反之类问题中要注意截距为0的情形，要分类讨论．
18.已知函数f（x）＝loga（x+2），g（x）＝loga（2﹣x）（a＞0，a≠1）．
，菱形的中一对角线长为 ，
∴截面的面积为 ．
故答案为： .
【点睛】本题考查正方体的截面，解题关键是作出截面．这可利用正方体的性质作图，截面在正方体的上下两底面上的截线平行，在左右两侧面的截线也平行．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.求经过点P（﹣3，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
故函数f（x）﹣g（x）为奇函数，
（3）若f（x）﹣g（x）＝loga（x+2）﹣loga（2﹣x）＞0，
即loga（x+2）＞loga（2﹣x），
若a＞1，必有x+2＞2﹣x＞0，解可得：0＜x＜2，
此时x取值范围为（0，2）；
若0＜a＜1，必有0＜x+2＜2﹣x，解可得：﹣2＜x＜0，
此时x取值范围为（﹣2，0）；
故当a＞1时，x取值范围为（0，2）；
当0＜a＜1时，x取值范围为（﹣2，0）．
【点睛】本题考查对数型函数的定义域，奇偶性，单调性．在应用单调性时要注意对底数 分类讨论．
19.已知直线l1：2x﹣y+2＝0与l2：x+y+4＝0．
（1）若一条光线从l1与l2的交点射出，与x轴交于点P（3，0），且经x轴反射，求反射光线所在直线的方程；
【详解】由题意 在[0，1]上单调递减，∴ ，
又 在[0，1]上最小值 ， ，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题根据是复合函数的单调性，特别要注意对数函数的定义域．
6.下列命题中正确的是（）
A. 如果平面α⊥平面β，则α内任意一条直线必垂直于β
B. 若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l
又 是奇函数，∴不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0可变为 ，即 ，∴ ，即 ，
∵存在实数x∈[﹣3，3]，使得不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0成立，
当x∈[﹣3，3]时， 的最大值是6，∴ ，解是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式能成立问题．利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式的方法是：由奇偶性把不等式变为 ，由单调性得 （或 ），然后再解不等式 （或 ）即可．注意 必须在函数的同一单调区间上。还要注意存在实数使不等式 成立与对任意实数不等式 恒成立是不一样的，一个要求函数的最大值，一个要求函数的最小值．
∴ ， ，∴ ，即 的最大值为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查二面角，考查直线与平面所成 角，解题时需作出二面角的平面角，作出直线与平面所成的角，本题中得出平面 平面 是关键，这样可容易作出PB与平面ABC所成角．
10.过点 且与线段 相交的直线倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于基础题.本题的易错点是忘记讨论斜率正负两种情况.
11.已知定义在R上的奇函数f（x），且对任意实数x1，x2，x1≠x2时，都有（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0．若存在实数x∈[﹣3，3]，使得不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0成立，则实数a的取值范围是（）
【解析】
试题分析：根据零点存在性定理，因 ，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B
考点：零点存在性定理
5.已知函数f（x）＝log2（2﹣ax）在区间[0，1]上单调递减，那么实数a的取值范围是（）
A.（0，1]B.（1，2）C.（0，2）D.（0，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复合函数单调性进行推导，同时考虑函数的定义域．
邯郸市2018--2021学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，B＝{x|x+2＞0}，则（∁RA）∪B＝（）
A.（﹣2，4）B. [﹣2，+∞）C.（﹣2，+∞）D. [4，+∞）
【答案】2x+3y＝0，或x﹣y+5＝0．．
【解析】
【分析】
在两坐标轴上的截距互为相反数可分类：一类是过原点，设直线方程为 ，一类是不过原点，设直线方程为 ，代入 点坐标可求得参数得直线方程．